ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Γ. Εξαδάκτυλος, Καθηγητής (επιβλέπων) Ζ. Αγιουτάντης, Καθηγητής Κ. Προβιδάκης, Αν. Καθηγητής ΧΑΝΙΑ 004

2 Αφιερωµένη τους γονείς µου II

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Περίληψη Η εργαία αυτή έχει ως αντικείµενο την ποοτική µελέτη της εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων. Πολλές εφαρµογές της Βραχοµηχανικής αφορούν την ύπαρξη ρηγµατωµένων πετρωµάτων (λ.χ. διάνοιξη υπόγειων έργων ε αυνεχή πετρώµατα) ή ύνθετων υλικών που χρηιµοποιούνται για την υποτήριξη των έργων αυτών (λ.χ. κυρόδεµα κ.λπ.).. Σε αυτές τις περιπτώεις είναι απαραίτητο να καθοριτούν τη φάη του χεδιαµού τα επιτρεπόµενα επίπεδα τάεων λειτουργίας, ώτε να αποφευχθούν ατοχίες. Η ανάλυη του προβλήµατος έγινε µε τη χρήη της αριθµητικής µεθόδου των υνοριακών τοιχείων, και υγκεκριµένα µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων, για ελατικό και ιότροπο µέο ε δύο διατάεις. Με βάη τον ήδη υπάρχοντα την ανοικτή βιβλιογραφία «αλγόρυθµο» ΤWODD (Crouch and Starfield, 1990), κατακευάτηκε: κώδικας το υπολογιτικό πακέτο MATLAB, προ-επεξεργατής για γρήγορη ειαγωγή της γεωµετρίας του προβλήµατος µε τη βοήθεια του χεδιατικού προγράµµατος AUTOCAD µετα-επεξεργατής για την παρουίαη των αριθµητικών αποτελεµάτων µε τη µορφή διαγραµµάτων και ιοχρωµατικών επιφανειών. ειδικός κώδικας υνοριακών τοιχείων για την περίπτωη αντι-επίπεδης παραµόρφωης (anti-plane strain) πετρωµάτων που διαχίζονται από αυνέχειες. Τέλος ο κύριος κώδικας εµπλουτίθηκε µε τη δυνατότητα υπολογιµού του υντελετή εντάεως των τάεων. Η δέµη προγραµµάτων που δηµιουργήθηκε µπορεί να αποτελέει χρήιµο εργαλείο για το χεδιαµό υπογείων έργων ε γραµµικά ελατικά πετρώµατα και για την ανάδροµη ανάλυη επί τόπου µετρήεων παραµορφώεων ή τάεων ε ρηγµατωµένες βραχόµαζες ή δοκίµια το εργατήριο για την εκτίµηη του µέτρου ελατικότητας της βραχόµαζας. III

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Πρόλογος Στην παρούα εργαία µελετάται η εντατικοπαραµορφωιακή κατάταη ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων. Για την πραγµατοποίηη της εργαίας αυτής θα ήθελα πρωταρχικά να εκφράω τις θερµές ευχαριτίες µου για την πολύτιµη υµβολή τους την περάτωη της: Στον κ. Γεώργιο Εξαδάκτυλο, Καθηγητή και επιβλέποντα της εργαίας αυτής, για την βοήθεια την οποία µου προέφερε, τις πολύτιµες υµβουλές του καθώς και για την άριτη υνεργαία που είχαµε κατά τη διάρκεια της εκπόνηης της διπλωµατικής µου εργαίας. Στον κ. Ζαχαρία Αγιουτάντη, Καθηγητή για τις εύτοχες παρατηρήεις, διορθώεις και υµβουλές τις οποίες µου προέφερε, βοηθώντας µε ηµαντικά τόο κατά την εκπόνηη, όο και την τελειοποίηη της εργαίας µου. Στον κ. Κωνταντίνο Προβιδάκη, Αναπληρωτή Καθηγητή, ο οποίος δέχτηκε να µε τιµήει µε την παρουία του την επιτροπή αξιολόγηης της διπλωµατικής µου εργαίας. Ακόµη θα ήθελα να ευχαριτήω τους µεταπτυχιακούς φοιτητές του εργατηρίου «Μελέτης και Σχεδιαµού Γεωεκµεταλλεύεων», Βαίλη Αηµίδη, Παντελή Λιόλιο και Πρεπή Μπαραδάκη για τη βοήθειά τους πάνω τις εντολές του προγράµµατος MATLAB, καθώς και για τις πολύτιµες υµβουλές τους, που ήταν καθοριτικές για την υλοποίηη της εργαίας αυτής. Επίης, καθοριτικές ήταν οι παρατηρήεις του Γιώργου Σαράτη για την µορφοποίηη της εργαίας. Τέλος θα ήθελα να ευχαριτήω τον Γιώργο Ξηρουδάκη για την άψογη υνεργαία που είχαµε κατά τη δηµιουργία του κώδικα TWODD το MATLAB, αλλά και για την ηθική και ψυχολογική υποτήριξη κατά την αντιµετώπιη των όποιων δυκολιών. Χανιά, Οκτώβρης 004 IV

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιεχόµενα Περίληψη... Πρόλογος... Κατάλογος Σχηµάτων... Κατάλογος Πινάκων... III IV V XI 1. Ειαγωγή Αντικείµενο Μελέτης Αριθµητικές Μέθοδοι Μέθοδος Πεπεραµένων ιαφορών..., Μέθοδος Πεπεραµένων Στοιχείων Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων Σύγκριη της Μεθόδου Πεπεραµένων Στοιχείων (Π.Σ.) µε την Μέθοδο των Συνοριακών Στοιχείων (Σ.Σ.) Επιλογή Μεταξύ της Μεθόδου Π.Σ. και της Μεθόδου Σ.Σ Θεωρία Θραυτοµηχανικής Ειαγωγή Ιτορική Ανάπτυξη της Θραυτοµηχανικής....3 Τρόποι Φόρτιης Ρωγµής....4 Συντελετής Συγκέντρωης Τάεων K....5 Θεωρία Θραυτοµηχανικής Συντελετής Ένταης των Τάεων K Κατανοµή Τάεων και Μετατοπίεων Κριτήριο Ατοχίας Μέθοδος Αυνεχών Μετατοπίεων Ειαγωγή Μέθοδος Αυνεχών Μετατοπίεων ε Άπειρο Ελατικό Μέο Το Πρόβληµα της Ρωγµής Υπό Σταθερή Εωτερική Πίεη V

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.4 Γενίκευη της Αριθµητική Μεθόδου Αντι-επίπεδη φόρτιη (Τύπος ΙΙΙ) Συντελετές Εντάεων των Τάεων Πρόγραµµα Επίλυης ( DDBED ) Ειαγωγή Ειαγωγή εδοµένων Σχεδιαµός το AYTOCAD Ειαγωγή Γεωµετρίας Παράµετροι Υλικού, Συνοριακές Συνθήκες και Τάεις Επίλυη Εξαγωγή Αποτελεµάτων Πίνακες Αποτελεµάτων Γραφικές Παρατάεις Μορφή Απεικονίεις Μεταβλητών Υπολογιτικά Παραδείγµατα Απλή Ρωγµή ε Άπειρο Μέο Σύγκριη της Μεθόδου των Αυνεχών Μετατοπίεων µε Αναλυτικές Λύεις ( Μετατοπίεις ) «Ανοικτός» Τύπος Παραµόρφωης (Mode I ) Τύπος της «Ολίθηης» (Mode ΙΙ ) Τύπος «Ψαλιδιµού» ή Αντι-επίπεδης ολίθηης (Mode ΙΙΙ ) Μελέτη Ταικού Πεδίου Γύρω Από Ευθύγραµµη Ρωγµή Σύγκριη µε τις Μέγιτες ιατµητικές Τάεις ( Ιοχρωµατικές Καµπύλες ) Μελέτη της Κλιµάκωης των Τάεων ε Σχέη µε την Απόταη από την Αιχµή της Ρωγµής Επίδραη του Μεγέθους της Ρωγµής τις Κύριες Τάεις Συντελετής Ένταης των Τάεων Σύτηµα Ευθύγραµµων Ρωγµών ε Σειρά ε Άπειρο Μέο VI

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5..1 Σύγκριη µε τις Μέγιτες ιατµητικές Τάεις ( Ιοχρωµατικές Καµπύλες) Κατανοµή των Τάεων το Ενδιάµεο Μέο υο Ευθύγραµµων Ρωγµών Συντελετής Ένταης των Τάεων Σύτηµα Παράλληλων Ρωγµών ε Άπειρο Μέο ιαταυρούµενα Σύνορα Εντατικοπαραµορφωιακή Μελέτη ε ιάταξη Ατεριού Συντελετής Ένταης των Τάεων Καµπυλόγραµµη ρωγµή ε οµοιόµορφο εντατικό πεδίο Συµπεράµατα Προτάεις Βιβλιογραφία Παράρτηµα Α Κατάλογος Σχηµάτων 1.1 Αριθµητικές Μέθοδοι τη Μηχανική των Πετρωµάτων (Sinha, 1989)....1 Το θεωρητικό ατοµικό µοντέλο.... Θεωρητικό ατοµικό µοντέλο ηµιουργία ρωγµής....3 Σύτηµα υντεταγµένων την αιχµή της ρωγµής....4 Βαικοί τρόποι παραµόρφωης των χειλών της ρωγµής....5 Ελλειπτική ρωγµή ε άπειρη πλάκα....6 Χαρακτηριτικά µιας ελλειπτικής ρωγµής....7 Συντελετής υγκέντρωης των τάεων ε υνάρτηη µε το λόγο a... b.8 Εξοµάλυνη ελλειπτικού ανοίγµατος την οριακή περίπτωη της επίπεδης ρωγµής....9 Ευθύγραµµη ρωγµή ε άπειρο µέο VII

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.10 Μέτρηη υντεταγµένων από το άκρο της ρωγµής και οι υνιτώες των τάεων, του ταικού πεδίου της ρωγµής Εντατικό πεδίο φόρτιης τύπου Ι....1 Εντατικό πεδίο φόρτιης τύπου ΙΙ Εντατικό πεδίο φόρτιης τύπου ΙΙΙ Σχηµατική χέη µεταξύ της τάης, του µεγέθους της ρωγµής και της αντοχής του υλικού Θετική και αρνητική πλευρά της ευθύγραµµης ρωγµής Σταθερές υνιτώες αυνεχών µετατοπίεων D και D Τάεις που εφαρµόζονται την επιφάνεια της ρωγµής Απεικόνιη µιας ρωγµής από Ν τοιχειακές αυνεχείς µετατοπίεις Απεικόνιη του τύπου φόρτιης ΙΙΙ Απεικόνιη καµπυλόγραµµης ρωγµής Σύτηµα υντεταγµένων την αιχµή της ρωγµής Συνοπτικό διάγραµµα ροής του προγράµµατος DDBED Γεωµετρία της ρωγµής Γεωµετρία του ανοίγµατος υο επιπλέον υνοριακά τοιχεία το για ταθεροποίηη της εωτερικής περιοχής Κατευθύνεις που µελετούνται την περίπτωη κυκλικού ανοίγµατος Το τριγωνικό πλέγµα που δηµιουργείται την περίπτωη ενός κυκλικού ανοίγµατος Το τριγωνικό ρπλέγµα που δηµιουργείται την περίπτωη µιας ευθύγραµµης ρωγµής Η διακριτοποίηη του µέου Οριζόντιες και κατακόρυφες µετατοπίεις Οριζόντιες και κατακόρυφες κύριες τάεις Μέγιτες διατµητικές τάεις Ευθύγραµµη ρωγµή υπό ταθερή εωτερική πίεη a Αυνεχείς µετατοπίεις DN (0 τοιχεία) b Αυνεχείς µετατοπίεις DN (40 τοιχεία) c Αυνεχείς µετατοπίεις DN (100 τοιχεία) d Μετατοπίεις U ε όλο το µέο VIII

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5. Ευθύγραµµη ρωγµή υπό διατµητική καταπόνηη a 5..b 5..c Αυνεχείς µετατοπίεις DS (100 τοιχεία)... Μετατοπίεις U ε όλο το µέο... Μετατοπίεις U ε όλο το µέο Ευθύγραµµη ρωγµή υπό αντι-επίπεδη φόρτιη a 5.3.b Αυνεχείς µετατοπίεις Dz (100 τοιχεία)... Μετατοπίεις Uz ε όλο το µέο Ιοχρωµατικές καµπύλες γύρω από µια ρωγµή Griffith (Sneddon, 1946) Ιοχρωµατικές καµπύλες από το πρόγραµµα DDBETD Ιοχρωµατικές καµπύλες ε όλο το ελατικό µέο Μορφή της κλιµάκωη της ε υνάρτηης µε την απόταη από την αιχµή της ρωγµής για τον τύπο φόρτιης Ι (Peeker, 1997) Σύτηµα υντεταγµένων την αιχµή της ρωγµής (Peeker, 1997) Κατακόρυφες τάεις ε υνάρτηη µε την απόταη από την αιχµή της ρωγµής για 0 θ = Κατανοµή των τάεων ε όλο το µέο ιατµητικές τάεις ε υνάρτηη µε την απόταη από την αιχµή της ρωγµής για 0 θ = Άποψη των τάεων ε όλο το µέο Αντι-επίπεδες τάεις z ε υνάρτηη µε την απόταη από την αιχµή της ρωγµής για 0 θ = Άποψη των τάεων z ε όλο το µέο Συγκεντρωτικό διάγραµµα κλιµάκωης κυρίων τάεων για θ = 0, για διάφορα µεγέθη ρωγµής Συγκεντρωτικό διάγραµµα κλιµάκωης της κύρια τάη 1 κατά την αποµάκρυνη από την αιχµή για θ = Συγκεντρωτικό διάγραµµα κλιµάκωης της κύρια τάη κατά την αποµάκρυνη από την αιχµή για θ = Συντελετής ένταης των τάεων υναρτήει του µήκους της ρωγµής υο ευθύγραµµες υγγραµµικές ρωγµές Griffith Ιοχρωµατικές καµπύλες την περιοχή γύρω από δυο ευθύγραµµες ρωγµές IX

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (Sneddon and Lowengrub, 1969) Ιοχρωµατικές καµπύλες την περιοχή γύρω από δυο ευθύγραµµες ρωγµές από το πρόγραµµα DDBETD Ιοχρωµατικές καµπύλες ε όλο το µέο που περιβάλλει δυο ευθείες ρωγµές ε απόταη ύο ευθείες υγγραµµικές ρωγµές Κατανοµή της κατακόρυφης υνιτώας της τάης,, ανάµεα ε δύο ρωγµές που βρίκονται ε απόταη Κατανοµή της κατακόρυφης υνιτώας της τάης ανάµεα ε δύο ρωγµές που βρίκονται ε απόταη 1m Κατανοµή της κατακόρυφης υνιτώας της τάης ανάµεα ε δύο ρωγµές που βρίκονται ε απόταη 0.5m Συγκριτική αναπαράταη των τάεων για τις τρεις διαφορετικές αποτάεις των ρωγµών Η κατανοµή της για απόταη ρωγµών ιάταξη δυο ευθύγραµµων ρωγµών (Tada etal, 1973) Συντελετής ένταης των τάεων υναρτήει της απόταης δυο ευθύγραµµων ρωγµών ιακρητοποίηη του µέου γύρω από δυο παράλληλες ρωγµές τις τρεις αποτάεις Συγκριτικό διάγραµµα κατακόρυφης υνιτώας της τάης Κατακόρυφη υνιτώα της τάης ανάµεα ε παράλληλες ρωγµές ιάταξη ρωγµών ε χήµα ατεριού Κατανοµή κύριας τάης Κατανοµή κύριας τάης Κατανοµή των µέγιτων διατµητικών τάεων τ Οριζόντιες µετατοπίεις U Κατακόρυφες µετατοπίεις U Ακτινικές διατάξεις ιοµηκών ρωγµών (Tada etal, 1973) Συγκριτικό διάγραµµα του υντελετή K I για την ακτινωτή διάταξη των ρωγµών ε υνάρτηης µε τη γωνία των ακτινών X

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5.4 ιάγραµµα υπολογιµού της υνάρτηης F ( n) Καµπύλη ρωγµή ε άπειρο µέο Οριζόντιες και κατακόρυφες µετατοπίεις καµπυλόγραµµης ρωγµής Κύριες τάεις καµπυλόγραµµης ρωγµής Μέγιτες διατµητικές (ιοχρωµατικές καµπύλες) για την καµπυλόγραµµης ρωγµής... Π.1 Αυνεχής µετατόπιη πάνω ε αυθαίρετα προανατολιµένο τµήµα... Π. Τάεις πάνω ε ένα τυχαία προανατολιµένο τµήµα... Π.3 Μεταχηµατιµός µετατοπίεων... Π.4 Μεταχηµατιµοί τάεων Κατάλογος Πινάκων 4.1 εδοµένα ειόδου Γεωµετρία υνοριακών τοιχείων Αποτελέµατα τα µέα των υνοριακών τοιχείων εδοµένα την περίπτωη τάεων εκτός επιπέδου Συντελετής ένταης των τάεων K I για διάφορα µήκη ρωγµής Συντελετής ένταης των τάεων K I για διάφορες αποτάεις µεταξύ των ρωγµών K I αναλυτικό και προγράµµατος για την ακτινική διάταξη ρωγµών XI

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 1 ο Ειαγωγή 1

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Αντικείµενο Μελέτης Αντικείµενο της εργαίας αυτής είναι η ανάπτυξη υπολογιτικού εργαλείου για την εκτίµηη του εντατικού και παραµορφωιακού πεδίου ε πετρώµατα που περιέχουν µια ή περιότερες ρωγµές ε ποικίλες διατάξεις µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων. Η εφαρµογή της µεθόδου των αυνεχών µετατοπίεων, που αποτελεί ουιατικά µέθοδο υνοριακών τοιχείων, το ύνορο της ρωγµής ή της οικογένειας ρωγµών εντός του πετρώµατος, είναι αποτελεµατική για την ανάλυη του εντατικο-παραµορφωιακού πεδίου ε γραµµικά ελατικά και ιότροπα υλικά. Αυτό υµβαίνει αφενός λόγω της υποβάθµιης των διατάεων του προβλήµατος κατά µια διάταη (λόγου χάρη για το επίπεδο ελατικό πρόβληµα χρηιµοποιούνται µονοδιάτατα τοιχεία) και αφετέρου διότι δεν είναι απαραίτητη η διακριτοποίηη όλου του µέου παρά µόνο των υνόρων του. Αυτός είναι και που θεωρείται η ιδανική µέθοδος για την µελέτη προβληµάτων ρωγµών. Κύρια χαρακτηριτικά της αναπτυχθείης ε αυτή την εργαία µεθόδου είναι ο µικρός χρόνος προετοιµαίας και ειαγωγής των δεδοµένων καθώς και ο µικρός χώρος αποθήκευης την µνήµη Η/Υ. Στα πλαίια της ανάπτυξης της υγκεκριµένης µεθόδου κατακευάτηκε το πρόγραµµα DDBETD (ε γλώα προγραµµατιµού MATLAB) το οποίο ουιατικά αποτελεί εργαλείο για τον προδιοριµό της κατανοµής των τάεων και των µετατοπίεων ρηγµατωµένων πετρωµάτων. 1. Αριθµητικές Μέθοδοι Χωρίς τις αριθµητικές µεθόδους (Σχήµα 1.1) δεν θα ήταν εφικτό να επιλυθούν προβλήµατα της µηχανικής µε πολύπλοκες υνοριακές υνθήκες. Οι περιότερες από τις αριθµητικές τεχνικές της µηχανικής του υνεχούς µέου βαίζονται την επίλυη µερικών διαφορικών εξιώεων (µ.δ.ε.) ή ολοκληρωτικών εξιώεων που περιγράφουν την κατατατική υµπεριφορά του υπόψιν µέου. Με την διαίρεη του µέου ε έναν µεγάλο αριθµό πεπεραµένων επιµέρους τµηµάτων και µε την χρηιµοποίηη των αντίτοιχων µ.δ.ε. ή ολοκληρωτικών χέεων, υπολογίζονται οι τιµές των µεταβλητών (όπως είναι οι τάεις και οι µετατοπίεις) το µέο. Όο µικρότερο είναι το µέγεθος των

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ τµηµάτων αυτών τόο ακριβέτερη γίνεται η λύη, ενώ αντιτρόφως ο απαιτούµενος υπολογιτικός χρόνος αυξάνει. Οι αριθµητικές µέθοδοι του υνεχούς µέου διαιρούνται ε τρεις κατηγορίες : 1. Μέθοδος πεπεραµένων διαφορών. Μέθοδος πεπεραµένων τοιχείων 3. Μέθοδος υνοριακών τοιχείων Αριθµητικές Μέθοδοι Συνεχές Μέο Υβριδικές Μέθοδοι Αυνεχές Μέο Πεπεραµένων Στοιχείων Πεπεραµένων ιαφορών ιακριτά τοιχεία Συνοριακών Στοιχείων Σχήµα 1.1 : Αριθµητικές Μέθοδοι τη Μηχανική των Πετρωµάτων (Sinha,. 1989) 3

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1..1 Μέθοδος Πεπεραµένων ιαφορών Στην µέθοδο αυτή οι ολοκληρώεις των µ.δ.ε. αποτελούν όρους διαφορικών εξιώεων. Στην περίπτωη ενός δι-διάτατου χώρου δηµιουργείται κάνναβος ο οποίος καλύπτει όλο το µέο και η διαφορική προέγγιη εφαρµόζεται ε κάθε εωτερικό του ηµείο. Τα αποτελέµατα αυτά δηµιουργούν ένα γραµµικό ύτηµα αλγεβρικών εξιώεων και ε υνδυαµό µε τις υνοριακές υνθήκες του προβλήµατος δίδουν µοναδική λύη. Η µέθοδος πεπεραµένων διαφορών είναι η απλούτερη ε χέη µε τις άλλες δυο και προγραµµατίζεται ευκολότερα. εν είναι ε θέη όµως να αντιµετωπίει αρκετά από τα προβλήµατα που υχνά παρουιάζονται την µηχανική, όπως ανώµαλης γεωµετρίας. Στη µέθοδο αυτή είναι δύκολο να µεταβληθεί το µέγεθος των διαφορικών κελιών ε υγκεκριµένες περιοχές, για αυτό και είναι ακατάλληλη την επίλυη προβληµάτων όπου οι υπό µελέτη µεταβλητές µεταβάλλονται µε γρήγορο ρυθµό. (όπως είναι προβλήµατα υγκέντρωης τάης). Σήµερα η µέθοδος των πεπεραµένων διαφορών χρηιµοποιείται κυρίως για προβλήµατα µεταφοράς θερµότητας και ροής ρευτών και όχι για προβλήµατα ταικής ανάλυης (Becker, 199). 1.. Μέθοδος Πεπεραµένων Στοιχείων Στην µέθοδο των πεπεραµένων τοιχείων απαιτείται η διαίρεη ολόκληρου του υπό µελέτη χώρου ε µικρά πεπεραµένα τµήµατα, τα οποία καλούνται "πεπεραµένα τοιχεία". Η υµπεριφορά του κάθε τµήµατος περιγράφεται από διαφορικές εξιώεις. Όλα τα πεπεραµένα τοιχεία ικανοποιούν την απαίτηη να υπάρχει ιορροπία και υνέχεια µεταξύ τους, δηµιουργώντας έτι ένα ύτηµα αλγεβρικών εξιώεων. Εξαφαλίζοντας την ικανοποίηη των υνοριακών υνθηκών του προβλήµατος λαµβάνεται µοναδική λύη για το ύτηµα αυτό. Η µέθοδος των πεπεραµένων τοιχείων χρηιµοποιείται για την επίλυη πρακτικών µηχανικών προβληµάτων πολύπλοκης γεωµετρίας. Σε περιοχές όπου οι υπό µελέτη µεταβλητές µεταβάλλονται µε γρήγορο ρυθµό και απαιτείται µεγαλύτερη ακρίβεια, χρηιµοποιείται µεγαλύτερος αριθµός πεπεραµένων τοιχείων (Becker, 199). 4

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1..3 Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων Στην µέθοδο αυτή οι µερικές διαφορικές εξιώεις µετατρέπονται ε ολοκληρωτικές ταυτότητες οι οποίες είναι εφαρµόιµες πάνω την επιφάνεια του ύνορο. Το ύνορο διαιρείται ε µικρά υνοριακά τµήµατα (υνοριακά τοιχεία) πάνω τα οποία ολοκληρώνονται αριθµητικά αυτές οι εξιώεις. Με την προϋπόθεη ότι εξαφαλίζεται η ικανοποίηη των υνοριακών υνθηκών και των υνθηκών ιορροπίας δηµιουργείται ένα γραµµικό ύτηµα αλγεβρικών εξιώεων µε µοναδική λύη. Η µέθοδος αυτή επιλύει προβλήµατα πολύπλοκης γεωµετρίας και λειτουργεί µε µεγαλύτερη ακρίβεια από την µέθοδο των πεπεραµένων τοιχείων, την περίπτωη που µελετούνται περιοχές µε γρήγορο ρυθµό µεταβολής των µεταβλητών (Becker, 199) Σύγκριη της Μεθόδου των Πεπεραµένων Στοιχείων µε την Μέθοδο των Συνοριακών Στοιχείων Πλεονεκτήµατα της µεθόδου των Συνοριακών Στοιχείων είναι: 1. Μικρότερος χρόνος προεπεξεργαίας (preprossesing time). Το γεγονός ότι τη µέθοδο αυτή διακριτοποιείται µόνο το ύνορο της υπό µελέτη επιφάνειας, µειώνει το δυο διατάεων πρόβληµα ε µονοδιάτατο. Συνεπώς ο χρόνος που απαιτείται για την προετοιµαία και για τον έλεγχο των υνοριακών τοιχείων του προβλήµατος είναι αρκετά µικρός. Ακόµη πραγµατοποιούνται εύκολα µετέπειτα αλλαγές τη διάταξη του πλέγµατος. Το πλεονέκτηµα αυτό είναι ιδιαίτερα ηµαντικό ε προβλήµατα όπου απαιτείται αναδιάρθρωη (remeshing) του πλέγµατος, όπως προβλήµατα διάδοης ρωγµών, τριβής λόγω επαφής, προκαταρτικές φάεις χεδιαµού και άλλα.. Υψηλή ανάλυη τάεων. Στη µέθοδο των υνοριακών τοιχείων, δεν επιβάλλεται περαιτέρω προέγγιη της λύης ε εωτερικά ηµεία του υνόρου. ηλαδή, η λύη που προκύπτει είναι υνεχής και εντός της περιοχής, µε 5

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ υνέπεια να λαµβάνονται περιότερο ακριβή αποτελέµατα για τις τάεις. Το χαρακτηριτικό αυτό της µεθόδου την κάνει κατάλληλη για εφαρµογή ε προβλήµατα χεδιαµού, όπου παρουιάζονται απότοµες µεταβολές τις τιµές των τάεων (προβλήµατα θραύης, προβλήµατα επαφής, προβλήµατα υγκέντρωης τάεων). 3. Μικρότερος υπολογιτικός χρόνος και µικρότερος χώρος αποθήκευης. Για τον ίδιο βαθµό ακρίβειας αποτελεµάτων, η µέθοδος των Σ.Σ. χρηιµοποιεί µικρότερο αριθµό τοιχείων από τη µέθοδο των Π.Σ. Από τη τιγµή που ο βαθµός προέγγιης τη λύη της µεθόδου Σ. Σ. περιορίζεται το ύνορο, το πλέγµα της µεθόδου αυτής δεν πρέπει να υγκρίνεται µε το πλέγµα της µεθόδου Π. Σ.(την περίπτωη που τα εωτερικά ηµεία αποµακρύνονται). Για την επίτευξη υγκριτικής ακρίβειας τις τιµές των τάεων, θα πρέπει το πλέγµα της µεθόδου Π.Σ. να πραγµατοποιηθούν περιότερες υνοριακές διαιρέεις από αυτές που υπάρχουν το αντίτοιχο πλέγµα της µεθόδου Σ. Σ. 4. Λιγότερες περιττές πληροφορίες. Στα περιότερα µηχανικά προβλήµατα οι ανεπιθύµητες κατατάεις (όπως θραύεις, υγκεντρώεις τάεων, απότοµες θερµικές καταπονήεις), πραγµατοποιούνται την επιφάνεια. Για να µελετηθούν αυτές οι κατατάεις µε τη µέθοδο των Π.Σ. χεδιάζεται ένα τριδιάτατο πολύπλοκο ώµα µε πεπεραµένα τοιχεία και υπολογίζονται οι τάεις ε κάθε ηµείο του. Κάτι τέτοιο καθίταται µη αποδοτικό διότι µόνο λίγες από αυτές τις τιµές των τάεων µπορούν να ενωµατωθούν την χεδιατική ανάλυη. Για τον λόγο αυτό επιθυµείται η χρηιµοποίηη των υνοριακών τοιχείων µε τα οποία επιτυγχάνεται µεγαλύτερη απόδοη τον υπολογιτικό τοµέα. Παρόλα αυτά όµως τη µέθοδο των Σ.Σ. εντοπίζονται και µειονεκτήµατα κάποια από τα οποία αναφέρονται ακολούθως : 1. Μη εύχρητα µαθηµατικά. Τα µαθηµατικά τα οποία χρηιµοποιούνται τη µέθοδο Σ.Σ. υχνά φαίνονται άγνωτα τους χρήτες. Κατά την διάρκεια των αρχικών ταδίων ανάπτυξης της τεχνικής Σ.Σ. είναι απαραίτητες αρκετές γνώεις από προχωρηµένα µαθηµατικά οι οποίες χρηιµοποιούνται για την πιτοποίηη της µοναδικότητας και της κάθε λύης. Αυτό όµως δεν θεωρείται πλέον 6

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ πρόβληµα διότι αφενός η διατύπωη της µεθόδου Σ.Σ. έχει δηµοιευτεί λεπτοµερώς, αφετέρου η µοναδικότητα της λύης την οποία δίνει η µέθοδος θεωρείται δεδοµένη.. ίδει ανακριβή αποτελέµατα κατά την αριθµητική ολοκλήρωη την ανάλυη λεπτών κελυφών (thin shell analsis). Αυτό υµβαίνει εξαιτίας του µεγάλου λόγου επιφάνειας προς όγκο και την κοντινή απόταη των κοµβικών ηµείων τις δυο πλευρές του κελύφους Το φαινόµενο αυτό προκαλεί ανακρίβειες τις αριθµητικές ολοκληρώεις. Η µέθοδος Π.Σ. είναι καταλληλότερη (παρουιάζει µεγαλύτερη ακρίβεια) για την αντιµετώπιη τέτοιου είδους προβληµάτων Επιλογή Μεταξύ της Μεθόδου Π.Σ και της µεθόδου Σ.Σ. Τρεις ηµαντικοί παράγοντες είναι αυτοί οι οποίοι καθορίζουν την επιλογή µεταξύ της µεθόδου, Π.Σ και Σ.Σ για την επίλυη ενός προβλήµατος: a. Ο τύπος του προβλήµατος (γραµµικό, µη-γραµµικό) b. Ο απαιτούµενος βαθµός ακρίβειας c. Ο απαιτούµενος χρόνος για την προετοιµαία και την επεξεργαία των δεδοµένων d. Ο χρόνος υπολογιµού Και οι δύο τεχνικές θα πρέπει να είναι γνωτές ε έναν Μηχανικό διότι για υγκεκριµένους τύπους εφαρµογών η κάθε µία από αυτές παρουιάζει διαφορετικά πλεονεκτήµατα ε χέη µε την άλλη. Εάν ληφθούν υπόψη τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατα της µεθόδου Σ.Σ. οι παρατηρήεις που παρατίθεται παρακάτω είναι ε θέη να προφέρουν ηµαντική βοήθεια την επιλογή της κατάλληλης τεχνικής: 1. Η µέθοδος Σ.Σ. είναι κατάλληλη (και περιότερο ακριβής) για γραµµικά προβλήµατα και ειδικότερα για τριδιάτατα προβλήµατα τα οποία οι 7

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ µεταβλητές µεταβάλλονται µε γρήγορο ρυθµό (όπως προβλήµατα εγκοπών, ρωγµών και επαφών).. Εξαιτίας του µικρού χρόνου που απαιτείται για την διαµόρφωη ενός υγκεκριµένου προβλήµατος, η µέθοδος Σ.Σ. είναι καταλληλότερη για προκαταρκτικές χεδιατικές αναλύεις, τις οποίες η γεωµετρία και τα φορτία µπορούν να τροποποιηθούν µετέπειτα ε ελάχιτο χρόνο. Αυτό δίνει τους χεδιατές µεγαλύτερη ελευθερία να πειραµατιτούν ε καινούργια χήµατα και γεωµετρίες. 3. Η µέθοδος Π.Σ. είναι περιότερο καθιερωµένη και παρουιάζει µεγαλύτερη εµπορική ανάπτυξη ειδικότερα για πολύπλοκα µη γραµµικά προβλήµατα όπου πραγµατοποιούνται εξονυχιτικές έρευνες για την επιβεβαίωη της αξιοπιτίας της. 4. Τα µαθηµατικά τα οποία χρηιµοποιούνται την µέθοδο Π.Σ. είναι περιότερο "οικεία" για τους µηχανικούς. Παρόλα αυτά η µέθοδος Σ.Σ. κάνει όλο και µεγαλύτερα βήµατα τον χώρο της Μηχανικής µε αποτέλεµα όλο και περιότερα εγχειρίδια να είναι διαθέιµα, ώτε να γίνονται περιότερο κατανοητά τα µαθηµατικά που χρηιµοποιεί η µέθοδος 5. Προγράµµατα διαχείριης δικτύων (meshes) και ρουτίνες χεδιαµού οι οποίες αναπτύχθηκαν για εφαρµογές της µεθόδου Π.Σ. µπορούν να χρηιµοποιηθούν δίχως µετατροπές ε προβλήµατα της µεθόδου Σ.Σ.. Ακόµα πολλές ρουτίνες µε προαναυξανόµενα φορτία (load incrementation) καθώς και ρουτίνες επανάληψης, οι οποίες αρχικά χρηιµοποιήθηκαν ε εφαρµογές της µεθόδου των πεπεραµένων τοιχείων ε µη γραµµικά προβλήµατα, εφαρµόζονται απευθείας ε αλγόριθµους που αναφέρονται την µέθοδο των υνοριακών τοιχείων 8

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Κεφάλαιο ο Θεωρία Θραυτοµηχανικής 9

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ.1 Ειαγωγή Στον χεδιαµό δοµικών τοιχείων ή κατακευών, ένα ηµαντικό βήµα είναι η ταυτοποίηη του πιο πιθανού τρόπου ατοχίας και η εφαρµογή τουκατάλληλου κριτηρίου ατοχίας. Θραύη ορίζεται ως ο χηµατιµός νέων επιφανειών το υλικό και αποτελεί τρόπο εκδήλωης ατοχίας µίας κατακευής. Στο πιο βαικό επίπεδο (µικροκοπικό), το κύριο χαρακτηριτικό της ρηγµάτωης είναι η θραύη των ατοµικών δεµών του τερεού. Στο µακροκοπικό επίπεδο, ως ρηγµάτωη µπορεί να χαρακτηριθεί η θραύη µιας κατακευής ε δύο ή περιότερα τµήµατα, λόγω διάδοης ρωγµών ε αυτό. Στο ενδιάµεο επίπεδο, το µεοκοπικό, η θραύη εκδηλώνεται µε την µορφή της εκκίνηης διάδοης (ή επέκταης) και της υνένωης µικροανοιγµάτων, όπως για παράδειγµα πόροι και ρωγµές εντός των κόκκων και τα ύνορα των κόκκων του γεωυλικού. Κατά τις υνήθεις τεχνικές εφαρµογές τα φαινόµενα θραύης αντιµετωπίζονται µε την βοήθεια µακροκοπικών θεωριών, όπως η µηχανική του υνεχούς µέου και η κλαική Θερµοδυναµική. Κατά την µακροκοπική αντιµετώπιη, θεωρείται ότι το µέο είναι υνεχές και διαχίζεται από µια ρωγµή ή πεπεραµένο αριθµό ρωγµών (περιοχές λύης της υνέχειας) και ότι αυτές οι ρωγµές είναι πολύ µεγαλύτερες από την µικροδοµή του υλικού. Τελευταίως έχει γίνει κατανοητό ότι δεν µπορεί να αγνοηθεί η επίδραη της µικροδοµής των υλικών (λ.χ. κοκκώδη και κρυταλλικά υλικά, τρωιγενή υλικά κ.λπ) τα φαινόµενα θραύης (Εξαδάκτυλος, 1998). Συµπεραµατικά, αναφέρεται ότι ο επιτηµονικός κλάδος που αχολείται µε την µελέτη της µηχανικής υµπεριφοράς τερεών ωµάτων που διαχίζονται από ρωγµές, υπό την επίδραη τατικής ή δυναµικής µηχανικής φόρτιης και ενδεχοµένως άλλων περιβαλλοντικών παραγόντων (λ.χ. θερµοκραία, πίεη πόρων, χηµικές µεταβολές), αναφέρεται ως «Θραυτοµηχανική» (Fracture Mechanics). 10

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Ιτορική Ανάπτυξη της Θραυτοµηχανικής ος Αιώνας - Leonardo da Vinci Σε ένα από τα βιβλία του ο Leonardo da Vinci περιγράφει πειράµατα για τη θραύη υρµάτων από ίδηρο και πως το απαιτούµενο βάρος για την θραύη αυτών αυξάνεται καθώς το µήκος των υρµάτων υποδιπλαιάζεται ε διαδοχικές δοκιµές Wieghardt Ο Wieghardt διετύπωε τη λύη της γραµµικής ελατικής φήνας, που υποβάλλεται ε ηµειακή φόρτιη P ε µια από τις ακµές της και την ειδική περίπτωη του προβλήµατος της ρωγµής. Ο Wieghardt διετύπωε τα παρακάτω ερωτήµατα: «Με δεδοµένες τις παραµέτρους αντοχής του ελατικού ψαθυρού µέου, ποιο είναι το µέγεθος της δύναµης P που είναι αναγκαίο για την θραύη του υλικού και από ποιο ηµείο και κατεύθυνη θα αρχίει να διαδίδεται η ρωγµή». Αφού ο Wieghardt δέχθηκε την εφαρµογή του κριτηρίου µέγιτης τάης έφθαε το έξής παράδοξο: ενώ η θεωρία προβλέπει άπειρη τάη την αιχµή της ρωγµής για αυθαίρετα µικρή δύναµη P, εντούτοις τα πειραµατικά δεδοµένα δίδουν πεπεραµένη τιµή της φόρτιης P. Για την αντιµετώπιη αυτού του παραδόξου ο Wieghardt διετύπωε ότι: «.Εφόον ε ένα ελατικό υλικό η θραύη δεν εκκινεί ένα µοναδικό ηµείο αλλά ε µια µικρή περιοχή, τότε το κριτήριο θραύης δεν θα ληφθεί υπόψη η µέγιτη τάη ή τροπή, άλλα το ολοκλήρωµα αυτών ε µια µικρή περιοχή. Εφόον οι ιδιόµορφες τάεις είναι ολοκληρώιµες τότε η υνιτώα αυτών θα είναι πεπεραµένη ποότητα». Συνεπώς µε αυτήν την παραδοχή ουιατικά παρέκαµψε το πρώτο ερώτηµα και απάντηε το δεύτερο κέλος του δεύτερου ερωτήµατος, ότι δηλαδή η θραύη θα εκκινήει απ την αιχµή της ρωγµής. Κατόπιν προχώρηε την διερεύνηη του προβλήµατος της γωνίας µε την οποία θα διαδοθεί η ρωγµή µε βάη το κριτήριο της 11

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ µέγιτης διατµητικής τάης ή της µέγιτης εφελκυτικής τάης. Άρα ο Wieghardt ουιατικά πρότεινε ότι το κριτήριο θραύης θα αφορά την ύγκριη της µέης τάης ε µικρή περιοχή γύρο από την αιχµή µε την θεωρητική αντοχή του τερεού που δίδεται απ τη χέη: = c Eγ c [.1] όπου: E είναι το µέτρο ελατικότητας του Young [ FT ], γ = επιφανειακή 1 ενέργεια [ FL ] και c είναι η παράµετρος του πλέγµατος [ L ]. Σχήµα.1: Το θεωρητικό ατοµικό µοντέλο A.A.Griffith ηµοίευε την θεωρία περί διαδόεως ρωγµών. Η θεωρία αυτή προέβλεπε ότι µια προϋπάρχουα ρωγµή θα διαδοθεί αν εκµηδενιζόταν η υνολική ενέργεια του υτήµατος. Η ανάλυη των τάεων που χρηιµοποιήθηκε από τον Griffith για τον υπολογιµό της αποθηκευµένης ελατικής ενέργειας από το ρηγµατωµένο ώµα βαίθηκε τη δηµοιευµένη το 1913 εργαία του Inglis (1913) που αφορούε το πρόβληµα µικρής ελλειπτικής οπής ε πλάκα που υποβάλλεται ε µονοαξονικό εφελκυµό. Ο Griffith έκανε πρώτος την παραδοχή ότι προϋπάρχουν ρωγµές το υλικό, οι οποίες είναι µεγάλες υγκριτικά µε τις ατοµικές και µοριακές αποτάεις. Η βαική αρχή που διετύπωε τη θεωρία του ο Griffith, ήταν ότι τα τερεά ώµατα κατέχουν επιφανειακή ενέργεια όπως και τα ρευτά και για να διαδοθεί µια ρωγµή (ή για να αυξηθεί η επιφανειακή της ενέργεια) η αντίτοιχη επιφανειακή ενέργεια πρέπει να 1

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ αποδοθεί από την εξωτερικά προδιδόµενη ενέργεια ή από την εκροή της επιφανειακής ενέργειας του τερεού. Χρηιµοποιώντας την λύη του Inglis ο Griffith, υπολόγιε την αύξηη της ενέργειας παραµόρφωης και µε βάη το ιοζύγιο ενέργειας υπολόγιε την τάη θραύης ως εξής: = * E γ πa [.] όπου * E = E το µέτρο Young για υνθήκες επίπεδης τάης και υνθήκες επίπεδης παραµόρφωης και a το µιό του µήκους της ρωγµής [ ] E * = E ( 1 ν ) L. για Σχήµα.:Θεωρητικό ατοµικό µοντέλο ηµιουργία ρωγµής George Irwin Γραµµική Ελατική Θεωρία Θραυτοµηχανικής Μια από τις µεγαλύτερες υνειφορές του Irwin τη Θραυτοµηχανική, είναι ότι κατέδειξε τον καθολικό χαρακτήρα των αυµπτωτικών πεδίων των τάεων και των µετατοπίεων την γειτονιά της αιχµής της ρωγµής ε ένα γραµµικό ελατικό τερεό. Ο Irwin (1957) έδειξε ότι για µικρή ακτινική απόταη r απ την αιχµή της ρωγµής, (Σχήµα.3) οι τάεις δίδονται από τις χέεις: ij = K f π r ij ( θ ) [.3] όπου f ij είναι υναρτήεις της γωνίας θ οι οποίες είχαν βρεθεί προηγουµένως από τους Wieghardt, Westergaard και Sneddon για δεδοµένης γεωµετρίας ρωγµών και υνθήκες φόρτιης. Ο Irwin απεκάλεε τον υντελετή K Συντελετή εντάεως των Τάεων 13

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σχήµα.3: Σύτηµα υντεταγµένων την αιχµή της ρωγµής (Robert, 001) 5. James Rice (1967) and Cherepanov (1966) Μη Γραµµική Θεωρία Θραυτοµηχανικής Ο Rice (1967) ειήγαγε την έννοια του ολοκληρώµατος J που ορίζεται ως J Π = α [.4] όπου: Π είναι η υνολική δυνητική ενέργεια ενός µη γραµµικού (ελατο-πλατικού) ρηγµατωµένου ώµατος και α είναι το ηµι-µήκος της ρωγµής. Το ολοκλήρωµα J εκφράζει την ενέργεια που εκλύεται όταν µία ρωγµή επεκτείνεται κατά µήκος δα..3 Τρόποι Φορτίεως Ρωγµών Τα ταικά πεδία που δρουν τις γειτονικές περιοχές των ρωγµών µπορούν να διακριθούν ε τρεις βαικούς τύπους. Οι τύποι αυτοί είναι ανεξάρτητοι µεταξύ τους και ο καθένας υνδέεται µε ένα τοπικό τύπο παραµόρφωης όπως φαίνεται το χήµα.4: 14

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σχήµα.4: Βαικοί τύποι παραµόρφωης των χειλών της ρωγµής Οι βαικοί τρόποι παραµόρφωης των χειλών των ρωγµών είναι ο Τύπος Ι, ο Τύπος ΙΙ και ο Τύπος ΙΙΙ. Τύπος Ι, λέγεται και «ανοικτός» τύπος, αντιτοιχεί ε καταπόνηη της ρωγµής µε µια εφελκυτική ορθή τάη κάθετη τον άξονά της ( τ = 0 για = 0 ) που βρίκεται το επίπεδό της. Είναι υµµετρικός ως προς τα επίπεδα O και Oz κατά τον οποίο ιχύει η κάτωθι χέη τη επιφάνεια της ρωγµής. u u = 0 [.5] = z 15

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Τύπος ΙΙ, είναι ο τύπος της «ολίθηης» των χειλών της ρωγµής, επιτυγχάνεται όταν η ρωγµή καταπονείται από διατµητική τάη παράλληλη τον άξονά της ( = 0 για = 0) και υνεπίπεδη µε αυτόν. Είναι υµµετρικός ως προς το επίπεδο O και αντι-υµµετρικός ως προς το Oz και τον οποίο ιχύει η κάτωθι χέη την επιφάνεια της ρωγµής. u = u z = 0 [.6] Τύπος ΙΙΙ είναι ο τύπος του «ψαλιδιµού» ή αντι-επίπεδης ολίθηης των χειλών της ρωγµής, αντιτοιχεί ε καταπόνηη της ρωγµής µε µια διατµητική τάη ε επίπεδο κάθετο προς το επίπεδό της. Είναι αντιυµµετρικός ως προς τα επίπεδα O και Oz και τον οποίο ιχύει η κάτωθι χέη το επίπεδο της ρωγµής. u = u = 0 [.7].4 Συντελετής Συγκέντρωης Τάεων K Τα περιότερα δοµικά µέλη έχουν αυνέχειες διαφόρων τύπων, όπως για παράδειγµα, τρύπες, εγκοπές, ρωγµές και άλλα. Εάν αυτές οι αυνέχειες έχουν ακριβώς προδιοριµένη γεωµετρία, είναι εφικτό να οριτεί και ο υντελετής υγκέντρωης τάης K για την υγκεκριµένη γεωµετρία. Κατόπιν, ο µηχανικός µπορεί να υπολογίει την τοπική υγκέντρωη τάης χρηιµοποιώντας τη γνωτή χέη µεταξύ της µέγιτης τάης και της εφαρµοζόµενης. ma = K nom [.8] Στην πραγµατικότητα, ο µηχανικός βαίζεται υνήθως την ολκιµότητα του υλικού για να ανακατανείµει το φορτίο οµαλά γύρω από ηµεία υγκέντρωης τάης. Τα ηµεία υγκέντρωης τάης (τρύπες, αυνέχειες, και τα λοιπά) τα όλκιµα υλικά είναι κατανεµηµένα ε διάφορους κώδικες και πρότυπα. Εντούτοις, εάν η υγκέντρωη της τάης γίνεται πολύ κοντά την αιχµή, η χρήη των µεθόδων της Θραυτοµηχανικής γίνεται απαραίτητη για να αναλυθεί η δοµή. 16

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σχήµα.5: Ελλειπτική ρωγµή ε άπειρη πλάκα Οι επιφάνειες µίας ρωγµής αποτελούν ελεύθερα ύνορα τάεων, επιδρώντας ηµαντικά τις κατανοµές των τάεων την περιοχή που βρίκεται κοντά ε αυτές. Στην περίπτωη εφελκυτικής καταπόνηης ρωγµής, η οποία βρίκεται ε άπειρη πλάκα (Σχήµα.5), η µέγιτη εφελκυτική τάη ma (ύµφωνα µε την ελατική θεωρία του Inglis, 1913), που αναπτύεται τα άκρα του µεγάλου ή µικρού άξονα. της δίνεται από τη χέη : ma = K [.9] όπου είναι η εφελκυτική τάη το άπειρο, ενώ η ταθερά K είναι ο υντελετής υγκέντρωης των τάεων. Ο υντελετής αυτός, εξαρτάται µόνο από τη γεωµετρία της έλλειψης και δίδεται από την ακόλουθη χέη: α K = 1 + ή = ma a K 1 + ρ b [.10] όπου ρ είναι η ακτίνα καµπυλότητας της άκρης της ρωγµής και α, b είναι το µήκος του µεγάλου και του µικρού ηµιάξονα της έλλειψης, αντίτοιχα (Σχήµα.6). 17

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σχήµα.6: Χαρακτηριτικά µιας ελλειπτικής ρωγµής (Barsom and Rolfe, 1999) Από την δεύτερη εκ των εξιώεων [.10] προκύπτει: και λύνοντας ως προς ma για µια έλλειψη ma a = + 1 b [.11] Για πολύ οξείς ρωγµές, a a >> b ma b [.1] Σχήµα.7:Συντελετής υγκέντρωης των τάεων ε υνάρτηη µε το λόγο (Barsom and Rolfe, 1999) a b 18

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Όπως φαίνεται και το χήµα (.7), ο υντελετής K γίνεται αρκετά µεγάλος όο ο λόγος a µεγαλώνει (Σχήµα.8). Η ακτίνα το τέλος του κυρίου άξονα µπορεί να b προεγγιτεί από τη χέη ρ = b. a Για αιχµηρές ρωγµές, a >> ρ, ma a ρ [.13] και ma K = = a b [.14] Σχήµα.8: Εξοµάλυνη ελλειπτικού ανοίγµατος την οριακή περίπτωη της επίπεδης ρωγµής. Στην οριακή περίπτωη της ευθύγραµµης ρωγµής όπου b 0 ή αλλιώς ρ 0, (Σχήµα.8) ο υντελετής K απειρίζεται, K. Κατά υνέπεια, η χρήη των προεγγιτικών χέεων της υγκέντρωης της τάης δεν έχουν νόηµα και δίνονται πλέον από την θεωρία της Θραυτοµηχανικής..5 Θεωρία Θραυτοµηχανικής Η γραµµική-ελατική θεωρία της θραυτοµηχανικής, είναι βαιµένη ε µια αναλυτική µέθοδο. Αυτή η µέθοδος υχετίζει το µέγεθος της ταικής καταπόνηης και το πώς αυτή κατανέµεται την περιοχή γύρο από µια ρωγµή, αν υνάρτηη των τάεων που 19

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ καταπονούν το δοµικό δείγµα, του µεγέθους της µορφής και του προανατολιµού της ρωγµής..5.1 Συντελετής Ένταης των Τάεων K Η θεµελιώδης αρχή της θραυτοµηχανικής είναι ότι το πεδίο των τάεων πολύ κοντά ε µια ρωγµή µπορεί να χαρακτηριτεί από µια µόνο παράµετρο, που είναι ο υντελετής ένταης των τάεων K. Ο υντελετής K υχετίζεται µε το ονοµατικό πεδίο των τάεων ( ) και µε το µέγεθος της ρωγµής ( ) α, και έχει µονάδες in ( MPa m ) psi. Ο υντελετής ένταης των τάεων έχει νόηµα και εκφράζεται ε οριακές περίπτωη όπου υπάρχει εφαρµοζόµενη τάη ε ηµεία για τα οποία ιχύει r 0 και θ = 0. Σχήµα.9: Ευθύγραµµη ρωγµή ε άπειρο µέο Για την περίπτωη ρωγµής που βρίκεται ε άπειρο µέο, όπου a <<< b, υπό επιβαλλόµενη κατακόρυφη φόρτιη όπως φαίνεται το χήµα.9, ο υντελετής ένταης των τάεων για τους τρεις τύπους φόρτιης δίδεται από τις χέεις: Τύπος φόρτιης Ι: K I = πα [.15] Τύπος φόρτιης ΙΙ: K = II τ inplane πα [.16] 0

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Τύπος φόρτιης ΙΙΙ: K = III τ outofplane πα [.17] όπου τ inplane είναι οι διατµητικές τάεις εντός του επιπέδου φόρτιης και τ outofplane οι διατµητικές τάεις το αντι-επίπεδο..5. Κατανοµή Τάεων και Μετατοπίεων Σχήµα.10:Μέτρηη υντεταγµένων από το άκρο της ρωγµής και οι υνιτώες των τάεων, του ταικού πεδίου της ρωγµής Οι υνιτώες των τάεων, το ηµείο µε υντεταγµένες ( r, θ ) προς την αιχµή της ρωγµής είναι πολύ µικρή, δίδονται από τις χέεις:, όπου η απόταη r ώς lim = r o ij K ( I ) I ( I ) f ( θ ) πr ij lim = r o ij K ( II ) II ( II ) f ( θ ) πr ij [.18] lim = r o ij K ( III ) III ( III ) f ( θ ) πr ij όπου: 1

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Οι υµβολιµοί I, II, III δηλώνουν τους τρεις τύπους φόρτιης που µπορούν να εφαρµοτούν τη ρωγµή ij : είναι οι υνεπίπεδες µε τη ρωγµή υνιτώες των τάεων,, κοντά το άκρο της ρωγµής., K I K II, K III, : είναι οι υντελετές εντάεως των τάεων για του τύπους φόρτιης ( θ ) f :είναι τριγωνοµετρικές υναρτήεις. ij Το εντατικό-παραµορφωιακό πεδίο που αναπτύεται κοντά την αιχµή της ρωγµής περιγράφεται ξεχωριτά για τους τρεις τύπους φόρτιης. Στο χήµα.11 απεικονίζεται το εντατικό πεδίο του πρώτου τύπου φόρτιη (Mode Ι) και ακολούθως παρατίθενται οι εντατικοπαραµορφοιακές εξιώεις που το περιγράφουν. Κατά αντιτοιχία, το χήµα.1 περιγράφεται το εντατικό πεδίου για τον τύπο της ολίθηης των χειλών της ρωγµής (Mode ΙΙ) ενώ το χήµα.13 φαίνεται η διάταξη των διατµητικών τάεων το αντι-επίπεδο για την περίπτωη του τρίτου τύπου φόρτιης (Mode III): Σχήµα.11: Εντατικό πεδίο φόρτιης τύπου Ι (Martel, 003) = K I π r θ θ 3θ cos 1 sin sin K I θ θ 3θ = cos 1 + sin sin [.19] π r

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 3 = 3 cos cos sin θ θ θ π τ r K I ( ) 0 = = + = z z z τ τ ν + = sin 1 cos θ ν θ π r G K u I = cos sin θ ν θ π r G K u I = 0 z u r I r K π 0 lim = + = 3 cos cos sin θ θ θ π r K II = 3 cos cos sin θ θ θ π r K II [ ].0 [ ]. [ ].1 Σχήµα.1: Εντατικό πεδίο φόρτιης τύπου ΙΙ (Martel, 003)

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 4 = 3 sin sin 1 cos θ θ θ π τ r K II ( ) 0 = = + = z z z τ τ ν + = cos sin θ ν θ π r G K u II + + = sin 1 cos θ ν θ π r G K u II = 0 z u r II r K τ π 0 lim = = sin θ π τ r K III = cos θ π τ r K III z = 0 = = = z τ [ ].3 [ ].5 [ ].4 Σχήµα.13: Εντατικό πεδίο φόρτιης τύπου ΙΙΙ (Martel, 003)

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ u z = K G u III = u r θ sin π = 0 [.6] K III = π r limτ r 0 z [.7] όπου ν είναι ο λόγος του Poisson και µέτρο ακαµψίας του υλικού. E G = είναι το µέτρο διάτµηης ή αλλιώς 1+ν ( ).5.3 Κριτήριο Ατοχίας Στην θεωρία της θραυτοµηχανική µπορεί να διατυπωθεί το εξής απλό κριτήριο ατοχίας: «Όταν ο υντελετήςένταης των τάεων K πάρει µια κρίιµη τιµή διαδοθεί παράγοντας µία ψαθυρή θραυιγενή επιφάνεια», K I = K IC K IC, η ρωγµή θα [.8] όπου K IC είναι η αντίταη την διάδοη της ρωγµής (Εξαδάκτυλος, 1993). Η κρίιµη τιµή του υντελετή υγκέντρωης τάης που οδηγεί την ατοχία, K c είναι µια ιδιότητα του υλικού και µετριέται ε FM 3. Από δοκιµές, η κρίιµη τιµή του K I, την ατοχία, K c, µπορεί να καθοριτεί για ένα δεδοµένο υλικό ε ένα χαρακτηριτικό πάχος, ε µια υγκεκριµένη θερµοκραία και ε ένα υγκεκριµένο ρυθµό φόρτίης. Χρηιµοποιώντας αυτές τις κρίιµες ιδιότητες του υλικού, ο χεδιατής µπορεί να καθορίει θεωρητικά το µέγεθος της ρωγµής που µπορεί να ανεχτεί ένα κατακευατικό µέλος για ένα δεδοµένο χεδιατικά επίπεδο τάης, µια 5

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ δεδοµένη θερµοκραία, και έναν υγκεκριµένο ρυθµό φόρτιης. Αντιτρόφως, ο µηχανικός µπορεί να καθορίει το χεδιατικό επίπεδο της τάης που µπορεί να εφαρµοτεί µε αφάλεια για κάποιο υγκεκριµένο µέγεθος ρωγµών, που µπορεί ήδη να έχουν εµφανιτεί, ε µια υπάρχουα δοµή. Σχήµα.14 : Σχηµατική χέη µεταξύ της τάης, του µεγέθους της ρωγµής και της αντοχής του υλικού (Barsom and Rolfe, 1999) Η κρίιµη τιµή για τον υντελετή υγκέντρωης τάης για δοµικά υλικά, είναι άµεα εξαρτώµενος από τις υνθήκες λειτουργίας. Κατά υνέπεια, η κρίιµη τιµή πρέπει να ληφθεί µε τη δοκιµή των πραγµατικών υλικών κατακευής την ατοχία για τις διάφορες θερµοκραίες και τους ρυθµούς φόρτιης. 6

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ο Μέθοδος των Αυνεχών Μετατοπίεων 7

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ 3.1 Ειαγωγή Τα περιότερα προβλήµατα τη µηχανική των τερεών αφορούν επιφάνειες που βρίκονται ε επαφή, όπως είναι το πρόβληµα της χιµής ή οι ρωγµές. Μια ρωγµή έχει δύο επιφάνειες ή όρια, που το ένα υµπίπτει µε το άλλο. Πολλές από τις αριθµητικές µεθόδους υνοριακών τιµών, παρουιάζουν προβλήµατα ε τέτοιου είδους περιπτώεις, επειδή η επίδραη των τοιχείων που βρίκονται κατά µήκος της µιας επιφάνειας της ρωγµής είναι όµοια µε την επίδραη των τοιχείων που βρίκονται την άλλη επιφάνειας. Για να λυθούν τα προβλήµατα αυτού του τύπου, αναπτύχθηκε µια µέθοδος υνοριακών τοιχείων, η µέθοδος, των αυνεχών µετατοπίεων. Η µέθοδος αυτή είναι βαιµένη την αναλυτική λύη του προβλήµατος της πεπεραµένης ευθύγραµµης ρωγµής εντός, ενός απείρου ελατικού µέου, το επίπεδο, κατά µήκος της οποίας δίνεται ταθερή αυνεχή µετατόπιη ( constant displacement discontinuit ). Στη µέθοδο αυνεχών µετατοπίεων η ρωγµή υποδιαιρείται ε ένα ύνολο Ν τοιχείων (υνοριακά τοιχεία) µε ταθερές αυνεχείς µετατοπίεις ε καθένα από αυτά. Γνωρίζοντας την αναλυτική λύη µεµονωµένα για κάθε τοιχείο και αθροίζοντας τις επιδράεις όλων των Ν τοιχείων ε καθένα από αυτά, υπολογίζεται η αριθµητική λύη του προβλήµατος. Η ανάπτυξη της µεθόδου αυτής παρουιάζεται λεπτοµερώς τα ακόλουθα κεφάλαια. Καταδεικνύεται ότι η µέθοδος αυνεχών µετατοπίεων είναι πραγµατικά µια ευπροάρµοτη και αρκετά απλουτευµένη µέθοδος για εφαρµογές της βραχοµηχανικής. Μπορεί να εφαρµοτεί και ε άλλα προβλήµατα της γραµµικής ελατικότητας όπως ανοίγµατα, και δίνει αποτελέµατα ακρίβειας υγκρίιµα µε αυτά που λαµβάνονται από άλλες µέθοδο υνοριακών υνθηκών. 3. Μέθοδος Αυνεχών Μετατοπίεων ε Άπειρο Ελατικό Μέο Το πρόβληµα, της ταθερής αυνεχούς µετατόπιης κατά µήκος ενός πεπεραµένου ευθύγραµµου τµήµατος το επίπεδο, εντός ενός άπειρου ελατικού µέου, καθορίζεται από τη υνθήκη ότι οι µετατοπίεις είναι υνεχείς παντού εκτός από το ευθύγραµµο τµήµα. Το ευθύγραµµο τοιχείο µπορεί να καταλαµβάνει υγκεκριµένη 8

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ θέη τον άξονα, που ορίζεται από τη υνθήκη < a, = 0 + [ 3.1] Εάν το τοιχείο θεωρηθεί αν µία ευθύγραµµη ρωγµή τότε µπορούν να διακριθούν δύο επιφάνειες, θεωρώντας ότι η µία βρίκεται τη θετική πλευρά του άξονα και υµβολίζεται ως = 0+, ενώ η άλλη βρίκεται την αρνητική πλευρά του άξονα και υµβολίζεται ως = 0.(χήµα 3.1) Οι χετικές µετατοπίεις µεταξύ δυο ηµείων που βρίκονται τις δυο παράπλευρες επιφάνειες του γραµµικού τµήµατος, προδιορίζονται από την καθοριµένη µεταβολή i ( D D ) D =,. [ 3.] Σχήµα: 3.1 Θετική και αρνητική πλευρά της ευθύγραµµης ρωγµής Η αυνεχής µετατόπιης D i καθορίζεται αν η διαφορά της µετατόπιης µεταξύ των δυο πλευρών του τοιχείου όπως φαίνεται ακολούθως : D i = u,0 ) u (,0 i ( 1 i 1 + ) [ 3.3] ή D D = u (,0 ) u (,0+ ) = u (,0 ) u (,0 + ) [ 3.4] Επειδή οι µεταβλητές u και u είναι θετικές κατά µήκος των θετικών διευθύνεων των 9

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ υντεταγµένων και υνεπάγεται ότι οι θετικές διευθύνεις των D και D είναι αυτές που φαίνονται το ακόλουθο χήµα ( 3.). Πρέπει να ηµειωθεί ότι µια θετική τιµή του D υποδηλώνει ότι οι δύο πλευρές της ρωγµής επικαλύπτονται. Είναι µαθηµατικά αποδεκτή η διείδυη των δύο επιφανειών της ρωγµής (η µία µέα την άλλη), παρόλο που κάτι τέτοιο είναι εκ φύεως αδύνατο να γίνει την πραγµατικότητα. Ωτόο αυτή η δυκολία θα µπορούε να ξεπερατεί, θεωρώντας ότι η ρωγµή έχει ένα πεπεραµένο πάχος, µικρό ε χέη µε το µήκος της, και ότι το µέγεθος της υνιτώας της αυνεχούς µετατόπιης D είναι πάντα µικρότερο από αυτό. Σχήµα 3.: Σταθερές υνιτώες αυνεχών µετατοπίεων D και D Η λύη των µετατοπίεων και των τάεων όπως έχει βρεθεί από τον Crouch S.L. and Starfield A.M. (1990) δίδεται από τις ακόλουθες χέεις: [ ( 1 ν ) f f ] + D ( 1 ) [ f f ] u = D,, ν,, [( ν ) f f ] + D ( ) [ f f ] u = D 1,, 1 ν,, [ 3.5] και [ + f + f, ] + GD [ f f ] = + GD,,, [ f ] + GD [ f f ] = GD,,, [ f + f ] + GD [ f ] = GD,,, [ 3.6] 30

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Η υνάρτηη Green ( ) χέη[ 3.7] f, ε αυτές τις εξιώεις δίδεται από την ακόλουθη f 4π(1 ν) 1 (,) = arctan arctan ( a) ln ( a) + + (+ a)ln ( + a) + a + a Οι µερικές παράγωγοί της, πρώτης και δεύτερης τάξης είναι: F (, ) = f 1 = 4π ( 1 ν) ( a) + ln ( + a) ln +, 1 F3 (, ) = f, = arctan 4π ( ) arctan 1 ν a + a F4 (, ) = f, = 1 4π ( 1 ν ) ( a) + ( + a) + [ 3.8] F5 (, ) = f, = f, = 1 4π a ( 1 ν ) ( a) + ( + a) + a + Οι εξιώεις [ 3.8] δείχνουν ότι και οι παράγωγοι τρίτου βαθµού της υνάρτηης ( ) f, είναι απαραίτητοι για τον υπολογιµό των τάεων το υγκεκριµένο πρόβληµα, για αυτό δίδονται ακολούθως: F6 F7 (, ) (, ) ( a) ( a) ( + a) ( + a) 1 ( ) { } { } = f, = 4π 1 ν + + a + a ( ) {( ) } {( ) } = f, = 4π 1 ν a + + a + [ 3.9] Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι οι µετατοπίεις που δίδονται από τις χέεις [ 3.5] είναι υνεχείς ε οποιοδήποτε ηµείο του άπειρου µέου, εκτός από την περίπτωη που το ευθύγραµµο τµήµα < a, = 0, διαχίζεται εγκάρια, εξ αιτίας της αυνέχειας η 31

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ οποία προκύπτει από τον οριµό της [ 3.4]. Οι µετατοπίεις κατά µήκος της ευθείας = 0 δίδονται από τους παρακάτω τύπους: u u 1 lim = D 0± π ν + (1 ν ) arctan arctan D a + a 4π (1 ) ( 1 ν ) a 1 lim = + Dχ ln D 0± 4π (1 ν ) + a π a ln a arctan arctan a + a [ 3.10] Οι περιοριτικές τιµές των αντι-εφαπτοµενικών όρων καθορίζονται µέα από τη χέη: 0 lim arctan arctan = + π 0 a + a π > a, < a, < a, = 0 = 0 = 0 ± + [ 3.11] Χρηιµοποιώντας αυτά τα αποτελέµατα µελετούνται τρεις χωριτές περιπτώεις υπολογιµού των υνιτωών µετατοπίεων κατά µήκος του άξονα : 1. > a, = 0± (1 ν ) a u (,0) = D ln 4π (1 ν ) + a (1 ν ) a u (,0) = + D ln 4π (1 ν ) + a [ 3.1]. < a, = 0+ 1 (1 ν ) a u (,0+ ) = D D ln 4π (1 ν ) + a (1 ν ) a 1 u (,0+ ) = + D ln D 4π (1 ν ) + a [ 3.13] 3

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ 3. < a, = 0 1 u (,0 ) = + D (1 ν ) D 4π (1 ν ) a ln + a (1 ν ) a 1 u (,0 ) = + D ln + D 4π (1 ν ) + a [ 3.14] Οι µετατοπίεις u και u παρά το γεγονός ότι είναι υνεχείς για = 0, παρουιάζουν ταθερές αυνεχείς µετατοπίεις D και > a επί της ευθείας D για < a, = 0. Οι τάεις κατά µήκος της γραµµής = 0 οµοίως µπορούν να υπολογιτούν από την εξίωη [ 3.6] (,0) G π (1 ν ) 1 a 1 + a ag π (1 ν ) = D ( ) = D ag (,0) D π (1 ν ) ag (,0) D π (1 ν ) 1 a 1 a a a 1 a a [ 3.15] Οι ορθές τάεις και επί της = 0 εξαρτώνται µόνο από την ορθή υνιτώα της αυνεχούς µετατόπιης D,ενώ οι διατµητικές τάεις = εξαρτώνται µόνο από την εγκάρια υνιτώα άπειρες και αυνεχείς για άλλο ηµείο κατά µήκος της = 0. D. Από αυτές τις εξιώεις υµπεραίνουµε ότι οι τάεις είναι = ± α, αλλά πεπεραµένες και υνεχείς ε οποιοδήποτε Οι κατευθύνεις των υνιτωών του διανύµατος τάης τις δύο επιφάνειες της ρωγµής απεικονίζονται το χήµα 3.3, θεωρώντας ότι D > 0 και D > 0. 33

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Σχήµα 3.3: Τάεις που εφαρµόζονται την επιφάνεια της ρωγµής Όπως φαίνεται το χήµα ιχύουν οι χέεις: t (,0 + ) = (,0 + ) t (,0 + t (,0 ) = ) = (,0 (,0 + ) ) [ 3.16] t (,0 ) = Συνδυάζοντας τις εξιώεις αυτές και τις [.15] (,0 ) 3 προκύπτει ότι t,0 ) = t (,0 ), έτι i ( + i η υνιτώα των τάεων ti,0) = ti (,0 ) ti (,0 ) που εφαρµόζονται τη ρωγµή είναι ίη µε το µηδέν. ( + + Στην υγκεκριµένη περίπτωη οι µετατοπίεις είναι αυνεχείς δια µέου της ρωγµής ενώ οι τάεις είναι υνεχείς (Crouch S.L. and Starfield A.M. (1990)) 3.3 Το Πρόβληµα της Ρωγµής Υπό Σταθερή Εωτερική Πίεη Τα αποτελέµατα του προηγούµενου κεφαλαίου µπορούν να χρηιµοποιηθούν για την ανάπτυξη µιας αριθµητικής διαδικαίας για την επίλυη υνοριακών προβληµάτων τιµών τα πλαίια της θεωρίας της επίπεδης ελατικότητας. Η διαδικαία αυτή, δηλαδή η µέθοδος των αυνεχών µετατοπίεων, θα περιγραφεί για γενικότερα προβλήµατα το παρακάτω κεφάλαιο. Είναι πολύ ηµαντικό, το τάδιο αυτό, να διευκρινιτούν τα βαικά χαρακτηριτικά της µεθόδου µε τη µελέτη ενός απλού παραδείγµατος, δηλαδή 34

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ του προβλήµατος µίας ευθύγραµµης ρωγµής υπό ταθερή εωτερική πίεη, η οποία βρίκεται µέα ε ένα άπειρο µέο. Το πρόβληµα αυτό προδιορίζεται από τις παρακάτω υνθήκες : = 0 < <, = 0 = p < b, = 0 [ 3.17] u = 0 b, = 0 Θα πρέπει, επίης να αναφερθεί ότι οι µετατοπίεις και οι τάεις το άπειρο πρέπει να είναι ίες µε το µηδέν. Η αναλυτική λύη για τη χετική κατανοµή των ορθών µετατοπίεων κατά µήκος της ρωγµής (δηλαδή το µέγεθος του ανοίγµατος) είναι: (1 ν ) G ^ 1/ u ( ) = u (,0 ) u (,0+ ) = pb(1 / b ) [ 3.18] Για την αριθµητική επίλυη του παραπάνω προβλήµατος η ρωγµή διαιρείται ε Ν ευθύγραµµα τµήµατα ή υνοριακά τοιχεία όπου το καθένα αντιπροωπεύει µια αυνεχή µετατόπιη. Η υνιτώα της µετατόπιης τον άξονα είναι αυνεχής δια µέου του κάθε τοιχείου ενώ λόγω της υµµετρίας η υνιτώα της µετατόπιης είναι υνεχής. Θεωρείται ότι το ευθύγραµµο τµήµα είναι αρκετά µικρό έτι ώτε η αυνεχής µετατόπιη κάθε τοιχείου, την κατεύθυνη του άξονα, να είναι ταθερή. Η αριθµητική λύη του προβλήµατος [ 3.17] αντιπροωπεύεται από Ν διακριτές αυνεχείς µετατοπίεις i D από i = 1: N. Οι τιµές των Ν µετατοπίεων προδιορίζονται από την επίλυη ενός γραµµικού υτήµατος Ν εξιώεων µε Ν αγνώτους. Οι εξιώεις αυτές προέρχονται από τις εξιώεις [ 3.15] όπως δείχνεται ακολούθως. Η ορθή τάη ε ένα ηµείο, = 0που προκαλείται από µία ταθερή αυνεχή µετατόπιη [ 3.15], είναι ίη µε : D το διάτηµα a, = 0, = 0, λαµβάνοντας υπόψη την χέη ag (,0) = D π (1 ν ) 1 a [ 3.19] 35

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Εάν η µετατόπιη πραγµατοποιείται πάνω ε ευθύγραµµο τµήµα µήκους j a όπου το µέο του έχει υντεταγµένες =, = 0 j, τότε η [ 3.19] µπορεί να γραφτεί ως εξής: j ag (,0) = D π (1 ν ) j j 1 ( ) a j [ 3.0] όπου j j j D είναι η αυνεχής µετατόπιη το διάτηµα a = 0. Η τάη το µέο του κάθε i τοιχείου η οποία οφείλεται ε µια αυνεχή µετατόπιη του j τοιχείου, υπολογίζεται θέτοντας όπου ίο µε j : i j a G (,0) = D π (1 ν ) j i j 1 ( ) a j [ 3.1] Στη υνέχεια υπολογίζεται η τάη το µέο του κάθε i τοιχείου, η οποία οφείλεται τις αυνεχείς µετατοπίεις και των Ν. Η χέη η οποία δίνει τη υνολική τάη είναι η εξής: i i N ij,0) = = A ( j= 1 j D [ 3.] όπου ij A είναι ο υντελετής επίδραης: ij G a A = i j π (1 ν ) ( ) j a j [ 3.3] Θεωρείται ότι η τάη i είναι αντιπροωπευτική της ορθής τάης το διάτηµα i i a, = 0. Μια αριθµητική λύη του προβλήµατος της ρωγµής υπό ταθερή εωτερική πίεη προδιορίζεται από το ακόλουθο γραµµικό ύτηµα Ν εξιώεων µε Ν αγνώτους : 36

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ i N = p = A D j= 1 ij j i = 1: N [ 3.4] Αυτές οι εξιώεις µπορούν να επιλυθούν για j D i = 1: N, µε υνηθιµένες µεθόδους αριθµητικής ανάλυης. Σηµειώνεται ότι η µοναδική λύη η οποία προκύπτει από την επίλυη των εξιώεων αυτών, ικανοποιεί αυτόµατα την απαιτουµένη υνθήκη, ότι οι µετατοπίεις και οι τάεις το άπειρο είναι ίες µε το µηδέν. (Σχέη 3.17) 3.4 Γενίκευη της Αριθµητικής Μεθόδου Μια γενίκευη της αριθµητικής µεθόδου που περιγράφεται ανωτέρω (το πρόβληµα της πεπιεµένης ρωγµής) για ένα πρόβληµα καµπυλόγραµµης ρωγµής, η οποία δέχεται ταθερή εωτερική πίεη, απεικονίζεται το χήµα ( 3.4). Στην περίπτωη αυτή θεωρείται ότι η ρωγµή µπορεί να προεγγιτεί µε αρκετή ακρίβεια από Ν αλληλουνδεόµενα ευθύγραµµα τµήµατα. Η θέη και ο προανατολιµός των τµηµάτων αυτών προδιορίζεται µε την αναφορά τους το καθολικό ύτηµα υντεταγµένων O όπως φαίνεται και το χήµα ( 3.4). Εάν οι επιφάνειες της ρωγµής δέχονται ταική φόρτιη, για παράδειγµα µία οµοιόµορφη πίεη ρευτού P, τότε θα µετατοπιτούν η µία ε χέη µε την άλλη. Η µέθοδος των αυνεχών µετατοπίεων χρηιµοποιείται για την εύρεη µίας διακριτής προέγγιης της οµαλής κατανοµής της πραγµατικής χετικής µετατόπιης των άκρων της ρωγµής. Στην περίπτωη που µελετάται, θεωρείται ότι η µετακίνηη των επιφανειών της ρωγµής δε περιορίζεται ε καµία κατεύθυνη. Οι αυνεχείς µετατοπίεις των τοιχείων προδιορίζονται λαµβάνοντας υπόψη τις τοπικές υντεταγµένες s και n κάθε τοιχείου όπως υποδεικνύεται το χήµα ( 3.4), το οποίο απεικονίζει µία τοιχειώδεις αυνεχή µετατόπιη ενός j τµήµατος της ρωγµής. Οι υνιτώες της αυνέχειας τις κατευθύνεις s και n το τµήµα αυτό αναφέρονται µε τα ύµβολα οι οποίοι δίνουν τις ποότητες αυτές είναι οι εξής : j D s και j D n. Οι τύποι 37

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ j D j D s n j j + = u s u s j j + = u n u n [ 3.5] Στην παραπάνω υπόδειξη τα φυικά µεγέθη (µετατοπίεις) j u s και j u n, αναφέρονται τις διατµητικές, s και τις ορθές, n µετατοπίεις αντίτοιχα του j τµήµατος της ρωγµής. Τα πρόηµα "+" και "-" υµβολίζουν τη θετική και την αρνητική επιφάνεια της ρωγµής ύµφωνα µε τις τοπικές υντεταγµένες n και s. Οι τοπικές µετατοπίεις αποτελούν τις δύο υνιτώες ενός διανύµατος. j u s και j u n Σχήµα 3.4: Απεικόνιη µιας ρωγµής από Ν τοιχειακές αυνεχείς µετατοπίεις Είναι θετικές τις θετικές κατευθύνεις των s και n, ανεξάρτητα από το εάν εξετάζουµε τη θετική ή την αρνητική επιφάνεια της ρωγµής. Συνεπώς από τις χέεις [ 3.5], προκύπτει ότι η ορθή υνιτώα της µετατόπιης j D n είναι θετική εάν οι δύο επιφάνειες της ρωγµής µετατοπίζονται η µια προς την άλλη. Οµοίως, και η διατµητική υνιτώα j D s είναι θετική εάν η θετική επιφάνεια της ρωγµής κινείται προς τα αριτερά ε χέη µε την αρνητική επιφάνεια. 38

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Οι επιδράεις µίας τοιχειώδους υνεχής µετατόπιης, τις µετατοπίεις και τις τάεις ε ένα τυχαίο ηµείο εντός άπειρου µέου, µπορούν να υπολογιτούν από τα αποτελέµατα της ενότητας 3., µε κατάλληλο µεταχηµατιµό των εξιώεων ανάλογα µε τη θέη και τον προανατολιµό του ευθύγραµµου τµήµατος που µελετάται. Συγκεκριµένα οι διατµητικές και οι ορθές τάεις οι οποίες ενεργούν το µέο του i τοιχείου (χήµα 3.4 b) και οφείλονται τις υνιτώες των αυνεχών µετατοπίεων το j τοιχείο, µπορούν να βρεθούν από τις χέεις : i i s n ij = A ss ij = A ns j D + A j s ij D + A s ij sn nn j D n j D n i = 1: N [ 3.6] όπου ij ss A κτλ. είναι οι υνοριακοί υντελετές επίδραης των τάεων. Ο υντελετής ij ns A, παραδείγµατος χάριν, δίνει την ορθή τάη το µέο του i τοιχείου (δηλ. ) που i n οφείλεται ε µια υνεχή µοναδιαία διατµητική αυνεχή µετατόπιης του j τοιχείου (δηλ. D = 1). j s Επιτρέφοντας το πρόβληµα της ρωγµής το οποίο απεικονίζεται το χήµα 3.4a, εφαρµόζεται µια τοιχειακή αυνεχή µετατόπιη ε κάθε ένα από τα Ν τοιχείατµήµατα κατά µήκος της ρωγµής και χρηιµοποιώντας τις χέεις [ 3.6] λαµβάνονται οι ακόλουθοι τύποι: i i s n = = N j= 1 N j= 1 ij A ij A ss ns j D j D s s + + N j= 1 N j= 1 ij A ij A sn nn j D j D n n i = 1: N [ 3.7] i s Εάν προδιοριτούν οι τιµές των τάεων και για κάθε ένα τοιχείο της ρωγµής, κατόπιν οι εξιώεις [ 3.7] αποτελούν ένα γραµµικό ύτηµα N εξιώεων µε Ν i n 39

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ αγνώτους, που είναι οι υνιτώες των τοιχειωδών αυνεχών µετατοπίεων j s D, j D n για j = 1: N. Έχοντας επιλυθεί το παραπάνω ύτηµα εξιώεων για τις j D και τις s j D, µπορεί τη υνέχεια υπολογιτούν οι µετατοπίεις και οι τάεις το απαιτούµενο ηµείο του µέου του τοιχείου, χρηιµοποιώντας την αρχή της υπέρθεης. Στη υγκεκριµένη περίπτωη οι µετατοπίεις κατά µήκος της ρωγµής δίνονται από τις εκφράεις της µορφής: n i u i u s n = = N j = 1 N j = 1 ij B ij B ss ns j D j D s s + + N j = 1 N j = 1 ij B B sn ij nn j D n j D n i = 1 : N [ 3.8] όπου ij ss B κτλ. είναι οι υνοριακοί υντελετές επίδραης για τις µετατοπίεις. Οι µετατοπίεις είναι αυνεχείς καθώς διαχίζονται οι επιφάνειες του i τοιχείου. Για αυτό, θα πρέπει να διαχωριτούν µεταξύ τους οι δύο αυτές επιφάνειες κατά τον υπολογιµό των υντελετών επίδραης µε τη βοήθεια των παραπάνω τύπων. Ακολούθως δείχνεται ότι οι διαγώνιοι όροι του πίνακα, ο οποίος δίνει τους υντελετές επίδραης έχουν τις εξής τιµές: B B ii ii sn ss ii = B ii = B ns nn = 0 1 n 0 = 1 + n 0 + [ 3.9] Οι υπόλοιποι υντελετές, δηλ. αυτοί τους οποίους i j, είναι υνεχείς µε αποτέλεµα οι µετατοπίεις u j s j u n µέα τη χέη [.8] 3 να επιδεικνύουν υνεχείς αυνεχείς µετατοπίεις D s και D n όπως φυικά απαιτείται. 40

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Ο υπολογιµός των υντελετών επίδραης το ύτηµα υντεταγµένων O, γίνεται µε τις εξιώεις µεταχηµατιµού υντεταγµένων που δίδονται το παράρτηµα Α. 3.5 Αντι-επίπεδη Φόρτιη (Τύπος ΙΙΙ) Η προηγούµενη ανάλυη αφορούε τους τύπους φόρτιης Ι και ΙΙ, όπου η ρωγµή καταπονείται ε εφελκυτική ορθή τάη κάθετη τον άξονά της για τον πρώτο τύπο και ε διατµητική τάη παράλληλη τον άξονά της για τον δεύτερο τύπο φόρτιης. Με αντίτοιχη διαδικαία που περιγράφεται ακολούθως αναπτύεται η µέθοδος για την περίπτωη φόρτιη του τρίτου τύπου, που αντιτοιχεί ε καταπόνηη µε διατµητική τάη κάθετη το επίπεδο της ρωγµής. Η αυνεχής µετατόπιης D i,την περίπτωη αυτή, καθορίζεται αν η διαφορά της µετατόπιης µεταξύ των δυο πλευρών του τοιχείου όπως φαίνεται ακολούθως : D z = u z (,0 ) u z (,0+ ) [ 3.30] Οι λύεις των τάεων και των µετατοπίεων του προβλήµατος µπορούν να γραφτούν όπως : 1 π u z = F1 anti D z [ 3.31] G z = z = F π z = z και G = F π anti 3anti D z D z [ 3.3] όπου: F1 anti = arctan F anti = + [ 3.33] 41

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ F 3 = anti + Σε αντιτοιχία µε την ανάλυη που έγινε τις προηγούµενες ενότητες 3., 3.3, θα διευκρινιτούν τη υνέχεια τα βαικά χαρακτηριτικά γνωρίµατα της µεθόδου των αυνεχών µετατοπίεων για την περίπτωη φόρτιης τύπου ΙΙΙ, µε τη µελέτη ενός απλού παραδείγµατος, δηλαδή του προβλήµατος της ευθύγραµµης ρωγµής που βρίκεται ε άπειρο µέο και υποβάλλεται ε ταθερή εωτερική πίεη. Σχήµα 3.5: Απεικόνιη του τύπου φόρτιης ΙΙΙ Το πρόβληµα αυτό προδιορίζεται από τις παρακάτω υνθήκες: z = p < b, = 0 = 0 < b, = 0 [ 3.34] u z = 0 b, = 0 Σηµειώνεται ότι οι µετατοπίεις και οι τάεις το άπειρο είναι ίες µε το µηδέν. Η αναλυτική λύη για τη χετική κατανοµή των ορθών µετατοπίεων κατά µήκος της ρωγµής (δηλαδή το µέγεθος του ανοίγµατος) είναι: G ^ 1/ u z ( ) = u z (,0 ) u z (,0 + ) = pb(1 / b ) [ 3.35] Για την αριθµητική επίλυη του παραπάνω προβλήµατος η ρωγµή διαιρείται ε Ν ευθύγραµµα τµήµατα ή υνοριακά τοιχεία όπου το καθένα αντιπροωπεύει µια 4

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ αυνεχή µετατόπιη. Η αριθµητική λύη του προβλήµατος [ 3.35] αντιπροωπεύεται από Ν διακριτές αυνεχείς µετατοπίεις i D z από i = 1: N. Οι τιµές των Ν µετατοπίεων προδιορίζονται από την επίλυη ενός γραµµικού υτήµατος Ν εξιώεων µε Ν αγνώτους Η τάη ε ένα ηµείο, = 0 προκαλείται από µία ταθερή αυνεχή µετατόπιη z D z το διάτηµα a, = 0, = 0 είναι: z = z = G π + D z [ 3.36] Εάν η µετατόπιη πραγµατοποιείται πάνω ε ευθύγραµµο τµήµα µήκους µέο του έχει υντεταγµένες =, = 0 j j a όπου το, τότε η [ 3.53] µπορεί να γραφτεί ως εξής: z j G = j π + (,0) D z j j [ 3.37] όπου j j j D z είναι η αυνεχής µετατόπιη το διάτηµα a = 0. Η τάη το µέο του κάθε i τοιχείου η οποία οφείλεται ε µια αυνεχή µετατόπιη του j τοιχείου, υπολογίζεται θέτοντας όπου ίο µε j : i z,0 = j G π i j i j + j z D [ 3.38] Στη υνέχεια υπολογίζεται η τάη το µέο του κάθε i τοιχείου, η οποία οφείλεται τις αυνεχείς µετατοπίεις και των Ν. Η χέη η οποία δίνει τη υνολική τάη είναι η εξής: z i i N ij,0) = z = A ( j= 1 j D z [ 3.39] 43

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ όπου ij A ο υντελετής επίδραης : j ij G A = π i j + i j [ 3.40] Μια αριθµητική λύη του προβλήµατος της ρωγµής υπό ταθερή εωτερική πίεη προδιορίζεται από το ακόλουθο γραµµικό ύτηµα Ν εξιώεων µε Ν αγνώτους : i z N = p = A D j= 1 ij j z i = 1: N [ 3.41] Αυτές οι εξιώεις µπορούν να επιλυθούν για j D z i = 1: N, µε υνηθιµένες µεθόδους αριθµητικής ανάλυης. Σηµειώνεται ότι η µοναδική λύη η οποία προκύπτει από την επίλυη των εξιώεων αυτών, ικανοποιεί αυτόµατα την απαιτουµένη υνθήκη, ότι οι µετατοπίεις και οι τάεις το άπειρο είναι ίες µε το µηδέν. Μια γενίκευη της αριθµητικής µεθόδου που περιγράφεται ανωτέρω (το πρόβληµα της πεπιεµένης ρωγµής) για ένα πρόβληµα καµπυλόγραµµης ρωγµής, η οποία δέχεται ταθερή εωτερική πίεη, απεικονίζεται το χήµα ( 3.6). Στην περίπτωη αυτή θεωρείται ότι η ρωγµή µπορεί να προεγγιτεί µε αρκετή ακρίβεια από Ν ευθύγραµµα τµήµατα τα οποία υνδέονται µεταξύ τους. Η θέη και ο προανατολιµός των τµηµάτων αυτών προδιορίζεται µε την αναφορά τους το γενικό ύτηµα υντεταγµένων, όπως φαίνεται και το χήµα ( 3.6) Σχήµα 3.6: Απεικόνιη καµπυλόγραµµης ρωγµής 44

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Οι αυνεχείς µετατοπίεις των τοιχείων προδιορίζονται λαµβάνοντας υπόψη τις τοπικές υντεταγµένες s και n κάθε τοιχείου όπως υποδεικνύεται το χήµα 3.6, η οποία απεικονίζει µία τοιχειώδες αυνεχή µετατόπιη ενός j τµήµατος της ρωγµής. Χρηιµοποιώντας τις υναρτήεις F anti (, ) έως F anti (, ), υπολογίζονται οι 1 3 χέεις που δίνουν τις τάεις και τις µετατοπίεις την διεύθυνη του z άξονα: 1 u z = F anti D 1 z π [ 3.4] και G π z = z = F anti G π z = z = F 3anti D z D z [ 3.43] όπου D = D, ο µεταχηµατιµός υντεταγµένων, γίνεται τρέφοντας γύρο από τον z z άξονα z. Οι τάεις και οι µετατοπίεις το, ύτηµα υντεταγµένων δίδονται από τις χέεις ως εξής: u z = u z [ 3.44] z z G = π G = π και ( F anti cos β F anti sin β ) Dz 3 ( F anti sin β + F anti cos β ) Dz 3 [ 3.45] Οι τοπικές, υντεταγµένες υχετίζονται µε τις παγκόµιες, µε βάει τις εξιώεις µεταχηµατιµού. 45

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ 3.6 Συντελετής Ένταης των Τάεων Ο υντελετής ένταης των τάεων, όπως φαίνεται και τις εξιώεις [.0], [.3 ], [.6] του κεφαλαίου, υνδέεται µε τις χετικές µετατοπίεις της ρωγµής. Στην υπο µελέτη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων µπορεί να υχετιτεί µε τις αντίτοιχες αυνεχείς µετατοπίεις την περίπτωη που ιχύει υµµετρία µετατοπίεων µεταξύ των παρυφών του υνόρου της ρωγµής. Συνεπώς λαµβάνοντας υπόψη τις αυνεχής µετατοπίεις της ρωγµής πολύ κοντά την αιχµή της και θεωρώντας θ = π, υπολογίζεται ο υντελετής ένταης των τάεων και για τους τρεις τρόπους φόρτιης όπως φαίνεται ακολούθως: Σχήµα 3.7: Σύτηµα υντεταγµένων την αιχµή της ρωγµής Τύπος φόρτιης Ι: D N = [.0] u D N ( 1+ ν ) K I r = 1 E π ( ν ) ( ν ) r 8 1 = E K I π K I = 8 E π D N ( 1 ν ) r [ 3.46] Τύπος φόρτιης ΙΙ: D S [.3] u = X D ( 1+ ν ) K II r = 1 E π ( ν ) 8 1 ν E r π ( ) S = K II K II = 8 E π D s ( 1 ν ) r [ 3.47] 46

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Τύπος φόρτιης ΙΙΙ: D = z u z [.6] D z = ( + ν ) 4 1 E K III r π K III E π = Dz [ 3.48] 4( 1 + ν) r 47

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ο Πρόγραµµα Επίλυης ( DDBED ) 48

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 4.1. Ειαγωγή Το DDBED (Displacement Discontinuit Boundar Element Two Dimensions) είναι ένα αριθµητικό πρόγραµµα δυο διατάεων, βαιµένο τη µέθοδο υνοριακών τοιχείων και πιο υγκεκριµένα τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων. Το πρόγραµµα αυτό κατακευάτηκε τα πλαίια της ιπλωµατικής αυτής εργαίας. Το πρόγραµµα αυτό υπολογίζει αριθµητικά τις υνιτώες των τάεων και των µετατοπίεων τόο τα ύνορα, όο και ε όλα τα ηµεία του περιβάλλοντος πετρώµατος. Είναι βαιµένο το είδη υπάρχον πρόγραµµα TWODD ε γλώα προγραµµατιµού FORTRAN (Crouch & Starfield, 1990) και αναπρογραµµατίτηκε ε γλώα MATLAB. Οι τροποποιήεις του προγράµµατος αυτού αφορούν: I. Κατακευή προ-επεξεργατή για την ταχεία ειαγωγή των υνοριακών τοιχείων των ρωγµών ή των εκκαφών µέω του χεδιατικού πακέτου AUTOCAD. II. Κατακευή µετα-επεξεργατή για τη δηµιουργία τριγωνικού πλέγµατος το άπειρο µέο, τους κόµβους του οποίου υπολογίζονται οι τάεις και οι µετατοπίεις για την δηµιουργία διαγραµµάτων και ιοχρωµατικών επιφανειών. III. υνατότητα επίλυης και των τριών διαφορετικών τρόπων φόρτιης που µπορούν να υφίτανται το επίπεδο (επίπεδη παραµόρφωη και αντι-επίπεδη παραµόρφωη ). Στο χήµα 4.1 παρουιάζεται το διάγραµµα ροής του υπολογιτικού προγράµµατος. 49

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ DDBED Σχεδιαµός Συνόρων το AutoCAD Ειαγωγή εδοµένων Συνοριακές Συνθήκες Παράµετροι υλικού Εξωτερικές τάεις Προδιοριµός των θέεων, µεγεθών, προανατολιµών και των υνοριακών υνθήκων Εξαγωγή πινάκων ε αρχείο ASCII ( geometr) Επίλυη του υτήµατος αλγεβρικών εξιώεων Εξαγωγή πινάκων (results) Υπολογιµός υνοριακών µετατοπίεων και τάεων ιαγράµµατα τα ύνορα Εξαγωγή πινάκων (specified) Υπολογιµός µετατοπίεων και τάεων ε καθοριµένες διευθύνεις το ώµα ιαγράµµατα τα προκαθοριµένα ηµεία Υπολογιµός µετατοπίεων και τάεων ε όλο το µέο ιαγράµµατα το ώµα Σχήµα 4.1: Συνοπτικό διάγραµµα ροής του προγράµµατος DDBED 50

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 4.. Ειαγωγή εδοµένων 4..1 Σχεδιαµός το AUTOCAD Ο χεδιαµός των υνοριακών τοιχείων το AUTOCAD, γίνεται µε βάη τους ακόλουθους κανόνες: I. Τα τοιχεία που περιγράφουν τα ύνορα χεδιάζονται µε την εντολή «polline» του χεδιατικού πακέτου AUTOCAD. II. Η γεωµετρία µιας ρωγµής θα πρέπει να περιγράφεται µε όο το δυνατόν περιότερα τοιχεία, µε το προεπιλεγµένο χρώµα Σχήµα 4.: Γεωµετρία της ρωγµής III. Τα ανοίγµατα κατά αντιτοιχία µε τις ρωγµές περιγράφονται από µικρά διαδοχικά τοιχεία που αποτελούν µια κλειτή καµπύλη. Σχεδιάζονται µε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού και το τελευταίο τοιχείο που κλείνει την καµπύλη δηµιουργείται µε την εντολή «close». Για να διαχωριτούν από τις ρωγµές, το χρώµα όλων των τοιχείων που αποτελούν τα ανοίγµατα, πρέπει να είναι κόκκινο. 51

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Σχήµα 4.3: Γεωµετρία του ανοίγµατος IV. Εφόον έχουν χεδιατεί όλα τα ύνορα που περιγράφουν το υπό µελέτη πρόβληµα, χεδιάζονται δύο επιπλέον υνοριακά τοιχεία το εωτερικό κάθε ανοίγµατος, µε διαφορετικό προανατολιµό µεταξύ τους. Η ύπαρξή τους αποτρέπει την ακανόνιτη µετακίνηη και περιτροφή της εωτερική περιοχής. Σχήµα 4.4 : υο επιπλέον υνοριακά τοιχεία το για ταθεροποίηη της εωτερικής περιοχής V. Για τον υπολογιµό των τάεων και των µετατοπίεων ε υγκεκριµένες διευθύνεις το ώµα, χεδιάζεται ευθύγραµµο τµήµα µε κίτρινο χρώµα. 5

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Σχήµα 4.5: Κατευθύνεις που µελετούνται την περίπτωη κυκλικού ανοίγµατος VI. Τέλος, το χέδιο ώζεται ε αρχείο τύπου.df µε το όνοµα «αρχείο» (areio.df) το περιβάλλον εργαίας του MATLAB Ειαγωγή Γεωµετρίας Η ειαγωγή της γεωµετρίας του προβλήµατος γίνεται µε το υποπρόγραµµα dfread. Το υποπρόγραµµα αυτό αποκωδικοποιεί το αρχείο του AUTOCAD (areio.df) και δηµιουργεί τέερις πίνακες µε τις υντεταγµένες αρχής και τέλους όλων των τοιχείων των υνόρων. Ακόµη, δηµιουργεί ένα περιβάλλον τριγωνικό πλέγµα το άπειρο µέο. Το τριγωνικό αυτό πλέγµα δεν θα πρέπει να υχετιτεί µε το αντίτοιχο των πεπεραµένων τοιχείων, εφόον ο µόνος λόγος ύπαρξής του είναι ο αριθµητικός υπολογιµός των µεταβλητών τους κόµβους του. Η έκταη αυτού εξαρτάται από τις διατάεις και τις θέεις των υνόρων, ούτως ώτε να περικλείεται η περιοχή που υφίταται τις µεγαλύτερες επιδράεις (ζώνη επίδραης). Στα χήµατα 4.6 και 4.7 παρουιάζεται το τριγωνικό πλέγµα που δηµιουργείται την περίπτωη ενός κυκλικού ανοίγµατος και µιας ευθύγραµµης ρωγµής. 53

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Σχήµα 4.6:Το τριγωνικό πλέγµα που δηµιουργείται την περίπτωη ενός κυκλικού ανοίγµατος Σχήµα 4.7:Το τριγωνικό πλέγµα που δηµιουργείται την περίπτωη µιας ευθύγραµµης ρωγµής Παράµετροι Υλικού, Συνοριακές Συνθήκες και Τάεις Για να οριθεί πλήρως το πρόβληµα εκτός της γεωµετρίας του, δίδονται και τα ακόλουθα τοιχεία: Οι παράµετροι του υλικού, που είναι ο λόγος του Poisson ν και το µέτρο ελατικότητας Ε. 54

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Οι τάεις µακρινού πεδίου ( P P, P, P, P ),. Τέλος δίδονται οι υνοριακές υνθήκες του προβλήµατος που αφορούν είτε τις τάεις, είτε τις µετατοπίεις είτε υνδυαµό αυτών. z z Το πρόγραµµα αυτό είναι χεδιαµένο, ώτε να λειτουργεί ε οποιοδήποτε ταθερό ύτηµα µονάδων. Οι µονάδες των υνοριακών µετατοπίεων, εφόον χρειάζεται να περιγραφούν, πρέπει να είναι το ίδιο ύτηµα µε τις µονάδες των υντεταγµένων θέεων. Επίης, οι τάεις πρέπει να ανήκουν το ίδιο ύτηµα µε τις µονάδες του µέτρου ελατικότητας του Young έτι ώτε τα αποτελέµατα που θα προκύψουν να ανήκουν τα παραπάνω υτήµατα µονάδων. 4.3 Επίλυη Μετά το τάδιο της ειαγωγής των δεδοµένων, ακολουθεί η επίλυη του προβλήµατος που έχει περιγραφεί. Η εντατικοπαραµορφωιακή κατάταη του πεδίου προδιορίζεται, τόο την περίπτωη επίπεδων φορτίεων, όο και ε αντι-επίπεδες φορτίεις Τα τάδια που ακολουθούνται για την επίλυη είναι τα ακόλουθα: Το πρώτο τάδιο αφορά την γεωµετρία του προβλήµατος, προδιορίζονται οι θέεις των κέντρων των τοιχείων, τα µέτρα τους, καθώς και ο προανατολιµός τους. Στο δεύτερο τάδιο προαρµόζονται οι τάεις του µακρινού πεδίου ώτε ε υνδυαµό µε τις υνοριακές υνθήκες να δώουν τις τιµές των υνοριακών τάεων. Στο τρίτο τάδιο, υπολογίζονται οι υντελετές επίδραης, από τις χέεις [ 3.3] [.9] 3 και δηµιουργείται το ύτηµα των αλγεβρικών εξιώεων. Ακολουθεί η επίλυη του υτήµατος των αλγεβρικών εξιώεων. Στο πέµπτο τάδιο γίνεται ο υπολογιµός των τάεων και των µετατοπίεων τα ύνορα µε βάει τις χέεις [ 3.7] [.8] παρουιάζονται το κεφάλαιο 3. 3 όπως 55

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Το έκτο και τελευταίο τάδιο περιλαµβάνει τον υπολογιµό των τάεων και των µετατοπίεων ε όλο το άπειρο µέω καθώς και ε υγκεκριµένα ηµεία µέα ε αυτό εφόον είναι επιθυµητό. Στην περίπτωη αντιεπίπεδης φόρτιης χρηιµοποιούνται οι χέεις [ 3.4] [.43] τον υπολογιµό των υντελετών επιρροής 3 για 4.4 Εξαγωγή Αποτελεµάτων Τα αποτελέµατα από το πρόγραµµα εξάγονται είτε µε τη µορφή πινάκων, είτε ως γραφήµατα. Για την καλύτερη περιγραφή και κατανόηη των τρόπων παρουίαης των αποτελεµάτων χρηιµοποιείται το απλό παράδειγµα της οριζόντιας ρωγµής µήκους µε είκοι τοιχεία Πίνακες Αποτελεµάτων Στο πρόγραµµα, τα αποτελέµατα εξόδου δίδονται ε έξι αρχεία ε µορφή ASCII τα οποία είναι προβάιµα από οποιοδήποτε επεξεργατή κειµένου ή επεξεργατή αριθµητικών δεδοµένων όπως για παράδειγµα το ecel. Τα αρχεία αυτά είναι * : Το πρώτο αρχείο ώζεται µε το όνοµα input και περιέχει τα δεδοµένα ειόδου που είναι οι παράµετροι του υλικού και οι επιβαλλόµενες τάεις µε τη µορφή που φαίνονται τον πίνακα 4.1 Πίνακας 4.1 εδοµένα ειόδου P P P P z P z E PR όπου: P είναι η οριζόντια ορθή τάη * Τα αριθµητικά αποτελέµατα των πινάκων αφορούν το απλό πρόβληµα της πεπιεµένης ρωγµής 56

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ P είναι η κατακόρυφη ορθή τάη P είναι η διατµητική τάη το επίπεδο P z, P z είναι οι διατµητικές τάεις εκτός του επιπέδου E είναι το µέτρο ελατικότητας και PR ο λόγος του poisson Ακόµη δηµιουργείται το αρχείο µε την ονοµαία «geometr» που περιέχει πληροφορίες για τα υνοριακά τοιχεία και έχει την µορφή του πίνακα 4. Πίνακας 4.: Γεωµετρία υνοριακών τοιχείων X beg Y beg X end Y end X m Y A Sinbet Cosbet bvs bvn Kode m 61,83 16,33 61,937 16,33 61,88 16,33 0, ,93 16,33 6,037 16,33 61,98 16,33 0, ,03 16,33 6,137 16,33 6,08 16,33 0, ,13 16,33 6,37 16,33 6,18 16,33 0, ,3 16,33 6,337 16,33 6,8 16,33 0, ,33 16,33 6,437 16,33 6,38 16,33 0, ,43 16,33 6,537 16,33 6,48 16,33 0, ,53 16,33 6,637 16,33 6,58 16,33 0, ,63 16,33 6,737 16,33 6,68 16,33 0, ,73 16,33 6,837 16,33 6,78 16,33 0, ,83 16,33 6,937 16,33 6,88 16,33 0, ,93 16,33 63,037 16,33 6,98 16,33 0, ,03 16,33 63,137 16,33 63,08 16,33 0, ,13 16,33 63,37 16,33 63,18 16,33 0, ,3 16,33 63,337 16,33 63,8 16,33 0, ,33 16,33 63,437 16,33 63,38 16,33 0, ,43 16,33 63,537 16,33 63,48 16,33 0, ,53 16,33 63,637 16,33 63,58 16,33 0, ,63 16,33 63,737 16,33 63,68 16,33 0, ,73 16,33 63,837 16,33 63,78 16,33 0, όπου: X beg, Y beg είναι οι υντεταγµένες αρχής των τοιχείων X end, Y end είναι οι υντεταγµένες τέλους των τοιχείων X m, Ym είναι οι υντεταγµένες των κέντρων τους A είναι τα µέτρα τους Sinbet, Cosbet προδιορίζουν την κατεύθυνη τους bvs, bvn οι υνοριακές υνθήκες και 57

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Kode το είδος των υνοριακών υνθηκών που περιγράφονται Το τρίτο αρχείο που δηµιουργείται περιέχει τα αποτελέµατα τα µέα των υνοριακών τοιχείων και έχει την ονοµαία results, ενώ εµφανίζεται µε την µορφή του πίνακα 4.3 όπου Ds είναι η διατµητική υνιτώα της αυνεχούς µετατόπιης Us NEG, Us POS είναι οι διατµητικές υνιτώες την αρνητική και την θετική πλευρά του κάθε τοιχείου αντίτοιχα Dn είναι η ορθή υνιτώα της αυνεχούς µετατόπιης Un NEG, Un POS είναι οι ορθές υνιτώες την αρνητική και την θετική πλευρά του κάθε τοιχείου αντίτοιχα U NEG, U POS είναι οι οριζόντιες υνιτώες την αρνητική και την θετική πλευρά του κάθε τοιχείου αντίτοιχα U NEG, U POS είναι οι κατακόρυφες υνιτώες την αρνητική και την θετική πλευρά του κάθε τοιχείου αντίτοιχα SIGs είναι η διατµητική υνιτώα της τάης SIGn είναι η ορθή υνιτώα της τάης 58

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Πίνακας 4.3: Αποτελέµατα τα µέα των υνοριακών τοιχείων Ds Us NEG Us Dn POS Un NEG Un POS U NEG U NEG U POS U SIGs SIGn POS 0.00E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00.91E-05.91E E E E-05.91E E-05.91E E E E E+00.53E-05.53E E E E-05.53E E-05.53E E E E E+00.14E-05.14E E E E-05.14E E-05.14E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00.00E-06.00E E-04-9.E-05 9.E-05.00E-06-9.E-05.00E-06 9.E E E E E E E-04-9.E-05 9.E E-06-9.E E-06 9.E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 59

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Το επόµενο αρχείο χετίζεται µε τα επιλεγόµενα ηµεία που βρίκονται µέα το µέο. Εφόον αυτά υπάρχουν, τότε αυτό δηµιουργείται και δίδεται µε την ονοµαία specified έχοντας την ακόλουθη µορφή [ Np u u sigma sigma sigma ], όπου Np είναι ο αύξων αριθµός των τοιχείων της γραµµής/ών u, u είναι η οριζόντια και η κατακόρυφη υνιτώα της µετατόπιης αντίτοιχα sigma είναι η οριζόντια ορθή τάη sigma είναι η κατακόρυφη ορθή τάη sigma είναι η διατµητική ορθή τάη Το πέµπτο και το έκτο αρχείο δηµιουργούνται την περίπτωη που υπάρχουν τάεις εκτός επιπέδου. Το πρώτο από αυτά έχει το όνοµα boundar modeiii και περιέχει τα έξής δεδοµένα [bvz Kode ], ενώ το δεύτερο αποθηκεύεται το όνοµα results modeiii και περιέχει τα ακόλουθα [ Dz u zneg u zpos sigma z ] Πίνακας 4.4: εδοµένα την περίπτωη τάεων εκτός επιπέδου Dz u zneg u zpos sigma bvz Kode z 7.88E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 1.73E E E E E E E E E E E E E E E όπου: bvz την περίπτωη αυτή αφορά τις υνοριακές υνθήκες την τρίτη διάταη Ζ ενώ Kode είναι το είδος των υνοριακών υνθηκών που περιγράφονται και αφορούν την τρίτη διάταη Dz είναι η αυνεχής µετατόπιη την κατεύθυνη του z άξονα u zneg, u zpos είναι µετατοπίεις την αρνητική και την θετική πλευρά του κάθε τοιχείου αντίτοιχα και τέλος sigma z είναι η τάη που ακείται το επίπεδο του κάθε τοιχείου Γραφικές Παρατάεις Εκτός από τα αρχεία τα οποία αποθηκεύονται τα αριθµητικά αποτελέµατα, µέω του προγράµµατος εξάγονται και γραφήµατα. Αυνεχείς µετατοπίεις τα ύνορα ε υνάρτηη µε των αριθµό των διακριτών τοιχείων καθώς και τις µετατοπίεις τις θετικές και αρνητικές πλευρές των υνόρων. Όταν απαιτείται ο υπολογιµός των τάεων και των µετατοπίεων ε υγκεκριµένα ηµεία του µέου, τότε δηµιουργούνται τα αντίτοιχα διαγράµµατα ε υνάρτηη µε την απόταη. Ακόµη, µπορούν να απεικονιτούν όποιες από τις µεταβλητές µετατόπιης και τάης ( u u sigma sigma sigma sigma sigma ) u είναι επιθυµητό. z Επίης υπάρχει η δυνατότητα εξαγωγής διαγραµµάτων κυρίων τάεων ( sigma ) και των µέγιτων διατµητικών ( τ ) 1 sigma z ma z. Τα γραφήµατα αυτά γίνονται ε άξονες υντεταγµένων, όπου µε χρωµατικό κώδικα φαίνεται ο τρόπος που κλιµακώνονται οι µεταβλητές τα ύνορα και το περιβάλλον τερεό. Οι τιµές αυτές υπολογίζονται τους κόµβους του τριγωνικού πλέγµατος 61

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ που έχει δηµιουργηθεί παράγοντας τα αποτελέµατα ε όλο το µέο µε παρεµβολή Μορφή Απεικόνιης Μεταβλητών Ως παράδειγµα εφαρµογής, παρατίθεται το πρόβληµα ενός γεωλογικού χηµατιµού που περιλαµβάνει οικογένεια αυνεχειών µε ρωγµές παράλληλες µεταξύ τους. Για την επίλυη, το προαναφερθέν πρόβληµα, προοµοιάζεται µε ένα άπειρο ρηγµατωµένο ελατικό µέο το οποίο υπόκεινται ε αδιατάραχτο πεδίο τάεων Η εντατική και παραµορφωιακή κατάταη δίδεται γραφικά τα ακόλουθα χήµατα. Σχήµα 4.8: Η διακριτοποίηη του µέου Σχήµα 4.9: Οριζόντιες και κατακόρυφες µετατοπίεις 6

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Σχήµα 4.10: Οριζόντιες και κατακόρυφες κύριες τάεις Σχήµα 4.11: Μέγιτες διατµητικές τάεις 63

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Κεφάλαιο 5 ο Υπολογιτικά Παραδείγµατα 64

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 5.1 Απλή Ρωγµή ε Άπειρο Μέο Για να ελεγχθεί η εγκυρότητα και η ορθότητα του προγράµµατος «DDBETD», ε αυτή την πρώτη ενότητα του κεφαλαίου θα µελετηθεί το εντατικο-παραµορφωιακό πεδίο που δηµιουργείται γύρω από µια απλή ευθύγραµµη ρωγµή που βρίκεται ε άπειρο µέο και τα αποτελέµατα θα υγκριθούν µε τις υπάρχουες αναλυτικές λύεις Σύγκριη της Μεθόδου των Αυνεχών Μετατοπίεων µε Αναλυτικές Λύεις (Μετατοπίεις) «Ανοικτός» Τύπος Παραµόρφωης (Mode I ) Στην παρούα υποενότητα µελετάται το απλό πρόβληµα µιας ευθύγραµµης ρωγµής που βρίκεται ε άπειρο µέο. υπό ταθερή εωτερική πίεη 1. Για το δεδοµένο πρόβληµα οι παράµετροι του υλικού είναι, λόγος του poisson ν = 0. 1 και µέτρο ελατικότητας E = 0000 MPa. Οι επιβαλλόµενες τάεις µακρινού πεδίου είναι της τάξης του = 1 MPa και ο προανατολιµός τους φαίνεται το χήµα 5.1, ενώ το µήκος της ρωγµής ιούται µε a = 1 m. Σχήµα 5.1:Ευθύγραµµη ρωγµή υπό ταθερή εωτερική πίεη 1 Το πρόβληµα της ευθύγραµµης ρωγµής µε εωτερική πίεη εφαρµόζεται την υδραυλική θραύη (hdraulic fracturing) των πετρωµάτων ε εκµεταλλεύεις υδρογονανθράκων και γεωθερµικών πεδίων. 65

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Η αναλυτική λύη για τη χετική κατανοµή των ορθών µετατοπίεων D N κατά µήκος της ρωγµής (δηλαδή το µέγεθος του ανοίγµατος) δίδεται από τη χέη [ 3.18] και θα υγκριθεί µε τις αντίτοιχες µετατοπίεις που δίδονται µέω του προγράµµατος. Η ακριβής λύη της κατανοµής των αυνεχών µετατοπίεων κατά µήκος της ρωγµής παρουιάζεται το χήµα 5.1 Η πρώτη προέγγιη ( 5.1a) πραγµατοποιήθηκε µε τη διαίρεη του µήκους της ρωγµής ( a) ε 0 υνοριακά τοιχεία ίδιου µήκους, η δεύτερη ( 5.1b) πραγµατοποιήθηκε µε διαίρεη της ρωγµής ε 40 ιοµήκη υνοριακά τοιχεία και η τρίτη ( 5.1c) ε 100 τοιχεία. Σχήµα 5.1α: Αυνεχείς µετατοπίεις DN (0 τοιχεία) Σχήµα 5.1b: Αυνεχείς µετατοπίεις DN (40 τοιχεία) 66

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµα 5.1c: Αυνεχείς µετατοπίεις DN (100 τοιχεία) Από τα χήµατα 5.1 υµπεραίνεται ότι η µέθοδος των αυνεχών µετατοπίεων προεγγίζει τις χετικές µετατοπίεις µεταξύ των επιφανειών της ρωγµής, ενώ τα αποτελέµατα τείνουν την ακριβή λύη όο ο αριθµός των τοιχείων Ν αυξάνει. (Crouch and Starfield, 1990) Στο χήµα 5.1d φαίνεται µε τη βοήθεια χρωµατικού κώδικα, οι κλιµάκωη των µετατοπίεων, τον κατακόρυφο άξονα, τόο τα ύνορα της ρωγµής, όο και περιβάλλον τερεό. Σχήµα 5.1d: Μετατοπίεις U ε όλο το µέο 67

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τύπος της «Ολίθηης» (Mode ΙΙ ) Αντίτοιχα µε την προηγούµενη περίπτωη του τύπου φόρτιης Ι για την ίδια ρωγµή και τις ίδιες παραµέτρους του υλικού, υγκρίνονται οι αυνεχείς µετατοπίεις D S όπως προέκυψαν από το πρόγραµµα µε τις αντίτοιχες αναλυτικές για τον τύπο φόρτιης ΙΙ. Η επιβαλλόµενη διατµητική φόρτιη αυτή τη φορά είναι της τάξης = 1 MPa και ο προανατολιµός της δίδεται το χήµα 5.. Σχήµα 5.: Ευθύγραµµη ρωγµή υπό διατµητική καταπόνηη Η αναλυτική λύη για τη χετική κατανοµή των αυνεχών µετατοπίεων D S κατά µήκος της ρωγµής (δηλαδή το µέγεθος του ανοίγµατος) δίδεται από τη χέη [ 3.16]. Η ακριβής λύη της κατανοµής των αυνεχών µετατοπίεων κατά µήκος της ρωγµής παρουιάζεται το χήµα 5.a. Η ρωγµή έχει διαιρεθεί ε 100 υνοριακά τοιχεία, ώτε να έχουµε µια ικανοποιητική ύγκλιη των αποτελεµάτων. Το πρόβληµα της ευθύγραµµης ρωγµής που υποβάλλεται ε διάτµηη έχει µεγάλη εφαρµογή τη βραχοµηχανική γιατί προοµοιάζει περιπτώεις αντοχής αυνεχειών ε διάτµηη (π.χ. κριτήριο ατοχίας Mohr-Coulomb, ειµογένεη κ.λπ.). 68

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµα 5.α : Αυνεχείς µετατοπίεις DS (100 τοιχεία) Στα χήµατα 5.b και 5.c φαίνονται µε τη βοήθεια χρωµατικού κώδικα οι οριζόντιες και οι κατακόρυφες µετατοπίεις αντίτοιχα, έτι όπως κλιµακώνονται το ύνορο της ρωγµής και το περιβάλλον µέο. Σχήµα 5.b: Μετατοπίεις U ε όλο το µέο Σχήµα 5.c: Μετατοπίεις U ε όλο το µέο Τύπος «Ψαλιδιµού» ή Αντι-επίπεδης ολίθηης (Mode ΙΙΙ ) Τέλος, αναφερόµενοι τις ίδιες διατάεις ρωγµής και για τις ίδιες παραµέτρους του υλικού, υγκρίνονται οι αυνεχείς µετατοπίεις ρωγµής µε διατµητική τάη κάθετη το επίπεδό της, D Z, που οφείλονται ε καταπόνηη της z = 1 MPa, µε την αντίτοιχη αναλυτική λύη για τις µετατοπίεις. Στο χήµα 5.3 φαίνεται χηµατικά η κατεύθυνη των τάεων για την περίπτωη της αντι-επίπεδης φόρτιης 69

81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµα 5.3: Ευθύγραµµη ρωγµή υπό αντι-επίπεδη φόρτιη Η αναλυτική λύη για τη χετική κατανοµή των µετατοπίεων D Z κατά µήκος της ρωγµής για τον τύπο φόρτιη ΙΙΙ δίδεται από τη χέη [ 3.4] του κεφαλαίου 3. Η ακριβής λύη της κατανοµής των αυνεχών µετατοπίεων κατά µήκος της ρωγµής παρουιάζεται το χήµα 5.3a. Η ρωγµή και ε αυτήν την περίπτωη έχει διαιρεθεί ε 100 υνοριακά τοιχεία, ώτε να έχουµε µια ικανοποιητική ύγκλιη των αποτελεµάτων. Σχήµα 5.3α: Αυνεχείς µετατοπίεις Dz (100 τοιχεία) Στο χήµα 5.3b φαίνονται µε τη βοήθεια χρωµατικού κώδικα οι οριζόντιες και οι κατακόρυφες µετατοπίεις αντίτοιχα, έτι όπως κλιµακώνονται το ύνορο της ρωγµής και το περιβάλλον µέο. 70

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµαα 5.3b: Μετατοπίεις Uz ε όλο το µέο 5.1. Μελέτη Ταικού Πεδίου Γύρω Από Ευθύγραµµη Ρωγµή Σύγκριη µε τις Μέγιτες ιατµητικές Τάεις (Ιοχρωµατικές Καµπύλες) Μια ιδιαίτερη περίπτωη άξια παρατήρηης, είναι όταν µια ρωγµή υποβάλλεται ε οµοιόµορφο ταικό πεδίο 1 P 0 = ή αλλιώς ( P P 1) =. Η µέγιτη διατµητική τάη τ, = ε κάθε ηµείο του µέου (, ), µπορεί να υπολογιτεί από τη χέη: ( ) i 1 τ = + [ 5.1] Ο Sneddon για να δει την κλιµάκωη της κατανοµής των τάεων γύρω από µια ρωγµή (Griffith), υπολόγιε τις τιµές των µέγιτων διατµητικών τάεων ε διάφορα ηµεία (, ) του µέου. Τα αποτελέµατα δίδονται ε µορφή πίνακα το έγγραφο του Sneddon (1946, Table1, p35) και γραφικά την εικόνα 1 του ίδιου εγγράφου. Ένας εξυπηρετικός τρόπος παρουίαης της διακύµανης της υνάρτηης (, ) τ και υνεπώς και της κατανοµής των διατµητικών τάεων το ελατικό µέο, είναι η αναπαράταη της τάξης των καµπυλών της υνάρτηης αυτής, κατακευάζοντας µια 71

83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ οικογένεια καµπυλών µε βάη τη χέη τ ( ) 0, = ap, όπου a είναι µια παράµετρος. Αυτές οι καµπύλες είναι οι ιοχρωµατικές καµπύλες της φωτοελατικότητας. Στο χήµα 5.4 παρουιάζονται οι ιοχρωµατικές καµπύλες για την περίπτωη οµοιόµορφης καταπόνηης ρωγµής µήκους α =, όπως λήφθηκαν από τον Sneddon (1946). Στο χήµα 5.5 αναπαρίτανται οι ιοχρωµατικές καµπύλες, για την ίδια ρωγµή που υποβάλλεται ε οµοιόµορφη ταική καταπόνηη, έτι όπως προέκυψαν από το πρόγραµµα DDBETD. Σχήµα 5.4: Ιοχρωµατικές καµπύλες γύρω από µια ρωγµή Griffith (Sneddon, 1946) Σχήµα 5.5 Ιοχρωµατικές καµπύλες από το πρόγραµµα DDBETD Όπως φαίνεται και το χήµα 5.4 (και το χήµα 5.5), το γεγονός ότι όλες οι ιοχρωµατικές καµπύλες περνούν από τις αιχµές της ρωγµής, δείχνει ότι και τα δύο αυτά ηµεία οι κύριες διατµητικές τάεις είναι µέγιτες.(sneddon & Lowengrub, 1969). Ακολούθως φαίνεται η κλιµάκωη των µέγιτων διατµητικών τάεων ε όλο το ελατικό µέο (Σχήµα 5.6) 7

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµα 5.6: Ιοχρωµατικές καµπύλες ε όλο το ελατικό µέο Μελέτη της Κλιµάκωης των Τάεων ε Σχέη µε την Απόταη από την Αιχµή της Ρωγµής Για τη µελέτη της κλιµάκωης των τάεων ε υνάρτηη µε την απόταη από την αιχµή της ρωγµής, θεωρήθηκε ευθύγραµµη ρωγµή µήκους του υλικού ν = 0. 1, και E = 0000 MPa τρεις περιπτώεις τύπων φόρτιης: a = 1 m, µε παραµέτρους.η µελέτη αφορά τις αντίτοιχες τάεις και τις Mode I: επιβαλλόµενη φόρτιη µακρινού πεδίου = 1 και µελέτη της κλιµάκωη της (Σχήµα 5.7) ε υνάρτηη µε την απόταη από την αιχµή 0 της ρωγµής για θ = 0 (Σχήµα 5.8). Σχήµα 5.7: Μορφή της κλιµάκωη της ε υνάρτηης µε την απόταη από την αιχµή της ρωγµής για τον τύπο φόρτιης Ι (Peeker, 1997) 73

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Mode ΙI: επιβαλλόµενη φόρτιη µακρινού πεδίου = 1 και µελέτη της κλιµάκωη της ε υνάρτηη µε την απόταη από την αιχµή της ρωγµής 0 για θ = 0 (Σχήµα 5.8). Mode ΙΙI: επιβαλλόµενη φόρτιη µακρινού πεδίου = 1 και µελέτη της κλιµάκωη της ε υνάρτηη µε την απόταη από την αιχµή της ρωγµής για 0 θ = 0 (Σχήµα 5.8). z Σχήµα 5.8: Σύτηµα υντεταγµένων την αιχµή της ρωγµής (Eerik Peeker,1997) Στο χήµα 5.9 απεικονίζεται η µεταβολή της τάη (Mode I) Όπως ήταν αναµενόµενο, όο πιο µικρή είναι η απόταη από την αιχµή της ρωγµής, τόο µεγαλύτερες είναι και οι τάεις, που τείνουν αυµπτωτικά µε τον άξονα προς το άπειρο. Η καµπύλη της τάης µειώνεται εκθετικά, κατά την αποµάκρυνη από την αιχµή και τείνει την µονάδα, που είναι και η επιβαλλόµενη φόρτιη µακρινού πεδίου. Τα ηµεία που βρίκονται αρκετά µακριά από την ρωγµή παραµένουν ταικά ανεπηρέατα από την ύπαρξή της. Γράφηµα 5.9: Κατακόρυφες τάεις ε υνάρτηη µε την 0 απόταη από την αιχµή της ρωγµής για θ = 0 74

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Το χήµα 5.10 βοηθάει την απόκτηη µιας καλύτερης άποψη για την κατανοµής της ίδιας τάης ε όλο το µέο που περιβάλλει τη ρωγµή. Γράφηµα 5.10 :Κατανοµή των τάεων ε όλο το µέο Ανάλογης µορφής γραφήµατα, προκύπτουν και για τον τύπο της «ολίθηης» των χειλών της ρωγµής. Στο χήµα 5.11 παρουιάζεται η εκθετική µείωη της διατµητικής τάης κατά την οριζόντια αποµάκρυνη από την αιχµή της ρωγµής και το χήµα 5.1 η κατανοµής της ίδιας τάης ε όλο το µέο που περιβάλλει τη ρωγµή µε τη βοήθεια χρωµατικού κώδικα. Γράφηµα 5.11: ιατµητικές τάεις ε υνάρτηη µε την απόταη από την 0 αιχµή της ρωγµής για θ = 0 75

87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Γράφηµα 5.1 : Άποψη των τάεων ε όλο το µέο Μελετώντας την τρίτη περίπτωη φόρτιης, του «ψαλιδιµού» ή της αντι-επίπεδης ολίθηης των χειλών της προκύπτουν τα αντίτοιχα γραφήµατα, όπως φαίνονται τα χήµατα 5.13 και Γράφηµα 5.13: Αντι-επίπεδες τάεις z ε υνάρτηη µε την απόταη από την 0 αιχµή της ρωγµής για θ = 0 76

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Γράφηµα 5.14 : Άποψη των τάεων z ε όλο το µέο Επίδραη του Μεγέθους της Ρωγµής τις Κύριες Τάεις Η κατανοµή των κυρίων τάεων, 1 µελετάται την περίπτωη οµοιόµορφης ταικής καταπόνηη P P = 1 ε ρωγµή µήκους α, όπου το a αυξάνει ταδιακά = από και µε παραµέτρους υλικού ν = 0. 1 και E = 0000 MPa. Συγκεκριµένα µελετήθηκαν δυο περιπτώεις: Η κλιµάκωη των κυρίων τάεων ε υνάρτηη µε τη γραµµική 0 αποµάκρυνη από την αιχµή της ρωγµής για θ = 0 (Σχήµα 5.8). Η κλιµάκωη των κυρίων τάεων κατά την αποµάκρυνη από την αιχµή 0 της ρωγµής για θ = 90 (Σχήµα 5.8). Στο χήµα 5.15 φαίνεται το υγκεντρωτικό διάγραµµα της κατανοµής των κυρίων τάεων και για τις τέερις περιπτώεις διαφορετικού µήκους ρωγµές. Συµπεραίνεται ότι η ένταη των τάεων κλιµακώνεται ανάλογα µε το µήκος της ρωγµής. 77

89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ a=0.1 a=0.5 a=0.5 a=1 Sigma1=Sigma , 0,4 0,6 0,8 1 distance Σχήµα 5.15 : Συγκεντρωτικό διάγραµµα κλιµάκωης κυρίων τάεων για = 0, για διάφορα µεγέθη ρωγµής. θ Αντίτοιχα είναι και τα αποτελέµατα κατά την κατακόρυφη αποµάκρυνη από την αιχµή της ρωγµής. Στα χήµατα 5.16 και 5.17 παρουιάζονται τα υγκεντρωτικά διαγράµµατα (και τα τέερα µήκη ρωγµής) για την οριζόντια και κατακόρυφη κύρια τάη a=0.1 a=0.5 a=0.5 a=1 Sigma , 0,4 0,6 0,8 1 distance Σχήµα : Συγκεντρωτικό διάγραµµα κλιµάκωης της κύρια τάη 1 κατά την αποµάκρυνη από την αιχµή για θ = 90 78

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ a=0.1 a=0.5 a=0.5 a=1 Sigma , 0,4 0,6 0,8 1 distance Σχήµα : Συγκεντρωτικό διάγραµµα κλιµάκωης της κύρια τάη κατά την αποµάκρυνη από την αιχµή για θ = Συντελετής Ένταης των Τάεων Με βάη των θεωρητικών µοντέλων και των αναλυτικών λύεων της γραµµικής θεωρίας, οι τάεις ακριβώς την αιχµή της ρωγµής απειρίζονται. Στην πραγµατικότητα όµως την αιχµή της ρωγµής υπάρχει πάντα µια πλατική ζώνη, η οποία οριοθετεί τις τάεις ε πεπεραµένες τιµές. Είναι όµως ιδιαίτερα δύκολο να µοντελοποιηθούν και να υπολογιτούν οι πραγµατικές τάεις την πλατική αυτή περιοχή. Ο υντελετής ένταης των τάεων ποοτικοποιεί τις άπειρες αυτές τάεις και υνεπώς αποτελεί ένα µέτρο της ένταης των τάεων ακριβώς την αιχµή της ρωγµής Στην περίπτωη της ευθύγραµµης ρωγµής ε άπειρο µέο, οι αναλυτικές χέεις για τον υπολογιµό των υντελετών ένταης των τάεων και για του τρεις τύπους φόρτιης δίδονται υνοπτικά τη χέη [ 5.] (βλέπε Κεφάλαιο παρ..5.1). K K K I II III = τ τ inplane outofplane (Tada etal, 1973) π α [ 5.] 79

91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται τα αποτελέµατα για τον υντελετή ένταης των τάεων K, έτι όπως προέκυψαν από το πρόγραµµα DDBETD και υπολογιτικά από I την αναλυτική λύη (χέη 5.). Πίνακας 5. 1.Συντελετής ένταης των τάεων K I για διάφορα µήκη ρωγµής Μήκος a K I προγράµµατος K I αναλυτικό 0,4 0,7761 0,797 0,6 0,9639 0,9708 0,8 1,106 1, ,58 1,533 1, 1,3818 1,379 1,4 1,4953 1,489 1,6 1,6009 1,5853 Το χήµα 5.18 είναι η γραφική απεικόνιη του πίνακα 5.1, όπου παρουιάζεται ο υντελετή K 3 I ε υνάρτηη µε το µήκος της ρωγµής, τόο για τη λύη από το πρόγραµµα, όο και για την αναλυτική. 1,8 1,6 1,4 KI 1, 1 0,8 0,6 KI prog KI anal 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 1,6 1,8 crack length (a) Σχήµα 5.18: Συντελετής ένταης των τάεων υναρτήει του µήκους της ρωγµής Σηµειώνεται ότι κατά τον αριθµητικό υπολογιµό του υντελετή ένταης των τάεων, διαπιτώθηκε ότι υπάρχει µια βέλτιτη αναλογία µεταξύ του µήκους της ρωγµής και τον 3 Οι υντελετές ένταης των τάεων K II, K III υπολογίζονται αντίτοιχα εφαρµόζοντας τον κατάλληλο τύπο φόρτιης και τα αποτελέµατα έχουν απόλυτη ακρίβεια για αυτό και δεν παρουιάζονται. εδώ. 80

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ αριθµό των τοιχείων τα οποία έχει διαιρεθεί, για την οποία ελαχιτοποιείται η απόκλιη µεταξύ αριθµητικής και αναλυτικής λύης. 5. Σύτηµα Ευθύγραµµων Ρωγµών ε Σειρά ε Άπειρο Μέο 5..1 Σύγκριη µε τις Μέγιτες ιατµητικές Τάεις (Ιοχρωµατικές Καµπύλες) Ο Willmore (1949) µελέτηε την κατανοµή των τάεων το γειτονικό περιβάλλον δυο ευθύγραµµων υγγραµµικών ρωγµών Griffith (Σχήµα 5.19 ) που βρίκονται µέα ε ιότροπο µέο 4, όταν µια οµοιόµορφη τάη P 0 εφαρµόζεται κατά µήκος των επιφανειών των ρωγµών, ενώ δεν καταπονούνται ε διατµητικές τάεις. Σχήµα 5.19: υο ευθύγραµµες υγγραµµικές ρωγµές Griffith ιαπίτωε ότι το υγκεκριµένο υνοριακό πρόβληµα, ιοδυναµεί µε το υδροδυναµικό πρόβληµα της οµοιόµορφης πίεης δυο όµοιων ρωγµών την ίδια διάταξη. Η µεταβολή του λόγου τ p0 αν υνάρτηη των υντεταγµένων και υπολογίτηκε από τον Willmore και έδειξε ότι η ύπαρξη της δεύτερης ρωγµής, αυξάνει εµφανέτατα τις τάεις κοντά τις αιχµές των ρωγµών, ιδιαίτερα τις αιχµές που είναι κοντά η µια τη άλλη, αλλά η µορφή του γενικότερου πεδίου των τάεων παραµένει ανεπηρέατη. Οι 4 Εκτός του ότι το πρόβληµα αυτό είναι ηµαντικό για την µελέτη της αντοχής ρηγµατωµένων ή διακλαµένων πετρωµάτων µπορεί επίης να θεωρηθεί ότι προοµοιώνει την αλληλεπίδραη γειτονικών ορθογώνιων ανοιγµάτων (λ.χ. επιµηκών µετώπων ή θαλάµων) των οποίων το ύψος είναι πολύ µικρότερο από το µήκος τους (Η/L<1/10) 81

93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ιοχρωµατικές καµπύλες τ p0 = ταθερό ε αυτήν την περίπτωη φαίνονται το χήµα 5.0. (Sneddon & Lowengrub, 1969). Σχήµα 5.0: Ιοχρωµατικές καµπύλες την περιοχή γύρω από δυο ευθύγραµµες ρωγµές (Sneddon & Lowengrub, 1969) Στο χήµα 5.1 αναπαρίτανται οι ιοχρωµατικές καµπύλες, για το ίδιο ύτηµα των δυο ρωγµών, που υποβάλλεται ε οµοιόµορφη ταική καταπόνηη, έτι όπως προέκυψαν από το πρόγραµµα DDBETD. Σχήµα 5.1: Ιοχρωµατικές καµπύλες την περιοχή γύρω από δυο ευθύγραµµες ρωγµές από το πρόγραµµα DDBETD 8

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Ακολούθως φαίνεται η κλιµάκωη των µέγιτων διατµητικών τάεων γύρω από δυο ρωγµές που υποβάλλονται ε οµοιόµορφο ταικό πεδίο ε όλο το ελατικό µέο µε τη βοήθεια χρωµατικού κώδικα (Σχήµα 5.) Σχήµα 5.: Ιοχρωµατικές καµπύλες ε όλο το µέο που περιβάλλει δυο ευθείες ρωγµές ε απόταη Κατανοµή των Τάεων το Ενδιάµεο Μέο υο Ευθύγραµµων Ρωγµών Σε αυτή την παράγραφο, εξετάζεται η επίδραη της ύπαρξης µιας δεύτερης ρωγµής την κατανοµή των τάεων, το ενδιάµεο µέο, όταν εφαρµόζεται υµµετρικά τάη P = 1, όπως φαίνεται το χήµα 5.3. Σχήµα 5.3 ύο ευθείες υγγραµµικές ρωγµές (Sneddon & Lowengrub, 1969). Θεωρείται ότι η τάη είναι η ίδια και τις δυο πλευρές της ρωγµής (δηλαδή υπάρχει υµµετρία ως προς τον άξονα )(Sneddon & Lowengrub, 1969). 83

95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Οι υπό µελέτη ρωγµές έχουν µήκος α = και βρίκονται αρχικά ε απόταη µέτρων µεταξύ τους. Η κατανοµή της κατακόρυφης τάης ε υνάρτηη µε την απόταη από τις αιχµές των δύο ρωγµών, δίδεται από το ακόλουθο χήµα : Σχήµα 5.4: Κατανοµή της κατακόρυφης υνιτώας της τάης, δύο ρωγµές που βρίκονται ε απόταη., ανάµεα ε Στο χήµα 5.5 φαίνεται και πάλι τότε η κατανοµή της κατακόρυφης τάης ανάµεα τις δυο ρωγµές, µε τη διαφορά ότι ε αυτή την περίπτωη βρίκονται ε απόταη 1 m, ενώ το χήµα 5.6, παρουιάζεται η ίδια κατανοµή τάης, όταν η απόταη µεταξύ των αιχµών των ρωγµών είναι ακόµα µικρότερη, 0.5m. Σχήµα 5.5: Κατανοµή της κατακόρυφης υνιτώας της τάης ανάµεα ε δύο ρωγµές που βρίκονται ε απόταη 1m. 84

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµα 5.6: Κατανοµή της κατακόρυφης υνιτώας της τάης ανάµεα ε δύο ρωγµές που βρίκονται ε απόταη 0.5m. Από το χήµα 5.7, όπου αναπαρίτανται υγκριτικά η κλιµάκωη των κατακόρυφων τάεων και τις τρεις περιπτώεις που µελετήθηκαν, γίνεται εµφανής η επιρροή της απόταης, ανάµεα τις ρωγµές, τις τάεις που αναπτύονται. Όο µικρότερη είναι η απόταη των ρωγµών, τόο µεγαλύτερες είναι και οι τάεις που αναπτύονται τα ενδιάµεα ηµεία του µέου. sigma Double crack distance 0.5 distance 1 distance 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 1,6 1,8 distance Σχήµα 5.7: Συγκριτική αναπαράταη των τάεων για τις τρεις διαφορετικές αποτάεις των ρωγµών Στο χήµα 5.8 φαίνεται η κλιµάκωη της υπό µελέτης τάης ενδεικτικά για την περίπτωη όπου οι δυο ρωγµές βρίκονται ε απόταη 1. 85

97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµα 5.8: Η κατανοµή της για απόταη ρωγµών Συντελετής Ένταης των Τάεων Στην περίπτωη δυο ευθύγραµµων υγγραµµικών ρωγµών ε άπειρο µέο, όπως φαίνονται το χήµα 5.9, οι αναλυτικές χέεις για τον υπολογιµό των υντελετών ένταης των τάεων και για του τρεις τύπους φόρτιης δίδονται τις χέεις [ 5.3] (Muskhelishvili s Method). K K K K K K I II III I II III ± a ± b = τ τ = τ τ inplane outofplane inplane outofplane b π α a E K ( k) ( k) b a a 1 E π b 1 k K ( k) ( k) [ 5.3] όπου: k = 1 a b K π ( k) = 0 dϕ 1 k sin ϕ 86

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ π ( k) = 1 k sin ϕ dϕ E 0 (Tada etal, 1973) Στο χήµα 5.9 φαίνεται η διάταξη που µελετήθηκε, για µήκος ρωγµών 1, και απόταη ταδιακά αυξανόµενη όπως φαίνεται τον πίνακα 5. Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται τα αποτελέµατα για τον υντελετή ένταης των τάεων K, έτι όπως προέκυψαν από το πρόγραµµα DDBETD και υπολογιτικά από την αναλυτική λύη (χέεις [ 5.3]). I Σχήµα 5.9: ιάταξη δυο ευθύγραµµων ρωγµών (Tada etal, 1973) Πίνακας 5..Συντελετής ένταης των τάεων K I για διάφορες αποτάεις µεταξύ των ρωγµών Απόταη a a K I προγράµµατος K I αναλυτικό ± a ± b ± a ± b 0, 1,5911 1,377 1,6046 1,3675 0,4 1,436 1,3369 1,4331 1,394 0,6 1,3701 1,3159 1,3694 1,3094 0,8 1,3373 1,309 1,3337 1, ,3175 1,94 1,3134 1,883 1, 1,3045 1,877 1,300 1,8 1,4 1,955 1,89 1,909 1,776 87

99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Το χήµα 5.30 είναι η γραφική απεικόνιη του πίνακα 5.1, όπου παρουιάζεται ο υντελετή K 5 I ε υνάρτηη µε τη απόταη µεταξύ των ρωγµών, έτι όπως υπολογίτηκε από πρόγραµµα (DDBETD),και από την αναλυτική λύη. 1,7 1,6 1,5 KIa (DDBETD) KIb (DDBETD) KIa (analtic.) KIb (analtic.) KI 1,4 1,3 1, 1, , 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 1,6 Distance Σχήµα 5.30: Συντελετής ένταης των τάεων υναρτήει της απόταης δυο ευθύγραµµων ρωγµών. Τα αποτελέµατα που βγαίνουν είναι φυικώς ερµηνεύιµα και παρουιάζουν πολύ καλή υµφωνία µε αντίτοιχες αναλυτικές λύεις 5.3 Σύτηµα Παράλληλων Ρωγµών ε Άπειρο Μέο Το Σε αυτή την παράγραφο, θα εξετατεί η κατανοµή των κατακόρυφων τάεων ανάµεα τις αιχµές δύο ιοµηκών παράλληλων ρωγµών α =, που βρίκονται ε άπειρο ελατικό µέο, χήµα 5.31 όταν εφαρµόζεται υµµετρικά τάη P = 1. Συγκεκριµένα θα µελετηθεί η κατανοµή των κατακόρυφων υνιτωών των τάεων ανάµεα τις αιχµές τους, αν υνάρτηη της απόταής τους. Στην πρώτη περίπτωη, οι ρωγµές βρίκονται ε απόταη 0.5, την δεύτερη ε απόταη 1 και τέλος την τρίτη ε απόταη. 5 Οι υντελετές ένταης των τάεων K II, K III υπολογίζονται αντίτοιχα εφαρµόζοντας τον κατάλληλο τύπο φόρτιης, για αυτό και δεν παρουιάζονται. εδώ. 88

100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµα 5.31: ιακρητοποίηη του µέου γύρω από δυο παράλληλες ρωγµές τις τρεις αποτάεις Στο ακόλουθο χήµα 5.3, φαίνεται η κατανοµή της κατακόρυφης υνιτώας της τάης ε υγκριτικό διάγραµµα και για τις τρεις περιπτώεις. 5 4,5 4 distance 0.5 distance 1 distance sigma 3,5 3,5 1,5 1 0, points Σχήµα 5.3: Συγκριτικό διάγραµµα κατακόρυφης υνιτώας της τάης 89

101 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Οι τάεις ακριβώς τις αιχµές των ρωγµών απειρίζονται, όπως άλλωτε ήταν αναµενόµενο, για αυτό και αφαιρέθηκαν. Από το διάγραµµα φαίνεται ότι όο πιο κοντά βρίκονται οι ρωγµές, τόο µεγαλύτερες είναι και οι τάεις που αναπτύονται. Ενδεικτικά παρουιάζεται το χήµα 5.33 όπου µε χρωµατικό κώδικα φαίνεται η κλιµάκωη της όταν η απόταη µεταξύ των ρωγµών είναι 1. Σχήµα 5.33: Κατακόρυφη υνιτώα της τάης ανάµεα ε παράλληλες ρωγµές 5.4 ιαταυρούµενα Σύνορα Οι Westman (1965), Srivastav και Narain (1965), αχολήθηκαν µε τη µελέτη της κατανοµής των τάεων γύρω από ένα υνδυαµό ρωγµών ε χήµα ατεριού, που βρίκεται µέα ε λεπτή άπειρη πλάκα. Στο ηµείο αυτό πρέπει να ηµειωθεί ότι η υπόψιν διάταξη ρωγµών προοµοιάζει τις ακτινικές ρωγµές γύρω από ένα διάτρυµα ανατίναξης Εντατικοπαραµορφωιακή Μελέτη ε ιάταξη Ατεριού Η υπό µελέτη διάταξη παρουιάζεται διακριτοποιηµένη (όπως προέκυψε από το πρόγραµµα DDBETD) το χήµα Όλες οι ρωγµές είναι ιοµήκεις ( a = 1), 90

102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ βρίκονται ε άπειρο µέο µε παραµέτρους του υλικού ν = 0. 1 και E = 0000 MPa υποβάλλονται ε οµοιόµορφη ταική καταπόνηη P = P 1. =. και Σχήµα 5.34 : ιάταξη ρωγµών ε χήµα ατεριού Η διάταξη αυτή µελετήθηκε µέω του προγράµµατος και προέκυψαν τα ακόλουθα χήµα που παρουιάζουν την κατανοµή των κυρίων τάεων τόο τα ύνορα της διάταξης, όο και το µέο που την περιβάλλει. Στο χήµα 5.35 απεικονίζεται η κλιµάκωη της µέγιτης κύριας τάης 1 (κατά την διεύθυνη ) και το χήµα 5.36 η κατανοµή ε όλο το µέο της µέγιτης κύριας τάης (κατά την διεύθυνη ) Σχήµα 5.35: Κατανοµή κύριας τάης 1 91

103 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµα 5.36: Κατανοµή κύριας τάης Από τα παραπάνω χήµατα υµπεραίνεται ότι τις ελεύθερες αιχµές των ρωγµών, γίνεται η υγκέντρωη των κυρίων τάεων. Σηµειώνεται ότι την περίπτωη αυτή που εφαρµόζεται οµοιόµορφο εντατικό πεδίο, οι κύριες τάεις θα µπορούαν να παραλληλιτούν µε τις αντιτοιχούν ακτινικές τάεις, r θ. Στο χήµα 5.37 παρουιάζεται η κατανοµή των µέγιτων διατµητικών τάεων (ή όπως αποκαλούνται ιοχρωµατικές καµπύλες). Σχήµα 5.37: Κατανοµή των µέγιτων διατµητικών τάεων τ 9

104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τέλος τα χήµατα 5.38 και 5.39 παρουιάζονται οι οριζόντιες και κατακόρυφες µετατοπίεις της ίδιας διάταξης Σχήµα5.38: Οριζόντιες µετατοπίεις U Σχήµα 5.39: Κατακόρυφες µετατοπίεις U 5.4. Συντελετής Ένταης των Τάεων Στην παράγραφο αυτή. γίνεται ύγκριη του υντελετή ένταης των τάεων K I, για την ακτινωτή αυτή διάταξη όταν υποβάλλεται ε οµοιόµορφο ταικό πεδίο, έτι όπως υπολογίζεται από το πρόγραµµα DDBETD και από την αναλυτική λύη. 93

105 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Ο αναλυτικός υπολογιµός του υντελετή αυτού για διατάξεις όπως φαίνονται το χήµα ( 5.40), γίνεται από τη χέη (.4) χήµα ( 5.41) (Tada etal, 1973) 5 και µε τη βοήθεια του διαγράµµατος το K I = πα F ( n) [ 5.4] Σχήµα5.40 : Ακτινικές διατάξεις ιοµηκών ρωγµών (Tada etal, 1973) Στον πίνακα 5.3 φαίνεται ο υντελετής ένταης των τάεων K I έτι όπως προέκυψε από το πρόγραµµα και όπως υπολογίτηκε αναλυτικά. Οι υπολογιµοί αυτοί έγιναν ε υνάρτηη µε τις γωνίες που αναφέρονται. Στο χήµα ( 5.4) παρουιάζεται το υγκριτικό διάγραµµα της υπολογιµένης και της αναλυτικής του τιµής Πίνακας 5.3 K αναλυτικό και προγράµµατος για την ακτινική διάταξη ρωγµών I Γωνία ( ο ) K I Αναλυτικό K I Προγράµµατος 30 0,9571 0, ,151 1, ,3116 1, ,5314 1,

106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ KI 1,6 1,5 1,4 1,3 1, 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 KI anal. KI prog angle Σχήµα 5.41 : Συγκριτικό διάγραµµα του υντελετή K I για την ακτινωτή διάταξη των ρωγµών ε υνάρτηης µε τη γωνία των ακτινών Από το υγκριτικό αυτό διάγραµµα φαίνεται ότι η αξιοπιτία του προγράµµατος την ταική µελέτη της διάταξης των ακτινωτών ρωγµών είναι αρκετά ικανοποιητική. Σχήµα 5.4: ιάγραµµα υπολογιµού της υνάρτηης F ( n) 95

107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 5.5 Καµπυλόγραµµη ρωγµή ε οµοιόµορφο εντατικό πεδίο Το υπολογιτικό πρόγραµµα DDBETD έχει τη δυνατότητα να µελετήεις το εντατικοπαραµορφοιακό πεδίο που αναπτύεται γύρω από µη ευθύγραµµες και µη υµµετρικές ρωγµές. Για παράδειγµα καµπύλες ρωγµές όπως αυτή που φαίνεται το χήµα Σχήµα 5.43 : Καµπύλη ρωγµή ε άπειρο µέο Στα ακόλουθα χήµατα φαίνεται η κατανοµή των µετατοπίεων και των κύριων τάεις για καµπύλη ρωγµή που υποβάλλεται ε οµοιόµορφο εντατικό πεδίο. Η εγκυρότητα και η ακρίβεια των αποτελεµάτων δεν µπορεί να διαπιτωθεί εφόον δεν δίδονται τη ανοιχτή βιβλιογραφία αναλυτικές λύεις για τέτοιου είδους διατάξεις Σχήµα 5.44: Οριζόντιες και κατακόρυφες µετατοπίεις καµπυλόγραµµης ρωγµής 96

108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σχήµα 5.45 : Κύριες τάεις καµπυλόγραµµης ρωγµής Σχήµα 5.46: Μέγιτες διατµητικές (ιοχρωµατικές καµπύλες) για την καµπυλόγραµµη ρωγµή 97