ΕΠΑΝΑΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΠΟΛΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΠΟΛΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή είναι μια έρευνα γύρω από τα συστήματα στο χώρο των καταστάσεων (state space systems) και τα συστήματα στο γενικευμένο χώρο των καταστάσεων (generalized state space systems) ή αλλιώς ιδιόμορφα συστήματα (descriptor systems). Διαπραγματεύεται τις διαφορές μεταξύ των δύο ειδών συστημάτων αναλύοντας τις παραμέτρους του κάθε είδους ξεχωριστά. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι α) η μελέτη των ιδιοτήτων των γενικευμένων συστημάτων όπως για παράδειγμα η ελεγξιμότητα, η παρατηρησιμότητα, η ευστάθεια κ.α, β) η παρουσίαση μιας λύσης στο πρόβλημα της επανατοποθέτησης πόλων ενός γενικευμένου συστήματος και γ) η περιγραφή του ιδανικού παρατηρητή κατάστασης για τα συστήματα αυτά. Στον πρόλογο της εργασίας αυτής θα κάνουμε μια μικρή αναφορά στις βασικές έννοιες τις οποίες θα διαπραγματευτούμε όπως: πολυμεταβλητό σύστημα, ευστάθεια και αστάθεια ενός πολυμεταβλητού συστήματος. Θα αναφερθούμε περιληπτικά στα δύο βασικά εργαλεία ελέγχου της συμπεριφοράς ενός συστήματος τον ελεγκτή και τον παρατηρητή κατάστασης. Στο πρώτο κεφάλαιο θα μιλήσουμε για τα συστήματα στον χώρο των καταστάσεων ξεκινώντας από την προέλευσή τους και τη βασική μορφή με την οποία τα συναντάμε. Θα εισάγουμε τις έννοιες της ελεγξιμότητας και της παρατηρησιμότητας ε- νός συστήματος και θα μιλήσουμε για τη σχέση μεταξύ ευστάθειας και ελεγξιμότητας που ουσιαστικά συνδέει το πρώτα δύο κεφάλαια της εργασίας μας με τα δύο τελευταία. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα γίνει μια αντίστοιχη αναφορά στα ιδιόμορφα συστήματα τις δομές και λειτουργίες τους, τις ισοδύναμες μορφές με τις οποίες τα συναντούμε σήμερα καθώς και μια μικρή σύγκριση με τα συστήματα του χώρου των καταστάσεων. Στο τρίτο κεφάλαιο θα μιλήσουμε για την επανατοποθέτηση πόλων και τη συνεισφορά της διαδικασίας αυτής στη συμπεριφορά των ιδιόμορφων συστημάτων. Τέλος θα αναφερθούμε στην εισαγωγή σε ένα σύστημα των παρατηρητών κατάστασης και στο τι αυτοί προσφέρουν στο σύστημα μας. Κλείνοντας αυτή την εργασία θα κάνουμε μια σύνοψη των παραπάνω ενεργειών, μια συνολική εκτίμηση των εξαγομένων αποτελεσμάτων καθώς επίσης και την παρουσίαση ένος νέου πακέτου συναρτήσεων στο περιβάλλον του Mathematica το οποίο δημιουργήσαμε έχοντας ως βάση το προαναφερόμενο θεωρητικό υπόβαθρο.

2 ABSTRACT This paper is a research on state space and generalized or descriptor state space systems. It examines the differences between the two kinds of systems analyzing each ones parameters seperately. This paper also studies some of the aspects of the generalized state space systems such as controllability, observability, stability etc. It also presents a solution of the pole placement problem in a generalized system and describes the ideal state observer for the generalized systems. In the first chapter we explore the state space systems, starting from their origin and their standard form. We also introduce the notions of controllability, observability and stability of a state space system. Chapter two examines the generalized state space systems thoroughly focusing on the equivalent forms while attempting a slight comparison to the notions of the state space systems. The third chapter is dedicated to the pole placement problem and the effect on the behaviour of the generalized state space systems that pole placement has. State Observers and their contribution to the system is the main issue in the last chapter. This paper concludes with a summary of the excluded results and presents a new Mathematica package which is based on the previously presented theory.

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Πρίν ξεκινήσουμε την μελέτη μας, θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Βαρδουλάκη Αντώνιο-Ιωάννη για τη συμβολή του στην εξέλιξη της εργασίας αυτής και τις ιδέες του, που με έκαναν να σκεφτώ, να προβληματιστώ και να ερευνήσω εις βάθος το θέμα που αυτή η εργασία πραγματεύεται.θα ήθελα ε- πίσης να ευχαριστήσω θερμά τον επίκουρο καθηγητή κ. Καραμπετάκη Νικόλαο για την οργανωτική επιμέλεια της εργασίας αυτής καθώς και την επίκουρη καθηγήτρια κα. Γουσίδου-Κουτίτα Μαρία για τον χρόνο που αφιέρωσε στη μελέτη και αξιολόγηση της εργασίας αυτής. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τους υποψήφιους διδάκτορες του τμήματος κ.κ. Βολογιαννίδη Σταύρο και Αντωνίου Στάθη για την βοήθεια και τις χρήσιμες συμβουλές τους πάνω στο προγραμματιστικό κομμάτι της εργασίας. 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Περίληψη.... Abstract Πρόλογος 3 4. Περιεχόμενα Κεφάλαιο : Συστήματα στον χώρο των καταστάσεων.. Εισαγωγή Ελεγξιμότητα Ευστάθεια Επανατοποθέτηση πόλων Παρατηρησιμότητα Παρατηρητές κατάστασης.6.. Παρατηρητές πλήρης τάξης Παρατηρητές μειωμένης τάξης Κεφάλαιο : Ιδιόμορφα συστήματα.. Εισαγωγή Πρώτη ισοδύναμη μορφή ( First equivalent form ) Δεύτερη και τρίτη ισοδύναμη μορφη ( Second and third equivalent form ) Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Κεφάλαιο 3: Επανατοποθέτηση πόλων στα ιδιόμορφα συστήματα 3.. Εισαγωγή Κανονικοποιησιμότητα στα ιδιόμορφα συστήματα Επανατοποθέτηση των πόλων στο άπειρο σε πεπερα σμένες θέσεις με τη χρήση αναλογικής ανάδρασης Επανατοποθέτηση των πόλων στο άπειρο σε πεπερα σμένες θέσεις με τη χρήση διαφορικής ανάδρασης Επανατοποθέτηση των πεπερασμένων πόλων σε Ευσταθεία Επανατοποθέτηση των πόλων ενός ιδιόμορφου συστήματος σε ευσταθείς με τη χρήση αναλογικής ανάδρασης Επανατοποθέτηση των πόλων ενός ιδιόμορφου συστήματος σε ευσταθείς με τη χρήση αναλογικήςδιαφορικής ανάδρασης Το αντίστροφο πρόβλημα για 3x3 συστήματα μίας εισό δου-μίας εξόδου Ανάδραση εξόδου

5 3..Ανακεφαλαίωση Κεφάλαιο 4: Παρατηρητές κατάστασης 4.. Εισαγωγή Κατασκευή ιδιόμορφου παρατηρητή κατάστασης Κανονικοί παρατηρητές κατάστασης...99 Παρατηρητές τάξης n-r... Παρατηρητές τάξης ranke...5 Παρατηρητές τάξης ranke-d Επίλογος...7. Βιβλιογραφία...8. Παράρτημα...9 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ STATE SPACE ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με τον γενικό όρο σύστημα εννοούμε ένα μέρος του φυσικού κόσμου το οποίο αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων τα οποία λειτουργούν συγχρόνως κατά προδιαγεγραμμένο τρόπο έτσι ώστε να επιτυγχάνεται ένα στόχος. Πιο συγκεκριμένα πολυμεταβλητό σύστημα ονομάζουμε κάθε σύστημα το ο- ποίο δέχεται πλήθος εισόδων και δίνει πλήθος εξόδων. Μείζον ζήτημα στα σύγχρονά συστήματα είναι η ευστάθειά τους δηλαδή το κατά πόσο ένα σύστημα μπορεί να δέχεται εξωτερικές επιδράσεις, τις οποίες ονομάζουμε εισόδους του συστήματος και είναι άλλοτε επιθυμητές και άλλοτε ανεπιθύμητες, να τις απορροφά και να μας δίνει αναμενόμενες και άρα επιθυμητές εξόδους. Πιο συγκεκριμένα ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν φραγμένες είσοδοι δίνουν φραγμένες εξόδους. Το πρόβλημα της αστάθειας προκύπτει κυρίως από την ύπαρξη των ανεπιθύμητων εισόδων, τις οποίες ονομάζουμε διαταραχές, όπως ο ηλεκτρονικός θόρυβος στα ηλεκτρονικά συστήματα ή οι καιρικές συνθήκες κατά τη διάρκεια μίας πτήσης και οι οποίες με τη σειρά τους μας δίνουν μη επιθυμητές εξόδους. Τα πολυμεταβλητά συστήματα είναι γενικώς ασταθή συστήματα δηλαδή φραγμένες είσοδοι στο σύστημα δίνουν μη φραγμένες εξόδους και άρα όχι αναμενόμενα αποτελέσματα. Αποτέλεσμα της αστάθειας ενός συστήματος είναι η μη σωστή λειτουργία του και η πιθανή καταστροφή του. Σε κάθε φυσικό σύστημα αντιστοιχεί και ένα μαθηματικό μοντέλο, ένα μαθηματικό πρότυπο όπως συνήθως ονομάζεται, ένα σύνολο δηλαδή εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων μεταβλητών του συστήματος. Σκοπός μας είναι η περιγραφή, μελέτη και ανάλυση του κάθε συστήματος ξεχωριστά μέσω του εκάστοτε μαθηματικού προτύπου, όσο δύσκολο και αν είναι το να περιγράψουμε ένα σύστημα με ένα και μόνο μαθηματικό πρότυπο. Η μελέτη αυτή ε- πιτυγχάνεται μέσω της χρήσης πολύπλοκων διαφορικών εξισώσεων με στόχο τον προσδιορισμό δύο νέων πολυμεταβλητών συστημάτων τα οποία ονομάζουμε ελεγκτή και παρατηρητή κατάστασης. Προορισμός του ελεγκτή κατάστασης είναι η εφαρμογή του στο σύστημα έτσι ώστε το κλειστό σύστημα που θα προκύψει να έχει επιθυμητές ιδιότητες όπως η ευστάθεια, δηλαδή φραγμένες είσοδοι να δίνουν και φραγμένες άρα και επιθυμητές ε- ξόδους. Αντίστοιχα προορισμός του παρατηρητή κατάστασης είναι να μας δώσει μια όσο το δυνατόν καλύτερη εκτίμηση της κατάστασης του συστήματος όταν αυτό είναι ανέφικτο μέσω της χρήσης αισθητήρων (π.χ σε απρόσιτα σημεία μιας μηχανής αεροπλάνου). Σαν παράδειγμα ενός πολυμεταβλητου συστήματος μπορούμε να αναφέρουμε το αεροπλάνο. Το σύστημα του αεροπλάνου δέχεται σαν εισόδους την ώθηση των μηχανών του, τις εξωτερικές συνθήκες όπως π.χ την ύπαρξη ανέμων κ.τ.λ, αλλά και τις μεταβολές στις κλίσεις των πτερυγίων και δίνει σαν έξοδο την πορεία του. Άλλο παράδειγμα πολυμεταβλητού συστήματος είναι το αυτοκίνητο μας το ο- ποίο δέχεται σαν εισόδους την κατάσταση του οδοστρώματος την πρόωση της μηχανής καθώς και την αλλαγή στην διεύθυνση κίνησης μέσω του τιμονιού και δίνει σαν εξόδο την πορεία του αυτοκινήτου. 6

7 Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες μαθηματικών προτύπων. Η μια περιλαμβάνει τα πρότυπα εισόδου - εξόδου (input output) τα οποία περιγράφουν ένα σύστημα εξωτερικά, δίνοντας μας τη σχέση μεταξύ των εισόδων και των εξόδων του συστήματος. Η άλλη κατηγορία, η οποία θα αποτελέσει και τη βάση για την εργασία μας, περιλαμβάνει τα πρότυπα του «χώρου των καταστάσεων» (state space models). Τα πρότυπα του χώρου των καταστάσεων περιγράφουν, πέραν των άλλων, και την εσωτερική δομή ενός συστήματος με τη βοήθεια του ανύσματος κατάστασης και εκφράζουν τη σχέση μεταξύ εισόδων, ανύσματος κατάστασης και εξόδων του συστήματος. Σε αυτή την εργασία θα μελετήσουμε δύο είδη πολυμεταβλητών συστημάτων των οποίων οι εξισώσεις προκύπτουν ουσιαστικά από το γενικό μαθηματικό πρότυπο ενός γραμμικού και χρονικά αναλλοίωτου πολυμεταβλητού συστήματος. όπου και Ap ( ) β ( t) = Bput ( ) ( ) y( t) = C( p) β ( t) + D( p) u( t) rxr [ ] [ ] pxr [ ] [ ] Ap ( ) R p, Bp ( ) R p, C( p) R p, D( p) R p rxm pxm β () t : R R, u() t : R R, y() t : R R r m p τα ανύσματα << ψευδοκατάστασης >>, εισόδων και εξόδων αντίστοιχα. Ή περιγραφή αυτή ονομάζεται περιγραφή του συστήματος μέσω πολυωνυμικών πινάκων και θα αποτελέσει την κύρια μέθοδο περιγραφής συστημάτων τα οποία θα διαπραγματευτούμε. Ξεκινώντας από τα παραπάνω και χρησιμοποιώντας κατάλληλους μετασχηματισμούς Laplace παίρνουμε το σύστημα όπου As () ˆ β () s = Bsus ()() ˆ yˆ() s = C() s ˆ β () s + D()() s uˆ s (..) ˆ β() s = L{ β()}, t uˆ () s = L{()}, u t y() s = L{()} y t οι μετασχηματισμοί Laplace των β () t : R R, u() t : R R, y() t : R R αντίστοιχα. Αν λοιπόν βάλουμε στη θέση του r m p [ ] nxn As () = si A R s, Bs () = B R n pxn Cs () = C R, Ds () R nxn όπου A R τότε λέμε ότι το σύστημα μας και δη η συμπεριφορά του περιγράφεται από τις εξισώσεις του χώρου των καταστάσεων pxm nxm 7

8 () t = Ax() t + Bu() t y() t = Cx() t + Du() t (..) όπου x() t το άνυσμα κατάστασης και ut () η είσοδος ελέγχου. Με (m) συμβολίζουμε των αριθμό των εισόδων του συστήματος ενώ με (ρ) συμβολίζουμε τον αριθμό των εξόδων του συστήματος. Παράδειγμα. [Kirk, 97]: Έστω το αυτοκίνητο του σχήματος (..) Σχήμα.. Το αυτοκίνητο ξεκινά από το σημείο Ο και προχωρά σε ευθεία γραμμή. Η απόσταση που καλύπτει το αυτοκίνητο συμβολίζεται με d(t). Θεωρούμε το αυτοκίνητο σαν μια μάζα m που επιταχύνει με το γκάζι και επιβραδύνει με το φρένο. Δεδομένου ότι η ταχύτητα από τους νόμους της φυσικής δίνεται σαν παράγωγος της απόστασης και η ε- πιτάχυνση σαν παράγωγος της ταχύτητας προκύπτει η παρακάτω διαφορική εξίσωση dt && () = at () + bt () (..3) όπου α(t) είναι η επιτάχυνση κατά την πρόωση του οχήματος ενώ b(t) είναι η επιβράδυνση από το φρενάρισμα του οχήματος. Αν θέσουμε x() t = d() t u() t = a() t x () t = d& () t u () t = b() t τότε το σύστημά μας θα γίνει () t = x () t () t = u () t + u () t (..4) ενώ αν χρησιμοποιήσουμε πίνακες θα έχουμε () t x() t = + ut () () t x () t x () t y = C x () t (..5) που είναι ένα σύστημα στη μορφή του χώρου των καταστάσεων. 8

9 Πριν προχωρήσουμε στη μελέτη των ιδιοτήτων των συστημάτων στη μορφή του χώρου των καταστάσεων θα μιλήσουμε για τις ιδιοτιμές ενός συστήματος που τόσο σημαντικό ρόλο διαδραματίζουν στη μελέτη αυτών. Ορισμός..: Ιδιοτιμές ενός συστήματος της μορφής (..) ονομάζουμε όλα εκείνα τα λ i τα οποία μηδενίζουν το χαρακτηρηστικό πολυώνυμο sin A του συστήματος μας ή αλλιώς όλα εκείνα τα λ i που ικανοποιούν την εξίσωση sin A =. Οι ι- διοτιμές του συστήματος ονομάζονται αλλιώς και πόλοι του συστήματος. Για να βρούμε τους πόλους ενός συστήματος θα χρησιμοποιήσουμε (πέρα από την ε- πίλυση της εξίσωσης sin A = που αποτελεί και την πιο εύκολη και συνήθη μέθοδο) τη Smith μορφή του πίνακα As () = sin A. Παράλληλα θα αναφερθούμε και στην Smith-McMillan μορφή ενός πίνακα πραγματικών ρητών συναρτήσεων καθώς και στη Smith-McMillan μορφή ενός πίνακα στο άπειρο, έννοια την οποία θα συναντήσουμε κυρίως στο τρίτο κεφάλαιο της εργασίας μας. Ορισμός..: Ενας πολυωνυμικός πίνακας As () Rs [] nxm ονομάζεται ομαλός (regular) ανν ισχύει: i) m n det As ( ). = ii) [ ] Ορισμός..3: Ενας ομαλός πολυωνυμικός πίνακας As () Rs [] nxn ονομάζεται αντιστρέψιμος ή μονομετρικός (unimodular) ανν ισχύει [ ] * det A( s) = c, c R. Ορισμός..4: Δύο πολυωνυμικοί πίνακες As (), Bs () Rs [] nxm ονομάζονται μονομετρικά ισοδύναμοι (unimodular equivalent) ανν υπάρχουν δύο μονομετρικοί πίνακες nxn mxm T() s R[] s, T () s R[] s έτσι ώστε να ισχύει As () = T() sbst () () s. Θεώρημα.. [Vardulakis, 99]: Έστω πολυωνυμικός πίνακας T() s R[ s] rank T s = r { n m}. Ο πίνακας () R( s) () min, διαγώνιο πίνακα nxm με Ts είναι μονομετρικά ισοδύναμος με έναν S C T( s) ε() s K K ε ( s) K K M M O M M M = K ε r( s) K K K M M M M O M K K Rs [ ] nxm (..6) όπου [ ] εi () s R s, i =,, K, r τα αναλλοίωτα πολυώνυμα του T() s και το () i s διαιρεί το ε () s όπου i=,3, K, r. i ε 9

10 C Ο πίνακας ST( s) R[ s] C τον πίνακα S R[ s] Ισχύει T( s) nxm ονομάζεται Smith μορφή του πίνακα Ts (). Για να βρούμε nxm αρκεί να υπολογίσουμε τα αναλλοίωτα πολυώνυμα ε () s. mi () s εi ( s) =, i=,,..., r, m ( s) = (..7) m () s i όπου mi () s R[ s], i,,, r τάξεως i του πίνακα Ts () Rs [ ] = K ο μέγιστος κοινός διαιρέτης όλων των υπο-οριζουσών pxm. Παράδειγμα.: Έστω ο πίνακας όπου rankr( s) T () s =. Για τον πίνακα αυτόν θα ισχύει s+ s+ T() s = s s ( s+ )( s+ ) 4s+ 4 R s m s m s s m s s s [ ] 3 x 3 () =, () = +, () = ( + )( + ) i και άρα η Smith μορφή του πίνακα T() s θα είναι s + C ST( s) = ( s )( s ) + + Τα μηδενικά του πίνακα Ts () είναι όλα εκείνα τα s τα οποία μηδενίζουν τα στοιχεία C της διαγωνίου του πίνακα S T( s). Άρα λοιπόν τα μηδενικά του πίνακα θα είναι το - και το -. Άρα λοιπόν η Smith μορφή του πίνακα si A θα μας δώσει τα μηδενικά του πίνακα αυτου. Τα μηδενικά της Smith μορφής ενός πίνακα si A είναι οι πόλοι ενός συστήματος της μορφής (..). Πέρα από την Smith μορφή ενός πολυωνυμικού πίνακα υπάρχει μία δομή η οποία μας δίνει τα μηδενικά αλλά και τους πόλους ενός πίνακα ρητών συναρτήσεων. Θεώρημα.. [Vardulakis, 99]: Έστω πίνακας ρητών συναρτήσεων T() s R() s nxm με rankr( s) T () s = r min { n, m}. Ο πίνακας T() s είναι μονομετρικά ισοδύναμος με έναν διαγώνιο πίνακα

11 S C T( s) ε() s K K ψ () s ε () s K K ψ () s M M O M M M ε r () s = K K ψ r () s K K M M M M O M K K Rs () nxm (..8) εi () s όπου οι R(), s i =,, K, r ονομάζονται αναλλοίωτες ρητές συναρτήσεις του ψ i () s Ts () και το ε () i s διαιρεί το ε i () s ενώ το ψ i () s διαιρεί το () C ψ i s. Ο πίνακας S T( s) στην περίπτωση αυτή ονομάζεται Smith-McMillan μορφή του αρχικού πίνακα T() s. Τα s εκείνα τα οποία μηδενίζουν τα εi () s ονομάζονται μηδενικά του πίνακα T() s, ενώ τα s εκείνα τα οποία μηδενίζουν τα ψ i () s ονομάζονται πόλοι του πίνακα T() s. Η διαδικασία εύρεσης της Smith-McMillan μορφής ενός πίνακα πραγματικών ρητών συναρτήσεων είναι παρόμοια με πρίν μόνο που στην περίπτωση αυτή βγάζουμε στην αρχή σαν κοινό παράγοντα των ρητών συναρτήσεων του T() s το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρανομαστών των συναρτήσεων και μετά βρίσκουμε τη Smith μορφή του πίνακα που μένει. Παράδειγμα.3: Έστω ο (x) πίνακας πραγματικών ρητών συναρτήσεων s + ( s+ )( s+ 3) T() s = = N() s ( s )( s )( s 3) ( s )( s 3) ( s )( s ) = d( s) s+ s+ 3 Στη συνέχεια βρίσκουμε τη Smith μορφή του πίνακα Ns: () C S N ( s ) = ( s+ )( s+ ) ( s+ 3) και τελικά η Smith-McMillan μορφή του αρχικού πίνακα θα είναι C S T ( s ) = ( s )( s )( s 3) = ( s+ )( s+ )( s+ 3) ( s+ )( s+ ) ( s+ 3) ( s + ) Ο πίνακας T() s θα έχει τρεις πόλους στο C τους,, 3 και ένα μηδενικό το -.

12 Ορισμός..5: Δυο πολυωνυμικοί πίνακες As (), Bs () Rs [] rxr ονομάζονται biproper ισοδύναμοι (biproper equivalent) ανν υπάρχουν biproper πίνακες U (), s U () s R () s rxr έτσι ώστε U () s A() s U () s = B() s. L R pr L Θεώρημα..3 [Vardulakis, 99]: Έστω πίνακας πραγματικών ρητών συναρτήσεων T() s R() s nxm με rankr( s) T () s = r min { n, m}. Ο πίνακας T() s είναι biproper ι- σοδύναμος στο άπειρο με έναν διαγώνιο πίνακα της μορφής R S = blockdiag s, s, K, s,, K,, s s q q qk T( s) qˆ, k qˆ n r m r + r K, ˆ ˆ K ˆ. όπου q q qk qr qr qk+ Αν ένας πίνακας έχει κ qi και λ qˆ i τότε λέμε ότι ο πίνακας έχει κ πόλους στο άπειρο τάξης q i ο καθένας καθώς και λ μηδενικά στο άπειρο τάξης q ˆi το καθένα. Έστω λοιπόν ότι έχουμε έναν πίνακα T() s R() s pxm T() s = tij () s όπου nij () s tij () s = dij () s και i =,, Kp j =,, K, m. Για να βρούμε τα q, q, K, qr ορίζουμε απεικόνιση δ (()) ts = deg ds () deg ns () και δ () =, δ () = δ ( ) =. Τότε θα ισχύουν οι σχέσεις: με { } q = ξ ( T) ξ ( T) q = ξ ( T) ξ ( T) M M q = ξ ( T) ξ ( T) r r r (3..3) όπου ξ ( T ) το μικρότερο () ανάμεσα σε όλα τα () των υποοριζουσών τάξης κ k και ξ ( T ) = Παράδειγμα.4: Έστω ο πίνακας s T() s = s Για τον πίνακα αυτό θα έχουμε δ δ

13 ξ( T ) = ξ( T ) = min{,,,,,,,,} = ξ( T ) = min{,,,,,,,, } = ξ ( T ) = 3 και επομένως ο πίνακας T() s θα είναι ισοδύναμος στο άπειρο με τον πίνακα ( ) s s ( ) ST( s) = s = s s Ο πίνακας αυτός θα έχει δύο πόλους στο άπειρο τάξης και ένα μηδενικό στο άπειρο τάξης. s 3

14 . ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ ΣΤΑ STATE SPACE ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω τώρα το σύστημα () t = Ax() t + Bu() t y() t = Cx() t + Du() t (..) Ορισμός..: Το σύστημα (..) ονομάζεται ελέγξιμο (controllable) αν για κάθε n αρχική συνθήκη x() R και χρόνο t > υπάρχει είσοδος ut (), t [, t] τέτοια ώστε η κατάσταση xt ( ) =. Θεώρημα..: Το σύστημα (..) είναι ελέγξιμο αν ισχύει μία από τις κάτωθι ισοδύναμες προτάσεις :. rankr[ λin A, B] = n λ sp( A) όπου sp(a) είναι το σύνολο των ιδιοτιμών του πίνακα Α..Το ζεύγος ( AB, ) δεν είναι όμοιο με ζεύγος της μορφής A A B, A kn, k km, 3. [,,..., n rank B AB A B] = n. R τ 4.Αν ξ R xn τ τ είναι τέτοιο έτσι ώστε ξ ( si A) B = για κάθε s C τότε ξ = ή ισοδύναμα αν οι (n) γραμμές του πίνακα ανεξάρτητες για κάθε s C. n ( si ) [ ] nxm n A B R s είναι γραμμικά τ xn τ At 5. Αν ξ R είναι τέτοιο έτσι ώστε ξ e B= για t [, t] και αυθαίρετο t,τότε τ At nxm ξ = ή ισοδύναμα αν οι (n) γραμμές του e B R είναι γραμμικά ανεξάρτητες για κάθε t [, t]. Κοιτώντας τη δεύτερη από τις παραπάνω ισοδύναμες προτάσεις παρατηρούμε ότι εάν ένα σύστημα δεν είναι ελέγξιμο τότε το ζεύγος ( AB, ) θα είναι όμοιο με ένα ζεύγος της μορφής A A B kn, k A km, δηλαδή θα υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας xˆ( t) = Tx() t, όπου T ομαλός nxn πίνακας ( det( T ) ) έτσι ώστε TAT = A A kn, k A και TB = B km, 4

15 με A R ( n k) x( n k), A ( n k) xk R και A kxk R. Οι ιδιοτιμές του πίνακα A ονομάζονται αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου (input decoupling zeros) και είναι οι μη ελέγξιμες ιδιοτιμές του συστήματος. Είναι οι ιδιοτιμές λ sp( A) για τις οποίες ισχύει rank[ λi A, B] < n. Με άλλα λόγια ο πίνακας i A αποτελεί το μη ελέγξιμο μέρος του συστήματός μας. Προφανώς οι ιδιοτιμές του πίνακα A θα είναι οι ελέγξιμες ιδιοτιμές του πίνακα A. Το σύστημα μας (..) μέσω του παραπάνω μετασχηματισμού ομοιότητας n xˆ( t) = Tx() t x t = T xˆ t () () (..) παίρνει την εξής μορφή xˆ& () t A A xˆ() t B = ut () xˆ () t kn, k A + xˆ () t & km, xˆ () t yt ( ) = [ C C] (..3) xˆ () t ( n k) xm px( n k) pxk με B R, C R, C R Σύμφωνα δε με τα παραπάνω το σύστημα xˆ & () t = Axˆ () t + Bu () t είναι ελέγξιμο ενώ το σύστημα xˆ & ˆ () t = Ax() t είναι μη ελέγξιμο. Παράδειγμα.4: Έστω τώρα το σύστημα () t x() t ut () x() t = 5 6 x() t + & x () t yt () = [ ] x() t To χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος αυτού θα είναι s = = = ( + )( + 5) 5 s + 6 si A s s s s δηλαδή οι ιδιοτιμές θα είναι το λ = και το λ = 5. Παρατηρούμε ότι rank [ λi A B] = rank 5 5 = 5 rank [ λi A B] = rank = 5 που σημαίνει ότι ο πίνακας δε χάνει rank για καμία από τις ιδιοτιμές του συστήματος άρα το σύστημα μου αυτό σύμφωνα με το τρίτο κριτήριο θα είναι ελέγξιμο. 5

16 .3 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Στα συνεχή συστήματα τα οποία και εξετάζουμε συναντούμε τρεις διαφορετικές μορφές ευστάθειας: την ευστάθεια φραγμένης εισόδου φραγμένης εξόδου την ευστάθεια σε κύκλο την ασυμπτωτική ευστάθεια την οποία και θα μελετήσουμε Τα δύο τελευταία είδη ευστάθειας αναφέρονται σε συστήματα με ελεύθερη απόκριση, μηδενική είσοδο και μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Στην εργασία αυτή με τον όρο ευστάθεια θα εννοούμε την ασυμπτωτική κατά Lyapunov ευστάθεια. Έστω τώρα το σύστημα (..) Ορισμός.3.: Πόλοι του συστήματος ονομάζονται οι ιδιοτιμές του πίνακα Α ενώ τάξη του συστήματος ονομάζεται ο αριθμός των πόλων του συστήματος. Ορισμός.3.: Μια ιδιοτιμή λi C ενός πίνακα Re( λ i ) < ενώ ονομάζεται ασταθής αν Re( λ i ) >. A R nxn ονομάζεται ευσταθής αν Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι ένα σύστημα της μορφής του χώρου των καταστάσεων (..) είναι ευσταθές αν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα A R (δηλαδή οι πόλοι nxn του συστήματος) είναι ευσταθείς δηλαδή βρίσκονται εντός του ανοικτού αριστερού ημιεπιπέδου Παράδειγμα.5: Έστω το σύστημα C = { s/re( s) < } () t x() t ut () x() t = x() t + & yt () = xt () [ ] Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος αυτού είναι s + si A = = ( s + )( s + ) s + Οι πόλοι του συστήματος είναι το - και το -, βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ε- πίπεδο και συνεπώς το σύστημα αυτό θα είναι ευσταθές. Παράδειγμα.6: Έστω τώρα το σύστημα () t x() t ut () x() t = x() t + & yt () = xt () [ ] 6

17 όπου απλώς αλλάζουμε το πρώτο στοιχείο της πρώτης γραμμής του πίνακα Α. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος αυτού είναι s si A = = ( s )( s + ) s + και βλέπουμε ότι οι πόλοι του συστήματος αυτού είναι το - και το. Άρα το σύστημα αυτό θα είναι ασταθές διότι ο ένας του πόλος είναι το που δεν ανήκει στο ανοικτό αριστερο ημιεπίπεδο. Για να μετατρέψουμε αυτό το ασταθές σύστημα σε ευσταθές θα πρέπει να βρούμε έναν τρόπο έτσι ώστε να μετατρέψουμε όλες τις μη ευσταθείς ιδιοτιμές του σε ευσταθείς. Για να συμβεί όμως αυτό πρέπει να ικανοποιούνται κάποιες απαραίτητες προυποθέσεις. Ορισμός.3.3: Ένα σύστημα () t = Ax() t + Bu() t ονομάζεται σταθεροποιήσιμο (stabilizable) αν υπάρχει πίνακας K τέτοιος ώστε οι ιδιοτιμές του πίνακα A+ BK να βρίσκονται όλες στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Παρατηρούμε ότι υπάρχει στενή σχέση μεταξύ της σταθεροποιησιμότητας και της ε- λεγξιμότητας. Κι αυτό διότι όπως προαναφέραμε εάν ένα σύστημα είναι ελέγξιμο τότε μπορούμε να ελέγξουμε τις ιδιοτιμές του δηλαδή μπορούμε να τις μετακινήσουμε σε όποιο σημείο θέλουμε εμείς. Δεν έχουμε παρά να επιλέξουμε τον κατάλληλο πίνακα K και μέσω της ανάδρασης κατάστασης u = Kx+ v την οποία θα μελετήσουμε λίγο αργότερα να πάρουμε τον πίνακα A + BK ο οποίος να έχει τις επιθυμητές ιδιοτιμές. Πρόταση.3.: Εάν ένα σύστημα της μορφής (..) είναι ελέγξιμο τότε θα είναι σταθεροποιήσιμο. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα.. Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε ένα μη ελέγξιμο ασταθές σύστημα του οποίου το μη ελέγξιμο μέρος έχει όλες τις ιδιοτιμές ευσταθείς, ανήκουν δηλαδή όλες στο ανοικτό αριστερό ημιεπίπεδο. Το σύστημα μου αυτό μπορεί να σταθεροποιηθεί μεταφέροντας τις ασταθείς αλλά ελέγξιμες ιδιοτιμές στο ανοικτό αριστερό ημιεπίπεδο C = { s/re( s) < }. Στο παράδειγμα.6 της σελίδας 3 το σύστημά μας είναι και ασταθές και μη ελέγξιμο αφού ισχύει Παρατηρούμε όμως ότι αν λ = rank [ B, AB] = rank rank [ λι Α ] = δηλαδή η ασταθής ιδιοτιμή του συστήματος είναι ελέγξιμη. Άρα μπορώ να την επανατοποθετήσω. Στο παράδειγμα.9 της σελίδας 3 θα δούμε την επανατοποθέτηση μίας ασταθούς αλλά ελέγξιμης ιδιοτιμής. 7

18 Πόρισμα.3.: Ένα σύστημα της μορφής () t = Ax() t + Bu() t είναι σταθεροποιήσιμο αν και μόνον αν όλα τα αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου, δηλαδή οι μη ελέγξιμες ι- διοτιμές (αν υπάρχουν) βρίσκονται στο ανοικτό αριστερό ημιεπίπεδο, αν δηλαδή είναι ευσταθείς. 8

19 .4 ΕΠΑΝΑΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΠΟΛΩΝ ΣΤΑ STATE SPACE ΣΥΣΤΗ- ΜΑΤΑ Θα μιλήσουμε λίγο για την επανατοποθέτηση πόλων (ιδιοτιμών) στα συστήματα του χώρου των καταστάσεων. Για το πώς αυτή λειτουργεί, σε τι συνίσταται και στο αποτέλεσμα που επιφέρει σε ένα τέτοιο σύστημα. Πριν όμως μιλήσουμε για την επανατοποθέτηση πόλων θα πούμε λίγα πράγματα για το βασικό εργαλείο μέσω του οποίου αυτή επιτυγχάνεται και το οποίο είναι η ανάδραση κατάστασης ( state feedback ). Με τον όρο ανάδραση (feedback) ονομάζουμε τη διαδικασία εκείνη κατά την οποία ανατροφοδοτούμε το σύστημα μας διαρκώς με τα δεδομένα της κατάστασης στην οποία βρίσκεται το σύστημα την κάθε στιγμή. Ένα από τα πιο σημαντικά παραδείγματα ανατροφοδότησης-ανάδρασης σε σύστημα είναι το σύστημα αεροσκάφος αυτόματος πιλότος. Ένα αεροσκάφος αποτελεί ένα δυναμικό σύστημα διαρκώς μεταβαλλόμενο, δεχόμενο πληθώρα επιδράσεων εισόδων, άλλων επιθυμητών, όπως π.χ οι εντολές του χειριστή και άλλων μη επιθυμητών, όπως τα πλευρικά, ανοδικά ή καθοδικά ρεύματα. Ο αυτόματος πιλότος ουσιαστικά αποτελεί τον ελεγκτή (controller) ο οποίος δέχεται διαρκώς σαν είσοδο, μέσω αισθητηρίων οργάνων με τα οποία συνδέεται με τις επιφάνειες ελέγχου πτήσης, την «κατάσταση» του αεροσκάφους. Ένα αεροσκάφος χωρίς αυτόματο πιλότο θα ή- ταν ένα ασταθές μη ελέγξιμο σύστημα διόλου αξιόπλοο. Ο αυτόματος πιλότος καθιστά το κλειστό σύστημα αεροσκάφος αυτόματος πιλότος ευσταθές και ελέγξιμο. Έστω το σύστημα μιας εισόδου μιας εξόδου (single input-single output) στο χώρο των καταστάσεων () t = Ax() t + Bu() t yt () = Cxt () (.4.) με A R, B R, C R nxn nx xn και έστω το άνυσμα κατάστασης x () t x () t x() t = R M xn () t nx (.4.) Ορίζουμε <<νόμο ελέγχου>> ο οποίος αποτελεί <<ανάδραση του ανύσματος κατάστασης >> μέσω σταθερού πίνακα Κ της μορφής ut () = Kxt () + vt () όπου vt () το νέο άνυσμα εισόδου. Ο νόμος ελέγχου αυτός συνίσταται στον γραμμικό συνδυασμό όλων των συνιστωσών x ( t), i =,,..., n του ανύσματος κατάστασης x() t i 9

20 x () t x() t. ut () = Kxt () + vt () = [ kn kn kn... k] + vt () =.. xn () t = kx( t) + k x( t) kx( t) + vt ( ) (.4.3) n n n Ένας νόμος ελέγχου αυτής της μορφής ονομάζεται ρυθμιστής (regulator). Αντικαθιστώντας τη σχέση (.4.3) στο σύστημά μας θα έχουμε xt &() = Axt () + But () = Ax() t + B[ Kx() t + v()] t = Ax() t + BKx() t + Bv() t = ( A+ BK) x( t) + Bv( t) (.4.4) Σχημα.4. Παρατηρούμε ότι η ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόγχου που προκύπτει (σχήμα.4.) εξαρτάται πλέον όχι από τη θέση των ιδιοτιμών του πίνακα nxn A R αλλά από τη θέση των ιδιοτιμών του πίνακα A + BK. Άρα επιλέγοντας κατάλληλο πίνακα Κ ουσιαστικά ορίζουμε τις νέες μας ιδιοτιμές! Απαραίτητη όμως προϋπόθεση για να μπορούμε να επανατοποθετήσουμε όλους τους πόλους ενός συστήματος σε οποιαδήποτε επιθυμητή τιμή είναι το σύστημα αυτό να είναι ελέγξιμο. Πράγματι έστω ότι έχουμε το σύστημα (.4.). Αν το σύστημα μας δεν είναι ελέγξιμο είδαμε ότι θα υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας T όπου T είναι ένας ομαλός nxn πίνακας έτσι ώστε το ζεύγος πινάκων ( AB, ) να είναι όμοιο με ένα ζεύγος A A B ( AB %, % ) = kn, k A km, Έστω τώρα ότι στο σύστημα μας εφαρμόζουμε ανάδραση κατάστασης της μορφής u= Kxt () + vt () (.4.5)

21 Το σύστημα όπως είδαμε και πιο πάνω θα γίνει xt &() = Axt () + But () = Ax() t + B[ Kx() t + v()] t = Ax() t + BKx() t + Bv() t = ( A+ BK) x( t) + Bv( t) yt () = Cxt () (.4.6) Οι πόλοι του κλειστού συστήματος θα δίνονται από τη λύση της εξίσωσης: si ( A + BK) = si A BK = n Παίρνουμε το χαρακτηριστικο πολυώνυμο του κλειστού συστήματος και έστω ότι n KT K% K% K% (.4.7) = = θα έχουμε: sin A BK = T sin A BK T = sin T AT T{ B KT { = si A% BK %% n q B% K% Iq A A B% = s K % K% I n q A siq A B % K % A B% K % = sin q A = si A B% K% si A n q (.4.8) Από την τελευταία σειρά διαπιστώνουμε ότι δεν μπορούμε να ελέγξουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα A γιατί αυτές είναι ανεξάρτητες του Κ. Η επανατοποθέτηση των πόλων ενός συστήματος του χώρου των καταστάσεων με τη χρήση ανάδρασης κατάστασης μπορεί να επιτευχθεί με δύο τρόπους: με την απευθείας μέθοδο με τη χρήση των κανονικών μορφών ελεγξιμότητας ) Απευθείας μέθοδος Έστω ότι έχουμε το σύστημα (.4.) και το χαρακτηρηστικό πολυώνυμο αυτού n si A = s + a s a s + a (.4.9) n n n

22 Μετά από ανάδραση της εισόδου της μορφής (.4.5) το αρχικό μας σύστημα θα πάρει τη μορφή (.4.6) και το χαρακτηρηστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόγχου θα είναι n si ( A + BK) = s + d s d s + d (.4.) n n n Έστω δε q, q, K, qn οι επιθυμητοί πόλοι και ( s q )( s q ) K ( s q ) = s + q s qs+ q (.4.) n n n n το επιθυμητό χαρακτηρηστικό πολυώνυμο. Για να βρούμε τον πίνακα Κ δεν έχουμε παρά να εξισώσουμε τα πολυώνυμα (.4.) και (.4.). Παράδειγμα.7: Έστω λοιπόν σύστημα της μορφής (.4.) με πίνακες A=, B= Το σύστημα αυτό είναι ελέγξιμο (και άρα μπορούμε αν θέλουμε να επανατοποθετήσουμε όλες τις ιδιοτιμές του) αφού ισχύει [ ] rank B AB 3 = rank = 3 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος αυτού είναι 5 det ( si A) = s( s ) που σημαίνει ότι οι πόλοι του είναι το και το 5/ και έστω ότι οι επιθυμητοί πόλοι είναι το - και το -. Έστω δε ο πίνακας K = [ k, k]. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόγχου θα είναι 5 sin A + BK = s + k k s + k k ( ) ( ) ενώ το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα είναι ( s+ )( s+ ) = s + 3s+ Εξισώνοντας αυτά τα δύο πολυώνυμα παίρνουμε το σύστημα

23 k k = 5 k k = 3 από το οποίο προκύπτει ότι k = k = 5 Ο πίνακας Κ λοιπόν θα είναι ο K =, 5 ) Με χρήση των κανονικών μορφών ελεγξιμότητας. Έστω ένα ελέγξιμο συστημα της μορφής (.4.). Εφόσον το σύστημα μας είναι ελέγξιμο θα υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας xt Txt % ή xt % T xt () = () () = () έτσι ώστε οι νέοι πίνακες του συστήματος να έχουν τη μορφή K K A% = T AT = M O R, B% = T B= R K M a a a nxn nx n (.4.) όπου a, a,..., an είναι οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου n n si A = s + a s a s + a του συστήματος. Η μορφή αυτή του συστήματος n n μας ονομάζεται κανονική μορφή ελεγξιμότητας. Όπως πριν εφαρμόζω στο σύστημα μας ανάδραση της μορφής u= Kxt () + vt () και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος θα γίνει sin A BK = T sin A BK T = sin T AT T{ B KT { = si A% BK %% n B% K% K K K K = s K M O [ δ δ K δn ] = M M K K a a a n 3

24 = s K s K M M K a δ a δ s+ a δ n n n = ( s + ( a δ ) s +...( a δ ) (.4.3) n n n Έστω δε μ, μ,..., μn οι επιθυμητές ιδιοτιμές συστήματος. Άρα το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος μας θα είναι qs ( ) = ( s μ )( s μ )...( s μ ) = s + q s qs+ q (.4.4) n n n n Συγκρίνουμε τις εξισώσεις (.4.3) και (.4.4) και παρατηρουμε ότι θα πρέπει να είναι q = a δ δ = a q q = a δ δ = a q q = a δ δ = a q n n n n n n Όμως είναι [ δ δ... δ ] [ δ δ... δ ] K% = KT = K = KT % = T n n Κατ αυτόν τον τρόπο προσδιορίζεται ο πίνακας Κ στα συστήματα μιας εισόδου μιας εξόδου. Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα εύρεσης του πίνακα Κ με τη χρήση της κανονικής μορφής ελεγξιμότητας. Παράδειγμα.8: Δίνεται το σύστημα () t x () t = ut () () + () x t x t & Στην αρχή ελέγχουμε αν το σύστημα μας είναι ελέγξιμο. Επειδή είναι n= παίρνω rank [ B AB ] = rank = Άρα το σύστημα μας θα είναι ελέγξιμο. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος θα είναι 4

25 s = = 3 = ( + )( 3) s si A s s s s Άρα a =, a = 3 Οι ρίζες του πολυωνύμου είναι το - και το 3. Η ρίζα 3 δεν ανήκει στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Έστω λοιπόν ότι θέλουμε για να είναι το σύστημα μας ευσταθές οι πόλοι του να είναι το - και το -. Το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα είναι Άρα q = 3, q = qs s s s s () = ( + )( + ) = + 3+ K% KT K KT % T όπου Είδαμε πριν ότι = = [ δ δ... δ ] = = [ δ δ... δ ] n n q = a δ δ = a q δ = a q = 3 = 5 q = a δ δ = a q δ = a q = 3= 5 Αρκεί λοιπόν να βρουμε τον πίνακα Τ και εν συνεχεία τον αντίστροφο του: Ο Τ είναι ο πίνακας που μετατρέπει το σύστημα μας στην κανονική μορφή ελεγξιμότητας είναι δηλαδή εκείνος ο πίνακας για τον οποίο γενικά ισχύει K K A% = T AT = M O R, B% = T B= R K M a a a nxn nx n Από τη σχέση A% = T AT προκύπτει ότι TA% = AT ενώ από τη σχέση προκύπτει ότι B = TB % = t οπότε αν [ ] n T = t... t tn θα έχω % B = T B K K At [ t... tn] = [ t t... tn] M O K a a a n [ At At... Atn] = [ atn t at n t atn... tn an tn] = [ ab t ab t ab t a B]... n n 5

26 n n At = ab t = ab + aab an A B + A B At = t a B... At = t a B n n n At = t a B t = a B + AB n n n n n = + = + + = + + tn an B Atn an B A( an B AB) an B an AB A B a a a3 a a3 K n T = [ t t... tn ] = B AB... A B M M an... Στην περίπτωσή μας είναι a T = [ t t] = [ B AB] = = Ο αντίστροφος του πίνακα Τ θα είναι: Πράγματι είναι = T T AT = = 3 που είναι η κανονική μορφή ελεγξιμότητας του συστήματός μας. Άρα ο πίνακας Κ που θα μας επιτρέψει την επανατοποθέτηση των πόλων του συστήματος είναι: K = = [ 5 5] [ 5 5] Αν λοιπόν πάρουμε ανάδραση εισόδου [ 5 5] u = x+ v το σύστημα μας θα γίνει 6

27 () t x() t = + ut () () t x () t x () t x () t [ 5 5 ] vt ( ) x () t x () t vt () x () t + = x () t = + vt () 3 4 x( t) = x( t) + + x( t) = + x( t) 5 5 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος αυτού θα είναι s si A% = = s s + + = s + s + = s + s + 3 s + 4 ( )( 4) 6 3 ( )( ) Οι πόλοι λοιπόν του συστήματος μας θα είναι το - και το - όπως θέλαμε. Στο παράδειγμα.7 το σύστημα το οποίο πήραμε ήταν ελέγξιμο. Ας δούμε τώρα μία περίπτωση μη ελέγξιμου συστήματος. Παράδειγμα.9: Έστω τώρα το σύστημα () t x () t = ut () () + () x t x t & Για αρχή παρατηρούμε ότι το σύστημα μας είναι μη ελέγξιμο αφού rank [ B AB ] = rank = Η μη ελέγξιμη ιδιοτιμή (αποσυζευκτικό μηδενικό εισόδου) του συστήματός μας είναι το - που ανήκει στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο και άρα είναι ευσταθής. Σύμφωνα λοιπόν με όσα έχουμε πει πιο πάνω το σύστημα μας είναι σταθεροποιήσιμο αφού αρκεί να επανατοποθετήσουμε την ασταθή ιδιότιμή του συστήματος μας το που είναι όμως ελέγξιμη. Έστω λοιπον ότι την ιδιοτιμή θέλουμε να τη στείλούμε στη θέση - οπότε το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα είναι το ( s+ )( s+ ) = s + 3s+ Έστω δε ο πίνακας K [ k, k ] κλειστού βρόγχου θα είναι =. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος 7

28 si A + BK = s + k k s + k + k n ( ) ( ) ενώ το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα είναι ( s+ )( s+ ) = s + 3s+ Εξισώνοντας αυτά τα δύο πολυώνυμα παίρνουμε το σύστημα k+ k = k k = 3 από το οποίο προκύπτει ότι k = 3 k = Ο πίνακας Κ λοιπόν θα είναι ο K = [ 3, ] 8

29 .5 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΤΑ STATE SPACE ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θα μιλήσουμε τώρα για την έννοια της παρατηρησιμότητας ενός συστήματος η οποία είναι έννοια δυική της ελέγξιμότητας. Ορισμός.5.: Ένα σύστημα της μορφής του χώρου των καταστάσεων ονομάζεται παρατηρήσιμο αν υπάρχει πεπερασμένος χρόνος t t τέτοιος ώστε για κάθε αρχική κατάσταση x = xt ( ) γνώση της εισόδου ut (),{ t t t} και της εξόδου { } y(), t t t t να επιτρέπουν τον προσδιορισμό της αρχικής κατάστασης x. Θεώρημα.5.: Ένα σύστημα του χώρου των καταστάσεων είναι παρατηρήσιμο αν ισχύει μία από τις κάτωθι ισοδύναμες προτάσεις : λin A. rankr = n λ sp( A) C όπου sp(a) είναι το σύνολο των ιδιοτιμών του πίνακα Α..Το ζεύγος ( A, C ) δεν είναι όμοιο με ζεύγος της μορφής: A n k, k, C pk, A A C CA 3. rank R. = n.. n CA n 4.Αν η R είναι τέτοιο έτσι ώστε CsI ( A) η = για κάθε s C τότε η =. n ( n ) [ ] pxn Ισοδύναμα οι n στήλες του CsI A Rs είναι γραμμικά ανεξάρτητες για κάθε s C. n At 5. Αν η R είναι τέτοιο έτσι ώστε Ce η = για κάθε t [, t] και αυθαίρετο At pxn t,τότεη =. Ισοδύναμα οι n στήλες του Ce R είναι γραμμικά ανεξάρτητες για κάθε t [, t]. Έστω τώρα ότι έχουμε ένα σύστημα της μορφής () t = Ax() t + Bu() t (.5.) yt () = Cxt () nxn nxm pxn με A R, B R, C R το οποίο δεν είναι παρατηρήσιμο. Θα υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας x% () t = Tx() t x t = T x% t () () 9

30 όπου T είναι ένας ομαλός (det( T ) ) nxn πίνακας έτσι ώστε το ζεύγος ( AC, ) να είναι όμοιο με ένα ζεύγος της μορφής: A n k, k, C pk, A A με TAT = A A n k, k A και CT = C pk, Αν λοιπόν xt %() x% () t = x% () t τότε το σύστημα (.5.)θα γίνει με A R ( n k) x( n k), % () t A n k, k x% () t B = + ut () x() t A x A () t B & % % x% () t yt ( ) = C pk, x() t % (.5.) A kx( n k ) R kxk, A R, B R, B R και C R ( n k ) xm kxm px( n k ) kxk Οι ιδιοτιμές του πίνακα A R είναι οι μη παρατηρήσιμες ιδιοτιμές του συστήματος και ονομάζονται αποσυζευκτικά μηδενικά εξόδου (output decoupling zeros) του λin A συστήματος. Είναι εκείνα τα λi sp( A) για τα οποία ισχύει rankr < n C. Το σύστημα % () t = Ax% () t + Bu() t y () t = C x% () t (.5.3) είναι το παρατηρήσιμο μέρος του αρχικού συστήματος (.5.) ενώ το σύστημα x &% () t = A x % () t + A x % () t + B u() t (.5.4) είναι το μη παρατηρήσιμο μέρος αυτού γιατί η έξοδος είναι ανεξάρτητη από το x () t. Παράδειγμα.: Έστω τώρα το σύστημα () t x() t ut () x() t = x() t + & x () t yt () = [ ] x() t 3

31 Παίρνουμε τον πίνακα C Q = CA = και διαπιστώνουμε ότι rankq rank = = < = n Άρα το σύστημα αυτό δεν θα είναι παρατηρήσιμο. Παράδειγμα.: Αντίθετα για το σύστημα ισχύει () t x() t ut () x() t = x() t + & x () t yt () = [ ] x() t C Q = CA = 3 και rankq rank = = = n 3 οπότε σύμφωνα με το τρίτο κριτήριο παρατηρησιμότητας το σύστημα αυτό θα είναι παρατηρήσιμο. 3

32 .6. ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΧΩ- ΡΟΥ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ.6. ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ ΠΛΗΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Όπως είδαμε και στον πρόλογο οι παρατηρητές κατάστασης είναι νέα συστήματα τα οποία εισάγουμε στο χώρο των καταστάσεων και έχουν ως κύριο στόχο τη συνεχή εκτίμηση της κατάστασης ενός συστήματος μετά από σύντομο χρονικό διάστημα. Η λειτουργία τους βασίζεται στη χρήση των μετρήσιμων δεδομένων ενός συστήματος που δεν είναι άλλες από την είσοδο την οποία εμείς εισάγουμε στο σύστημα και την έξοδο που αυτό δίνει. Απαραίτητη προϋπόθεση για τη λειτουργία ενός παρατηρητή κατάστασης είναι το σύστημα να είναι παρατηρήσιμο. Οι παρατηρητές κατάστασης χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: στους παρατηρητές κατάστασης πλήρης τάξης και στους παρατηρητές κατάστασης μειωμένης τάξης. Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη μας με τους παρατηρητές κατάστασης πλήρης τάξης. Έστω λοιπόν το σύστημα () t = Ax() t + Bu() t yt () = Cxt () (.6..) nxn nxm pxn όπου A R, B R, C R. Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων x & ˆ = Axˆ+ Bu + K( y yˆ) (.6.. α) yˆ = Cxˆ (.6.. β) που ουσιαστικά περιγράφουν τη λειτουργία του παρατηρητή κατάστασης και αντικαθιστώντας την (.6.. β) στην (.6.. α) παίρνουμε xˆ & = Axˆ+ Bu + K( y Cxˆ) = ( A KC) xˆ+ Bu + Ky (.6..3) Από την εξίσωση αυτή μπορούμε να καταλάβουμε και τον σημαντικό ρόλο που διαδραματίζουν τόσο η είσοδος u όσο και η έξοδος y στη λειτουργία του παρατηρητή. Η διαφορά ανάμεσα στις πραγματικές και στις εκτιμώμενες τιμές του ανύσματος κατάστασης συμβολίζεται με et () = xt () xt ˆ() και ονομάζεται σφάλμα εκτίμησης. Το σφάλμα εκτίμησης ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση [ ] e& () t = () t xˆ& () t = ( Ax + Bu) [( A KC) xˆ+ Bu + KCx] = A( x xˆ) KC( x xˆ) = A KC e() t (.6..4) ( A KC) t Λύνοντας την πιο πάνω διαφορική εξίσωση θα πάρουμε et () = e() e. Αν οι ιδιοτιμές του πίνακα A-KC είναι ευσταθείς δηλαδή βρίσκονται στο ανοικτό α- ριστερό ημιεπίπεδο (αρνητικό πρόσημο) τότε καθώς το t το et () για κάθε αρχική συνθήκη e() = x() xˆ (). Ο παρατηρητής κατάστασης της μορφής αυτής που ικανοποιεί τις πιο πάνω προϋποθέσεις ονομάζεται παρατηρητής κατάστασης του Luenberger (σχήμα.6..), είναι αρκετά διαδεδομένος και θα τον συναντήσουμε και κατά τη μελέτη των παρατηρητών ιδιόμορφων συστημάτων. 3

33 Σχημα (.6..) : παρατηρητής του Luenberger Θα δούμε τώρα ένα πολύ χρήσιμο λήμμα το οποίο θα αποτελέσει τη βάση από την οποία θα ξεκινάει η μελέτη μας σε όλες τις περιπτώσεις των παρατηρητών κατάστασης. Λήμμα.6... Έστω το σύστημα (.6..). Θα υπάρχει πίνακας Κ έτσι ώστε οι ιδιοτιμές του πίνακα ( A KC) να μπορούν να τοποθετηθούν σε τυχαίες θέσεις ανν το ( AC, ) είναι παρατηρήσιμο. Απόδειξη: Οι ιδιοτιμές του πίνακα ( A KC) T = A T C T K T (άρα και οι ιδιοτιμές του πίνακα ( A KC) ) μπορούν να τοποθετηθούν κατά το δοκούν πάνω στο μιγαδικό ε- T T πίπεδο ανν το ( A, C ) είναι ελέγξιμο ή αλλιώς ανν K = (.6..5) T T T T n T rank C A C ( A ) C n όπως είδαμε στην παράγραφο.3. Από τη σχέση (.6.5) προκύπτει όμως ότι C CA rank = n M n CA (.6..6) από όπου προκύπτει ότι το ( AC, ) είναι παρατηρήσιμο. Άρα λοιπόν απαραίτητη προϋπόθεση για τη δυνατότητα χρήσης παρατηρητή κατάστασης σε ένα σύστημα του χώρου των καταστάσεων είναι το σύστημα αυτό να είναι παρατηρήσιμο. Αν το σύστημα δεν είναι παρατηρήσιμο αλλά όλες οι μη παρατηρήσιμες ιδιοτιμές του είναι ευσταθείς τότε πάλι το σφάλμα e(t) θα τείνει ασυμπτωτικά στο μηδέν. Σ αυτήν την περίπτωση απλά υπάρχει ο φόβος οι μη παρατηρήσιμες ιδιοτιμές του συστήματος να εμφανίζονται σαν ιδιοτιμές του πίνακα A KC επηρεάζοντας την ταχύτητα απόκρισης του παρατηρητή. Πιο συγκεκριμένα παρατηρήθηκε ότι αν οι μη παρατηρήσιμες αλλά ευσταθείς ιδιοτιμές ενός συστήματος βρίσκονται κοντά στο φανταστικό άξονα τότε ο παρατηρητής θα τείνει πολύ αργά στην πραγματική κατάσταση του συστήματος. 33

34 Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι υπάρχει στενή σχέση μεταξύ της παρατηρησιμότηας και της ευστάθειας ενός συστήματος όπως αντίστοιχα συμβαίνει και μεταξύ της ελεγξιμότητας και της ευστάθειας ενός συστήματος. Ένα βασικό πρόβλημα που προκύπτει κατά τη μελέτη των παρατηρητών κατάστασης είναι το που θα πρέπει να βρίσκονται οι ιδιοτιμές του πίνακα A KC. Και αυτό γιατί η ανάγκη για όσο το δυνατόν ταχύτερα αποτελέσματα επιβάλλει την τοποθέτηση των ιδιοτιμών μακριά από τον φανταστικό άξονα ενώ αντίθετα η ανάγκη για μεγαλύτερη ακρίβεια επιβάλλει την τοποθέτηση τους κοντά στο φανταστικό άξονα. Γενικότερα επιδιώκουμε να βρούμε έναν πίνακα Κ με τη χρήση του οποίου θα ε- πιτύχουμε τη μέγιστη ακρίβεια στο συντομότερο χρονικό διάστημα. Το πρόβλημα αυτό ονομάζεται πρόβλημα βέλτιστης εκτίμησης (optimal estimation problem) Ας δούμε τώρα μια ιδιόμορφη περίπτωση επιλογής Κ Έστω ότι Κ= τότε ο παρατηρητής θα έχει τη μορφή xˆ& = Axˆ+ Bu. Στην περίπτωση αυτή δεν εμφανίζεται καθόλου ο όρος y yˆ. Ο παρατηρητής θα λειτουργεί χωρίς να δέχεται πληροφορίες για το αν και κατά πόσο το εκτιμώμενο ˆx είναι ακριβές. Το σφάλμα εκτίμησης είναι e= x xˆ και ικανοποιεί την εξίσωση : e& = ˆ = A( x xˆ) = Ae (.6..7) At Λύνοντας την πιο πάνω διαφορική εξίσωση θα πάρουμε et () = e() e. Είναι φανερό ότι το σφάλμα θα τείνει στο μηδέν αν ο πίνακας Α είναι ευσταθής κάτι το οποίο ορίζεται απευθείας με το που μας δίνεται το σύστημα και άρα δεν επιδέχεται δική μας παρεμβολή. Στην περίπτωση αυτή επίσης δεν μπορούμε να ελέγξουμε την ταχύτητα εκτίμησης κάτι το οποίο είναι βέβαια ανεπιθύμητο. Το μόνο που θα μπορούσαμε να κάνουμε είναι να πάρουμε xˆ() x() ώστε το e() να είναι κατά κάποιον τρόπο μικρό έτσι ώστε το et () να τείνει γρηγορότερα στο μηδέν. Κάτι τέτοιο όμως θα απαιτούσε τη γνώση, μέσω προηγούμενων διαδικασιών, του x (), το οποίο δεν είναι πάντα εφικτό. Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα εύρεσης του πίνακα Κ Παράδειγμα. :Έστω παρατηρήσιμο σύστημα με ( AC, ) =,[ ] Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος αυτού είναι: s si A = s = s s + s ( ) s + οπότε οι ιδιοτιμές θα είναι οι :, - που δεν είναι όλες ευσταθείς. 34

35 Έστω ad () s s d s d s d = (.6..8) 3 το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο.εμείς ψάχνουμε να βρούμε πίνακα Κ τέτοιον ώστε si ( A KC) = a ( s) = s + d s + d s + d (.6..9) d 3 Στην περίπτωσή μας είναι s+ k 3 si ( A KC) = k s = s + ( + k ) s + ( k + k ) s + ( k + k k ) k s+ με K [ k k k ] T =.Θα έχουμε λοιπόν k = d, k = d d + 3, k = d d + 3d 5 Ο παρατηρητής κατάστασης του αρχικού συστήματος θα είναι [ ] T xˆ& = Axˆ+ Bu + d, d d + 3, d d + 3d 5 ( y yˆ) yˆ = Cxˆ.6. ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ ΜΕΙΩΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ Έστω τώρα το σύστημα n-τάξης () t = Ax() t + Bu() t yt () = Cxt () (.6..) και έστω ότι από τις (n) καταστάσεις του συστήματος οι (p) είναι απευθείας μετρήσιμες. Αρκεί λοιπόν να φτιάξουμε έναν παρατηρητή τάξης n-p ώστε να εκτιμήσουμε πλήρως το σύστημα. Έστω λοιπόν ότι είναι C = I p, οπότε το σύστημα μας γίνεται & x A A x B u x = A A + x B & x z = Ip, (.6..) x όπου το z = x παριστά τις x απευθείας μετρήσιμες καταστάσεις. n p Αρκεί λοιπόν να εκτιμήσουμε το x R το οποίο ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: 35

36 x = Ax+ Ax + Bu = Ax + [ A B] x Ax Bu u & = + % % = A x + A x + Bu A x = A x Bu = y% y% = A x n p Μπορούμε λοιπόν να φτιάξουμε έναν παρατηρητή κατάστασης για το x R που θα είναι της μορφής : xˆ& = A ˆ ˆ x + Bu %% + K% ( y% Ax) = ( A KA % ) xˆ + ( A z+ B u) + K% ( z& A z Bu) (.6..3) ενώ το σφάλμα εκτίμησης θα είναι e= x ˆ () t x() t και ικανοποιεί την εξίσωση e& = () t xˆ & () t = ( A KA % ) e (.6..4) Αρκεί λοιπόν το ζεύγος ( A, A) να είναι παρατηρήσιμο έτσι ώστε οι ιδιοτιμές του πίνακα ( A KA % ) να μπορούν να τοποθετηθούν κατά το δοκούν. Αποδεικνύεται δε ότι αν το ζεύγος ( AC, ) είναι παρατηρήσιμο τότε και το ζεύγος ( A, A) θα είναι παρατηρήσιμο. x = z/ x ˆ ˆ Η συνολική εκτίμηση του ανύσματος κατάστασης θα είναι [ ] Σημείωση: Οι Ορισμοί, τα Θεωρήματα, οι Προτάσεις και τα Πορίσματα του Κεφαλαίου αυτού συναντώνται στον [Βαρδουλάκης, 4]. 36

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΔΙΟΜΟΡΦΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα γενικευμένα ή αλλιώς ιδιόμορφα συστήματα (generalized or descriptor systems) είναι συστήματα της μορφής E = Ax + Bu y = Cx + Du (..) n m r με x() t R, u() t R, y() t R και EA, R, B R, C R nxn nxm nxr Η μορφή αυτή των συστημάτων προκύπτει από την γενική μορφή (..) εάν θέσουμε As () = se A. Για τον πίνακα E ισχύει det ( E ) = Η μελέτη των ιδιόμορφων συστημάτων ξεκινά στα τέλη της δεκαετίας του 7, ενώ υπάρχει μια πρώτη αναφορά το 973 (Singh and Liu)*. Τα ιδιόμορφα συστήματα εφαρμόζουν σε μηχανικά συστήματα όπως ηλεκτρικά δίκτυα, στην αεροναυπηγική καθώς και σε κοινωνικοοικονομικά συστήματα, σε βιολογικά συστήματα αλλά και στην ανάλυση χρονολογικών σειρών και σε πολλούς άλλους τομείς. Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα ιδιόμορφου συστήματος. Παράδειγμα. : Θεωρήστε το κύκλωμα που δίνεται στο παρακάτω σχήμα Σχήμα.. Οι εξισώσεις που περιγράφουν το ηλεκτρικό κύκλωμα δίνονται από το ιδιόμορφο σύστημα L E I& () t V& L() t V& C () t V& R () t I() t / C V = L() t + V R S () t VC () t VR () t { A B (..) όπου η πηγή () S V t είναι η ελεγχόμενη είσοδος,,, R LC αντιπροσωπεύουν την αντίσταση, την αγωγιμότητα και την χωρητικότητα του κυκλώματος και 37

38 V () R t, VL ( t ), VC ( t ) οι αντίστοιχες τάσεις τους. Οι πιο πάνω εξισώσεις προκύπτουν από το νόμο του Kirchoff. Θα ξεκινήσουμε μελετώντας κάποιες βασικές έννοιες των ιδιόμορφων συστημάτων Πρόταση..: Έστω E = Ax + Bu y = Cx (..3.α) και Ex %&% = Ax % % + Bu % y = Cx % % (..3.β) δύο ιδιόμορφα συστήματα και QP, δύο ομαλοί αντιστρέψιμοι πίνακες τέτοιοι ώστε και x = Px% (..4) QEP = E%, QAP = A%, QB = B%, CP = C% (..5) Τα συστήματα (..3.α) και (..3.β) ονομάζονται αυστηρά ισοδύναμα συστήματα ενώ ο (..4) είναι ο αντίστοιχος μετασχηματισμός συντεταγμένων. Παράδειγμα.: Επιλέγουμε λοιπόν δύο τυχαίους αντιστρέψιμους πίνακες Q = και P - = και χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό συντεταγμένων (..4), από τον οποίο προκύπτει x% = P x, παίρνουμε το καινούριο άνυσμα κατάστασης για το σύστημα του παραδείγματος.: I() t I() t VL() t + VR() t VL() t xt %() = = (..6) VL() t + VC() t + VR() t VC() t VR() t VR() t Χρησιμοποιώντας επιπλέον τις σχέσεις (..5) θα πάρουμε το σύστημα L L / C % () t = x% () t + VS () t (..7) / C R L R { E% A% B% 38

39 Οι εξισώσεις (..) και (..7) περιγράφουν το ίδιο κύκλωμα χρησιμοποιώντας απλά διαφορετικό άνυσμα κατάστασης. Τα δύο αυτά συστήματα είναι αυστηρά ισοδύναμα. Βασιζόμενοι στην αυστηρή ισοδυναμία θα προχωρήσουμε στην ανάλυση των ιδιόμορφων συστημάτων και τη μελέτη των ιδιοτήτων τους. Ένα γενικευμένο σύστημα έχει τρεις ισοδύναμες μορφές. Η κάθε μία από αυτές προκύπτει μέσω διαφορετικού μετασχηματισμού συντεταγμένων. Σ αυτό το κεφάλαιο θα αναφέρουμε και στις τρεις αυτές μορφές (EF,EF,EF3) και στο πως αυτές προκύπτουν δίνοντας περισσότερο βάση στην EF η οποία και θα α- ποτελέσει τη βασική μορφή για την εξαγωγή συμπερασμάτων όσο αναφορά τα ιδιόμορφα συστήματα. 39

40 . ΠΡΩΤΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ ΜΟΡΦΗ (FIRST EQUIVALENT FORM) Σκοπός του μετασχηματισμού ενός συστήματος και δη ενός ιδιόμορφου συστήματος στην πρώτη ισοδύναμη μορφή του είναι η ανάλυση του σε δύο επιμέρους συστήματα το καθένα από τα οποία αποτελεί ένα αυτοτελές σύστημα, το οποίο μπορούμε να μελετήσουμε πιο εύκολα και πιο ξεκάθαρα από ότι το αρχικό μας σύστημα. Έστω λοιπόν σύστημα E = Ax + Bu y = Cx (..) Επιλέγουμε δύο ομαλούς πίνακες QP, και παίρνουμε μετασχηματισμό συντεταγμένων x = P x x nxn nxn όπου x R, x R (..) και B QEP = diag( In, N), QAP = diag( A, I n ), QB =, CP [ C ] = C B (..3) Ο πίνακας Ν είναι μηδενοδύναμος (nilpotent) και ο δείκτης μηδενοδυναμίας (nilpotent index) του είναι h ισχύει δηλαδή N h = Tο σύστημα μας θα έρθει στη μορφή = Ax + Bu y = C x (..4.α) N = x + B u y = C x (..4.β) και y = y+ y (..4.γ) που αλλιώς γράφεται και = Ax + Bu N = x + B u (..5) y = y + y Η μορφή αυτή είναι η πρώτη ισοδύναμη μορφή του γενικευμένου συστήματος (..) και καλείται Weierstrass κανονική μορφή ( Weierstrass Canonical Form). Το σύστημα (..4.α) ονομάζεται αργό υποσύστημα (slow subsystem) ενώ το σύστημα (..4.β) ονομάζεται γρήγορο υποσύστημα (fast subsystem). Για να βρούμε τους πίνακες Q,P που φέρνουν το σύστημα μας στην πρώτη του ισοδύναμη μορφή ακολουθούμε τον εξής αλγόριθμο ΒΗΜΑ ο : Θεωρούμε πραγματικό αριθμό α έτσι ώστε να ισχύει ae + A ΒΗΜΑ ο : Παίρνουμε τους πίνακες Eˆ = ae+ A E, Aˆ = ae+ A A (..6) ( ) ( ) (απ όπου προκύπτει A ˆ = I ae ˆ σχέση η οποία θα χρειαστεί στο 4 ο ΒΗΜΑ) 4

41 BHMA 3 ο : Βρίσκουμε πίνακα μη μηδενικό πίνακα Τ ο οποίος να φέρνει τον πίνακα Ê στην Jordan κανονική του μορφή: (, ) ˆ ˆ ˆ TET = diag E E (..7) όπου ο πίνακας ˆ nxn E R είναι μη μηδενικός και ο πίνακας ˆ nxn E R είναι μηδενοδύναμος. ΒΗΜΑ 4 ο : Οι πίνακες μετασχηματισμού Q,P θα είναι της μορφής ˆ ( ( ˆ ) ) ( ) Q= diag E, I ae T ae+ A, P= T (..8) Πράγματι σαν αποτέλεσμα μετασχηματισμού θα πάρουμε : ˆ ˆ E E ( ) ˆ QEP = T ae + A ET = TET = ( I aeˆ ) ( I aeˆ ) ˆ ˆ E ˆ Eˆ E E In = = = ( I aeˆ ) Eˆ ( I aeˆ ) Eˆ, N = ( I aeˆ ) Eˆ N ˆ ˆ E E ( ) ˆ QAP = T ae + A AT = TAT = ( I aeˆ ) ( I aeˆ ) ˆ ˆ E ˆ E ( I ae ) T( I aeˆ = ) T = = ( I aeˆ ) ( I aeˆ ) ( I aeˆ ) ˆ E ( I aeˆ ) A ˆ = =, A E ( I aeˆ ) I I = n n Παράδειγμα.3: Έστω το σύστημα x = + u y = x [ ] (..9) ΒΗΜΑ ο : Παίρνουμε α=. Είναι: E+ A = 3 4

42 ΒΗΜΑ ο : ˆ E ( ae A) E, Aˆ = + = = ( ae+ A) A= ΒΗΜΑ 3 ο : Θέλω η Jordan κανονική μορφή του πίνακα Ê να είναι της μορφής όπου n deg ( se A) ( ) diag Eˆ, Eˆ, Eˆ R, Eˆ R nxn nxn = και ο πίνακας Ê να είναι μη μηδενικός. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η Jordan κανονική μορφή του πίνακα Ê είναι M 3 ˆ ˆ J ˆ =, E, E E LLLL = = 3 M M Ο μη μηδενικός πίνακας που φέρνει τον πίνακα είναι ο πίνακας Ê στην Jordan κανονική μορφή του ˆ T =, ˆ ˆ TET = J ˆ = diag( E, E) E Οι πίνακες Q,P που φέρνουν το σύστημα μας στη δεύτερη ισοδύναμη του μορφή είναι ˆ (,( ˆ Q= diag E I ae) ) T( ae+ A) = T, P T = = = Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις: B QEP = diag( In, N), QAP = diag( A, I n ), QB =, CP [ C ] = C B το αρχικό μας σύστημα (..9) γίνεται: 4