Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο

Transcript

1 ΓΗΜΟΚΡΙΣΔΙΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΓΡΑΤΛΙΚΩΝ ΔΡΓΩΝ ΔΡΔΤΝΗΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΜΔΓΔ ΚΩΓΙΚΟ ΔΡΓΟΤ 1397 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο Αν. Καθηγηηήρ Ι. Β. ΟΤΛΗ ΞΑΝΘΗ 2008

2 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 2 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο ΔΡΔΤΝΗΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΜΔΓΔ ΚΩΓΙΚΟ ΔΡΓΟΤ 1397 Αν. Καθηγηηήρ Ι. Β. ΟΤΛΗ Εξεπλεηηθό έξγν κε ρξεκαηνδόηεζε ηνπ ΣΜΕΔΕ θαη ηελ επίβιεςε ηνπ Δεκνθξίηεηνπ Παλεπηζηεκίνπ Θξάθεο, Σκήκα Πνιηηηθώλ Μεραληθώλ, Σνκέαο Τδξαπιηθώλ Έξγσλ Επγολήπηερ: Γεώπγιορ Γιαννακούλαρ, Κςππιανή Σεπαλίδος, Βαζίλειορ Παπαϊωάννος, Δημήηπιορ Σθςπήρ ΞΑΝΘΗ 2008

3 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 3 1. ΔΙΑΓΩΓΗ O ζηόρνο ηνπ παξόληνο εξεπλεηηθνύ πξνγξάκκαηνο είλαη λα δηεξεπλεζεί ε αιιειεπίδξαζε ξεπζηνύ-ζηεξενύ ζε θιεηζηό αγσγό κε ζηαζεξή θπζηνινγηθή πίεζε. Επίζεο ζα εμεηαζηεί κέζσ δηαθνξεηηθώλ αξηζκεηηθώλ πξνζνκνηώζεσλ ε θαηαλνκή ησλ ηάζεσλ πνπ αλαπηύζζνληαη ζε έλαλ αγσγό κε ζθνπό λα γίλεη ν έιεγρνο ηνπ ηδεαηνύ αγσγνύ κε ηνηρώκαηα ηεο απηήο ειαζηηθόηεηαο θαη αληνρήο αιιά δηαθνξεηηθνύ πάρνπο θαηά κήθνο ηνπ αγγείνπ. Η δηεξεύλεζε είλαη θαζαξά ππνινγηζηηθή θαη ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ δύν πξνγξάκκαηα πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ, Gambt, Fdap. Η πξνζνκνίσζε ηνπ αγσγνύ ζα γίλεη κε ρξήζε ηξηζδηάζηαησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ, κε μερσξηζηή πξνζνκνίσζε ηνπ αγσγνύ θαη ηνπ ξεπζηνύ εζσηεξηθά απηνύ. To πξόγξακκα Gambt είλαη πξόγξακκα θαηάζηξσζεο γεσκεηξίαο θαη πιέγκαηνο πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ θαη είλαη ηθαλό λα εηζαρζεί ζε πξόγξακκα-επηιπηή πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Σν Fdap είλαη ην πξόγξακκα πνπ πέξαλ ηεο επίιπζεο, γίλεηαη ε απνηύπσζε θαη ε δηαρείξηζε ησλ απνηειεζκάησλ. Επίζεο, ζην Fdap, γίλεηαη ν νξηζκόο ησλ κεραληθώλ ηδηνηήησλ ησλ ζηνηρείσλ ηεο πξνζνκνίσζεο, θαζώο θαη ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ ηεο ιύζεο Με ηελ ρξήζε ησλ παξαπάλσ εξεπλεηηθώλ πξνγξακκάησλ εμαθξηβώλνληαη νη πεξηνρέο όπνπ παξαηεξείηαη ζπγθέληξσζε ηάζεσλ ζην ηνίρσκα ηνπ αγσγνύ. Καηόπηλ εμεηάδεηαη, ε αληνρή ηνπ ηνηρώκαηνο ζεσξώληαο έλα αξρηθό όξην δηαξξνήο γηα ην πιηθό. 2. ΒΑΙΚΔ ΔΞΙΩΔΙ Εηο ηελ παξάγξαθν απηήλ παξνπζηάδνληαη νη εμηζώζεηο ηεο δηαηεξήζεσο ηεο κάδαο θαη ησλ νξκώλ (Naver-Stokes) γηα ζηξσηή ξνή. Γηα ηελ εμίζσζε ηεο ζπλερείαο ηεο κάδαο είλαη, π + t x ( πu ) = Sm (1) Έλζα ξ είλαη ε ππθλόηεηα, t είλαη ν ρξόλνο u είλαη νη ζπληζηώζεο ησλ ηαρπηήησλ θαηά ηνπο άμνλαο x ελώ S m είλαη ε εκθαληδόκελε πξόζζεζε ή αθαίξεζε κάδαο εηο ηνλ ρώξν ξνήο. Η επαλάιεςε ηνπ δείθηε δεινί άζξνηζε. H δηαηήξεζε ησλ νξκώλ εηο ηελ θαηεύζπλζε γξάθεηαη σο, t x j ( πu ) ( ) + πuu j = + + πg + F j p x η x j (2)

4 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 4 θαη νκνίσο γηα ηηο άιιεο θαηεπζύλζεηο. Eδώ p είλαη ε ζηαηηθή πίεζε η j είλαη ν ηαλπζηήο ησλ δηαηκεηηθώλ ηάζεσλ θαη ξg θαη F είλαη νη δπλάκεηο βαξύηεηαο θαη εμσηεξηθέο επηδξώζεο δπλάκεηο.o ηαλπζηήο ησλ δηαηκεηηθώλ ηάζεσλ δίδεηαη ππό ηεο εμηζώζεσο, η j u u 2 u j = μ + + μ δj (3) x j x 3 xj έλζα κ είλαη ην ημώδεο ηνπ ξεπζηνύ. Δηά ηελ ηπξβώδε ξνή ρξεζηκνπνηνύληαη ηα k-ε κνληέια θαζώο θαη RNG (Renormalzaton Group) k-ε κνληέιια. Σα πξνγξάκκαηα ηεο ππνινγηζηηθήο πξνζνκνίσζεο ηνπ ηνηρώκαηνο πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ εκπεξηέρνπλ ηε δπλαηόηεηα ηεο επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο κέζσ ηεο αιιειεπίδξαζεο ξεπζηνύ-ζηεξενύ (Flud-Structure Interacton, FSI). Γηα ηελ ηειηθή επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο, ηα δεδνκέλα εηζήρζεζαλ ζην θπξίσο ινγηζκηθό ηεο ππνινγηζηηθήο αλάιπζεο. πγθεθξηκέλα, ρξεζηκνπνηήζεθε ην εηδηθό ινγηζκηθό Fdap (Fluent Inc., Lebanon, NH). Ο θώδηθαο ηνπ πξνγξάκκαηνο είλαη ζε ζέζε λα επηιύζεη ηηο εμηζώζεηο Naver-Stokes θαη ηηο εμηζώζεηο αληνρήο ηνπ πιηθνύ, δειαδή εμηζώζεηο ησλ νξκώλ θαη ηζνξξνπίαο. Καησηέξσ πεξηγξάθνληαη κόλν νη εμηζώζεηο ηεο αληνρήο ησλ πιηθώλ. Απηέο είλαη, πα j, j ζ πf (4) j j, j ζ n t (5) ζ (6) j Djklεkl όπνπ ρ είλαη ε ππθλόηεηα, α είλαη ε επηηάρπλζε, σ j είλαη νη ηάζεηο, f είλαη νη εμσηεξηθέο δπλάκεηο, n j είλαη ην κνλαδηαίν θάζεην δηάλπζκα πξνο ηα έμσ, t είλαη ην δηάλπζκα ησλ κεηαηνπίζεσλ ζηε ρξνληθή ζηηγκή t, D jkl είλαη ν Λαγθξαλζηαλόο ηαλπζηήο ειαζηηθόηεηαο θαη ε kl είλαη ν ηαλπζηήο επηκήθπλζεο. Πέξαλ ησλ αλσηέξσ, ρξεζηκνπνηήζεθε θαη ππνινγηζηηθή δηαδηθαζία γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο παξακόξθσζεο ηνπ ηνηρώκαηνο ηεο ανξηήο θαη απηόκαηε αλαπξνζαξκνγή ηνπ ππνινγηζηηθνύ δηθηύνπ. Η επίιπζε ησλ αξηζκεηηθώλ εμηζώζεσλ έγηλε κε ηελ ηερληθή ησλ ζπλερώλ επαλαιήςεσλ. Επεηδή νη εμηζώζεηο ησλ αγλώζησλ ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο, κία αξρηθή εθηίκεζε ηεο ιύζεο έπξεπε λα επαλαιεθζεί κέρξη ηελ ηειηθή ζύγθιηζε. Σα βήκαηα ζύγθιηζεο επαλαιήθζεθαλ κέρξη ηειηθήο επίιπζεο. Ωο θξηηήξην ζύγθιηζεο νξίζζεθε νη επί ηνηο εθαηό κεηαβνιέο όισλ ησλ αγλώζησλ θπζηθώλ πνζνηήησλ ξνήο από αλαθύθισζε ζε αλαθύθισζε λα είλαη κηθξόηεξεο ηνπ 10-5.

5 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 5 3. ΟΡΙΑΚΔ ΤΝΘΗΚΔ Ο αγσγόο, ρήκα 1, δηαθξίλεηαη ζε δύν ηκήκαηα : α) ζην εζσηεξηθό ηκήκα, όπνπ ζεσξείηαη όηη είλαη ην ξεπζηό, β) ζην εμσηεξηθό ηκήκα ηνπ αγσγνύ όπνπ ζεσξείηαη όηη είλαη ην ζηεξεό ζώκα. Οη νξηαθέο ζπλζήθεο ζηηο ζέζεηο αλάληε θαη θαηάληε, δεζκεύνπλ ηηο δηακήθεηο θαη εγθάξζηεο κεηαθηλήζεηο γηα ην ξεπζηό θαη γηα ηα ηνηρώκαηα ηνπ αγσγνύ έηζη ώζηε λα κελ γίλεηαη θακηά κεηαθίλεζε απηώλ. Οξίδεηαη κηα θπζηνινγηθή πίεζε ιεηηνπξγίαο (120.0 mm ζηήιεο πδξαξγύξνπ) ζε ζηαζεξή κνξθή θαηά κήθνο ηνπ αγσγνύ. Σα ζηεξεά ηνηρώκαηα κεηαθηλνύληαη ειεπζέξσο κέρξη επξέζεσο ηεο ηειηθήο απηώλ ζέζεσο. 4. ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΥΑΡΑΚΣΗΡΙΣΙΚΑ ΚΑΙ ΤΠΟΛΟΓΙΣΙΚΟ ΓΙΚΣΤΟ ΣΟΤ ΑΓΩΓΟΤ Παξνπζηάδεηαη έλα αξθεηά πξνβιεκαηηθό ηκήκα αγγείνπ ζε ηξεηο δηαζηάζεηο. Η γεσκεηξία θαη ην πιέγκα ησλ ηξηζδηάζηαησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ παξνπζηάδνληαη παξαθάησ, ρήκα 1. Σσήμα 1. Η γεωμεηπία και ηο πλέγμα πεπεπαζμένων ζηοισείων αγωγού πος σπηζιμοποιήθηκε για ηην ςπολογιζηική ανάλςζη

6 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 6 Σν κήθνο ηνπ αγσγνύ ζεσξήζεθε είλαη αξθεηά κεγάιν ώζηε λα εκθαληζζνύλ νη αλαπηπζζόκελεο ηνηρσκαηηθέο ηάζεηο ηεο πξνβιεκαηηθήο πεξηνρήο απηνύ (πεξηνρή κε κεγάιε θακπύισζε) θαη λα κελ επεξεάδνληαη από ηα αλάληε θαη θαηάληε όξηα. Σν πάρνο ηνπ ηνηρώκαηνο είλαη κεηαβαιιόκελν θαηά κήθνο ηνπ αγσγνύ. Ο αγσγόο παξηζηάλεη ηκήκα ανξηηθνύ ηόμνπ ην νπνίν ιόγσ αζεξνζθιεξώζεσο έρεη κεηαβάιιεη ην πάρνο ηνπ ηνηρσκάησλ ηνπ ελδνζειίνπ. Η θαηαλνκή ηνπ πάρνπο ζηηο 33 δηαηνκέο ηνπ αγσγνύ, όπσο απηέο θαίλνληαη ζην ρήκα 1, δίλνπλ ηα εμήο: Δηαηνκέο Πάρνο cm cm cm cm cm cm cm cm Πίνακαρ 1. Μεηαβολή ηος πάσοςρ ηων ηοισωμάηων καηά μήκορ ηος αγγείος. Το πάσορ καηανέμεηαι ζςμμεηπικά ζε κάθε διαηομή 5. ΜΗΥΑΝΙΚΔ ΙΓΙΟΣΗΣΔ ΔΠΙΜΔΡΟΤ ΣΟΙΥΔΊΩΝ Η εξεπλεηηθή απηή πξνζπάζεηα έρεη ζαλ ζηόρν λα εμεηάζεη ηνηρώκαηα κε κηθξή αληνρή θαη κεγάιε ειαζηηθόηεηα. Με βάζε απηέο ηηο αξρέο νη θπζηθέο ηδηόηεηεο ησλ ηξηζδηάζηαησλ πεπεξαζκέλσλ πνπ πξνζνκνηώλνληαη είλαη, Ρεςζηό: Nεςηώνιο, αζςμπίεζηο Eίδορ ποήρ: ζηπωηή Ιμώδεο = Κg/ms Ππθλόηεηα = Κg/m3 Mέηξν Ειαζηθόηεηαο = 1.0 Ν/m2 Λόγνο ηνπ Posson = ηεπεό ηοίσωμα: Ππθλόηεηα = Κg/m3 Μέηξν Ειαζηηθόηεηαο = Ν/m 2 Λόγνο ηνπ Posson = 0.49 Οη ηδηόηεηεο ηνπ ζηεξενύ ηνηρώκαηνο δηαηεξνύληαη ακεηάβιεηεο ζε όιν ην ελδνζήιην παξόιν πνπ ην ηνίρσκα έρεη ήδε αιιάμεη ηηο γεσκεηξηθέο ηνπ ηδηόηεηεο. 6. ΑΠΟΣΔΛΔΜΑΣΑ Σα απνηειέζκαηα ηνπ ηξηζδηάζηαηνπ πξνβιήκαηνο όζν αθνξά ηελ θαηαλνκή ησλ Von-Mses ηάζεσλ παξνπζηάδνληαη παξαθάησ. ην ρήκα 2 δείρλνληαη νη ηηκέο ησλ

7 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 7 Von-Mses ηάζεσλ ζην εμσηεξηθό ηκήκα ηνπ ελδνζειίνπ. Η κέγηζηε ηηκή ζηελ επηθάλεηα πνπ δείρλεηαη είλαη ηεο ηάμεσο ησλ x10 6 Ν/m 2. Σσήμα 2. Η καηανομή ηηρ ηάζηρ von Mses καηά μήκορ ηος αγωγού. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Μια θέα. Τιμέρ ζηην εξωηεπική επιθάνεια ην ρήκα 3 δείρλεηαη κηα άιιε ζέζε πάιη ηνπ εμσηεξηθνύ ελδνζειίνπ ηνπ αγσγνύ. Εδώ ε κεγίζηε ηηκή είλαη ηεο ηάμεσο ησλ x10 6 Ν/m 2. Σσήμα 3. Η καηανομή ηηρ ηάζηρ von Mses καηά μήκορ ηος αγωγού. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Άλλη θέα. Τιμέρ ζηην εξωηεπική επιθάνεια

8 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 8 ην ρήκα 4 δείρλεηαη κηα ζέζε ηνπ εζσηεξηθνύ ελδνζειίνπ ηνπ αγσγνύ. Εδώ ε κέγηζηε ηηκή είλαη ηεο ηάμεσο ησλ x10 6 Ν/m 2. Κνληά ζηελ είζνδν θαη ζηελ έμνδν νη ηηκέο είλαη απμεκέλεο αιιά απηό είλαη ηνπηθό ιάζνο ιόγσ εγγύηεηαο πξνο ηα όξηα. Σσήμα 4. Η καηανομή ηηρ ηάζηρ von Mses καηά μήκορ ηος αγωγού. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Τιμέρ ζηην εζωηεπική επιθάνεια Γηα λα γίλεη θαιύηεξα λνεηή ε θαηαλνκή ηεο ηάζεσο Von-Mses δείρλνληαη δηάθνξεο ηνκέο ηνπ αγγείνπ ζηε ζέζε z=-0.50, ρήκα 5. Να ζεκεησζεί όηη ε ζέζε z=-0.0 αθνξά ηελ είζνδν ηνπ αγγείνπ θαη είλαη ζην πάλσ κέξνο, ρήκα 1.

9 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 9 Σσήμα 5. Η καηανομή ηηρ ηάζηρ von Mses καηά μήκορ ηος αγωγού. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Τιμέρ ζηην εζωηεπική επιθάνεια. Toμή ζηη θέζη z=-0.50 Οη θαηαλνκέο ηεο ηάζεσο Von-Mses ζηελ εμσηεξηθή επηθάλεηα αιιά ζε δηάθνξεο ηνκέο δείρλνληαη ζηα ρήκαηα 6,7 θαη 8 γηα z=-0.25, z=-0.50 θαη z=-0.75, αληηζηνίρσο. Σσήμα 6. Η καηανομή ηηρ ηάζηρ von Mses καηά μήκορ ηος αγωγού. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Τιμέρ ζηην εξωηεπική επιθάνεια.toμή ζηη θέζη z=-0.25.

10 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 10 Σσήμα 7. Η καηανομή ηηρ ηάζηρ von Mses καηά μήκορ ηος αγωγού. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Τιμέρ ζηην εξωηεπική επιθάνεια.toμή ζηη θέζη z=-0.50 Σσήμα 8. Η καηανομή ηηρ ηάζηρ von Mses καηά μήκορ ηος αγωγού. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Τιμέρ ζηην εξωηεπική επιθάνεια. Toμή ζηη θέζη z=-0.75.

11 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 11 ηα ρήκαηα 9 θαη 10 δείρλνληαη νη κεηαηνπίζεηο ησλ ηνηρσκάησλ ζε εθαηνζηά θαηά ηελ αθηηληθή δηεύζπλζε. Σσήμα 9. Η καηανομή ηων επιμηκύνζεων καηά ηην ακηινική διεύθςνζη ζε εκαηοζηά ηος μέηπος. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Μια θέα Σσήμα 10. Η καηανομή ηων επιμηκύνζεων καηά ηην ακηινική διεύθςνζη ζε εκαηοζηά ηος μέηπος. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Δεύηεπη θέα

12 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 12 ηα ρήκαηα 11,12 δείρλνληαη νη κεηαηνπίζεηο ησλ ηνηρσκάησλ ζε εθαηνζηά θαηά ηελ εθαπηνκεληθή δηεύζπλζε. Σσήμα 11. Η καηανομή ηων επιμηκύνζεων καηά ηην εθαπηομενική διεύθςνζη ζε εκαηοζηά ηος μέηπος. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Μια θέα Σσήμα 12. Η καηανομή ηων επιμηκύνζεων καηά ηην εθαπηομενική διεύθςνζη ζε εκαηοζηά ηος μέηπος. Η ποή από κάηω ππορ ηα πάνω. Δεύηεπη θέα

13 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο 13 ηα ρήκαηα 13,14 δείρλνληαη νη κεηαηνπίζεηο ησλ ηνηρσκάησλ ζε εθαηνζηά θαηά ηελ αμνληθή δηεύζπλζε. Σσήμα 13. Η καηανομή ηων επιμηκύνζεων καηά ηην αξονική διεύθςνζη ζε εκαηοζηά ηος μέηπος. Η ποή από κάηω ππορ ηα πάνω. Μια θέα Σσήμα 14. Η καηανομή ηων επιμηκύνζεων καηά ηην αξονική διεύθςνζη ζε εκαηοζηά ηος μέηπος. Η ποή από πάνω ππορ ηα κάηω. Δεύηεπη θέα

14 Ανηοσή και Ροή ζηο Αοπηικό Σόξο YΜΠΔΡΑΜΑΣΑ Με ηελ ρξήζε ηεο ππνινγηζηηθήο αλάιπζεο έγηλε εθηθηή ε πξνζνκνίσζε πξνβιεκαηηθνύ ηκήκαηνο αγσγνύ ανξηηθνύ ηόμνπ κε έληνλε κεηαβνιή ηνπ πάρνπο ησλ ανξηηθώλ ηνηρσκάησλ. Τπάξρεη έληνλε αληζνθαηαλνκή ησλ ηάζεσλ von Mses κεηαμύ ηνπ εζσηεξηθνύ θαη εμσηεξηθνύ ηνηρώκαηνο ηνπ αγγείνπ. Επίζεο, ππάξρεη δηαθνξά ζηηο ηηκέο θαηά κήθνο ηνπ αγγείνπ. Πάλησο ε κέγηζηε ηηκή ζξαύζεσο πνπ αλαθέξεηαη ζηελ δηεζλή αιιεινγξαθία, θαη είλαη ε ηηκή ησλ 0.65x10 6 Ν/m 2 ή 65.0 Ν/cm 2, δελ θαίλεηαη λα πξνζεγγίδεηαη επηθίλδπλα ζηνλ αγσγό (ηνπηθά ιάζε βέβαηα αγλννύληαη). Η κέγηζηε ηηκή ησλ κεηαηνπίζεσλ ζηελ εθαπηνκεληθή δηεύζπλζε είλαη εθαηνζηά, ζηελ αθηηληθή δηεύζπλζε είλαη 0.13 εθαηνζηά θαη ζηελ αμνληθή δηεύζπλζε επίζεο 0.13 εθαηνζηά. 8. BΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. ΑSCE, Desgn for Water and Wastewater, Ppelne Dvson, Amercan Socety of Cvl Engneers, New York, Kνπηίηαο Υ. Τπνινγηζηηθή Τδξαπιηθή, Παλεπηζηεκηαθέο εκεηώζεηο, Ξάλζε, Νathan G.K, Tan J.K, Ng K.C. Two-dmensonal Analyss of Pressure Transents n Ppelne, Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, Vol. 8, pp , Tulls P.J. Hydraulcs of Ppelnes, Pumps, Valves, Cavtaton, Transents, John Wley&Sons Inc, New York, Zenkewch O. Fnte-Element Method n Engneerng & Scence, McGraw Hll, νύιεο Ι., Τδξαπιηθή Κιεηζηώλ Αγσγώλ, Εθδόζεηο Ατβάδεο, Ξάλζε, νύιεο Ι., Τπνινγηζηηθή Μεραληθή Ρεπζηώλ, Δεκνθξίηεην Παλεπηζηήκην Θξάθεο, Ξάλζε, Lusas 13.4, Modeler, Fea Ltd, Gambt 1, Modelng Gude, Fluent Incorporated, Fluent 5, User s Gude, Volumes 1&2, Fluent Incorporated, 2000.