Capitolul Introducere

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Capitolul Introducere"

Transcript

1 Capitolul 6 Modelarea prin grafuri II PERT i Metoda drumului critic 6.1. Introducere Grafurile pot fi utilizate ca un ajutor în planificarea proiectelor complexe care constau din mai multe activiti. Dac durata fiecrei activiti se cunoate cu siguran, metoda drumului critic (CPM - Critical Path Method) se poate utiliza la determinarea duratei necesare realizrii unui proiect. CPM se mai poate utiliza i la determinarea duratei cu care fiecare activitate poate fi întârziat fr a se întârzia realizarea proiectului. CPM a fost dezvoltat la sfâritul anilor 50 de ctre cercettorii de la du Pont and Sperry Rand. În cazurile când nu se cunoate cu siguran durata activitilor, se poate folosi PERT (Program Evaluation and Review Technique - Tehnica de Evaluare i Analiz a Planului) la estimarea probabilitii cu care un proiect se va realiza la un moment dat de timp. PERT a fost dezvoltat la sfâritul anilor 50 de ctre consultanii care lucrau la dezvoltarea rachetei Polaris. Faptul c racheta Polaris a fost operaional cu doi ani înaintea planificrii a condus la impunerea metodelor CPM i PERT. Cele dou metode CPM i PERT au fost utilizate cu succes în multe aplicaii, printre care: Planificarea proiectelor în construcii, cum sunt cldiri, autostrzi i piscine. Planificarea mutrii unui spital de 400 de paturi; Dezvoltarea numrtorii inverse la lansarea navetelor spaiale; Instalarea unui nou sistem computerizat; Conceperea i realizarea unui nou produs; Construirea unei nave. Pentru aplicarea metodelor CPM i PERT este necesar o list de activiti care vor alctui proiectul. Proiectul este considerat îndeplinit când fiecare activitate ce-l compune a fost realizat. Pentru fiecare activitate exist un set de activiti, numite activiti predecesoare, care trebuie s fie realizate înaintea începerii activitii curente. Graful este utilizat la reprezentarea legturii dintre activiti. În continuare, activitile vor fi reprezentate prin arce directe, iar terminarea unor seturi de activiti prin noduri. Din acest motiv, adesea se face referire la nodurile unui proiect prin evenimente. Acest tip de graf este numit activitate pe arc (APA). Pentru a înelege cum se reprezint legtura dintre activiti predecesoare, se presupune c activitatea A este predecesoarea activitii B. Fiecare nod dintr-un graf APA reprezint 1

2 2 Modelare i simulare în afaceri terminarea unei sau mai multor activiti. Astfel, în figura 6.1.a, nodul 2 reprezint terminarea activitii A i începerea activitii B. Dac se presupune c activitile A i B trebuie terminate înainte ca activitatea C s înceap, acestea pot fi reprezentate ca în figura 6.1.b (nodul reprezint faptul c activitile A i B sunt terminate). În figura 6.1.c se reprezint cazul în care activitatea A este predecesoare ambelor activiti B i C. Fiind dat o list de activiti, reprezentarea APA a unui proiect, numit diagrama proiectului, poate fi construit utilizând urmtoarele reguli: 1. Nodul 1 reprezint începutul proiectului. Un arc care începe de la nodul 1 reprezint activitatea care nu are predecesori. 2. Nodul numit nod final reprezentând terminarea proiectului trebuie inclus în graf.. Numrul de noduri care reprezint terminarea unor activiti trebuie s fie mai mare decât numrul de noduri care reprezint începutul unor activiti. 4. O activitate trebuie reprezentat printr-un singur nod. 5. Dou noduri pot fi conectate prin cel mult un singur arc. Pentru a evita înclcarea regulilor 4 i 5, uneori este necesar a se introduce o activitate nul (ca timp) sau fictiv. Activitile fictive se noteaz prin arce punctate. De exemplu, fie A i B dou activiti predecesoare ale ale activitii C care pot începe în acelai timp. În absena regulii 5, reprezentarea este redat în figura 6.2.a. Totui, deoarece nodurile 1 i 2 sunt conectate prin mai mult de un singur arc, se încalc regula 5. Prin utilizarea unei activiti nule, figura 6.2.b, se poate reprezenta faptul c A i B sunt predecesoarele activitii C. Prin aceast reprezentare se asigur faptul c activitatea C nu poate începe decât dup terminarea activitilor A i B fr înclcarea regulii 5. Pentru determinarea timpului total de realizare a proiectului se observ c durata total de execuie nu poate fi mai mic decât suma timpilor de pe drumul de valoare maxim dintre punctul x 0 de intrare în reea i punctul de ieire, x N. Drumul de lungime maxim din reea se numete drum critic iar operaiile prin care trece drumul critic se numesc operaii critice. Drumul cel mai lung se numete drum critic deoarece durata final a activitilor este întârziat dac oricare din activitile aflate pe acest drum este întârziat. Astfel drumul critic determin durata minim de execuie a întregului proiect. Operaiile care nu sunt aflate pe drumul critic pot fi amânate sau dein rezerve de timp Activitile într-o reea PERT Atunci când un proiect este planificat sau analizat, trebuie identificat fiecare activitate individual i stabilite relaiile de preceden, astfel încât s se cunoasc activitile care trebuie indeplinite înainte ca s înceap o alta. De asemenea, trebuie aflate i estimrile privind timpul îndeplinirii fiecrei activiti. Metoda PERT presupune c timpul de îndeplinire a unei activiti urmrete o distribuie Beta. Acest lucru se traduce matematic prin exprimarea mediei timpului de îndeplinire a unei activiti, t, ca fiind dat de formula: a + 4m + b t = (6.1) 6 iar distribuia timpului de îndeplinire, 2, este: 2 2 b a σ = (6.2) 6 unde a este cel mai optimist timp de îndeplinire a activitii, m cel mai probabil iar b cel mai pesimist.

3 Modelarea prin grafuri II PERT i metoda drumului critic Dup ce au fost determinate relaiile de preceden i timpul estimat de îndeplinire pentru fiecare activitate, se poate construi reeaua PERT. Aceasta const din noduri i arce direcionate. Arcele reprezint activitile. Fiecare arc este etichetat deasupra cu o liter care identific activitatea i dedesupt cu un numr care reprezint timpul estimat de îndeplinire a activitii. Fiecare arc are o sgeat care marcheaz nodul de început i cel de sfârit al activitii. Nodurile reprezint puncte în timp la care sunt îndeplinite toate activitile anterioare imediate ale unei anumite activiti. Nodurile sunt numerotate cu întregi, începând cu 1, în ordine cresctoare. Uneori o activitate poate avea unele activiti anterioare comune altor activiti. n acest caz se construiesc activiti fictive de durat zero astfel încât s se identifice clar nodurile cu precedent imediat. 6.. Analiza PERT Fiind dat o reea PERT, timpii cei mai devreme de începere a unei activiti (TDI) precum i timpii cei mai devreme de finalizare a unei activiti (TDS) sunt stabilii prin crearea traseului de înaintare în reea. Acest traseu se construiete luând în considerare nodurile în ordinea cresctoare a etichetelor lor, (de exemplu: nodul 1, apoi nodul 2, etc.,) dup cum urmeaz: 0. Iniializare. Toate activitile care pleac din nodul 1, au TDI = 0; 1. Se analizeaz toate activitile care pleac din nodul curent. Pentru aceste activiti TDS = TDI + t, unde t este timpul estimat de îndeplinire al activitii (6.1) 2. Se analizeaz activitile urmtorului nod, iar dac nu exist atunci STOP. Pentru toate activitile care pleac din acest nod TDI este valoarea maxim a valorilor TDS corespunztoare activitilor care intr în nod. Se repet apoi procesul începând cu pasul 1. Pentru a marca timpii TDI i TDS ai fiecrei activiti, perechea [TDI, TDS] se trece deasupra arcului dup litera care indic activitatea. Cel mai timpuriu moment de realizare a proiectului, T, este dat de valoarea maxim a TDS care intr în ultimul nod. Cel mai târziu timp de începere a activitii (TTI) i cel mai târziu timp de finalizare a activitii (TTS) sunt stabilii prin construcia traseului invers în reea. Aceast lucru se realizeaz luând în considerare nodurile în ordine descresctoare, dup cum urmeaz: 1. Iniializare. Pentru toate activitile care intr în nodul final, TTS =T 2. Se consider toate activitile care intr în nodul curent. Pentru aceste activiti, TTI = TTS t.. Se consider urmtorul nod în ordine descresctoare, iar dac nu mai exist nici unul atunci STOP. Pentru toate activitile care intr în acest nod, TTS = minumul TTI al activitilor care prsesc acest nod. Procesul se repet apoi de la pasul 1. Pentru a marca perechile de timpi TTI i TTS al fiecrei activiti, pe fiecare arc, sub acesta i dup timpul estimat de realizare a activitii se înscrie perechea [TTI, TTS].

4 4 Modelare i simulare în afaceri Odat cu calcularea acestor timpi, se poate calcula rezerva de timp (slack time) pentru fiecare activitate, prin scderea celui mai devreme timp de începere din cel mai târziu timp de începere sau scderea celui mai devreme timp de finalizare din cel mai târziu timp de finalizare. Rezerva reprezint timpul cu care poate fi întârziat o activitate fr ca s fie întârziat întregul proiect. Secvena de activiti care prezint rezerva egal cu 0 este denumit drum critic. Timpul estimat de realizare a proiectului, T, este timpul corespunztor nodului cu numrul cel mai mare. El egaleaz suma timpilor estimai pentru activitile de pe drumul critic. Distribuia, 2, pentru întregul proiect este suma distribuiilor de pe drumul critic. Timpul de îndeplinire se consider a avea o distribuie normal. De aici, probabilitatea ca proiectul s fie realizat la un moment de timp s, se gsete prin calcularea numrului de deviaii standard, s T conform formulei: z = i utilizând tabele de stabilire a valorilor lui z conform σ distribuiei normale. Trebuie observat c se presupune c activitile care nu se afl pe drumul critic nu afecteaz timpul total de îndeplinire a proiectului. n realitate îns, datorit întârzierilor mari ale unei activiti necritice, timpul total poate fi afectat Metoda drumului critic Dac un manager dorete resurse suplimentare pentru a îndeplini un proiect mai repede decât cel estimat, atunci va dori s tie i cât îl cost acest efort. Pentru aceast analiz managerul poate utiliza metoda drumului critic (CPM Critical Path Method). Aceast metod consider timpii estimai ai unei reele ca fiind timpi normali fixai,, care necesit costurile normale C n. Metoda presupune c: (1) dac exist un cost maxim C c, activitatea poate fi redus în timp la momentul ; (2) dac se cheltuiete între C n i C c pentru o activitate, atunci timpul îndeplinirii activitii se reduce proporional. Fie M timpul maxim cu care poate fi redus o activitate, de exemplu M=-. Fie, de asemenea, notat cu K acel cost corespunztor reducerii activitii cu o unitate, de exemplu: Cc Cn K =. Astfel, dac vrem s reducem timpul corespunztor unei activiti cu y uniti, M costul suplimentar va fi Ky. Prin rezolvarea urmtorului model liniar se pot obine resursele suplimentare care sunt necesare îndeplinirii proiectului în timpul s. Fie x i egal cu timpul reprezentat de ctre nodul i i y j reducerea de timp utilizat asupra activitii j. Atunci funcia obiectiv va fi: z = j K j y j MIN iar mulimea restriciilor este dat de urmtoarele elemente: (1) Proiectul trebuie terminat la momentul s, deci: x N s (unde N este numrul de noduri) (2) Fiecare nod reprezint maximul timpilor cei mai devreme ai activitilor cu arce care intr în nodul respectiv. Astfel, pentru activitatea j, între nodurile k i i, avem:

5 Modelarea prin grafuri II PERT i metoda drumului critic 5 x i x k + (timpul îndeplinirii activitii j, ca de exemplu x i x k + ( j - y j ) (existând câte o restricie pentru fiecare activitate) () Pentru fiecare activitate, reducerea de timp nu poate depi timpul disponibil, astfel c: y j M j (4) Toate variabilele de decizie sunt nenegative: x i, y j 0 pentru toi i i j PERT/COST PERT/COST este numele unei tehnici de monitorizare a costurilor unui proiect. Pachetele de lucru, care reprezint grupuri de activiti înrudite (executate de ctre un subcontractor, de exemplu), sunt utilizate pentru planificarea i controlul costurilor proiectului. Fiecare pachet de lucru are un buget sau cost estimat i un timp de finalizare. Pachetele de lucru pot fi tratate ca activitile unui proiect astfel încât s se efectueze analiza PERT pentru determinarea celui mai devreme i a celui mai târziu timp de început i sfârit. Apoi, presupunând c pachetele de lucru sunt distribuite echilibrat pe durata proiectului, se pot dezvolta diagrame ale costurilor proiectate pe baza celor mai devreme i târzii timpi de început. Aceste diagrame descriu lun de lun sau sptmân dup sptmân distribuirea proiectat a fondurilor. Astfel, la oricare punct al proiectului, fondurile care au fost deja cheltuite pe luna i trebuie s se încadreze între fondurile care ar fi trebuit s fie cheltuite dac toate pachetele de lucru au fost începute la cele mai devreme timpi i la cele mai târzii timpi. Astfel, dac notm cu V i valoarea muncii pentru pachetul de lucru i, cu P i procentul de realizare a pachetului de lucru i i cu B i bugetul pachetului i, atunci: Pi Vi = Bi 100 Apoi, dac AC i este costul actual la zi cheltuit pe pachetul de lucru i, diferena între valorile actuale i cele bugetate pentru pachetul de lucru i este: Di = ACi Vi Dac D i este pozitiv, pachetul de lucru I experimenteaz o depire a costurilor, iar dac D i este negativ atunci pachetul de lucru u experimenteaz o economie. Prin însumarea tuturor diferenelor D i se calculeaz depirea de costuri a întregului proiect. Dac aceast depire este substanial, atunci trebuie revzut fie întregul proiect, fie trebuie luate msuri de corectare a costurilor activitilor cu depire a costurilor dar nefinalizate înc Problem rezolvat AutoPrelSib este un productor de prelate auto. Firma confecioneaz atât prelata cât i cadrul pe care aceasta este fixat pe main. Atunci când un client comand o prelat, operaiile încep cu pregtirea documentelor iniiale, cum sunt comanda ferm cu toate specificaiile necesare, garanii, etc. Odat ce acestea au fost definitivate, este croit prelata i se confecioneaz cadrul. Dup construirea fiecrei piese, pot începe operaiile de finisare. Dup construcia prelatei i a cadrului, dar nu neaprat dup efectuarea operaiilor de finisare, poate începe documentarea final. Dup finisarea prilor se poate trece la asamblare, iar apoi

6 6 Modelare i simulare în afaceri la inscripionare. Proiectul este considerat finalizat când toat documentaia a fost elaborat, prelata montat pe cadru i executat inscripionarea. Tabelul de mai jos ilustreaz timpul necesar fiecrei activiti. Activitatea Descriere Timp de realizare (ore) A Elaborarea documentaiei iniiale B Construcia prelatei C Construcia cadrului 2 D Finisarea prelatei E Finisarea cadrului 7 F Elaborarea documentaiei finale G Montarea prelatei pe cadru 6 H Inscripionarea 2 a) Trasai graful corespunztor reelei PERT; b) Gsii cei mai devreme i cei mai târzii timpi de început i finalizat pentru proiect; c) Cât va dura proiectul? d) Ce activiti nu pot fi întârziate deoarece ar întârzia întregul proiect? e) Presupunând c finisarea prelatei a fost întârziat cu patru ore, cu cât va fi întârziat întregul proiect? Rezolvare a) nainte de trasa diagrama PERT, trebuie identificate operaiile i succesiunea acestora, conform tabelului de mai jos. Activitatea Predecesori imediai Timp de realizare (ore) A - B A C A 2 D B E C 7 F B, C G D, E 6 H C 2 Pentru a trasa diagrama PERT, trebuie s existe un nod de finalizare a fiecrei intrri în coloana predecesorilor imediai atât pentru începutul cât i pentru sfâritul fiecrei activiti. Astfel, diagrama PERT este conform figurii de mai jos. Remarcai faptul c a fost introdus un nod, numerotat 5, care exprim îndeplinirea celor dou operaii B i C. Nodul reprezint finalizarea operaiei B, iar nodul 4 finalizarea operaiei C. Astfel, s-au introdus activitile fictive de durat zero care s conecteze nodurile i 5 i respectiv 4 i 5.

7 Modelarea prin grafuri II PERT i metoda drumului critic 7 A 1 2 B 2 C D E 7 H 2 6 F 6 G 7 4 b) Cei mai devreme timpi sunt cei mai mari timpi dintre cei mai devreme timpi ai finalizrii unei activiti în nodul de început al activitii. Cei mai târzii timpi de finalizare sunt cei mai mici timpi dintre cei mai târzii timpi ai începutului unei activiti la nodul de sfârit al activitii. Traseul înainte Nodul 1: TDI A = 0. Apoi, TDS A = 0 + =. Nodul 2: TDI B = TDI C = TDS A = ; TDS B = + = 6; TDS C = + 2 = 5 Nodul : TDI D = TDI 0 = TDS B = 6; TDS D = 6 + = 9; TDS 0 = = 6. Nodul 4: TDI 0 =TDI E = TDI H = TDS C = 5; TDS 0 = = 5; TDS E = = 12; TDS H = = 7. Nodul 5: TDI F = max(tds în nodul 5) = 6. TDS F = 6 + = 9. Nodul 6: TDI G =max(tds în nodul 6) = 12; TDS G = = 18. Nodul 7: STOP, T= max(tds în nodul 7) = 18. A B C D E F G H Traseul înapoi Nodul 7: TTS H = TTS G = TTS F = T = 18; TTI H = 18 2 = 16; TTI G = 18 6 = 12; TTI F = 18 = 15. Nodul 6: TTS D = TTS E = TTS G = 12; TTI D = 12 = 9; TTI E = 12 7 = 5. Nodul 5: TTS 0(sus) = TTS 0(jos) = TTI F = 15; TTI 0(sus ) = 15 0 = 15; TTI 0(jos) = 15 0 = 15. Nodul 4: TTS C = min(tti din 4) = 5. TTI C = 5 2 =.

8 8 Modelare i simulare în afaceri Nodul : TTS B = min(tti din ) = 9. TTI B = 9 = 6. Nodul 2: TTS A = min(tti din 2) =. TTI A = = 0. Nodul 1: STOP A B C D E F G H Astfel graful completat este: [6,6] B[,6] 0[15,15] [6,9] A[0,] [0,] 0[5,5] C[,5] 2[,5] [15,15] D[6,9] [9,12] 6 G[12,18] 6[12,18] E[5,12] F[6,9] [15,18] 7 7[5,12] H[5,7] 2[16,18] 4 Care conduce la urmtorul tabel rezumativ: Activitatea TDI TDS TTI TTS Rezerva A B C D E F G H Rezerva este calculat fie prin diferena TTS-TTI fie TDS TDI pentru fiecare activitate. c) TDS la nodul 7 este de 18 ore. d) A, C, E i G au rezerva zero, de aceea ele sunt pe drumul critic. e) Finisarea prelatei este activitatea D. Aceasta prezint o rezerv de ore. Astfel, dac se înregistreaz o întârziere de 4 ore la finisare, întregul proiect va fi întârziat cu 1 or.

9 Modelarea prin grafuri II PERT i metoda drumului critic Teme 1. Construii reeaua descris de tabelul de mai jos. Calculai lungimea fiecrui traseu i indicai drumul critic. Activitatea Timpul (luni) Fie un proiect care const din 1 operaii, notate A, B, C, Tabelul urmtor conine durata realizrii fiecrei activiti, în zile, precum i operaiile precedente. Determinai drumul critic, rezerva total pentru fiecare operaie i graficul Gantt. Activitatea A B C D E F G H J K L M I Activitatea - - A A A C C C B,D F,I G,J E,H K,L precedent Durata. Urmtorul proiect a fost analizat de ctre consiliul de administraie al unei firme. Activitatea Predecesori imediai Varianta optimist (în ore) Variante cea mai probabil (în ore) Varianta pesimist (în ore) A B - 1 4,5 5 C A D A E A 0,5 1 1,5 F B, C 4 5 G B, C 1 1,5 5 H E, F I E, F J D, H 2,5 2,75 4,5 K G, I 5 7 a). Construii diagrama PERT; b). Determinai cel mai devreme i cel mai târziu timp de finalizare a proiectului; c). Identificai drumul critic i timpul de finalizare a proiectului; d). Care este probabilitatea ca proiectul s fie realizat în 24 de ore?

10 10 Modelare i simulare în afaceri 4. Un fermier dorete s-i construiasc un grajd conectat la un generator de energie i un tanc cu ap. Activitile, descrierea lor precum i estimarea duratei activitilor este redat în tabelul de mai jos. Construii reeaua proiectului, identificai drumul critic i stabilii durata proiectului. Activitatea Descriere Activitatea anterioar Durata activitii (Sptmâni) A Escavare - 2 B nlarea cldirii A 6 C Instalarea generatorului A 4 D Instalarea tancului A 2 E Instalarea celorlate instalaii B 4 F Conectarea generatorului i tancului la B, C, D 5 cldire G Zugrvirea cldirii B H Verificarea facilitilor E, F 2 5. O firm dorete s introduc un produs nou. O unitate a produsului este realizat prin asamblarea unei uniti a produsului 1 cu a unei uniti a produsului 2. Înainte ca producia s înceap la produsele 1 i 2, trebuie achiziionate materiile prime i muncitorii trebuie pregtii. Înainte ca produsele 1 i 2 s fie asamblate în produsul, produsul finit 2 trebuie verificat. Lista activitilor i a activitilor predecesoare acestora i durata fiecrei avtiviti este dat în tabelul de mai jos. S se alctuiasc diagramele PERT i Gantt ale acestui proiect. Activitate Activiti predecesoare Durata (zile) A = pregtire muncitori - 6 B = achiziionare materii prime - 9 C = producerea produsului 1 A, B 8 D = producerea produsului 2 A, B 7 E = testarea produslui 2 D 10 F = asamblarea produselor 1 i 2 C, E 12

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4 FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul Tabele i arbori decizionali

Capitolul Tabele i arbori decizionali Capitolul 9 Teoria deciziei 9.1. Tabele i arbori decizionali O problem în cadrul teoriei deciziei este caracterizat prin existena unor alternative decizionale, a unor stri ale naturii i a unor tabele de

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit

CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza bivariata a datelor

Analiza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice 4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

Simularea Monte Carlo, Teoria Valorilor Extreme, Geometria Fractala si alte Elemente Fundamentale de Evaluare Cantitativa a Riscului_I

Simularea Monte Carlo, Teoria Valorilor Extreme, Geometria Fractala si alte Elemente Fundamentale de Evaluare Cantitativa a Riscului_I Simularea Monte Carlo, Teoria Valorilor Extreme, Geometria Fractala si alte Elemente Fundamentale de Evaluare Cantitativa a Riscului_I Nota: Modelele si conceptele prezentate in acest articol sunt prezentate,

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR

ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR Bazele cercetării operaţionale. Noţiuni generale ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR În general, pentru situaţiile care necesită la rezolvare un oarecare efort mintal (şi un caz tipic este cel al celor din economie),

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE LOGICE CU TB

CIRCUITE LOGICE CU TB CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme liniare - metode directe

Sisteme liniare - metode directe Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K

Διαβάστε περισσότερα