Capitolul Introducere

Transcript

1 Capitolul 6 Modelarea prin grafuri II PERT i Metoda drumului critic 6.1. Introducere Grafurile pot fi utilizate ca un ajutor în planificarea proiectelor complexe care constau din mai multe activiti. Dac durata fiecrei activiti se cunoate cu siguran, metoda drumului critic (CPM - Critical Path Method) se poate utiliza la determinarea duratei necesare realizrii unui proiect. CPM se mai poate utiliza i la determinarea duratei cu care fiecare activitate poate fi întârziat fr a se întârzia realizarea proiectului. CPM a fost dezvoltat la sfâritul anilor 50 de ctre cercettorii de la du Pont and Sperry Rand. În cazurile când nu se cunoate cu siguran durata activitilor, se poate folosi PERT (Program Evaluation and Review Technique - Tehnica de Evaluare i Analiz a Planului) la estimarea probabilitii cu care un proiect se va realiza la un moment dat de timp. PERT a fost dezvoltat la sfâritul anilor 50 de ctre consultanii care lucrau la dezvoltarea rachetei Polaris. Faptul c racheta Polaris a fost operaional cu doi ani înaintea planificrii a condus la impunerea metodelor CPM i PERT. Cele dou metode CPM i PERT au fost utilizate cu succes în multe aplicaii, printre care: Planificarea proiectelor în construcii, cum sunt cldiri, autostrzi i piscine. Planificarea mutrii unui spital de 400 de paturi; Dezvoltarea numrtorii inverse la lansarea navetelor spaiale; Instalarea unui nou sistem computerizat; Conceperea i realizarea unui nou produs; Construirea unei nave. Pentru aplicarea metodelor CPM i PERT este necesar o list de activiti care vor alctui proiectul. Proiectul este considerat îndeplinit când fiecare activitate ce-l compune a fost realizat. Pentru fiecare activitate exist un set de activiti, numite activiti predecesoare, care trebuie s fie realizate înaintea începerii activitii curente. Graful este utilizat la reprezentarea legturii dintre activiti. În continuare, activitile vor fi reprezentate prin arce directe, iar terminarea unor seturi de activiti prin noduri. Din acest motiv, adesea se face referire la nodurile unui proiect prin evenimente. Acest tip de graf este numit activitate pe arc (APA). Pentru a înelege cum se reprezint legtura dintre activiti predecesoare, se presupune c activitatea A este predecesoarea activitii B. Fiecare nod dintr-un graf APA reprezint 1

2 2 Modelare i simulare în afaceri terminarea unei sau mai multor activiti. Astfel, în figura 6.1.a, nodul 2 reprezint terminarea activitii A i începerea activitii B. Dac se presupune c activitile A i B trebuie terminate înainte ca activitatea C s înceap, acestea pot fi reprezentate ca în figura 6.1.b (nodul reprezint faptul c activitile A i B sunt terminate). În figura 6.1.c se reprezint cazul în care activitatea A este predecesoare ambelor activiti B i C. Fiind dat o list de activiti, reprezentarea APA a unui proiect, numit diagrama proiectului, poate fi construit utilizând urmtoarele reguli: 1. Nodul 1 reprezint începutul proiectului. Un arc care începe de la nodul 1 reprezint activitatea care nu are predecesori. 2. Nodul numit nod final reprezentând terminarea proiectului trebuie inclus în graf.. Numrul de noduri care reprezint terminarea unor activiti trebuie s fie mai mare decât numrul de noduri care reprezint începutul unor activiti. 4. O activitate trebuie reprezentat printr-un singur nod. 5. Dou noduri pot fi conectate prin cel mult un singur arc. Pentru a evita înclcarea regulilor 4 i 5, uneori este necesar a se introduce o activitate nul (ca timp) sau fictiv. Activitile fictive se noteaz prin arce punctate. De exemplu, fie A i B dou activiti predecesoare ale ale activitii C care pot începe în acelai timp. În absena regulii 5, reprezentarea este redat în figura 6.2.a. Totui, deoarece nodurile 1 i 2 sunt conectate prin mai mult de un singur arc, se încalc regula 5. Prin utilizarea unei activiti nule, figura 6.2.b, se poate reprezenta faptul c A i B sunt predecesoarele activitii C. Prin aceast reprezentare se asigur faptul c activitatea C nu poate începe decât dup terminarea activitilor A i B fr înclcarea regulii 5. Pentru determinarea timpului total de realizare a proiectului se observ c durata total de execuie nu poate fi mai mic decât suma timpilor de pe drumul de valoare maxim dintre punctul x 0 de intrare în reea i punctul de ieire, x N. Drumul de lungime maxim din reea se numete drum critic iar operaiile prin care trece drumul critic se numesc operaii critice. Drumul cel mai lung se numete drum critic deoarece durata final a activitilor este întârziat dac oricare din activitile aflate pe acest drum este întârziat. Astfel drumul critic determin durata minim de execuie a întregului proiect. Operaiile care nu sunt aflate pe drumul critic pot fi amânate sau dein rezerve de timp Activitile într-o reea PERT Atunci când un proiect este planificat sau analizat, trebuie identificat fiecare activitate individual i stabilite relaiile de preceden, astfel încât s se cunoasc activitile care trebuie indeplinite înainte ca s înceap o alta. De asemenea, trebuie aflate i estimrile privind timpul îndeplinirii fiecrei activiti. Metoda PERT presupune c timpul de îndeplinire a unei activiti urmrete o distribuie Beta. Acest lucru se traduce matematic prin exprimarea mediei timpului de îndeplinire a unei activiti, t, ca fiind dat de formula: a + 4m + b t = (6.1) 6 iar distribuia timpului de îndeplinire, 2, este: 2 2 b a σ = (6.2) 6 unde a este cel mai optimist timp de îndeplinire a activitii, m cel mai probabil iar b cel mai pesimist.

3 Modelarea prin grafuri II PERT i metoda drumului critic Dup ce au fost determinate relaiile de preceden i timpul estimat de îndeplinire pentru fiecare activitate, se poate construi reeaua PERT. Aceasta const din noduri i arce direcionate. Arcele reprezint activitile. Fiecare arc este etichetat deasupra cu o liter care identific activitatea i dedesupt cu un numr care reprezint timpul estimat de îndeplinire a activitii. Fiecare arc are o sgeat care marcheaz nodul de început i cel de sfârit al activitii. Nodurile reprezint puncte în timp la care sunt îndeplinite toate activitile anterioare imediate ale unei anumite activiti. Nodurile sunt numerotate cu întregi, începând cu 1, în ordine cresctoare. Uneori o activitate poate avea unele activiti anterioare comune altor activiti. n acest caz se construiesc activiti fictive de durat zero astfel încât s se identifice clar nodurile cu precedent imediat. 6.. Analiza PERT Fiind dat o reea PERT, timpii cei mai devreme de începere a unei activiti (TDI) precum i timpii cei mai devreme de finalizare a unei activiti (TDS) sunt stabilii prin crearea traseului de înaintare în reea. Acest traseu se construiete luând în considerare nodurile în ordinea cresctoare a etichetelor lor, (de exemplu: nodul 1, apoi nodul 2, etc.,) dup cum urmeaz: 0. Iniializare. Toate activitile care pleac din nodul 1, au TDI = 0; 1. Se analizeaz toate activitile care pleac din nodul curent. Pentru aceste activiti TDS = TDI + t, unde t este timpul estimat de îndeplinire al activitii (6.1) 2. Se analizeaz activitile urmtorului nod, iar dac nu exist atunci STOP. Pentru toate activitile care pleac din acest nod TDI este valoarea maxim a valorilor TDS corespunztoare activitilor care intr în nod. Se repet apoi procesul începând cu pasul 1. Pentru a marca timpii TDI i TDS ai fiecrei activiti, perechea [TDI, TDS] se trece deasupra arcului dup litera care indic activitatea. Cel mai timpuriu moment de realizare a proiectului, T, este dat de valoarea maxim a TDS care intr în ultimul nod. Cel mai târziu timp de începere a activitii (TTI) i cel mai târziu timp de finalizare a activitii (TTS) sunt stabilii prin construcia traseului invers în reea. Aceast lucru se realizeaz luând în considerare nodurile în ordine descresctoare, dup cum urmeaz: 1. Iniializare. Pentru toate activitile care intr în nodul final, TTS =T 2. Se consider toate activitile care intr în nodul curent. Pentru aceste activiti, TTI = TTS t.. Se consider urmtorul nod în ordine descresctoare, iar dac nu mai exist nici unul atunci STOP. Pentru toate activitile care intr în acest nod, TTS = minumul TTI al activitilor care prsesc acest nod. Procesul se repet apoi de la pasul 1. Pentru a marca perechile de timpi TTI i TTS al fiecrei activiti, pe fiecare arc, sub acesta i dup timpul estimat de realizare a activitii se înscrie perechea [TTI, TTS].

4 4 Modelare i simulare în afaceri Odat cu calcularea acestor timpi, se poate calcula rezerva de timp (slack time) pentru fiecare activitate, prin scderea celui mai devreme timp de începere din cel mai târziu timp de începere sau scderea celui mai devreme timp de finalizare din cel mai târziu timp de finalizare. Rezerva reprezint timpul cu care poate fi întârziat o activitate fr ca s fie întârziat întregul proiect. Secvena de activiti care prezint rezerva egal cu 0 este denumit drum critic. Timpul estimat de realizare a proiectului, T, este timpul corespunztor nodului cu numrul cel mai mare. El egaleaz suma timpilor estimai pentru activitile de pe drumul critic. Distribuia, 2, pentru întregul proiect este suma distribuiilor de pe drumul critic. Timpul de îndeplinire se consider a avea o distribuie normal. De aici, probabilitatea ca proiectul s fie realizat la un moment de timp s, se gsete prin calcularea numrului de deviaii standard, s T conform formulei: z = i utilizând tabele de stabilire a valorilor lui z conform σ distribuiei normale. Trebuie observat c se presupune c activitile care nu se afl pe drumul critic nu afecteaz timpul total de îndeplinire a proiectului. n realitate îns, datorit întârzierilor mari ale unei activiti necritice, timpul total poate fi afectat Metoda drumului critic Dac un manager dorete resurse suplimentare pentru a îndeplini un proiect mai repede decât cel estimat, atunci va dori s tie i cât îl cost acest efort. Pentru aceast analiz managerul poate utiliza metoda drumului critic (CPM Critical Path Method). Aceast metod consider timpii estimai ai unei reele ca fiind timpi normali fixai,, care necesit costurile normale C n. Metoda presupune c: (1) dac exist un cost maxim C c, activitatea poate fi redus în timp la momentul ; (2) dac se cheltuiete între C n i C c pentru o activitate, atunci timpul îndeplinirii activitii se reduce proporional. Fie M timpul maxim cu care poate fi redus o activitate, de exemplu M=-. Fie, de asemenea, notat cu K acel cost corespunztor reducerii activitii cu o unitate, de exemplu: Cc Cn K =. Astfel, dac vrem s reducem timpul corespunztor unei activiti cu y uniti, M costul suplimentar va fi Ky. Prin rezolvarea urmtorului model liniar se pot obine resursele suplimentare care sunt necesare îndeplinirii proiectului în timpul s. Fie x i egal cu timpul reprezentat de ctre nodul i i y j reducerea de timp utilizat asupra activitii j. Atunci funcia obiectiv va fi: z = j K j y j MIN iar mulimea restriciilor este dat de urmtoarele elemente: (1) Proiectul trebuie terminat la momentul s, deci: x N s (unde N este numrul de noduri) (2) Fiecare nod reprezint maximul timpilor cei mai devreme ai activitilor cu arce care intr în nodul respectiv. Astfel, pentru activitatea j, între nodurile k i i, avem:

5 Modelarea prin grafuri II PERT i metoda drumului critic 5 x i x k + (timpul îndeplinirii activitii j, ca de exemplu x i x k + ( j - y j ) (existând câte o restricie pentru fiecare activitate) () Pentru fiecare activitate, reducerea de timp nu poate depi timpul disponibil, astfel c: y j M j (4) Toate variabilele de decizie sunt nenegative: x i, y j 0 pentru toi i i j PERT/COST PERT/COST este numele unei tehnici de monitorizare a costurilor unui proiect. Pachetele de lucru, care reprezint grupuri de activiti înrudite (executate de ctre un subcontractor, de exemplu), sunt utilizate pentru planificarea i controlul costurilor proiectului. Fiecare pachet de lucru are un buget sau cost estimat i un timp de finalizare. Pachetele de lucru pot fi tratate ca activitile unui proiect astfel încât s se efectueze analiza PERT pentru determinarea celui mai devreme i a celui mai târziu timp de început i sfârit. Apoi, presupunând c pachetele de lucru sunt distribuite echilibrat pe durata proiectului, se pot dezvolta diagrame ale costurilor proiectate pe baza celor mai devreme i târzii timpi de început. Aceste diagrame descriu lun de lun sau sptmân dup sptmân distribuirea proiectat a fondurilor. Astfel, la oricare punct al proiectului, fondurile care au fost deja cheltuite pe luna i trebuie s se încadreze între fondurile care ar fi trebuit s fie cheltuite dac toate pachetele de lucru au fost începute la cele mai devreme timpi i la cele mai târzii timpi. Astfel, dac notm cu V i valoarea muncii pentru pachetul de lucru i, cu P i procentul de realizare a pachetului de lucru i i cu B i bugetul pachetului i, atunci: Pi Vi = Bi 100 Apoi, dac AC i este costul actual la zi cheltuit pe pachetul de lucru i, diferena între valorile actuale i cele bugetate pentru pachetul de lucru i este: Di = ACi Vi Dac D i este pozitiv, pachetul de lucru I experimenteaz o depire a costurilor, iar dac D i este negativ atunci pachetul de lucru u experimenteaz o economie. Prin însumarea tuturor diferenelor D i se calculeaz depirea de costuri a întregului proiect. Dac aceast depire este substanial, atunci trebuie revzut fie întregul proiect, fie trebuie luate msuri de corectare a costurilor activitilor cu depire a costurilor dar nefinalizate înc Problem rezolvat AutoPrelSib este un productor de prelate auto. Firma confecioneaz atât prelata cât i cadrul pe care aceasta este fixat pe main. Atunci când un client comand o prelat, operaiile încep cu pregtirea documentelor iniiale, cum sunt comanda ferm cu toate specificaiile necesare, garanii, etc. Odat ce acestea au fost definitivate, este croit prelata i se confecioneaz cadrul. Dup construirea fiecrei piese, pot începe operaiile de finisare. Dup construcia prelatei i a cadrului, dar nu neaprat dup efectuarea operaiilor de finisare, poate începe documentarea final. Dup finisarea prilor se poate trece la asamblare, iar apoi

6 6 Modelare i simulare în afaceri la inscripionare. Proiectul este considerat finalizat când toat documentaia a fost elaborat, prelata montat pe cadru i executat inscripionarea. Tabelul de mai jos ilustreaz timpul necesar fiecrei activiti. Activitatea Descriere Timp de realizare (ore) A Elaborarea documentaiei iniiale B Construcia prelatei C Construcia cadrului 2 D Finisarea prelatei E Finisarea cadrului 7 F Elaborarea documentaiei finale G Montarea prelatei pe cadru 6 H Inscripionarea 2 a) Trasai graful corespunztor reelei PERT; b) Gsii cei mai devreme i cei mai târzii timpi de început i finalizat pentru proiect; c) Cât va dura proiectul? d) Ce activiti nu pot fi întârziate deoarece ar întârzia întregul proiect? e) Presupunând c finisarea prelatei a fost întârziat cu patru ore, cu cât va fi întârziat întregul proiect? Rezolvare a) nainte de trasa diagrama PERT, trebuie identificate operaiile i succesiunea acestora, conform tabelului de mai jos. Activitatea Predecesori imediai Timp de realizare (ore) A - B A C A 2 D B E C 7 F B, C G D, E 6 H C 2 Pentru a trasa diagrama PERT, trebuie s existe un nod de finalizare a fiecrei intrri în coloana predecesorilor imediai atât pentru începutul cât i pentru sfâritul fiecrei activiti. Astfel, diagrama PERT este conform figurii de mai jos. Remarcai faptul c a fost introdus un nod, numerotat 5, care exprim îndeplinirea celor dou operaii B i C. Nodul reprezint finalizarea operaiei B, iar nodul 4 finalizarea operaiei C. Astfel, s-au introdus activitile fictive de durat zero care s conecteze nodurile i 5 i respectiv 4 i 5.

7 Modelarea prin grafuri II PERT i metoda drumului critic 7 A 1 2 B 2 C D E 7 H 2 6 F 6 G 7 4 b) Cei mai devreme timpi sunt cei mai mari timpi dintre cei mai devreme timpi ai finalizrii unei activiti în nodul de început al activitii. Cei mai târzii timpi de finalizare sunt cei mai mici timpi dintre cei mai târzii timpi ai începutului unei activiti la nodul de sfârit al activitii. Traseul înainte Nodul 1: TDI A = 0. Apoi, TDS A = 0 + =. Nodul 2: TDI B = TDI C = TDS A = ; TDS B = + = 6; TDS C = + 2 = 5 Nodul : TDI D = TDI 0 = TDS B = 6; TDS D = 6 + = 9; TDS 0 = = 6. Nodul 4: TDI 0 =TDI E = TDI H = TDS C = 5; TDS 0 = = 5; TDS E = = 12; TDS H = = 7. Nodul 5: TDI F = max(tds în nodul 5) = 6. TDS F = 6 + = 9. Nodul 6: TDI G =max(tds în nodul 6) = 12; TDS G = = 18. Nodul 7: STOP, T= max(tds în nodul 7) = 18. A B C D E F G H Traseul înapoi Nodul 7: TTS H = TTS G = TTS F = T = 18; TTI H = 18 2 = 16; TTI G = 18 6 = 12; TTI F = 18 = 15. Nodul 6: TTS D = TTS E = TTS G = 12; TTI D = 12 = 9; TTI E = 12 7 = 5. Nodul 5: TTS 0(sus) = TTS 0(jos) = TTI F = 15; TTI 0(sus ) = 15 0 = 15; TTI 0(jos) = 15 0 = 15. Nodul 4: TTS C = min(tti din 4) = 5. TTI C = 5 2 =.

8 8 Modelare i simulare în afaceri Nodul : TTS B = min(tti din ) = 9. TTI B = 9 = 6. Nodul 2: TTS A = min(tti din 2) =. TTI A = = 0. Nodul 1: STOP A B C D E F G H Astfel graful completat este: [6,6] B[,6] 0[15,15] [6,9] A[0,] [0,] 0[5,5] C[,5] 2[,5] [15,15] D[6,9] [9,12] 6 G[12,18] 6[12,18] E[5,12] F[6,9] [15,18] 7 7[5,12] H[5,7] 2[16,18] 4 Care conduce la urmtorul tabel rezumativ: Activitatea TDI TDS TTI TTS Rezerva A B C D E F G H Rezerva este calculat fie prin diferena TTS-TTI fie TDS TDI pentru fiecare activitate. c) TDS la nodul 7 este de 18 ore. d) A, C, E i G au rezerva zero, de aceea ele sunt pe drumul critic. e) Finisarea prelatei este activitatea D. Aceasta prezint o rezerv de ore. Astfel, dac se înregistreaz o întârziere de 4 ore la finisare, întregul proiect va fi întârziat cu 1 or.

9 Modelarea prin grafuri II PERT i metoda drumului critic Teme 1. Construii reeaua descris de tabelul de mai jos. Calculai lungimea fiecrui traseu i indicai drumul critic. Activitatea Timpul (luni) Fie un proiect care const din 1 operaii, notate A, B, C, Tabelul urmtor conine durata realizrii fiecrei activiti, în zile, precum i operaiile precedente. Determinai drumul critic, rezerva total pentru fiecare operaie i graficul Gantt. Activitatea A B C D E F G H J K L M I Activitatea - - A A A C C C B,D F,I G,J E,H K,L precedent Durata. Urmtorul proiect a fost analizat de ctre consiliul de administraie al unei firme. Activitatea Predecesori imediai Varianta optimist (în ore) Variante cea mai probabil (în ore) Varianta pesimist (în ore) A B - 1 4,5 5 C A D A E A 0,5 1 1,5 F B, C 4 5 G B, C 1 1,5 5 H E, F I E, F J D, H 2,5 2,75 4,5 K G, I 5 7 a). Construii diagrama PERT; b). Determinai cel mai devreme i cel mai târziu timp de finalizare a proiectului; c). Identificai drumul critic i timpul de finalizare a proiectului; d). Care este probabilitatea ca proiectul s fie realizat în 24 de ore?

10 10 Modelare i simulare în afaceri 4. Un fermier dorete s-i construiasc un grajd conectat la un generator de energie i un tanc cu ap. Activitile, descrierea lor precum i estimarea duratei activitilor este redat în tabelul de mai jos. Construii reeaua proiectului, identificai drumul critic i stabilii durata proiectului. Activitatea Descriere Activitatea anterioar Durata activitii (Sptmâni) A Escavare - 2 B nlarea cldirii A 6 C Instalarea generatorului A 4 D Instalarea tancului A 2 E Instalarea celorlate instalaii B 4 F Conectarea generatorului i tancului la B, C, D 5 cldire G Zugrvirea cldirii B H Verificarea facilitilor E, F 2 5. O firm dorete s introduc un produs nou. O unitate a produsului este realizat prin asamblarea unei uniti a produsului 1 cu a unei uniti a produsului 2. Înainte ca producia s înceap la produsele 1 i 2, trebuie achiziionate materiile prime i muncitorii trebuie pregtii. Înainte ca produsele 1 i 2 s fie asamblate în produsul, produsul finit 2 trebuie verificat. Lista activitilor i a activitilor predecesoare acestora i durata fiecrei avtiviti este dat în tabelul de mai jos. S se alctuiasc diagramele PERT i Gantt ale acestui proiect. Activitate Activiti predecesoare Durata (zile) A = pregtire muncitori - 6 B = achiziionare materii prime - 9 C = producerea produsului 1 A, B 8 D = producerea produsului 2 A, B 7 E = testarea produslui 2 D 10 F = asamblarea produselor 1 i 2 C, E 12