Simularea Monte Carlo, Teoria Valorilor Extreme, Geometria Fractala si alte Elemente Fundamentale de Evaluare Cantitativa a Riscului_I
|
|
- Θεόκριτος Βλαχόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Simularea Monte Carlo, Teoria Valorilor Extreme, Geometria Fractala si alte Elemente Fundamentale de Evaluare Cantitativa a Riscului_I Nota: Modelele si conceptele prezentate in acest articol sunt prezentate, in mare parte, in cele doua cursuri sustinute: PRA (Analiza de Risc a Proiectelor) ERA (Analiza Riscurilor Extreme) Suplimentar, sunt prezentate si alte modele precum Evaluarea Ratelor de Dobanda prin intermediul simularii Monte Carlo, etc. Toate cursurile sunt insotitie de prezentarea Risk, oferindu-se si un discount de 20% fata de pretul de lista, la achizitia unei licente de produs Concepte: Eroarea de conceptie a PERT, simularea / metoda MonteCarlo, Indice de Criticalitate, Monitorizare, Control, Drumul Critic, Lantul Critic /Critical Chain, Sindromul Studentului, Calibrare, Sir Karl Popper, Teorema Limita Centrala, Cuantificare Risc Operational, Incertitudine, Variabilitate, Metoda Bootstrap, Distributia Poisson Compusa, Teoria Valorilor Extreme, AMA, Basel II, Distributii de Putere, Geometrie Fractala. In conditiile globalizarii, analiza decizionala s-a transformat intr-o afacere din ce in ce mai complexa. Complexitatea este generata atat de incertitudinea amplificata a parametrilor decizionali, cat si de variabilitatea sistemului in care adoptam respectivele decizii. In aceste conditii, este absolut necesara cunoasterea erorilor unor modele de analiza a riscului si, pe de alta parte, utilitatea celor corecte... In cele ce urmeaza vom exemplifica cateva elemente apartinand fiecarei categori in parte. Vom incepe cu eroarea de conceptie a metodei PERT. In cazul fuziunii mai multor activitati intr-o singura activitate, utilizarea metodei PERT conduce la erori importante de subevaluare a duratei de executie a proiectului. Asadar, ceea ce ramane de facut, din punctul de vedere al Managerului de Proiect, este sa considere una dintre variante: Varianta determinista a Drumului Critic (varianta fara incertitudine si variabilitate) Metoda Lantului Critic (MLC) Simularea Monte Carlo(MC). Prima varianta, respectiv cea fara considerarea incertitudinii, este, de principiu, foarte greu de acceptat, oricum am privi situatia.
2 In opinia noastra, cea de-a doua metoda (MLC), care se impune in fata celei dintai. Daca ne referim doar la un proiect, incertitudinea totala este rezolvata prin introducerea acelor rezerve de timp ( Buffers ), de tipul Project-Buffers sau Feeding-Buffers. Este destul de clar faptul ca atat varibilitatea cat si incertitudinea sunt tratate impreuna. Modul corect in care acestea trebuie evaluate este modelarea separata acestora. Din punctul nostru de vedere, atat timp ca un proiect este influentat atat de catre variabilitate cat si de catre incertitudine, abordarea acestora impreuna, nu permite cunoasterea influentei fiecarui element. In plus, abordarea este eronoata din punct de vedere matematic. Intorcandu-ne la rezervele de timp, anumite manuale care trateaza MLC, abordeaza frontal problema incertitudinii (totale) referitoare la duratele lucrarilor. In acest sens, se invoca sindromul studentului care justifica utilizarea metodei. Astfel, Managerii de Proiect au tendinta de a injumatatii estimarile de timp ale lucrarilor, datorita faptului ca se stie ca cei care estimeaza durata lucrarilor ( de regula, persoanele responsabile cu realizarea lucrarilor ) au tendinta de a dubla efortul de timp fata de cel real, deoarece acestia din urma stiu faptul ca Managerii de Proiect au tendinta sa injumatateasca durata de realizare a lucrarilor...! Cum va suna tot acest lant al slabiciunilor? Punctul nostru de vedere este acela ca bucla vicioasa in care se invarte motivatia care sta la baza injumatatirii evaluarii duratelor de finalizare a lucrarilor este fragila, in cel mai bun caz. In primul rand, daca toata lumea stie de la inceput ce se intampla atunci, cu siguranta, aceasta conduce la o falsa profetie. Din principiu, fenomenul reprezinta un mecanism viciat, care trebuie demontat, nu ridicat la statutul de modus-operandi. In general, orice societate competitiva, eficienta si generatoare de valoare, nu poate prospera si nici macar supravietui (decat pe termen scurt si sponsorizata), daca are ca model de functionare un mecanism viciat... Asa se intampla si in cazul acestei bucle vicioase. Se pleaca de la ipoteza ca se dubleaza din start estimarea...datorita acestei bucle vicioase toti se comporta aberant, iar comportamentul in sine devine unul specializat/ garantat. In acest tip de comportament specializat nimeni nu evalueaza calibrat durata de finalizare a unei lucrari, sau orice alte variabile... Asadar, conceptul de calibrare lipseste cu desavarsire. Modelul descris este evident viciat. Pe de alta parte, sa presupunem ca nu exista problema buclei vicioase, care nu se poate auto-regla, desi un asemenea fenomen este destul de greu de sustinut, cu exceptia cazului in care ne referim la o proiectie pe termen scurt. Asadar, ignorand aceasta bucla de informatie care, conform MLC, nu ofera feedback ( adica nu conduce la modificarea comportamentului), MLC considera rezolvata problema
3 incertitudinii totale, prin introducerea unei rezerve de timp la sfarsitul fiecarui lant (drum). Daca rezerva este la sfarsitul drumului critic, poarta denumirea de Project Buffer, iar daca se situeaza la sfarsitul unui drum care se intersecteaza cu Drumul Critic, poarta denumirea de Feeding Buffer. Motivatia pentru un asemenea demers este logica si simpla: suma deviatiilor standard apartinand tuturor activitatilor care se situeaza pe un drum (critic sau nu), este mai mare decat deviatia standard totala, de (n/ n ) ori (daca activitatile au distributii i.i.d. ), unde n reprezinta numarul de activitati care apartin drumului respectiv. Prin urmare, atunci cand n este mare, are sens sa consideram deviatia standard totala a unui drum, si durata medie a drumului egala cu suma valorilor medii ale activitatilor care situeaza pe acel drum. Utilizand o distributie Normala, definita de parametrii mentionati anterior, vom putea aproxima, fara utilizarea metodei Monte Carlo, durata de finalizare a proiectului. Totusi, in cazul in care n<30 pentru fiecare drum analizat, eroarea aplicarii TLC este din ce in ce mai mare, iar solutia este invalidata, deoarece distributia nu este Normala. In pricipiu, MLC prezinta o solutie de rezolvare a incertitudinii legate de analiza duratei de executie a proiectelor. Prin aceasta, dorim sa spunem ca metoda in sine merita atentie, dar nu poate fi aplicata, in forma prezentata, in orice situatie. Ne referim la situatii in se estimeaza calibrat durate / costuri, sau alte variabile care contin incertitudine, situatii in care variabilitatea are un rol important in analiza incertitudinii totale, sau situatii in care numarul de activitati pe fiecare drum este redus. Mai corecta ar fi solutia in care exista un numar mai mare de activitati, pe fiecare lant. In plus, in locul injumatatirii estimarii, este mult mai corecta abordarea calibrata a estimarilor si pastrarea acesteia drept durata cea mai probabila a unei lucrari. Ulterior, in jurul acestei valori trebuie construite si scenarii care sa genereze anumite fluctuatii. Cu respectarea acestor chestiuni, metoda poate ridica pretentii la locul de metoda functionala. In cazul in care nu este respectata conditia ca numarul de activitati de pe fiecare lant sa fie suficient de mare, simularea Monte Carlo ofera solutii naturale. Intorcandu-ne la metoda PERT, aceasta utilizeaza distributii probabilistice de tip Beta pentru a modela incertitudinea aferenta duratei fiecarei activitati din cadrul unui proiect. O alta ipoteza utilizata de catre aceasta metoda este cea de normalitate, respectiv faptul ca durata totala de executie a proiectului va avea o distributie Gaussiana / Normala, caracterizata exclusiv prin durata medie si deviatia standard a duratei totale a proiectului.
4 Aceasta ipoteza pare a fi una corecta, daca consideram ca duratele de executie a activitatilor care apartin unui anumit lant de activitati sunt independente fata de cele care apartin altui lant de activitati. In acest caz, pentru a determina durata totala a fiecarui lant in parte, se poate aplica Teorema Limita Centrala. TLC este o teorema fundamentala pentru calculul daunelor totale generate de activitatea de asigurare a activelor, sau pentru calculul duratelor sau costurilor totale, aferente oricaror tipuri de activitati si care pot fi descrise ca variabile aleatorii, definite prin distributii continue, independente si identice. Aceasta este teoria... In general, daca notam cu S suma realizarilor ( prin realizari intelegem costuri, durate, daune, etc) elementelor apartinand sistemului analizat, pentru un numar de n activitati care sunt definite prin intermediul unor variabile aleatorii continue, cu distributii identice si independente, fiecare variabila aleatorie avand aceeasi valoare medie E(X) si aceeasi deviatie standard σ (X), atunci: S= X1+X2+...+Xn; E(S)= ne(x) iar σ(s)= n σ(x) Prin aceasta nu trebuie sa intelegem faptul ca variabilele aleatorii trebuie sa fie definite exclusiv printr-o distributie normala. In masura in care n>30 (de principiu), distributia poate fi inclusiv de tip Uniform, Beta, Lognormala, etc. Mai mult, este posibil ca fiecare distributie in parte sa fie definita prin alti parametrii. In aceste conditii, suma acestora este aproximata printr-o distributie normala. Acest din urma caz se aplica si in metoda PERT. Fiecare dintre distributiile Beta utilizate la evaluarea duratelor de executie este definita de alti parametrii, iar durata totala de executie se calculeaza ca in cazul TLC. Metoda PERT calculeaza durata de executie aferenta unui drum critic unic, excluzand din calcul celelalte drumuri posibile. Aceasta abordare reprezinta eroarea de conceptie a metodei PERT. Eroarea provine din faptul ca PERT ignora cazul in care exista mai multe activitati precedente. In aceste cazuri, valoarea ES ( inceputul cel mai devreme ) al unei activitati ulterioare (care se poate afla pe drumul critic), este determinata de maximum dintre duratele respectivelor activitati precedente. Concret, in cazul in care exista mai multe drumuri posibile care conduc catre aceeasi activitate, valoarea ES al acestei din urma activitati este egala cu max.[ EFi ], i=1,n, unde EFi reprezinta valoarea aferenta celui mai devreme sfarsit al celor n activitati precedente activitatii pentru care dorim sa calculam ES (pentru legaturi de tipul Finish- Start. ). Astfel daca exista trei activitati precedente activitatii X, rezulta ca ES (X)= max( EF(A), EF(B), EF (C)), unde A, B, C sunt activitatile precedente activitatii X, iar conexiunile sunt de tipul Finish-Start.
5 Trebuie notat faptul ca, in conformitate cu PERT, fiecare dintre duratele acestor trei activitati precedente (acest lucru fiind valabil pentru toate activitatile), sunt reprezentate prin distributii probabilistice de tip Beta. Asadar, desi se accepta de facto ca duratele de executie a oricaror activitati sunt modelate prin intermediul unor distributii probabilistice, nu se accepta consecinta directa a acestui fapt, si anume ca: durata de incepere ES a unei lucrarii ulterioare (X) este diferita, de la caz la caz, in functie de ceaa mai mare durata de finalizare, EF-max, dintre toate activitatile precedente activitatii (X). Aceasta este eroarea conceptuala a metodei PERT. Asadar, metoda PERT trebuie evitata in mod clar atunci cand proiectele au drumuri critice multiple, aceasta daca dorim sa evitam posibile erori substantiale de subevaluare a duratei totale de executie! Totusi, in cazul in care proiectul are intr-adevar un singur drum critic, atunci putem aplica direct TLC, asa cum se intampla in metoda PERT. In caz contrar, trebuie obligatoriu sa aplicam o alta metoda care rezolva neajunsul important al metodei clasice PERT. Metoda corecta care trebuie aplicata in astfel de cazuri este cea oferita de simularea Monte Carlo. Simularea Monte Carlo este metoda care rezolva, in mod natural, eroarea de conceptie a metodei PERT. Simularea MC genereaza valori aleatoare, aferente fiecarei variabile care a fost definita prin intermediul unei distributii de probabilitate. Puterea metodei este deosebita, intrucat genereaza un numar foarte mare de valori ale variabilei rezultat ( in cazul nostru_durata Totala) intr-un interval de timp redus. Acestea se inregistreaza, se ordoneaza si se utilizeaza ulterior la determinarea probabilitatilor de aparitie a scenariilor care intereseaza direct beneficiarul modelului. Spre exemplu, P(T<t), in care T= variabila aleatoare Durata de Finalizare a Proiectului, iar t reprezinta valoarea care prezinta interes pentru utilizator. In cazul concret, mentionat anterior, metoda Monte Carlo poate genera imediat cateva mii sau zeci de mii de scenarii, din care rezulta direct proportiile in care durata activitatilor A, B, sau C determina durata maxima a proiectului. Astfel se raspunde la intrebarea: care dintre cele trei drumuri AX, BX, CX sunt Critice si in ce proportie?
6 A B X Finish C Aici intervine si Indicele de Criticalitate (IC), prin care determinam cate dintre cele, sa zicem, 10,000 de iteratii generate prin intermediul simularii Monte Carlo, au situat activitatea A, B sau C pe Drumul Critic. Asadar, spre deosebire de PERT, simularea MC poate genera scenarii care sunt mult mai aproape de ceea ce se intampla in realitate cu sistemul analizat, rezultand astfel nu unul ci un numar de (maxim) trei Drumuri Critice, fiecare cu o pondere caracteristica (indice de criticalitate), data de particularitatile distributiilor care simuleaza cele trei activitati. Indicele de criticalitate este esential in monitorizarea si controlul oricarui proiect de executie, intrucat ataseaza o probabilitate fiecarei activitati pentru care s-a calculat acest indice, facilitand astfel monitorizarea celor mai importante activitati pe parcursul proiectului. Desigur, lucrurile sunt dinamice. Aceasta presupune recalibrarea duratelor si costurilor proiectelor in situatiile in care apar aspecte neprevazute. Acele activitati care au condus la recalibrarea proiectului trebuie (re)considerate, iar indicelui de criticalitate recalculat. De aceea este deosebit de importanta activitatea de constructie a WBS, cat si evaluarea si modelarea corecta a riscurilor aferente activitatilor incluse in acesta. Continuare...
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα9 Testarea ipotezelor statistice
9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,
Διαβάστε περισσότεραFLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραΕμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραΑκαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος
- Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραExemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Διαβάστε περισσότεραZgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)
Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραStudiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic
Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Varianta iniţială O schemă constructivă posibilă, a unei centrale de tratare a aerului, este prezentată în figura alăturată. Baterie încălzire/răcire
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραTransformări de frecvenţă
Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.
Διαβάστε περισσότερα13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραAnaliza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener
Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare
Διαβάστε περισσότεραElemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie
Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Sonia Gaiţă - INM Ianuarie 2005 Subiecte Concepte şi termeni Modelarea măsurării
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραLucrul mecanic. Puterea mecanică.
1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότερα