Capitolul Tabele i arbori decizionali
|
|
- Έλλη Λειβαδάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Capitolul 9 Teoria deciziei 9.1. Tabele i arbori decizionali O problem în cadrul teoriei deciziei este caracterizat prin existena unor alternative decizionale, a unor stri ale naturii i a unor tabele de rezultate (profituri, costuri, etc.) obinute prin alegerea unei alternative într-o anumit stare a naturii. Alternativele decizionale se refer la acele aciuni ce pot fi întreprinse de ctre decident. Strile naturii reprezint evenimente necontrolabile din viitor care pot influena rezultatul unei decizii. De exemplu, condiii economice favorabile sau defavorabile se pot constitui ca stri ale naturii atunci când acestea influeneaz rezultatele unui proces decizional. Deci starea naturii reprezint un complex de condiii care fac ca unei alternative date s-i corespund un anumit rezultat sau consecin. Aceste elemente sunt cel mai adesea grupate într-un tabel numit matrice sau tabel decizional. Atunci când cel care ia deciziile cunoate care stare a naturii va avea loc, se spune despre procesul decizional c este efectuat în condiii de certitudine. Cel mai adesea îns, nu se cunoate starea naturii care va avea loc. n aceast situaie, dac se cunosc probabilitile de apariie ale fiecrei stri, se spune c deciziile se iau în condiii de risc, iar în cazul în care aceste probabiliti nu se cunosc, deciziile sunt luate în condiii de incertitudine. Problemele decizionale care implic un numr relativ modest de alternative decizionale i stri ale naturii pot fi analizate utilizând o reprezentare grafic a procesului decizional numit arbore decizional.intr-un arbore exist dou tipuri de noduri: Noduri de decizie, figurate prin dreptunghiuri i Noduri de rezultate, figurate prin cercuri (Fig.9.1). Fig.9.1 Exemplu de arbore de decizie 9.1
2 9. Modelare i simulare în afaceri Nodurile de decizie sunt punctele în care trebuie fcut o alegere a unei alternative decizionale, pe baza estimrilor sau calculelor. Nodurile de rezultate sunt punctele în care sunt estimate probabilitile de apariie a rezultatelor. Construirea arborilor de decizie începe de la rdcin cu un nod decizional. Din el pleac ramurile, adic alternativele decizionale. La sfâritul fiecrei ramuri decizionale se afl un nod de rezultate din care pleac ramuri suplimentare reprezentând strile naturii. La captul acestor ramuri se trec rezultatele estimate corespunztoare unei anumite alternative i unei stri a naturii. Plecând de la acestea din urm i mergând ctre rdcin exist posibilitatea de a gsi cea mai bun alternativ. 9.. Criterii decizionale fr utilizarea probabilitilor Exsit trei criterii decizionale utilizate frecvent i care nu implic cunoaterea probabilitilor de apariie a strilor naturii. Acestea sunt cunoscute în literatur ca fiind criteriile maximax, maximin i criteriul regretelor. Criteriul maximax reprezint abordarea optimist în luarea deciziilor. Pentru acest criteriu, decidentul selecteaz acea alternativ care maximizeaz rezultatele. Aceasta înseamn c aceast politic ofer cel mai ridicat profit. De aici, pentru a obine rezultatul cel mai bun, se listeaz valorile maxime ale fiecrei alternative i dintre acestea se alege valoarea maxim. Criteriul maximin reprezint o abordare pesimist sau cel puin mai conservatoare de decizie. n xadrul acestei metode, decidentul încearc s maximizeze cel mai mic profit posibil. Astfel spus, aceast variant ofer cea mai bun limit inferioar a profitului. Decizia este luat prin listarea rezultatelor minime pentru fiecare alternativ decizional i selectarea dintre aceste valori a valorii maxime. Corespunztor fiecrei stri a naturii, exist câte o decizie care se dovedete a fi cea mai bun. Diferena între valoarea cea mai bun a fiecrei stri i valorile corespunztoare celorlalte alternative se numete regret sau pierdere de oportunitate. Criteriul regretelor minimax este acel criteriu prin care decidentul alege acea alternativ care corespunde minimului valorilor maxime ale regretelor. Astfel, criteriul regretelor este dat de: (1) stabilirea tabelului regretelor, obinut prin extragerea valorilor fiecrei coloane din maximul coloanei respective; () listarea regretului maxim al fiecrei alternative; (3) selectarea celei mai bune valori (valoare minim) gsite la pasul () Criterii decizionale utilizând probabilitile n unele situaii pot fi stabilite estimri ale probabilitilor de apariie a unei stri. De exemplu, utilizând criteriul valorii monetare estimate (VME) un analist calculeaz valoarea estimat pentru fiecare alternativ i apoi o selecteaz pe aceea care îi ofer cea mai bun valoare. Atunci când se utilizeaz criteriul pierderii estimate de oportunitate (PEO), decidentul calculeaz regretul sau pierderea estimat de oportunitate oentru fiecare decizie i alege decizia care îi ofer cea mai mic pierdere estimat de oportunitate. Alternativa aleas ca decizie în baza criteriului pierderii estimate de oportunitate va fi întotdeauna egal cu decizia aleas utilizând criteriul valorii monetare estimate. Valoarea ateptat a informaiei perfecte (VAIP) este acea îmbuntire estimat a profitului care are loc atunci când
3 Teoria deciziei 9.3 decidentul tie cu certitudine care va fi starea naturii. Se poate arta c valoarea estimat a informaiei perfecte este echivalent cu pierderea estimat de oportunitate pentru decizia optim. De aici, VAIP este obinut prin: 6. gsirea deciziei optime pe baza criteriului pierderii estimate de oportunitate sau a valorii monetare estimate, i 7. calcularea pierderii de oportunitate pentru aceast decizie. Similar, VAIP poate fi obinut prin: (1) determinarea celei mai bine valori corespunztoare fiecrei stri a naturii; () calcularea valorii estimate ale valorilor stabilite la pasul (1), i (3) extragerea valorii monetare estimate a deciziei optime din valoarea obinut la pasul () Probleme rezolvate Problema 9.1. Ionu Popescu are de ales între trei alternative decizionale, D 1, D i D 3. El tie c aceste decizii pot fi influenate de trei stri ale naturii, S 1, S i S 3, i cunoate totodat rezultatele care pot fi ateptate conform tabelului de mai jos. Tabelul 9.1 Starea naturii S 1 S S 3 D Decizii D D Care este decizia optim aplicând: a. Criteriul maximin? b. Criteriul maximax? c. Criteriul regretelor minimax? Presupunând c probabilitatea de apariie a fiecrei stri este P(S 1 ) =0%, P(S )=50% i P(S 3 )=30%, determinai: d. decizia optim pe baza criteriului valorii monetare estimate construind arborele decizional al problemei; e. decizia optim utilizând criteriul pierderii estimate de oprtunitate; f. Care este valoarea estimat a informaiei perfecte? Rezolvare a. Pentru a gsi decizia cea mai bun utilizând criteriul maximin trebuie determinate valorile minime ale fiecrei decizii. Ele sunt figurate în coloana maximin a tabelului 9.. Maximul acestor valori este 1, deci decizia cea mai bun este D. b. Pentru a gsi cea mai bun soluie conform criteriului maximax, trebuie gsit cea mai mare valoare din tabel. Aceasta este 5 i corespunde deciziei D 3, care este în acest caz decizia optim (Tabelul 9., coloana maximax).
4 9.4 Modelare i simulare în afaceri Decizii Tabelul 9. Stri ale naturii Criterii S 1 S S 3 Maximin Maximax D D D c. Pentru a gsi soluia optim conform criteriului regretelor minimax trebuie calculat tabelul regretelor, Tabelul 9.3. Pentru aceasta se determin mai întâi maximul valorilor fiecrei stri a naturii. Astfel pentru S 1 maximul este 4, pentru S este 5 iar pentru S 3 este 1. n continuare se calculeaz tabelul regretelor, prin extragerea valorilor de pe coloane din valorile maxime ale acestor coloane. Rezult tabelul 9.3. Tabelul 9.3 S 1 S S 3 Regretul maxim D D D Apoi, pentru fiecare decizie se determin regretul maxim i din valorile acestei coloane se alege valoarea minim. Deci soluia optim este D 1. d. Arborele de decizie va arta conform figurii 9.. S 1 4 S 4 D 1 S 3-1 D 3 S 1 S 0 3 D 3 S 3-1 S S 5 S 3-3 Fig.9. Utilizând probabilitile date se pot calcula valorile corespunztoare nodurilor, 3 i 4, respectiv: Nodul : 0. x x x (-) =. Nodul 3: 0. x x x (-1) = 1. Nodul 4: 0. x x x (-3) = 1.8
5 Teoria deciziei 9.5 Valoarea cea mai bun este dat de valoarea maxim, corespunztoare nodului deci deciziei D 1. e. Utilizând criteriul pierderii estimate de oportunitate, decizia optim va fi tot D 1. Pentru a demosntra acest lucru se calculeaz valoarea estimat a regretelor utilizând probabilitile furnizate anterior. Regretul estimat pentru D 1 este R 1 = 0. x x x 1 = 0.8 Regretul estimat pentru D este R = 0. x x x 0 = 1.8 Regretul estimat pentru D 3 este R 3 = 0. x x x = 1. Alegând varianta care avea regretul estimat minim, rezult varianta D 1. f. Valoarea estimat a informaiei perfecte este valoarea estimat a pierderii de oportunitate corespunztoare deciziei D 1, deci VEIP = 0.8. Problema 9. O firm dorete s lanseze pe pia un produs nou. Succesul ideii depinde de existena concurenei, i de preul practicat atât de firm cât i de concuren. Firma estimeaz, cu o probabilitate de 70% c firmele competitoare vor scoate i ele pe pia un produs similar. Firma a stabilit c, în funcie de nivelul de pre practicat de ea, de preul concurenei i situaia concurenial, profitul poate fi cel descris în Tabelul 9.4 Tabelul 9.4 Preul firmei Profitul dac preul concurenei este: Profitul dac nu exist este Sczut Mediu Ridicat concuren Sczut Mediu Ridicat În tabelul 9.5 se dau estimrile probabilitilor preurilor practicate de ctre competiie (probabiliti subiective sau apriori). Ce decizie trebuie s ia firma? Tabelul 9.5 Dac preul Probabilitatea ca preul concurenei s fie: firmei este: Sczut Mediu Ridicat Sczut 0,75 0,15 0,10 Mediu 0,0 0,70 0,10 Ridicat 0,10 0,30 0,60 Rezolvare (3) Se traseaz arborele de decizie conform figurii 9.3 unde s-au notat: S=sczut, M=mediu i R= ridicat i S *, M *, R * aceleai categorii de preuri pentru concuren. (4) Se calculeaz valorile sperate, cele care se înscriu în nodurile de rezultate, pentru fiecare ramur în parte, astfel vom avea: S 1 =0,75 x 5 + 0,15 x ,10 x 45 = 9,5 S = 0,0 x ,70 x ,10 x 50 = 43,5
6 9.6 Modelare i simulare în afaceri D 1 S 3 = 0,10 x ,30 x 5 + 0,60 x 54 = 41,4 S 4 = max(s1, S, S3) = 43,5 (Se alege decizia cea mai bun) S 5 = max(55, 75, 90) = 90 (Se alege decizia cea mai bun) S 6 = 0,7 x 43,5 + 0,3 x 90 = 57,45 S 7 = 0 Lanseaz produsul Nu lanseaz produsul Exist competiie (5) Se interpreteaz rezultatele i se genereaz recomandrile: Decizia D 1 : Deoarece S6 > S7, firma va lansa produsul pe pia; Decizia D : Dac exist competiie, atunci firma va lansa produlul la un pre mediu (S =S 4 ); Decizia D 3 : Dac nu exist competiie atunci firma va vinde produsul la preul cel mai ridicat (S 5 =90) (6) Se calculeaz riscul fiecrei alternative. De exemplu pentru S, riscul este: S 6 Nu exist competiie D D 3 S M R S 1 S S 3 S* x 0.75 M* x 0.15 R* x 0.10 S* x 0.5 M* x 0.70 R* x 0.10 S* x 0.10 M* x 0.30 R* x 0.60 S 7 0 Fig. 9.3 S M R σ= ( R j S ). p j = (35 43,5).0, + (45 43,5) + (50 43,5).0, 1 =4,508 j= 1 Deci valoarea sperat a profitului este 43,5 ± 4,508.
7 Teoria deciziei 9.7 Riscul decizional poate fi redus prin recoltarea de informaii suplimentare cum ar fi cercetarea prealabil a pieei. Pe baza acestora se pot calcula probabilitile a posteriori. Relaiile de baz folosite în calcularea acestor probabiliti sunt formulele lui Bayes. (vezi E.Russu) Probleme propuse 1. Fie urmtoarea problem sugerat de matricea decizional de mai jos în care exist 3 alternative decizionale, D 1 D 3 i 4 stri ale naturii, S 1 S 4. S 1 S S 3 S 4 D D D Care este decizia optim utilizând: a. criteriul maximin? b. criteriul maximax? c. Criteriul regretelor minimax? Dac probabilitile de apariie ale celor 4 stri sunt: P(S 1 ) = 10%, P(S )=40%, P(S 3 )=30% i P(S 4 ) = 0% gsii: d. decizia optim folosind criteriul valorii monetare estimate. Care este aceast valoare? e. valoarea estimat a informaiei perfecte.. Un investitor dorete s investeasc în aciuni, teren sau obligaiuni în condiii aflate sub incertitudine. Matricea decizional este artat în tabelul de mai jos. Condiii economice Bune Stabile Rele Aciuni Teren Obligaiuni Stabilii care este cea mai bun decizie investiional utilizând criteriile: a. maximin b. maximax; c. Hurwicz (=0.3) d. Regret minimax. 3. Super Cola este un productor de buturi rcoritoare care trebuie s decid dac s introduc sau nu pe pia o nou butur. Managerii estimeaz c vânzrile vor fi fie de 100 milioane de sticle, fie de 50 de milioane sau de 1 milion. Dac firma introduce butura, vânzrile a 100 de milioane de sticle vor aduce un profit de 1 milion de dolari. La vânzri de 50 de milioane, profitul va fi de 00 de mii de dolari, iar dac se vând numai 1 milion de sticle, compania va înregistra o pierdere de milioane dolari. Dac firma nu lanseaz produsul pe pia, pierderile vor fi de 400 de mii de dolari. a. Construii matricea decizional.
8 9.8 Modelare i simulare în afaceri b. Construii matricea regretelor. c. Care este decizia optim a problemei dac firma este: i. Extrem de pesimist; ii. Extrem de optimist; iii. Dorete s minimizeze eecul. d. Firma a angajat o companie specializat în cercetri de marketing. Aceasta din urm a analizat piaa i a stabilit probabilitile vânzrilor noii buturi astfel: P(100 de milioane de sticle vândute) = 1/3; P(50 de milioane de sticle vândute) = 1/; P(1 de milioane de sticle vândute) = 1/6. Va introduce Super Cola pe pia produsul dac ia în considerare criteriul valorii monetare estimate? e. Firma de marketing a anunat c poate efectua un studiu mult mai aprofundat al pieei, dar acesta va costa de dolari. Vor comanda managerii de la Super Cola studiul? 4. MegaStore este un lan de magazine care i-a planificat o campanie promoional de vânzri de dou zile pentru un nou produs. Costul reclamei campaniei este de 950 u.m. Estimrile privind vânzrile sunt de 60, 80, 100 sau 10 de buci. Fiecare duzin de produse cost magazinul 300 de u.m., iar acesta le vinde cu 36 u.m. la bucat. Fiecare bucat nevândut de magazin va fi returnat fabricii productoare pentru preul de achiziie mai puin u.m. costul transportului. Managerul cu vânzrile dorete s comande duzini de câte 6, 8, 10 sau 1 uniti de produs. a. Construii matricea decizional. b. Care este decizia optim dac se folosete criteriul: i. Maximin? ii. Maximax? iii. Regretelor minimax? c. Ar trebui managerul s comande vreodata duzini de câte 1 produse? De ce? 5. Fie urmtoarea matrice decizional în care A, B i C sunt alternative investiionale iar 1, i 3 condiii economice. Condiii economice 1 3 Decizia A B C a. Calculai valoarea estimat pentru fiecare decizie i selectai decizia cea mai bun. b. Dezvoltai tabelul pierderilor de oportunitate i calculai pierderea estimat de oportunitate pentru fiecare decizie. c. Stabilii valoarea estimat a informaiei perfecte (VEIP). d. Construii arborele decizional i indicai decizia cea mai bun.
9 Teoria deciziei 9.9
12.1. Noţiuni teoretice
12 Procesul decizional în condiţii de risc şi incertitudine 12.1.1. Tabele şi arbori decizionali 267 12.1. Noţiuni teoretice O problemă în cadrul teoriei deciziei este caracterizată prin existenţa unor
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Capitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Capitolul Introducere
Capitolul 6 Modelarea prin grafuri II PERT i Metoda drumului critic 6.1. Introducere Grafurile pot fi utilizate ca un ajutor în planificarea proiectelor complexe care constau din mai multe activiti. Dac
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
9 Testarea ipotezelor statistice
9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,
14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor
MULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui
- Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica
8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Stabilizator cu diodă Zener
LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator
REDRESOARE MONOFAZATE CU FILTRU CAPACITIV
REDRESOARE MONOFAZATE CU FILTRU CAPACITIV I. OBIECTIVE a) Stabilirea dependenţei dintre tipul redresorului (monoalternanţă, bialternanţă) şi forma tensiunii redresate. b) Determinarea efectelor modificării
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
CAPITOLUL 3 MODELE PRIVIND STABILIREA PREŢULUI PRODUSELOR/SERVICIILOR FIRMEI. 3.1 Obiectivele deciziei de preţ
CAPITOLUL 3 MODELE PRIVIND STABILIREA PREŢULUI PRODUSELOR/SERVICIILOR FIRMEI În analiza modelelor prezentate în acest capitol vom utiliza categoria de preţ ca pe o variabilă a cărei valoare va fi stabilită
Noţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC
LUCRAREA NR. 1 STUDIUL SURSELOR DE CURENT
LUCAEA N STUDUL SUSELO DE CUENT Scopul lucrării În această lucrare se studiază prin simulare o serie de surse de curent utilizate în cadrul circuitelor integrate analogice: sursa de curent standard, sursa
Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Câmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
prin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Transformata Radon. Reconstructia unei imagini bidimensionale cu ajutorul proiectiilor rezultate de-a lungul unor drepte.
Problema Tranformaa Radon Reconrucia unei imaini bidimenionale cu auorul roieciilor rezulae de-a lunul unor dree. Domeniul de uilizare: Prelucrarea imainilor din domeniul medical Prelucrarea imainilor
Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica Bibliografie Cormen Introducere în Algoritmi cap.
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
2. CALCULE TOPOGRAFICE
. CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă
, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Cursul 6. Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT
Cursul 6 Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT Tabele de incidenţă - exemplu O modalitate de a aprecia legătura dintre doi factori (tendinţa de interdependenţă,
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
CONTRIBUŢII LA PRELUCRAREA NUMERICĂ A SEMNALELOR CU FUNCŢII SPLINE
CONTRIBUŢII LA PRELUCRAREA NUMERICĂ A SEMNALELOR CU FUNCŢII SPLINE Rezumat Ing. Liliana STOICA Conducător ştiinţific: Referenţi ştiinţifici: Prof.univ.dr.ing. Alimpie Ignea Prof.univ.dr.ing. Teodor Petrescu
2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1
2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim