ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ Υ ΡΟΦΟΡΕΩΝ. ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΤΙΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ.

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΨΙΛΟΒΙΚΟΣ ΑΡΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΟΥΧΟΣ ΑΓΡΟΝΟΜΟΣ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Α.Π.Θ. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΕΓΓΕΙΩΝ ΒΕΛΤΙΩΣΕΩΝ & Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ Α.Π.Θ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΙΚΥ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ Υ ΡΟΦΟΡΕΩΝ. ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΤΙΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΖΙΜΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 999

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το θέµα της εργασίας αυτής δόθηκε από την τριµελή συµβουλευτική επιτροπή µε κύριο επιβλέποντα τον Καθηγητή κ. Χρήστο Τζιµόπουλο και µέλη τους κ.κ. Σταύρο Γιαννόπουλο, Αναπληρωτή Καθηγητή και Σούλιο Γεώργιο, Καθηγητή, στα πλαίσια εκπόνησης ιδακτορικής ιατριβής στο Τµήµα Αγρονόµων & Τοπογράφων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ. Αποτέλεσε τη λογική συνέχεια και ολοκλήρωση µιας σειράς προηγούµενων ερευνητικών εργασιών πάνω σε θέµατα διαχείρισης υπόγειων υδροφορέων µε µεθόδους Γραµµικού Προγραµµατισµού και επέκταση αυτών και σε άλλες µεθόδους Μαθηµατικού Προγραµµατισµού. Το αντικείµενό της είναι αφενός η εφαρµογή ενός ολοκληρωµένου µοντέλου Βέλτιστης ιαχείρισης και συγκεκριµένα Προσοµοίωσης ιαχείρισης Βελτιστοποίησης σε υπόγειους υδροφορείς και ειδικότερα στον υδροφορέα Ειδοµένης Ευζώνων και αφετέρου η σύγκριση ανάµεσα στις µεθόδους βελτιστοποίησης Γραµµικού (LP), Μικτού Ακέραιου (MIP), Τετραγωνικού (P) και Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού (P) που χρησιµοποιήθηκαν. Πολλά άτοµα συνέβαλαν για την ολοκλήρωση της ιατριβής αυτής τα οποία και ευχαριστώ θερµά. Ιδιαίτερα θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες µου στον καθηγητή του Τµήµατος Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών του ΑΠΘ κ. Χρήστο Τζιµόπουλο, κύριο επιβλέποντα της διατριβής αυτής, ο οποίος υπήρξε δάσκαλός µου σε προπτυχιακό και µεταπτυχιακό επίπεδο, µου υπέδειξε το θέµα της διατριβής, είχε την επίβλεψη και την επιστηµονική καθοδήγηση καθ όλη τη διάρκειά της, και συνέβαλε τα µέγιστα στην αποπεράτωσή της. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά : Τον αναπληρωτή καθηγητή του Τµήµατος Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών του ΑΠΘ κ. Σταύρο Γιαννόπουλο, µέλος της τριµελούς συµβουλευτικής επιτροπής, για τις χρήσιµες συµβουλές, διορθώσεις και εύστοχες παρατηρήσεις του, καθώς επίσης και για τη στενή παρακολούθηση της διατριβής µου σε όλα τα στάδια της προετοιµασίας της. Τον καθηγητή του Τµήµατος Γεωλογίας του ΑΠΘ κ. Γεώργιο Σούλιο, µέλος της τριµελούς συµβουλευτικής επιτροπής, για τις υποδείξεις του και τις επικοδοµητικές συζητήσεις επί των υδρογεωλογικών θεµάτων της περιοχής. Όλα τα µέλη της επταµελούς εξεταστικής επιτροπής για τις διορθώσεις τους πάνω στο τελικό κείµενο της διατριβής. Θα ήταν παράλειψη να µην ευχαριστήσω : Το Ίδρυµα Κρατικών Υποτροφιών (ΙΚΥ) για την τριετούς διάρκειας υποτροφία που µου παρείχε για την εκπόνηση της παρούσας διδακτορικής διατριβής.

3 Τον κ. Ανδρέα Γεωργίου, Λέκτορα του Πανεπιστηµίου Μακεδονίας για τη βιβλιογραφία που µου υπέδειξε πάνω σε θέµατα επιχειρησιακής έρευνας, ακέραιου προγραµµατισµού και µη γραµµικού προγραµµατισµού. Τον ρ. Αγρονόµο και Τοπογράφο Μηχανικό Άνθιµο Σπυρίδη, για τη βοήθειά του στα διάφορα στάδια εκπόνησης της διατριβής. Τους κ.κ. Στέργιο Τζιµούρτα, γεωλόγο του ΙΓΜΕ, Θωµά Μπόγια, γεωπόνο της ΕΒ του Νοµού Κιλκίς και Γεώργιο Μήλογλου, Πολιτικό Μηχανικό της ης ΕΚΕ, για την ευγενική παραχώρηση των πρωτογενών δεδοµένων της υπό µελέτη περιοχής. Τέλος θα επιθυµούσα να ευχαριστήσω τους γονείς µου και όλους τους δικούς µου ανθρώπους που µε υποµονή, κατανόηση και σεβασµό µε βοήθησαν υλικά και ηθικά καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας διατριβής.

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ 9. ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 9. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ.. Υδροφόρα στρώµατα υπό πίεση.. Ελεύθερα υδροφόρα στρώµατα 9. ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ MODFLOW.. Εξαγωγή της διαφορικής εξίσωσης.. ιακριτοποίηση 4.. Εξίσωση Πεπερασµένων ιαφορών 5..4 ιαδικασία Επίλυσης.4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ MODFLOW ΣΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. ΜΟΝΤΕΛΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 44. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 44. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 45.. Γενικά 45.. Μαθηµατικό Moντέλο του Γραµµικού Προγραµµατισµού 45.. Θεωρία του Γραµµικού Προγραµµατισµού Μέθοδος SIMPLEX ιαδικασία υπολογισµού Οργάνωση Πίνακα Smpex Μετασχηµατισµός του Πίνακα Smplex Αναθεωρηµένη µέθοδος SIMPLEX υϊκή θεωρία Γενικά ιαµόρφωση και λύση 58. ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 59

5 .. Γενικά 59.. Κατηγορίες προβληµάτων 59.. Μεθοδολογία επίλυσης Η µέθοδος δέσµης (Branch and Bound) για την επίλυση προβληµάτων Ακέραιου Προγραµµατισµού Η µέθοδος δέσµης για την επίλυση προβληµάτων Μικτού Ακέραιου Προγραµµατισµού Η µέθοδος Implct Enumeraton για την επίλυση προβληµάτων 0 Ακέραιου Προγραµµατισµού 68.4 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Βασικές αρχές από τη θεωρία µητρώων Ορισµοί Προβλήµατα χωρίς περιορισµούς Προβλήµατα µε περιορισµούς Θεωρήµατα Πολλαπλασιαστές Lagrange Συνθήκες Karush Kuhn Tucer Μέθοδος των συζυγών διευθύνσεων Μέθοδοι συζυγών κλίσεων (Conjugate drectons) Μέθοδοι Σχεδόν Newton (uas Newton) 79.5 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 8.5. Βασικές ιδιότητες 8.5. Αλγόριθµος επίλυσης Παράδειγµα (Wnston, 99) 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ 88. ΓΕΝΙΚΑ 88. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 89.. Επίδραση από τις αλλαγές στους συντελεστές C j 89.. Επίδραση από τις αλλαγές στους σταθερούς όρους b 9.. Επίδραση από τις αλλαγές στους συντελεστές α j 9..4 Επίδραση από την προσθήκη ή αφαίρεση µεταβλητών ή περιορισµών Μεταβλητές Περιορισµοί 94

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο 4. ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΣΤΗΝ ΥΠΟΓΕΙΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Μέθοδος ενσωµάτωσης (Embeddng matrx method) Μέθοδος του µητρώου ανταπόκρισης (Response matrx method) Εφαρµογή της µεθόδου του µητρώου ανταπόκρισης. Χωρική και χρονική επαλληλία ΣΥΝ ΥΑΣΜΕΝΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΥΠΟΓΕΙΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Μοντέλο Προσοµοίωσης Μοντέλο ιαχείρισης Τύποι Αντικειµενικών Συναρτήσεων Μοντέλο Βελτιστοποίησης ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Αναφορές στην πιο πρόσφατη βιβλιογραφία Βελτιστοποίηση µε Γραµµικό Προγραµµατισµό Βελτιστοποίηση µε Μικτό Ακέραιο Προγραµµατισµό. Μέθοδος Σταθερού Φορτίου (Fxed Charges) Βελτιστοποίηση µε Τετραγωνικό Προγραµµατισµό 4.5 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο 5. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 7 5. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 7 5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γεωµορφολογικά στοιχεία Γεωλογικά στοιχεία Υδρογεωλογικά και τοπογραφικά στοιχεία 5..4 Πίνακες και χάρτες δεδοµένων Ισοποσοτικοί και θεµατικοί χάρτες υδρογεωλογικών και τοπογραφικών δεδοµένων 5..6 Πιεζοµετρικοί χάρτες µε τ αποτελέσµατα της προσοµοίωσης µε το MODFLOW ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 49

7 5.. Γραµµικός και Μικτός Ακέραιος Προγραµµατισµός Πηγάδια, Μήνες ιαχείρισης (LINDO for WINDOWS 95) Πηγάδια, Μήνες ιαχείρισης (LINDO) Εύρεση συντελεστών κόστους Πηγάδια, Μήνες ιαχείρισης Επίλυση µε Μικτό Ακέραιο Προγραµµατισµό (LINDO) Πηγάδια, Μήνες ιαχείρισης (LINDO) Τετραγωνικός Προγραµµατισµός Άρση της Χρονικής Επαλληλίας Προγράµµατα (software) που χρησιµοποιούνται για τη βελτιστοποίηση τετραγωνικών αντικειµενικών συναρτήσεων Πηγάδια, Μήνες ιαχείρισης (GINO) Πηγάδια, Μήνες ιαχείρισης (GINO) Πηγάδια, 4 Μήνες ιαχείρισης (EXCEL) Εναλλακτική δυνατότητα LINDO. Ψευδοτετραγωνικός Προγραµµατισµός ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Ανάλυση ευαισθησίας των συντελεστών κόστους Ανάλυση ευαισθησίας των µη διαχειριζόµενων φορτίων U 08 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Το Πρόγραµµα SHELL.FOR ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Το Πρόγραµµα SHELL.FOR 8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Τα αρχεία εισόδου S_RESPO, S_SYNTE, S_SYN_M, S_PIEZO, S_BALA, του προγράµµατος SHELL.FOR. 4 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Το αρχείο S_BALA εξόδου του SHELL.FOR και εισόδου του EXCEL 48

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το νερό αποτελεί αναντικατάστατο αγαθό για τον άνθρωπο, για τον πολιτισµό του, για την ίδια του τη ζωή. Είναι αγαθό εν αφθονία και µάλιστα τα συνολικά αποθέµατα νερού στη γη - παγκόσµιο υδατικό ισοζύγιο - παραµένουν σταθερά σε ποσότητα και αναλλοίωτα στο πέρασµα των αιώνων. Η παρέµβαση όµως του ανθρώπου, η αύξηση του πληθυσµού µε γεωµετρικούς ρυθµούς, οι συνεχώς αυξανόµενες απαιτήσεις και η ασέβεια προς το περιβάλλον και τους φυσικούς πόρους, έχουν δηµιουργήσει ένα πολύ σοβαρό πρόβληµα την έλλειψη πόσιµου νερού. Οι συνολικές ποσότητες νερού που υπάρχουν στη γη (µαζί µε το θαλασσινό), ανέρχονται σε.4*0 8 m ενώ τα αποθέµατα του γλυκού νερού είναι µόλις 6*0 5 m, δηλαδή αποτελούν το.57 % της συνολικής ποσότητας. Το 70% αυτού του νερού δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί από τον άνθρωπο, αφού είναι δεσµευµένο στους παγετώνες και στα χιόνια. Από το υπόλοιπο 0% που είναι σε υγρή µορφή, το 98% βρίσκεται στους υπόγειους υδροφορείς και µάλιστα το µισό από αυτό βρίσκεται σε βάθος µεγαλύτερο από 800 µέτρα, όπου η περιεκτικότητα του σε άλατα και η υπερβολικά δαπανηρή ανάκτησή του είναι απαγορευτικές για την εκµετάλλευσή του. Το υπόλοιπο % που βρίσκεται στα ποτάµια και στις λίµνες (επιφανειακοί υδατικοί πόροι), είναι το άµεσα διαθέσιµο νερό από το οποίο εξαρτάται η ανάπτυξη της ανθρωπότητας. Η ποσότητα αυτή επαρκεί για να συντηρήσει όλες τις µορφές ζωής του πλανήτη. Το αέναο ταξίδι του νερού στο χώρο και στο χρόνο συνεχίζεται αδιάκοπα µέσω του υδρολογικού κύκλου (σχήµα ). Το νερό ρυπαίνεται συνεχώς από τους ανθρώπους, καθίσταται ακατάλληλο για χρήση και επιπλέον ξοδεύεται αλόγιστα, µε αποτέλεσµα τα συνολικά αποθέµατα πόσιµου νερού να υποβαθµίζονται συνεχώς σε ότι αφορά τους επιφανειακούς υδατικούς πόρους. Η ανάγκη για πόσιµο νερό οδήγησε τον άνθρωπο στον εντοπισµό και στην εκµετάλλευση των υπόγειων υδατικών πόρων. Τα υπόγεια νερά, τα οποία βρίσκονται στους υπόγειους υδροφορείς, πλεονεκτούν έναντι των επιφανειακών νερών, γιατί : Βρίσκονται αποθηκευµένα σε µεγάλες ποσότητες σε υπόγειες «δεξαµενές» (κάρστ), χωρίς την παρέµβαση του ανθρώπου. Η ποιότητα τους είναι ως επί το πλείστον πολύ καλή και αποδίδονται άµεσα για οποιαδήποτε χρήση τους. Επαναπληρώνονται από τα επιφανειακά νερά, που κατά τη διαδροµή τους µέσα από το έδαφος υφίστανται φυσικές διεργασίες καθαρισµού.

9 Εισαγωγή Για τους παραπάνω λόγους, το ενδιαφέρον όλων των χωρών έχει στραφεί τα τελευταία χρόνια στην εκτίµηση και εκµετάλλευση των υπόγειων υδροφορέων. Γίνονται εκτεταµένες υδρογεωλογικές έρευνες για τον εντοπισµό των υδροφόρων στρωµάτων, όπως και υδροχηµικές έρευνες για την ποιότητα του υπόγειου νερού. Τα τελευταία χρόνια διανοίγονται συνεχώς νέες γεωτρήσεις, είτε νόµιµες είτε παράνοµες, οι οποίες υφίστανται ανεξέλεγκτη εκµετάλλευση χωρίς κάποιο ειδικό πρόγραµµα. Η κατάσταση αυτή έχει οδηγήσει σε αλόγιστες αντλήσεις και σηµαντική πτώση της πιεζοµετρίας των υπόγειων υδροφορέων. Σχήµα Σχηµατική απεικόνιση του υδρολογικού κύκλου µαζί µε το παγκόσµιο υδατικό ισοζύγιο εκφρασµένο σε σχετικές αριθµητικές µονάδες (Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Larousse Brtannca). Η φύση έχει φροντίσει για την ανανέωση και την αειφορία του πολύτιµου αυτού αγαθού, του νερού. Όµως εµφανίζονται φαινόµενα άνισης χωρικής και χρονικής κατανοµής του πάνω στην επιφάνεια του πλανήτη. Ειδικότερα για την Ελλάδα, παρατηρείται έντονη χωροχρονική ανισοκατανοµή των βροχοπτώσεων µε επίδραση στους επιφανειακούς και στους υπόγειους υδατικούς πόρους. Συγκεκριµένα η Αττική, τα νησιά του Αργοσαρωνικού και οι Κυκλάδες, είναι οι κατεξοχήν

10 Εισαγωγή άνυδρες περιοχές της χώρας, που δέχονται λιγότερο από 400 mm βροχής το χρόνο, αν και το χειµώνα παρατηρούνται σφοδρές καταιγίδες και πληµµύρες, ειδικά στην Αττική. Οι πιο πλούσιες σε κατακρηµνίσµατα περιοχές, βρίσκονται στη υτ. Ελλάδα (Ήπειρος, υτ. Στερεά, υτ. Πελοπόννησος, Ιόνιο), στις οποίες το ετήσιο ύψος ξεπερνάει τα 800 και σε µερικές περιπτώσεις τα 000 mm, ενώ η υπόλοιπη Ελλάδα δέχεται βροχοπτώσεις το ύψος των οποίων κυµαίνεται από 400 εώς 800 mm ετησίως. Η "θεραπεία" όλων αυτών των καταστάσεων δηλαδή η ανισοκατανοµή του νερού στο χώρο και στο χρόνο, αλόγιστη εκµετάλλευση, ποιοτική και ποσοτική υποβάθµιση, έχει οδηγήσει τον άνθρωπο σε µια σειρά έργων και επεµβάσεων στο περιβάλλον. Τέτοια έργα είναι τα εξής : Φράγµατα σε διάφορες θέσεις κατά µήκος των ποταµών. Έχουν σκοπό την αποταµίευση νερού µε σκοπό την άρδευση και ύδρευση, παραγωγή υδροηλεκτρικής ενέργειας από υδατόπτωση και διατήρηση σταθερής παροχής κατάντη (έργα αναρρύθµισης της ροής). Λιµνοδεξαµενές ταµιευτήρες, που κατασκευάζονται κυρίως σε περιοχές περιορισµένων επιφανειακών υδατικών πόρων, µε σκοπό κυρίως την ύδρευση. Έργα µεταφοράς του νερού σε µεγάλα αστικά κέντρα. Η τάση που φαίνεται να επικρατεί τα τελευταία χρόνια, είναι η "πρόληψη" και όχι η "θεραπεία". Η πρόληψη είναι δυνατή και πραγµατοποιήσιµη µε τη ιαχείριση των Υδατικών Πόρων τόσο των υδρολογικών λεκανών ή των υδατικών διαµερισµάτων µιας χώρας, όσο και των διασυνοριακών υδατικών πόρων. Ως ιαχείριση Υδατικών Πόρων νοείται µία δυναµική διαδικασία που αποβλέπει στην πληρέστερη δυνατή κάλυψη των σηµερινών και των µελλοντικών αναγκών, για κάθε χρήση µε βάση έναν ορθολογικό προγραµµατισµό, που στηρίζεται σε αντικειµενικά κριτήρια και διαδικασίες. Εποµένως, η ιαχείριση Υδατικών Πόρων, ετοιµάζει σχέδια σε εθνικό και περιφερειακό επίπεδο που εξασφαλίζουν τη βέλτιστη χρήση του νερού σήµερα αλλά και στο µέλλον. Επίσης, η ιαχείριση Υδατικών Πόρων έχει την ευθύνη της εφαρµογής των σχεδίων µε διοικητικά µέτρα και κανονισµούς καθώς και µε το συντονισµό της κατασκευής των υδραυλικών έργων, όπου αυτά είναι τελείως απαραίτητο να κατασκευαστούν. Η διαχείριση του νερού, όπως εφαρµόζεται στην Ελλάδα, χαρακτηρίζεται από πολυδιάσπαση και αποσπασµατικότητα, καθώς οι αρµοδιότητες είναι συνήθως µοιρασµένες σ'ένα πλήθος τοµέων, υπηρεσιών και οργανισµών, χωρίς να λαµβάνονται υπόψη οι διαµάχες και συγκρούσεις ή οι

11 Εισαγωγή 4 ενδεχόµενες αλληλοσυµπληρώσεις και αλληλοκαλύψεις µεταξύ των κοινωνικών, περιβαλλοντικών και οικονοµικών στόχων. Είναι αναγκαίο να εφαρµοστεί και στην Ελλάδα πολιτική διαχείρισης των υδατικών της πόρων, πέραν από απλή θεσµοθέτηση νόµων και διαταγµάτων που τις περισσότερες φορές δεν εφαρµόζονται ή εφαρµόζονται σπασµωδικά (Νόµος 79/987), έτσι ώστε να ικανοποιηθούν οι ανάγκες σε άρδευση, ύδρευση, βιοµηχανία και ενέργεια και ταυτόχρονα να διατηρηθεί η ποιότητα και ποσότητα των υδατικών πόρων και του φυσικού περιβάλλοντος σε καλή κατάσταση. Ταυτόχρονα µε την πολιτική αυτή είναι απαραίτητη η προαγωγή της έρευνας για τους υδατικούς πόρους και τη διαχείρισή τους, η οποία διεξάγεται κυρίως στα ΑΕΙ και τα σχετικά Ερευνητικά Ιδρύµατα. Στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης τα θέµατα αυτά αποτελούν αντικείµενο έρευνας πολλών τµηµάτων, ενώ εισάγονται πολλά προγράµµατα µεταπτυχιακών σπουδών σε θέµατα διαχείρισης υδατικών πόρων. Η διαχείριση των υπόγειων υδατικών πόρων, αποτέλεσε ιδιαίτερο αντικείµενο έρευνας κατά την τελευταία εικοσαετία τόσο στην Ελλάδα όσο και στο εξωτερικό. Ένας από τους πρωτοπόρους στα προβλήµατα βελτιστοποίησης υπογείων υδροφορέων ήταν ο Schwarz (97), που παρουσίασε ένα παράδειγµα βελτιστοποίησης των αντλήσεων µε γραµµικό προγραµµατισµό σ έναν υδροφορέα που τον χώρισε σε 5 ορθογωνικές διακεκριµένες περιοχές. O Bear (979), τον ακολούθησε δίνοντας έµφαση σε συνδυασµένα προβλήµατα διαχείρισης και βελτιστοποίησης υπόγειων υδροφορέων. Ο Gorelc (98), ταξινόµησε σε κατηγορίες τα διάφορα µοντέλα διαχείρισης των υπόγειων υδροφορέων. Οι Mc Donald & Harbaugh (988) ασχολήθηκαν µε το τρισδιάστατο µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του υπογείου νερού MODFLOW µε πεπερασµένες διαφορές, και τη σύνταξη του λογισµικού του. Ο Knzelbach (99), ασχολήθηκε µε τη δηµιουργία προγράµµατος - κελύφους PROCESSING MODFLOW για την εύχρηστη και φιλική λειτουργία του προγράµµατος MODFLOW. Ο Greenwald (994), συνεργάστηκε µε τους Mc Donald & Harbaugh κυρίως στην επίλυση του προβλήµατος διαχείρισης και βελτιστοποίησης µε την κατασκευή του µοντέλου MODMAN (MODFLOW MANAGEMENT) και όλου του λογισµικού (software). Με τη βοήθεια του MODMAN εισάγεται πλέον η έννοια της ορθολογικής διαχείρισης του υπόγειου νερού που προκύπτει από µία διαδικασία βέλτιστης κατανοµής των αντλήσεων από τις υδρογεωτρήσεις µε µεθόδους επιχειρησιακής έρευνας και µαθηµατικού προγραµµατισµού και όχι µε σενάρια που αποτελούν καλές µεν λύσεις αλλά εµπειρικές και όχι βέλτιστες. Οι Tarhoun J. & Lebbe L. (996),

12 Εισαγωγή 5 εφάρµοσαν βελτιστοποίηση των αντλήσεων και των επαναπληρώσεων σε έναν υπόγειο υδροφορέα µε τη βοήθεια της επίλυσης του αντίστροφου προβλήµατος στις τρεις διαστάσεις. Στην Ελλάδα µε θέµατα µοντελοποίησης και διαχείρισης υπόγειων υδροφορέων έχουν ασχοληθεί πολλοί τα τελευταία χρόνια µε πληθώρα επιστηµονικών εργασιών και ερευνητικών προγραµµάτων. Ενδεικτικά αναφέρονται οι παρακάτω : Οι Τερζίδης κ.α. (98), αναφέρθηκαν στη σύγκριση αναλυτικών και αριθµητικών λύσεων σε προβλήµατα υπόγειου νερού. Οι Latnopoulos et al. (99), χρησιµοποίησαν µια τετραγωνική συνάρτηση για την απορρύπανση ενός µολυσµένου υδροφορέα και επέλυσαν το πρόβληµα µε το πρόγραµµα MINOS (Murtagh and Saunders 987). Οι Τσακίρης κ.α. (99), ασχολήθηκαν µε ένα ολοκληρωµένο σύστηµα διαχείρισης των υδατικών πόρων της Ανατολικής Κρήτης. Οι Tzmopoulos and Moutsopoulos (994), συνέκριναν τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων µε αυτή των πολλαπλών κελιών στη διαχείριση των υπογείων υδροφορέων. Ο Ψιλοβίκος (996), ασχολήθηκε µε την προσοµοίωση και τη βέλτιστη διαχείριση του υπόγειου υδροφορέα Ειδοµένης Ευζώνων µε Γραµµικό Προγραµµατισµό, µε τα µοντέλα MODFLOW και MODMAN αντίστοιχα. Οι Τζιµόπουλος κ.α. (997), ασχολήθηκαν µε την υδρογεωλογική έρευνα και τη διαχείριση των πηγών της Αγ. Βαρβάρας στη ράµα, µε το µοντέλο MODFLOW. Η παρούσα διδακτορική διατριβή συµβάλλει στην έρευνα σε θέµατα διαχείρισης υπόγειων υδατικών πόρων. Το θέµα της έρευνας δόθηκε από την τριµελή συµβουλευτική επιτροπή και αποτελεί συνέχεια παλαιότερης ερευνητικής δουλειάς στα πλαίσια µιας ιπλωµατικής εργασίας (Ψιλοβίκος, 994) και µιας Μεταπτυχιακής ιατριβής (Ψιλοβίκος, 996) µε περιοχή εφαρµογής την υδρογεωλογική λεκάνη Ειδοµένης - Ευζώνων. Το αντικείµενό της είναι η εφαρµογή ενός σύνθετου µαθηµατικού µοντέλου προσοµοίωσης - διαχείρισης - βελτιστοποίησης σε υπόγειους υδροφορείς που έχει ως αποτέλεσµα τη βέλτιστη διαχείριση και τη σύγκριση ανάµεσα στις µεθόδους Γραµµικού, Μικτού Ακέραιου, Τετραγωνικού και Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού που χρησιµοποιήθηκαν για τη βελτιστοποίηση της λειτουργίας ενός συνόλου γεωτρήσεων. Αναλυτικά, το αντικείµενο της έρευνας εντοπίζεται στα εξής σηµεία :. Ανάλυση ευσταθείας της πεπλεγµένης διαφορικής εξίσωσης µε µερικές παραγώγους του µοντέλου προσοµοίωσης MODFLOW στις τρεις διαστάσεις, για ελεύθερους υδροφορείς.

13 Εισαγωγή 6. Βέλτιστη διαχείριση του υδροφορέα Ειδοµένης - Ευζώνων µε την εφαρµογή ενός ολοκληρωµένου µοντέλου το οποίο περιλαµβάνει τα στάδια : α. Προσοµοίωση µε το µοντέλο MODFLOW β. ιαχείριση µε το µοντέλο MODMAN γ. Βελτιστοποίηση µε τα προγράµµατα LINDO, GINO και EXCEL.. Άρση της χρονικής επαλληλίας από τους συντελεστές του µητρώου ανταπόκρισης, το οποίο χρησιµοποιήθηκε από το πρόγραµµα MODMAN στο στάδιο της διαχείρισης. 4. Ανάλυση ευαισθησίας των παραµέτρων του Γραµµικού Προγραµµατισµού. 5. Σύγκριση των επί µέρους µεθόδων Μαθηµατικού Προγραµµατισµού αναφορικά µε το ποια είναι η καλύτερη για τη διαχείριση των υπόγειων υδροφορέων από άποψης κόστους των αντλήσεων και διατήρησης της πιεζοµετρίας σε προκαθορισµένα όρια. Θα πρέπει ιδιαίτερα να σηµειωθεί εδώ ότι η περίπτωση του Τετραγωνικού Προγραµµατισµού αντιµετωπίστηκε µε δύο τρόπους :. Με τη εισαγωγή των συνθηκών Karush Kuhn Tucer, η οποία επιτρέπει τη γραµµικοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης και στη συνέχεια αναγωγή του όλου προβλήµατος σε πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού. Η περίπτωση αυτή µελετήθηκε και εφαρµόστηκε για παραδείγµατα µε πεπερασµένο αριθµό παραµέτρων λόγω της αδυναµίας του λογισµικού GINO.. Με τον αλγόριθµο της µεθόδου των συζυγών διευθύνσεων (conjugate drectons), όπου το πρόβληµα αντιµετωπίστηκε ως καθαρά µη γραµµικό και αναζητήθηκε µία σειρά διευθύνσεων r, οι οποίες είναι συζυγείς ως προς το Hessan µητρώο της αντικειµενικής συνάρτησης οι s οποίες µετά από ορισµένες επαναλήψεις οδηγούν τελικά στη βέλτιστη λύση. Η ιδακτορική ιατριβή, αποτελείται συνολικά από έξι κεφάλαια, τα οποία διαρθρώνονται ως εξής : Στο πρώτο κεφάλαιο, γίνεται η ανάλυση του µαθηµατικού µοντέλου κίνησης του νερού στις τρεις διαστάσεις σε ελεύθερους και σε υπο πίεση υδροφορείς. Εξάγονται οι εξισώσεις συνέχειας και κίνησης. Στη συνέχεια εξάγεται η τριδιάστατη διαφορική εξίσωση του MODFLOW και η αναλυτική µορφή της σε µορφή πεπερασµένων διαφορών. Αναλύεται η διαδικασία επίλυσης της µε ένα πλήρως πεπλεγµένο σχήµα πίσω διαφορών (bacward

14 Εισαγωγή 7 dfferences) µε τη µέθοδο της υπερχαλάρωσης (Slce - Succesve OverRelaxaton method) και τέλος, γίνεται η ανάλυση ευσταθείας του τριδιάστατου µαθηµατικού µοντέλου MODFLOW. Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναλύεται το θεωρητικό υπόβαθρο σε ότι αφορά το µαθηµατικό µοντέλο και τους αλγόριθµους επίλυσης των µοντέλων βελτιστοποίησης που βασίζονται σε µεθόδους επιχειρησιακής έρευνας και ειδικότερα Μαθηµατικού Προγραµµατισµού. Συγκεκριµένα, αναλύονται µοντέλα Γραµµικού Προγραµµατισµού, Ακέραιου Προγραµµατισµού, Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού και τέλος, Τετραγωνικού Προγραµµατισµού. Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται στην ανάλυση ευαισθησίας των παραµέτρων του Γραµµικού Προγραµµατισµού που προκύπτει από τη µεταβολή των συντελεστών και των σταθερών όρων και την προσθήκη ή αφαίρεση µεταβλητών ή περιορισµών. Το τέταρτο κεφάλαιο αφορά στη ιαχείριση Υδατικών Πόρων µε µεθοδολογίες που έχουν κατά καιρούς χρησιµοποιηθεί στη διαχείριση των αντλήσεων σε υπόγειους υδροφορείς. ίνεται ιδιαίτερη έµφαση στη µέθοδο του µητρώου ανταπόκρισης (response matrx method), που βασίζεται στο συνδυασµό της χωρικής και χρονικής επαλληλίας των αντλήσεων και η οποία χρησιµοποιήθηκε στην παρούσα διατριβή. Επίσης, περιγράφεται η λειτουργία και η συνεργασία των επιµέρους προγραµµάτων που χρησιµοποιήθηκαν. Το πέµπτο κεφάλαιο αναφέρεται σε εκτεταµένα παραδείγµατα εφαρµογής στον υδροφορέα Ειδοµένης - Ευζώνων και χωρίζεται σε τρεις επιµέρους ενότητες : α. Την εφαρµογή του µοντέλου προσοµοίωσης MODFLOW. β. Την εφαρµογή του µοντέλου διαχείρισης MODMAN γ. Την εφαρµογή του προγράµµατος βελτιστοποίησης LINDO για την περίπτωση του γραµµικού και του µικτού ακέραιου προγραµµατισµού. δ. Την εφαρµογή του των προγραµµάτων βελτιστοποίησης GINO και EXCEL για την περίπτωση του τετραγωνικού και του µη γραµµικού προγραµµατισµού αντίστοιχα. ε. Την ανάλυση ευαισθησίας των συντελεστών κόστους της αντικειµενικής συνάρτησης για την περίπτωση του Γραµµικού Προγραµµατισµού, καθώς επίσης και των περιορισµών στην πιεζοµετρία

15 Εισαγωγή 8 Ειδικά για τον Τετραγωνικό και το Μη Γραµµικό Προγραµµατισµό, λόγω αδυναµίας του MODMAN να διαχειρίζεται τετραγωνικές αντικειµενικές συναρτήσεις, έχουν συνταχθεί δύο προγράµµατα σε γλώσσα FORTRAN - 77 τα SHELL.FOR και SHELL.FOR αντίστοιχα. Τα προγράµµατα αυτά διαχειρίζονται τα αποτελέσµατα του MODMAN µέσω αρχείων εισόδου και καταστρώνουν την αντικειµενική συνάρτηση και τους περιορισµούς µε τέτοια µορφή, ώστε το αρχείο εξόδου που προκύπτει να είναι αναγνώσιµο και άµεσα επεξεργάσιµο από άλλα προγράµµατα βελτιστοποίησης όπως τα προγράµµατα GINO και EXCEL, αντίστοιχα. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζεται µια συνολική αξιολόγηση της παραπάνω ερευνητικής προσπάθειας από την οποία προκύπτουν χρήσιµα συµπεράσµατα για το ποια µέθοδος είναι τελικά η πιο κατάλληλη και δηµιουργούνται προβληµατισµοί και ερωτηµατικά για περαιτέρω έρευνα. Στο παράρτηµα, τέλος, παρουσιάζονται τα προγράµµατα SHELL.FOR, SHELL.FOR, το αρχείο εξόδου S_UAD και τα αρχεία εισόδου S_RESPO, S_SYNTE, S_SYN_M, S_PIEZO, S_BALA.

16 . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ To νερό που αποδίδεται από ένα υδροφόρο στρώµα, είναι το αποτέλεσµα της µεταβολής του όγκου των πόρων λόγω της συµπιεστότητας του υδροφορέα και της µεταβολής της πυκνότητας του νερού λόγω της µεταβολής της πιέσεως του νερού των πόρων (Τζιµόπουλος, 98). Έστω ένα υπό πίεση υδροφόρο στρώµα (Σχήµα.a) και µία οριζόντια τοµή C-C στην διεπιφάνεια επαφής αντιπροσωπευτικών κόκκων του εδάφους (Σχήµα.c). z ma y c κόκκος κόκκος c Όγκος ελέγχου (b) νερό (c) (a) x Σχήµα. Υδροφόρο στρώµα υπό πίεση Το ολικό βάρος του εδάφους και του νερού πάνω από το επίπεδο C-C, ισορροπείται από τις τάσεις του στερεού µητρώου σ s και από την πίεση του νερού p, οπότε µπορεί να γραφεί η ακόλουθη σχέση σ Α = p ( m) A σ m A σ = p ( m) σ m (.) s s όπου σ η ολική τάση, Α το εµβαδόν της διατοµής C C, p η πίεση των πόρων, m το εµβαδόν της διεπιφάνειας επαφής των αντιπροσωπευτικών κόκκων του εδάφους, σ s Η τάση του στερεού µητρώου,

17 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 0 Επειδή η τιµή του m είναι πολύ µικρή, η πίεση των πόρων λαµβάνεται ίση µε p (-m) = p. Κατά τον Terzagh (Bear, 97), το γινόµενο σ s m ονοµάζεται ενεργή τάση του στερεού µητρώου και συµβολίζεται µε σ' οπότε η (.) γράφεται : σ = p σ' (.) Κατά την άντληση νερού από το υδροφόρο στρώµα παρατηρείται µείωση της πίεσης των πόρων, ενώ η ολική τάση σ παραµένει αµετάβλητη, γιατί το υπερκείµενο βάρος είναι σταθερό. Άρα dσ = 0, οπότε παραγωγίζοντας τη σχέση (.), προκύπτει: dp = - dσ' (.) Ως γνωστόν ο συντελεστής συµπιεστότητας του εδάφους α είναι ο λόγος της ανηγµένης µεταβολής του ολικού όγκου του πορώδους µέσου προς τη µεταβολή της ενεργής τάσης (Νόµος του Hooe) : du b α = (.4) U dσ' b H σχέση µεταξύ του όγκου του στερεού µητρώου U s και του ολικού όγκου U b, είναι η ακόλουθη: U s = (- n) U b (.5) όπου n είναι το πορώδες. Επειδή η συµπιεστότητα των κόκκων του εδάφους είναι µικρή σε σχέση µε την συµπιεστότητα του νερού και της µεταβολής του πορώδους, θεωρείται ο όγκος του στερεού µητρώου U s σταθερός (Jacob, 940). Από τη σχέση (.5) προκύπτει : du s dub dn = - dn U b (- n) du b = 0 = (.6) U n b Από το συνδυασµό των εξισώσεων (.), (.4), (.6) : ' dn = α dσ n = α dp (.7) Η συµπιεστότητα ενός ρευστού εκφράζεται µε το συντελεστή συµπιεστότητας β που είναι το αντίστροφο του µέτρου ελαστικότητας Ε. Για ισοθερµικές συνθήκες, όπου η θερµοκρασία παραµένει σταθερή, ισχύει :

18 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος ρ β = = (.8) E ρ p όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού. Έστω ένας στοιχειώδης όγκος ελέγχου V (Σχήµα.a) µε πλευρές Χ, Υ, Ζ, τότε : V = X Υ Z (.9) Η αρχή διατήρησης της µάζας εκφράζεται ως εξής : M n - M out = dm/dt Εάν q x είναι η µακροσκοπική ταχύτητα του νερού η οποία καλείται και ταχύτητα Darcy κατά τη x-διεύθυνση, τότε η εισερχόµενη µάζα του νερού κατά τη διεύθυνση αυτή είναι : (ρ q x ) X (M n ) x = ρ q x Υ Ζ x Η εξερχόµενη µάζα του νερού κατά την ίδια διεύθυνση είναι : (ρ q x ) X (Μ out ) x = ρ q x Υ Ζ x Συνεπώς, η µεταβολή της µάζας στον στοιχειώδη όγκο ελέγχου : ( ρq x ) (Μ n - Μ out ) x = X Y Z (.0) x Όµοια προκύπτουν για τις διευθύνσεις y και z οι σχέσεις : ( ρ q y ) (Μ n - Μ out ) y = X Υ Ζ y (.) ( ρ q z ) (Μ n - Μ out ) z = X Υ Ζ z (.) Εποµένως, από το συνδυασµό των εξισώσεων (.0), (.) και (.), για το στοιχειώδη όγκο V :

19 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος ( ρq ( ρq ) x ) y ( ρq z ) (Μ n - M out ) V = X Υ Ζ x y z (.) Η αποθηκευµένη µάζα του νερού στον όγκο V είναι : Μ = n ρ Χ Υ Ζ (.4) Αν υποτεθεί ότι δεν υπάρχει µεταβολή στις διαστάσεις του όγκου αυτού, η µεταβολή της αποθηκευµένης µάζας σύµφωνα µε την εξίσωση (.4) : ( Μ) ( n ρ) ρ ρ n = X Υ Ζ = n X Υ Ζ (.5) t t t t Από τις σχέσεις (.7), (.8) : n t p = α ( n) t και ρ t = β ρ p t οπότε η (.5) γράφεται : ( Μ) = t p t [ βn α ( n) ] ρ V (.6) Θέτοντας S s [ β n α ( n) ] = ρ g (.7) η σχέση (.6) γράφεται : ( Μ) Ss = t g p V t (.8) Στην εξίσωση (.7) µε S s συµβολίζεται η ειδική αποθηκευτικότητα (De West, 966), η οποία αναφέρεται σε έναν απαραµόρφωτο µοναδιαίο όγκο του υδροφόρου στρώµατος και η οποία αποτελείται από δύο όρους, δηλαδή : Τον όρο ρ gn β, ο οποίος εκφράζει την αποθηκευµένη µάζα του νερού που αποδίδεται λόγω της διαστολής του νερού ανά µονάδα όγκου και ανά µονάδα πτώσεως φορτίου.

20 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος Τον όρο ρ g α (- η), ο οποίος εκφράζει την αποθηκευµένη µάζα του νερού που αποδίδεται λόγω της συµπιέσεως των πόρων ανά µονάδα πτώσεως του φορτίου. Οι διαστάσεις της ειδικής αποθηκευτικότητας S s είναι L -. Η συµπιεστότητα του νερού επηρεάζει κατά το ίδιο ποσοστό την ειδική αποθηκευτικότητα του υδροφορέα όπως και η συµπιεστότητα του πορώδους, και δεν πρέπει να παραλείπεται (Τζιµόπουλος, 98). Λόγω της αρχής διατήρησης της µάζας είναι ( M) t = M n M out οπότε από τις εξισώσεις (.) και (.8) : ( ρ q ) ( ρ q ) x y ( ρ q z ) Ss = x y z g p t (.9) Η διαφορική εξίσωση (.9) είναι η γενικευµένη εξίσωση συνέχειας για τη ροή ενός συµπιεστού ρευστού µέσα σε ένα συµπιεστό και ελαστικό πορώδες υλικό. Αν το πορώδες υλικό είναι ασυµπίεστο οπότε α = 0, ή αν το ρευστό είναι ασυµπίεστο οπότε β = 0 και ρ = σταθερό τότε η εξίσωση (.9) παίρνει απλούστερες µορφές.. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ.. Υδροφόρα στρώµατα υπό πίεση Μετά την παραγώγιση της γενικευµένης εξίσωσης συνέχειας (.9), η οποία ισχύει για τα υδροφόρα στρώµατα υπό πίεση, προκύπτει : ( q ) (q ) x y (q ) z ρ ρ ρ Ss p ρ q x q y q z = (.0) x y z x y z g t Εισάγεται στην (.0) το πιεζοµετρικό φορτίο h σαν εξαρτηµένη µεταβλητή, το οποίο ορίζεται από τη σχέση :

21 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 4 ξ ρ ξ = p po ) ( d g z h (.) όπου ξ άφωνος δείκτης, δηλαδή µεταβλητή ανεξάρτητη από τα όρια ολοκλήρωσης Η εξίσωση (.) καλείται δυναµικό του Hubbert [Hubbert, 940]. Από τις σχέσεις (.) και (.8) και σύµφωνα µε τον κανόνα παραγώγισης του Lebntz για τη µερική παραγώγιση των ολοκληρωµάτων, προκύπτουν οι σχέσεις : ρ = ρ β ρ = ρ = ρ β ρ = ρ = ρ β ρ = ρ = t p g t h z g z p g z h y g y p g y h x g x p g x h οι οποίες µεταβάλλονται ως εξής : = ρ β = ρ ρ β = ρ ρ β = ρ ρ t h g t p x h g z y h g y x h g x (.) Σύµφωνα µε το νόµο του Darcy, οι συνιστώσες ταχύτητες q x, q y και q z, µπορούν να εκφραστούν ως συναρτήσεις του h : = = = z h K q y h K q x h K q z y x (.)

22 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 5 Εισάγοντας τις σχέσεις (.) και (.) στη σχέση (.0) και θεωρώντας ότι η υδραυλική αγωγιµότητα Κ παραµένει σταθερή σ όλες τις διευθύνσεις (έδαφος ισότροπο), προκύπτει : t h S z h g K z h y h x h g K z h y h x h s ρ = β ρ β ρ Κ ρ (.4) Παραλείποντας το δεύτερο όρο του αριστερού µέλους της (.4), επειδή είναι πολύ µικρός προκύπτει : t h S z h g K z h y h x h s ρ = β ρ Κ ρ ή t h K S z h g z h y h x h s = β ρ (.5) Στην εξίσωση (.5) καταλήγει και ο De West (966) µε τη διαφορά ότι ο συντελεστής του όρου z h g β ρ είναι (Τερζίδης - Καραµούζης 985). Η διαφορά οφείλεται στο ότι ο De West λαµβάνει υπόψη του µεταβολή της υδραυλικής αγωγιµότητας Κ συναρτήσει της πυκνότητας ρ του νερού. Επίσης οι Τερζίδης και Καραµούζης (985), παραλείπουν τον όρο h) ( g β ρ Κ, και το αποτέλεσµα είναι όµοιο µε την (.5) µε τη διαφορά του συντελεστή, όπως αναφέρθηκε. Για την περίπτωση ενός υδροφόρου στρώµατος πάχους b, ο De West (966) εισάγει την έννοια ενός µέσου υδραυλικού φορτίου h. = b 0 dz t) y,z, h(x, b t) y, (x, h (.6) µε την προϋπόθεση ότι h(x,y,b,t) = h(x,y,0,t) = ) t y, (x, h. (.7) Ολοκληρώνοντας την (.5) από 0, έως b, έχουµε :

23 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 6 b h x h y b h z s dz dz dz ρ g β dz = 0 b b h z S K 0 b h t dz (.8) Λαµβάνοντας υπ όψη τις σχέσεις (.6) και (.7), οι επιµέρους όροι του αθροίσµατος της (.8) έχουν ως εξής : 0 b b b b h dz = x x 0 h dz = y y 0 h dz = z 0 h dz = z 0 b 0 b h z z b b dh = h h h(x, y,z, t) dz = b x 0 h h(x, y,z, t) dz = b y 0 h dz = z b 0 ( x, y,b, t) h( x, y,0, t) = 0 (.9) Σύµφωνα µε τον κανόνα του Lebntz, ισχύει : t b h(x, y,z, t) dz = b h dz h(x, y,z, t) t b t 0 0 b οπότε η (.6) γράφεται : ( h(x, y, t) b) t = t h(x, y, z, t) dz = h(x, y, t) b = b h(x, y, t) t t 0 b 0 b h(x, t y,z, t) b dz h(x, y, b, t) t = (.0) ή b h h dz = b (.) 0 t t Αντικαθιστώντας τις (.9) και (.) στην (.8), προκύπτει : b h h h Ss b h b b = (.) x y z K t 0 Η µακροσκοπική ταχύτητα Darcy κατά τη z-διεύθυνση δίνεται από το νόµο του Darcy (.),

24 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 7 z h K q z = (.) ενώ η πραγµατική ταχύτητα V z, από τη σχέση : t z n q V z z = = όπου για z = b(t), t b n q z = (.4) Από τις (.) και (.4), προκύπτει : t b K n z h b z = = (.5) Ισχύουν οι σχέσεις : ρ = α = α = α t h g b t p b t b dp b db (.6) Έτσι η ανηγµένη παραµόρφωση κατά τη διεύθυνση z, δίνεται σαν συνάρτηση του συντελεστή συµπιεστότητας α του εδάφους όπως προκύπτει από τις (.5) και (.6). t h g b K n z h b z ρ α = = και εποµένως : t h g b K n z h 0 z h z h b z b z b 0 ρ α = = = = = (.7) Με βάση την (.7), η (.) γίνεται : t h K b S t h g b K n y h x h b s = ρ α

25 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 8 ή h h Ss = x y K n α ρ g K h t ρ g = K ( β n α) h t (.8) Αν τεθεί S ρ g ( β n α) b =, και T= K b, η εξίσωση (.8) γίνεται : h h x y = S h T t (.9) όπου Τ διοχετευτικότητα (transmssvty) και µετρείται σε µονάδες [L T - ]. Η εξίσωση (.9), είναι µια γραµµική διαφορική εξίσωση, παραβολικής µορφής µε µερικές παραγώγους. Ισχύει για τους υπό πίεση υδροφορείς (confned aqufers) και περιγράφει τη µεταβολή του φορτίου h στις διαστάσεις, εφόσον εισήχθη η έννοια του µέσου υδραυλικού φορτίου h και απαλείφθηκε η τρίτη διάσταση κατά τη z-διεύθυνση. Ο συντελεστής S ονοµάζεται συντελεστής αποθήκευσης (Storage coeffcent) και είναι αδιάστατος. Αυτός µπορεί να θεωρηθεί σαν το ποσό του αποθηκευµένου νερού που αποδίδεται από µία στήλη ενός υδροφορέα µε διατοµή ίση µε τη µονάδα για µοναδιαία πτώση φορτίου. Αν χρησιµοποιηθεί ο ορισµός του Jacob (Jacob, 940) για την ειδική αποθηκευτικότητα ( β α) = ρ g n S s, τότε εύκολα διαπιστώνεται ότι ο συντελεστής αποθήκευσης S για ένα κλειστό υπό πίεση υδροφόρο στρώµα πάχους b, είναι το γινόµενο S = S s ' b. Η ειδική αποθηκευτικότητα κατά τον De West, όπως περιγράφεται στην (.7), είναι διαφορετική από αυτή που προσδιόρισε ο Jacob, ο οποίος θεώρησε παραµόρφωση του στοιχειώδους όγκου στην εξίσωση συνεχείας. Η προφανής ασυµφωνία στις εξισώσεις της ειδικής αποθηκευτικότητας µεταξύ των δύο ερευνητών, αίρεται όταν χρησιµοποιείται ο αδιάστατος συντελεστής αποθήκευσης S, για προβλήµατα µονοδιάστατης και διδιάστατης ροής... Ελεύθερα Υδροφόρα Στρώµατα Για τα ελεύθερα υδροφόρα στρώµατα (Σχήµα.), εκφράζεται εκ νέου η αρχή διατήρησης της µάζας : M n -M out = dm/dt

26 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 9 Φρεατική επιφάνεια h h x dx z A B R D C h h x dx ρq x ( ρq x x y ) dx A' B' dx h D' dy x C' αδιαπέραστη βάση ( ρq ) ρq x x x dx Σχήµα. Ελεύθερο υδροφόρο στρώµα. Η εισερχόµενη µάζα του νερού κατά τη x-διεύθυνση είναι ίση µε ( ρq x ) dx h dx (M n ) x = ρ q x h dy dt, x x ενώ η εξερχόµενη µάζα του νερού κατά την ίδια διεύθυνση είναι ίση µε : ( ρq x ) dx h dx (M out ) x = ρ q x h dy dt. x x Έτσι η συνολική µεταβολή της µάζας µάζα νερού κατά τη x - διεύθυνση είναι η διαφορά (M n ) x - (M out ) x = ( ρ q x ) dx h dx = ρ q x h dy dt - x x ( ρ q x ) dx h dx ( ρ q x h) ρ q x h dy dt = dx dy dt (.40α) x x x

27 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 0 Στην εξίσωση (.40α), έχουν παραληφθεί οι όροι ανώτερης τάξης, γιατί είναι αµελητέοι. Παρόµοια έκφραση ισχύει και κατά τη διεύθυνση των y, και έτσι η συνολική εισερχόµενη µάζα θα είναι ίση µε : ( ρ q h) ( q h) x ρ y dx dy dt (.40β) x y Στο διάστηµα dt η µάζα του στοιχειώδους όγκου υφίσταται µια µεταβολή που είναι ίση µε : h ρ Sdx dy { h t dt h t} = ρsdx dy dt (.40γ) t Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της µάζας και όπως προκύπτει από τις (.40β) και (.40γ), οι δύο µάζες πρέπει να είναι ίσες άρα θα ισχύει : h ( ρq h) ( q h) x ρ y ρ S = (.40δ) t x y Για ρ = σταθερό (ασυµπίεστο ρευστό) η σχέση (.40δ) γίνεται q (q h) x h) h = S x y t ( y (.40ε) Σύµφωνα µε τις παραδοχές του Duput οι οριζόντιες συνιστώσες της ειδικής παροχής ή ταχύτητας Darcy q, είναι : q q x y h = K x h = K y (.40στ) Αν οι σχέσεις (.40στ) αντικατασταθούν στην (.40ε) και υποτεθεί ότι ο υδροφορέας είναι οµογενής και ισότροπος, οπότε Κ = σταθερό, τότε προκύπτει η εξίσωση : h h h h = x x y y S K h t (.40ζ) Η εξίσωση (.40ζ) είναι γνωστή ως εξίσωση Boussnesq και ισχύει για ελεύθερους υδροφορείς. Η εξίσωση αυτή διαφέρει από την εξίσωση (.9), γιατί είναι µη γραµµική και επιπλέον διαφέρει ως

28 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος προς την τάξη µεγέθους του συντελεστή αποθηκεύσεως. Για τα υδροφόρα στρώµατα υπό πίεση ο συντελεστής αποθήκευσης S είναι πολύ µικρός και κυµαίνεται σ'ένα εύρος τιµών µεταξύ 0-6 και 0 -, ενώ για τα υδροφόρα στρώµατα µε ελεύθερη επιφάνεια, ο συντελεστής S κυµαίνεται µεταξύ 0.0 και 0.5. Αν υποτεθεί ότι ισχύει o = T T, ( T T o ) T >> (Bear, 979) όπου T Τ ο µία µέση σταθερή τιµή της διοχετευτικότητας της ροής στο φρεατικό υδροφορέα, η απόκλιση από την παραπάνω µέση τιµή, τότε η εξίσωση (.40ζ) µπορεί, επίσης, να γραφεί ως εξής : h h x y S h = T t (.4) όπου T= h και h _ είναι ένα µέσο πάχος του φρεατικού υδροφορέα. Σαν συµπέρασµα προκύπτει το εξής : Η εξίσωση (.9) που προέκυψε από την τριδιάστατη εξίσωση για τους υδροφορείς υπό πίεση, µετά από ορισµένες παραδοχές και γραµµικοποιήσεις, οµοιάζει µε την εξίσωση (.4), που αποτελεί τη γραµµικοποιηµένη εξίσωση του Boussnesq, η οποία ισχύει για την περίπτωση υδροφορέων µε ελεύθερη επιφάνεια. Η διαφορά τους έγκειται στο συντελεστή αποθήκευσης S, ο οποίος παίρνει διαφορετικές τιµές ανάλογα µε τον τύπο του υδροφόρου στρώµατος.. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ MODFLOW... Εξαγωγή της διαφορικής εξίσωσης Έστω ένας στοιχειώδης όγκος δv µε περιεχόµενη µάζα δμ. Η µεταβολή της µάζας αυτής ανά µονάδα χρόνου και όγκου είναι ίση µε :

29 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος ( δm) t / δ V Έστω q r η ταχύτητα Darcy και ρ η πυκνότητα του ρευστού, τότε η ροή της µάζας ανά µονάδα χρόνου θα είναι ρ q r. Εάν το νερό εισέρχεται ή εξέρχεται από το χώρο κατά W(x,y,z,t) ανά µονάδα χρόνου και µονάδα όγκου, η προστιθέµενη µάζα ανά µονάδα χρόνου και όγκου θα είναι ρ W. Επειδή η µάζα διατηρείται, θα ισχύει : δv r r ρ q ds V ρ W dv V ( δm) t / δv dv = 0 (.4) όπου ο πρώτος όρος είναι το επιφανειακό ολοκλήρωµα, που λαµβάνεται σε όλη την κλειστή επιφάνεια του δv και οι άλλοι δύο όροι είναι ολοκληρώµατα όγκου που εκτείνονται στον όγκο του στοιχείου. Σύµφωνα µε το θεώρηµα της απόκλισης, το επιφανειακό ολοκλήρωµα µπορεί να γραφεί σαν ολοκλήρωµα όγκου : r r ρ q ds = r ( ρ q) dv Κατά τον Hantush (964) : d( δm) ρ δv d( δvw ) = δv = S s dϕ όπου S s είναι η ειδική αποθηκευτικότητα µε διαστάσεις L -. Έτσι η (.4) γράφεται : r ϕ ( ρ q) ρ W ρ Ss dv = 0 t (φ = h). ή ( ρ q ) ( ρ q ) x y ( ρ q z ) ϕ ρ W = ρ Ss (.4α) x y z t Σύµφωνα µε το Hantush (964), η µεταβολή της πυκνότητας του νερού είναι πολύ µικρή και θεωρείται σταθερή στα περισσότερα προβλήµατα υπόγειας υδραυλικής, οπότε µπορεί να

30 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος παραληφθεί από την (.4α). Οι συνιστώσες της ταχύτητας Darcy στις τρεις διαστάσεις, δίνονται από τη σχέση : q q q x y z = K = K = K xx yy zz ϕ = K x ϕ = K y ϕ = K z xx yy zz h x h y h z, (.4) Η εξίσωση (.4α), λόγω της (.4) γίνεται : K x xx h x K y yy h K y z zz h z h W = Ss t (.44) όπου : K xx, K yy, K zz, οι τιµές της υδραυλικής αγωγιµότητας κατά τις διευθύνσεις Χ, Υ, Ζ, αντίστοιχα, σε µονάδες [L T - ], h το πιεζοµετρικό φορτίο σε [L], W οι εξωτερικές εισροές ή εκροές νερού ανά µονάδα όγκου σε [T - ], S s t η ειδική αποθηκευτικότητα του πορώδους υλικού σε [L - ], ή το αποτελεσµατικό πορώδες ανά µέτρο βάθους του υδροφορέα, ο χρόνος [Τ]. Η εξίσωση (.44), είναι η τριδιάστατη διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους, που περιγράφει την κίνηση του υπόγειου νερού σε υπό πίεση υδροφορείς και χρησιµοποιείται από το µοντέλο MODFLOW. H εξίσωση αυτή περιγράφει την κίνηση του υπόγειου νερού κάτω από συνθήκες µη µόνιµης ροής, σε ετερογενές και ανισότροπο µέσο µε την προϋπόθεση ότι οι κύριοι άξονες της υδραυλικής αγωγιµότητας, ταυτίζονται µε τους άξονες του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων. Τα S s, K xx, K yy, K zz, στην εξίσωση (.44), µπορούν να είναι συναρτήσεις του χώρου (S s = S s (x,y,z), K xx = K xx (x,y,z), K yy = K yy (x,y,z), K zz = K zz (x,y,z)) και το W συνάρτηση τόσο του χώρου όσο και του χρόνου ( W = W (x,y,z,t)). Η εξίσωση (.44) σε συνδυασµό µε τις οριακές συνθήκες στα όρια του υδροφορέα και µε καθορισµό αρχικής συνθήκης πιεζοµετρίας, αποτελεί ένα µαθηµατικό µοντέλο ενός υπόγειου υδροφορέα. Εκτός από περιπτώσεις πολύ απλών συστηµάτων υδροφορέων, αναλυτικές λύσεις της εξίσωσης (.44) είναι πολύ δύσκολο και τις περισσότερες φορές αδύνατο να επιτευχθούν.

31 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 4 Γι αυτό το λόγο έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια µαθηµατικά µοντέλα, που στηρίζονται σε αριθµητικές µεθόδους επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων και δίνουν προσεγγιστικές λύσεις. Τέτοιες αριθµητικές µέθοδοι είναι οι πεπερασµένες διαφορές, τα πεπερασµένα στοιχεία, τα πολλαπλά κελιά, τα οριακά στοιχεία κ.α. Το µοντέλο MODFLOW µε τη βοήθεια του οποίου γίνεται η επίλυση της εξίσωσης (.44), χρησιµοποιεί τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στις τρεις διαστάσεις, όπου το συνεχές σύστηµα που περιγράφεται από την εξίσωση (.44), αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό διακριτών σηµείων τόσο ως προς το χώρο, όσο και ως προς το χρόνο. Οι µερικές παράγωγοι αντικαθίστανται από όρους που υπολογίζονται ως διαφορές στην πιεζοµετρία για τα συγκεκριµένα αυτά σηµεία και η διαδικασία αυτή τελικά οδηγεί σε συστήµατα γραµµικών αλγεβρικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές και συγκεκριµένα πίσω διαφορές. Η αριθµητική λύση των συστηµάτων αυτών δίνει τιµές για το φορτίο σε συγκεκριµένα σηµεία και για συγκεκριµένα χρονικά βήµατα. Οι τιµές αυτές αποτελούν µία προσέγγιση της αναλυτικής λύσεως της εξίσωσης η οποία, σε αντίθεση µε την αριθµητική, δίνει συνεχείς τιµές της κατανοµής φορτίου, για οποιοδήποτε σηµείο και για οποιονδήποτε χρόνο... ιακριτοποίηση. Στο Σχήµα., φαίνεται η χωρική διακριτοποίηση ενός υδροφορέα, µε ένα πλέγµα ορθογώνιων υποπεριοχών, προσανατολισµένων προς το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, που λέγονται κελιά (cells). Κάθε υποπεριοχή αποτελείται από ένα χαρακτηριστικό σηµείο, το οποίο είναι το κέντρο βάρους του κελιού, και στο οποίο ζητείται να υπολογιστεί η τιµή του h. Χρησιµοποιούνται δείκτες (,j,) όπου : =,,...,nrow, j =,,...,nol, =,,...,nlay, αντιπροσωπεύει τον αριθµό των γραµµών, αντιπροσωπεύει τον αριθµό των στηλών, αντιπροσωπεύει τον αριθµό των επιπέδων στην κατακόρυφη διεύθυνση.

32 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος όριο υδροφορέα Ενεργό κελί Ανενεργό κελί Σχήµα. Χωρική διακριτοποίηση ενός τριδιάστατου υδροφορέα. Κατά το σχηµατισµό των εξισώσεων του µοντέλου, έγινε η σύµβαση ότι τα επίπεδα αντιπροσωπεύουν οριζόντιες υδρογεωλογικές µονάδες. Έτσι ο δείκτης σηµαίνει αλλαγές πάνω στον κατακόρυφο άξονα z µε φορά από πάνω προς τα κάτω. Το ίδιο ισχύει και για τους άλλους δύο άξονες. Τόσο οι γραµµές, που είναι παράλληλες στον x άξονα όσο και οι στήλες που είναι παράλληλες στον y άξονα, δίνουν µεταβολές κατά τη διεύθυνση y και x αντίστοιχα. Έτσι το µήκος ενός κελιού κατά τη διεύθυνση των γραµµών σε µία δεδοµένη στήλη j, γράφεται r j, ενώ κατά τη διεύθυνση των στηλών σε µία δεδοµένη γραµµή, γράφεται c και το πάχος του κελιού για ένα δεδοµένο επίπεδο v. ηλαδή ένα κελί µε συντεταγµένες (,j,)=(4,8,) έχει όγκο V = r. 8 c 4 v.. Εξίσωση Πεπερασµένων ιαφορών Η ανάπτυξη της διαφορικής εξίσωσης (.44) υπό µορφή πεπερασµένων διαφορών, απαιτεί την εφαρµογή της εξίσωσης συνεχείας. Με την προϋπόθεση ότι η πυκνότητα ρ του υπόγειου νερού

33 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 6 είναι σταθερή, η εξίσωση συνεχείας που εκφράζει το ισοζύγιο της ροής για ένα κελί, δίνεται από την έκφραση : Σ h = Ss V (.45) t όπου Σ το σύνολο των πραγµατοποιούµενων εισροών ή εκροών στα όρια του κελιού που προέρχονται από γειτονικά κελιά [L T - ], S s η ειδική αποθηκευτικότητα ή το αποτελεσµατικό πορώδες ανά µέτρο βάθους του υδροφορέα. Αυτή µπορεί να οριστεί και σαν ο όγκος του νερού, που αντλείται ανά µονάδα όγκου του υδροφορέα και ανά µονάδα µεταβολής της πιεζοµετρίας. [L - ], V ο όγκος του κελιού [L ], h η µεταβολή της πιεζοµετρίας [L], t το χρονικό βήµα [Τ]. Οι όροι στο δεξί µέλος της (.45), είναι ισοδύναµοι µε τον όγκο του νερού που αποθηκεύεται σ ένα χρονικό διάστηµα t, κατά το οποίο παρατηρείται αλλαγή της στάθµης κατά h. Σύµφωνα µε το Σχήµα.4, από τη διακριτοποίηση της εξίσωσης (.45) προκύπτει ένα κεντρικό κελί (,j,), και έξι γειτονικά του τα (-,j,), (,j,), (,j-,), (,j,), (,j,-), (,j,). Σχήµα.4 Το κελί (,j,) και τα έξι γειτονικά του.

34 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 7 Η εισροή στο (,j,) λαµβάνεται µε θετικό πρόσηµο, ενώ η εκροή λαµβάνεται µε αρνητικό πρόσηµο. Σύµφωνα µε το νόµο του Darcy, για τις ροές των 6 γειτονικών κελιών προς το κεντρικό κελί (,j,), θα ισχύει :.) Ροή από το κελί (,j-,), στο (,j,) κατά τη διεύθυνση γραµµών : (σχήµα.5). q, j /, ( h h ), j, j /, j, = KR, j /, c v (.46) r όπου : h,j, h,j-, το φορτίο στον κόµβο (,j,) [L] το φορτίο στον κόµβο (,j-,) [L] q,j-/, η παροχή στην κοινή πλευρά των ορθογώνιων στοιχείων (,j,) και (,j-,) [L T - ] KR,j-/, c v r j-/ η υδραυλική αγωγιµότητα κατά τη διεύθυνση των γραµµών, στην κοινή πλευρά των στοιχείων (,j,) και (,j-,) [L T - ] το εµβαδό της πλευράς του στοιχείου που είναι κάθετη στη διεύθυνση των γραµµών [L ] η οριζόντια απόσταση ανάµεσα στα κέντρα των στοιχείων (,j,) και (,j-,) [L]. Σχήµα.5 Ροή από το κελί (,j-,) στο (,j,) κατά τη διεύθυνση γραµµών.

35 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 8 Παρόµοιες εκφράσεις µπορούν να γραφούν προσοµοιώνοντας τις ροές προς το κελί (,j,) για τις υπόλοιπες 5 επιφάνειες, ως εξής :.) Ροή από το κελί (,j,) στο (,j,) κατά τη διεύθυνση γραµµών : q, j /, ( h h ), j, j /, j, = KR, j /, c v (.47) r.) Ροή από το κελί (-,j,) στο (,j,) κατά τη διεύθυνση στηλών : q /, j, ( h h ), j, j /, j, = KC /, j, rj v (.48) c 4.) Ροή από το κελί (,j,) στο (,j,) κατά τη διεύθυνση στηλών : q /, j, ( h h ), j, j /, j, = KC /, j, rj v (.49) c 5.) Ροή από το κελί (,j,-) στο (,j,) κατά την κατακόρυφη διεύθυνση : q, j, / ( h h ), j, /, j, = KV, j, / rj c (.50) v 6.) Ροή από το κελί (,j,) στο (,j,) κατά την κατακόρυφη διεύθυνση : q, j, / ( h h ), j, /, j, = KV, j, / rj c (.5) v όπου οι παράγοντες των παραπάνω γινοµένων δικαιολογούνται ανάλογα µε την (.46). Oι διαστάσεις των στοιχείων ( r, c, και v) και η υδραυλική αγωγιµότητα Κ, µπορούν να εκφραστούν µε µία σταθερή ποσότητα αγωγιµότητας, µε διαστάσεις διοχετευτικότητας (transmssvty) [L T - ], ως εξής :

36 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 9 c v CR, j /, = KR, j /, r j / c v CR, j /, = KR, j /, rj / r j v CC = /, j, KC /, j, c /. (.5) rj v CC = /, j, KC /, j, c / rj c CV, j, / = KV, j, / v / r j c CV, j, / = KV, j, / v / Οι σχέσεις (.46) εώς (.5) µε τη βοήθεια των σχέσεων (.5) µετατρέπονται σε µια λιγότερο πολύπλοκη µορφή : q q q q q q, j /,, j /, /, j, /, j,, j, /, j, / = CR = CR = CC = CC = CV = CV, j /,, j /, / /, j,, j,, j, /, j, / ( h, j, h, j, ) ( h, j, h, j, ) ( h, j, h, j, ) ( h, j, h, j, ) ( h h ), j,, j, ( ) h, j, h, j, (.5) Οι εξισώσεις (.5), ισχύουν µόνο για εσωτερικές ροές από τα έξι στοιχεία προς το στοιχείο (,j,). Για την περίπτωση κατά την οποία συµβαίνουν εισροές ή εκροές από εξωτερικές πηγές όπως ποτάµια, λίµνες, πηγάδια, εξατµισοδιαπνοή και άλλα, οι ροές αυτές αντιπροσωπεύονται µε την έκφραση : a = p h q (.54), j,,n, j,,n, j,, j,,n όπου : a,j,,n αντιπροσωπεύει τη ροή από τη n-οστή εξωτερική πηγή στο κελί (,j,), σε [L T - ], p,j,,n σταθερή ποσότητα σε µονάδες [L T - ], q,j,,n σταθερή ποσότητα σε µονάδες [L T - ],

37 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 0 Για το σύνολο των πραγµατοποιούµενων εξωτερικών εισροών ή εκροών από N εξωτερικές πηγές προς το κελί (,j,), µπορεί να γραφτεί : N n= N n= N a = p h q (.55), j,,n, j,,n, j, n=, j,,n όπου καθένας από τους όρους της (.55), είναι ίσος µε : N n= N n= N n= a p q, j,,n, j,,n, j,,n = S = P =, j,, j,, j, (.56) άρα για το σύνολο των εξωτερικών ροών θα ισχύει : S = P h (.57),j,,j,,j,,j, Εφαρµόζοντας την εξίσωση συνεχείας (.45) για το στοιχείο (,j,), και λαµβάνοντας υπ όψη τις ροές από τα έξι γειτονικά του στοιχεία (.5) καθώς και το σύνολο των εξωτερικών ροών (.57) προκύπτει : q, j /,, j /, /, j, /, j,, j, /, j, / S, j, q = Ss, j, q h t, j, r c j q v q q (.58) όπου : h, j, t είναι η προσέγγιση της παραγώγου του φορτίου ως προς το χρόνο [L T - ] Ss,j, η ειδική αποθηκετικότητα του στοιχείου (,j,), [L - ] r j c v ο όγκος του στοιχείου (,j,), [L ] Αν αντικατασταθούν οι εξισώσεις (.5) και (.57) στην (.58) τότε η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών γράφεται :

38 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος CR CC CV P, j,, j /, /, j,, j, / h m, j, ( h m ) ( ), j, h m, j, CR m m, j /, h, j, h, j, ( h m j, m j, ) ( m j, m /, j, j, ), h, CC h, h, ( h m j, m j, ) ( m j, m j, ), h, CV h, h,, j, = Ss, j, h t, j, /, j, m r c j v (.59) όπου m είναι το χρονικό βήµα. Αν αντικατασταθεί η προσέγγιση της παραγώγου του φορτίου µε διαφορές ανάµεσα σε µία συγκεκριµένη χρονική στιγµή t m όπου το φορτίο είναι άγνωστο και ίσο µε h m,j, και σε µία χρονική στιγµή αµέσως προηγούµενή της t m- όπου το φορτίο είναι γνωστό και ίσο µε h m-,j,, θα προκύψει ένα σχήµα πίσω διαφορών ή πεπλεγµένο υπολογιστικό σχήµα : h t, j, m = h m, j, t m h t m, j, m (.60) Άλλο σχήµα που µπορεί εναλλακτικά να χρησιµοποιηθεί, είναι το σχήµα των εµπρός διαφορών (forward dfferences) ή ρητό υπολογιστικό σχήµα : h t, j, m = h m, j, t m h t m, j, m Στο σχήµα αυτό το φορτίο σε µία συγκεκριµένη χρονική στιγµή t m είναι άγνωστο και ίσο µε h m,j,, ενώ σε µία χρονική στιγµή αµέσως προηγούµενή της t m, είναι γνωστό και ίσο µε h m,j,. Το ρητό υπολογιστικό σχήµα είναι απλούστερο στην επίλυση, γιατί σε κάθε εξίσωση υπάρχει µόνο ένας άγνωστος και µπορεί να λυθεί απευθείας, δίνει όµως αστάθεια στις λύσεις µε αποτέλεσµα η αριθµητική λύση να αποκλίνει τελείως από την αναλυτική. Αντίθετα, το πεπλεγµένο υπολογιστικό σχήµα, είναι µεν πιο πολύπλοκο, αφού κάθε εξίσωση έχει 7 αγνώστους και η λύση απαιτεί την ταυτόχρονη επίλυση ενός συστήµατος εξισώσεων, αλλά δίνει ευσταθείς αριθµητικές λύσεις, έτσι ώστε τα αποτελέσµατα να συγκλίνουν. Το πεπλεγµένο υπολογιστικό σχήµα ή οπίσω διαφορών είναι ευσταθές άνευ όρων, όπως αποδεικνύεται παρακάτω στην ανάλυση ευσταθείας και γι αυτό το λόγο χρησιµοποιείται στο µοντέλο MODFLOW. Λαµβάνοντας υπόψη την (.60), η (.59) γράφεται :

39 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος CR CC CV P, j,, j /, /, j,, j, / h m, j, ( h m ) ( ), j, h m, j, CR m m, j /, h, j, h, j, ( h m j, m j, ) ( m j, m /, j, j, ), h, CC h, h, ( h m j, m j, ) ( m j, m j, ), h, CV h, h,, j, = Ss, j, h t m, j, m, j, / h t m, j, m r c v j (.6) Η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (.6) αποτελεί µία προσοµοίωση της διαφορικής εξίσωσης κίνησης του υπόγειου νερού στις τρεις διαστάσεις µε µερικές παραγώγους. Όλοι οι συντελεστές είναι γνωστοί, καθώς επίσης και το φορτίο στη χρονική στιγµή m-. Άγνωστοι είναι το φορτίο στο κελί (,j,) και στα 6 γειτονικά του τη χρονική στιγµή m, δηλαδή 7 άγνωστοι που πρέπει να βρεθούν στη χρονική στιγµή m. Αν το παίρνει τιµές από έως NROW, το j από εως NCOL, και το από εως ΝLAY, θα έχουµε ένα σύστηµα εξισώσεων (NROW-)(NCOL-)(ΝLAY-) µε αγνώστους (NROWNCOLΝLAY). Άρα χρειάζονται 6 επιπλέον εξισώσεις οι οποίες προκύπτουν από τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος. Επίσης χρειάζεται και µία αρχική συνθήκη που θα δίνει τα φορτία h στη χρονική στιγµή m=. Εποµένως η εξίσωση (.6) γράφεται για κάθε ένα από τα στοιχεία του πλέγµατος και σε συνδυασµό µε την αρχική συνθήκη πιεζοµετρίας και τις 6 οριακές συνθήκες ροής (σταθερό φορτίο, αδιαπέρατο όριο, σταθερή ροή) στα όρια του υδροφορέα, προκύπτει τελικά ένα σύστηµα n- αλγεβρικών εξισώσεων µε n- αγνώστους. Αν στην παραπάνω σχέση χωρίσουµε γνωστούς από αγνώστους για το συγκεκριµένο στοιχείο (,j,) προκύπτει : CR CC h, j /, /, j, CR HCOF m, j, h h, j /, m, j, m, j,, j, = RHS CR, j, CR CV, j /,, j /,, j, / CC h h m, j, m, j, /, j, CC CV CC /, j,, j, / /, j, h h CV m, j, m, j,, j, / CV, j, / (.6) όπου HCOF RHS SC, j,, j,, j, = P = = Ss, j, SC m m t t m h j, SC, j, m t t r c v, j,, j, j, m [L [L T [L T ] ] ] (.6)

40 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος η οποία γράφεται υπό µορφή µητρώων, για n - αριθµό στοιχείων (,j,) ως εξής : [ ] [ h ] = [ q] Α (.64) όπου Α h q είναι ο πίνακας των σταθερών συντελεστών των φορτίων, είναι ο πίνακας - διάνυσµα των αγνώστων τιµών των φορτίων στο χρονικό βήµα m και ο πίνακας διάνυσµα των σταθερών όρων και σταθερών φορτίων που αντιστοιχούν στη χρονική στιγµή m- και περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία του πλέγµατος...4 ιαδικασία επίλυσης Για την επίλυση της (.6), χρησιµοποιείται η µέθοδος της υπερχαλάρωσης (Successve Overrelaxaton Method), η οποία είναι µία επαναληπτική µέθοδος που χρησιµοποιείται για την επίλυση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων. Ειδικά στο συγκεκριµένο πρόγραµµα MODFLOW χρησιµοποιείται µία τροποποιηµένη µέθοδος υπερχαλάρωσης κατά τοµές που αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως Slce- Successve Overrelaxaton Method. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, το τριδιάστατο πλέγµα των στοιχείων, στα οποία υποδιαιρείται η περιοχή, χωρίζεται σε κάθετες τοµές κατά τη διεύθυνση των γραµµών (Σχήµα.6). Γίνεται µία οµαδοποίηση των εξισώσεων, έτσι ώστε κάθε οµάδα εξισώσεων να αντιστοιχεί στους κόµβους που περιέχονται σε µία κάθετη τοµή. Έστω ότι σε ένα συγκεκριµένο επαναληπτικό βήµα (λ), τα φορτία για όλες τις τοµές έχουν υπολογιστεί και θεωρούνται γνωστά. Για το επόµενο επαναληπτικό βήµα (λ), κάθεµια οµάδα εξισώσεων δίνει ένα σύνολο από τιµές (εκτιµήσεις) των φορτίων για κάθε τοµή. Οι άγνωστοι στις εξισώσεις αυτές εκφράζονται ως διαφορές ανάµεσα στις εκτιµήσεις των φορτίων της (λ) επανάληψης m, λ h, j, και στα υπολογισµένα φορτία της (λ) επανάληψης h m,λ,j,. Το σύνολο των εξισώσεων που αντιστοιχεί σε µία κάθετη τοµή, λύνεται απευθείας µε τη µέθοδο απαλοιφής του GAUSS, θεωρώντας τα φορτία των γειτονικών τοµών (-) και () ότι είναι γνωστά. m, λ m, λ Στη συνέχεια οι µεταβολές των φορτίων (h, j, h ) που έχουν προκύψει ως λύση µε τη µέθοδο απαλοιφής του GAUSS, πολλαπλασιάζονται µε έναν συντελεστή ω, που η τιµή του κυµαίνεται συνήθως από έως και ο οποίος βοηθάει στη γρηγορότερη σύγκλιση των αποτελεσµάτων., j,

41 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 4 Σε ότι αφορά την τιµή του ω, έχουν αναπτυχθεί διάφορες θεωρίες που επιτρέπουν σύγκλιση µε το λιγότερο δυνατό αριθµό επαναλήψεων. Μία κατά προσέγγιση τιµή του ω δίνεται από τον Moler (969) : ω opt = (.64α) rj.70 R o όπου : r j = c R o είναι η διάσταση του στοιχείου (,j,) η ακτίνα ενός κύκλου µε εµβαδό ίσο µε το εµβαδό της περιοχής. Σχήµα.6 Οµαδοποίηση των στοιχείων σε κάθετες τοµές κατά τη µέθοδο της υπερχαλάρωσης. Οι τιµές που προκύπτουν, προστίθενται στις τιµές των φορτίων της προηγούµενης επανάληψης (λ) και αυτό που προκύπτει είναι οι τιµές των φορτίων στη συγκεκριµένη επανάληψη (λ) και για τη συγκεκριµένη τοµή (). Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται για όλες τις τοµές κατά σειρά έτσι ώστε να ολοκληρωθεί το επαναληπτικό βήµα (λ). Η διαδικασία σταµατάει όταν οι διαφορές στις τιµές των φορτίων που υπολογίζονται σε δύο διαδοχικές επαναλήψεις (λ,λ), είναι µικρότερες από το κριτήριο σύγκλισης για όλα τα σηµεία του πλέγµατος.

42 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 5 Για να γίνουν κατανοητά τα παραπάνω, χωρίζεται η διαδικασία σε 7 βήµατα : Βήµα Για το βήµα επανάληψης (λ) η εξίσωση (.6) γράφεται : CR CC CR, j / HCOF h, j /, /, j, m, λ, j, h h, m, λ, j, m, λ, j,, j, CR = RHS, j, CR CV, j /,, j /,, j, / CC h h / m, λ, j, m, λ, j,, j, CC CC CV /, j, /, j, /, j, h CV h m, λ, j, m, λ, j,, j, / CV, j, / (.65) Βήµα Γράφεται η εξίσωση (.6) για το βήµα επανάληψης λ, και η εξίσωση που προκύπτει αφαιρείται από την εξίσωση (.65), οπότε : CR (h m, λ h m, λ ) CR (h m, λ h m, λ ), j /,, j,, j,, j /,, j,, j, CC (h m, λ h m, λ ) CC (h m, λ h m, λ ) /, j,, j,, j, /, j,, j,, j, CV (h m, λ h m, λ ) CV (h m, λ h m, λ ), j, /, j,, j,, j, /, j,, j, CR CR CC CC CV CV, j /,, j /, /, j, /, j,, j, /, j, / HCOF, j, (h m, λ h m, λ ) =, j,, j, = RHS, j, CC /, j, CR, j h, /, m, j, h, j m,, λ CC / λ CR, j, j, h, /, m, j, CV h m, λ CV h m, λ, j, /, j,, j, /, j, CR CR CC CC CV CV, j /,, j /, /, j, /, j,, j, /, j, / HCOF, j, h m, λ, j, h, j λ m, λ, (.66) Στην εξίσωση (.66), οι άγνωστοι όροι λαµβάνονται ως διαφορές στα υπολογισµένα φορτία ανάµεσα στις (λ) και (λ) επαναλήψεις. Ας σηµειωθεί ότι όταν η (λ) επανάληψη έχει ολοκληρωθεί, το δεξιό µέλος της (.66), αποτελείται πλέον από γνωστούς όρους. Βήµα ιαιρείται το πλέγµα των στοιχείων σε κάθετες τοµές κατά τη διεύθυνση των γραµµών (Σχήµα.6) και χωρίζονται οι εξισώσεις σε οµάδες. Οι µεταβολές του

43 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 6 φορτίου για τη συγκεκριµένη τοµή () θεωρούνται άγνωστες ενώ για τις γειτονικές τοµές (-,), θεωρούνται γνωστές. m, λ m, λ m, λ m, λ Έτσι οι όροι CC (h h ),CC (h h ), µεταφέρονται στο δεξιό µέλος /,j, ως γνωστοί και έχουµε :,j,,j, /,j,,j,,j, CR CV CR,j HCOF (h CC CV CR,j HCOF h,j /,,j, / m, λ,j, m, λ,j, (h (h /,j,,j, / /,,j, h h h /,,j, m, λ,j, m, λ,j, CR m, λ,j, m, λ,j, m, λ,j, CR h h,j /, ) = RHS CC CV,j /, m, λ,j, m, λ,j, CC,j,,j, / CC ) CR ) CV /,j, CR /,j, h h /,j,,j /,,j, / CC,j /, m, λ,j, CC h m, λ,j, (h (h /,j, /,j, m, λ,j, m, λ,j, CV m, λ,j, CV CR h h,j, /,j, / m, λ,j, m, λ,j, CV,j /, h CV ) ),j, / m, λ,j,,j, / (.67) Βήµα 4 Επειδή η επαναληπτική διαδικασία προχωρεί κατά τη διεύθυνση των γραµµών και κατά τη φορά που ο αριθµός των γραµµών αυξάνεται, στην (λ) επανάληψη ολοκληρώνονται οι υπολογισµοί για την τοµή (-) και στη συνέχεια ξεκινούν οι υπολογισµοί για την τοµή (). Έτσι η τιµή m, λ h,j, της προηγούµενης γραµµής είναι γνωστή, ενώ η τιµή m, λ h,j, της επόµενης γραµµής είναι άγνωστη και αντικαθίσταται από τη γνωστή h m, λ, j,. ηλαδή χρησιµοποιούνται οι πιο πρόσφατα υπολογισµένες τιµές για τα φορτία των γειτονικών τοµών. Σύµφωνα µε αυτά προκύπτει : CR CV CR, j / HCOF, (h, j /,, j, / m, λ, j, (h (h h m, λ, j, m, λ, j,, j, CR m, λ, j, ) = h h, j /, m, λ, j, m, λ, j, CC ) CR ) CV /, j,, j /,, j, / CC (h (h /, j, m, λ, j, m, λ, j, CV h h, j, / m, λ, j, m, λ, j, CV ) ), j, /

44 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 7 = RHS CC CV CR, j / HCOF, h /, j, / m, λ, j,, j,, j, CR h h, j,, j /, m, λ, j, m, λ, j, CR h CC CV, j /, m, λ, j, /, j, / CC CR, j, h / h m, λ, j,, j,, j /, m, λ, j, CC h / m, λ, j,, j, CV, j, / CV, j, / (.68) όπου ο συµβολισµός h, χρησιµοποιείται για τα φορτία της τοµής (), στο χρονικό βήµα (λ) και υποδηλώνει ενδιάµεσες τιµές. Βήµα 5 Ο αριθµός των κόµβων της () τοµής είναι NCNL, όπου NC είναι ο αριθµός των στηλών και NL ο αριθµός των επιπέδων. Έτσι σχηµατίζονται (ΝCNL) εξισώσεις. Επειδή ο αριθµός των επιπέδων για την πλειοψηφία των περιπτώσεων είναι µικρός ( ως ), το σύστηµα των εξισώσεων είναι σχετικά µικρό και µπορεί να λυθεί απ ευθείας µε τη µέθοδο απαλοιφής του GAUSS. Το σύστηµα γράφεται : [ A ] { h} = { R} (.69) όπου : [Α] ο πίνακας των συντελεστών για την τοµή () (Σχήµα.7), { h} o πίνακας των µεταβολών ( h m, λ, j, h m, λ, j, ) µεταξύ των ενδιάµεσων φορτίων της (λ) {R} επανάληψης και των υπολογισµένων φορτίων της (λ) επανάληψης. ο πίνακας των σταθερών όρων a a a 4 a a a a 5 a a a 6 a 4 a 44 a 45 a 47 a 5 a 45 a 55 a 56 a 6 a 56 a 66 a 68 a 47 a 77 a 68 a 88 a 89 a 89 a 99 Σχήµα.7 Ο πίνακας των συντελεστών για την τοµή ().

45 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 8 Βήµα 6 Από την απαλοιφή του GAUSS που εφαρµόζεται στην εξίσωση (.69), m, λ προκύπτουν οι τιµές των διαφορών ( h,j, h ). Αυτές πολλαπλασιάζονται µε το συντελεστή ω opt, όπως προέκυψε από την (.64α) και προστίθενται στα φορτία της προηγούµενης επανάληψης, δηλαδή m, λ,j, h m, λ, j, m, λ m, λ m, λ = h ω (h, j, h ) (.70), j, opt, j, Βήµα 7 Όταν ολοκληρωθεί ο υπολογισµός των τιµών m, λ h, j, σύµφωνα µε την εξίσωση (.70), σε κάθε κόµβο της τοµής () στην επανάληψη (λ), η διαδικασία ξεκινάει για την επόµενη κατά σειρά τοµή () στην επανάληψη (λ). Όταν ολοκληρωθεί η διαδικασία και για την τελευταία τοµή (NROW), ξεκινάει η επόµενη επανάληψη (λ), εκτός αν ικανοποιείται το κριτήριο σύγκλισης που έχει τη µορφή h m, λ m, λ,j, h,j, < ε.4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ MODFLOW ΣΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ. Μετά τη γραµµικοποίηση της εξίσωσης, που περιγράφει την κίνηση του υπόγειου νερού σε ελεύθερους υδροφορείς, προκύπτει µια εξίσωση η οποία είναι η ίδια τόσο για τους ελεύθερους υδροφορείς όσο και για τους υδροφορείς υπό πίεση µε κάποιες όµως βασικές διαφορές. Έτσι η τριδιάστατη διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους η οποία χρησιµοποιείται τελικά από το MODFLOW είναι η εξής : h x h y h z W = Ss K h t (.7) Αναλύοντας τις µερικές παράγωγους σε όρους πεπερασµένων διαφορών, προκύπτει :

46 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 9 h n, j, h n, j, ( x) h n, j, h n, j, h n, j, ( y) h n, j, h n, j, h n, j, ( z) h n, j, W, j, = Ss = K h n, j, h t n, j, (.7) Έστω ότι h(x, y,z,t) είναι η πραγµατική λύση της πεπλεγµένης διαφορικής εξίσωσης (.7) και h (x, y,z,t), η λύση που προκύπτει από την αριθµητική επίλυση µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών. Αυτή θα διαφέρει από την πραγµατική κατά τον όρο ε(x,y,z,t), δηλαδή θα ισχύει η σχέση : h(x, y,z,t) = h(x, y,z,t) ε(x, y,z,t) (.7) όπου ο ε(x,y,z,t) είναι ο όρος του σφάλµατος. Αν η εξίσωση (.7), αντικατασταθεί στην (.7), προκύπτει η εξίσωση σφάλµατος : ε n, j, S ε s = K ε ( x) n, j, t n, j, ε ε n, j, n, j, ε n, j, ε n, j, ( y) ε n, j, ε n, j, ε n, j, ( z) ε n, j, = (.74) Η εξίσωση σφάλµατος (.74) δέχεται λύσεις της µορφής : * α x * β j y * γ z ε( x, y, z, t) = Α( α, β, γ, t) e e e (.74α) j όπου * =. Οι συντελεστές της σειράς Fourer (.74α), δίνονται από τη σχέση : A( α, β, γ, t) = e f ( α, β, γ) t = e f n t = ξ n, ( ξ = e f t ) όπου f είναι συνάρτηση των α, β, γ, δηλαδή f(α, β, γ) και ξ ο παράγοντας διεύρυνσης των σφαλµάτων (amplfcaton factor). Έτσι η εξίσωση (.74α) µετατρέπεται ως εξής: *[ α x β j y γ z] ε( x, y, z, t) = ξ e (.75) j n Λόγω της αρχής της επαλληλίας, επιλέγεται η πρώτη συνιστώσα Fourer, δηλαδή ο πρώτος όρος του αριστερού µέλους της εξίσωσης σφάλµατος (.74), ο οποίος αναλύεται ως εξής :

47 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 40 ε e ξ ξ n, j, (n ) t (n ) t ε ( x) * α( ) x e e n,j, e ( x) * α x * α x ε * β j y e e n, j, e * β j y * β j y = ξ * γ z e e (n ) t e * γ z * γ z * α x e e * α x * β j y ( x) e ( x) e * α x cos( α x) ( x) * γ z = e * α( ) x * β j y e ( x) e * γ z = (.76) Όµοια προκύπτει και για τους άλλους δύο όρους του αθροίσµατος του αριστερού µέλους της εξίσωσης (.74) : ε n, j, n n ε, j, ε, j, * * * (n ) t α x β j y γ z = ξ e e e ( y) cos( β y) ( y) (.77) ε n, j, n n ε, j, ε, j, * * * (n ) t α x β j y γ z = ξ e e e ( z) cos( γ z) ( z) (.78) Αθροίζοντας τις εξισώσεις (.76), (.77) και (.78) προκύπτει το αριστερό µέλος της εξίσωσης σφάλµατος (.74) και είναι ίσο µε : ξ (n ) t e * α x e * β j y e * γ z cos( α x) cos( β y) cos( γ z) ( x) ( y) ( z) (.79) Παράλληλα, το δεξιό µέλος της εξίσωσης σφάλµατος (.74), µετατρέπεται ως εξής : Ss K ξ (n ) t e * α x e * β j y t e * γ z ( ξ ) (.80) Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της (.74), δηλαδή την (.79) και την (.80), µε εξισώνοντάς τα, προκύπτει : K Ss t και

48 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 4 K S s = ξ ξ (n ) t (n ) t Θέτοντας e e * * α x α x e e * * β j y β j y e e * * γ z γ z t ( x) t ( z) t t t λ =, λ =, λ =, λ, λ, λ > 0 ( x) ( y) ( z) { cos( α x) } { cos( β y) } { cos( γ z) } t ( y) ( ξ ) (.8) = και διαιρώντας και τα δύο µέλη της εξίσωσης (.8) µε * * * (n ) t x β j y γ z ξ e α e e ( ξ ), προκύπτει : K S s ξ [ λ {cos( α x) } λ {cos( β y) } λ {cos( γ z) } ] K S s λ K {cos( α x) } λ S s K {cos( β y) } λ S s = ξ {cos( γ z) } = (.8) Άν η εξίσωση (.8) λυθεί ως προς ξ, προκύπτει : ξ = K S s λ {cos( α x) } K S s λ {cos( β y) } K S s λ {cos( γ z) } (.8) Για να είναι το σχήµα ευσταθές, δηλαδή τα πάσης φύσεως σφάλµατα τα οποία υπεισέρχονται στους υπολογισµούς να µένουν πεπερασµένα κατά τη µετάβαση από τη χρονική στιγµή t στην t t (Τζιµόπουλος, 97), θα πρέπει ο παράγοντας διεύρυνσης να είναι κατ απόλυτη τιµή µικρότερος από τη µονάδα, δηλαδή να ισχύει το κριτήριο ευστάθειας του V. Neuman ξ. ηµιουργούνται δύο ανισότητες της µορφής ξ, ξ.

49 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 4 Επιλύεται η πρώτη ανισότητα, αφού πρώτα έχει τεθεί : α x = ω = ω., β y = ω, γ z Έχουµε K S s λ {cosω } K S s λ {cosω } K S s λ {cosω } (.84) ιακρίνονται τρεις περιπτώσεις : η Περίπτωση : Γίνεται διερεύνηση για τιµές του συνηµιτόνου τέτοιες ώστε να προκύπτει cos ω,cos ω,cos ω. Με βάση τις τιµές αυτές προκύπτει K = [ λ λ λ ] 0 που ισχύει, γιατί όλοι οι παράγοντες του γινοµένου είναι S K s θετικοί αριθµοί. η Περίπτωση : Για τιµές του συνηµιτόνου τέτοιες ώστε να προκύπτει K cos ω, cos ω, cos ω 0, K = S [ λ λ λ ] 0 s, που ισχύει γιατί όλοι οι παράγοντες του γινοµένου είναι θετικοί αριθµοί. η Περίπτωση : Για τιµές του συνηµιτόνου τέτοιες ώστε να προκύπτει K cos ω, cos ω, cos ω, [] 0 = 0 >, άρα η ανισότητα ισχύει και για την S s περίπτωση αυτή. Από τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις αποδεικνύεται τελικά ότι ισχύει η ανισότητα ξ Το επόµενο στάδιο είναι η διερεύνηση της δεύτερης ανισότητας : K S s λ {cosω } K S s λ {cosω } K S s λ {cosω } (.85) ιακρίνονται ξανά τρεις περιπτώσεις :

50 Κεφάλαιο ο - Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος 4 η Περίπτωση : Όπως στη διερεύνηση της προηγούµενης ανισότητας, γίνεται έλεγχος για τιµές του συνηµιτόνου τέτοιες ώστε να προκύπτει: cos ω,cos ω,cos ω. Με βάση τις τιµές αυτές προκύπτει 4 [ λ λ λ ] 0 K = που ισχύει γιατί όλοι οι S K s παράγοντες του γινοµένου είναι θετικοί αριθµοί. η Περίπτωση : Για τιµές του συνηµιτόνου τέτοιες ώστε να προκύπτει K cos ω,cos ω,cos ω 0, K = S τέλος, [ λ λ λ ] 0 s, που επίσης ισχύει και η Περίπτωση : Για τιµές του συνηµιτόνου τέτοιες ώστε να προκύπτει K cos ω, cos ω, cos ω, [] 0 = 0, άρα η ανισότητα ισχύει και για την S περίπτωση αυτή. s Από την προηγούµενη διερεύνηση αποδεικνύεται τελικά ότι ισχύουν οι ανισότητες (.84) και (.85), άρα ισχύει και η ανισότητα ξ. Το συµπέρασµα που προκύπτει είναι ότι το πεπλεγµένο σχήµα πεπερασµένων διαφορών µε το οποίο εκφράζεται η εξίσωση του MODFLOW στις τρεις διαστάσεις για ελεύθερα υδροφόρα στρώµατα (εξίσωση.7), είναι ευσταθές άνευ όρων.

51 . ΜΟΝΤΕΛΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εκµετάλευση και ορθολογική διαχείριση του νερού, αποτέλεσε και εξακολουθεί ν αποτελεί το αντικείµενο για διάφορες έρευνες και µελέτες από τα χρόνια της αρχαιότητας µέχρι σήµερα. Η γεωµετρική αύξηση του πληθυσµού σε συνδυασµό µε την άνιση κατανοµή του νερού στο χώρο και στο χρόνο καθώς και η συνεχής αύξηση των αναγκών σε νερό, καθιστούν την ποσοτική διαχείριση του νερού άκρως απαραίτητη. Η χρήση των αριθµητικών µοντέλων προσοµοίωσης όπως το MODFLOW που περιγράφηκε προηγούµενα, το GROUND που χρησιµοποιεί τη µέθοδο των πολλαπλών κελιών (multple cells) και το AUIFEM Fnte Element Method, που χρησιµοποιεί τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων αποτέλεσαν επί σειρά ετών πολύ ισχυρά εργαλεία πάνω στα ζητήµατα της διαχείρισης του νερού. Οι παραπάνω µέθοδοι σε συνδυασµό µε την ανάπτυξη και διατύπωση διαφόρων διαχειριστικών σεναρίων σχετικά µε την χωροχρονική κατανοµή του νερού, αποτελούν εµπειρικές µεθόδους διαχείρισης µε την έννοια ότι δεν προκύπτει από αυτές βέλτιστη λύση που να βασίζεται σε κάποια µεθοδολογία βελτιστοποίησης αλλά κάποιες αρκετά καλές εναλλακτικές στρατηγικές, οι οποίες όµως έχουν αδυναµίες γιατί δε λαµβάνονται υπόψη όλες οι παράµετροι του προβλήµατος. Επίσης υπάρχουν και προβλήµατα στη διαχείριση των δεδοµένων λόγω της ανάπτυξης πολλών σεναρίων που προσπαθούν να προσεγγίσουν τη βέλτιστη λύση. Αυτή η δυσκολία στον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης ανάµεσα στο σύνολο των λύσεων, αίρεται µε τη διατύπωση και εφαρµογή διαφόρων µεθοδολογιών Μαθηµατικού Προγραµµατισµού (MP) ως δεύτερο στάδιο µετά την εφαρµογή του µοντέλου προσοµοίωσης της κίνησης του νερού. Τέτοιες µέθοδοι προγραµµατισµού που έχουν χρησιµοποιηθεί από ερευνητές στην Ελλάδα και στο εξωτερικό τα τελευταία χρόνια και έχουν να κάνουν µε βελτιστοποίηση της λειτουργίας συστηµάτων στο χώρο της υδραυλικής µηχανικής, των έργων εγγείων βελτιώσεων και της διαχείρισης των υδατικών πόρων είναι ο Γραµµικός Προγραµµατισµός (LP), ο Ακέραιος Προγραµµατισµός (IP), ο Μη Γραµµικός Προγραµµατισµός (NLP) και ο Τετραγωνικός Προγραµµατισµός (P) και αναλύονται εκτενώς στη συνέχεια.

52 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 45. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ.. Γενικά Ο Γραµµικός Προγραµµατισµός είναι η µαθηµατική εκείνη διαδικασία µε την οποία µπορούν να επιλυθούν προβλήµατα που εκφράζονται µε µία γραµµική συνάρτηση, που µπορεί να βελτιστοποιηθεί - δηλαδή να µεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί - στο χώρο που διαγράφουν ορισµένοι περιορισµοί, που επίσης εκφράζονται ως γραµµικές σχέσεις. Είναι ένα από τα σπουδαιότερα επιτεύγµατα στο χώρο των µαθηµατικών, µε κύριο θεµελιωτή του τον G. Dantzg (96). Αποτελεί µία σηµαντική διαδικασία στην επίλυση του προβλήµατος της βέλτιστης κατανοµής περιορισµένων πόρων µέσω εναλλακτικών δυνατοτήτων εφόσον αυτές υπάρχουν. Βρίσκει εφαρµογή σε µεγάλες επιχειρήσεις, σε ερευνητικά κέντρα, και σε κέντρα λήψης αποφάσεων, αποτελεί δε την ειδοποιό διαφορά που εισάγει τη διάσταση της ποσότητας σε θέµατα διοίκησης και διαχείρισης δηµιουργώντας µε αυτόν τον τρόπο το πλαίσιο της επιχειρησιακής έρευνας. Στις θετικές επιστήµες και ειδικότερα στον κλάδο των επιστηµών που ασχολούνται µε θέµατα υδραυλικής και διαχείρισης υδατικών πόρων, είναι επιτακτική η ανάγκη εφαρµογής του ώστε να δώσει λύση στο βέλτιστο σχεδιασµό της λειτουργίας των υδατικών συστηµάτων, σε µια εποχή που η διαχείριση κάθε άλλο παρά µε ορθολογικό τρόπο γίνεται, οδηγώντας σε συνεχή υποβάθµιση των αποθεµάτων νερού στον πλανήτη µας... Μαθηµατικό µοντέλο του Γραµµικού Προγραµµατισµού Το µαθηµατικό µοντέλο του Γραµµικού Προγραµµατισµού αποτελείται από µία γραµµική συνάρτηση αποτελεσµατικότητας που πρέπει να βελτιστοποιηθεί στο χώρο που διαγράφουν ορισµένοι περιορισµοί. H συνάρτηση αυτή, έχει την µορφή : f( X) = C (.) X C X... C n X n και ονοµάζεται γραµµική αντικειµενική συνάρτηση [Ψωινός, 99]. Οι περιορισµοί που πρέπει να πληρούνται, αποτελούν ένα σύστηµα m ανισοτήτων µε n αγνώστους, που έχει τη µορφή :

53 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 46 a a a m X X X a a a m X X... X... a... a n... a n X mn n X n X b b n b m (.) όπου X X X = το διάνυσµα των µεταβλητών Χ, X n Χ C j a j,b οι µεταβλητές του προβλήµατος, πραγµατικοί αριθµοί, σταθεροί συντελεστές. Η (.) µπορεί εναλλακτικά να γραφεί ως εξής : a a a m X X X a a a m X X X... a... a n... a n X mn n X n X X n n X... n X nm = b = b = b m (.) όπου οι X nj, ονοµάζονται ψευδοµεταβλητές και µετατρέπουν τις ανισότητες σε ισότητες. Οι περιορισµοί (.) ονοµάζονται γραµµικοί περιορισµοί ή περιορισµοί δοµής. Εκτός από τη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση και τους γραµµικούς περιορισµούς υπάρχουν και οι περιορισµοί µη αρνητικότητας. Στην περίπτωση αυτή οι µεταβλητές που χρησιµοποιούνται στα πλαίσια του γραµµικού προγραµµατισµού είναι πραγµατικά µεγέθη και δεν έχουν έννοια οι αρνητικές τιµές. Θα ισχύει : X, X,..., X n, X n,..., X n m 0 (.4) O στόχος είναι να βελτιστοποιηθεί η τιµή f (X) της αντικειµενικής συνάρτησης (να ελαχιστοποιηθεί ή να µεγιστοποιηθεί ), µέσα στο σύνολο των περιορισµών που ορίζονται από το πρόβληµα. Η εξίσωση (.), µπορεί να γραφεί και υπό µορφή µητρώων, ως εξής : max f (X) = C X (.5)

54 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 47 µε τους περιορισµούς A X P 0 X 0 (.6) όπου : a a an a a a n A =, a m a m a mn b b = b n P 0 και C = [ C C... Cn ] ή εναλλακτικά για πρόβληµα ελαχιστοποίησης mn f (X) = C X µε τους περιορισµούς A X P0 X 0.. Θεωρία του γραµµικού προγραµµατισµού Από την οργάνωση του µοντέλου του Γραµµικού Προγραµµατισµού συµπεραίνεται ότι ένα πρόβληµα είναι δυνατό να λυθεί αν βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήµατος των περιορισµών δοµής, στη συνέχεια απαλειφθούν εκείνες που δεν ικανοποιούν τις συνθήκες µη αρνητικότητας και τέλος επιλεγεί εκείνη η λύση που µεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί την αντικειµενική συνάρτηση. Όπως είναι κατανοητό οι λύσεις (αν υπάρχουν) είναι άπειρες. Γι αυτό το λόγο χρησιµοποιείται τελικά µια πιο εξειδικευµένη µέθοδος Γραµµικού Προγραµµατισµού, η µέθοδος SIMPLEX. Aποδεικνύεται ότι το σύνολο λύσεων του συστήµατος των περιορισµών δοµής, χαρακτηρίζεται από ορισµένες ιδιότητες : Οι λύσεις του συστήµατος των περιορισµών αποτελούν κυρτό σύνολο Κάθε λύση του συστήµατος των περιορισµών λέγεται δυνατή λύση. Οι κορυφές του πολυγώνου των λύσεων είναι τα ακραία σηµεία του κυρτού συνόλου και ορίζονται από τις τοµές των ευθειών που έχουν εξισώσεις τις ισότητες των περιορισµών ανά δύο.

55 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 48 Οι λύσεις που αντιστοιχούν στα ακραία σηµεία λέγονται βασικές δυνατές λύσεις και προκύπτουν από τη λύση ενός συστήµατος µε m εξισώσεις και m µεταβλητές, εφόσον οι υπολοιπες n µεταβλητές θα έχουν µηδενική τιµή. Αυτό γίνεται µε διαφορετικούς τρόπους. n m (m n)! = m m!n! Από τις προηγούµενες ιδιότητες, γίνεται κατανοητό ότι ένα από τα βασικά θέµατα στο γραµµικό προγραµµατισµό είναι η λύση πολλών γραµµικών συστηµάτων. Η ύπαρξη τέτοιων θεµάτων προϋποθέτει µια συνοπτική αναφορά στις πιο σηµαντικές έννοιες της γραµµικής άλγεβρας και συγκεκριµένα στις ιδιότητες των γραµµικών συστηµάτων ανεξάρτητα από τη σχέση µεγέθους των m και n. Έτσι διατυπώνονται τα θεωρήµατα [ ερµάνης 985, Ιωαννίδης 99] : Θεώρηµα Τα m διανύσµατα, P,P,..., P m λέγονται γραµµικώς εξαρτηµένα, αν και µόνον αν υπάρχουν m τέτοιοι αριθµοί, ώστε να ισχύει ( a,a,...,a ) ( 0,0,...,0) a P a P... a m P m = 0, m. Σ αυτή την περίπτωση ένα από αυτά εκφράζεται ως γραµµικός συνδιασµός των υπολοίπων. Αν ισχύει ( a,a,...,a ) ( 0,0,...,0) a P a P... a m P m = 0, m = τότε τα m διανύσµατα, P,P,..., P m λέγονται γραµµικώς ανεξάρτητα και κανένα από αυτά δεν µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων. Θεώρηµα Θεώρηµα Ένα σύστηµα m*m έχει λύση αν και µόνο αν η ορίζουσα των συντελεστών του είναι διάφορη του µηδενός. Αυτό προϋποθέτει την ύπαρξη m γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων. Ένας διανυσµατικός χώρος, λέµε ότι έχει διάσταση m (dm = m) όταν περιέχει m γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα. Σ αυτή την περίπτωση τα (m) διανύσµατα είναι πάντα γραµµικώς εξαρτηµένα. Θεώρηµα 4 To σύνολο { P,P,..., P m } λέγεται βάση του διανυσµατικού χώρου, όταν τα P,P,..., P m είναι γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του.

56 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 49 Με βάση τα θεωρήµατα αυτά η λύση που προκύπτει από τα διανύσµατα βάσεως ονοµάζεται βασική και αν ταυτόχρονα ικανοποιεί και όλους τους περιορισµούς, βασική δυνατή λύση. Σε ότι αφορά τη βέλτιστη λύση δηλαδή τη λύση του συστήµατος των περιορισµών που κάνει µέγιστη ή ελάχιστη την αντικειµενική συνάρτηση, αυτή βρίσκεται ανάµεσα στις βασικές δυνατές λύσεις του συστήµατος των περιορισµών και όχι ανάµεσα στις άπειρες δυνατές λύσεις. Η µέθοδος SIMPLEX εξειδικεύεται στην εύρεση βελτιωµένων βασικών δυνατών λύσεων από µία αρχική, έτσι ώστε τελικά η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης να έχει υποστεί τη µεγαλύτερη δυνατή βελτίωση (µεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση)...4 Μέθοδος SIMPLEX Άν χρησιµοποιηθεί το µοντέλο της µορφής (.), τότε προκύπτει : n m j= max f (X) = C j X j (.7) όπου C j = 0, για j = n, n,...,nm µε περιορισµούς τους (.) οι οποίοι µπορούν να γραφούν : a a a m X X X a a a m X X X... a... a n... a n X mn n X n X 0 X n n n 0 X 0 X... X n X n n 0 X... 0 X... 0 X n nm nm... X nm = b = b = b m (.8) ή P = X P X... P nx n... P n mx n m P 0 όπου P j a a a j, P b b = b m , P n =, P n =, P n m =, (.9) 0 0 j = 0 mj όπου

57 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 50 X j 0, j =,,...,n,n,...,n m Έστω ότι έχει βρεθεί µία βασική λύση ( X B = Θ, X B = Θ,..., X Bm = Θm, Θ j 0) (.9α) που σηµαίνει ότι όλες οι άλλες µεταβλητές είναι ίσες µε το 0. Η λύση αυτή αντιστοιχεί στη βάση { P,P,..., P m } B = που αποτελείται από m γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα. Θα ισχύει : Θ (.0) P B Θ P B... Θ m P Bm = P 0 Ένα οποιοδήποτε διάνυσµα που αποτελούν τη βάση άρα : P µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδιασµός των m διανυσµάτων P = y P B y P B... y m P Bm (.) όπου : y συντελεστής δείκτης που υποδηλώνει σειρά στη βάση υποδηλώνει το διάνυσµα. Η εξίσωση (.) γράφεται υπό µορφή µητρώων (πινάκων) ως εξής : P = B Y, Y y y = y m, Y = B P (.) απ όπου υπολογίζονται οι συντελεστές y. Το µητρώο B, είναι το µητρώο των διανυσµάτων της βάσης που για να είναι αντιστρέψιµο, θα πρέπει η ορίζουσά του να είναι διάφορη του µηδενός πράγµα που ισχύει αφού αποτελείται από m γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα. Άν στη (.) µεταφερθεί το δεξιό µέλος στο αριστερό, πολλαπλασιαστεί µε ένα συντελεστή Θ > 0 και προστεθεί στην εξίσωση (.0), προκύπτει : ( Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ = (.) ' ' ' ' y ) P B ( y ) P B... ( m y m ) P Bm P P 0

58 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 5 Η τιµή Θ = 0 δίνει την παλιά βασική δυνατή λύση. Μια βασική δυνατή λύση που θα επαλήθευε την εξίσωση (.), πρέπει να έχει µόνο m µεταβλητές µε θετικές τιµές. Άρα η τιµή του Θ, πρέπει να είναι τέτοια ώστε να µηδενίζεται τουλάχιστον ένας από τους όρους µέσα στις παρενθέσεις και ταυτόχρονα να εξασφαλίζεται και η µη αρνητικότητα των όρων αυτών. Έτσι η µέγιστη τιµή Θ που εξασφαλίζει τις δύο αυτές συνθήκες, βρίσκεται από τις σχέσεις : Θ ' = Θ = Θ y Θ λ λ ' y 0 Θ = mn y y > 0 (.4) Οι σχέσεις (.4) αποτελούν το κριτήριο σύµφωνα µε το οποίο ένα νέο διάνυσµα εισέρχεται στη βάση και αντικαθιστά ένα από τα διανύσµατα της βάσης το οποίο εξέρχεται. Αν στην εξίσωση. (.) αντικατασταθούν οι εξισώσεις (.4), ο όρος Θ λ - Θ y λ µηδενίζεται. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι το βασικό διάνυσµα τιµές την νέας βάσης που προκύπτει, δίνονται : P Bλ βγαίνει από τη βάση, δίνοντας τη θέση του στο P. Οι νέες X X ' Bλ ' B = Θ = Θ ' λ ' Θ = y = Θ λ λ, Θ y = λ λ λ y = Θ Θ ' λ y, =,,..., λ, λ,...,m (.5) Οι υπόλοιπες µεταβλητές από τις (nm) εξακολουθούν να έχουν µηδενικές τιµές. Άρα από µία βασική δυνατή λύση, µπορεί να βρεθεί µία νέα βασική δυνατή λύση. Με βάση τη σχέση (.5), προκύπτει : ' ' f (X ) = f (X) Θ (Z C ) (.6) όπου Z = C y C y... C y (.7) B B Bm m Εφόσον Θ > 0, για να υπάρξει βελτίωση στην νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης, θα πρέπει η (Ζ - C ) να είναι αρνητική αν πρόκειται για µοντέλο µεγιστοποιήσεως, ή θετική αν πρόκειται για µοντέλο ελαχιστοποιήσεως. Αυτή η διαφορά (Ζ - C ) λέγεται αξία και για κάθε µη ' βασικό διάνυσµα, είναι η παράγωγος της f (X ) ως προς Θ κ, δηλαδή

59 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 5 df (X ) dθ ' ' = ( Z C ) (.8) Η τιµή της αξίας αποτελεί κριτήριο σύµφωνα µε το οποίο ένα διάνυσµα βάσης εξέρχεται. Συγκεκριµένα εξέρχεται το διάνυσµα µε τη µεγαλύτερη κατ απόλυτη τιµή αξία ανάλογα µε το είδος του µοντέλου (µεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση). Αναφέρθηκε προηγούµενα ότι µε τη βοήθεια της σχέσης (.), υπολογίζονται οι συντελεστές y του κάθε µη βασικού διανύσµατος P. Για τον προσδιορισµό µιας νέας βασικής δυνατής λύσης, ' ' θα πρέπει να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας της νέας βάσης B που συνήθως είναι πολύπλοκη διαδικασία. Αποδεικνύεται ότι όταν έχουµε τους συντελεστές των µη βασικών διανυσµάτων που αντιστοιχούν σε µία αρχική βασική δυνατή λύση, µπορεί να βρεθούν µε µία πιο συνοπτική διαδικασία οι νέοι συντελεστές y, δηλαδή οι συντελεστές των µη βασικών διανυσµάτων της νέας λύσεως. Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια των δύο κανόνων µετασχηµατισµού των συντελεστών y j που είναι οι εξής : Πρώτος Κανόνας Μετασχηµατισµού ' ' y λ yλ j y j =, λ, =,..., m (.9) y λ B εύτερος Κανόνας Μετασχηµατισµού y ' j = y j y y λj λ y, λ, =,...,m (.0) ενώ για = λ ισχύει y ' λj y λ j =. y λ..5 ιαδικασία υπολογισµού..5. Οργάνωση Πίνακα SIMPLEX Στα προηγούµενα κεφάλαια αναπτύχθηκε η θεωρία αλλά και ένα µεγάλο µέρος της υπολογιστικής διαδικασίας της µεθόδου SIMPLEX. Όλη αυτή η διαδικασία µπορεί να

60 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 5 συστηµατοποιηθεί ολόκληρη µε τη βοήθεια του πίνακα SIMPLEX, ο οποίος περιέχει όλα τα στοιχεία του προβλήµατος σ ένα συγκεκριµένο στάδιο της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Τα στοιχεία κάθε νέου πίνακα που προκύπτει από τη διαδικασία βελτιστοποίησης, δηλαδή τα στοιχεία κάθε νέας βασικής δυνατής λύσης, υπολογίζονται από τα στοιχεία του προηγούµενου πίνακα µε τους κανόνες µετασχηµατισµού (.9) και (.0). Έτσι, µια βασική δυνατή λύση του µοντέλου, µπορεί να γραφεί µε τη µορφή πίνακα ως εξής : Πίνακας. O πίνακας SIMPLEX C B P B P j P P... P n... P n... P nm P 0 C B P B y y... y,n... y,n... y,nm Θ C B P B y y... y,n... y,n... y,nm Θ C Bm P Bm y m y m... y m,n... y m,n... y m,nm Zj Z Z... Z n... Z n... Z nm --- Cj C C... C n... C n... C nm --- Zj - Cj Z -C Z -C...Z n -C n... Z n -C n... Z nm -C nm f(x) Θ m Τα σύµβολα είναι γνωστά και δε χρειάζεται να εξηγηθούν και πάλι, είναι όµως σκόπιµο να περιγραφεί η διαδικασία κατά βήµατα, ώστε να γίνει αντιληπτό πως γίνεται η εύρεση µιας βασικής δυνατής λύσης και στη συνέχεια η σύνταξη του πίνακα SIMPLEX. Βήµα Υπολογισµός των y j από την εξίσωση (.), Y j = B P j. Βήµα Υπολογισµός των αξιών (Z j - C j ) από την εξίσωση (.7), Z j = CB yj. Βήµα Υπολογισµός µιας αρχικής βασικής δυνατής λύσης ( XB = Θ,X B = Θ,...,XBm = Θm ), από τη σχέση X = B P 0. Βήµα 4 Υπολογισµός της τιµής της συνάρτησης f (X) από τη σχέση f (X) = C B Θ. Στην περίπτωση της αρχικής βασικής δυνατής λύσης, ισχύει πάντα f (X) = 0. m = m =

61 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού Μετασχηµατισµός του πίνακα SIMPLEX Μετά την εύρεση της αρχικής βασικής δυνατής λύσης και τη συγκρότηση του πίνακα SIMPLEX, που αντιστοιχεί σ αυτήν, δηµιουργείται ένα δεύτερο πρόβληµα κατά το οποίο πρέπει να βρεθεί µία επόµενη βασική δυνατή λύση και να συγκροτηθεί ο νέος πίνακας SIMPLEX. Στη συνέχεια παρουσιάζεται µία συστηµατοποιηµένη διαδικασία κατά στάδια, στην οποία γίνεται ο µετασχηµατισµός του πίνακα SIMPLEX της αρχικής βασικής δυνατής λύσης και προκύπτει ο νέος πίνακας SIMPLEX της νέας βασικής δυνατής λύσης : Στάδιο Ελέγχονται οι αξίες (Z j C j ) όλων των µη βασικών διανυσµάτων. ιακρίνονται περιπτώσεις : Z j C j > 0. Αυτό σηµαίνει ότι η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης δε βελτιώνεται περισσότερο, άρα η βασική δυνατή λύση που βρέθηκε, είναι και η βέλτιστη. Z j C j < 0. Συνεχίζεται η διαδικασία του στο επόµενο στάδιο. Στάδιο Επιλέγεται το διάνυσµα P µε τη µεγαλύτερη κατ απόλυτη τιµή αξία από τα διανύσµατα για τα οποία ισχύει (Z j C j ) < 0 και εισάγεται στη βάση. Στάδιο Εκλέγεται το βασικό διάνυσµα, που θ αντικατασταθεί. ιακρίνονται οι εξής περιπτώσεις : y 0. Στην περίπτωση αυτή οποιαδήποτε τιµή Θ, µαζί µε τις νέες τιµές των m βασικών µεταβλητών αποτελεί µία λύση µε (m) θετικές τιµές, η οποία δεν είναι βασική δυνατή λύση. Το µοντέλο δεν έχει πεπερασµένη λύση. ορισµένα y > 0. Υπάρχει δυνατότητα, µε τη βοήθεια της (.4), να επιλεγεί το διάνυσµα Ρ Βλ που θα βγει από τη βάση και εποµένως η διαδικασία συνεχίζεται στο στάδιο 4. ορισµένα y > 0, και ο λόγος Θ y είναι ο ίδιος για περισσότερα από διανύσµατα. Θ Αν = 0 y και y όχι ίσα, επιλέγεται το διάνυσµα βάσης µε το µεγαλύτερο θετικό

62 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 55 y, ενώ για όλες τις άλλες περιπτώσεις επιλέγεται το διάνυσµα βάσης που έχει τον πιο µικρό δείκτη. Στάδιο 4 Προσδιορίζονται τα στοιχεία του νέου πίνακα Smplex ως εξής : Το στοιχείο του πίνακα που βρίσκεται στη στήλη, δηλαδή στη στήλη του διανύσµατος P που εισέρχεται στη βάση και στη γραµµή λ, δηλαδή στη γραµµή του βασικού διανύσµατος P Bλ που εξέρχεται από τη βάση, λέγεται στροφέας (y λ ). Έτσι µε βάση τα ως τώρα στάδια, τα βήµατα που ακολουθούν είναι : ) Εύρεση νέων συντελεστών y j, µε βάση τον κανόνα µετασχηµατισµού (.0) y ' λj = y y λj λ, = λ y ' j = y j y y λj λ y, λ, =,...,m ) Εύρεση νέων αξιών (Ζ j C ) y ' λj Z j C j = (Z j C j) (Z C ), j =,,...,n m y λ (.) ) Εύρεση νέας βασικής δυνατής λύσης. Θ Θ ' λ ' λ = Θ y = Θ λ λ, Θ y = λ λ λ y, λ, =,...,m (.) 4) Εύρεση νέας τιµής αντικειµενικής συνάρτησης. ' Θ f (X ) = f (X) y λ λ (Z C ) (.) Η διατύπωση των σχέσεων από (.0) εώς και (.), οδηγεί σε δύο απλούς εµπειρικούς κανόνες, οι οποίοι µπορούν να εφαρµοστούν :

63 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 56 Τα στοιχεία της γραµµής του νέου βασικού διανύσµατος βρίσκονται από τη διαίρεση των στοιχείων της γραµµής του παλιού βασικού διανύσµατος µε το στροφέα, για την περίπτωση που ισχύει = λ. Έστω ο στροφέας, Α το στοιχείο του οποίου αναζητούµε τη νέα τιµή Α, Β το στοιχείο που βρίσκεται στην ίδια γραµµή µε το στροφέα και στην ίδια στήλη µε το Α και Γ το στοιχείο που βρίσκεται στην ίδια στήλη µε το στροφέα και στην ίδια γραµµή µε το Α. Για την περίπτωση κατά την οποία λ, θα ισχύει : B = A Γ A ' (.4) Ο τύπος (.4) ισχύει για την εύρεση των y j, Θ, (Z j C j ), και f (X). Όταν οι αξίες των µη βασικών διανυσµάτων γίνουν µη αρνητικές, η λύση που προκύπτει είναι η βέλτιστη και η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης η µέγιστη. Για την εύρεση εναλλακτικών βέλτιστων λύσεων µπορεί ν αντικατασταθεί ένα από τα διανύσµατα βάσεως που έχουν µηδενική αξία. Θα προκύψει νέα βέλτιστη λύση, διαφορετική από την προηγούµενη µε την τιµή όµως της αντικειµενικής συνάρτησης να είναι πάλι ίδια µε την προηγούµενη. Με βάση λοιπόν όλη την παραπάνω αναλυτική διαδικασία, βρέθηκε πως συστηµατοποιείται η διατύπωση και η επίλυση ενός προβλήµατος βελτιστοποίησης µε τη µέθοδο SIMPLEX υπό µορφή πινάκων...6 Αναθεωρηµένη µέθοδος SIMPLEX Η µέθοδος SIMPLEX όπως αναπύχθηκε προηγούµενα, είναι χρήσιµη για τη βελτιστοποίηση µικρών σχετικά γραµµικών µοντέλων. Αν όµως πρόκειται για τη βελτιστοποίηση µοντέλων µε πολλούς περιορισµούς και µεταβλητές, παρουσιάζονται υπολογιστικά προβλήµατα λόγω του µεγάλου όγκου των υπολογισµών. Για να ελαττωθεί λοιπόν αυτή η υπολογιστική προσπάθεια στη διαδικασία βελτιστοποίησης των µαθηµατικών προτύπων, ο Dantzg (96) διαµόρφωσε την αναθεωρηµένη µέθοδο SIMPLEX. Σύµφωνα µε αυτή δε χρειάζεται στην πορεία βελτιστοποίησης να αναπαράγονται όλα τα στοιχεία του πίνακα SIMPLEX. Γι αυτό το λόγο η αναθεωρηµένη µέθοδος είναι πιο αποτελεσµατική και πιο γρήγορη από την κανονική µέθοδο SIMPLEX. Ο πίνακας SIMPLEX που χρησιµοποιείται στην κανονική µέθοδο µετά την αφαίρεση των γραµµών Z j και C j είναι ο εξής :

64 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 57 = f (X) C Z... C Z C Z Ρ y... y y Ρ y... y y Ρ y... y y Τ n n m mn m m n n (.5) o οποίος σε συνοπτική µορφή γράφεται : A B 0 C P A I C 0 B 0 C P A I B C 0 B P B C C A B C P B A B f (X) C Z X Y T = = = = = (.6) όπου = = 0 C P A A, I C 0 B B 0 Από την εξίσωση (.6), συµπεραίνεται ότι ο πίνακας SIMPLEX είναι στην πραγµατικότητα γινόµενο δύο πινάκων. Ο πρώτος είναι ο αντίστροφος του B και ο δεύτερος, ο πίνακας A των αρχικών συντελεστών της αντικειµενικής συνάρτησης και του συστήµατος των περιορισµών. Ο πίνακας A δηλαδή δε µεταβάλλεται κάθε φορά που µεταβάλλεται η βάση, και εδώ βρίσκεται η διαφορά ανάµεσα στην κανονική µέθοδο SIMPLEX και στην αναθεωρηµένη. Στην πρώτη ολόκληρος ο πίνακας SIMPLEX µετασχηµατίζεται κάθε φορά που βρίσκεται µία νέα βάση, ενώ στη δεύτερη χρειάζεται µόνο ο µετασχηµατισµός του B. Εφόσον ο πίνακας SIMPLEX έχει µεγαλύτερες διαστάσεις από τον B, είναι αυτονόητο γιατί η αναθεωρηµένη µέθοδος SIMPLEX πλεονεκτεί από την κανονική τόσο από άποψη ταχύτητας όσο και από άποψη υπολογιστικής οικονοµίας...7 υϊκή θεωρία..7. Γενικά Η δυϊκότητα (dualty), δηλαδή η ύπαρξη προβληµάτων του Γραµµικού Προγραµµατισµού κατά ζεύγη, αποτελεί την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα που παρουσιάζουν τα γραµµικά µοντέλα.

65 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 58 Σύµφωνα µε τη δυϊκή θεωρία, κάθε µοντέλο γραµµικού προγραµµατισµού συνδέεται µε ένα άλλο µε τρόπο, που είναι εντελώς καθορισµένος. Το πρώτο το λέµε αρχικό µοντέλο (prmal) και το δεύτερο δυϊκό (dual). Οι σχέσεις, που υπάρχουν µεταξύ του αρχικού και του δυϊκού µοντέλου, είναι εξαιρετικά χρήσιµες µια και η λύση του ενός δίνει πληροφορίες για τη λύση του άλλου. Για καθαρά υπολογιστικούς λόγους λύνεται εκείνο το µοντέλο για το οποίο απαιτείται η λιγότερη υπολογιστική προσπάθεια...7. ιαµόρφωση και λύση Το αρχικό µοντέλο, υπό µορφή µητρώων γράφεται ως εξής : max f (X) = C X A X = P 0 X 0 ή στην αναλυτική του µορφή : max f(x) = C X C X... C n X n a a a m X X X a a a... m X X X... a... a n... a n X mn n X n X b n b b m X, X,..., X n 0 Με αντίστοιχο τρόπο, το δυϊκό µοντέλο µπορεί να γραφεί : mn ϕ (W) = P 0 W W A C W 0 ή στην αναλυτική του µορφή : mn ϕ (W) = b W b W... b m Wm

66 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 59 a a a n W W W a a a... n W W W... a... a... a m m mn W m W m W m C C C n W, W,..., W m 0 Αν κάποιο από τα µοντέλα αυτά έχει βέλτιστη λύση, που δηµιουργεί πεπερασµένη τιµή στην αντικειµενική συνάρτηση, έχει και το άλλο και οι αντίστοιχες βέλτιστες τιµές των αντικειµενικών συναρτήσεων είναι ίσες. Επίσης, αν κάποιο έχει λύση που δίνει µη πεπερασµένη τιµή στην αντικειµενική συνάρτηση, το άλλο δεν έχει δυνατή λύση (Ψωινός, 99).. ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ.. Γενικά Ο Ακέραιος Προγραµµατισµός (Integer Programmng - ΙΡ) είναι µια ειδική περίπτωση του Γραµµικού Προγραµµατισµού (Lnear Programmng), σύµφωνα µε την οποία ορισµένες ή όλες οι µεταβλητές απόφασης του προβλήµατος, απαιτείται να έχουν ακέραιες τιµές. Ένα πρόβληµα Ακέραιου Προγραµµατισµού µπορεί ν αντιµετωπιστεί ως πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού µε την προσθήκη κάποιων επιπλέον περιορισµών σε ότι αφορά το πεδίο τιµών των µεταβλητών απόφασης στο σύνολό τους ή για ορισµένες µόνο από αυτές... Κατηγορίες προβληµάτων Υπάρχουν τρεις γενικές κατηγορίες προβληµάτων Ακέραιου Προγραµµατισµού, οι οποίες έχουν ως εξής : α Μοντέλα Καθαρού Ακέραιου Προγραµµατισµού (Pure Integer Programmng Models). Στην περίπτωση αυτή όλες οι µεταβλητές απόφασης πρέπει να είναι ακέραιοι αριθµοί. Η παρακάτω γραµµική αντικειµενική συνάρτηση δίνεται από τη σχέση : f( X) = C (.7) X C X... Cn Xn

67 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 60 µε περιορισµούς a a a X X X X a a a X X... m m X, =,,...,n... a... a... a X Z n n X mn n X n X b b n b m (.8) Η εξίσωση (.7), µε τους περιορισµούς (.8), αποτελεί ένα πρόβληµα Ακέραιου Προγραµµατισµού. Τα προβλήµατα του Ακέραιου Προγραµµατισµού για χάρη συντοµίας θα συµβολίζονται µε ΡΙΡ. β Μοντέλα Μικτού Ακέραιου Προγραµµατισµού (Mxed Integer Programmng Models). Στα προβλήµατα αυτού του είδους, οι µεταβλητές απόφασης µπορεί να είναι αλλά και να µην είναι όλες ακέραιοι αριθµοί. Η αντικειµενική συνάρτηση δίνεται από τη σχέση f( X) = C (.9) X C X... C n X n µε περιορισµούς a a a X X X X a a X X... m a m X, =,,...,n... a... a... a X Z n n X mn n X n X b b n b m (.0) Για χάρη συντοµίας, τα προβλήµατα του Μικτού Ακέραιου Προγραµµατισµού θα συµβολίζονται µε ΜΙΡ. γ Μοντέλα «0-» Ακέραιου Προγραµµατισµού («0-» Integer Programmng Models.) Η κατηγορία των προβληµάτων αυτών περιλαµβάνει εκείνα τα µοντέλα Ακέραιου Προγραµµατισµού, στα οποία όλες οι µεταβλητές απόφασης λαµβάνουν τιµές 0 ή, δηλαδή είναι δυαδικές µεταβλητές (Bnary Varables). Οι δυαδικές µεταβλητές χρησιµοποιούνται σε πολλές περιπτώσεις. Μία από τις βασικές τους λειτουργίες βρίσκει εφαρµογή, όταν εξετάζεται αν συµβαίνει ή όχι ένα γεγονός. Έτσι :

68 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 6 Αν ένα γεγονός συµβαίνει, η τιµή της ακέραιας µεταβλητής είναι ίση µε τη µονάδα ( = ). Αν ένα γεγονός δε συµβαίνει, η τιµή της ακέραιας µεταβλητής είναι ίση µε το µηδέν ( = 0). Έστω για παράδειγµα, το παρακάτω πρόβληµα : f(x) = CX CX...Cn Xn µε περιορισµούς a a... a m X X X a a a X X X X, =,,...,n m... a... a... a X n n = 0 ή X mn n X n X b b n b m είναι ένα πρόβληµα 0- Ακέραιου Προγραµµατισµού, το οποίο στο εξής θα συµβολίζεται ως 0 - ΙΡ. Οι τρεις προηγούµενες κατηγορίες είναι οι γενικές µορφές προβληµάτων ΙΡ. Γίνεται αντιληπτό ότι µιλώντας για ένα συγκεκριµένο ΙΡ πρόβληµα, η αντίστοιχη λύση που προκύπτει µε Γραµµικό Προγραµµατισµό, δηλαδή η λύση του ίδιου προβλήµατος χωρίς τους ακέραιους περιορισµούς, είναι η λύση µε υπερχαλάρωση (relaxed verson), της λύσης που προκύπτει µε Ακέραιο Προγραµµατισµό. Για το λόγο αυτό η περιοχή δυνατών λύσεων (Feasble regon) του µοντέλου του Ακέραιου Προγραµµατισµού είναι υποσύνολο της περιοχής λύσεων που προκύπτει από την επίλυση του µοντέλου του Γραµµικού Προγραµµατισµού. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο παρακάτω πρόβληµα βελτιστοποίησης max f( X) = X X µε περιορισµούς 7X X, X 4X 0,, όπου Χ, Χ ακέραιοι

69 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 6 Χ /4 /7 Χ Σχήµα. Περιοχή λύσεων ενός προβλήµατος µε Γραµµικό και Ακέραιο Προγραµµατισµό Η περιοχή λύσης του IP προβλήµατος αποτελείται από ένα σύνολο διακριτών σηµείων. Για το ίδιο πρόβληµα, χωρίς τους ακέραιους περιορισµούς, η περιοχή λύσης αποτελεί τµήµα επιπέδου που εµπεριέχει τις διακριτές τιµές της λύσης του IP προβλήµατος. Με βάση τα παραπάνω, όπως φαίνεται και στο σχήµα. προκύπτει ότι η γραµµοσκιασµένη επιφάνεια αποτελεί την περιοχή δυνατών λύσεων του LP προβλήµατος, ενώ το σύνολο των διακριτών σηµείων την αντίστοιχη περιοχή του ΙΡ προβλήµατος. Επειδή η περιοχή των δυνατών λύσεων του ΙΡ προβλήµατος αποτελείται από διακριτές τιµές, ο Ακέραιος Προγραµµατισµός θεωρείται και ως υποκατηγορία του ιακριτού Προγραµµατισµού (Dscrete Programmng). Από τα παραπάνω καταλήγουµε σε µερικά χρήσιµα πορίσµατα, τα οποία συνοψίζονται στα εξής : Η περιοχή δυνατών λύσεων (Feasble regon) του µοντέλου του Ακέραιου Προγραµµατισµού είναι υποσύνολο της περιοχής λύσεων του µοντέλου του Γραµµικού Προγραµµατισµού. Για ένα µοντέλο µεγιστοποίησης, η βέλτιστη λύση που προκύπτει µε Γραµµικό Προγραµµατισµό, θα είναι µεγαλύτερη ή το πολύ ίση από την αντίστοιχη του προβλήµατος του Ακέραιου Προγραµµατισµού. ηλαδή ισχύει η ανισότητα Βέλτιστη τιµή - LP λύση Βέλτιστη τιµή - ΙΡ λύση Για ένα µοντέλο ελαχιστοποίησης, η βέλτιστη λύση που προκύπτει µε Γραµµικό Προγραµµατισµό, θα είναι µικρότερη ή το πολύ ίση από την αντίστοιχη του προβλήµατος του Ακέραιου Προγραµµατισµού. Βέλτιστη τιµή - LP λύση Βέλτιστη τιµή - ΙΡ λύση

70 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 6 Μία λύση εµπειρικής µορφής που θα µπορούσε να δοθεί σ ένα πρόβληµα Ακέραιου Προγραµµατισµού, είναι να λυθεί µε Γραµµικό Προγραµµατισµό χωρίς τους ακέραιους περιορισµούς και στη συνέχεια οι τιµές των µεταβλητών απόφασης να στρογγυλοποιηθούν προς τους πλησιέστερους ακέραιους. Αν η βέλτιστη λύση ενός LP προβλήµατος αποτελείται από ακέραιους αριθµούς, θα αποτελεί επίσης βέλτιστη λύση του ΙΡ προβλήµατος, ενώ δεν ισχύει το αντίστροφο. Αυτή είναι και η µόνη περίπτωση στην οποία ισχύει η ισότητα µεταξύ των δύο λύσεων. Το παραπάνω γίνεται καλύτερα κατανοητό µε το εξής παράδειγµα : max f( X) = X X µε περιορισµούς X X X, X 0 6, όπου Χ, Χ ακέραιοι Χ Χ Σχήµα. Ειδική Περίπτωση ταύτισης των βέλτιστων λύσεων µε Γραµµικό και Ακέραιο Προγραµµατισµό Αν λυθεί το πρόβληµα χωρίς τους ακέραιους περιορισµούς, η βέλτιστη λύση που προκύπτει για την LP relaxaton µορφή του αποτελείται από ακέραιους αριθµούς, δηλαδή Χ = 0, Χ = 6, Ζ =. Επειδή κατά τη λύση όλες οι µεταβλητές λαµβάνουν ακέραιες τιµές, προκύπτει το συµπέρασµα ότι η παραπάνω λύση είναι βέλτιστη και για το ΙΡ πρόβληµα. Αυτό αποδεικνύεται µε την επίλυση του ΙΡ προβλήµατος, καθώς επίσης και από το γεγονός ότι ισχύει η σχέση: Βέλτιστη τιµή - LP λύση Βέλτιστη τιµή - ΙΡ λύση.

71 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 64 Άρα η ισότητα των δύο επί µέρους λύσεων, όπως παρατηρείται και από το σχήµα., ισχύει µόνο στην περίπτωση κατά την οποία ορισµένα από τα σηµεία λύσης του ΙΡ προβλήµατος, βρίσκονται πάνω στην ευθεία των περιορισµών... Μεθοδολογία επίλυσης... Η Μέθοδος δέσµης (Branch and Bound) για την επίλυση προβληµάτων Ακέραιου Προγραµµατισµού Η κυριότερη από τις µεθόδους επίλυσης των προβληµάτων Ακέραιου και Μικτού Ακέραιου Προγραµµατισµού είναι η µέθοδος δέσµης ή Branch and Bound Method (Wnston, 99 Taha, 997). Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή για κάθε πρόβληµα Ακέραιου Προγραµµατισµού χρησιµοποιούνται διαδοχικές επιλύσεις Γραµµικού Προγραµµατισµού χωρίς να λαµβάνονται υπόψη οι ακέραιοι περιορισµοί. Αυτή η µέθοδος είναι και η βασικότερη στην οποία στηρίζονται όλα τα εµπορικά προγράµµατα για την επίλυση ΙΡ µοντέλων. Η επίλυση ξεκινάει λύνοντας το ΙΡ πρόβληµα ως LP πρόβληµα, το οποίο αποτελεί και το Υποπρόβληµα (Subproblem ). Από την επίλυση αυτή, οι τιµές που προκύπτουν είναι πραγµατικές. Στη συνέχεια δηµιουργούνται θυγατρικά υποπροβλήµατα από το Υποπρόβληµα, διακλαδίζοντας µία επιλεγµένη µεταβλητή µε φραγµένη τιµή Χ, η οποία κατά την επίλυση του LP προβλήµατος λαµβάνει µία τιµή ανάµεσα στους ακέραιους και. Τότε τα δύο νέα θυγατρικά υποπροβλήµατα που δηµιουργούνται διαµορφώνονται ως εξής : Υποπρόβληµα = Υποπρόβληµα περιορισµός X Υποπρόβληµα = Υποπρόβληµα περιορισµός X Με τα υποπροβλήµατα αυτά, περιορίζεται το σύνολο των δυνατών λύσεων κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι νέες τιµές που θα προκύψουν να «εξαναγκάζονται» από τους περιορισµούς του προβλήµατος να είναι ακέραιοι αριθµοί. Όταν δεν είναι απαραίτητο να γίνει περαιτέρω διακλάδωση σε ένα υποπρόβληµα, τότε το πρόβληµα έχει επιλυθεί (fathomed). Τρεις είναι οι πιθανές περιπτώσεις, που συµβαίνουν σε ένα επιλυµένο πρόβληµα :. Το πρόβληµα να είναι αδύνατο λόγω µη ύπαρξης της βέλτιστης λύσης µε τη µέθοδο αυτή.

72 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 65. Το πρόβληµα να έχει οδηγηθεί σε βέλτιστη λύση, στην οποία όλες οι µεταβλητές έχουν ακέραιες τιµές. Αν αυτή η συγκεκριµένη βέλτιστη λύση δίνει µία βελτιωµένη τιµή στην αντικειµενική συνάρτηση, σε σχέση µε κάθε άλλη προηγούµενη βασική δυνατή λύση, τότε αποτελεί µία υποψήφια λύση (Canddate Soluton) στο πρόβληµα και αυτοµάτως η τιµή Ζ που προκύπτει αποτελεί το κατώτερο όριο (Lower Bound - LB) για τη βέλτιστη λύση. ηλαδή οποιαδήποτε νέα τιµή που θα προκύψει πρέπει να είναι βελτιωµένη σε σχέση µε την τρέχουσα λύση.. Αν η βέλτιστη λύση για ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης, δεν µπορεί να υπερκεράσει την τρέχουσα λύση που έχει προκύψει ως κατώτερο όριο, παραλείπεται η εξέτασή του. Για την καλύτερη κατανόηση της µεθόδου δέσµης παρατίθεται το εξής απλό παράδειγµα : max f( X) = X X µε περιορισµούς X X, X X, X X 6, 0 ακεραιοι Τα βήµατα που ακολουθούνται αναλυτικά είναι τα παρακάτω :. Λύνεται το Υποπρόβληµα, δηλαδή το αντίστοιχο πρόβληµα του Γραµµικού Προγραµµατισµού χωρίς τους ακέραιους περιορισµούς. Από την επίλυση προκύπτουν µε βάση τη γνωστή µέθοδο SIMPLEX οι τιµές : 65, X 4 5 =, X 4 f (X) = 9 = 4. 5 Επειδή X = =. 75, και Χ απαιτείται να είναι ακέραιος, δηµιουργούνται δύο κλάδοι του 4 προβλήµατος που έχουν τους περιορισµούς X 4 - και X.. ηµιουργούνται µ αυτόν τον τρόπο τα εξής δύο Υποπροβλήµατα : Υποπρόβληµα = Υποπρόβληµα X 4 και Υποπρόβληµα = Υποπρόβληµα X. Από την επίλυση του Υποπροβλήµατος ως LP πρόβληµα προκύπτουν τιµές που δεν 9 ικανοποιούν τις συνθήκες του Ακέραιου Προγραµµατισµού : f (X) = 4, X = 4, X =. 5. ηµιουργούνται πάλι δύο κλάδοι, αυτή τη φορά ως προς τη µεταβλητή Χ. Συγκεκριµένα :

73 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 66 Υποπρόβληµα 4 = Υποπρόβληµα X και Υποπρόβληµα 5 = Υποπρόβληµα X. 4. Συνεχίζεται η επίλυση µε το Υποπρόβληµα 5 έως ότου βρεθεί η βέλτιστη λύση που να ικανοποιεί τις συνθήκες του Ακέραιου Προγραµµατισµού για όλες ή για µερικές από τις µεταβλητές απόφασης του προβλήµατος. Το σχήµα. αναπαριστά µε χαρακτηριστικό τρόπο τη διαδικασία επίλυσης του προβλήµατος: Υποπρόβληµα Ζ = 65/4 Χ = 5/4, Χ = 9/4 ος κόµβος X 4 X Υποπρόβληµα Υποπρόβληµα Ζ = 4 ος κόµβος Ζ = 9 7 ος κόµβος Χ = 4, Χ = 9/5 Χ =, Χ = Χ LB = 40 X Χ Υποπρόβληµα 4 Υποπρόβληµα 5 αδύνατο ος κόµβος X Ζ = 65/9 Χ = 40/9, Χ = 4 ος κόµβος X 4 Χ 5 Υποπρόβληµα 6 Ζ = 7 Χ = 4, Χ = Υποψήφια λύση 5 ος κόµβος Χ Υποπρόβληµα 7 Z = 40 X = 5, X = 0 Υποψήφια λύση Βέλτιστη λύση 6 ος κόµβος Σχήµα. Η µέθοδος έσµης (Branch and Bound)

74 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 67 Όπως προκύπτει από το σχήµα. η Βέλτιστη λύση είναι αυτή που προκύπτει από την επίλυση του υποπροβλήµατος 7. Οι βασικές αρχές πάνω στις οποίες στηρίζεται η λύση και η προτεραιότητα µε την οποία γίνεται η διακλάδωση των λύσεων από τους πατρικούς κόµβους προς τους θυγατρικούς, έχουν απασχολήσει τους ερευνητές και ειδικότερα µε ποια σειρά θα πρέπει να ανοίγονται οι κόµβοι στους επιµέρους κλάδους τους, ώστε να προκύπτει ταχύτερα η λύση. ύο είναι οι µέθοδοι που έχουν χρησιµοποιηθεί για το σκοπό αυτό : Η πρώτη είναι η µέθοδος LIFO (Last In, Frst Out - Nemhauser, 99) κατά την οποία αν ο συγκεκριµένος κόµβος που εξετάζεται δεν είναι διακλαδισµένος, τότε ο επόµενος που πρόκειται να διακλαδιστεί είναι ένας από τους θυγατρικούς του. Επιπλέον, όταν ένας κόµβος έχει διακλαδιστεί πλήρως, η διαδικασία συνεχίζεται προχωρώντας πίσω στο µονοπάτι από αυτόν τον κόµβο µέχρι ότου να βρεθεί ο αρχικός κόµβος, ο οποίος έχει κάποιον θυγατρικό, που δεν έχει ακόµη αναπτυχθεί. Η µέθοδος αυτή δηλαδή καθοδηγεί τη λύση σε µία καθορισµένη κατεύθυνση (διακλάδωση) του δέντρου των λύσεων και µε γρήγορα βήµατα οδηγεί σε υποψήφιες λύσεις. Ονοµάζεται και Bactracng. Η δεύτερη είναι η µέθοδος jumptracng µε την οποία για κάθε κόµβο λύνονται όλα τα υποπροβλήµατα που δηµιουργούνται από αυτόν σαν διακλαδώσεις χωρίς να καθοδηγείται η λύση σε µία και µόνο κατεύθυνση. ηλαδή κάθε πατρικός κόµβος διακλαδίζεται σ όλους τους θυγατρικούς του και στη συνέχεια προχωράει η επίλυση στους επόµενους θυγατρικούς κόµβους. Η λύση οδηγείται από τη µία πλευρά του δέντρου στην άλλη, χωρίς να προχωράει µέχρι το τέλος του κλαδιού και απαιτεί περισσότερη µνήµη στον υπολογιστή, γιατί δηµιουργεί µεγαλύτερο αριθµό υποπροβληµάτων και συγκλίνει πιο αργά στη βέλτιστη λύση. Τελικά, η µέθοδος που χρησιµοποιείται στη συντριπτική πλειοψηφία των προβληµάτων, είναι η πρώτη, δηλαδή αυτή που βασίζεται στον κανόνα LIFO. Όπως φαίνεται ξεκάθαρα από το προηγούµενο παράδειγµα, οι κόµβοι απαριθµούνται µε τη σειρά που ανοίγονται τα θυγατρικά κλαδιά τους, ενώ τα υποπροβλήµατα µε τη σειρά που καταστρώνονται.... Η Μέθοδος δέσµης για την επίλυση προβληµάτων Μικτού Ακέραιου Προγραµµατισµού Η ίδια ακριβώς µεθοδολογία ακολουθείται και για τα προβλήµατα Μικτού Ακέραιου Προγραµµατισµού (ΜΙΡ), µε τη διαφορά ότι η δηµιουργία υποπροβληµάτων γίνεται µόνο για εκείνες τις µεταβλητές απόφασης, οι οποίες απαιτείται να έχουν ακέραιες τιµές. Συνήθως η λύση

75 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 68 τους είναι ευκολότερη και γίνεται σε λιγότερα βήµατα απ ότι για ένα πρόβληµα Ακέραιου Προγραµµατισµού στο οποίο όλες οι µεταβλητές απόφασης απαιτείται να έχουν ακέραιες τιµές... Η Μέθοδος Implct Enumeraton για την επίλυση προβληµάτων 0- Ακέραιου Προγραµµατισµού Ένας άλλος τρόπος επίλυσης που χρησιµοποιείται κυρίως για τα 0 - ΙΡ προβλήµατα, είναι η µέθοδος «Implct Enumeraton». Με τη βοήθεια της µεθόδου αυτής κάθε πρόβληµα µπορεί να εκφραστεί ως πρόβληµα 0 - IP, αν κάθε µεταβλητή του IP προβλήµατος εκφραστεί ως άθροισµα των δυνάµεων του. Έστω ότι η µεταβλητή Χ απαιτείται να είναι ακέραια. Θέτοντας τον n ως το µικρότερο ακέραιο τέτοιο ώστε να διασφαλίζεται η ανισότητα Χ < n, τότε ο αριθµός Χ εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο ως άθροισµα των δυνάµεων του µε εκθέτες από 0 έως n, ως εξής : X U = U n = 0, = 0,,..., n n U n n... U U 0, Για παράδειγµα ο αριθµός Χ = 9 µπορεί να εκφραστεί ως το παρακάτω άθροισµα : X (U = U 5, U 4 6, U = 0,,..., n 64 U, U 5 U, U, U U 8 U ) = (, 0,,,, 0,) 4 U U 0 = 9, (.) Αν όλες οι µεταβλητές Χ ενός προβλήµατος IP εκφραστούν σύµφωνα µε τη σχέση (.), τότε αυτό µετατρέπεται σε ένα πρόβληµα 0 - IP. Η διαδικασία που ακολουθείται για την επίλυσή του είναι παρόµοια µε την µέθοδο δέσµης, δηλαδή ακολουθείται ο κανόνας LIFO, όπως περιγράφηκε προηγούµενα. Η διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι δε λύνονται τα υποπροβλήµατα µε Γραµµικό Προγραµµατισµό απλώς δίνονται τιµές 0 ή ξεκινώντας από την πρώτη µεταβλητή και πηγαίνοντας προς στις επόµενες. Έτσι ανοίγεται το δέντρο των λύσεων. Το πλεονέκτηµα της µεθόδου αυτής σε σχέση µε τη µέθοδο δέσµης είναι ότι είναι απλούστερη και πολύ γρηγορότερη γιατί δε χρησιµοποιεί επίλυση µε Γραµµικό Προγραµµατισµό απλώς θέτει τιµές 0 και και βρίσκει κάθε φορά την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης και τις πιθανές υποψήφιες λύσεις. Το µειονέκτηµα της µεθόδου, είναι ότι ο αριθµός των µεταβλητών αυξάνεται σε πολύ µεγάλο βαθµό.

76 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 69.4 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ.4. Εισαγωγή Μέχρι το σηµείο αυτό στα µοντέλα µαθηµατικού προγραµµατισµού, που χρησιµοποιήθηκαν, τόσο η αντικειµενική συνάρτηση όσο και οι περιορισµοί είναι γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών απόφασης και τα µοντέλα καλούνται γραµµικά (LP). Σε πολλά προβλήµατα λήψης αποφάσεων, η χρήση τέτοιου είδους γραµµικών συναρτήσεων είναι απαραίτητη. Σε άλλους τύπους προβληµάτων βελτιστοποίησης, είτε η αντικειµενική συνάρτηση είτε οι περιορισµοί, είτε και τα δύο, αποτελούν µη γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών απόφασης και οι τύποι αυτοί ονοµάζονται µη γραµµικά µοντέλα (NLP). Η βασική διαφορά ανάµεσα σε ένα LP και ένα NLP µοντέλο έγκειται στο ότι ένα NLP µοντέλο µπορεί ν αποτελείται από µία µη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση και περιορισµούς, οι οποίοι µπορεί να είναι είτε γραµµικοί είτε µη γραµµικοί. Όπως παρατηρείται στο σχήµα.4 και έχει αναφερθεί και στα προηγούµενα κεφάλαια, η βασική διαφορά ανάµεσα στις µεθόδους NLP και LP είναι ότι η βέλτιστη λύση ενός γραµµικού προβλήµατος, αποτελεί ένα εκ των σηµείων που βρίσκονται στις κορυφές του κυρτού πολυγώνου των πιθανών δυνατών λύσεων. Αντίθετα για τα µη γραµµικά προβλήµατα, η βέλτιστη λύση µπορεί να µην ανήκει στο όριο της περιοχής δυνατών λύσεων (feasble regon), αλλά στο εσωτερικό της, όπως επίσης και σε ορισµένες περιπτώσεις στο εξωτερικό της. Έτσι η στρατηγική, που ακολουθείται για την εύρεση των βασικών δυνατών λύσεων µε τη µέθοδο SIMPLEX, δεν ισχύει στην περίπτωση των NLP προβληµάτων. Επιλέγονται άλλες µέθοδοι επίλυσης που αναλύονται διεξοδικά παρακάτω. Σε γενικές γραµµές η βελτιστοποίηση µιας µη γραµµικής αντικειµενικής συνάρτησης, ταυτίζεται µε την εύρεση του ολικού ακροτάτου της, πράγµα που δύσκολα εξασφαλίζεται, γιατί συνήθως οι λύσεις αφορούν τοπικά ακρότατα και πιθανά ολικά ακρότατα. Οι κλασσικές µέθοδοι βελτιστοποίησης, χρησιµοποιούν µεθόδους διαφορικού λογισµού για την εύρεση ολικών ακροτάτων σε µη γραµµικές συναρτήσεις. Οι µέθοδοι αυτές, οι οποίες στηρίζονται στο διαφορικό λογισµό, αν και δεν ενδείκνυνται για την περίπτωση προβληµάτων που απαιτούν εκτεταµένους αριθµητικούς υπολογισµούς, προάγουν τις βάσεις για την

77 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 70 κατάστρωση των περισσοτέρων αλγορίθµων βελτιστοποίησης βασισµένων σε µη Γραµµικό Προγραµµατισµό (Taha, 997). Στην περίπτωση που η αντικειµενική συνάρτηση είναι ου βαθµού, δηλαδή τετραγωνική και οι περιορισµοί στους οποίους υπόκειται είναι γραµµικοί, τότε η κατηγορία αυτών των προβληµάτων αποτελεί τον Τετραγωνικό Προγραµµατισµό (P) (Wnston, 99) ο οποίος αποτελεί ένα υποσύνολο του Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού. Βέλτιστη λύση Βέλτιστη λύση Α. Γραµµική Συνάρτηση Μη Γραµµικοί Περιορισµοί Βέλτιστη λύση Β. Μη Γραµµική Συνάρτηση Γραµµικοί Περιορισµοί Βέλτιστη λύση Γ. Μη Γραµµική Συνάρτηση Μη Γραµµικοί Περιορισµοί. Μη Γραµµική Συνάρτηση Γραµµικοί Περιορισµοί Σχήµα.4 Παραδείγµατα NLP µοντέλων µε βέλτιστη λύση η οποία δεν ανήκει στις κορυφές του πολυγώνου των πιθανών δυνατών λύσεων.4. Βασικές αρχές από τη θεωρία µητρώων Ορισµοί Οι παρακάτω βασικές αρχές δίνονται από τους Wnston (99), Taha (997) και ερµάνη (985).. Η τάξης ελάσσονα ορίζουσα ενός τετραγωνικού µητρώου A, n τάξης, ορίζεται ίση µε a a a. a a a a a a., =,,,n.

78 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 7 Προκύπτει από την ορίζουσα του µητρώου A µε ταυτόχρονη αφαίρεση των (n-) γραµµών και (n-) στηλών.. Ένα τετραγωνικό µητρώο A, n τάξης, λέγεται θετικά ορισµένο (ηµιορισµένο), αν όλες οι ελάσσονες ορίζουσες του µητρώου Α είναι θετικές (µη αρνητικές).. Ένα τετραγωνικό µητρώο A, n τάξης, λέγεται αρνητικά ορισµένο, αν η τιµή της ελάσσονας ορίζουσας του µητρώου A έχει το πρόσηµο (-), =,,,n. 4. Ένα τετραγωνικό µητρώο A, τάξης n, λέγεται αρνητικά ηµιορισµένο, αν η τιµή της ελάσσονας ορίζουσας του A, είναι µηδενική ή έχει το πρόσηµο (-), =,,,n. 5. Hessan µητρώο H µιας συνάρτησης f, n µεταβλητών, ονοµάζεται το τετραγωνικό µητρώο τάξης n, το οποίο στις αντίστοιχες θέσεις (,j), περιέχει το στοιχείο τανυστικό µέγεθος. Συµβολίζεται και µε ( f ). f (X) X X j και αποτελεί 6. Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις Μία συνάρτηση f(χ) λέγεται ισχυρά κυρτή, αν έχει τη µορφή του σχήµατος.5 και αν για κάθε σηµείο Χ, Χ που ανήκει στο κυρτό σύνολο S - πεδίο ορισµού της f - ισχύει η ανισότητα : ' '' ' '' ( c X (- c) X ) < c f ( X ) ( c) f ( X ), ' '' X,X S, f (.) όπου 0 < c < Σχήµα.5 Μορφή ισχυρά κυρτής συνάρτησης Μια συνάρτηση f(x), λέγεται κυρτή, αν ισχύει η ανισοϊσότητα :

79 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 7 ' '' ' '' ( c X (- c) X ) c f ( X ) ( c) f ( X ). ' '' X,X S, f (.) Μία συνάρτηση f(x) λέγεται ισχυρά κοίλη (σχήµα.6), αν για κάθε σηµείο X, Χ που ανήκει στο κυρτό σύνολο S - πεδίο ορισµού της f - ισχύει η ανισότητα : ' '' ' '' ( c X (- c) X ) > c f ( X ) ( c) f ( X ). ' '' X,X S, f (.4) Σχήµα.6 Μορφή ισχυρά κοίλης συνάρτησης Μία συνάρτηση f(x) λέγεται κοίλη, αν ισχύει η ανισοϊσότητα : ' '' ' '' ( c X (- c) X ) c f ( X ) ( c) f ( X ). ' '' X,X S, f (.5) Μία ιδιαίτερη περίπτωση κυρτών (κοίλων) συναρτήσεων είναι η τετραγωνική µορφή T f (X) = C X X D X (.6) σε µορφή µητρώων, όπου : f (X) συνάρτηση n µεταβλητών X το διάνυσµα των µεταβλητών C = (c,...,c ) µητρώο - διάνυσµα σταθερών όρων n d... dn D =..... συµµετρικό µητρώο σταθερών όρων d n... d nn

80 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 7.4. Προβλήµατα χωρίς περιορισµούς Ένα ακρότατο σηµείο µιας συνάρτησης f(χ), αποτελεί το ελάχιστο ή το µέγιστο της συνάρτησης αυτής. Στα µαθηµατικά ένα σηµείο X = (X,..., X ) αποτελεί µέγιστο όταν ισχύει n f (X h) f (X) για κάθε h = (h,...,h ), τέτοιο ώστε ο αριθµός h j n να έιναι πολύ µικρός για κάθε j. Αντίστοιχα ένα σηµείο X = (X,..., X ) αποτελεί ελάχιστο όταν ισχύει f (X h) f (X) για κάθε h = (h,...,h ) (Taha, 997). n n Στο σχήµα.7 φαίνονται τα ελάχιστα και τα µέγιστα µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής f(χ), σ ένα διάστηµα [a, b]. Επειδή f(χ 6 ) = max {f(χ ), f(χ ), f(χ 6 )} το f(χ 6 ) καλείται ολικό ή απόλυτο µέγιστο, τα f(χ ), f(χ ) τοπικά ή σχετικά µέγιστα και αντιστοίχως το f(χ ) ολικό ή απόλυτο ελάχιστο, και το f(χ 4 ) τοπικό ή σχετικό ελάχιστο. Επίσης τα ακρότατα χαρακτηρίζονται και ως ισχυρά και ασθενή. Για παράδειγµα το σηµείο f(x ) είναι ισχυρό µέγιστο επειδή ισχύει η ανισότητα f (X h) < f (X), ενώ το f(x ) ασθενές µέγιστο ή απλά µέγιστο γιατί, ισχύει η ανισοϊσότητα f (X h) f (X). Ανάλογα, µπορεί ένα ακρότατο σηµείο να χαρακτηριστεί και ως ισχυρό και ασθενές ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, όταν ισχύουν οι σχέσεις f (X h) > f (X), όπως το f(x ), και f (X h) f (X), όπως το f(x 4 ) αντίστοιχα (Taha, 997). f(x) x6 b x x5 x x4 a x X Σχήµα.7 Τοπικά και ολικά - Ισχυρά και ασθενή ακρότατα µιας συνάρτησης f(χ) µιάς µεταβλητής Χ. Από το σχήµα.7 προκύπτει ότι όλες οι παράγωγοι ης τάξης µηδενίζονται σε όλα τα σηµεία των ακροτάτων, καθώς επίσης και στα σηµεία καµπής, όπως το Χ 5. Άρα για κάθε σηµείο στο οποίο η

81 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 74 η παράγωγος έχει µηδενική κλίση και δεν αποτελεί ακρότατο, τότε αυτοµάτως συνεπάγεται ότι είναι σηµείο καµπής (Taha, 997). Επίσης, αποδεικνύεται ότι για κάθε µη γραµµικό πρόβληµα, που ορίζεται σε ένα κυρτό πεδίο ορισµού S αν η f είναι κοίλη, κάθε τοπικό µέγιστο θα είναι και ολικό ενώ, αν η f είναι κυρτή, κάθε τοπικό ελάχιστο θα είναι και ολικό (Wnston, 99)..4.4 Προβλήµατα µε περιορισµούς.4.4. Θεωρήµατα Για την εύρεση ακρότατων σε µία συνάρτηση n µεταβλητών, για την οποία οι ης και ης τάξης µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς, έχουν διατυπωθεί τα παρακάτω θεωρήµατα :. Ικανή συνθήκη για ένα κρίσιµο σηµείο X 0, δηλαδή σηµείο µηδενισµού της ης παραγώγου, ν αποτελεί ακρότατο µιας συνάρτησης n µεταβλητών f (X) όπου X = (X,..., X ), είναι να ισχύει η σχέση f (X 0 ) = 0. Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη (κυρτή) και το ζητούµενο είναι η µεγιστοποίηση (ελαχιστοποίηση) της τιµής της, τότε κάθε κρίσιµο σηµείο X 0 αποτελεί τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος. n. Αναγκαία συνθήκη για ένα κρίσιµο σηµείο X 0 ν αποτελεί ακρότατο, είναι ο Hessan πίνακας H υπολογισµένος στο κρίσιµο σηµείο X 0, να είναι : ) Θετικά ορισµένος (postve defnte) όταν το X 0 είναι ελάχιστο, ) Αρνητικά ορισµένος (negatve defnte) όταν το X 0 είναι µέγιστο. Αν σε ένα κρίσιµο σηµείο Χ 0, οι πρώτες (n-) παράγωγοι µηδενίζονται και η f (n) (Χ) είναι διάφορη του 0, τότε στο σηµείο Χ 0 η f(χ) έχει : ) Σηµείο καµπής, αν το n είναι περιττός αριθµός, ) Τοπικό ακρότατο, αν το n είναι άρτιος. Συγκεκριµένα το ακρότατο θα είναι µέγιστο, αν f (n) (Χ ο ) < 0 και ελάχιστο αν f (n) (Χ ο ) > Πολλαπλασιαστές Lagrange Στην περίπτωση προβλήµατος βελτιστοποίησης µιας αντικειµενικής συνάρτησης πολλών µεταβλητών, που υπόκειται σε περιορισµούς ισότητας, χρησιµοποιείται ευρύτατα η µέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange. Χρησιµοποιούνται δηλαδή για την επίλυση προβληµάτων της παρακάτω µορφής (Wnston, 99) :

82 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 75 max ή mn f(x) = f (X,X,...,X ) (.7) µε περιορισµούς : n g (X, X g g m... (X, X (X, X,..., X n,..., X n,..., X ) = b n ) = b ) = b,, m (.8) οι οποίοι µπορεί να είναι γραµµικοί ή µη γραµµικοί ή και τα δύο. Για την επίλυση του προβλήµατος (.47) µε τους περιορισµούς (.48), αντιστοιχίζεται ένας πολλαπλασιαστής λ για κάθε περιορισµό και σχηµατίζεται το άθροισµα Lagrange, που έχει ως εξής : L(X, X,..., X m, λ, λ,..., λ ) = f (X, X,..., X ) λ [ b g (X, X,..., X )], (.9) n m n = = n όπου : λ, =,,m είναι οι πολλαπλασιαστές Lagrange. Το πρόβληµα είναι η εύρεση του σηµείου X = (X,X,...,X, λ, λ,..., ) για το οποίο ισχύει : n λm L X = L X =... = L X n = L λ = L λ =... = L λ m = 0 (.40) και το οποίο αποτελεί τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος. Η σχέση (.40) είναι ισοδύναµη µε : m f = λ. = g ηλαδή η κλίση της αντικειµενικής συνάρτησης f είναι παράλληλη προς το διάνυσµα m = λ g. ιατυπώνονται δύο θεωρήµατα αναφορικά µε τους πολλαπλασιαστές Lagrange :

83 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 76. Έστω ότι η σχέση (.7) εκφράζει ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης. Αν η f είναι κοίλη και κάθε περιορισµός g είναι γραµµική συνάρτηση, τότε κάθε σηµείο X που ικανοποιεί τους περιορισµούς (.8) αποτελεί βέλτιστη λύση του προβλήµατος (.7).. Έστω ότι η σχέση (.7) εκφράζει ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης. Αν η f είναι κυρτή και κάθε περιορισµός g είναι γραµµική συνάρτηση, τότε κάθε σηµείο X που ικανοποιεί τους περιορισµούς (.8) αποτελεί βέλτιστη λύση του προβλήµατος (.7) Συνθήκες Karush Kuhn Tucer ή ΚΚΤ (Wnston, 99) Για την επίλυση προβληµάτων βελτιστοποίησης µιας µη γραµµικής αντικειµενικής συνάρτησης πολλών µεταβλητών µε γραµµικούς περιορισµούς, ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το σηµείο X = (X,..., X ) να αποτελεί τη βέλτιστη λύση, είναι οι συνθήκες Karush - Kuhn - Tucer. Για τη n µη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση της µορφής (.7) µε περιορισµούς ανισότητας γραµµικούς ή µη γραµµικούς ή και τα δύο : g (X, X g g m... (X, X (X, X,..., X n,..., X n,..., X ) b n ) b ) b,, m (.4) θα πρέπει να ισχύουν σε κάθε περίπτωση οι εν λόγω συνθήκες, ώστε να εξασφαλίζεται η εύρεση ολικών ακρότατων και κατά συνέπεια βέλτιστη λύση στη µη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση. Στην περίπτωση που οι περιορισµοί είναι ισότητας ή ανισότητας της µορφής, θα πρέπει να µετατραπούν στη µορφή. Επίσης οι µεταβλητές του προβλήµατος Χ απαιτείται (σε ορισµένες περιπτώσεις) να είναι µη αρνητικές. Σύµφωνα µε τα παραπάνω οι συνθήκες διατυπώνονται ως εξής : Αναγκαία Συνθήκη Έστω το πρόβληµα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) (.7) και X = (X,..., X ), µία βέλτιστη λύση. Τότε η λύση αυτή θα πρέπει να ικανοποιεί τους m περιορισµούς και να υπάρχουν m πολλαπλασιαστές Lagrange λ, λ,..., λ m, και n πολλαπλασιαστές µ, µ,..., µ n που αντιστοιχίζονται µε καθένα από τους περιορισµούς µη αρνητικότητας για τα X που να ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις : n

84 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 77 α) Μοντέλο µεγιστοποίησης [ ] = = µ λ = λ = λ = µ λ = = = = (,,...,n) j (,,...,m), 0, 0, 0, X X (X) g X f (X) 0, (X) g b 0, X (X) g X f (X) j j m j j j m j j (.4) β) Μοντέλο ελαχιστοποίησης [ ] = = µ λ = λ = λ = µ λ = = = = (,,...,n) j (,,...,m), 0, 0, 0, X X (X) g X f (X) 0, (X) g b 0, - X (X) g X f (X) j j m j j j m j j (.4) Ικανή Συνθήκη Έστω ότι οι g συναρτήσεις των περιορισµών είναι κυρτές συναρτήσεις, η αντικειµενική συνάρτηση f είναι κοίλη ή κυρτή, τότε για κάθε ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης κάθε σηµείο που ικανοποιεί τις συνθήκες (.4) ή (.4) αντίστοιχα αποτελεί βέλτιστη λύση του προβλήµατος Μέθοδος των Συζυγών ιευθύνσεων Conjugate Drectons (Tzmopoulos et al, 998). Η µέθοδος των συζυγών διευθύνσεων χρησιµοποιείται για την εύρεση του µεγίστου ή του ελαχίστου µιας συνάρτησης f, η οποία υπόκειται (ή όχι) σε ορισµένους περιορισµούς. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιεί την ιδιότητα των συζυγών διανυσµάτων ως προς ένα µητρώο. Ορισµός Ένα σύνολο n γραµµικά ανεξάρτητων µη µηδενικών διανυσµάτων s r, ( =,...n) καλούνται συζυγή ως προς ένα θετικά ορισµένο µητρώο (ή πίνακα H ), όταν ισχύει η ιδιότητα :

85 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 78 r s T r H s j = 0,, j και j n, (.44) όπου r H = ( f (X )) Ο Hessan πίνακας της συνάρτησης f και X r = X e r Το διάνυσµα θέσης για το σηµείο. ύο είναι οι βασικές κατηγορίες µεθόδων οι οποίες στηρίζονται στη µέθοδο των συζυγών διευθύνσεων, για την αντιµετώπιση των µη γραµµικών προβληµάτων, οι εξής : Μέθοδοι Συζυγών Κλίσεων (Conjugate Gradent Methods) Η πιο γνωστή µέθοδος από τις συζυγείς διευθύνσεις είναι η µέθοδος των συζυγών κλίσεων, η οποία προτάθηκε καταρχήν από τους Hesteness & Stefel, (95) και βελτιώθηκε µε ορισµένες παραλλαγές από τους Fletcher & Reeves, (964). Σύµφωνα µε τα παραπάνω η µέθοδος αυτή είναι r επαναληπτική και στο βήµα της παράγει µία διεύθυνση s η οποία είναι γραµµικός συνδυασµός r της f(x ) δηλαδή της διεύθυνσης της µέγιστης αλλαγής στην παρούσα προσέγγιση και των r a προηγούµενων διευθύνσεων s, ( a =,,..., ). Οι συντελεστές των γραµµικών συνδυασµών επιλέγονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε οι παραγόµενες διευθύνσεις να είναι συζυγείς ως προς τον Hessan πίνακα της αντικειµενικής συνάρτησης f, δηλαδή να ισχύει r s r H s T j = 0 Για των υπολογισµό αυτό χρειάζεται µόνο η τρέχουσα κλίση f( Χ r ) και η προηγούµενή της f( Χ r 0 ). Η αρχή της µεθόδου επιτελείται µε µια αρχική προσέγγιση Χ r και ως πρώτη διεύθυνση ελαχιστοποιήσεως επιλέγεται η διεύθυνση της µεγαλύτερης πτώσης (steepest descent drecton). r s 0 r 0 = f(χ ) (.45) Tο επόµενο σηµείο επιλέγεται από τη σχέση r Χ r 0 r 0 = Χ λ s, 0

86 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 79 όπου λ 0 είναι µία παράµετρος, η οποία βρίσκεται µε τη βέλτιστη διαδικασία επιλογής βήµατος - Optmum Step Sze Procedure (O.S.S.P.). Η επόµενη διεύθυνση s r σύµφωνα µε τα παραπάνω βρίσκεται από τη σχέση r s r = f(χ r ) ω s 0 r r 0 και θα αποτελεί γραµµικό συνδυασµό της f (X ) και της προηγούµενης διεύθυνσης f (X ), ενώ η παράµετρος ω επιλέγεται µε τη χρήση της ιδιότητας των συζυγών διευθυνσεων (.44). Από τη σχέση αυτή προκύπτει ω r X = r X 0 καταλήγοντας έτσι στο γενικό αλγόριθµο ο οποίος έχει ως εξής : r s r = f(x r ) ω s (.46) r X r r = X λ s (.47) όπου ω r X = r X (.48) και το βήµα λ υπολογίζεται µε τη διαδικασία (O.S.S.P.). Σε κάθε βήµα επανάληψης γίνεται έλεγχος του κριτηρίου σύγκλισης : r s < ε, ή f(x r ) < ε, (.49) όπου ε πολύ µικρή θετική ποσότητα Μέθοδοι Σχεδόν - Newton (uas Newton) Ένα βασικό µειονέκτηµα των µεθόδων αυτών είναι η ανάγκη αναλυτικού υπολογισµού των παραγώγων ης τάξης για την εύρεση του Hessan πίνακα.

87 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 80 Μια µεγάλη κατηγορία µεθόδων προσεγγίζει τον Hessan πίνακα ή τον αντίστροφό του µέσω των παραγώγων ης τάξης και χρησιµοποιούν αλγορίθµους αριθµητικής ανάλυσης, όπως η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών Newton και η µέθοδος της τέµνουσας. Το µειονέκτηµα των µεθόδων αυτών είναι ότι ο πίνακας Hessan που προκύπτει δεν είναι θετικά ορισµένος και επιπλέον απαιτούνται πολλές πράξεις για την αντιστροφή του. Στις Σχεδόν Newton (uas Newton) µεθόδους, εκτιµάται ο αντίστροφος του Hessan πίνακα και διορθώνεται η εκτίµηση από επανάληψη σε επανάληψη µε αποτέλεσµα να παράγεται µία ακολουθία πινάκων. Συγκεκριµένα η γενική µορφή των Σχεδόν Newton µεθόδων, έχει ως εξής : 0 Επιλέγεται µια αρχική προσέγγιση Χ r και ως πρώτη διεύθυνση ελαχιστοποιήσεως επιλέγεται η διεύθυνση της µεγαλύτερης πτώσης (steepest descent drecton) όπως και στη µέθοδο των συζυγών κλίσεων, σύµφωνα µε τη σχέση (.45). r s 0 r = f(χ 0 ) Το επόµενο σηµείο επιλέγεται από τη σχέση r Χ r = Χ 0 λ 0 r n(x 0 r ) s 0 όπου λ 0 µία παράµετρος, η οποία βρίσκεται µε τη βέλτιστη διαδικασία επιλογής βήµατος - Optmum Step Sze Procedure (O.S.S.P.), και r 0 r 0 n(x ) ο θετικά ορισµένος αρχικός εκτιµητής του αντιστρόφου του Hessan πίνακα H (X ). r Χρησιµοποιείται η εκτίµηση n(x 0 ) και κάποιο ενηµερωτικό σχήµα r r r 0 0 n(x ) = n(x ) n(x ) Στη συνέχεια, η επόµενη διεύθυνση s r βρίσκεται από τη σχέση r s r r = n(x ) f (X ) Γενικεύοντας καταλήγουµε στον αλγόριθµο της µεθόδου ο οποίος έχει ως εξής : r r r n(x ) = n(x ) n(x ) (.50) r r r s = n(x ) f (X ) (.5)

88 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 8 r Χ r = Χ λ r s (.5) και το βήµα λ υπολογίζεται µε τη διαδικασία (O.S.S.P.). Σε κάθε βήµα επανάληψης γίνεται έλεγχος του κριτηρίου σύγκλισης που εκφράζεται µε τη σχέση (.49), όπως ακριβώς στη µέθοδο των συζυγών κλίσεων. Οι πιο εξελιγµένες από τις Σχεδόν Newton µεθόδους σε ότι αφορά τους ρυθµούς σύγκλισης, είναι η µέθοδος των Davdon - Fletcer Powell (Γεωργίου & Βασιλείου, 99) ή DFP και η µέθοδος των Broyden Famly και των Broyden - Fletcher - Goldfarb - Shanno (Bazaraa et. al, 99) ή µέθοδος της "βέλτιστης δυνατής επιλογής βαθµίδας" (Best Feasble Gradent Search) (Ragsdale, 995) ή BFGS, οι οποίες δίνουν υπεργραµµικό ρυθµό σύγκλισης. Η DFP χρησιµοποιήθηκε σε µεγάλο βαθµό από τις περισσότερες βιβλιοθήκες προγραµµάτων για προβλήµατα βελτιστοποίησης, αλλά τα τελευταία χρόνια τείνει να αντικατασταθεί από πιο ικανές µεθόδους όπως είναι η BFGS η οποία πλεονεκτεί στο ότι θεωρείται το καλύτερο ενηµερωτικό σχήµα σε Σχεδόν Newton µέθοδο. Συγκεκριµένα, ο ενηµερωτικός τύπος της µεθόδου BFGS προκύπτει εύκολα από τη µέθοδο DFP, r r αν αλλάξει ο εκτιµητής n(x ) µε τον αντίστροφό του ο οποίος συµβολίζεται N(X ). Για µεγάλα προβλήµατα πολλών µεταβλητών σε γενικές µη γραµµικές συναρτήσεις, η BFGS υπερέχει της DFP, γιατί η τελευταία φαίνεται να χρειάζεται περισσότερο χρόνο και πράξεις, ενδεχοµένως δε να µη συγκλίνει. Γενικά στις Σχεδόν Newton µεθόδους αποδεικνύεται ότι αν η αντικειµενική συνάρτηση είναι θετικά ορισµένη τετραγωνική µορφή, τότε έχει την ιδιότητα του τετραγωνικού τερµατισµού, δηλαδή συγκλίνει σε βήµατα λιγότερα ή ίσα µε τη διάσταση του προβλήµατος και ισχύει ότι r n r n(x ) = H, αρκεί ο n(x 0 ) να είναι θετικά ορισµένος, που είναι όπως προαναφέρθηκε..5 Τετραγωνικός Προγραµµατισµός Ο Τετραγωνικός Προγραµµατισµός, (uadratc Programmng, P) αποτελεί εκείνη την υποκατηγορία προβληµάτων Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού, κατά την οποία ο βαθµός της

89 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 8 αντικειµενικής συνάρτησης είναι ίσος µε, και οι περιορισµοί του προβλήµατος είναι Γραµµικοί. Έτσι η τετραγωνική αντικειµενική συνάρτηση εκφράζεται ως εξής : max ή mn f(x) = =,,...,n j =,,...,n n = C X n n = j= X X j d j (.5) Ένας εναλλακτικός τρόπος για να εκφραστεί ένα P πρόβληµα, είναι σε µητρώα µορφή εφόσον υπάρχουν δύο µέρη που αποτελούν το πρόβληµα, το Γραµµικό µέρος και το Τετραγωνικό. T max ή mn f(x) = C X X D X (.54) µε περιορισµούς : A X b, X 0 όπου : a... an A =..... το µητρώο των συντελεστών των µεταβλητών στους περιορισµούς, a n... a nn b = (b το µητρώο των σταθερών όρων, T,..., b m ) C = (C,...,C ) το µητρώο - διάνυσµα των συντελεστών των πρωτοβάθµιων όρων, n X = (X T,..., X n ) το µητρώο - διάνυσµα των µεταβλητών, T X το ανάστροφο µητρώο του X, d... dn D =..... το συµµετρικό µητρώο των συντελεστών των δευτεροβάθµιων όρων. d n... d nn Η συνάρτηση T (X) = X D X ορίζει µία τετραγωνική µορφή. Το µητρώο D µπορεί να ληφθεί ως συµµετρικό για κάθε περίπτωση, επειδή κάθε ζεύγος των συντελεστών d j και d j ( j), µπορεί ν αντικατασταθεί από το ίσο του ( d j d j ) χωρίς να µεταβληθεί η τιµή της συνάρτησης

90 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 8 (X) (Taha, 997). Αυτή η παραδοχή παρουσιάζει πλεονεκτήµατα και γι αυτό και απαιτείται για την επίλυση της τετραγωνικής συνάρτησης. Έτσι για να γίνει πιο κατανοητό, η τετραγωνική µορφή της σχέσης (.55) που ακολουθεί 0 X (X) = [ X ], X, X 7 6 X (.55) 0 X είναι ακριβώς ίδια µε την X (X) = [ X ], X, X 7 X (.56) X όπου το µητρώο D είναι συµµετρικό στη δεύτερη περίπτωση..5. Βασικές ιδιότητες Οι βασικές ιδιότητες της τετραγωνικής µορφής (X) (Taha, 997), συνοψίζονται ως εξής : Το µητρώο (X) είναι :. Θετικά ορισµένο, αν (X) > 0 για κάθε X 0.. Θετικά ηµιορισµένο, αν (X) > 0 για κάθε X και υπάρχει X 0, τέτοιο ώστε να ισχύει (X) = 0.. Αρνητικά ορισµένο, αν - (X) είναι θετικά ορισµένο. 4. Αρνητικά ηµιορισµένο, αν - (X) είναι θετικά ηµιορισµένο. 5. Αόριστο σε όλες τις άλλες περιπτώσεις. Αποδεικνύεται ότι οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να ισχύουν οι πέντε βασικές ιδιότητες, είναι οι εξής :. Το µητρώο (X) είναι θετικά ορισµένο (ηµιορισµένο) αν οι τιµές της ελάσσονας ορίζουσας του µητρώου D είναι θετικές (µη αρνητικές).. Το (X) είναι αρνητικά ορισµένο αν η τιµή της ελάσσονας ορίζουσας του µητρώου D έχει το πρόσηµο (-), = (,,,n).. Το (X) είναι αρνητικά ηµιορισµένο αν η τιµή της ελάσσονας ορίζουσας του µητρώου D είναι µηδενική ή έχει το πρόσηµο (-), = (,,,n).

91 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 84 Με βάση τις πέντε προηγούµενες βασικές ιδιότητες και τις τρεις ικανές και αναγκαίες συνθήκες καθώς και τους ορισµούς του κεφαλαίου.4., καταλήγουµε στα εξής : Το µητρώο D είναι αρνητικά ορισµένο, αν το ζητούµενο είναι η µεγιστοποίηση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης και θετικά ορισµένο αν το ζητούµενο είναι η ελαχιστοποίηση. Η f (X) είναι ισχυρά κυρτή στο X, όταν πρόκειται για ελαχιστοποίηση και αντίστοιχα ισχυρά κοίλη για µεγιστοποίηση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης. Οι περιορισµοί είναι γραµµικοί πράγµα που εγγυάται κυρτό σύνολο λύσεων το οποίο δεν θα ίσχυε στην περίπτωση που οι περιορισµοί θα ήταν µη γραµµικοί, δηλαδή ενδεχόµενα η βέλτιστη λύση σ αυτή την περίπτωση να µην ανήκε στην περιοχή δυνατών λύσεων..5. Αλγόριθµος επίλυσης Για τη βελτιστοποίηση µιας τετραγωνικής αντικειµενικής συνάρτησης η οποία υπόκειται σε ένα πλήθος m γραµµικών περιορισµών για την πλειοψηφία των περιπτώσεων επιλέγεται ο αλγόριθµος του WOLFE (Wolfe 959, Wnston, 99). Ο αλγόριθµος αυτός αποτελεί µία τροποποιηµένη έκδοση της ης φάσης της µεθόδου SIMPLEX δύο φάσεων, η οποία εφαρµόζεται ως επόµενο βήµα µετά τις συνθήκες KKT. Το πρόβληµα πλέον έχει εκφυλιστεί από τετραγωνικό σε γραµµικό λόγω των παραγωγίσεων που έχουν λάβει χώρα κατά την εφαρµογή των συνθηκών KKT. Τα βήµατα της µεθόδου του WOLFE αναλυτικά έχουν ως εξής :. Γράφονται οι συνθήκες KΚT όπως περιγράφηκαν παραπάνω για το πρός επίλυση πρόβληµα. Εφαρµόζεται η τροποποιηµένη έκδοση της ης φάσης της µεθόδου Smplex δύο φάσεων (Bazaraa, 990, Taha, 997, Ψωινός, 99, Wnston, 99, Wolfe, 959). Τα βήµατα που ακολουθούν αναλυτικά, είναι τα εξής : Βήµα Τροποποιούνται οι περιορισµοί, έτσι ώστε το δεξί τους µέλος να είναι µη αρνητικός αριθµός. Κάθε περιορισµός µε το δεξί του µέλος αρνητικό, πολλαπλασιάζεται µε «-» και αλλάζει η φορά της ανισότητας. Βήµα Μετατρέπονται οι περιορισµοί ανισότητας στην κανονική τους µορφή, δηλαδή σε µορφή ισότητας. Αν ο περιορισµός είναι της µορφής, τότε προστίθεται µία µη αρνητική ψευδοµεταβλητή s στο αριστερό µέλος. Αν είναι της µορφής,τότε προστίθεται µία µη αρνητική ψευδοµεταβλητή µε αρνητικό πρόσηµο e στο αριστερό µέλος.

92 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 85 Βήµα Σε κάθε περιορισµό της µορφής ή = προστίθεται µία τεχνητή µεταβλητή α. Προστίθεται επίσης ο περιορισµός µη αρνητικότητας γι αυτή τη µεταβλητή, δηλαδή α 0. Βήµα 4 Το αρχικό πρόβληµα βελτιστοποίησης αντικαθίσταται από ένα πρόβληµα του οποίου η αντικειµενική συνάρτηση είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος όλων των τεχνητών µεταβλητών. ηλαδή έχει τη µορφή mnw = άθροισµα των τεχνητών µεταβλητών = α (.57) Αυτά τα βήµατα αποτελούν την η φάση της µεθόδου Smplex, από την επίλυση της οποίας οι τεχνητές µεταβλητές λαµβάνουν µηδενικές τιµές. ιακρίνονται τρεις περιπτώσεις :. Η βέλτιστη τιµή της w είναι θετική. Σ αυτή την περίπτωση το αρχικό πρόβληµα είναι αδύνατο.. Η βέλτιστη τιµή της w είναι ίση µε 0 και δεν υπάρχουν τεχνητές µεταβλητές στη βέλτιστη λύση που προκύπτει. Σ αυτή την περίπτωση έχει ολοκληρωθεί η η φάση της µεθόδου Smplex δύο φάσεων, που είναι και το ζητούµενο στον Τετραγωνικό Προγραµµατισµό.. Η βέλτιστη τιµή της w είναι ίση µε 0 και µία τουλάχιστον τεχνητή µεταβλητή συµπεριλαµβάνεται στον πίνακα SIMPLEX της βέλτιστης λύσης της ης φάσης. Σ αυτή την περίπτωση η βέλτιστη λύση βρίσκεται, αν φύγουν όλες οι µη βασικές τεχνητές µεταβλητές καθώς και κάθε µεταβλητή του αρχικού προβλήµατος, η οποία έχει αρνητικό συντελεστή στη γραµµή των C j του πίνακα. Οι περιορισµοί της µεθόδου Wolfe πάνω στην η φάση της µεθόδου SIMPLEX των δύο φάσεων είναι οι εξής : α β ε θα πρέπει σε µία βασική δυνατή λύση να περιέχονται ταυτόχρονα η µ j από τον j περιορισµό και η Χ j ως βασικές µεταβλητές, ή αλλιώς δε θα πρέπει ταυτόχρονα να είναι ίσες µε 0. Επίσης, δεν θα πρέπει µία λύση να περιέχει ταυτόχρονα την s ή e µεταβλητή του περιορισµού και τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ ως βασικές µεταβλητές ή αλλιώς δε θα πρέπει ταυτόχρονα να είναι ίσοι µε 0. Οι περιορισµοί α και β εξασφαλίζονται µη την εφαρµογή των συνθηκών KKT στην αντικειµενική συνάρτηση :

93 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 86 µ j X j = 0 (.58) λ e = λ s =0 (.59) Τέλος, όταν οι τεχνητές µεταβλητές α φύγουν από τη βάση, µπορούν να παραληφθούν από µελλοντικούς πίνακες SIMPLEX, καθώς και όλοι οι υπολογισµοί τους, γιατί δεν ξαναεισέρχονται στη βάση..5. Παράδειγµα (Wnston, 99) Έστω η παρακάτω τετραγωνική αντικειµενική συνάρτηση η οποία πρόκειται να ελαχιστοποιηθεί : mn f (X) = X X X X X,X X 0 6 X X X X X Η αντικειµενική αυτή συνάρτηση είναι κυρτή, άρα κάθε σηµείο, που ικανοποιεί τις συνθήκες KKT αποτελεί και λύση του προβλήµατος. Μετά την εφαρµογή των συνθηκών KKT και την προσθήκη των ψευδοµεταβλητών σύµφωνα µε τα παραπάνω, προκύπτει : X X λ λ µ = 0 X X λ λ µ = 0 X X s = X X e = 6 µε επιπλέον περιορισµούς µη αρνητικότητας για όλες τις µεταβλητές του προβλήµατος : λ e = 0 λ s = 0 µ X = 0 µ X = 0 Μετά την προσθήκη των τεχνητών µεταβλητών α, α και α και την εφαρµογή του αλγορίθµου Wolfe, το πρόβληµα παίρνει τη µορφή : mn w = α α α Χ Χ λ λ µ α =

94 Κεφάλαιο ο Μοντέλα Βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού 87 - X X λ λ µ α = X X s = Χ Χ e α = 6 µε επιπλέον τους τέσσερις περιορισµούς µη αρνητικότητας. Μετά την απαλοιφή των τεχνητών µεταβλητών από την αντικειµενική συνάρτηση (µηδενικοί συντελεστές), έτσι ώστε να προκύψει αρχική βασική δυνατή λύση που να περιέχει τις τεχνητές µεταβλητές α, α και α, ο αρχικός πίνακας Smplex που χρησιµοποιείται είναι ο παρακάτω : Πίνακας. Αρχικός πίνακας SIMPLEX W X X λ λ µ µ s e α α α Rhs Μετά από τέσσερις διαδοχικές επιλύσεις κατά τα γνωστά, η τιµή της w ισούται πλέον µε 0, οι τεχνητές µεταβλητές δεν περιέχονται στη βέλτιστη λύση και οι συνθήκες KKT ικανοποιούνται. Έτσι ο πίνακας της βέλτιστης λύσης είναι ο παρακάτω : Πίνακας. Πίνακας SIMPLEX βέλτιστης λύσης W X X λ λ µ µ s e α α α Rhs /5 -/5 -/5 -/5 0 /5 /5 0 / /5 /5 -/5 /5 0 -/5 /5 0 6/ /5 /5 -/5 /5 -/5 /5-6/ /5 -/5 /5 /5 0 /5 -/5 0 9/5 Σύµφωνα µε τον παραπάνω πίνακα, η βέλτιστη λύση που προκύπτει είναι η εξής : X= [Χ, Χ, λ, e ] = [9/5, 6/5, /5, 6/5]. To λ προκύπτει ίσο µε 0, κάτι που είναι αναµενόµενο γιατί e = 6/5 > 0, οπότε ισχύει η (.88). Η τιµή της f (X), προκύπτει αν στην αρχική αντικατασταθούν οι Χ και Χ, και είναι f (X) = -,.

95 . ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ. ΓΕΝΙΚΑ Ανάλυση ευαισθησίας (Senstvty analyss) είναι η µελέτη της ανταπόκρισης ενός συστήµατος στις διαταραχές που προκαλούνται σε µεταβλητές, µε τις οποίες υπάρχει συναρτησιακή σχέση (Σπυρίδης, 998). Το µαθηµατικό πρόβληµα που πρέπει να επιλυθεί στην ανάλυση ευαισθησίας είναι ο υπολογισµός των αλλαγών στη συµπεριφορά του συστήµατος που οφείλεται στις µεταβολές των παραµέτρων. Η µαθηµατική περιγραφή της ευαισθησίας µπορεί να µελετηθεί ως εξής : Έστω η συνάρτηση : F = F(X, X,..., X ) (.) n όπου X, =,,,n είναι ανεξάρτητες µεταβλητές. Αν µία από τις µεταβλητές αυτές µεταβληθεί κατά την ποσότητα X, τότε θα προκαλέσει µια µεταβολή στη συνάρτηση F, η οποία δίνεται από τη σειρά Taylor : F(X F F ( X ) X ) = F X... X (.) X! Για πολύ µικρές µεταβολές ( X 0), η σειρά Taylor (.) µπορεί να κολοβωθεί µετά το γραµµικό όρο και να γραφεί : σ F = X lm X 0 [ F( X,X,...,X X,...,X ) F( X,X,...,X,...,X )] X n n (.) όπου σ είναι ο απόλυτος συντελεστής ευαισθησίας (Franc Paul, 978), που αφορά την ανεξάρτητη µεταβλητή X.

96 Κεφάλαιο ο - Ανάλυση Ευαισθησίας 89. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Για την περίπτωση του Γραµµικού Προγραµµατισµού, µε τον όρο ανάλυση ευαισθησίας εννοείται η µελέτη του τρόπου µε τον οποίο µεταβάλλονται η βέλτιστη λύση και η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης, όταν µεταβάλλονται οι σταθερές ενός µοντέλου Γραµµικού Προγραµµατισµού (Ψωινός, 99). Η ανάλυση ευαισθησίας έχει ιδιαίτερη σηµασία, αν ληφθεί υπόψη ότι ένα µοντέλο Γραµµικού Προγραµµατισµού καταλήγει σχεδόν πάντα στη λήψη αποφάσεων. Συνεπώς η δυνατότητα προεκτίµησης των µεταβολών στις τιµές των µεταβλητών και της βέλτιστης λύσης, όταν µεταβάλλονται οι διάφορες σταθερές του µοντέλου, είναι όχι µόνο χρήσιµη, αλλά και αναγκαία. Η ανάλυση ευαισθησίας είναι αρκετή, όταν διερευνάται η επίδραση της µεταβολής µιας µόνο σταθερής. Όταν, όµως, µελετάται η ταυτόχρονη επίδραση της µεταβολής πολλών σταθερών π.χ. όλων των συντελεστών b ή C j στην τιµή της βέλτιστης λύσης, τότε η σχετική ανάλυση είναι γνωστή ως Παραµετρικός Προγραµµατισµός (Parametrc Programmng). Επίσης, αν οι µεταβολές στις σταθερές του µοντέλου είναι τυχαίες και θεωρηθεί ότι αυτές ακολουθούν κάποια συνάρτηση πιθανότητας, τότε οδηγούν σε αναλύσεις που αποτελούν το Στοχαστικό Προγραµµατισµό (Stochastc Programmng). Αυτό που ενδιαφέρει είναι πως επηρεάζονται τα διάφορα στοιχεία του πίνακα SIMPLEX της βέλτιστης λύσης κατά την αλλαγή των συντελεστών του. Μπορεί, εποµένως, να λυθεί το πρόβληµα από την αρχή, αλλά καλό θα είναι να αποφεύγεται αυτό ιδιαίτερα αν µελετάται η επίδραση από τη µεταβολή µιας µόνο σταθερής. Στη συνέχεια γίνεται η διερεύνηση του φάσµατος των τιµών των συντελεστών a j, C j, m και n και των σταθερών όρων b που δε µεταβάλλουν τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος... Επίδραση από αλλαγές στους συντελεστές C j Τα ερωτήµατα, που τίθενται κατά την αλλαγή των συντελεστών C j της αντικειµενικής συνάρτησης είναι δύο :. Παραµένει η ίδια βέλτιστη λύση, εφόσον οι συντελεστές C j των µη βασικών µεταβλητών γίνουν C j ;

97 Κεφάλαιο ο - Ανάλυση Ευαισθησίας 90. Ποια επίδραση έχει η αλλαγή του συντελεστή C j µιας βασικής µεταβλητής στη βέλτιστη λύση ; Σε ότι αφορά στο πρώτο ερώτηµα µε βάση τα όσα έχουν διατυπωθεί στο κεφάλαιο, αν η νέα αξία (Z j - C j ) της µεταβλητής X j είναι αρνητική (< 0) για µοντέλο µεγιστοποίησης ή θετική (> 0) για µοντέλο ελαχιστοποίησης, η βέλτιστη λύση καταστρέφεται και θα πρέπει να προσδιοριστεί νέα λύση. Αυτό σηµαίνει ότι η βέλτιστη λύση δεν καταστρέφεται, αν για τους συντελεστές C j των µη βασικών µεταβλητών ισχύει : ' j C Z για µοντέλο µεγιστοποίησης και ' j j C > Z για µοντέλο ελαχιστοποίησης. j Στην περίπτωση του δεύτερου ερωτήµατος, οι συντελεστές των βασικών µεταβλητών συµβολίζονται µε C B. Κάθε Z j περιλαµβάνει έναν όρο που δηµιουργείται από το γινόµενο του συντελεστή C B της βασικής µεταβλητής X B ( =,,,m) µε την τιµή του y j όπως προκύπτει από τον πίνακα.. Άρα οι αξίες Z j όλων των µη βασικών µεταβλητών X j επηρεάζονται από τη µεταβολή του συντελεστή C B εκτός κι αν συµβεί η τιµή του αντίστοιχου y j να είναι ίση µε το µηδέν. H αξία µιας βασικής µεταβλητής δεν αλλάζει, όταν µεταβάλλεται ο συντελεστής της C B, επειδή το αντίστοιχο διάνυσµα στον πίνακα SIMPLEX είναι µοναδιαίο. Αυτό σηµαίνει ότι η αξία θα είναι ίση µε το µηδέν για οποιαδήποτε νέα τιµή του συντελεστή C B. Εποµένως, αν ο νέος συντελεστής της βασικής µεταβλητής X B είναι ο C B, η βέλτιστη λύση δεν καταστρέφεται από την αξία της µη βασικής µεταβλητής X j για τις εξής περιπτώσεις : Για το µοντέλο µεγιστοποίησης ισχύει ( Z C ) ( C C ) y 0 j j B ' B. Συγκεκριµένα : j. Αν y j > 0, τότε C ' B C B Z j C y j j. Αν y j < 0, τότε C ' B C B Z j C y j j Για το µοντέλο ελαχιστοποίησης ισχύει ( Z C ) ( C C ) y 0 j j B ' B. Συγκεκριµένα : j. Αν y j > 0, τότε C ' B C B Z j C y j j

98 Κεφάλαιο ο - Ανάλυση Ευαισθησίας 9. Αν y j < 0, τότε C ' B C B Z j C y j j Έστω ότι P j είναι το µη βασικό διάνυσµα των συντελεστών της µη βασικής µεταβλητής X j. Mπορεί να υπολογιστεί µία τιµή για κάθε C B για την οποία η βέλτιστη λύση παραµένει αµετάβλητη. Αν C B και ' CB είναι αντίστοιχα το ανώτερο και κατώτερο όριο του C B, που προκύπτουν από όλα τα µη βασικά διανύσµατα P, j τότε το πεδίο τιµών του C B για το οποίο δε µεταβάλλεται η βέλτιστη λύση ορίζεται για την περίπτωση του µοντέλου µεγιστοποίησης από τις τιµές :. Για y j < 0 και για όλα τα µη βασικά διανύσµατα P j, C B = mn C B Z j C j y j. Για y j > 0 και για όλα τα µη βασικά διανύσµατα P, j C ' B = max C B Z j C j y j όπου είναι ο δείκτης των βασικών µεταβλητών και j ο δείκτης των µη βασικών διανυσµάτων. Αν ο νέος συντελεστής C B είναι είτε µεγαλύτερος του πρέπει να προσδιοριστεί νέα βέλτιστη λύση. C B είτε µικρότερος του ' CB αλγεβρικά, τότε Αντίστοιχα για την περίπτωση της ελαχιστοποίησης οι σχέσεις που προκύπτουν έχουν ως εξής :. Για y j > 0 και για όλα τα µη βασικά διανύσµατα P, j C B = mn C B Z j C j y j. Για y j < 0 και για όλα τα µη βασικά διανύσµατα P j, C ' B = max C B Z j C j y j

99 Κεφάλαιο ο - Ανάλυση Ευαισθησίας 9 όπου και j οπως ορίστηκαν προηγούµενα... Επίδραση από τις αλλαγές στους σταθερούς όρους b Η επίδραση από τις αλλαγές στους σταθερούς όρους b, οι οποίοι είναι τα δεξιά µέλη των περιορισµών, µπορεί εύκολα να µελετηθεί, γιατί οι µεταβολές αυτές επηρεάζουν µόνο τις τιµές των λύσεων των βασικών µεταβλητών X B και την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης f (X), λόγω των εξισώσεων : X = B P 0 f (X) = C B, P 0 και αντίστοιχα. όπου X Το µητρώο διάνυσµα των µεταβλητών, B Το αντίστροφο µητρώο των διανυσµάτων της βάσης, τάξης m, P 0 C Το µητρώο διάνυσµα των σταθερών όρων b και Το µητρώο διάνυσµα των συντελεστών της αντικειµενικής συνάρτησης. Οι αξίες των µη βασικών µεταβλητών δεν επηρεάζονται από τις αλλαγές των σταθερών όρων b και η βάση που αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση παραµένει η ίδια. Έστω ότι µετά τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης, µεταβάλλεται ο σταθερός όρος b του διανύσµατος P 0 οπότε αυτό γίνεται της B, η νέα βέλτιστη λύση είναι ' P 0. Επειδή η µεταβολή του όρου b δεν επηρεάζει την τιµή X ' = B P ' 0 ενώ η νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι ' f (X ) = C X ' Άρα η νέα βέλτιστη λύση υπολογίζεται απευθείας αφού η βρίσκεται στις θέσεις των διανυσµάτων, που αποτελούν τη µοναδιαία βάση της αρχικής λύσεως. Αν η λύση αυτή είναι δυνατή είναι και η βέλτιστη, γιατί οι αξίες (Z j C j ) δεν επηρεάζονται από τους όρους b. Αν όµως B

100 Κεφάλαιο ο - Ανάλυση Ευαισθησίας 9 η λύση δεν είναι δυνατή, τότε χρησιµοποιείται η δυϊκή µέθοδος SIMPLEX για τον προσδιορισµό της νέας βασικής λύσης (Ψωινός, 99)... Επίδραση από τις αλλαγές στους συντελεστές a j ιακρίνονται δύο περιπτώσεις :. Το διάνυσµα P j του οποίου τα στοιχεία a j µεταβάλλονται είναι µη βασικό διάνυσµα. Στην περίπτωση αυτή, η επίδραση από την αλλαγή των συντελεστών a j εξαρτάται από την τιµή της νέας αξίας : Z j C j = C B P j Ανάλογα, λοιπόν, µε τον τύπο του µοντέλου ελέγχεται, αν καταστρέφεται ή όχι η βέλτιστη λύση.. Το διάνυσµα P j είναι βασικό διάνυσµα και γίνεται νέα λύση προσδιορίζεται στη συνέχεια ως εξής : ' P. j Η βέλτιστη λύση µεταβάλλεται και η Προστίθεται στην αντικειµενική συνάρτηση το διάνυσµα ' P, j ως µη βασικό διάνυσµα, µε συντελεστή C j και πολλαπλασιάζεται το βασικό διάνυσµα P j µε ένα συντελεστή Μ, αν πρόκειται για πρόβληµα µεγιστοποίησης, ή µε ένα συντελεστή Μ, αν πρόκειται για πρόβληµα ελαχιστοποιήσεως, όπου Μ είναι ένας µεγάλος θετικός αριθµός. Ο συντελεστής αυτός οδηγεί το βασικό διάνυσµα P j να βγει από τη βάση και να προσδιοριστεί η νέα βασική λύση κατά τα γνωστά...4 Επίδραση από την προσθήκη ή αφαίρεση µεταβλητών ή περιορισµών..4. Μεταβλητές. Προσθήκη µεταβλητής : Για να ληφθεί υπόψη κάποια εναλλακτική δραστηριότητα στο πρόβληµα βελτιστοποίησης µε Γραµµικό Προγραµµατισµό, απαιτείται η εισαγωγή µιάς νέας µεταβλητής στην αντικειµενική συνάρτηση και στους περιορισµούς µε τους κατάλληλους συντελεστές. Έστω Χ n η νέα µεταβλητή, P n το διάνυσµα των συντελεστών στους περιορισµούς και C n ο συντελεστής στην αντικειµενική συνάρτηση. Αν η αξία (Ζ n - C n ) της νέας µεταβλητής, η οποία ισούται µε C B P n Cn ικανοποιεί το κριτήριο βελτιστοποίησης, η προσθήκη της νέας µεταβλητής δεν έχει καµία επίδραση. ιαφορετικά,

101 Κεφάλαιο ο - Ανάλυση Ευαισθησίας 94 χρειάζεται να προσδιοριστεί νέα βέλτιστη λύση, εισάγοντας το διάνυσµα P n στη βάση και εφαρµόζοντας τη µέθοδο SIMPLEX.. Αφαίρεση µεταβλητής : ιακρίνονται οι παρακάτω περιπτώσεις ανάλογα µε το αν η µεταβλητή είναι βασική ή όχι. α) Αν η προς αφαίρεση µεταβλητή είναι µη βασική, η βέλτιστη λύση παραµένει η ίδια. β) Αν η µεταβλητή είναι βασική, εισάγεται συντελεστής της µεταβλητής στην αντικειµενική συνάρτηση (-Μ ή Μ, ανάλογα µε τον τύπο του µοντέλου) ο οποίος εξαναγκάζει τη µεταβλητή να βγει από τη βάση εώς ότου βρεθεί βέλτιστη λύση. Αν η µεταβλητή αυτή δε βγει µε τους µετασχηµατισµούς, σηµαίνει ότι η αφαίρεση της µεταβλητής καθιστά τους περιορισµούς ασυµβίβαστούς και δεν είναι δυνατό να υπάρξει λύση...4. Περιορισµοί Το πρόβληµα της προσθέσεως ή αφαιρέσεως ενός νέου περιορισµού στο Γραµµικό µοντέλο είναι ισοδύναµο µε την προσθήκη ή αφαίρεση µεταβλητών στο δυϊκό του, οπότε δε χρειάζεται ιδιαίτερη µνεία αφού το κεφάλαιο αυτό έχει καλυφθεί από τα προηγούµενα. Όµως, ειδικά για την περίπτωση της προσθήκης ενός περιορισµού, υπάρχει µία µέθοδος που αποφεύγει την επίλυση µέσω του δυϊκού µοντέλου (Ψωινός, 99). ιακρίνονται δύο περιπτώσεις: α) Αν κατά την αντικατάσταση των τιµών της βέλτιστης λύσης στο νέο περιορισµό, αυτός ικανοποιείται δε χρειάζεται καµιά περαιτέρω ενέργεια (Ψωινός, 99). β) Αν ο περιορισµός δεν ικανοποιείται, προστίθεται µία ψευδοµεταβλητή ή τεχνητή µεταβλητή ανάλογα µε το είδος του περιορισµού και θεωρείται βασική. Στη συνέχεια επιλύεται το πρόβληµα µε την αναθεωρηµένη µέθοδο SIMPLEX, κατά τα γνωστά (Ψωινός, 99).

102 4. ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ 4. ΓΕΝΙΚΑ Με τον όρο ιαχείριση Υδατικών Πόρων, ορίζεται ο κλάδος εκείνος της επιστήµης, που ασχολείται µε το σύνολο των επιχειρησιακών πράξεων, µέτρων και δραστηριοτήτων, που είναι απαραίτητες στο βέλτιστο σχεδιασµό της λειτουργίας των υδατικών συστηµάτων. Η µεγάλη ποικιλία των χρήσεων του νερού σε συνδυασµό µε τους πολλούς επιδιωκόµενους στόχους, δηµιουργεί ένα πολυδιάστατο πρόβληµα µε πολλές εναλλακτικές και συχνά αντικρουόµενες λύσεις. Ο µεγάλος αυτός αριθµός εναλλακτικών λύσεων σεναρίων, περιορίζει τη δυνατότητα άµεσης διάκρισης της βέλτιστης λύσης και οδηγεί στη χρησιµοποίηση της λογικής των µεθόδων ανάλυσης συστηµάτων. Στην υδραυλική µε τον όρο ανάλυση συστήµατος, χαρακτηρίζεται η ορθολογική προσέγγιση των αποφάσεων για τη διευθέτηση των υδατικών πόρων µιας περιοχής. Η ανάλυση συστήµατος βασίζεται στη συστηµατική οργάνωση και ανάλυση των σχετικών µε το πρόβληµα αλλά και το σύστηµα πληροφοριών. Οι βασικότερες µέθοδοι ανάλυσης συστηµάτων είναι η προσοµοίωση και η βελτιστοποίηση. Οι µέθοδοι αυτές αξιολογούν, µε διαφορετική διαδικασία η καθεµία, τις εναλλακτικές λύσεις (σενάρια διαχείρισης) και καταλήγουν, µετά από σύγκριση των επιµέρους λύσεων, στη βέλτιστη από αυτές. 4. ΜΟΝΤΕΛΑ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΣΤΗΝ ΥΠΟΓΕΙΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Ο συνδυασµός µοντέλων προσοµοίωσης και βελτιστοποίησης, είναι επιτακτικός για την εύρεση της βέλτιστης λύσης λειτουργίας των υδατικών συστηµάτων στον ευρύτερο χώρο της υδραυλικής, των εγγείων βελτιώσεων και της διαχείρισης των υδατικών πόρων. Ο συνδυασµός και η παράλληλη λειτουργία των δύο αυτών κατηγοριών µοντέλων, προσοµοίωσης και βελτιστοποίησης, γίνεται µε τα µοντέλα διαχείρισης. Τα µοντέλα αυτά είναι ο συνδετικός κρίκος ανάµεσα στα µοντέλα προσοµοίωσης µε τα οποία γίνεται η επίλυση του

103 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 96 υδροδυναµικού προβλήµατος µε µία από τις µεθόδους των πεπερασµένων διαφορών, των πολλαπλών κελιών και των πεπερασµένων στοιχείων και στα µοντέλα βελτιστοποίησης, τα οποία βασίζονται στο Μαθηµατικό Προγραµµατισµό (Γραµµικό, Ακέραιο, Τετραγωνικό και Μη Γραµµικό Προγραµµατισµό). Τα µοντέλα διαχείρισης υπόγειων υδροφορέων χωρίζονται σε δύο κατηγορίες που χαρακτηρίζονται ανάλογα µε τη µέθοδο που χρησιµοποιείται για τη σύνδεση των δύο επιµέρους µοντέλων προσοµοίωσης και βελτιστοποίησης. Η πρώτη κατηγορία χρησιµοποιεί την άµεση µέθοδο ή µέθοδο ενσωµάτωσης (embeddng matrx method) και η δεύτερη κατηγορία, τη µέθοδο του µητρώου ανταπόκρισης (response matrx method). 4.. Μέθοδος Ενσωµάτωσης (Embeddng matrx method) Με τη µέθοδο ενσωµάτωσης ή άµεση µέθοδο, το γραµµικό σύστηµα των εξισώσεων ροής που προκύπτει από τις µεθόδους προσοµοίωσης (πεπερασµένες διαφορές, πεπερασµένα στοιχεία), µετατρέπεται σε σύστηµα ανισοτήτων και αντιµετωπίζεται ως µέρος των περιορισµών στους οποίους υπόκειται το µοντέλο βελτιστοποίησης. Συνδυάζεται µε την αντικειµενική συνάρτηση, η οποία έχει να κάνει µε ελαχιστοποίηση κόστους ή µεγιστοποίηση παροχής για τη διατύπωση του προβλήµατος της διαχείρισης. Μεταβλητές απόφασης του προβλήµατος µπορεί να είναι η τιµή του υδραυλικού φορτίου σε κάθε κόµβο του δικτύου διακριτοποίησης ή οι τοπικές φορτίσεις των στοιχείων, όπως άντληση ή επαναπλήρωση. Οπως σηµειώνει ο Gorelc (98), αν και υπάρχουν αρκετά µοντέλα διαχείρισης που επιλύθηκαν µε επιτυχία µε τη µέθοδο ενσωµάτωσης, δεν έχουν αναφερθεί επιλύσεις προβληµάτων µεγάλης κλίµακας, επειδή σχηµατίζονται τεράστια µητρώα και αριθµητικές δυσκολίες κατά τη χρήση εµπορικών προγραµµάτων επίλυσης προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Ουσιαστικά, η µέθοδος αυτή δεν είναι κατάλληλη για την αντιµετώπιση προβληµάτων µη µόνιµης ροής. 4.. Μέθοδος του µητρώου ανταπόκρισης (response matrx method) Η µέθοδος του µητρώου ανταπόκρισης, η οποία χρησιµοποιείται από την πλειοψηφία των µοντέλων διαχείρισης, έχει επικρατήσει ως η µέθοδος σύνδεσης ανάµεσα στα µοντέλα προσοµοίωσης και βελτιστοποίησης. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, ένα εξωτερικό αριθµητικό µοντέλο προσοµοίωσης χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό συντελεστών, καθένας από τους οποίους αντιστοιχίζει µοναδιαίες τιµές της παροχής άντλησης σε ένα σηµείο του υδροφορέα µε πτώσεις στάθµης στα υπόλοιπα. Το αποτέλεσµα της οργάνωσης όλων αυτών των συντελεστών ονοµάζεται µητρώο ανταπόκρισης και περιέχεται στο µοντέλο διαχείρισης σαν υποκατάστατο του

104 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 97 µοντέλου προσοµοίωσης (Gorelc, 98 Θεοδοσίου, 994 Ψιλοβίκος, 996). Ο υπολογισµός του µητρώου ανταπόκρισης βασίζεται στην παραδοχή της χωρικής επαλληλίας για τα µόνιµα προβλήµατα ή της χωρικής σε συνδυασµό µε τη χρονική επαλληλία για τα µη µόνιµα προβλήµατα. To αποτέλεσµα µε τη µέθοδο αυτή είναι η ελάττωση του µεγέθους των µητρώων, το οποίο επιτυγχάνεται µε τη διατύπωση συνθηκών µόνο στα σηµεία ελέγχου (control ponts), που ενδιαφέρουν. Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας (superposton) ισχύουν τα παρακάτω : Ο πολλαπλασιασµός της παροχής άντλησης ενός πηγαδιού µε έναν συντελεστή α επιφέρει πτώση της στάθµης σ ένα ορισµένο σηµείο του υδροφορέα ανάλογη µε το συντελεστή αυτό. Η πτώση της στάθµης, η οποία προκαλείται σ ένα σηµείο εξαιτίας της άντλησης από περισσότερα από ένα πηγάδια, είναι το άθροισµα της πτώσης στάθµης, η οποία προκαλείται από το καθένα από τα πηγάδια αυτά ξεχωριστά. Αν σε µία περιοχή βρίσκονται j διαχειριζόµενα πηγάδια (managed wells), το πιεζοµετρικό ύψος Η σ ένα σηµείο, θα δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις : Περίπτωση µόνιµης ροής N H = U α (4.) j= j j όπου :,, control σηµεία ελέγχου (control ponts) j,,j max πηγάδια άντλησης Η U το πιεζοµετρικό ύψος στο σηµείο, όταν λειτουργούν τα διαχειριζόµενα πηγάδια, το πιεζοµετρικό ύψος στο σηµείο, όταν δε λειτουργούν τα διαχειριζόµενα πηγάδια, α j πτώση στάθµης στο σηµείο από µια µοναδιαία καταπόνηση (παροχή) του πηγαδιού j, j παροχή στο πηγάδι j. Περίπτωση µη µόνιµης ροής Για τη µη µόνιµη ροή ισχύει ο τύπος M n s (, n) = β(, j, n ) (, j) (Maddoc III, 97) (4.) j= =

105 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 98 Η εξίσωση (4.) λέγεται Αλγεβρική Τεχνική Συνάρτηση (Algebrac Technologcal Functon ATF) και αποτελεί τη θεµελιώδη συνάρτηση για τη διατύπωση της µεθόδου του µητρώου ανταπόκρισης και του νόµου της επαλληλίας στο χώρο και στο χρόνο (space and tme superposton), (Ψιλοβίκος, 996, Pslovos and Tzmopoulos, 998). Κατ αναλογία µε την εξίσωση (4.) η εξίσωση (4.) γράφεται (Ψιλοβίκος, 996) : T N T T H = U α (4.) = j= T ( ) j j όπου =,,T Τ T Η Τ U Τ-(-) α j j χρονικό βήµα, π.χ. ο µήνας, ο τελευταίος µήνας στον οποίο ελέγχεται η επαναφορά της πιεζοµετρίας, το πιεζοµετρικό ύψος στο σηµείο, στο τέλος του µήνα Τ όταν αντλούνται τα διαχειριζόµενα πηγάδια, το πιεζοµετρικό ύψος στο σηµείο στο τέλος του µήνα Τ όταν δεν αντλούνται τα διαχειριζόµενα πηγάδια, η πτώση φορτίου σε κάθε πηγάδι ελέγχου στο τέλος του µήνα Τ που οφείλεται σε µια µοναδιαία τιµή της παροχής άντλησης από το j πηγάδι κατά τη διάρκεια του µήνα, παροχή στο πηγάδι j η οποία αντλείται το µήνα. Η εξίσωση (4.), πλεονεκτεί έναντι της εξίσωσης (4.), γιατί υπεισέρχεται σε αυτή και ο παράγοντας χρόνος. Η φιλοσοφία της µεθόδου του µητρώου ανταπόκρισης στο χώρο και στο χρόνο γίνεται καλύτερα αντιληπτή µε το παράδειγµα που ακολουθεί : 4.. Εφαρµογή της µεθόδου του µητρώου ανταπόκρισης. Χωρική και χρονική επαλληλία. Έστω ότι σε µία περιοχή υπάρχουν πηγάδια, που αντλούνται σε µήνες. Εξετάζεται το κάθε πηγάδι χωριστά µε εφαρµογή µοναδιαίων παροχών και το κάθε χρονικό βήµα επιλέγεται ίσο µε µήνα. Αν αντληθεί µία παροχή ( () ) από το πηγάδι στον πρώτο µήνα, οι πτώσεις φορτίου στα πηγάδια,,, λόγω άντλησης στο µήνα αυτό θα είναι α, α αντίστοιχα, όπου ο () (), α,, (), εκθέτης δείχνει το χρονικό βήµα ενώ οι δείκτες και οι συµβολισµοί είναι ίδιοι µε αυτούς της εξίσωσης (4.). Οµοίως αν αντληθεί µια παροχή ( () ) από το πηγάδι και µια παροχή ( () )

106 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 99 από το πηγάδι στον πρώτο µήνα, οι πτώσεις φορτίου στα πηγάδια,,, λόγω άντλησης στο µήνα αυτό θα είναι ίσες µε α () (), α,,, α (), και α, α αντίστοιχα. () (), α,, (), Η επίδραση των αντλήσεων επεκτείνεται και στους αµέσως επόµενους µήνες µε έντονα φθίνουσες όµως τάσεις. ηλαδή η µοναδιαία άντληση από το πηγάδι στον πρώτο µήνα ( () ), θα προκαλέσει πτώσεις στάθµης στο δεύτερο µήνα ίσες µε α, α, για τα πηγάδια,, () (), α,, αντίστοιχα. To δεύτερο µήνα όµως οι πτώσεις της στάθµης στα πηγάδια δεν οφείλονται µόνο στην άντληση που λαµβάνει χώρα στον προηγούµενο µήνα αλλά και στον συγκεκριµένο µήνα. Επειδή όλα τα χρονικά διαστήµατα θεωρούνται ίσης διάρκειας (µήνες), και η παροχή άντλησης µοναδιαία, οι πτώσεις στάθµης που λαµβάνουν χώρα κάθε µήνα λόγω άντλησης στο συγκεκριµένο αυτό µήνα, θα είναι ίσες µε αυτές που συνέβησαν τον πρώτο µήνα, δηλαδή α, α. () (), α,, (), (), Γενικά, οι πτώσεις στάθµης στον οποιοδήποτε µήνα λόγω µοναδιαίας άντλησης κατά το συγκεκριµένο αυτό µήνα, είναι πάντα ίδιες και είναι ίσες µε α, α. () (), α,, (), Αν οι πτώσεις φορτίου και οι αντλήσεις ταξινοµηθούν υπό µορφή πινάκων, θα γίνει καλύτερα αντιληπτή η εφαρµογή της µεθόδου του µητρώου ανταπόκρισης για την περίπτωση της χωρικής και χρονικής επαλληλίας : Πίνακας 4. Πτώση φορτίου στα πηγάδια στο τέλος του ου µήνα λόγω άντλησης στον ο µήνα ΑΝΤΛΗΣΕΙΣ Πτώση φορτίου ο πηγάδι ο πηγάδι ο πηγάδι () () ( () ( () ( ) ο πηγάδι α ) ο πηγάδι α ) ο πηγάδι α α () ( ) ( ) () () () () α α α α α () () () () () () () Πίνακας 4. Πτώση φορτίου στα πηγάδια στο τέλος του ου µήνα λόγω άντλησης στον ο µήνα ΑΝΤΛΗΣΕΙΣ Πτώση φορτίου ο πηγάδι ο πηγάδι ο πηγάδι () () ( () ( () ( ) ο πηγάδι α ) ο πηγάδι α ) ο πηγάδι α α () ( ) ( ) () () α () () α α α α () () () () () () ()

107 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 00 Πίνακας 4. Πτώση φορτίου στα πηγάδια στο τέλος του ου µήνα λόγω άντλησης στο ο µήνα ΑΝΤΛΗΣΕΙΣ Πτώση φορτίου ο πηγάδι ο πηγάδι ο πηγάδι () () ( ) ο πηγάδι α () () ο πηγάδι α () () ο πηγάδι α α α α () () () () () () () α α α () () () () () () () Η εξίσωση (4.), για το συγκεκριµένο παράδειγµα, µπορεί να γραφεί υπό µορφή µητρώων ως εξής : h h h h h h () () () () () () α α α = α α α (), (), (), (), (), (), α α α α α α (), (), (), (), (), (), α α α α α α (), (), (), (), (), (), α α α (), (), (), α α α (), (), (), () α, () α, () α, () () () () () () (4.4) όπου h () = U () () H η πτώση φορτίου στο πηγάδι ελέγχου κατά την περίοδο άντλησης. Ο πίνακας που περιέχει τις µοναδιαίες πτώσεις φορτίου α στη σχέση (4.4), είναι ο πίνακας ανταπόκρισης (response matrx). Σε γενικές γραµµές, αν θεωρηθεί ότι =,,,T οι µήνες άντλησης =,,, control τα πηγάδια ελέγχου j =,,,j max τα αντλούµενα πηγάδια ο πίνακας (4.4) παίρνει τη µορφή : h h h () () (T) α α =... α () () (T) α α 0 () () () (T ) () (T) α (4.5) όπου :

108 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 0 () h () h h = (4.6). h control [T ( )] α, α,... α, j max [T ( )],,... α α α, jmax α = (4.7) α control, α control,... α control, jmax () () = (4.8). j max Έτσι για παράδειγµα στο τέλος του ου µήνα η συνολική πτώση φορτίου στο ο πηγάδι που οφείλεται στην άντληση και από τα τρία πηγάδια θα είναι ίση µε : () () () () () () () () () () () () () h = { α α α } { α α α } (4.9),,,,,, 4. ΣΥΝ ΥΑΣΜΕΝΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΥΠΟΓΕΙΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Οπως αναλυτικά περιγράφηκε προηγούµενα, ένα ολοκληρωµένο µοντέλο διαχείρισης το οποίο εφαρµόζεται στην υπόγεια υδραυλική, αποτελείται από τα :. Μοντέλο προσοµοίωσης. Μοντέλο διαχείρισης. Μοντέλο βελτιστοποίησης Το δεύτερο µοντέλο θα µπορούσε να παραληφθεί, γιατί τελικά το µοντέλο διαχείρισης λειτουργεί ως συνολικός διαχειριστής του µοντέλου προσοµοίωσης και βελτιστοποίησης, όπως αναλύεται στην Παράγραφο 4.5 και φαίνεται στο Σχήµα 4., άρα τα βήµατα µπορούν να γραφούν και ως εξής :

109 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 0 ΜΟΝΤΕΛΟ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ. Μοντέλο προσοµοίωσης. Μοντέλο βελτιστοποίησης 4.. Μοντέλο Προσοµοίωσης Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιήθηκε το µοντέλο προσοµοίωσης MODFLOW, µε το οποίο γίνεται η επίλυση του υδροδυναµικού προβλήµατος µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών. Χρησιµοπείται το πρόγραµµα κέλυφος PM (PROCESSING MODFLOW) που έχει δηµιουργηθεί από τους Chang & Knzelbach (99), το οποίο έχει τη δυνατότητα εισαγωγής των δεδοµένων και εξαγωγής των αποτελεσµάτων µέσω γραφικού περιβάλλοντος και είναι πολύ ευέλικτο και εύχρηστο σε αντίθεση µε το GROUND (Ψιλοβίκος, 994), µε το οποίο όλα τα δεδοµένα και τ αποτελέσµατα δίνονται υπό µορφή αρχείων. 4.. Μοντέλο ιαχείρισης Το µοντέλο διαχείρισης, που χρησιµοποιείται είναι το MODMAN, βασίζεται στη µέθοδο του µητρώου ανταπόκρισης και στην εφαρµογή του συνδυασµού των µεθόδων της χωρικής και χρονικής επαλληλίας. Το MODMAN παρουσιάζει ορισµένα µειονεκτήµατα και πλεονεκτήµατα τα οποία επικεντρώνονται στα εξής : Συγκεκριµένα αντιµετωπίζει µόνο γραµµικά και γραµµικοποιηµένα προβλήµατα και δεν µπορεί να αντιµετωπίσει προβλήµατα που περιέχουν φαινόµενα µεταφοράς. Επίσης, παρουσιάζει αδυναµία στην αντιµετώπιση οικονοµικών ερωτηµάτων, όπως για παράδειγµα, ελαχιστοποίηση του κόστους λειτουργίας ενός συνόλου γεωτρήσεων (Ψιλοβίκος, 996), καθώς επίσης και µέτρια εργονοµία, εφόσον λειτουργεί σε περιβάλλον DOS. Όµως το MODMAN παρουσιάζει και ορισµένα πλεονεκτήµατα που αφορούν στην επίλυση προβληµάτων µόνιµης και µη µόνιµης ροής, τριδιάστατων ροών, ανισότροπων υδροφορέων και επίλυση προβληµάτων ακέραιου προγραµµατισµού (πρόγραµµα διαχείρισης). Οι απαιτήσεις του σε hardware είναι περιορισµένες. Τέλος, έχει τη δυνατότητα επικοινωνίας µε προγράµµατα τα οποία υποστηρίζουν το MODFLOW (PROCESSING MODFLOW) για παρουσίαση αποτελεσµάτων υδατικού ισοζυγίου, ισοπιεζοµετρικών καµπυλών και επίσης µε προγράµµατα βελτιστοποίησης Μαθηµατικού Προγραµµατισµού όπως το LINDO, το

110 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 0 MINOS, και το WHAT'S BEST, µέσω του αρχείου MPS που δηµιουργείται και το οποίο θα αναλυθεί στα επόµενα καφάλαια. Οι τύποι των αντικειµενικών συναρτήσεων οι οποίες µπορούν να χρησιµοποιηθούν, είναι της παρακάτω µορφής : 4... Τύποι αντικειµενικών συναρτήσεων α) Αντικειµενικές συναρτήσεις που αναφέρονται σε παροχές Είναι της µορφής : N = C = Max / Mn (4.0) όπου C είναι οι συντελεστές κόστους και είναι οι παροχές. Σε περίπτωση άντλησης οι παροχές λαµβάνονται µε αρνητικό πρόσηµο. Έτσι για την περίπτωση ελαχιστοποίησης του κόστους, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης θα πρέπει να γίνει µέγιστη, ενώ αν το ζητούµενο είναι η µεγιστοποίηση της παροχής, η τιµή της θα πρέπει να γίνει ελάχιστη. Στην περίπτωση της επαναφόρτισης όπου οι παροχές λαµβάνονται µε θετικό πρόσηµο, ισχύουν τ αντίθετα. Αν οι συντελεστές κόστους C τεθούν ίσοι µε τη µονάδα, το πρόβληµα της βελτιστοποίησης του κόστους είναι ταυτόσηµο µε αυτό της βελτιστοποίησης των παροχών και όλα τα πηγάδια θεωρούνται ισοβαρή κατά την κατάστρωση της αντικειµενικής συνάρτησης. Μερικά προβλήµατα βελτιστοποίησης, είναι τα εξής : Προβλήµατα ελαχιστοποίησης Τα προβλήµατα αυτής της κατηγορίας επικεντρώνονται στην άντληση της µέγιστης δυνατής ποσότητας νερού, όπου αυτό είναι ένα κλασσικό πρόβληµα ύδρευσης άρδευσης, και στην εύρεση της ελάχιστης δυνατής επαναφόρτισης σε προβλήµατα υφαλµύρωσης και εποχιακής αποθήκευσης νερού. Προβλήµατα µεγιστοποίησης Αυτή η κατηγορία προβληµάτων έχει ως αντικείµενο την ελαχιστοποίηση της άντλησης λόγω προστασίας του υδροφορέα από ρυπαντές και τη µεγιστοποίηση της αποθήκευσης µε εκµετάλλευση των πληµµυρών και εποχιακή αποθήκευση του νερού.

111 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 04 β) Ελαχιστοµέγιστες αντικειµενικές συναρτήσεις Σαν γενικό παράδειγµα σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να θεωρηθεί ότι µε δεδοµένες ορισµένες ανάγκες, ποια είναι η ελάχιστη πτώση της πιεζοµετρίας σ ένα ορισµένο σηµείο. Για την πλειοψηφία των προβληµάτων χρησιµοποιούνται αντικειµενικές συναρτήσεις της µορφής α). Οι τύποι των περιορισµών δοµής που χρησιµοποιούνται απο το πρόγραµµα MODMAN, για την περίπτωση του προβλήµατος βελτιστοποίησης είναι της παρακάτω µορφής : α) Περιορισµοί που χρησιµοποιούν την αρχή της επαλληλίας Οι εξισώσεις H = U N j= α j j H T = U T T N = j= α T ( ) j j οι οποίες ισχύουν για µόνιµη και µη µόνιµη ροή αντίστοιχα, µπορούν να χρησιµεύσουν για τη διατύπωση περισσότερων συνθηκών ως εξής : I. Περιορισµοί της πιεζοµετρίας σ ένα σηµείο (κελί) II. Περιορισµοί της πιεζοµετρίας σ ένα πηγάδι III. Περιορισµοί της συνολικής πτώσης στάθµης σ ένα σηµείο IV. Περιορισµοί πτώσης στάθµης από διαχειριζόµενα πηγάδια V. Περιορισµοί διαφοράς πιεζοµετρίας ανάµεσα σε δύο σηµεία VI. Περιορισµοί στην κλίση της πιεζοµετρίας ανάµεσα σε δύο σηµεία VII. Περιορισµοί ταχύτητας β Περιορισµοί παροχών Το άθροισµα των παροχών ορισµένων πηγαδιών πρέπει να είναι µέσα σε καθορισµένα όρια που δίνονται απο το χρήστη. Για παράδειγµα στις µόνιµες ροές ένας περιορισµός είναι το άθροισµα των παροχών να είναι ίσο µε µία σταθερή ποσότητα, ενώ στις µή µόνιµες ροές, ο ίδιος αυτός περιορισµός ισχύει για κάθε χρονική περίοδο.

112 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 05 γ) Περιορισµοί που κάνουν χρήση του ακέραιου προγραµµατισµού Με τη βοήθεια του ακέραιου προγραµµατισµού εξετάζεται η τοποθέτηση πηγαδιών σε x πιθανές τοποθεσίες από τις οποίες τελικά επιλέγονται οι y ως οι καλύτερες δυνατές. Eπίσης αν η παροχή του πηγαδιού σε ένα χρονικό σηµείο δεν ξεπερνάει µία τιµή, δεν τίθεται το πηγάδι σε λειτουργία. 4.. Μοντέλο βελτιστοποίησης Το µοντέλο βελτιστοποίησης που χρησιµοποιείται ως αναπόσπαστο τµήµα του µοντέλου διαχείρισης, βασίζεται σε µια τροποποιηµένη έκδοση του προγράµµατος LINDO (Lnear INDeractve Optmzer, Schrage 986) που περιέχεται ενσωµατωµένο στο MODMAN και λειτουργεί αποκλειστικά σε συνεργασία µε το MODMAN. Με το LINDO γίνεται η επίλυση του προβλήµατος µε Γραµµικό και Μικτό Ακέραιο Προγραµµατισµό ενώ για τον Τετραγωνικό Προγραµµατισµό χρησιµοποιούνται άλλα προγράµµατα (GINO, EXCEL) τα οποία θα αναλυθούν διεξοδικά παρακάτω. 4.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 4.4. Αναφορές στην πιο πρόσφατη βιβλιογραφία Ο Μαθηµατικός Προγραµµατισµός βρίσκει εφαρµογή στη βελτιστοποίηση της λειτουργίας των υδροφορέων σε ότι αφορά τα ποιοτικά και ποσοτικά τους χαρακτηριστικά. Εργασίες από το παρελθόν τόσο από τον ελλαδικό χώρο όσο και από το εξωτερικό συνηγορούν στην κατεύθυνση αυτή. Ένας από τους πρωτοπόρους στα προβλήµατα βελτιστοποίησης υπογείων υδροφορέων ήταν ο Schwarz (97), που παρουσίασε ένα παράδειγµα βελτιστοποίησης των αντλήσεων µε γραµµικό προγραµµατισµό σ έναν υδροφορέα τον οποίο χώρισε σε 5 ορθογωνικές διακεκριµένες περιοχές. Οι Gorelc et al. (98), χρησιµοποιήσαν ένα µοντέλο βασισµένο σε ελάχιστα τετράγωνα και γραµµικό προγραµµατισµό για την εκτίµηση του ελάχιστου απόλυτου σφάλµατος, σε συνδυασµό µε µοντέλο προσοµοίωσης για τη µεταφορά διαλυτών ουσιών στο έδαφος, έτσι ώστε να βρεθούν οι θέσεις και τα ποσά των πηγών ρύπανσης.

113 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 06 Οι Colarullo et al. (984), χρησιµοποίησαν µία τετραγωνική αντικειµενική συνάρτηση για τον καθορισµό µιας βέλτιστης πολιτικής διαχείρισης σ ένα µολυσµένο υδροφορέα. Η συνάρτηση που χρησιµοποιήθηκε ήταν της µορφής : mn z M N = = n= C(, n) n ( r) [ s(, n) L() ] (,n) (4.) όπου το s(,n) είναι ίσο µε : M n s (,n) = β(, j,n ) (, j) (Maddoc III, 97). j= = Αναλόγου είδους τετραγωνικές αντικειµενικές συναρτήσεις χρησιµοποιούνται από τους Lefoff and Gorelc (984) στο σχεδιασµό και στην οικονοµική ανάλυση συστηµάτων ταχείας αποθήκευσης νερού σε υπόγειους υδροφορείς. Οι Gorelc et al. (984), παρουσίασαν µία συνδυασµένη µεθοδολογία προσοµοίωσης µε πεπερασµένα στοιχεία και βελτιστοποίησης µε ένα µη γραµµικό µοντέλο µε στόχο τη χηµική απορρύπανση ενός υδροφορέα. Ο A. Aldama (99), προσδιόρισε το βέλτιστο υδρογράφηµα πληµµύρας ( t) σε µία στραγγιστική τάφρο µε τη συνδυασµένη χρήση αριθµητικών µεθόδων προσοµοίωσης και γραµµικού προγραµµατισµού. Οι Latnopoulos et al. (99), χρησιµοποίησαν µία τετραγωνική συνάρτηση για την απορρύπανση ενός µολυσµένου υδροφορέα και επέλυσαν το πρόβληµα µε το πρόγραµµα MINOS (Murtagh and Saunders 987). Ο Θεοδοσίου (994), χρησιµοποίησε µίας παρόµοιας µορφής αντικειµενική µη γραµµική συνάρτηση για την ποσοτική βελτιστοποίηση της λειτουργίας του υπόγειου υδροφορέα των Κοκκινοχωρίων Κύπρου. Τα τελευταία χρόνια οι ερευνητές για την αντιµετώπιση του προβλήµατος της ασυµβατότητας των φυσικών µεγεθών στην ανάλυση των υδρολογικών συστηµάτων προσανατολίζονται στην κατάστρωση µοντέλων µε περισσότερες από µία αντικειµενικές συναρτήσεις. Με τον τρόπο αυτό µπορούν να επιτευχθούν ταυτόχρονα διάφοροι στόχοι, όπως π.χ. η ελαχιστοποίηση των αντλήσεων του νερού για αγροτική χρήση σε συνδυασµό µε την ελαχιστοποίηση της συγκέντρωσης ενός ρυπαντή µε στόχο την εφαρµογή µιας πολιτικής αντλήσεων που να

114 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 07 ικανοποιεί και τους δύο αντικειµενικούς στόχους. Αυτό ακριβώς παρουσιάστηκε από τους Keshar and Datta (996) οι οποίοι χρησιµοποιούν δύο ανταγωνιστικές µεταξύ τους αντικειµενικές συναρτήσεις µε αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Οι Pslovos and Tzmopoulos (998) χρησιµοποίησαν το µοντέλο MODMAN στην οικονοµική ανάλυση και βελτιστοποίση ενός υπόγειου υδροφορέα µε γραµµικό προγραµµατισµό. Τέλος οι Tzmopoulos et al. (998), παρουσίασαν έναν αλγόριθµο βελτιστοποίησης της µη γραµµικής αντικειµενικής συνάρτησης του Van Genuchten - η οποία χρησιµοποιείται για την προσοµοίωση της χαρακτηριστικής καµπύλης του εδάφους - µε τη χρήση της µεθόδου των συζυγών διευθύνσεων Βελτιστοποίηση µε Γραµµικό Προγραµµατισµό Η αντικειµενική συνάρτηση που καταστρώθηκε από τον Ψιλοβίκο, (996) για την περίπτωση της βελτιστοποίησης του υδροφορέα Ειδοµένης Ευζώνων µε Γραµµικό Προγραµµατισµό, ήταν της µορφής T N mn Z = C j (4.) = j= j Στη συγκεκριµένη περίπτωση, το ζητούµενο ήταν η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους άντλησης από έναν αριθµό Ν εγκατεστηµένων πηγαδιών σ έναν υδροφορέα µε Γραµµικό Προγραµµατισµό. Οι συντελεστές C j είναι γραµµικές συναρτήσεις του συνολικού απαιτούµενου µανοµετρικού φορτίου σε κάθε ένα διαχειριζόµενο πηγάδι άντλησης και έχουν διαστάσεις κόστος / χρόνο [Monetary Unts / Tme]. Οι συναρτήσεις αυτές έχουν τη µορφή (Pslovos and Tzmopoulos 998) K C = Hman (4.) unt όπου : unt = 000 Κ είναι η µοναδιαία παροχή άντλησης που εφαρµόζεται στο µοντέλο διαχείρισης κατά την εφαρµογή της µεθόδου του µητρώου ανταπόκρισης, ο συντελεστής [κόστος / µέτρο πτώσης φορτίου] που περιλαµβάνει το κόστος ηλεκτρικής ενέργειας για τη λειτουργία των αντλητικών εγκαταστάσεων, το κόστος συντήρησης των αντλιοστασίων και τους µισθούς των αντλητών, ενώ δε

115 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 08 συµπεριλαµβάνονται κεφάλαια για τη διάνοιξη και εγκατάσταση νέων γεωτρήσεων αφού προβλέπεται να χρησιµοποιηθούν οι ήδη υπάρχουσες στην περιοχή. To µανοµετρικό φορτίο Ηman περιλαµβάνει τα εξής : ) Την αρχική υψοµετρική διαφορά ανάµεσα στην επιφάνεια του εδάφους και τα µη διαχειριζόµενα φορτία U (unmanaged heads) L, ) Tη διαφορά φορτίου h ανάµεσα στα µη διαχειριζόµενα φορτία U και τα τελικά φορτία όπως προκύπτουν από το µοντέλο προσοµοίωσης MODFLOW, τα οποία λαµβάνονται σταθερά, ) Tα ελάχιστα απαιτούµενα µέτρα µανοµετρικού φορτίου α για τη λειτουργία του κλειστού δικτύου των αρδευτικών και υδρευτικών εγκαταστάσεων και την υπερνίκηση των γραµµικών και τοπικών απωλειών. ηλαδή το Ηman είναι ένα άθροισµα της µορφής : Hman = L h α (4.4) και εποµένως, η εξίσωση (4.) µε τη βοήθεια της (4.4), γράφεται : C K = (L h α) (4.5) unt Οι περιορισµοί του προβλήµατος, αναφέρονται στη µέγιστη επιτρεπόµενη πτώση φορτίου στα σηµεία ελέγχου και βασίζονται στη µέθοδο του µητρώου ανταπόκρισης : h T = U T H T = T N = j= α T ( ) j j b T = U T H T,mn (4.6) όπου : T h T b T Η,mn Η πτώση φορτίου στο σηµείο ελέγχου στο τέλος της τελευταίας περιόδου άντλησης Τ, Η µέγιστη επιτρεπόµενη πτώση φορτίου στο σηµείο, το ελάχιστο επιτρεπόµενο φορτίο στο σηµείο. Οι υπόλοιποι όροι έχουν επεξηγηθεί προηγούµενα. Άλλοι περιορισµοί έχουν να κάνουν µε τις µέγιστες ή ελάχιστες επιτρεπόµενες παροχές άντλησης, καθώς επίσης και µε περιορισµούς ισοζυγίου. Συγκεκριµένα οι περιορισµοί αυτοί

116 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 09 αναφέρονται στη συνολικά αντλούµενη ποσότητα νερού για κάθε περίοδο άντλησης - διαχείρισης του µοντέλου, η οποία θα πρέπει να είναι ίση µε τις συνολικές απαιτήσεις σε νερό για άρδευση και ύδρευση, έτσι ώστε να ικανοποιείται το πρόβληµα από τη φυσική και µαθηµατική του σκοπιά. Οι περιορισµοί αυτοί, διατυπώνονται ως εξής : O < j < j max (4.7) και N j= j = ct (4.8) όπου ct Σταθερή ποσότητα και ίση µε τις συνολικές υδρευτικές και αρδευτικές ανάγκες της περιόδου Βελτιστοποίηση µε Μικτό - Ακέραιο Προγραµµατισµό. Μέθοδος Σταθερού φορτίου (fxed charges) Σε ότι αφορά τον ακέραιο προγραµµατισµό, το πρόβληµα εντοπίζεται στην επιλογή των πιο κατάλληλων θέσεων από ένα σύνολο πιθανών θέσεων για τη διάνοιξη νέων γεωτρήσεων µε κριτήριο το κόστος. Για την περίπτωση βέβαια που υπάρχουν ήδη γεωτρήσεις, το πρόβληµα εντοπίζεται στη πιο συµφέρουσα λειτουργία από άποψη πιεζοµετρίας, δηλαδή διατήρηση της πιεζοµετρίας σε ανεκτά επίπεδα µε βάση τους περιορισµούς, και κατ επέκταση από άποψη κόστους επειδή το κόστος είναι γραµµική συνάρτηση της πιεζοµετρίας στον γραµµικό και µικτό ακέραιο προγραµµατισµό. Έστω, λοιπόν, ότι σε µία υδρογεωλογική λεκάνη στην οποία υπάρχει υπόγειος υδροφορέας, βρίσκονται εγκατεστηµένες J γεωτρήσεις, αλλά είτε λόγω εξόδων λειτουργίας είτε λόγω δυσµενών πιεζοµετρικών συνθηκών που επικρατούν στην περιοχή, εισάγεται ως περιορισµός ότι δε χρειάζεται να λειτουργούν όλες αλλά το πολύ οι Κ από αυτές. Τότε σε ένα πρόβληµα Γραµµικού ή µη Γραµµικού Προγραµµατισµού, εισάγονται οι παρακάτω περιορισµοί :. Περιορισµοί λειτουργίας ή µη λειτουργίας ενός πηγαδιού (Well on/off constrants). Περιορισµοί στο συνολικό αριθµό των ακέραιων µεταβλητών (Integer varable summaton constrants) και κατ επέκταση στο συνολικό αριθµό των εν λειτουργία πηγαδιών.

117 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 0 Η πρώτη κατηγορία περιορισµών σχηµατίζεται µε δυαδικές µεταβλητές οι οποίες είναι ακέραιες µεταβλητές, που λαµβάνουν τιµές «0» ή. Οι περιορισµοί αυτοί, ωθούν τις δυαδικές µεταβλητές στην τιµή, αν το πηγάδι βρίσκεται σε λειτουργία (άντληση ή επαναπλήρωση), ή στην τιµή 0, αν το πηγάδι δεν αντλείται, ή αντλείται µε παροχή κάτω από ένα κατώτερο όριο. Οι περιορισµοί αυτοί, διατυπώνονται ως εξής : Άντληση (αρνητικές παροχές) j MI 0, j =,...,J (4.9) j Επαναπλήρωση (θετικές παροχές) j M I 0, j =,...,J (4.0) j όπου : j I j M παροχή άντλησης από το πηγάδι j δυαδική µεταβλητή (0 ή ). Σε κάθε ένα πηγάδι j αντιστοιχίζεται µια τέτοια µεταβλητή. Αν το πηγάδι λειτουργεί, η µεταβλητή αυτή θα ισούται µε αλλιώς µε 0. µεγάλος θετικός αριθµός ο οποίος συνήθως τίθεται ίσος µε τη µέγιστη επιτρεπόµενη παροχή άντλησης όπως εισάγεται στους περιορισµούς (4.7) (max). Οι περιορισµοί, που αναφέρονται στον ανώτατο επιτρεπόµενο αριθµό των εν λειτουργία πηγαδιών, διατυπώνονται ως εξής : J I j K, j =,..., J (4.) j= όπου K J ο µέγιστος επιτρεπόµενος αριθµός των γεωτρήσεων που λειτουργούν ο συνολικός αριθµός γεωτρήσεων. Η µέθοδος που εκφράζεται µε τις σχέσεις (4.9) (4.) είναι µία ιδιάζουσα περίπτωση του Μικτού Ακέραιου Προγραµµατισµού, γιατί αφενός επιτρέπει πραγµατικές τιµές στις παροχές άντλησης, αφετέρου περιορίζει τις τιµές των ακέραιων µεταβλητών, που αντιστοιχούν σε κάθενα από τα πηγάδια άντλησης I j, σε 0 και. Προβλήµατα αυτού του είδους, σύµφωνα µε τα οποία ο υπεύθυνος για τη λήψη των αποφάσεων πρέπει ν αποφασίσει για το χώρο και το χρόνο, στον οποίο θα εκτελεστεί µία λειτουργία, η οποία στη συγκεκριµένη περίπτωση είναι η άντληση ή όχι

118 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων από ένα πηγάδι, λέγονται προβλήµατα Σταθερού Φορτίου (Fxed Charges). Η ειδοποιός διαφορά αυτής της κατηγορίας προβληµάτων από τα υπόλοιπα προβλήµατα Ακέραιου Προγραµµατισµού, είναι ότι ανεξάρτητα από το µέγεθος της λειτουργίας, η τιµή της δυαδικής µεταβλητής που αντιστοιχεί σ αυτή είναι ίση µε, αρκεί η λειτουργία αυτή να λαµβάνει χώρα. Στην αντίθετη περίπτωση, η τιµή της δυαδικής µεταβλητής είναι ίση µε το 0. Ο Ακέραιος Προγραµµατισµός, µπορεί να συνδυαστεί είτε µε Γραµµικό Προγραµµατισµό, οπότε και λέγεται Μικτός Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός, είτε µε Τετραγωνικό Προγραµµατισµό, οπότε ανάλογα ονοµάζεται Μικτός Ακέραιος Τετραγωνικός Προγραµµατισµός Βελτιστοποίηση µε Τετραγωνικό Πογραµµατισµό Για την περίπτωση του Τετραγωνικού Προγραµµατισµού, το µόνο που αλλάζει είναι ο υπολογισµός του h, το οποίο δε λαµβάνεται σταθερό κατά τον υπολογισµό των συντελεστών από τη σχέση (4.5), η οποία ισχύει στο Γραµµικό και το Μικτό Ακέραιο Προγραµµατισµό, αλλά είναι συνάρτηση των παροχών άντλησης από όλα τα πηγάδια µε βάση τη µέθοδο του µητρώου ανταπόκρισης. ηλαδή χρησιµοποιείται η σχέση (4.) σε συνδυασµό µε τη σχέση (4.6), (Ψιλοβίκος, 996) : T T T = j= T ( ) j h = U H = α, T N j και τελικά η αντικειµενική συνάρτηση παίρνει τη µορφή : max f (X) = T Im ax C = = Icontrol T = = Icontrol K (L α) C fxed fxed= unt fxed T Icontrol = = K unt Icontrol J max = j= α T ( ), j unt j (4.) Όλοι οι περιορισµοί που υπεισέρχονται στο µοντέλο βελτιστοποίησης µε τετραγωνικό προγραµµατισµό, είναι οι ίδιοι γραµµικοί περιορισµοί του µοντέλου του γραµµικού και του ακέραιου προγραµµατισµού. Από τη µορφή της αντικειµενικής συνάρτησης (4.) γίνεται σαφές ότι εµφανίζονται τρία γραµµικά αθροίσµατα και ένα τετραγωνικό. Το πρώτο γραµµικό άθροισµα αναφέρεται στα L και α και το τετραγωνικό άθροισµα αναφέρεται στο h και σε τετραγωνικούς όρους που

119 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων σχηµατίζονται για τις παροχές που αφορούν µόνο τα πηγάδια ελέγχου της πιεζοµετρίας (I control ). Αυτό συµβαίνει, γιατί λόγω της µεθόδου του µητρώου ανταπόκρισης και της επαλληλίας τα h εκφράζονται µόνο στα πηγάδια ελέγχου και είναι συνάρτηση όλων των αντλούµενων πηγαδιών. Το δεύτερο γραµµικό άθροισµα αναφέρεται στα υπόλοιπα πηγάδια άντλησης (I max - I control ), τα οποία δεν αποτελούν σηµεία ελέγχου της πιεζοµετρίας, οπότε τα h είναι σταθερά, γιατί δεν µπορούν να εκφραστούν από την εξίσωση (4.6) και ισχύουν οι ίδιοι συντελεστές C, όπως και στην περίπτωση του Γραµµικού Προγραµµατισµού. Τα C fxed και fxed, αναφέρονται αντίστοιχα στους συντελεστές και τις παροχές της υδρευτικής γεώτρησης, για τους µήνες άντλησης (fxed = ), που δεν συµµετέχουν στη διαδικασία βελτιστοποίησης επειδή λαµβάνονται σταθερά, απλώς προστίθενται στην αντικειµενική συνάρτηση. 4.5 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 4., τo MODMAN λειτουργεί ως συνολικός διαχειριστής του προγράµµατος προσοµοίωσης MODFLOW, και του προγράµµατος βελτιστοποίησης LINDO. Η όλη διαδικασία βελτιστοποίησης ξεκινάει από το MODMAN. Η συνολική λειτουργία του περιγράφεται από τα παρακάτω βήµατα :. Κατ αρχήν χρειάζεται ένα αρχείο δεδοµένων το Modnp το οποίο δηµιουργείται από το χρήστη. Στο αρχείο αυτό περιέχονται όλες οι παράµετροι και οι µεταβλητές του προβλήµατος διαχείρισης. Με την πρώτη εκτέλεση του MODMAN δηµιουργούνται τα αρχεία εξόδου : ) Moderr, που είναι ένα αρχείο στο οποίο γράφονται τα λάθη και τα προβλήµατα που προκύπτουν κατά το στάδιο της διαχείρισης, καθώς επίσης και ασυµβατότητες µεταξύ των αρχείων προσοµοίωσης και βελτιστοποίησης και ) Modout, στο οποίο γράφονται αναλυτικά όλα τα αποτελέσµατα της διαχείρισης.. Aπό το πρόγραµµα MODMAN ζητούνται όλα τα αρχεία, τα οποία προέκυψαν ως αποτελέσµατα από τό πρόβληµα προσοµοίωσης µε το πρόγραµµα PROCESSING MODFLOW. Τα αρχεία αυτά είναι : ) BAS.DAT περιέχει τις οριακές συνθήκες και την αρχική πιεζοµετρία για όλα τα κελιά της περιοχής,

120 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων ) BCF.DAT είναι το αρχείο στο οποίο έχουν γραφεί ο συντελεστής αποθήκευσης, η υδραυλική αγωγιµότητα, τα υψόµετρα πυθµένα και τα υψόµετρα εδάφους, ) WEL.DAT υπάρχουν οι αντλήσεις από κάθε πηγάδι και σε κάθε χρονική περίοδο, v) RIV.DAT περιέχει τις στάθµες του ποταµού, τα υψόµετρα πυθµένα και την υδραυλική αγωγιµότητα του πυθµένα, v) RCH.DAT περιέχει τα στοιχεία των βροχοπτώσεων. Θεωρείται οµογενής η βροχόπτωση για όλη την περιοχή, v) SOR.DAT αναφέρονται τα στοιχεία για την επίλυση του µοντέλου µε τη µέθοδο SSOR, τα οποία είναι ο αριθµός των επαναλήψεων (00), το κριτήριο σύγκλισης (0.0), και το ω (), v) OC.DAT αναφέρονται ο αριθµός των χρονικών περιόδων και τα βήµατα στα οποία χωρίζονται αυτές, v) BUDGET.DAT bnary αρχείο, το οποίο περιέχει τις ροές από στοιχείο σε στοιχείο, x) HEADS.DAT bnary αρχείο, το οποίο περιέχει την κατανοµή των φορτίων σε κάθε χρονικό βήµα, x) DDOWN.DAT bnary αρχείο, το οποίο αποτελείται από τις πτώσεις του φορτίου για όλα τα κελιά που αποτελούν την περιοχή. Τα ανωτέρω αρχεία περιέχονται στο αρχείο εξόδου Output.dat του MODFLOW. Τα στοιχεία του αρχείου Output.dat εισάγονται ως δεδοµένα στο MODMAN. ηλαδή τα αποτελέσµατα του µοντέλου προσοµοίωσης MODFLOW αποτελούν δεδοµένα για το µοντέλο διαχείρισης MODMAN.. Καλείται (Ν) φορές η υπορουτίνα MM_FLOW,η οποία είναι µία ελαφρώς τροποποιηµένη έκδοση του MODFLOW και λειτουργεί αποκλειστικά σε συνεργασία µε το MODMAN, όπου N είναι ο αριθµός των διαχειριζόµενων πηγαδιών. Κατά την η επανάληψη υπολογίζονται τα µη διαχειριζόµενα φορτία των πηγαδιών ( Unmanaged heads - U ) τα οποία είναι τα υποθετικά φορτία στα πηγάδια ελέγχου µε την παραδοχή ότι καµιά άντληση ή επαναπλήρωση δε λαµβάνει χώρα στον υδροφορέα. Κατά τη διάρκεια των επόµενων Ν επαναλήψεων, υπολογίζεται το µητρώο ανταπόκρισης και περιέχει τις µοναδιαίες πτώσεις φορτίου, που αναφέρονται στα συγκεκριµένα σηµεία ελέγχου του υδροφορέα (Control ponts). Οι µοναδιαίες πτώσεις φορτίου οφείλονται στην ανεξάρτητη άντληση καθενός από τα Ν διαχειριζόµενα πηγάδια. Εφαρµόζεται η χωρική και χρονική επαλληλία για τις αντλήσεις και καθεµία επανάληψη αντιστοιχίζεται µε καθένα από τα αντλούµενα πηγάδια.

121 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 4 4. Αξιοσηµείωτο είναι ότι οι µοναδιαίες παροχές είναι ίσες µε «000» και δηµιουργούν «επιφάνειες επιρροής» (Ψιλοβίκος, 996), στο πεδίο των πηγαδιών, όπως φαίνεται στο σχήµα 4.. Ο λόγος για τον οποίο οι µοναδιαίες παροχές είναι ίσες µε «000» και όχι µε, είναι για την αποφυγή πιθανών προβληµάτων κλίµακας (scalng problems), τα οποία πολύ συχνά συµβαίνουν όταν η διαφορά της τάξης µεγέθους µεταξύ των πραγµατικών παροχών και των υποθετικών αντλούµενων µοναδιαίων είναι πολύ µεγάλη. Γι αυτό το λόγο και επειδή οι παροχές που αντλούνται στη συγκεκριµένη περίπτωση κυµαίνονται από 0 εώς 5*0 m /d, επιλέγεται τελικά µοναδιαία τιµή παροχής ίση µε 000 m /d. 5. Με την ολοκλήρωση των (Ν) κλήσεων της συγκεκριµένης υπορουτίνας, την εφαρµογή µοναδιαίων παροχών άντλησης από καθένα πηγάδι ξεχωριστά, την εύρεση των επιφανειών επιρροής και τη δηµιουργία του µητρώου µοναδιαίας απόκρισης έχει ολοκληρωθεί το στάδιο της διαχείρισης και το επόµενο στάδιο είναι αυτό της βελτιστοποίησης µε τις διάφορες µεθόδους µαθηµατικού προγραµµατισµού. 6. Προτού ξεκινήσει το στάδιο της βελτιστοποίησης µε το LINDO, δηµιουργείται από το πρόγραµµα MODMAN ένα αρχείο εξόδου µε MPS (Mathematcal Programmng System) format το Modmps. Το format αυτό είναι ένας διεθνής κώδικας (nternatonal code), ο οποίος αποτελεί το συνδετήριο κρίκο επικοινωνίας ανάµεσα στα προγράµµατα διαχείρισης και βελτιστοποίησης και για τη συγκεκριµένη περίπτωση ανάµεσα στο MODMAN και στο LINDO. ηλαδή τα αποτελέσµατα του µοντέλου διαχείρισης MODMAN αποτελούν δεδοµένα για το µοντέλο βελτιστοποίησης LINDO και είναι η αντικειµενική συνάρτηση και το σύνολο των περιορισµών. Γράφονται µε µία κωδικοποιηµένη µορφή που αποτελεί κοινό αρχείο εισόδου για όλα τα προγράµµατα βελτιστοποίησης που βασίζονται σε µαθηµατικό προγραµµατισµό όπως τα προγράµµατα LINDO, MINOS, WHAT S BEST, κ.λπ. γεγονός που επιτρέπει στο MODMAN να επικοινωνεί µε πολλά.προγράµµατα βελτιστοποίησης που δέχονται MPS αρχεία. Επίσης, η µορφή MPS, διευκολύνει το χρήστη από το να δώσει τα δεδοµένα για τη βελτιστοποίηση πληκτρολογώντας τα λόγω του απαγορευτικού τους µεγέθους. 7. Τα αποτελέσµατα της βέλτιστης λύσης, όπως προκύπτουν από το LINDO και σύµφωνα µε τις µεθόδους του Γραµµικού και του Μικτού Ακέραιου Προγραµµατισµού (Fxed Charges) γράφονται σε αρχείο εξόδου το Modopt. To LINDO προσφέρει και δυνατότητες περαιτέρω επεξεργασίας των αποτελεσµάτων, όπως για παράδειγµα ανάλυση ευαισθησίας των παραµέτρων, παραµετρικό προγραµµατισµό κ.λπ.

122 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 5 Σε ότι αφορά τον Τετραγωνικό Προγραµµατισµό, ακολουθήθηκε άλλη διαδικασία µε τη δηµιουργία προγράµµατος κελύφους για την επικοινωνία ανάµεσα στο MODMAN και στα προγράµµατα GINO και EXCEL, όπως αναλύεται στο επόµενο κεφάλαιο της εφαρµογής στον υδροφορέα Ειδοµένης Ευζώνων, καθώς και οι λόγοι που οδήγησαν σ αυτό. MODMAN εδοµένα MODMAN (Modnp) (Ν) Επαναλήψεις MODFLOW εδοµένα MODFLOW MODMAN Αποτελέσµατα MODFLOW (Output.dat) Αποτελέσµατα MODMAN (Modmps, Modout, Moderr) LINDO Αποτελέσµατα Lndo (Modopt) ΑNAΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Σχήµα 4. ιάγραµµα ροής στο οποίο φαίνεται η συνεργασία των προγραµµάτων MODMAN, MODFLOW και LINDO.

123 Κεφάλαιο 4 ο - ιαχείριση Υδατικών Πόρων 6 E G 84 G G G G G 8 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G G 67 G 0 G G EE G G G 459 E 8 E 9 G G 46 G Σχήµα 4. Επιφάνεια επιρροής που δηµιουργείται στo πεδίο των πηγαδιών λόγω άντλησης µοναδιαίας παροχής από ένα συγκεκριµένο πηγάδι (Μέθοδος µητρώου µοναδιαίας απόκρισης).

124 5. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 5. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για την εφαρµογή ενός ολοκληρωµένου και συνδυασµένου µοντέλου προσοµοίωσης διαχείρισης βελτιστοποίησης ενός υδροφορέα, απαιτούνται τα γεωµορφολογικά, τα γεωλογικά, τα υδρογεωλογικά, τα υδρολογικά δεδοµένα της περιοχής, η λεκάνη απορροής, οι περίοδοι διαχείρισης µε βάση τις οποίες ορίζεται ο χρονικός ορίζοντας της έρευνας και το χρονικό βήµα, στο οποίο µελετάται η περιοχή. Επίσης, για την περίπτωση που υπάρχουν καλλιέργειες απαιτούνται τα χαρακτηριστικά τους και ειδικότερα οι ανάγκες τους σε νερό ενώ αν πρόκειται για ύδρευση οικισµών, χρειάζονται επιπλέον και οι πληθυσµοί των οικισµών αυτών για τον υπολογισµό των µελλοντικών τάσεων ανάπτυξης για τον χρονικό σχεδιασµό των έργων (0ετίας, 40ετίας κλπ). 5. ΕΦΑΡΜΟΓH ΜΟΝΤEΛΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟIΩΣΗΣ Η εξίσωση που χρησιµοποιείται τελικά για την περίπτωση του υδροφορέα Ειδοµένης - Ευζώνων, έχει τη µορφή της γραµµικοποιηµένης εξίσωσης (.4) στις δύο διαστάσεις, που περιγράφει την κίνηση του νερού σε υδροφορείς µε ελεύθερη επιφάνεια. Αυτή η επιλογή έγινε για δύο κυρίως λόγους :. Ο αριθµός των επιπέδων κατά την κατακόρυφη διεύθυνση είναι ίσος µε =, άρα η εξίσωση αναφέρεται στις δύο διαστάσεις.. Με τη βοήθεια ορισµένων παραδοχών, γραµµικοποιήθηκε η εξίσωση του Boussnesq που περιγράφει την κίνηση του νερού σ έναν υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια µε κατάληξη την (.4). Υπάρχουν µικρές διαφορές στη λύση ανάµεσα στη γραµµικοποιηµένη εξίσωση και τη µη γραµµική. Όµως αυτές οι διαφορές είναι αµελητέες και τελικά περισσότερο βάρος δίνεται στην βελτιστοποίηση της λειτουργίας του υδροφορέα παρά στην σχολαστική εύρεση της πιεζοµετρίας του υδροφορέα. Έτσι η µορφή της εξίσωσης που χρησιµοποιείται τελικά είναι η (.4) που έχει ως εξής : h h x y S h = T t

125 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 8 η οποία είναι γραµµική διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους παραβολικού τύπου. Η περιοχή χωρίστηκε σε 00 ορθογωνικά κελιά διαστάσεων r j = c =00m, από τα οποία τα 7 αντιπροσωπεύουν την έκταση του υδροφορέα, ενώ τα υπόλοιπα 9 αποτελούν τις οριακές συνθήκες σταθερού φορτίου (Drchlet), στα βορειοδυτικά και νότια του υδροφορέα. Υπάρχουν επίσης και συνθήκες πλάγιου αδιαπέρατου ορίου (Neumann) στα νοτιοδυτικά και ανατολικά του υδροφορέα. Για την επίλυση της παραπάνω εξίσωσης χρησιµοποιήθηκε το πεπλεγµένο σχήµα των οπίσω διαφορών που είναι µεν πιο πολύπλοκο από το ρητό σχήµα των εµπρός διαφορών που λύνεται απ ευθείας χωρίς επαναλήψεις, αλλά έχει το πλεονέκτηµα της ευστάθειας άνευ όρων. Χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος της υπερχαλάρωσης ( Slce-Succesve Overrelaxaton Method ) όπως περιγράφηκε προηγούµενα, µε την τιµή του ω ίση µε. 5.. Γεωµορφολογικά Στοιχεία Η λεκάνη Ειδοµένης - Ευζώνων είναι ένα βύθισµα Τριγωνικού σχήµατος, το οποίο διασχίζει ο Αξιός ποταµός από βορρά προς νότο. Η βάση του τριγώνου τοποθετείται στην οριογραµµή Ελλάδος - FYROM στην περιοχή Γευγελής, ενώ η κορυφή του τριγώνου τοποθετείται στην είσοδο του Αξιού στα στενά της Τσιγγάνας ή Γυφτοπέρασµα (Σχήµα 5.) από τα βόρεια. Το ύψος του τριγώνου είναι περίπου 5.5 Km. Tις δύο πλευρές του τριγώνου, όπως φαίνεται στο Σχήµα 5., υλοποιούν οι χαµηλές λοφοσειρές των Ευζώνων ανατολικά (Τριγωνοµετρικά 07 και 0), και της Ειδοµένης δυτικά (Τριγωνοµετρικά 4, 6 και 47). Η συνολική έκταση του βυθίσµατος, η οποία υψοµετρικά βρίσκεται µεταξύ 40 και 00 µέτρα, έχει έκταση 5 Km περίπου. Αντίθετα, η περιβάλλουσα το βύθισµα αυτό υδρολογική λεκάνη, έχει έκταση 6 Km και υψοµετρικά εκτείνεται στην οριακή λοφώδη ζώνη που περιβάλλει το βύθισµα. Ο ποταµός Αξιός εισέρχεται στο βύθισµα από τη βάση του τριγώνου στα βόρεια από την περιοχή της Γευγελής και αφού διασχίσει την κεντρική χαµηλή ζώνη του εξέρχεται από το φαράγγι της Τσιγγάνας. Η κοίτη του ποταµού έχει σαφείς πλεξοειδείς χαρακτήρες, κύρια χαρακτηριστικά των οποίων είναι : Το µεγάλο πλάτος ( m) Το µικρό βάθος ( - 4 m ) Ο σχηµατισµός κεντρικών και πλευρικών νησίδων Η πολυσχιδής ροή του νερού Η συχνή εκδήλωση πληµµυρικών φαινοµένων

126 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 9 Η µεγάλη µεταφορά φερτών υλών Η µετατόπιση της κοίτης πλευρικά σε νέες θέσεις Οι χαρακτήρες αυτοί προσδιορίζουν µε σαφήνεια και τη σχέση του ποταµού προς το βύθισµα, τόσο ως προς τις επιφανειακές, όσο και ως προς τις υπόγειες διεργασίες. Κυρίως δε ως προς δύο στοιχεία υδρολογικής και υδρογεωλογικής συµπεριφοράς :. Την ανάπτυξη υπόγειων υδροφορέων στα αλλουβιακά υλικά του ποταµού,. Την τροφοδοσία των υπόγειων υδροφορέων µε νερό (κυρίως από τον Αξιό ποταµό. 5.. Γεωλογικά στοιχεία Η λεκάνη Ειδοµένης - Ευζώνων βρίσκεται τη γεωτεκτονική ζώνη του Αξιού (εσωτερικές Ελληνίδες), η οποία στο γεωλογικό παρελθόν αποτελούσε τµήµα ενός παλαιού ωκεανού. Ο Mercer (965) διαχώρισε τη ζώνη του Αξιού σε τρεις επιµέρους υποζώνες οι οποίες αντιπροσωπεύουν τρία διακριτά τµήµατα του παλαιού ωκεανού :. Της Παιονίας, ανατολικά όπου και βρίσκεται η περιοχή έρευνας.. Του Πάϊκου στο κέντρο.. Της Αλµωπίας στα δυτικά. Η θέση της ζώνης του Αξιού στο κέντρο της Βαλκανικής εντοπίζεται στο κέντρο της Ν. Γιουγκοσλαβίας µε Β - ΝΑ κατεύθυνση και συνεχίζεται στο χώρο της Κ. Μακεδονίας µέχρι τα νότια όρια του Θερµαϊκού Κόλπου, όπου κάµπτεται προς ανατολάς και συνεχίζεται στο χώρο του Β. Αιγαίου και της Μ. Ασίας. Η λιθολογία της περιοχής έρευνας κυριαρχείται από µαγµατικούς σχηµατισµούς του παλαιού ωκεανού του Αξιού (Σχήµα 5.) όπως είναι ο οφιόλιθος και ο γάββρος της περιοχής Σκρά των Στενών της Τσιγγάνας και οι διαβάσες - δολερίτες της περιοχής Πολυκάστρου - Ευζώνων. Νεώτερη γρανιτική διείσδυση µέσα στα βασικά αυτά πετρώµατα αποτελεί ο γρανίτης του Φανού, του οποίου η κύρια εµφάνιση εντοπίζεται δυτικά του άξονα Πηγής - Πύλης - Ειδοµένης. Μικρότερες εµφανίσεις του γρανίτη αυτού βρίσκονται και στην περιοχή µεταξύ Ευζώνων - Μικρού άσους. Τα µαγµατικά αυτά πετρώµατα αποτελούν και το υπόβαθρο της λεκάνης Ειδοµένης - Ευζώνων το οποίο πρακτικά είναι αδιαπέρατο. Επί του υποβάθρου αυτού έχουν αποτεθεί παλαιές και νέες αλλουβιακές αποθέσεις, οι οποίες σήµερα κατέχουν τα πλευρά της λεκάνης. Στο κέντρο της λεκάνης, έχουν αποτεθεί πρόσφατες προσχώσεις µικρού πάχους και περιορισµένης έκτασης του ποταµού Αξιού (Σχήµα 5.).

127 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 0

128 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές

129 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές

130 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 5.. Υδρογεωλογικά και Τοπογραφικά στοιχεία Το τµήµα της λεκάνης που εξετάζεται έχει εµβαδόν 0,84 m. Κατά τη διακριτοποίηση της προέκυψαν 7 ορθογωνικά στοιχεία διαστάσεων 00 * 00. Αν συµπεριληφθούν και τα 9 στοιχεία των οριακών συνθηκών στα βορειοδυτικά και νότια, τότε το σύνολο των στοιχείων ή κελιών είναι 00 και η συνολική έκταση ανέρχεται στα m. Η λεκάνη αυτή αποτελείται από πρόσφατες αλλουβιακές αποθέσεις πάχους 5-0 µέτρων, οι οποίες θεωρούνται αρκετά διαπερατές και οριοθετούνται τόσο από πλάγια αδιαπέρατα πετρώµατα στα ανατολικά και δυτικά της, όσο και από αδιαπέρατο πυθµένα, που αποτελείται από παλλαιοαλλούβια. Σ αυτήν την περιοχή έχει σχηµατιστεί ένας ελεύθερος υδροφορέας µέσου πάχους 8 περίπου µέτρων. Στον υδροφορέα αυτό έχουν γίνει 4 γεωτρήσεις από το Ι.Γ.Μ.Ε. (συµβολίζονται µε Ε, σχήµα 5.4) και περίπου άλλες υδρευτικές και αρδευτικές γεωτρήσεις µε βάση τα στοιχεία, που χορηγήθηκαν από τη /νση Εγγείων Βελτιώσεων του Νοµού Κιλκίς (συµβολίζονται µε G, σχήµα 5.5). Με τις γεωτρήσεις αυτές προσδιορίζεται η πιεζοµετρία του υδροφορέα. Για άντληση χρησιµοποιούνται µόνο οι 6 από τις συνολικά 56 γεωτρήσεις. Σε από τις γεωτρήσεις αυτές, όπως φαίνεται στον Πίνακα 5., έχουν µετρηθεί οι υδρογεωλογικές παράµετροι και συγκεκριµένα η υδραυλική αγωγιµότητα και ο συντελεστής αποθήκευσης και έχουν προσδιοριστεί τα υψόµετρα του αδιαπέρατου πυθµένα. Για όλες αυτές τις παραµέτρους έχουν σχεδιαστεί διαγράµµατα ισοποσοτικών καµπυλών µε το πρόγραµµα MODFLOW σε συνεργασία µε το SURFER καθως επίσης και έγχρωµοι θεµατικοί χάρτες µε τη µορφή κλάσεων. Τα υδρολογικά, υδρογεωλογικά και γεωµετρικά στοιχεία που υπεισέρχονται στους υπολογισµούς και δίνονται παρακάτω µε πίνακες, είναι τα εξής : Υψόµετρα και αρχική πιεζοµετρία των γεωτρήσεων (Πίνακας 5.), Συντεταγµένες των γεωτρήσεων σε τοπικό σύστηµα αναφοράς (Πίνακας 5.), Υδρογεωλογικές παράµετροι των γεωτρήσεων της περιοχής (υδραυλικές αγωγιµότητες, ειδική αποθηκευτικότητα, υψόµετρα αδιαπέρατου πυθµένα) (Πίνακας 5.), Τιµές βροχόπτωσης και βαθειάς διήθησης στην υδρολογική λεκάνη (Πίνακας 5.4), Μέγιστες και µέσες µηνιαίες στάθµες του Αξιού (Πίνακας 5.5), Κατανοµή των αντλήσεων (Πίνακας 5.6),

131 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 4 Οι αρδευόµενες εκτάσεις στην περιοχή αυτή ανέρχονται σε 5 Km περίπου. Με ειδική παροχή άρδευσης q κατά τους 4 µήνες του καλοκαιριού (Ιούνιος, Ιούλιος, Αύγουστος, Σεπτέµβριος) ίση µε l/στρέµµα/s, χρειάζονται συνολικά 4.46 * 0 6 m νερό ετησίως. Επίσης, για τις ανάγκες της ύδρευσης απαιτούνται 0.65 * 0 6 m νερό ετησίως (Ψιλοβίκος κ.α., 996). Οι παραπάνω ποσότητες νερού κατανέµονται στις γεωτρήσεις, όπως φαίνεται στον Πίνακα 5.6, σύµφωνα µε τις παροχές που χορηγήθηκαν από τη /νση Εγγείων Βελτιώσεων του Νοµού Κιλκίς. Οι ανάγκες της ύδρευσης καλύπτονται µόνο από τη γεώτρηση G 44 από την οποία αντλούνται 800 m / day = 75 m / h, ενώ οι ανάγκες της άρδευσης καλύπτονται από τις υπόλοιπες γεωτρήσεις οι οποίες λειτουργούν µόνο κατά την θερινή περίοδο των αρδεύσεων (Ιούνιος,,Σεπτέµβριος). Οι γεωτρήσεις G, G,,G 4 είναι ιδιωτικές και οι παροχές τους είναι σχετικά µικρές, της τάξης των 0 m / d = 4 m / h, ενώ οι µεγαλύτερες ποσότητες νερού αντλούνται από τις γεωτρήσεις G 44, G 84, G 8, G 67, G 459,...,6, G 58, E 8, E 9, E και Ε Ε, των οποίων οι παροχές φτάνουν τα 40 m / d = 80 m / h ( G 84, G 8 ) µε µέγιστη δυνατή άντληση τα 0 m / h. Τα δεδοµένα εισάγονται από το γραφικό περιβάλλον PMCAD του προγράµµατος PROCESSING MODFLOW, είτε επιλέγοντας περιοχές µε µία συγκεκριµένη τιµή της µεταβλητής (zones), είτε δίνοντας τα δεδοµένα για κάθε ένα στοιχείο (cell - by - cell), (Ψιλοβίκος, 996), και είναι τα εξής:. Η τοπογραφία της περιοχής (Σχήµα. 5.6),. Η αρχική πιεζοµετρία, που αντιστοιχεί στο µήνα Μάρτιο του 986 (Σχήµα 5.7),. Το ύψος του αδιαπέρατου υποστρώµατος (Σχήµα 5.8), 4. Οι οριζόντιες υδραυλικές αγωγιµότητες (Σχήµα 5.0) και 5. Το αποτελεσµατικό πορώδες / µέτρο πάχους του υδροφορέα (Σχήµα 5.). Επίσης, παρουσιάζονται και οι αντίστοιχοι έγχρωµοι θεµατικοί χάρτες που αφορούν τον αδιαπέρατο πυθµένα (Σχήµα 5.9), τις υδραυλικές αγωγιµότητες (Σχήµα 5.) και το αποτελεσµατικό πορώδες/µέτρο πάχους του υδροφορέα (Σχήµα 5.). Για καλύτερη ακρίβεια στα αποτελέσµατα η πιεζοµετρία δίνεται σηµείο προς σηµείο (cell - by - cell) στα 7 ορθογωνικά στοιχεία της περιοχής. Επίσης, σε άλλες υπορουτίνες δίνονται οι βροχοπτώσεις του κοντινότερου σταθµού του Πολυκάστρου για την περίοδο /986 - /987, οι αντλήσεις όπως αναλύθηκαν παραπάνω και οι

132 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 5 µέσες στάθµες του Αξιού για τη συγκεκριµένη περίοδο από µετρήσεις που έγιναν από την η.ε.κ.ε. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται υπό µορφή διδιάστατων πιεζοµετρικών χαρτών όπως προέκυψαν από το πρόγραµµα MODFLOW, στους οποίους δίνεται µία εποπτική εικόνα της πιεζοµετρίας σε κάθε µήνα άρδευσης (Ιούνιος, Ιούλιος, Αύγουστος, Σεπτέµβριος), καθώς επίσης και στο τέλος ενός έτους από την αρχή της έρευνας (Μάρτιος 987). Αυτά φαίνονται στα σχήµατα Επίσης, παρουσιάζονται δύο κατά πλάτος τοµές του υδροφορέα (Σχήµατα 5.9, 5.0), η διακύµανση του υδατικού ισοζυγίου για όλη την περιοχή και για χρονικό διάστηµα έρευνας έτη (Σχήµα 5.) και τέλος η επί τοις εκατό (%) απώλεια µάζας λόγω αριθµητικών σφαλµάτων κατά την επίλυση (Σχήµα 5.). ε θεωρείται σκόπιµο στο στάδιο της προσοµοίωσης να διατυπωθούν και να καταστρωθούν πιθανά σενάρια διαχείρισης, αφού δεν είναι αυτός ο άµεσος σκοπός της διατριβής. Αυτό εξάλλου είχε γίνει παλιότερα στην ίδια περιοχή µε το µοντέλο GROUND - µέθοδος πολλαπλών κελιών (Ψιλοβίκος 994, Τζιµόπουλος και άλλοι 995), όπου καταστρώθηκαν 8 σενάρια µε αυξοµειώσεις των παροχών άντλησης και της γεωγραφικής κατανοµής τους στο πεδίο του υδροφορέα, µε στόχο την εύρεση της πιεζοµετρίας και του υδατικού ισοζυγίου. Το σηµαντικότερο, λοιπόν, στη συγκεκριµένη εργασία δεν είναι η κατάστρωση σεναρίων, αλλά η εφαρµογή των διαφόρων µεθόδων Μαθηµατικού Προγραµµατισµού, καθώς επίσης και η σύγκριση ανάµεσα στις επιµέρους µεθόδους του Γραµµικού, Ακέραιου, Τετραγωνικού και Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού.

133 AXIOS RIVER Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 6 EIDOMENH E E6 (6,6) E6 E5 E4 E7 E5 E9 E8 E7 E4 E E E E8 E A E0 E E5 E4 (6,) E0 E A' E8 E9 E E6 (9,5) E7 E9 (5,6) E E E0 E EYZONOI E4 E Σχήµα 5.4 Το δίκτυο των Γεωτρήσεων του ΙΓΜΕ

134 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 7 Σχήµα 5.5 Οι Γεωτρήσεις που λειτουργούν για άντληση

135 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές Πίνακες δεδοµένων Παρακάτω, ακολουθούν οι πίνακες όλων των δεδοµένων της προσοµοίωσης, όπως δόθηκαν από το γραφικό περιβάλλον του προγράµµατος PROCESSING MODFLOW. Πίνακας 5. Υψόµετρα και αρχική πιεζοµετρία των γεωτρήσεων [m]. Γεώτρηση Υψοµετρο Αρχική Πιεζοµετρία Γεώτρηση Υψοµετρο Αρχική Πιεζοµετρία Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Πίνακας 5. Γεώτρηση Συντεταγµένες των γεωτρήσεων Συντεταγµένη Συντεταγµένη Γεώτρηση Συντεταγµένη Χ (σε µετρα) Y (σε µετρα) Χ (σε µέτρα) Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Συντεταγµένη Y (σε µετρα)

136 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 9 Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε G Ε Πίνακας 5. Υδρογεωλογικές Παράµετροι των Γεωτρήσεων της περιοχής Γεώτρηση Υδρ. Αγωγιµότητες [L T - ] Ειδική Αποθηκευτικότητα [L - ] Υψόµετρα αδιαπέρατου πυθµένα [L] G G G G E E E G G G G

137 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 0 Πίνακας 5.4 Τιµές βροχόπτωσης και βαθειάς διήθησης για την εξεταζόµενη χρονική περίοδο [mm]. Μήνας Βροχόπτωση ιήθηση Μάρτιος Απρίλιος Mάιος Ιούνιος Ιούλιος Αυγούστος Σεπτέµβριος Οκτώβριος Νοέµβριος εκέµβριος Ιανουάριος Φεβρουάριος Πίνακας 5.5 Στάθµες Αξιού από τον εναέριο σταθµό Αξιουπόλεως χλµ θέση Μήνας Μέγιστο Βάθος Μέσο Βάθος Μάρτιος Απρίλιος Mάιος Ιούνιος Ιούλιος Αυγούστος Σεπτέµβριος Οκτώβριος Νοέµβριος εκέµβριος Ιανουάριος Φεβρουάριος Πίνακας 5.6 Εφαρµογή των αντλήσεων [m /d]. Πηγάδια Μαρ. - Μαι. Ιουν. Ιουλ. Αυγ. Σεπτ Οκτ. - Φεβ. A/A Ονοµασία (ύδρευση) G G G G E E G G G

138 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 9 G E G G G G G G G G G G G G G G E E Ισοποσοτικοί και θεµατικοί χάρτες υδρογεωλογικών και τοπογραφικών δεδοµένων Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι ισοποσοτικοί χάρτες των δεδοµένων της προσοµοίωσης της περιοχής Ειδοµένης - Ευζώνων µε το µοντέλο MODFLOW. Προέκυψαν από τις σχεδιαστικές υπορουτίνες του MODFLOW, σε συνεργασία µε το πρόγραµµα κατασκευής διδιάστατων και τριδιάστατων ισοποσοτικών καµπυλών SURFER του εργαστηρίου Γεωργικής Υδραυλικής του ΑΠΘ. Εκτός από τους ισοποσοτικούς χάρτες, έχουν κατασκευαστεί και θεµατικοί που αφορούν τα υδρογεωλογικά χαρακτηριστικά του υδροφορέα, όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 5...

139 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5.6 Ο τοπογραφικός χάρτης της περιοχής

140 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5.7 Η αρχική πιεζοµετρία σε απόλυτα υψόµετρα [m] (Μάρτιος 986).

141 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5.8 Ο αδιαπέρατος πυθµένας [m]σε απόλυτα υψόµετρα.

142 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 5 Σχήµα 5.9 Θεµατικός χάρτης του Αδιαπέρατου πυθµένα

143 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5.0 Οι υδραυλικές αγωγιµότητες [m/d]. Kxx = Kyy (Ισότροπο µέσο)

144 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 7 Σχήµα 5. Θεµατικός χάρτης της υδραυλικής αγωγιµότητας

145 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5. Αποτελεσµατικό πορώδες / µέτρο πάχους υδροφορέα [m - ]

146 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 9 Σχήµα 5. Θεµατικός χάρτης του αποτελεσµατικού πορώδους / µέτρο πάχους υδροφορέα (Tzmopoulos and Pslovos, 998)

147 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές Πιεζοµετρικοί χάρτες µε τ αποτελέσµατα της προσοµοίωσης µε το MODFLOW Στα σχήµατα παρουσιάζονται οι ισοπιεζοµετρικοί χάρτες, όπως προέκυψαν από το MODFLOW, για καθέναν µήνα άρδευσης από Ιούνιο µέχρι και Σεπτέµβριο. Στα σχήµατα αυτά παρατηρούµε ότι δηµιουργούνται "κώνοι άντλησης", στα σηµεία του πλέγµατος των κελιών που αντιστοιχούν σε αντλούµενα πηγάδια. Οι κώνοι αυτοί γίνονται εντονότεροι όσο πλησιάζουµε στον τελευταίο µήνα άρδευσης (Σεπτέµβριος). Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο κατά την εφαρµογή του µοντέλου βελτιστοποίησης, οι περιορισµοί στην πιεζοµετρία αναφέρονται στο τέλος του µήνα αυτού. Γίνεται, εποµένως, αντιληπτό το φαινόµενο τόσο της χωρικής όσο και της χρονικής επαλληλίας στο πεδίο των πηγαδιών, µε τις ταυτόχρονες αντλήσεις που λαµβάνουν χώρα από όλα τα πηγάδια σε τέσσερις συνεχόµενες περιόδους άντλησης (µήνες). Στο σχήµα 5.8, παρουσιάζεται ο πιεζοµετρικός χάρτης, ένα χρόνο µετά την έναρξη της έρευνας δηλαδή στο τέλος της έρευνας, όπου παρατηρείται µια αρκετά καλή αποκατάσταση του υδροφορέα µε διαφορές ως προς την πιεζοµετρία του προηγούµενου χρόνου της τάξης των 0,5 - µέτρων. Υπάρχει η τάση επαναπλήρωσης του υδροφορέα από τον Αξιό, όπως προκύπτει από την κατανοµή των ισοπιεζοµετρικών καµπυλών του σχήµατος 5.8. Ο ένας χρόνος προσοµοίωσης θεωρείται µικρός σχετικά χρονικός ορίζοντας, αλλά επιλέχθηκε για δύο κυρίως λόγους :. Έγινε προηγούµενη διαχείριση του υδροφορέα για δύο συνεχή έτη έρευνας µε το µοντέλο GROUND και τη µέθοδο πολλαπλών κελιών (Ψιλοβίκος 994, Τζιµόπουλος κ.ά. 995) µε την ανάπτυξη 8 σεναρίων κατανοµής των αντλήσεων στην έκταση του υδροφορέα. Επίσης, η έρευνα συνεχίστηκε και µε το MODFLOW (Ψιλοβίκος, κ.α., 996) για δύο χρόνια έρευνας µε την προσοµοίωση της λειτουργίας του και την εύρεση του υδατικού ισοζυγίου.. Ο απώτερος σκοπός είναι η εφαρµογή µεθόδων για τη βελτιστοποίηση της λειτουργίας του υδροφορέα µε Μαθηµατικό Προγραµµατισµό και όχι τόσο η σε βάθος χρόνου διαχείριση. Αυτό ενδεχοµένως θα αποτελούσε αντικείµενο έρευνας σε επίπεδο ερευνητικού προγράµµατος, δηλαδή η προσοµοίωση, διαχείριση και βελτιστοποίηση υδροφορέων σε χρονικό ορίζοντα 0ετίας και 0ετίας. Στη συνέχεια, στο Σχήµα 5.9, παρουσιάζεται η κατά πλάτος τοµή Α - Α στο µέσο του υδροφορέα, ενώ στο Σχήµα 5.0, η κατά πλάτος τοµή Β - Β στο βόρειο τµήµα του υδροφορέα. Όπως παρατηρείται, η τοµή Β - Β παρουσιάζει απότοµες αυξοµειώσεις της πιεζοµετρίας, ειδικά κατά το µήνα Σεπτέµβριο. Αυτό οφείλεται στο ότι η τοµή διέρχεται από 4 πηγάδια άντλησης τα

148 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 4 G, G, G και G 8. Ειδικότερα, στο G 8, παρουσιάζεται η µεγαλύτερη πτώση φορτίου, επειδή αντλείται παροχή ίση µε 40 m /d. Εκεί που οι τρείς πιεζοµετρίες συγκλίνουν, είναι το σηµείο απο το οποίο διέρχεται ο Αξιός ποταµός. Στο σχήµα 5. φαίνεται η διακύµανση του υδατικού ισοζυγίου στον υδροφορέα για κάθε µήνα έρευνας και αθροιστικά, απ'όπου προκύπτει ότι σε χρόνια έχουν µειωθεί τα υδατικά αποθέµατα του υδροφορέα κατά εκατοµµύρια κυβικά µέτρα. Τέλος, στο σχήµα 5., παρουσιάζεται η απώλεια µάζας λόγω αριθµητικών σφαλµάτων στρογγύλευσης και αποκοπής κατά τη διαδικασία της επίλυσης του µοντέλου µε τις αριθµητικές µεθόδους που περιγράφηκαν στο ο κεφάλαιο. Η απόκλιση αυτή είναι της τάξης του ± 6%.

149 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5.4 Πιεζοµετρία το µήνα Ιούνιο του 986 [m].

150 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5.5 Πιεζοµετρία το µήνα Ιούλιο του 986 [m].

151 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5.6 Πιεζοµετρία το µήνα Αύγουστο του 986 [m].

152 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5.7 Πιεζοµετρία το µήνα Σεπτέµβριο του 986 [m].

153 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές E G 84 G G G G G 8 G 4 G G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 67 EE G G G 459 E 8 E 9 G G G Σχήµα 5.8 Τελική πιεζοµετρία το µήνα Μάρτιο του 987 [m].

154 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές Πιεζοµετρία Αρχικά φορτία (/986) 9.0 Φορτία 6 µηνών (9/986) 8.5 Τελικά φορτία (/987) Αρίθµηση κελιών Σχήµα 5.9 Κατά πλάτος τοµή Α - Α' στο µέσο του υδροφορέα Πιεζοµετρία Αρχικά φορτία (/986) Φορτία 6 µηνών (9/986) Τελικά φορτία (/987) G G G Γεωτρήσεις G8 Σχήµα 5.0 Κατά πλάτος τοµή Β - Β' στο βόρειο τµήµα του υδροφορέα

155 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 48.00E06 Ογκος νερού (m) 0.00E E E E E E06 Αθρ.όγκος Ο.ν/µήνα Μήνες (/986- /988) Σχήµα 5. ιακύµανση υδατικού ισοζυγίου για έτη έρευνας (Ψιλοβίκος κ.α. 996) ε= m/m ( % ) Απόκλιση % Κάτω όριο -6% Ανω όριο 6% Μήνες Σχήµα 5. Απώλεια µάζας ε = m/m λόγω αριθµητικών σφαλµάτων (Ψιλοβίκος κ.α. 996).

156 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Αφού λυθεί το πρόβληµα της προσοµοίωσης της λειτουργίας του υδροφορέα µε το µοντέλο MODFLOW, στη συνέχεια το επόµενο βήµα είναι η επίλυση του προβλήµατος διαχείρισης µε το µοντέλο MODMAN και βελτιστοποίησης µε τα µοντέλα LINDO, LINDO FOR WINDOWS '95, GINO και EXCEL, ανάλογα µε την περίπτωση. Το ζητούµενο είναι η βέλτιστη κατανοµή των αντλήσεων, η µεγιστοποίηση των αντλήσεων µε όσο το δυνατό διατήρηση της πιεζοµετρίας σε ανεκτά από τους περιορισµούς όρια και η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους των αντλήσεων στον ελεύθερο υδροφορέα της περιοχής Ειδοµένης - Ευζώνων. Οι περιορισµοί της πιεζοµετρίας έχουν δοθεί έτσι, ώστε η στάθµη του ελεύθερου υδροφορέα στα σηµεία ελέγχου να µην πέφτει κάτω από τη στάθµη των φίλτρων. Τα αντλούµενα πηγάδια είναι 6 από τα οποία τα 9 (G 44, G 84, G 8, G 67, E E, G 459, G 460, G 46 και G 58 ) χρησιµοποιούνται ως σηµεία ελέγχου της πιεζοµετρίας, όπως εκτενώς θα αναλυθεί στην παράγραφο 5... Τα πηγάδια αυτά είναι τα δυσµενέστερα από πλευράς πιεζοµετρίας και κατ'επέκταση και κόστους άντλησης, επειδή λαµβάνουν χώρα οι πιο εκτεταµένες πτώσεις φορτίου σε σύγκριση µε τα υπόλοιπα πηγάδια. Προτού όµως προχωρήσουµε σ'αυτό το στάδιο, είναι σκόπιµο να αναφερθούν ορισµένα απλούστερα παραδείγµατα, τα οποία είναι αρκετά κατατοπιστικά για τη συνδυασµένη λειτουργία των µοντέλων διαχείρισης και βελτιστοποίησης καθώς επίσης και των µεθόδων Γραµµικού, Ακέραιου και Τετραγωνικού Προγραµµατισµού από τη συγκριτική αξιολόγηση των οποίων προκύπτουν ενδιαφέροντα συµπεράσµατα. 5.. Γραµµικός και Μικτός Ακέραιος Προγραµµατισµός Πηγάδια, µήνες διαχείρισης (LINDO FOR WINDOWS '95, Pslovos 998) Κατά την επίλυση του συγκεκριµένου παραδείγµατος µε 4 πηγάδια άντλησης, τα οποία αποτελούν σηµεία ελέγχου της πιεζοµετρίας, δε δίνεται έµφαση στην επίλυση του φυσικού προβλήµατος από πλευράς αναγκών νερού, αλλά στην επίλυση κυρίως του µαθηµατικού προβλήµατος για να γίνει αντιληπτό πως λειτουργεί και καταστρώνεται ένα πρόβληµα Μαθηµατικού Προγραµµατισµού στον τοµέα της Βέλτιστης ιαχείρισης Υπόγειων Υδροφορέων. Ο σκοπός είναι η µεγιστοποίηση της συνολικά αντλούµενης ποσότητας νερού από όλα τα πηγάδια, µε την ταυτόχρονη ικανοποίηση όλων των περιορισµών του προβλήµατος. Έτσι η γραµµική αντικειµενική προς βελτιστοποίηση συνάρτηση, έχει τη µορφή :

157 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 50 4 mn f (X) = C j (5.) = j= j Η συνάρτηση αυτή, υπακούει σε γραµµικούς περιορισµούς, που αφορούν την πιεζοµετρία του υδροφορέα και οι οποίοι έχουν εκφραστεί µε βάση τη µέθοδο του µητρώου ανταπόκρισης και της χωρικής και χρονικής επαλληλίας των αντλήσεων από όλα τα πηγάδια. Έτσι µε βάση την εξίσωση (4.6) και τις επεξηγήσεις των όρων που αφορούν στις σχέσεις (4.), (4.) και (4.6), για Τ =, control = 4, j max = 4, προκύπτει η εξίσωση : h = U H = 4 = j= α ( ) j j b = U H,mn (5.) όπου όλοι οι υπόλοιποι όροι έχουν επεξηγηθεί στο Κεφάλαιο 4. Για τις τιµές των παροχών απαιτούνται περιορισµοί που να κυµαίνονται από 0 µέχρι µια µέγιστη τιµή max. Οι περιορισµοί αυτοί, εκφράζονται : j j 0 max (5.) όπου j =,,4 και =,,. Η ανισότητα (5.) δικαιολογείται από το γεγονός ότι οι παροχές άντλησης λαµβάνονται αρνητικές, ενώ τυχόν παροχές επαναπλήρωσης, θετικές. Αυτό δικαιολογεί και το πρόβληµα ελαχιστοποίησης της αντικειµενικής συνάρτησης (5.) το οποίο, στην ουσία είναι ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης των συνολικά αντλούµενων παροχώνων. Επειδή, λοιπόν, οι αντλήσεις λαµβάνονται αρνητικές, γι αυτό η αντικειµενική συνάρτηση εκφράζεται ως πρόβληµα ελαχιστοποίησης. Τέλος, οι περιορισµοί ισοζυγίου αναφέρονται στη συνολικά αντλούµενη ποσότητα νερού, ώστε να είναι σταθερή ανά µήνα για όλα τα πηγάδια και εκφράζονται : 4 j= j = ct, =,, (5.4) όπου ct όπως ορίστηκε στην (4.8) Το πρόβληµα έτσι όπως περιγράφεται από τις σχέσεις (5.) (5.4) είναι πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού. Στη συνέχεια µε την προσθήκη των περιορισµών που ακολουθούν, το πρόβληµα αυτό µετατρέπεται σε πρόβληµα Μικτού Ακέραιου και ειδικότερα, σε πρόβληµα Σταθερού Φορτίου (Fxed Charges). Οι περιορισµοί αυτοί προκύπτουν από τις σχέσεις (4.9) και (4.) και έχουν ως εξής :

158 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 5 j I j M 0 4 I j j= I = 0 ή j j =,...,4 (5.5) Όπου I j δυαδικές µεταβλητές. Υπενθυµίζεται ότι οι µεταβλητές αυτές I j, λαµβάνουν τιµή ίση µε «0», άν η τιµή της αντίστοιχης παροχής άντλησης j είναι ίση µε «0» και τιµή ίση µε, αν η τιµή της παροχής j είναι διαφορετική από «0». Η φυσική σηµασία του περιορισµού (5.5) είναι ότι από ένα σύνολο τεσσάρων διαθέσιµων γεωτρήσεων επιτρέπεται να αντλούνται το πολύ οι τρεις από αυτές και η πλέον ασύµφορη από οικονοµικής πλευράς να πάψει να αντλείται. Εκτός από τον περιορισµό αυτό µεταβάλλεται και η αντικειµενική συνάρτηση. Τελικά, η κατάστρωση του προβλήµατος παίρνει τη µορφή : Αντικειµενική συνάρτηση 4 mn f (X) C C M (I I I I 4 ) = = j= j j (5.6) όπου C M Ο µεγαλύτερος από τους συντελεστές κόστους που υπεισέρχονται στην αντικειµενική συνάρτηση. Για τα προβλήµατα (5.) και (5.6) οι συντελεστές κόστους C είναι ίσοι µε, και οι γεωτρήσεις λαµβάνονται ισοβαρείς. Μεγάλος θετικός αριθµός, ίσος κατ'απόλυτη τιµή µε τη µεγαλύτερη επιτρεπόµενη παροχή άντλησης από τους περιορισµούς. Περιορισµοί πιεζοµετρίας [m] στο τέλος του τρίτου µήνα των αντλήσεων (Τ = ) που προέρχονται από τη χωρική και τη χρονική επαλληλία του συνδυασµού όλων των γεωτρήσεων, µε βάση τη σχέση (5.). H,mn,mn,mn 4,mn = = 40, H = 9, H = 7, H 6 (5.7) Περιορισµοί στα µεγέθη των παροχών [m /d] για κάθε έναν µήνα άντλησης , 0 500, 0 500, (5.8)

159 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 5 Περιορισµοί ισοζυγίου [m /d]ανά µήνα αντλήσεων. 4 j= j = 900 (5.9) Για τις σχέσεις (5.8) και (5.9), ισχύει =,,. Ο τιµή του περιορισµού (5.9), δίνεται αυθαίρετα µε την έννοια ότι δεν ικανοποιείται το φυσικό πρόβληµα από πλευράς αναγκών νερού, αλλά το µαθηµατικό πρόβληµα. Περιορισµοί Ακέραιου Προγραµµατισµού, όπως προκύπτουν από τη σχέση (5.5) για j max = 4. I I j 4 I I I I I 4 I = 0, η, j =,...,4 M 0, M 0, M 0, M 0 I 4, (5.0) Τα προβλήµατα (5.) και (5.6) µε τους περιορισµούς (5.7) (5.0), λύνονται µε το πρόγραµµα LINDO for WINDOWS 95 (WINSTON, 995), το οποίο έχει τη δυνατότητα κατασκευής διαγραµµάτων, ιστογραµµάτων και την απευθείας εξαγωγή όλων των στοιχείων. Είναι πολύ εύχρηστο και φιλικό αλλά έχει περιορισµένες δυνατότητες γιατί είναι για εκπαιδευτικούς κυρίως σκοπούς. Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν φαίνονται στους πίνακες (5.7), (5.8) και (5.8α) και στα σχήµατα (5.), (5.4) και (5.5) : Πίνακας 5.7 Βέλτιστες Αντλήσεις [m /d] Γραµµικού Προγραµµατισµού. Πηγάδια max ος Μήνας ος Μήνας ος Μήνας G G Ε Ε G Πίνακας 5.7α Βέλτιστες Αντλήσεις [m /d] Μικτού Ακέραιου Προγραµµατισµού. Πηγάδια max ος Μήνας ος Μήνας ος Μήνας G G Ε Ε G

160 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 5 Πίνακας 5.8 υαδικές µεταβλητές της επίλυσης µε Μικτό Ακέραιο Προγραµµατισµό Πηγάδια ος Μήνας ος Μήνας ος Μήνας G 44 G Ε Ε 4 G 459 Πίνακας 5.8α Βέλτιστη Πιεζοµετρία [m] LP και MIP Πηγάδια Γραµµικός Προγραµµατισµός Ακέραιος Προγραµµατισµός Ελάχ. Στάθµες Βέλτιστη λύση Ελάχ. Στάθµες Βέλτιστη λύση G 44 H mn = 8. H = 40.7 H mn = 8. H = G 84 H mn = 8. H = 9.7 H mn = 8. H = Ε Ε H mn = 7. H = 9.54 H mn = 7. H = G 459 H 4mn = 6. H 4 = 6.54 H 4mn = 6. H 4 = Ε λ ά χ. Σ τ ά θ µ ες Βέλτιστη λύ ση (L P ) Πιεζοµετρικά φορτία (m) Σχήµα 5. G44 G84 EE G459 Γ ε ω τ ρ ή σ ε ις Βέλτιστη πιεζοµετρία (LP) Πιεζοµετρικά φορτία (m) Ελάχ. Στάθµ ες Βέλτιστη λύ ση (M IP ) G44 G84 EE G459 Γεωτρήσεις Σχήµα 5.4 Βέλτιστη πιεζοµετρία (MIP - fxed charges)

161 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογές 54 Σχήµα 5.5 Η κατάστρωση του προβλήµατος βετιστοποίησης µε Γραµµικό Προγραµµατισµό (Lndo for WINDOWS'95, WINSTON, 995). Με την προηγούµενη απλή περίπτωση διατηρείται ο ίδιος συνδυασµός πηγαδιών και για τους τρεις µήνες της διαχείρισης µε αποτέλεσµα, η γεώτρηση που µένει ανενεργή να είναι πάντα η δεύτερη. Αυτό συµβαίνει, γιατί οι δυαδικές µεταβλητές, που έχουν εισαχθεί µε βάση τη µέθοδο Fxed Charges, έχουν µόνο δείκτη, που σηµαίνει ότι αντιπροσωπεύουν τη γεώτρηση χωρίς να ενδιαφέρει ο µήνας άντλησης. ηλαδή, αν η δυαδική µεταβλητή πάρει την τιµή 0, η αντίστοιχη γεώτρηση θα µείνει ανενεργή σε όλες τις περιόδους διαχείρισης. Το γεγονός αυτό έχει το πλεονέκτηµα ότι απλοποιεί το πρόβληµα σε ότι αφορά τους αριθµητικούς υπολογισµούς και το µειονέκτηµα ότι περιορίζει το πρόβληµα γιατί πάντα η ίδια γεώτρηση παραµένει ανενεργή σε όλους τους µήνες. Μια πιο πολύπλοκη περίπτωση από την προηγούµενη είναι να τεθεί µεν ως περιορισµός να λειτουργούν µόνο «από τις 4» γεωτρήσεις, αλλά µε διαφορετικούς ανά µήνα συνδυασµούς πηγαδιών. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσµα η γεώτρηση, που µένει ανενεργή, να µην είναι η ίδια για όλους τους µήνες, αλλά να είναι µια χωρίς να ενδιαφέρει ποια θα είναι αυτή, αρκεί να ικανοποιούνται όλοι οι περιορισµοί ισοζυγίου και πιεζοµετρίας. ηλαδή µε τον τρόπο αυτό το