Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )"

Λευκοθέα Μακρή
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 ΕΡΓΑΣΙΑ η Θέμα (μονάδες ) i. Δείξτε ότι ( a b) c a ( b c ) + b( a c ). a b c+ c a b+ b c a ii. Δείξτε την ταυτότητα Jacobi : ( ) ( ) ( ) Απάντηση i. Έστω a a, a, a, b b, b, b, c c, c, c Τότε a b ab ab, ab ab, ab ab a b c και ( ) a( b c) + b( a c) ii. Απλά προσθέτουμε τις σχέσεις: a b c a b c + b a c ( c a) b c( a b) + a( c b b c a b c a + c b a ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Θέμα (μονάδες ) i. Εκφράστε το διάνυσμα x (,, ) ως γραμμικό συνδυασμό των u (,, ) υ (,, ) w (,, ). Δηλαδή να βρεθούν οι πραγματικοί α, b και c ώστε να μπορεί να γραφεί το x ως x au + b υ + cw. ii. Έστωσαν τα σημεία A (,,) B (,, 4) D (,, ). Βρείτε σημείο C ώστε το ABCD να είναι παραλληλόγραμμο. Απάντηση i.. Θα πρέπει να βρούμε τα a, b, c ώστε

2 Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 Εξισώνοντας τις αντίστοιχες συντεταγμένες παίρνουμε το σύστημα Από την τελευταία έχουμε οπότε η πρώτη γίνεται. Με αντικατάσταση στην δεύτερη παίρνουμε ή Επομένως έχουμε και Άρα ii. Θα πρέπει το διάνυσμα να ταυτίζεται με το διάνυσμα Επομένως c d b a και c d + b a Άρα c + 4 Θέμα (μονάδες ) Έστω a,, και b,, ( ) ( ) Βρείτε: i. Το μήκος της προβολής του b στο a. ii. Τις γωνίες που σχηματίζει το a με τους άξονες συντεταγμένων iii. Την γωνία μεταξύ a και b. iv. Τις συντεταγμένες του μέσου του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τα σημεία (,,) και (,, ). v. Την επιφάνεια του παραλληλογράμου που σχηματίζεται από τα a, b vi. Αν c (,, ) βρείτε τον όγκο του παραληλεπιπέδου που σχηματίζεται από τα a, b και c. Απάντηση i. Το μήκος της προβολής είναι ii. Η γωνία α με τον άξονα των x είναι όμοια για τους iii. άλλους άξονες βρίσκουμε Για την γωνία μεταξύ των διανυσμάτων έχουμε iv. Οι συν/νες του μέσου προκύπτουν ως.

3 Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 v. vi. iˆ ˆj kˆ a b iˆ ˆj kˆ Έχουμε και Θέμα 4 (μονάδες ) Να μελετηθούν οι λύσεις των παρακάτω συστημάτων για διάφορες τιμές των μ και ν (μ,ν,x,y,z πραγματικοί αριθμοί). μx+y+z x-z - () i x+μy+z ( ii ) x+νy-z - x+y+μz x+y+νz Απάντηση i. Η ορίζουσα του πρώτου συστήματος υπολογίζεται πως είναι μ D μ μ( μ ) ( μ ) + ( μ) μ( μ )( μ+ ) ( μ ) μ ( μ ) μ( μ+ ) ( μ )( μ + μ ) ( μ )( μ )( μ+ ) ( μ ) ( μ+ ) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:. μ και μ. Τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την Dx x D μ + Dy y D μ + Dz z D μ + γιατί εύκολα βρίσκει κανείς ότι ( ) D D D μ x y z. μ. Τότε το σύστημα καταλήγει στην x+y+z, δηλαδή άπειρες λύσεις με δύο ελεύθερες παραμέτρους.. μ. Τότε το σύστημα γίνεται: -x+y+z x-y+z x+y-z

4 Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 το οποίο είναι αδύνατο όπως φαίνεται αν προσθέσουμε όλες τις εξισώσεις κατά μέλη. ii. Για το δεύτερο σύστημα έχουμε D ( ν + )( ν ). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:. ν και ν. Τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την Dx ( ν + ) x D ν + Dy 4 y D ν + Dz 4 z D ν +. ν Τότε οι ορίζουσες υπολογίζονται ως D 84 D 8 D 8 και επομένως το σύστημα είναι αδύνατο. x y z. ν Τότε το σύστημα καταλήγει στην x-z - x + z x+y-z - x+y-z - x+y+z y z + x+y+z δηλαδή άπειρες λύσεις με μια ελεύθερη παράμετρο. Θέμα (μονάδες ) Δίνεται το τριώνυμο (4λ ) x + ( λ ) x λ. i. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε οι ρίζες του : α) να έχουν άθροισμα 4 β) να είναι ετερόσημες με απόλυτα μεγαλύτερη τη θετική και γ) να είναι αντίστροφες. ii. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η γραφική παράσταση του τριωνύμου: α) να έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των y β) να εφάπτεται στο άξονα των x γ) να έχει κορυφή ένα σημείο με τεταγμένη. Απάντηση Καταρχάς θα πρέπει (4λ ) λ / 4 i. Για να έχει το τριώνυμο ρίζες πρέπει η διακρίνουσά του να είναι Δ> που β 4αγ > ( λ ) 4(4λ )( λ) > σημαίνει ότι λ + λ+ 6λ 4λ > 7λ 6λ+ > Χρειάζεται τώρα να διερευνήσουμε πότε το τριώνυμο 7λ 6λ + είναι θετικό. Επειδή η διακρίνουσα του είναι Δ ( 6) και είναι πάντα αρνητική το τριώνυμο 7λ 6λ + είναι θετικό για κάθε λ. Άρα και το (4λ ) x + ( λ ) x λέχει ρίζες για κάθε λ.

5 Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 α) Η συνθήκη για να έχουν οι ρίζες άθροισμα 4 είναι β λ 4 4 ( λ) 4(4λ ) λ 6λ 4 7λ λ α 4λ 7 ii. (β) Από τα προηγούμενα έχουμε εξασφαλίσει την ύπαρξη των δύο ριζών για κάθε λ. Για να είναι οι ρίζες ετερόσημες πρέπει να ισχύει ότι γ λ < < λ(4λ ) > λ < ή λ >. α 4λ ενώ για να είναι απολύτως μεγαλύτερη η θετική θα ισχύει ότι β λ > > ( λ )(4λ ) <. < λ < α 4λ Όλες λοιπόν οι συνθήκες συναληθεύουν όταν. < λ < γ) Για να είναι οι ρίζες αντίστροφες πρέπει να ισχύει ότι γ λ λ α 4λ α) Αφού το τριώνυμο έχει πάντα ρίζες αρκεί να ζητήσουμε να έχουν άθροισμα β λ. λ α 4λ β) θα πρέπει να είναι Δ που όμως είναι αδύνατο όπως αποδείξαμε παραπάνω. γ) η κορυφή έχει τεταγμένη f β ( α ) η οποία είναι ίση με. Άρα θα ισχύει ότι β λ λ f ( ) (4λ )( ) + ( λ )( ) λ 7λ λ+ α (4λ ) (4λ ) λ., λ.8 Θέμα 6 (μονάδες ) i. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f ( x) sin( ax+ b). Να βρεθούν τα ab, R, ώστε η συνάρτηση να είναι περιττή. ii. Αν για μια συνάρτηση g ισχύει g( x) + g( x) cosx, να δείξετε ότι η g είναι άρτια και να βρείτε τον τύπο της g. Απάντηση i. Για να είναι η συνάρτηση περιττή θα ισχύει ότι f ( x) f ( x) sin( ax + b) sin( ax + b) sin( ax + b) sin( ax b) a) ax+ b ax b+ kπ b kπ και α οτιδήποτε και b) ax + b + ( ax b) π + kπ ax π + kπ (αδύνατο) άρα είναι δεκτή η λύση bkπ και α οτιδήποτε. ii. g( x) + g( x) cosx g( x) + g( x) cos( x) g( x) + g( x) cosx αφού cos( x) cos x.

6 Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 Επομένως gx ( ) + g( x) g( x) + gx ( ) gx ( ) gx ( ) g( x) g( x) gx ( ) g( x) πράγμα που σημαίνει ότι η g είναι άρτια. Αφού όμως g( x) g( x) g( x) + g( x) g( x) + g( x) g( x) και επομένως g( x) cos( x) g( x) cosx Θέμα 7 (μονάδες ) i. Δίνονται οι συναρτήσεις f( x) x+ και gx ( ) ax+ 4.Για ποια τιμή του α ισχύει f g g f ; ii. Εχει η συνάρτηση f( x) ln( x ) αντίστροφη; Αν έχει να βρεθεί, αλλιώς να διερευνηθεί κάτω από ποιες προϋποθέσεις έχει αντίστροφη και να βρεθεί η αντίστροφή της. Απάντηση f g g f f( g( x)) g( f( x)) ( ax+ 4) + a(x+ ) + 4 i. ax + + ax + a + 4 a a ii. Κατ αρχήν θα πρέπει x > x< ή x >. Ορίζονται όμως έτσι δύο κλάδοι της συνάρτησης και δεν είναι - αφού για αντίθετα x η συνάρτηση παίρνει την ίδια τιμή. Επομένως δεν είναι αντιστρέψιμη. Μπορεί όμως να αντιστραφεί κατά κλάδο. Ορίζουμε λοιπόν τους κλάδους της συνάρτησης. Ο πρώτος θα είναι f ( x) ln( x ), x> και εδώ η συνάρτηση είναι - και «επί» αφού για x x f( x) f( x) και το σύνολο των πραγματικών αριθμών R είναι εικόνα και πεδίο τιμων. Η αντίστροφη συνάρτηση του κλάδου μπορεί να y y βρεθεί ώς εξής: y ln( x ) e x x e + x+ e y + (αφού είναι το x σαν μεγαλύτερο του είναι εδώ θετικό). Η αντίστροφη λοιπόν x συνάρτηση είναι η y + e +. Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε και για τον άλλο κλάδο f( x) ln( x ), x<, όπου και εδώ η συνάρτηση είναι - και «επί». Η αντίστροφη συνάρτηση θα είναι y y y ln( x ) e x x e + x e y + (αφού το x σαν x μικρότερο του - είναι αρνητικό) και η τελική της μορφή είναι y e +.

7 Â Ñ ÑÓÒ ½¼µ ÒÓÒØ Ó ÔÒ A B Æ ÙÔÓÐÓ ØÓ Ò Ñ Ô³ Ù ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ó deta det (A) detb A AB deta det (AB)º ËØ ÙÒ Õ Ò Ô Ð ÙØ Ø deta / deta det (AB) deta detbº Á Õ Ø det (A) deta ÄÍËÀ deta (4 + 6) + 4 ( + 4) detb det( A) ( ) (9 4) + 8 (8 6) (6 + 4) + (7 + 6) È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø det(a) º Ò Ò N N ÔÒ Õ Ø det(λa) λ N detaº A B

8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A deta deta ( ) + ( ) + 44 ( + 44 ) 88 deta 4 7 det(a B) deta detb

9 Â Ñ ÑÓÒ ½¼µ Ò Ø Ó ÔÒ ô Ó ÔÒ R A cos o sin o sin o cos o Ó ÓÔÓÓ Ô Ö ØÖ ØÓÒ A Ø o º ÙØ Ò Ø ÙÒ Ù Ñ Ñ ØÓÒ ÔÒ ÔÓÙ Ô Ö ØÖ ØÓÒ A Ø Ø Ò ÒØ Ø ÓÖ Ðº Ø o R T cos ( o ) sin ( o ) sin ( o ) cos ( o ) cos o sin o sin o cos o À Ö Ø Ô Ö ØÖÓ Ô ØÓÙ ÔÒ R R T Ô ÒÛ ØÓÒ A Ñ Ò ØÓÒ Ô Ö ØÖ ÑÑ ÒÓ ÔÒ µ ÍÔÓÐÓ Ø ØÓÒ ÔÒ A R A R RAR T µ ÜØ Ø ÓÖÞÓÙ deta R detaº µ ÜØ Ø Ö ØÓÙ R T Ò Ö ÙØ ØÓÙ R Ô Ö ØÖ ÓÒØ ØÓÒ A R Ô Û ØÓÒ Rº Ð Ø R T A R R Aº µ ÜØ Ø Ö ØÓÙ R Ó ÓÖ Ô Ö ØÖ ØÓÒ A Ø o + o 6 o º Ö Ò Ü Ø Ó ØÓ ÓÐÓ Ø Ø cos 6 o sin 6 o R RR sin 6 o cos 6 o µ ÜØ Ø Ó Ø Ñ λ λ λ Ô Ð ÓÙÒ Ø Ó Ô Ö ØÛ Ü ô det (A R λi ) det (A λi )

10 ÔÓÙ I Ó ÑÓÒ Ó ÔÒ º Ë Ñ Ç λ λ λ Ð ÓÒØ ÓØ Ñ ØÛÒ Ó Ô Ò ÛÒ ÔÛ Ð Ô Ø Ò Ó Ò µº µ ÜØ Ø RR T R T R I º ÍÔ Ü Ò Ø Ø sin o cos 6 o / cos o sin 6 o /º Ò Ò Ò Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Õ ØÖ ÛÒÓÑ ØÖ Ö Ò ÒØ Ø Ø Ø Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ñ Ò Ù Ø ÒÛÖÞ Ø ÑÔÓÖ Ø Ò Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ø µº ËØ Ò Ô Ö Ö Ó º ØÓÙ ÐÓÙ ÑÔÓÖ Ø Ò Ö Ø ÕÖ Ñ ÔÐ ÖÓ ÓÖ º ÄÍËÀ ³ ÕÓÙÑ Ø R R T µ A R 7

11 µ µ deta R deta ( ) 6 R T A R R 7 Ò ÐÐ Ø ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ØÓÙ Ø Ð ÙØ ÓÙ ÙÔÓ¹ ÖÛØ Ñ ØÓ Ø ÙØ R R T R T R I Ô ÖÒÓÙÑ R T A R R R T (R A R T ) R (R T R) A (R T R) I A I A µ R R È ÖÓÑÓÛ Ô ÖÒÓÙÑ (R T ) (R ) T cos 6 o sin 6 o sin 6 o cos 6 o cos 6 o sin 6 o sin 6 o cos 6 o ½µ

12 µ µ Ì Ø Ö ØÓÙ R Ó ÓÖ Ò A R A R T R (R A R T ) R T (R) A (R T ) ÔÓÙ Ñ ÛÒ Ñ ØÓÒ ÓÖ Ñ ÔÓÙ ô Ñ Ø Ò ØÖ ØÓÒ ÔÒ A Ø o + o 6 o det(a λi ) λ λ λ Õ Ð Ø λ λ λ ( λ)( λ)( λ) λ det(a R λi ) 7 λ λ ( λ) λ 7 λ ( λ) ( λ) 6 [ ( 4 λ)(7 4 λ) 6 [( 4 λ)(7 4 λ) ] Å ÔÐ ÒØ Ø Ø ØÛÒ Ø ÑôÒ λ λ λ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ö Ö ÓÙÑ Ø Ñ ÒÞÓÙÒ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖÞÓÙ¹ º R R T R T R ]

13 Â Ñ ½¼ ÑÓÒ ½¼µ ÒÓÒØ Ó ÔÒ A R A R Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò º ³ ØÛ Ó ÔÒ Ö ÑÑ» Ø Ð y y y y y T ( ) y y y À Ö ØÓÙ R Ô ÒÛ Ø y y T Ø Ô Ö ØÖ ÒÓÒØ ØÓÙ ÔÒ y R Ry y T R y T R T µ ÜØ Ø y T R A R y R y T Ayº µ ³ ØÛ Ó ÔÒ ÜØ Ø v v v. Av λ v Av λ v Av λ v ÔÓÙ ÔÛ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò λ λ λ º µ ÜØ Ø A R v R λ v R A R v R λ v R A R v R λ v R ÔÓÙ v R Rv v R Rv v R Rv Ë Ñº Ì Ò Ñ Ø v v v v R v R v R Ð ÓÒØ Ø Ó Ò Ñ Ø ØÛÒ Ô Ò ÛÒ A A R ÒØ ØÓ Õ º Å Ð ÔÓ Ü Ø Ø Ø Ó Ò Ñ Ø ØÓÙ Ô Ö ØÖ ÑÑ ÒÓÙ ÔÒ A R ÔÖÓ ÔØÓÙÒ Ô Ø Ò Ô Ö ØÖÓ ØÛÒ Ó ÒÙ Ñ ØÛÒ ØÓÙ ÖÕ Ó ÔÒ A µ ÄÍËÀ

14 µ y R R y y y y y y y + y y y R T y T R T ( y y y ) ( y y y + ) y y y RT A R y R ( ( y y y y y + ) y y y + ) y y 7 y y y + y y y y y + y y y + y + y y T A y ( y y y ) ( y y y ) y y y y y y y + y + y µ A v A v v v

15 A v v µ v R v R v R R v R v R v A R v R A R v R A R v R v R λ v R v R λ v R v R λ v R

Σχετικά έγγραφα

½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾

½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾ Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÇÖ Ó ÛÒÛÒ º½ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÌÓ ÐÓ ³ Ò ÒØÓÑÓ ÓÑÓ Ò Ñ Ñ ÒÓ ½ ÔÖÓØ Ó ÓÖ ¹ ÑÓ Ø Ò ÖÕ º ËØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÔÖ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÓÖÓ Ò ÓÖÓÙ ÙÒ Ù ÑÓ ÓÖ Ó ÛÒÛÒ Ø ØÖ ôòûò ÓÙ Ô