«ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ»

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ «ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ» Αικατερίνη Σ. Κασαννή Διπλωματική Εργασία που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πειραιάς Ιούνιος

2 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς στην υπ αριθμ.. συνεδρίασή του σύμφωνα με τον Εσωτερικό Κανονισμό Λειτουργίας του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Τα μέλη της Επιτροπής ήταν: - Ε. Χατζηκωνσταντινίδης Επιβλέπων - Μ. Νεκτάριος - Π. Χατζόπουλος Η έγκριση της Διπλωματική Εργασίας από το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα

3 UNIVERSITY O PIREAUS DEPARTMENT O STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE MSC IN ACTUARIAL SCIENCE AND RISK MANAGEMENT STOCHASTIC SURPLUS PROCESSES ITH DEPENDENCE AND DIVIDEND STRATEGIES B Aar S. Kaa MS Drao d o h Dpar o Sa ad Ira S o h Uvr o Pra paral lll o h rqr or h dgr o MS Aaral S ad R aag Pra Gr J

4 - 4 -

5 - 5 - Στην οικογένεια μου

6 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Αρχικά θα ήθελα να εκφράσω τις ιδιαίτερες ευχαριστίες μου στον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Ε. Χατζηκωνσταντινίδη Αναπληρωτή Καθηγητή στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς για την πολύτιμη καθοδήγησή του την υπομονή που επέδειξε και την ουσιαστική βοήθεια του καθ όλη τη διάρκεια της συνεργασίας μας. Τέλος θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου στους γονείς μου που μου συμπαραστέκονται και στηρίζουν ηθικά και οικονομικά κάθε προσπάθεια και επιλογή μου. Αικατερίνη Σ. Κασαννή Ιούνιος

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη διαφόρων μέτρων χρεοκοπίας και η κατανομή των καταβαλλόμενων μερισμάτων για στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος με εξάρτηση μεταξύ των ενδιάμεσων χρόνων εμφάνισης των κινδύνων και των αντίστοιχων μεγεθών ατομικών ζημιών θεωρώντας παράλληλα και την ύπαρξη στρατηγικών μερισμάτων. Στην παρούσα εργασία θα εξεταστεί η δομή εξάρτησης μέσω της σύζευξης των arl-gl-morgr. Τότε για κάθε μία από τις εξεταζόμενες περιπτώσεις και για τις αντίστοιχες τροποποιημένες στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος θα μελετηθούν οι συναρτήσεις των Grr-Sh καθώς και τα αναμενόμενα μερίσματα που καταβάλλει η ασφαλιστική εταιρία μέχρι τη στιγμή της χρεοκοπίας. Αρχικά στο Κεφάλαιο 1 δίνουμε μία λεπτομερή περιγραφή του κλασσικού μοντέλου της θεωρίας κινδύνων και παρουσιάζουμε κάποια σημαντικά αποτελέσματα για τη συνάρτηση των Grr-Sh για το προαναφερόμενο μοντέλο. Επίσης στη συνέχεια του ίδιου κεφαλαίου δίνεται αναλυτική περιγραφή του γενικευμένου Erlag ανανεωτικού μοντέλου κινδύνου του οποίου ειδική περίπτωση αποτελεί το κλασσικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνων. Στο Κεφάλαιο 2 εισάγουμε μία στρατηγική σταθερού μερίσματος και παρουσιάζουμε αναλυτικά αποτελέσματα για τη συνάρτηση των Grr-Sh και των ροπών των προεξοφλημένων μερισμάτων κάτω από την ύπαρξη της προαναφερόμενης στρατηγικής τόσο στη περίπτωση του κλασσικού μοντέλου όσο και στην περίπτωση του γενικευμένου Erlag ανανεωτικού μοντέλου της θεωρίας κινδύνων. Στο Κεφάλαιο 3 εξετάζουμε την περίπτωση του ανανεωτικού μοντέλου της θεωρίας κινδύνων με εξάρτηση μέσω της σύζευξης των arl-gl-morgr. Υποθέτουμε ότι οι ενδιάμεσοι χρόνοι άφιξης των απαιτήσεων ακολουθούν την κατατομή Erlag. Αρχικά ορίζουμε τη δομή εξάρτησης και στη συνέχεια γίνεται λεπτομερής ανάλυση της συνάρτησης των Grr-Sh όταν το αρχικό αποθεματικό είναι μηδέν. Αποδεικνύεται στη συνέχεια ότι η συνάρτηση των Grr-Sh ικανοποιεί μία ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση και δίνεται η λύση της. Στη συνέχεια για εκθετικά κατανεμημένες απαιτήσεις δίνονται αναλυτικές εκφράσεις και αριθμητικά παραδείγματα για την πιθανότητα χρεοκοπίας και το μετασχηματισμό Lapla του χρόνου χρεοκοπίας

8 Στο Κεφάλαιο 4 θεωρούμε την περίπτωση του ανανεωτικού μοντέλου της θεωρίας κινδύνων όπου η από κοινού κατανομή των ενδιάμεσων χρόνων και των μεγεθών των απαιτήσεων εμφανίζει εξάρτηση μέσω της σύζευξης των arl-gl-morgr και οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακολουθούν την Erlag κατανομή υπό την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος. Στο κεφάλαιο αυτό δείχνουμε ότι η συνάρτηση των Grr-Sh ικανοποιεί μία ολοκληρο-διαφορική εξίσωση και δίνονται οι αντίστοιχες οριακές συνθήκες. Στη συνέχεια δείχνουμε ότι η λύση της μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα της προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής των Grr-Sh για το ίδιο μοντέλο κινδύνου απουσία στρατηγικής μερίσματος και ενός γραμμικού συνδυασμού από πεπερασμένες το πλήθος γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της αντίστοιχης ομογενούς ολοκληρο-διαφορικής εξίσωσης η οποία υπολογίζεται με τη βοήθεια μετασχηματισμών Lapla. Επίσης παίρνουμε μία ομογενή ολοκληρο-διαφορική εξίσωση με οριακές συνθήκες για τις αναμενόμενες προεξοφλημένες πληρωμές μερισμάτων πριν τη χρεοκοπία και αποδεικνύεται ότι η λύση της μπορεί να εκφραστεί ως ένας διαφορετικός γραμμικός συνδυασμός του ίδιου πεπερασμένου πλήθους από γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της ομογενούς ολοκληρο-διαφορικής εξίσωσης που σχετίζεται με την προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής των Grr-Sh. Τέλος δίνονται αναλυτικές εκφράσεις των παραπάνω αποτελεσμάτων για εκθετικά κατανεμημένες απαιτήσεις

9 ABSTRACT Th prpo o h h h d o varo r ar ad h pd dod dvdd pa or r or oha rpl pro rodg a dpd rr w h la z ad h rla hrogh a arl- Gl-Morgr opla h pr o a oa dvdd arrr. I Chapr 1 w gv a dald rodo o h laal r odl ad w pr ow rl or h Grr-Sh o h odl. Alo h a hapr w gv a dald rodo o h rwal r pro ad w pr ow rl or h Grr- Sh o rpvl. I Chapr 2 w odr a oa dvdd arrr rag a o h laal r odl ad h rwal r pro rpvl. pr ow rl or h Grr-Sh o ad o rl o h dro o dvdd pa l r dr a laal r odl ad a rwal r odl wh gralzd Erlag drd rla rpvl dr a oa dvdd arrr. I Chapr 3 w odr a o o h rwal r pro rodg a dpd rr w h la z ad h rla hrogh a arl- Gl-Morgr opla. odr ha h rla ollow h Erlagdro. Morovr a dald aal o h Grr-Sh o gv wh h al rpl zro. I provd ha h o a a dv rwal qao ad olo gv. Alo or poal la z pl pro ad ral apl or h r proal ad h Lapla Traor o h o r gv. all hapr 4 w odr h rwal r pro whr h o dro o h rla ad h orrpodg la z ha a dpd rr ad o a arl-gl-morgr opla ad h rla ollow h Erlag dro h pr o a oa dvdd arrr. drv a gro-dral qao wh odar odo or o Grr-Sh dod pal o. provd ha olo prd a h Grr-Sh dod pal o h a r pro - 9 -

10 wh h a o a dvdd arrr pl a lar oao o a r o larl dpd olo o h aoad hoogo gro-dral qao whh ar oad hrogh Lapla raor. Alo w drv a hoogo gro-dral qao wh odar odo or h pd dod dvdd pa or r ad how ha olo a prd a a dr lar oao o h a r o h larl dpd olo o h hoogo grodral qao aoad wh h Grr-Sh dod pal o. all w oa pl olo or poal la z

11 - 11 -

12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΤΟ ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΙΝΔΥΝΩΝ Εισαγωγή Η στοχαστική διαδικασία του αριθμού των κινδύνων Η στοχαστική διαδικασία των συνολικών αποζημιώσεων Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος για το κλασσικό μοντέλο Υποθέσεις του κλασσικού μοντέλου Μέτρα χρεοκοπίας Η συνάρτηση των Grr-Sh για το κλασσικό μοντέλο Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος για το γενικευμένο Erlag ανανεωτικό μοντέλο Η συνάρτηση των Grr-Sh για τη γενικευμένη Erlag διαδικασία κινδύνου. 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΟ ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΥΠΟ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΡΙΣΜΑΤΟΣ Εισαγωγή Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος για το κλασσικό μοντέλο κινδύνου υπό την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος Η συνάρτηση των Grr-Sh υπό την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος Η κατανομή των καταβαλλόμενων μερισμάτων Οι ροπές της παρούσας αξίας των μερισμάτων Η αναμενόμενη τιμή της παρούσας αξίας των μερισμάτων Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος για το γενικευμένο Erlag ανανεωτικό μοντέλο κινδύνου υπό την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος Ροπές σωρευτικών μερισμάτων Αναλυτικά αποτελέσματα με τη χρήση μετασχηματισμών Lapla..67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΤΟ ΑΝΑΝΕΩΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΣΥΖΕΥΞΗΣ GM Εισαγωγή Η σύζευξη arl-gl-morgr GM Περιγραφή μοντέλου και δομή εξάρτησης Η συνάρτηση των Grr-Sh

13 3.5. Η γενικευμένη εξίσωση του Ldrg Ο μετασχηματισμός Lapla της συνάρτησης των Grr-Sh Ανάλυση της συνάρτησης των Grr-Sh για Η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση για τη συνάρτηση των Grr-Sh Οι προεξοφλημένες κατανομές των UT και U T Αποτελέσματα για εκθετικά κατανεμημένες απαιτήσεις Αριθμητικό παράδειγμα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΟ ΑΝΑΝΕΩΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΣΥΖΕΥΞΗΣ GM ΥΠΟ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΡΙΣΜΑΤΟΣ Περιγραφή μοντέλου Η συνάρτηση των Grr-Sh Βασικά αποτελέσματα Η ολοκληρο-διαφορική εξίσωση για τη συνάρτηση των Grr-Sh Οριακές συνθήκες ; 4.6. Μία γενική λύση για τη συνάρτηση των Grr-Sh 4.7. Ανάλυση της συνάρτησης v ; Ολοκληρο-διαφορική εξίσωση και οριακές συνθήκες για την V ; 4.9. Η γενική λύση της V ; Αποτελέσματα για εκθετικά κατανεμημένες απαιτήσεις Αριθμητικό παράδειγμα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

14 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1. Η στοχαστική διαδικασία των συνολικών αποζημιώσεων S.19 Σχήμα 2. Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος U 20 Σχήμα 3. Μέγιστη σωρευτική απώλεια στη διαδικασία πλεονάσματος 26 Σχήμα 4. Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος U κάτω από την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος. 50 Γράφημα 1. Πιθανότητες χρεοκοπίας 119 Γράφημα 2. Μετασχηματισμός Lapla του χρόνου χρεοκοπίας Πίνακας 1: Μετασχηματισμός Lapla του χρόνου χρεοκοπίας.158 Πίνακας 2: Αναμενόμενες προεξοφλημένες πληρωμές μερισμάτων

15 ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ τ.μ. σ.π.π. σ.κ. N R R τυχαία μεταβλητή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συνάρτηση κατανομής σύνολο των φυσικών αριθμών σύνολο των πραγματικών αριθμών πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού τελεστής συνέλιξης μεταξύ πραγματικών συναρτήσεων I A δείκτρια συνάρτηση του συνόλου Α a των a και παράγωγος τάξης της πραγματικής συνάρτησης C τελεστής παραγώγισης ως προς σύνολο των μιγαδικών αριθμών

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΟ ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΙΝΔΥΝΩΝ 1.1. Εισαγωγή Η μελέτη της χρεοκοπίας αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα αντικείμενα μελέτης της Θεωρίας Κινδύνων. Με τον όρο «κίνδυνο» αναφερόμαστε σε κάθε απρόοπτο και αβέβαιο τυχαίο γεγονός ή στο ενδεχόμενο εμφάνισης πολύ μεγάλων απαιτήσεων οι οποίες είναι πιθανό να θέσουν σε κίνδυνο την εύρυθμη λειτουργία της ασφαλιστικής εταιρείας ακόμα και την επιβίωση της. Ο σχηματισμός επαρκών αποθεματικών είναι απαραίτητος πλέον και νομοθετικά προκειμένου η ασφαλιστική επιχείρηση να είναι σε θέση να καλύψει μελλοντικές απαιτήσεις των ασφαλισμένων της αλλά και υποχρεώσεις έναντι τρίτων. Στην ασφαλιστική ορολογία τα εν λόγω αποθεματικά χαρακτηρίζονται με τον όρο πλεόνασμα και αποτελούν την διαφορά ανάμεσα στο ενεργητικό της ασφαλιστικής επιχείρησης και την καλύτερη δυνατή αναλογιστική εκτίμηση των συνολικών υποχρεώσεων της. Ένα από τα σημαντικότερα αντικείμενα μελέτης της Θεωρίας Κινδύνου είναι η πιθανότητα χρεοκοπίας. Ο όρος «χρεοκοπία» που θα χρησιμοποιούμε δεν αναφέρεται στην κυριολεκτική σημασία της λέξης δηλαδή δεν είναι κάποιο είδος χρηματοπιστωτικής πτώχευσης αλλά είναι ένας όρος που δηλώνει τη φερεγγυότητα και την αξιοπιστία ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου. Η πιθανότητα χρεοκοπίας ορίζεται ως η πιθανότητα τα αποθεματικά να μην επαρκούν ώστε να καλυφθούν οι συνολικές απαιτήσεις της ασφαλιστικής επιχείρησης. Το 1903 ο Σουηδός lp Ldrg με τη διδακτορική διατριβή του «Approrad rallg a aolh od» έθεσε τα θεμέλια της Θεωρίας Κινδύνων και στη συνέχεια ο Harald Crar 1930 έπειτα από μία σειρά εργασιών ενσωμάτωσε τη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών στη Θεωρία Κινδύνων. Από τις παραπάνω συνεισφορές προέκυψε το κλασσικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνου ή μοντέλο Crar- Ldrg. Βασικό χαρακτηριστικό του κλασσικού μοντέλου της Θεωρίας Κινδύνων είναι ότι ο αριθμός των ζημιών σε ένα ασφαλιστικό χαρτοφυλάκιο περιγράφεται από την κατανομή Poo. Το κλασσικό μοντέλο στη συνέχεια επεκτάθηκε και ενσωμάτωσε υποθέσεις σχετικά με την

17 κατανομή των ενδιάμεσων χρόνων εμφάνισης των απαιτήσεων την κατανομή του μεγέθους των απαιτήσεων κ.ά.. To 1957 o Νορβηγός Sparr Adr εισήγαγε τη γενίκευση του κλασσικού μοντέλου γνωστή ως μοντέλο Sparr Adr ή ανανεωτικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνων. Βασικό χαρακτηριστικό του ανανεωτικού μοντέλου είναι ότι ο αριθμός των ζημιών σε ένα ασφαλιστικό χαρτοφυλάκιο περιγράφεται από μία ανανεωτική διαδικασία. Επομένως είναι φανερό ότι τα μοντέλα που εισήχθησαν για την μοντελοποίηση του προβλήματος της χρεοκοπίας εξαρτώνται άμεσα από τη στοχαστική διαδικασία που επιλέγεται για την περιγραφή του αριθμού των κινδύνων. Το 1998 οι Grr-Sh εισήγαγαν την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής η μελέτης της οποίας δίνει σημαντικά αποτελέσματα για μεγέθη της Θεωρίας Κινδύνων Η στοχαστική διαδικασία του αριθμού των κινδύνων Για να μοντελοποιήσουμε το πλεόνασμα ενός χαρτοφυλακίου ενός ασφαλιστικού οργανισμού είναι απαραίτητο αρχικά να γίνει ο προσδιορισμός του αριθμού των κινδύνων. Έστω N μία στοχαστική διαδικασία η οποία παριστά τον αριθμό των κινδύνων στο χρονικό διάστημα. Τότε η N ονομάζεται απαριθμήτρια και ορίζεται ως εξής: Ορισμός 1.1. Μία στοχαστική διαδικασία N ονομάζεται απαριθμήτρια διαδικασία αν και μόνο αν N με N N είναι διακριτή αν N N τότε. Μία από τις γενικές «οικογένειες» στοχαστικών διαδικασιών ευρέως χρησιμοποιούμενη τόσο στη θεωρία ουρών όσο και στη θεωρία κινδύνου είναι η οικογένεια των ανανεωτικών στοχαστικών διαδικασιών. Ο ορισμός μιας ανανεωτικής διαδικασίας βασίζεται στους ενδιάμεσους χρόνους εμφάνισης των γεγονότων ενδεχομένων που απαριθμεί η N. Έστω λοιπόν μία ακολουθία μη αρνητικών ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ. με σ.κ

18 σ.π.π. μετασχηματισμό Lapla ˆ d και μέση τιμή 0 E όπου είναι ο ενδιάμεσος χρόνος άφιξης της ζημιάς ενδεχομένου Η στοχαστική διαδικασία των συνολικών αποζημιώσεων Η ασφαλιστική εταιρία έχει την υποχρέωση να καταβάλλει την συμφωνημένη αποζημίωση στους ασφαλισμένους της κατά τη χρονική στιγμή της έλευσης του ζημιογόνου γεγονότος. Κάθε ασφαλιστική εταιρεία οφείλει να έχει στην κατοχή της όσο το δυνατόν πιο αναλυτικά στοιχεία αναφορικά με το ύψος των συνολικών αποζημιώσεων που ενδέχεται να καταβάλει σε κάθε χρονική στιγμή. Οι συνολικές αποζημιώσεις εξαρτώνται από το πλήθος των ζημιογόνων ενδεχομένων που εμφανίζονται σε κάποιο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα και το μέγεθος των ζημιών που προκαλούνται. Ορισμός 1.2. Συμβολίζουμε με S τη στοχαστική διαδικασία των συνολικών αποζημιώσεων που καταβάλλονται έως το χρόνο. Ορίζουμε με μια ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ. με την τ.μ. να περιγράφει το μέγεθος της οστής ζημιάς. To μέγεθος λοιπόν των συνολικών αποζημιώσεων που καταβάλλονται έως τον χρόνο θα είναι S N ή ισοδύναμα S { N =1 N > 0 0 N = Ορισμός 1.3. Ορίζουμε ως 1 μια ακολουθία τ.μ. που εκφράζει τους ενδιάμεσους χρόνους άφιξης των ζημιογόνων ενδεχομένων και ως ζημιογόνου ενδεχομένου. Σύμφωνα με τα παραπάνω θα ισχύει ότι T τον χρόνο επέλευσης του -οστού T

19 Επίσης ορίζουμε με N p : T να είναι η στοχαστική διαδικασία του πλήθους των ζημιογόνων ενδεχομένων που εμφανίζονται στο διάστημα Θεωρούμε ότι οι και είναι ανεξάρτητες ακολουθίες οι οποίες αποτελούνται από ισόνομες ανεξάρτητες και θετικά ορισμένες τ.μ.. Σχήμα 1. Η στοχαστική διαδικασία των συνολικών αποζημιώσεων S. Στο Σχήμα 1. παρουσιάζεται γραφικά η στοχαστική διαδικασία των συνολικών αποζημιώσεων. Παρατηρούμε ότι τις χρονικές στιγμές επέλευσης του ζημιογόνου ενδεχομένου η δειγματοσυνάρτηση S παρουσιάζει άλματα προς τα πάνω αντίστοιχα με το μέγεθος του ζημιογόνου ενεχομένου Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος για το κλασσικό μοντέλο Έχοντας μοντελοποιήσει τον αριθμό των κινδύνων το επόμενο βήμα είναι να μοντελοποιήσουμε τα αποθεματικά ενός ασφαλιστικού οργανισμού. Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος περιγράφει την εξέλιξη των τιμών του πλεονάσματος στην πορεία του χρόνου. Το ύψος του πλεονάσματος για δεδομένη χρονική στιγμή εξαρτάται από το αρχικό αποθεματικό το ποσό των ασφαλίστρων που έχουν εισπραχτεί μέχρι εκείνη τη χρονική στιγμή και το ποσό των αποζημιώσεων που έχουν καταβληθεί μέχρι εκείνη την χρονική στιγμή

20 Το πλεόνασμα μία δεδομένη χρονική στιγμή είναι ουσιαστικά η διαφορά μεταξύ των εσόδων και των εξόδων. Τα έσοδα της ασφαλιστικής εταιρείας είναι το αρχικό αποθεματικό και τα ασφάλιστρα που έχει εισπράξει ενώ τα έξοδα είναι οι αποζημιώσεις που πρέπει να καταβάλει. Ορισμός 1.4. rpl pro Ως διαδικασία πλεονάσματος U ορίζεται η στοχαστική διαδικασία U S 1.2 ή ισοδύναμα για ισχύει ότι U E S όπου είναι ο ρυθμός είσπραξης των ασφαλίστρων ανά μονάδα χρόνου και S οι συνολικές αποζημιώσεις στο χρονικό διάστημα.κάθε ασφαλιστική εταιρεία είναι υποχρεωμένη από το νόμο να διαθέτει ένα συγκεκριμένο αρχικό κεφάλαιο αρχικό αποθεματικό κατά την έναρξη των εργασιών της. Προφανώς λοιπόν την χρονική στιγμή το αρχικό απόθεμά της είναι το πλεόνασμα της. Συμβολίζουμε με το αρχικό απόθεμα και ισχύει U. Σχήμα 2. Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος U. Από τις σχέσεις 1.1 και 1.2 έπεται βλ. Σχήμα 2. ότι η δειγματοσυνάρτηση U εμφανίζει άλματα προς τα κάτω κατά τις χρονικές στιγμές επέλευσης των ζημιογόνων γεγονότων. Τα άλματα αυτά είναι του ίδιου μεγέθους με τα αντίστοιχα άλματα προς τα πάνω της

21 διαδικασίας των συνολικών αποζημιώσεων S βλ. Σχήμα 1. με τη διαφορά ότι η δειγματοσυνάρτηση S είναι κλιμακωτή διότι η S έχει σταθερή τιμή μεταξύ δύο διαδοχικών χρόνων ενώ η αντίστοιχη δειγματοσυνάρτηση U είναι μεταξύ δύο διαδοχικών χρόνων ευθύγραμμο τμήμα με θετική κλίση. Από τον Ορισμό 1.4 είναι φανερό ότι η διαδικασία πλεονάσματος κατά τις χρονικές στιγμές μπορεί να γίνει αρνητική. Στην αναλογιστική ορολογία το ενδεχόμενο αυτό ονομάζεται χρεοκοπία και η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου πιθανότητα χρεοκοπίας Υποθέσεις του κλασσικού μοντέλου Στο κλασσικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνων θεωρούμε ότι τα ασφάλιστρα που εισπράττονται από τους ασφαλιζομένους είναι η μοναδική πηγή εσόδων της ασφαλιστικής εταιρείας. Επίσης ως μοναδική πηγή εξόδων θεωρούνται αποζημιώσεις που θα κληθεί να καταβάλλει η εταιρείας στους δικαιούχους σε περίπτωση επέλευσης του κινδύνου. Στην περίπτωση αυτή η ανέλιξη του πλεονάσματος σε συνεχή χρόνο δίνεται από την ακόλουθη σχέση U P S. Θεωρούμε ότι ισχύουν οι ακόλουθες υποθέσεις: Η συνάρτηση του συνολικού ποσού των καταβληθέντων ασφαλίστρων δίνεται από τη σχέση P όπου είναι μία σταθερά που καλείται ένταση ασφαλίστρου και εκφράζει το ρυθμό είσπραξης ασφαλίστρων στο χρόνο γραμμική συνάρτηση. Η απαριθμήτρια ζημιών N : δηλαδή P είναι μία είναι μία ανέλιξη Poo με ένταση όπου η σταθερά εκφράζει τον αναμενόμενο αριθμό άφιξης ζημιών στη μονάδα του χρόνου. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να εμφανιστεί ένα ζημιογόνο γεγονός σε ένα διάστημα είναι ανάλογο του μήκους του διαστήματος. Δηλαδή N ~ P

22 επομένως P N r! έτσι ώστε η S : να είναι η μία σύνθετη ανέλιξη Poo. Οι στοχαστικές διαδικασίες και Ακόμα θεωρούμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές... N είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. με...είναι ανεξάρτητες και ισόνομες μεταξύ τους και έχουν από κοινού συνάρτηση κατανομής P r d 0 με P και συνάρτηση δεξιάς ουράς r 1 d. Το αναμενόμενο μέγεθος ζημιάς το συμβολίζουμε με και είναι ίσο με E d d. 0 0 Ακόμα με θα συμβολίζουμε την κατανομή ισορροπίας qlr και ισούται με d και. Αν ισχύουν τα παραπάνω τότε ισχύει το κλασσικό μοντέλο ή κλασσικό πρότυπο. Επιπλέον μία βασική υπόθεση σχετικά με το κλασσικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνων είναι ότι τα αναμενόμενα έξοδα της επιχείρησης δεν θα πρέπει να υπερβαίνουν τα έσοδα της. Απαιτούμε δηλαδή σε κάθε χρονική στιγμή τα ασφάλιστρα που εισπράττονται να είναι μεγαλύτερα κατά μέσο όρο από τις αποζημιώσεις που καταβάλλονται προς τους ασφαλιζομένους. Δηλαδή θέλουμε να ισχύει η συνθήκη: E S

23 E N E E συνθήκη καθαρού κέρδους όπου E 1. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η ένταση του ασφαλίστρου είναι ή ισοδύναμα / όπου το καλείται περιθώριο ασφαλείας ή συντελεστής ασφαλείας pr loadg aor και είναι αυστηρά θετικός. Σε περίπτωση που τότε θα είχαμε βέβαιη χρεοκοπία. Σε ένα δεδομένο μοντέλο κινδύνου για συγκεκριμένη τιμή του αρχικού αποθεματικού όσο αυξάνεται η τιμή του συντελεστή ασφαλείας τόσο μικραίνει η πιθανότητα εμφάνισης χρεοκοπίας. Επομένως το φαίνεται να αποτελεί ένα μέτρο έκφρασης του αναμενόμενου ποσοστού κέρδους μίας ασφαλιστικής επιχείρησης για ένα συγκεκριμένο χαρτοφυλάκιο και εκφράζει πόσο μεγαλύτερα είναι κατά μέσο όρο τα έσοδα της ασφαλιστικής εταιρείας σε σχέση με τα έξοδα της. Το παίρνει συνήθως τιμές μεταξύ και προκειμένου το χαρτοφυλάκιο να είναι ανταγωνιστικό Μέτρα χρεοκοπίας Στην ενότητα αυτή θα αναφερθούμε σε κάποια θεμελιώδη μέτρα χρεοκοπίας της Θεωρίας Κινδύνων όπως είναι ο χρόνος χρεοκοπίας και η πιθανότητα χρεοκοπίας. Προκειμένου να ορίσουμε την πιθανότητα χρεοκοπίας χρειάζεται αρχικά να δώσουμε τον ορισμό του χρόνου κατά τον οποίο εμφανίζεται η χρεοκοπία. Ορισμός 1.5. o r. Για ορίζουμε T : U με = να είναι ο χρόνος κατά τον οποίο για πρώτη φορά η διαδικασία πλεονάσματος γίνεται αρνητική

24 Με βάση τον παραπάνω ορισμό η πιθανότητα χρεοκοπίας ορίζεται ως εξής: Ορισμός 1.6. Για η πιθανότητα χρεοκοπίας ορίζεται ως : P T U P U T U. r r Αντίστοιχα για εξής ως ορίζεται η πιθανότητα να μην συμβεί χρεοκοπία ως P T U P U r r για κάθε. Παρατηρούμε ότι η πιθανότητα χρεοκοπίας είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς το αρχικό αποθεματικό και συγκεκριμένα ισχύει ότι l. Αντιθέτως η πιθανότητα μη χρεοκοπίας είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς το και ισχύει ότι l. Η πιθανότητα χρεοκοπίας αν και είναι πολύ σημαντικό μέτρο κινδύνου δεν είναι το μοναδικό. Δύο άλλες τυχαίες μεταβλητές που σχετίζονται με την τυχαία μεταβλητή T είναι η U T και η U T [ με T το αριστερό όριο της T βλ. Σχήμα 2.]. Η U T συμβολίζει το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας και δηλώνει το μέγεθος της πτώσης του πλεονάσματος κάτω από το μηδέν τη χρονική στιγμή εμφάνισης της χρεοκοπίας T. Η U T συμβολίζει το πλεόνασμα λίγο πριν τη χρεοκοπία και εκφράζει το μέγεθος του πλεονάσματος αμέσως πριν τη χρονική στιγμή T όπου πραγματοποιείται η καταβολή της ασφαλιστικής αποζημίωσης η οποία οδηγεί σε χρεοκοπία. Η τ.μ. U T λαμβάνει μόνο θετικές τιμές και ορίζεται μέσω της σχέσης που ακολουθεί U T lu. T Είναι φανερό ότι η μελέτη των παραπάνω ποσοτήτων δίνουν πολύ περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά της διαδικασίας πλεονάσματος U απ ότι μόνο η μελέτη της τυχαίας μεταβλητής T. Έτσι πολλοί συγγραφείς μελέτησαν τις περιθώριες και από κοινού κατανομές των τ.μ. T U T και U T τόσο για το κλασσικό όσο και για το ανανεωτικό μοντέλο

25 Υπάρχει ακόμα μία σημαντική τ.μ. η οποία συμβολίζεται με L και εκφράζει το μέγεθος της πτώσης του πλεονάσματος κάτω από το αρχικό αποθεματικό. Η τ.μ. L μας βοηθάει να εξετάσουμε τη πτώση του πλεονάσματος κατ απόλυτη τιμή και λαμβάνει θετικές τιμές. Στην περίπτωση όπου δεν υπάρχει πτώση του πλεονάσματος κάτω από το αρχικό αποθεματικό ισχύει ότι L. Έστω ότι με θα συμβολίσουμε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του πλεονάσματος πέφτει για πρώτη φορά κάτω από την τιμή του αρχικού αποθεματικού. Έτσι θα συμβολίσουμε με U την τιμή του πλεονάσματος τη χρονική στιγμή οπότε στην περίπτωση αυτή έχουμε ότι L. Κατ αντιστοιχία με L θα συμβολίσουμε την τ.μ. που δηλώνει την πτώση του πλεονάσματος κάτω από την τιμή κ.ο.κ Σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτει μία ακολουθία μεταβλητών L L... η οποία θεωρείται πεπερασμένη διότι από ένα σημείο και έπειτα λαμβάνει μηδενικές τιμές. Οι τ.μ. L ονομάζονται επίσης και κλιμακωτά ύψη και εκφράζουν τη σταδιακή πτώση του πλεονάσματος από την τιμή του αρχικού αποθεματικού μέχρι τη στιγμή της χρεοκοπίας T. Στην περίπτωση που δεν συμβεί χρεοκοπία οι τ.μ. L εκφράζουν τη σταδιακή πτώση του πλεονάσματος από την τιμή του αρχικού αποθεματικού μέχρι την ελάχιστη τιμή που παίρνει η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος U :. Στη συνέχεια θεωρούμε τη διακριτή τ.μ. K η οποία εκφράζει το πλήθος των κλιμακωτών υψών δηλαδή το πλήθος των μεταβλητών L σε μία ανέλιξη πλεονάσματος η οποία ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή. Στην περίπτωση όπου οι μεταβλητές L... είναι μεταξύ τους L ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. και ανεξάρτητες της τ.μ. K προκύπτει μία σύνθετη τ.μ. L η οποία ονομάζεται μέγιστη σωρευτική απώλεια και ορίζεται μέσω της ακόλουθης σχέσης L L L L K K. K Η τ.μ. L εκφράζει τη συνολική πτώση του πλεονάσματος από την τιμή του αρχικού αποθεματικού έως την ελάχιστη τιμή της στοχαστικής διαδικασίας πλεονάσματος

26 U :. Η κατανομή της τ.μ. L όπως φαίνεται από τον τρόπο που έχει οριστεί είναι μικτή και συγκεκριμένα ακολουθεί την σύνθετη γεωμετρική κατανομή με παράμετρο /. Στη συνέχεια στο Σχήμα 3. φαίνεται η γραφική παράσταση της μέγιστης σωρευτικής απώλειας. Σχήμα 3. Μέγιστη σωρευτική απώλεια στη διαδικασία πλεονάσματος. Η μελέτη της τ.μ. L είναι πολύ σημαντική για τον υπολογισμό της πιθανότητας χρεοκοπίας στο κλασσικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνων. Πιο αναλυτικά ισχύει ότι η πιθανότητα χρεοκοπίας είναι η δεξιά ουρά της σύνθετης γεωμετρικής κατανομής όπως φαίνεται από τις παρακάτω σχέσεις P r L και L. P r Αξίζει να επισημανθεί ότι στην πράξη η διαδικασία πλεονάσματος δεν είναι ο μοναδικός «πόρος» μιας ασφαλιστικής επιχείρησης και ότι η καταβολή μιας αποζημίωσης δεν είναι στιγμιαίο γεγονός διότι απαιτείται κάποιο χρονικό διάστημα που συνεπάγεται εισροή ασφαλίστρου πέρα από το καταβεβλημένο μέχρι τη χρονική στιγμή T. Έτσι η «μαθηματική χρεοκοπία» που ορίζουμε δεν ταυτίζεται αναγκαία με την πραγματική χρεοκοπία αλλά είναι ένα πολύ σημαντικό μέτρο κινδύνου από το οποίο η επιχείρηση μπορεί να βγάλει χρήσιμα συμπεράσματα. Έτσι με βάση αυτό το μέτρο κινδύνου αν η επιχείρηση έχει ενδείξεις ότι οι

27 υποχρεώσεις της θα είναι εξαιρετικά αυξημένες μπορεί να προχωρήσει σε αύξηση των ασφαλίστρων σε σύναψη δανείου σε αύξηση μετοχικού κεφαλαίου κ.ο.κ. Από μαθηματικής άποψης είναι φανερό ότι υπολογίζοντας την πιθανότητα χρεοκοπίας μπορεί κανείς να προσδιορίσει κατάλληλα το αρχικό απόθεμα και το ασφάλιστρο έτσι ώστε να αποφύγει ή σε κάθε περίπτωση να επιμηκύνει το ενδεχόμενο η διαδικασία πλεονάσματος να γίνει αρνητική. Επιπλέον από τον ορισμό της διαδικασίας πλεονάσματος προκύπτει άμεσα ότι τα ασφάλιστρα της επιχείρησης δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε χρηματικό ποσό. Έτσι υποθέτουμε ότι ο ρυθμός είσπραξης του ασφαλίστρου από τις μέσες ζημιές E S που εμφανίζονται στο είναι βέβαιη από την πρώτη κιόλας ζημιά. στο είναι αυστηρά μεγαλύτερος διαφορετικά η χρεοκοπία στο Συντελεστής προσαρμογής Μία πολύ σημαντική ποσότητα που συνδέεται με την πιθανότητα χρεοκοπίας είναι ο συντελεστής προσαρμογής R. Ορισμός 1.7. Στο κλασσικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνου ως συντελεστής προσαρμογής R ορίζεται η μικρότερη θετική ρίζα της εξίσωσης E r M r 1.3 όπου είναι το περιθώριο ασφαλείας και M r E είναι η ροπογεννήτρια της τ.μ. του r ύψους των απαιτήσεων η οποία υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση M r r r E d. 1.4 Η σχέση 1.3 είναι γνωστή ως εξίσωση του Ldrg ή εξίσωση του συντελεστή προσαρμογής και από τη λύση της προκύπτει το πολύ μία θετική ρίζα την οποία θέτουμε και ως την τιμή του συντελεστή προσαρμογής R

28 Σημείωση 1.1. Ο υπολογισμός της τιμής του συντελεστή προσαρμογής R δεν είναι πάντοτε εφικτός. Στις περιπτώσεις που εξετάζουμε κατανομές με βαριά δεξιά ουρά όπως είναι οι κατανομές Paro ll και η λογαριθμοκανονική η ροπογεννήτρια συνάρτηση των αποζημιώσεων M r απειρίζεται για κάθε r οπότε και ο συντελεστή προσαρμογής R δεν υφίσταται. Ανισότητα Ldrg Στο κλασσικό μοντέλο με τη βοήθεια του συντελεστή προσαρμογής R εξάγουμε χρήσιμα αποτελέσματα που σχετίζονται με την πιθανότητα χρεοκοπίας. Ένα τέτοιο πολύ σημαντικό αποτέλεσμα είναι η ανισότητα Ldrg η οποία αποτελεί την πιο γνωστή ανισότητα του κλασσικού μοντέλου. Η ανισότητα Ldrg δίνει πληροφορίες για την πιθανότητα χρεοκοπίας με τη βοήθεια ενός άνω φράγματος συναρτήσει του αρχικού αποθεματικού και του συντελεστή προσαρμογής στην περίπτωση που δεν υπάρχει αναλυτικός τύπος για τον ακριβή υπολογισμό της. Θεώρημα 1.1. Εφόσον υπάρχει ο συντελεστής προσαρμογής R και έστω το αρχικό αποθεματικό ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα χρεοκοπίας δίνεται από τη σχέση R. Παρατήρηση 1.1. Η μελέτη της ανισότητας Ldrg δίνει τα ακόλουθα συμπεράσματα: για μία δεδομένη τιμή του συντελεστή προσαρμογής R όσο μεγαλώνει το αρχικό αποθεματικό τόσο μικραίνει η πιθανότητα χρεοκοπίας για δεδομένη τιμή του αρχικού αποθεματικού όσο μεγαλώνει ο συντελεστής προσαρμογής R τόσο μικραίνει η πιθανότητα χρεοκοπίας. Ασυμπτωτικός τύπος των Crar-Ldrg Ένα εξίσου σημαντικό αποτέλεσμα για την πιθανότητα χρεοκοπίας στο κλασσικό μοντέλο αποτελεί ο ασυμπτωτικός τύπος των Crar-Ldrg ο οποίος παρέχει μία προσέγγιση για την πιθανότητα χρεοκοπίας όταν το αρχικό αποθεματικό παίρνει πολύ μεγάλες τιμές

29 Η πιθανότητα χρεοκοπίας ικανοποιεί την ακόλουθη ασυμπτωτική σχέση ~ C R καθώς ή ισοδύναμα ισχύει ότι l C R όπου C είναι μία θετική σταθερά η οποία υπολογίζεται ως εξής: C R E R d όπου R d. Θεμελιώδης εξίσωση του Ldrg Ορισμός 1.8. Ορίζεται ως θεμελιώδης εξίσωση του Ldrg η εξίσωση της μορφής ˆ 1.5 όπου ˆ d είναι ο μετασχηματισμός Lapla της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Για η εξίσωση 1.5 έχει μία θετική ρίζα έστω. Παρατήρηση 1.2. Επισημαίνουμε ότι οι θετικές ρίζες της παραπάνω εξίσωσης υπάρχουν για ανεξάρτητα από την τιμή του περιθωρίου ασφαλείας. για και οι ρίζες της εξίσωσης 1.5 είναι θετικές για και οι ρίζες της εξίσωσης 1.5 είναι ίσες με το μηδέν Η συνάρτηση των Grr-Sh για το κλασσικό μοντέλο Στα τέλη του περασμένου αιώνα και συγκεκριμένα το 1998 οι Ha Grr και Ela Sh δημοσίευσαν μία εργασία με τίτλο O h o r. στην οποία εισήγαγαν την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής pd dod pal o

30 μέσω της οποίας μπορεί να γίνει μελέτη διάφορων μέτρων κινδύνων ταυτόχρονα και όχι μεμονωμένα όπως ίσχυε μέχρι τότε. Ορισμός 1.9. Για η συνάρτηση των Gr-Sh ορίζεται ως w U T U T I T U : E 1.6 όπου είναι η ένταση ανατοκισμού w :[ [ μία διδιάστατη συνάρτηση στο R 2 που ονομάζεται συνάρτηση ποινής pal o U T το πλεόνασμα πριν τη χρεοκοπία U T I T το έλλειμμα κατά τη χρεοκοπία και η δείκτρια συνάρτηση του ενδεχομένου εμφάνισης χρεοκοπίας. Για την δείκτρια συνάρτηση ισχύει το εξής: ί ί I T. ί ί Διαισθητικά η συνάρτηση των Grr-Sh μπορεί να ερμηνευθεί ως η προεξοφλημένη ποινή η οποία επιβάλλεται όταν συμβεί η χρεοκοπία. Από τον ορισμό της και για κατάλληλα ορίσματα των μεταβλητών της προκύπτει πλήθος αποτελεσμάτων για διάφορα μέτρα κινδύνου. Στη συνέχεια παρατίθενται κάποιες ειδικές περιπτώσεις: για w προκύπτει η πιθανότητα χρεοκοπίας : E T U P T U r για w προκύπτει ο μετασχηματισμός Lapla του χρόνου χρεοκοπίας στο σημείο ή η προεξοφλημένη πιθανότητα χρεοκοπίας : E I T U για w I I προκύπτει η προεξοφλημένη από κοινού σ.π.π. του τυχαίου διανύσματος U T U T δηλαδή του πλεονάσματος τη στιγμή ακριβώς πριν τη χρεοκοπία και του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας E I U T U T I T U

31 για w I I προκύπτει η προεξοφλημένη από κοινού σ.κ. του τυχαίου διανύσματος U T U T δηλαδή του πλεονάσματος τη στιγμή ακριβώς πριν τη χρεοκοπία και του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας και συμβολίζεται με E I U T U T I T U για w I προκύπτει η προεξοφλημένη σ.π.π. του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία U T T h E I U T I T U για w I προκύπτει η προεξοφλημένη σ.π.π. του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας U T T g E I U T I T U για w παίρνουμε την προεξοφλημένη ροπή τάξης του ελλείμματος κατά τη χρεοκοπία E T U T I T U για w παίρνουμε την προεξοφλημένη ροπή τάξης του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία E T U T I T U. Η συνάρτηση των Grr-Sh είναι ένα πανίσχυρο εργαλείο που εκτός από τη χρήση της στα αναλογιστικά μαθηματικά έχει και εφαρμογές στη θεωρία των χρηματοοικονομικών μαθηματικών. Παραδείγματος χάρη όταν w a{ K } η χρησιμοποιείται για την τιμολόγηση ενός Αμερικανικού p opo με τιμή άσκησης K και αγοραία αξία του δικαιώματος ίση με. Για περισσότερες πληροφορίες βλ. Grr-Sh 1999 και Grr Ladr

32 Η μελέτη της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής στο κλασσικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνου έγινε από τους Grr και Sh Σε αυτή την εργασία οι συγγραφείς απέδειξαν ότι η ικανοποιεί μια ολοκληρο-διαφορική εξίσωση τύπου Volra. Η λύση της συγκεκριμένης ολοκληρο-διαφορικής εξίσωσης γίνεται με τη βοήθεια των μετασχηματισμών Lapla αποδεικνύοντας ότι η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής ικανοποιεί μία ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση. Η γενική λύση της παραπάνω ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης για μεγέθη ζημιών ελεύθερα κατανομής δόθηκε από τους L και llo 1999 σε όρους της ουράς μιας σύνθετης γεωμετρικής κατανομής aoad opod gor. Θεώρημα 1.2. Η συνάρτηση των Grr-Sh ικανοποιεί την ακόλουθη ολοκληροδιαφορική εξίσωση d z 1.7 όπου z w d. Παρατήρηση 1.3. Για πιθανότητα χρεοκοπίας w η συνάρτηση των Grr-Sh ανάγεται στην και επομένως προκύπτουν τα ακόλουθα. Πόρισμα 1.1. Η πιθανότητα χρεοκοπίας ικανοποιεί την ολοκληρο-διαφορική εξίσωση d 1.8 όπου d. Παρατήρηση 1.4. Από το Πόρισμα 1.1 έπεται ότι η πιθανότητα χρεοκοπίας είναι η δεξιά ουρά μίας σύνθετης Γεωμετρικής κατανομής. Πιο αναλυτικά έχουμε ότι P L όπου L L L L r M... και M ~ / G o. Οι τ.μ. L είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την

33 Για τη λύση της ολοκληρο-διαφορικής εξίσωσης 1.7 πρέπει αρχικά να δείξουμε ότι η ικανοποιεί μία ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση dv rwal qao. Στο σημείο αυτό είναι απαραίτητο να δώσουμε τον ορισμό της ανανεωτικής εξίσωσης. Ορισμός Μία εξίσωση που έχει τη μορφή dg g ονομάζεται ανανεωτική εξίσωση ή εξίσωση ανανεωτικού τύπου όπου το είναι μία σταθερά έτσι ώστε η g είναι μία φραγμένη συνάρτηση η G είναι μία αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι η άγνωστη συνάρτηση Οι εξισώσεις ανανεωτικού τύπου διακρίνονται σε: ελλειμματικές dv όταν και κανονικές propr ή μη ελλειμματικές o dv όταν στην εξίσωση η σταθερά. Θεώρημα 1.3. Η συνάρτηση για ικανοποιεί την παρακάτω ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση όπου g d H 1.9 E d g G με G G d d

34 και w d H. d Απόδειξη. Βλ. L-llo Για τον προσδιορισμό της λύσης της ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης 1.9 είναι απαραίτητο να οριστεί η ακόλουθη συνάρτηση κατανομής K K με K G * 1.10 όπου G * είναι η -οστή συνέλιξη της σ.κ. G. Επομένως θα ισχύει ότι η συνάρτηση επιβίωσης δίνεται από την ακόλουθη σχέση K G * 1.11 όπου G * είναι η -οστή συνέλιξη της συνάρτησης G. Παρατήρηση 1.5. Παρατηρούμε ότι η K είναι η δεξιά ουρά μίας σύνθετης γεωμετρικής κατανομής. Πιο αναλυτικά K P L L... L r M όπου η τυχαία μεταβλητή M ~ Go δηλαδή P M.. r και οι τυχαίες μεταβλητές L είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με τη συνάρτηση κατανομής G

35 Η λύση οποιασδήποτε συνάρτησης που ικανοποιεί μία ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση της μορφής 1.9 του Θεωρήματος 1.3. μπορεί να εκφραστεί μέσω της K όπως φαίνεται στο Θεώρημα που ακολουθεί. Θεώρημα 1.4. Η λύση της ανανεωτικής εξίσωσης 1.9 δίνεται από την ακόλουθη συνάρτηση H dk ή. H K dh K H Αν η συνάρτηση H είναι διαφορίσιμη τότε H K H d K H. Απόδειξη. Βλ. Θεώρημα 2.1. των L και llo Το κλασικό μοντέλο είναι ειδική περίπτωση του ανανεωτικού μοντέλου. Στην παράγραφο που ακολουθεί δίνουμε αναλυτικά την παραπάνω θεωρία για το ανανεωτικό μοντέλο με ενδιάμεσους χρόνους άφιξης να κατανέμονται σύμφωνα με μια γενικευμένη Erlag Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος για το γενικευμένο Erlag ανανεωτικό μοντέλο κινδύνου. Το μεγαλύτερο μέρος της βιβλιογραφίας στη θεωρία κινδύνου επικεντρώνεται στο κλασσικό μοντέλο κινδύνου όπου οι απαιτήσεις προκύπτουν σύμφωνα με τη διαδικασία Poo. Ο Adr 1957 θεώρησε ότι οι απαιτήσεις προκύπτουν σύμφωνα με μία περισσότερο γενική ανανεωτική διαδικασία και εξήγαγε μία ολοκληρωτική εξίσωση για την αντίστοιχη πιθανότητα χρεοκοπίας

36 Ο υπολογισμός της πιθανότητας χρεοκοπίας στο ανανεωτικό μοντέλο έγινε από τον Malov Όμως στη συγκεκριμένη εργασία η πιθανότητα χρεοκοπίας μπορεί να υπολογισθεί υπό την υπόθεση συγκεκριμένων μορφών της κατανομής των αποζημιώσεων. Έτσι αρκετοί συγγραφείς προκειμένου να έχουν αναλυτικά αποτελέσματα για οποιαδήποτε κατανομή των αποζημιώσεων υποθέτουν συγκεκριμένες μορφές για την κατανομή των ενδιάμεσων χρόνων άφιξης των ζημιών. Μία από τις ευρέως χρησιμοποιούμενες υποθέσεις στην θεωρία κινδύνου είναι οι να κατανέμονται σύμφωνα με την Erlag ή γενικευμένη Erlag. Σε αυτή την περίπτωση το μοντέλο κινδύνου που προκύπτει ονομάζεται ανανεωτικό μοντέλο με Erlag ή γενικευμένους Erlag ενδιάμεσους χρόνους αντίστοιχα. Από εδώ και στο εξής όταν αναφερόμαστε στο ανανεωτικό μοντέλο θα νοείται το ανανεωτικό μοντέλο με ενδιάμεσους χρόνους κατανεμημένους σύμφωνα με μια γενικευμένη Erlag. Στο ανανεωτικό μοντέλο ή μοντέλο Sparr Adr θεωρούμε ότι η N είναι μια ανανεωτική στοχαστική διαδικασία. Στην παρούσα ενότητα θεωρούμε ότι η διαδικασία πλεονάσματος ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου U ορίζεται από τη σχέση 1.2 και ότι οι ενδιάμεσοι χρόνοι άφιξης είναι μία ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ. που ακολουθούν την γενικευμένη Erlag... κατανομή. Σε αυτή την περίπτωση η διαδικασία κινδύνου ονομάζεται γενικευμένη Erlag διαδικασία κινδύνου. Ορισμός Έστω Z μία ακολουθία ανεξάρτητων εκθετικών τ.μ. με παραμέτρους.... Τότε η κατανομή της συνέλιξης των Z τ.μ. Z ονομάζεται γενικευμένη Erlag κατανομή. Σε αυτή την περίπτωση η σ.π.π. της τ.μ. σχέση δίνεται από τη

37 και ο μετασχηματισμός Lapla της τ.μ. δίνεται από τη σχέση ˆ d E Παρατήρηση 1.6. Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η γενικευμένη Erlag κατανομή αποτελεί γενίκευση της κατανομής Erlag. Έτσι θέτοντας... παίρνουμε την κατανομή Erlagλ ενώ θέτοντας παράμετρο λ. παίρνουμε την εκθετική κατανομή με 1.9. Η συνάρτηση των Grr-Sh για τη γενικευμένη Erlag διαδικασία κινδύνου Για τη γενικευμένη Erlag διαδικασία κινδύνου οι Grr-Sh 2005 έδειξαν ότι η προεξοφλημένη αναμενόμενη συνάρτηση ποινής ικανοποιεί μια ολοκληρο-διαφορική εξίσωση όπως δίνεται από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 1.5. Για η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής ικανοποιεί την ακόλουθη ολοκληρο-διαφορική εξίσωση d w 1.13 όπου w w d w d Πόρισμα 1.2. Για... η εξίσωση 1.13 γίνεται d w 1.15 που είναι η ολοκληρο-διαφορική εξίσωση για το ανανεωτικό μοντέλο με Erlagλ

38 ενδιάμεσους χρόνους άφιξης. Πόρισμα 1.3. Για η εξίσωση 1.13 γίνεται d w 1.16 που είναι η ολοκληρο-διαφορική εξίσωση για το κλασσικό μοντέλο. Η λύση της ολοκληρο-διαφορικής εξίσωσης 1.13 βρίσκεται χρησιμοποιώντας ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο εργαλείο στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων τους μετασχηματισμούς Lapla. Έτσι για R 0 ορίζουμε ˆ ˆ και wˆ να είναι οι μετασχηματισμοί Lapla των και w αντίστοιχα που δίνονται από τις σχέσεις ˆ d ˆ d και wˆ w d αντίστοιχα. Για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Lapla ˆ χρειαζόμαστε το παρακάτω θεώρημα και το παρακάτω λήμμα. Θεώρημα 1.6. Ldrg gralzd daal qao. Για η θεμελιώδης γενικευμένη εξίσωση του Ldrg δίνεται από τη σχέση C και ~ ˆ 1.17 όπου ~. Πόρισμα 1.4. Ldrg daal qao. Για και η εξίσωση 1.17 γίνεται ˆ 1.18 που είναι η θεμελιώδης εξίσωση του Ldrg για το κλασσικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου

39 Η λύση της εξίσωσης 1.17 παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στον υπολογισμό της συνάρτησης Grr-Sh και δίνεται από το παρακάτω Λήμμα. Λήμμα 1.1. Για R 0 η γενικευμένη θεμελιώδης εξίσωση του Ldrg 1.17 έχει ακριβώς ρίζες στο θετικό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Για R 0 και τότε η γενικευμένη θεμελιώδης εξίσωση του Ldrg έχει ακριβώς μία ρίζα το και ρίζες στο θετικό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Απόδειξη. Grr και Sh 2005 Alrhr και Boa Στο εξής θα συμβολίζουμε τις θετικές ρίζες της εξίσωσης 1.17 r r R r... ενώ επίσης υποθέτουμε ότι οι r... είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Τώρα παίρνοντας μετασχηματισμούς Lapla και στα δύο μέλη της ολοκληρο-διαφορικής εξίσωσης 1.13 και χρησιμοποιώντας το Λήμμα 1.1 ο μετασχηματισμός Lapla της συνάρτησης των Grr-Sh δίνεται από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 1.7. Για R 0 ο μετασχηματισμός Lapla της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής ˆ δίνεται από τη σχέση wˆ q ˆ 1.19 ~ ˆ r και r r όπου q wˆ r εξίσωσης r με R r... είναι οι ρίζες της Απόδειξη. Grr και Sh Επειδή η αντιστροφή του μετασχηματισμού Lapla 1.19 είναι αρκετά δύσκολο να υπολογισθεί στη γενική περίπτωση το επόμενο βήμα για τον υπολογισμό της συνάρτησης Grr-Sh είναι να δείξουμε ότι η ικανοποιεί μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση

40 και να βρούμε τη λύση αυτής. Για αυτό το σκοπό χρειαζόμαστε ένα εργαλείο ευρέως γνωστό και χρησιμοποιούμενο στη θεωρία κινδύνου τους τελεστές T r. Ορισμός T opraor. Έστω μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε για r Rr 0 και ορίζουμε τον τελεστή T r να δίνεται από τη σχέση r r T d d. r Στη θεωρία κινδύνου ο τελεστής T r εισήχθηκε από τους Do και Hpp Ο τελεστής T r έχει κάποιες πολύ χρήσιμες ιδιότητες όπως δίνονται ακολούθως. Πρόταση 1.1 Ιδιότητες των τελεστών T r. Έστω T r ο T r τελεστής μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης. Ο τελεστής T r ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις: T ˆ r r d r T T r r T T T T r r C r r r r r r d d d d T T r T r r T r r r T r r r r r r ˆ ˆ r v T ˆ r C r r T T T v T ˆ r r r v ˆ r ˆ r r[ T ˆ ˆ r] r v ˆ ˆ ˆ r ˆ r r [ ˆ T ˆ T ˆ r ˆ ] r r για κάθε r και για δύο ολοκληρώσιμες συναρτήσεις v αν r r... r είναι διαφορετικοί μεταξύ τους πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί τότε T r T T... T r r r r r

41 και T T r T r... T r ˆ r ˆ r r. Επιπλέον αν η παρακάτω είναι σ.π.π. της τ.μ. με σ.κ. τότε ισχύουν τα T r T T T d T r r r r T d T T r r r ˆ r ˆ r T T d r r r r r r ˆ r ˆ r T T d. r r r r Απόδειξη. Για την απόδειξη των παραπάνω ιδιοτήτων παραπέμπουμε στους L και llo 1999 Do και Hpp 2001 L και Carrdo 2004a. Ο L 2003 χρησιμοποιώντας τους τελεστές T r απέδειξε ότι η ˆ της εξίσωσης 1.19 γράφεται σε μια ισοδύναμη μορφή απ όπου εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι η ικανοποιεί μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση όπως φαίνεται από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 1.8. Για R 0 ο μετασχηματισμός Lapla της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής Gˆ ˆ 1.20 ˆ όπου G ˆ G d T T w r και ˆ d T T r και r R r > 0... είναι οι ρίζες της εξίσωσης

42 Απόδειξη. L 2003 Θεώρημα 2. Τώρα αντιστρέφοντας την εξίσωση 1.20 ως προς παίρνουμε το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 1.9. Για η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής ικανοποιεί την παρακάτω ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση d G z d H 1.21 T G T w r r τέτοιο ώστε d r r R r > 0... να είναι οι ρίζες της εξίσωσης 1.17 H G z όπου η z είναι η σ.π.π. της κατανομής Z d. d Επιπλέον αν τότε τέτοιο ώστε r δεδομένου ότι το περιθώριο ασφαλείας είναι θετικό. Απόδειξη. L Πόρισμα 1.5. Για και η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση 1.21 γίνεται d G

43 z d H 1.22 που είναι η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση για το κλασσικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου όπου T G T w r r τέτοιο ώστε d r με r Rr > 0 να είναι η ρίζα της εξίσωσης 1.18 H G z όπου η Z d z είναι η σ.π.π. της κατανομής. d Επιπλέον αν τότε τέτοιο ώστε. r Η λύση της ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης 1.21 υπολογίζεται σε όρους της δεξιάς ουράς μιας σύνθετης γεωμετρικής κατανομής. Έτσι για ορίζουμε τη σ.κ. της σύνθετης γεωμετρικής κατανομής aoa opod gor dro K K όπου η δεξιά ουρά K δίνεται από τη σχέση K N * * με N η οστή συνέλιξη της δεξιάς ουράς N d

44 Θεώρημα Για η λύση της ανανεωτικής ελλειμματικής εξίσωσης 1.21 δίνεται από τη σχέση H dk 1.23 ή ισοδύναμα H K dh K 1.24 ή ισοδύναμα H K dh K Απόδειξη. L και llo Από τις σχέσεις και 1.25 και τον τύπο της H είναι φανερό ότι η λύση της εξαρτάται άμεσα από τον υπολογισμό της δεξιάς ουράς K. Οι L και llo 1999 απέδειξαν ότι η ουρά της βοηθητικής σύνθετης γεωμετρικής κατανομής ικανοποιεί την ακόλουθη ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση K K z d Z 1.26 όπου Z Z z d. Επιπλέον επιλέγοντας w 1 η συνάρτηση των Grr-Sh γίνεται ο T μετασχηματισμός Lapla του χρόνου χρεοκοπίας E U. Ακόμα για w χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 9 των τελεστών T παίρνουμε άμεσα r ότι H T Z r και συνεπώς η 1.22 γίνεται

45 T z d Z 1.27 T απ όπου συγκρίνοντας τις εξισώσεις 1.26 και 1.27 παρατηρούμε ότι η δεξιά ουρά της σύνθετης βοηθητικής γεωμετρικής κατανομής είναι ο μετασχηματισμός Lapla του χρόνου χρεοκοπίας T. Θεώρημα Για ισχύει ότι K E U T. Από τα Θεωρήματα 1.10 και 1.11 είναι φανερό ότι γνωρίζοντας τη T και υπολογίζοντας την H για διάφορες τιμές της συνάρτησης ποινής w μπορούμε να υπολογίσουμε διάφορα μέτρα κίνδυνου όπως την πιθανότητα χρεοκοπίας την κατανομή του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία U T την κατανομή του ελλείμματος κατά τη χρεοκοπία U T την από κοινού κατανομή των δύο παραπάνω τ.μ. καθώς και άλλα μέτρα κινδύνου. Έτσι από τα παραπάνω είναι φανερό ότι ο προσδιορισμός διάφορων μέτρων κινδύνου εξαρτάται άμεσα από τον υπολογισμό της συνάρτησης T η οποία βρίσκεται μέσω των μετασχηματισμών Lapla. Έτσι από τη σχέση 1.20 για w έχουμε ότι Gˆ r ˆ 1.28 T ˆ όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει χρησιμοποιώντας τη σχέση ˆ r ˆ r

46 η οποία αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας το Λήμμα 1.1. και τις ιδιότητες των τελεστών T r βλ. L 2003 Θέωρημα 2. Επιπλέον επιλέγοντας w και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 5 των τελεστών T r η συνάρτηση G ˆ γίνεται Gˆ T T... T T T... T r r r r T T... T r r ˆ ˆ r ˆ Αντικαθιστώντας την εξίσωση 1.29 στην 1.28 παίρνουμε άμεσα ότι ˆ r ˆ T ˆ Ο μετασχηματισμός Lapla 1.30 μπορεί να αντιστρέφεται σε ορισμένες μόνο περιπτώσεις. Μία από αυτές τις περιπτώσεις είναι όταν η ˆ έχει πολυωνυμική μορφή. Έτσι η ˆ T T μπορεί να έχει πολυωνυμική μορφή αν και μόνο αν η ˆ έχει πολυωνυμική μορφή και συνεπώς για αυτό το σκοπό επιλέγουμε την να ανήκει στην κλασματική οικογένεια κατανομών. Ορισμός raoal dro al. Η τ.μ. με σ.π.π. ανήκει στην κλασματική οικογένεια κατανομών R αν ο μετασχηματισμός Lapla ˆ γράφεται ως πηλίκο δύο πολυωνύμων Q ˆ με Q Q Q R h

47 όπου N + { R : E } και Q Q είναι πολυώνυμα βαθμού και dg Q αντίστοιχα. Υποθέτοντας ότι η κατανομή των ζημιών ανήκει στην κλασματική οικογένεια κατανομών δηλ. ο μετασχηματισμός Lapla δίνεται από την εξίσωση 1.31 και ορίζοντας B Q Q 1.32 να είναι ένα πολυώνυμο βαθμού τότε ο μετασχηματισμός Lapla του χρόνου χρεοκοπίας K δίνεται από το παρακάτω θεώρημα. T Θεώρημα Εάν ο μετασχηματισμός Lapla της σ.π.π. του μεγέθους των ζημιών ˆ έχει τη μορφή της 1.31 τότε B ˆ T R με B R Q όπου ξ δίνεται από το Θεώρημα 1.9. και R είναι όλες οι ρίζες της εξίσωσης B με RR > Επιπλέον αν R... είναι διαφορετικές μεταξύ τους τότε a ˆ T R και T R a

48 με R Q R a.... R R R Q Παρατήρηση 1.7. Από το Θεώρημα μπορούμε άμεσα να υπολογίσουμε την πιθανότητα χρεοκοπίας αφού ισχύει ότι l. T

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΥΠΟ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΡΙΣΜΑΤΟΣ 2.1. Εισαγωγή Με βάση το κλασσικό μοντέλο της θεωρίας Κινδύνου οι ερευνητές ανέπτυξαν διάφορες στρατηγικές που αναφέρονται στο όριο όσον αφορά την απόδοση μερίσματος. Χαρακτηριστικά από τους L llo 2003 μελετήθηκε η στρατηγική ενός σταθερού ορίου μερίσματος από τους L Pavlova 2005 μελετήθηκε η στρατηγική μερίσματος κατωφλιού από τους Zhag-Yag 2008 μελετήθηκε η στρατηγική για απόδοση πολλαπλών μερισμάτων κ.α.. Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας θα μελετηθεί η στρατηγική ενός σταθερού ορίου μερίσματος oa dvdd arrr rag. Η στρατηγική σταθερού μερίσματος arrr rag αρχικά προτάθηκε από τον D 1957 για το διωνυμικό μοντέλο. Σύμφωνα με αυτή τη στρατηγική όταν η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος ξεπεράσει ένα κατώφλι hrhold τότε επιστρέφεται μέρισμα στους δικαιούχους συνήθως με τη μορφή έκπτωσης στα ασφάλιστρα του επόμενου έτους. Υπάρχει αρκετή βιβλιογραφία για τη μελέτη στρατηγικών κατωφλίου για μια σύνθετη Poo διαδικασία κινδύνου. Χαρακτηριστικά αναφέρονται Bhla 1970 Sgrdahl 1970 Grr Pal και Gg 1997 Grr και Sh 1998 Alrhr ad Kahor 2002 και Hogaard Με την στρατηγική σταθερού ορίου μερίσματος υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα σταθερό οριζόντιο όριο το οποίο συμβολίζουμε με και είναι μεγαλύτερο από το αρχικό αποθεματικό δηλαδή. Με βάση την στρατηγική αυτή όταν το πλεόνασμα ξεπερνάει το σταθερό όριο πληρώνονται μερίσματα στους δικαιούχους με σταθερό και συνεχή ρυθμό που είναι ίσος με τον ρυθμό είσπραξης ασφαλίστρων

50 2.2. Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος για το κλασσικό μοντέλο κινδύνου υπό την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος Έστω U να είναι η τροποποιημένη διαδικασία πλεονάσματος με αρχικό αποθεματικό U κάτω από την ύπαρξη στρατηγικής μερίσματος. Επομένως το πλεόνασμα U δεν ξεπερνάει το όριο και μπορεί να εκφραστεί ως εξής: U { S U S U ή ισοδύναμα d ds U du ds U. Σχήμα 4. Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος U υπό την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος. T : U Ορίζουμε ως να είναι ο χρόνος όπου το πλεόνασμα γίνεται για πρώτη φορά αρνητικό. Ο χρόνος T αναφέρεται ως χρόνος χρεοκοπίας. Επίσης

51 θεωρούμε U T να είναι το πλεόνασμα πριν τη χρεοκοπία και U T το έλλειμμα κατά τη χρεοκοπία. Η ειδική περίπτωση αναφέρεται στην κλασσική θεωρία χρεοκοπίας. Η πιθανότητα χρεοκοπίας ορίζεται ως P T P U. r r 2.3. Η συνάρτηση των Grr-Sh υπό την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος. Ορισμός 2.1. Για και η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής των Grr-Sh ορίζεται ως T w U T U T I T U E 2.1 όπου είναι η ένταση ανατοκισμού w μία διδιάστατη συνάρτηση στο R 2 και T I T. ά Η συνάρτηση ; είναι πολύ χρήσιμη στο να παράγουμε αποτελέσματα για τις από κοινού και τις περιθώριες συναρτήσεις των T U T και U. Για διάφορες τιμές T της συνάρτησης ποινής και με βάση τον ορισμό της ; προκύπτουν οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις: για w παίρνουμε την πιθανότητα χρεοκοπίας I T U P T U : E r για w προκύπτει ο μετασχηματισμός Lapla του χρόνου χρεοκοπίας T ; : E I T U για w I I παίρνουμε την προεξοφλημένη από κοινού σ.π.π. του τυχαίου διανύσματος U T U T

52 E I U T U T I T U για w I παίρνουμε την προεξοφλημένη σ.π.π. της τ.μ. U T T h E I U T I T U για w I U T παίρνουμε την προεξοφλημένη σ.π.π. της τ.μ. T g E I U T I T U για w παίρνουμε την προεξοφλημένη ροπή τάξης του ελλείμματος κατά τη χρεοκοπία E T U T I T U για w παίρνουμε την προεξοφλημένη ροπή τάξης του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία E T U T I T U. Παρατήρηση 2.1. Από τον ορισμό της διαδικασίας πλεονάσματος U γίνεται φανερό ότι πρόκειται για μία ειδική περίπτωση της διαδικασία πλεονάσματος χωρίς την ύπαρξη στρατηγικής μερίσματος. Έτσι για έχουμε ότι lu U l. Στη συνέχεια θα προσδιορίσουμε τη γενική λύση της συνάρτησης των Grr Sh που ικανοποιεί την ολοκληρο-διαφορική εξίσωση της μορφής d z 2.2 με οριακή συνθήκη