έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2

Transcript

1 . Έστω η συνάρτηση f: τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f(). α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο. e για κάθε. t 3 63 e dt 7 έχει μοναδική Λύση α. Για κάθε έχουμε: f() ή f() δηλαδή η συνάρτηση g() f() με είναι γνησίως αύξουσα στο. Επομένως για έχουμε: g() g() f() f() f() f() Είναι όμως lim [ f()] άρα και lim f() που σημαίνει ότι υπάρχει θετικός αριθμός α τέτοιος ώστε f( α). Όμοια για έχουμε: g() g() f() f() f() f() Είναι όμως lim [ f()] άρα και lim f() που σημαίνει ότι υπάρχει αρνητικός αριθμός β τέτοιος ώστε f(β). Επομένως η f είναι συνεχής στο [α, β] (αφού είναι παραγωγίσιμη στο ) και f(α).f(β) άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) τέτοιο ώστε f(). Είναι όμως f() άρα η f είναι γνησίως αύξουσα και επομένως και είναι μοναδική ρίζα της f. - δηλαδή το β. Θεωρούμε συνάρτηση f() f() h() e, είναι - + h() e Όπως βλέπουμε από τον πίνακα η h για έχει ελάχιστο δηλαδή είναι h() h() e e

2 γ. Θεωρούμε συνάρτηση t 3 φ() 63 e dt 7 t Η e είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων άρα η, e t dt παραγωγίσιμη στο επομένως η φ είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Από β.(e ) φ() 63e 63 63( ) 63 είναι 6 63 Άρα σύμφωνα με το α ερώτημα η εξίσωση φ() έχει μοναδική ρίζα στο. 5. Δίνεται η συνάρτηση f : με f()= α. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β. Nα λυθεί η εξίσωσηf() =. γ. Aν Ζ μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: 5 z z., να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού Ζ. δ. Μία μέλισσα κινείτε στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο. Καθώς περνάει από το σημείο Α (, 3 ), η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό 5 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης χ τη χρονική στιγμή πού η μέλισσα περνάει από το σημείο Α. Λύση: 4 α. Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f()=5.ln, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο και επομένως δεν έχει ακρότατα. β. Παρατηρούμε ότι f ()= 5 =-=, δηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης f ()= και επειδή η f είναι γν. αύξουσα συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση f ()= έχει μοναδική ρίζα το στο. γ. Έχουμε z. z z 5 z 5 5 z z

3 Άρα 5 z 5 z 5 z z z z f ( z) f(), αφού η f είναι γν. αύξουσα θα είναι και - άρα z. Δηλαδή οι εικόνες του μιγαδικού z βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ=. δ. Έστω () t y=y(t) οι συντεταγμένες της μέλισσας, τη χρονική στιγμή t. Τη χρονική στιγμή t που η μέλισσα βρίσκεται στη θέση Α 3 3,, έχουμε () t και y() t. Επίσης έχουμε: y() t 5 / sec. Επειδή η μέλισσα κινείται στον κύκλο y, είναι ()() t y t. Διαδοχικά έχουμε. (())(()) t y t ()() ()() t t y t y t. Άρα τη χρονική στιγμή t έχουμε: ()()()() t t y t y t y() t 5 3 / Επομένως ()() t y t 5 3 / sec. () t / 3. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με Df [, ] για την οποία ισχύει: 6f() f() 7 f() () για κάθε [, ] 8 α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μοναδική λύση στο [, ]. β. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(, ) τέτοιο ώστε f(ξ) = -3 γ. Να βρείτε τον τύπο της f. δ. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της Λύση f - α. Η f παραγωγίσιμη στο [, ] άρα από το Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον () f() f() (, ) τέτοιο ώστε: f() f() f() f()

4 6f() f() 7 f() f() 6f() f() 7 8f() 8f() 8 6f() 8f() f() 8f() 7 (4f() )(f() 4) f() 4f() 4 και και f() 4 f() 4 Επομένως η f είναι συνεχής στο [, ] ως παραγωγίσιμη και f().f()<, άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε f(). Από την () έχουμε f() στο [, ] άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], επομένως το είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης f() β. Η f είναι συνεχής στο [, ] αφού είναι παραγωγίσιμη. Είναι f() 4 και f() 4. Παρατηρούμε ότι f() 3 f(), άρα συμφώνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ξ(, ) τέτοιο ώστε f(ξ) = -3. γ. Η σχέση () για f() 4 και f() γράφεται: f() f() f() Άρα f() c είναι όμως f() 4 c 4 c Επομένως ο τύπος της f είναι f(), [, ] 4 δ. Επειδή από την () έχουμε f() στο [, ] άρα η f είναι γνησίως - αύξουσα στο [, ], επομένως και - άρα ορίζεται η f. - Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f δηλαδή είναι το [f(),f( )] =[-4, 4 ]

5 4. Έστω η συνάρτηση f : (), ώστε για κάθε,y να ισχύει: f( - y) = f() - f(y) α. Nα δείξετε ότι f() =. β. Nα δείξετε ότι f(-) = -f(),. γ. Αν η f έχει μοναδική ρίζα το, να δείξετε ότι η f είναι -. δ. Αν z και ισχύει f( z-) + f() = f(3) i να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z. ε. Αν η f είναι συνεχής στο συνεχής στο. ΛΥΣΗ να δείξετε ότι η f είναι α. Από την () για = y = έχουμε: f() = f() - f() f() =. β. Από την () για = και y = έχουμε: f(-) = f() - f() f(-) = -f(). γ. Έστω f() = f() f() - f() = f( -) = και επειδή το είναι μοναδική ρίζα της f θα είναι - = = άρα η f είναι -. δ. Είναι () i f( z-) + f() = f(3) f( z-) = f(3 )-f() i i f( z+i) = f(3-) f( z+i) = f() z+ i Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z είναι κύκλος με κέντρο κ(, - ) και ακτίνα ρ=. ε. Επειδή η f είναι συνεχής στο θα ισχύει lim f() = f() για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο () f -

6 αρκεί να δείξουμε ότι lim f() =f() στο τυχαίο. Θέτω - = h - () όταν τότε h, έχουμε () lim f() lim f(h+ -)= lim f[h+( -)]= h h lim f[h-(-)] () h h h h lim [f(h)-f(-)]= lim f(h)- lim f(-)=f()-f(-) f [- (-)]=f(-+) f() () 5. Έστω η συνάρτηση f : (, +) για την οποία ισχύει f(.y) = f() + f(y) () για κάθε, y(, +). Α. Να δείξετε ότι f() = Α. Να δείξετε ότι f() = -f() για κάθε. Α 3. Αν η εξίσωση f() = έχει μοναδική λύση την =, να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. Α 4. Αν η f είναι συνεχής στο να δείξετε ότι η fείναι συνεχής στο (, +). Α 5. Αν z και ισχύει f z-3-4i f() = f + f() να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z. Α 6. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του z. Α 7. Αν z, z είναι δύο μιγαδικοί που ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Α 5 να βρείτε την τιμή της παράστασης z + z όταν η παράσταση z- z είναι μέγιστη; Α. Από την () για = y = έχουμε: f() = f() + f() f() =. ΛΥΣΗ

7 Α. Από την () για y = έχουμε: f() = f() + f() f() = f() + f() f()=-f () () Α 3. Έστω, (, +). Τότε ()() f() f() f() f() f() f() f()= και επειδή το είναι μοναδική ρίζα της f θα είναι = = άρα η f είναι -, δηλαδή αντιστρέψιμη. Α 4. Επειδή η f είναι συνεχής στο θα ισχύει lim f() = f() για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο (, +) αρκεί να δείξουμε ότι lim f() =f() στο τυχαίο (, +). h Θέτουμε: h Όταν είναι h. Τότε () lim f() lim f( h) lim [f() f(h)] h h () lim f() limf(h) f() f() h h f( ) f() ΓΕΝΙΚΑ Συνέχεια συνάρτησης f μέσω συναρτησιακής σχέσης f( y)= Αν γνωρίζουμε ότι η f είναι συνεχής στο και θέλουμε να αποδείξουμε ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε: h Θέτουμε: h Όταν είναι h α. α α Τότε: Αν α f() τότε η f είναι συνεχής στο τυχαίο D f, οπότε και σε όλο lim f() limf h... hα lim f() το πεδίο ορισμού της. Α 5. Είναι

8 f z-3-4i f() = f + f() f z-3-4i =f() + f + f() f()= f z-3-4i = f + f() f z-3-4i f()+f() f - f z-3-4i = f() z-3-4i =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z είναι κύκλος με κέντρο κ(3, 4) και ακτίνα ρ=. Α 6. z =(z -3-4i) +(3+4i) z z άρα z - z z +z z + z 3 4i z 3 4i 5 z 5 3 z 7. Επομένως ή z min =3 και z =7. ma Το ελάχιστο μέτρο έχει ο μιγαδικός z που έχει εικόνα το Α και το μέγιστο μέτρο έχει ο μιγαδικός z που έχει εικόνα το Β, δηλαδή είναι ()()()() z OB z 3 4 z z 5 3 z 7. Α 7. Το z - z γίνεται μέγιστο όταν οι εικόνες τους είναι σημεία αντιδιαμετρικά, έστω Γ(Ζ ) και Δ(Ζ ) τα άκρα μιας διαμέτρου τότε έχουμε: z +z = OΓ+OΔ = OΚ = ΟΚ =(3-Ο) +(4-) = 5=

9 Θυμηθείτε z-z ρ B A Μ Γ