Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Transcript

1 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα

2 μα προσφορά του blοg lisari.blogspot.com Lents

3 Θέμα Α. Έστω οι συναρτήσεις,g : R R h g είναι γνησίως αύξουσα.. Αν οι,g είναι γνησίως αύξουσες, να δείξετε ότι και η Β. Έστω η συνάρτηση () e. α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β. Να λύσετε την εξίσωση: e. γ. Να λύσετε την ανίσωση: ln. Α. Έστω οι συναρτήσεις,g : R R, R με ( ) ( ) και g( ) g( ) ( ) g( ) ( ) g( ) ( g)( ) ( g)( ) h( ) h( ) δηλαδή η h g είναι γνησίως αύξουσα.. Επειδή οι,g είναι γνησίως αύξουσες τότε για Β. Έστω η συνάρτηση () e. α. Θέτω g() e και h(), οπότε () g() h(). Οι συναρτήσεις g,h είναι γνησίως αύξουσες, οπότε σύμφωνα με το Α ερώτημα και η συνάρτηση () g() h() είναι γνησίως αύξουσα. β. e e ( ) () και επειδή η είναι «-» έπεται ότι γ. ln. Θεωρώ τη συνάρτηση () g() h() με, όπου g() ln και h(). Η συνάρτηση () g() h() είναι γνησίως αύξουσα σύμφωνα με το Α ερώτημα, οπότε η δοθείσα ανίσωση γράφεται g() h() () () Θέμα Α. Αν οι συναρτήσεις,g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, να δείξετε ότι και η h g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Β. Έστω η συνάρτηση () ln( ). α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β. Να λύσετε την εξίσωση: (). γ. Να λύσετε την ανίσωση: (). Α. Έστω οι συναρτήσεις,g : A R. Επειδή οι,g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ A,τότε Lents 3

4 , Δ με ( ) ( ) και g( ) g( ) ( ) g( ) ( ) g( ) ( g)( ) ( g)( ) h( ) h( ) δηλαδή η h g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ A. Β. Έστω η συνάρτηση () ln( ). α. Η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), ως άθροισμα των συναρτήσεων και ln( ) που είναι γνησίως αύξουσες στο (, ) σύμφωνα με το Α ερώτημα. β. Είναι () ln( ), οπότε () () () και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), αυτή είναι μοναδική. γ. Η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) και () () () και επειδή (, ) (, ) Θέμα 3 Έστω η συνάρτηση () ln. α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β. Να λύσετε την εξίσωση: ln. γ. Να λύσετε την ανίσωση: Η συνάρτηση ln 3 3. () ln ορίζεται για (, ) α. Η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), ως άθροισμα των συναρτήσεων g() ln και h() που είναι γνησίως αύξουσες στο (, ), σύμφωνα με το Α ερώτημα του υ θέματος. β. Είναι () ln. οπότε ln () () (). Η ρίζα αυτή είναι μοναδική, γιατί η είναι γνησίως αύξουσα. γ. Να λύσετε την ανίσωση: Θέτω y 3 με y, οπότε ln y και η δοθείσα ανίσωση γράφεται: 3 3 y y ln ln y ln y (y) () y (λόγω του ότι είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) ) 3 ή. Lents 4

5 Θέμα 4 Α. Έστω η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : R R και η συνάρτηση α. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. g() () e R β. Να βρείτε το ώστε ( ) () e. Β. Να λύσετε την εξίσωση: ln e e. Α. Η συνάρτηση : R R και η συνάρτηση h() e R είναι γνησίως φθίνουσες. α. Η συνάρτηση g() () h() () e R. g είναι γνησίως φθίνουσα ως άθροισμα δύο συναρτήσεων που είναι γνησίως φθίνουσες. β. Είναι: ( ) () e ( ) e () g( ) g() και επειδή ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα προκύπτει ότι. Β. Θέτω () ln e και g() () e,. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και σύμφωνα με το ερώτημα Αα η g είναι γνησίως φθίνουσα και κατά συνέπεια είναι «-», επομένως η δοθείσα εξίσωση γράφεται: g( ) g( ) g() ln e e ln e e και επειδή η g είναι «-» προκύπτει Θέμα 5 Έστω η συνάρτηση () e. Α. α. Να εξετάσετε την ως προς την μονοτονία. β. Να λύσετε την εξίσωση: e Β. Έστω η συνάρτηση g : R R για την οποία ισχύει g() g() e για κάθε R α. Να δείξετε ότι η g(). β. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. γ. Να λύσετε την ανίσωση: g (). Α. α. Η συνάρτηση () e, R είναι γνησίως αύξουσα (Θέμα Βα). β. e e () () (επειδή η είναι «-» ως γνησίως αύξουσα). Lents 5

6 Β. Έστω η συνάρτηση g : R R για την οποία ισχύει: g() g() e για κάθε R α. g() g() g() e g() e. Το g() είναι ρίζα της εξίσωσης e (Ερώτημα Αβ), δηλαδή g(). β. Η απόδειξη θα γίνει με απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι η g δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε θα υπάρχουν, g( ) g( ) g( ) e g( ) e e e g( ) g( ) g( ) g( ) άτοπο ( η h() είναι γνησίως αύξουσα). Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα. γ. g () g( ()) g( ()) g( ()) () (). γιατί οι, g είναι γνησίως αύξουσες και (), g( ()) g(). R με ώστε Θέμα 6 Α. Έστω οι συναρτήσεις,g : R R. Αν οι g, g είναι γνησίως αύξουσες, να δείξετε ότι και η είναι γνησίως αύξουσα. Β. Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η C τέμνει τον άξονα στο 3 α. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) έχει μοναδική λύση. β. Να λύσετε την ανίσωση: ( ) ( ). Α. Η απόδειξη είναι απλή με απαγωγή σε άτοπο. Β. Εφόσον η C τέμνει τον άξονα στο 3, είναι (3). α. Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, τότε και οι συναρτήσεις ( ) και ( ) είναι γνησίως αύξουσες (σύνθεση δύο γνησίως αυξουσών συναρτήσεων), ως άθροισμά τους δηλ. η ( ) ( ) επίσης και το Επομένως η εξίσωση ( ) ( ) έχει μοναδική λύση την δοθέντος ότι (3) β. Θεωρώ τη συνάρτηση: h() ( ) (, η ) οποία είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει h(), οπότε: ( ) ( ) h() h(). Θέμα 7 Έστω η συνάρτηση : R () R για την οποία ισχύει e () για κάθε R. α. Να δείξετε ότι () για κάθε R. Lents 6

7 β. Να βρείτε το (). γ. Να δείξετε ότι και η είναι γνησίως αύξουσα. δ. Να λύσετε την ανίσωση: ln (). α. Προφανώς ισχύει () (πράξεις μεταξύ θετικών αριθμών) για κάθε R. β. e () 3 () y y με y () (y )(y y ) y. Επομένως (). γ. Η απόδειξη θα γίνει με απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε θα υπάρχουν, R με ώστε ( ) ( ) ( )( ( )) ( )( ( )) e e ( ) ( ) είναι γνησίως αύξουσα). Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα. δ. ln() ln() ln () () (). άτοπο (η h() e Θέμα 8 Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει (R) R και η συνάρτηση 3 g() () ( )(), R. α. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις,g είναι -. β. Να δείξετε ότι: 3 (g )() (), R γ. Αν () να λύσετε την εξίσωση: 3 (). α. Η συνάρτηση ως γνησίως μονότονη είναι -. Θεωρώ τη συνάρτηση 3 h() (), R, η οποία είναι γνησίως μονότονη (άθροισμα γνησίως μονότονων συναρτήσεων) και κατά συνέπεια -. Η 3 g() () ( )() h( ()), R είναι - ως σύνθεση δύο συναρτήσεων -. β. γ. 3 (g )() h( ( () h() (), R 3 () h() h() Lents 7

8 Θέμα 9 Α. Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις,g : R R g, g είναι γνησίως αύξουσες. Β. α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση h() ln ως προς τη μονοτονία.. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις β. Αν η συνάρτηση : R R είναι γνησίως αύξουσα και () R, να δείξετε ότι. Η συνάρτηση t() () ln () Rείναι αντιστρέψιμη.. Αν η C τέμνει τον άξονα yy στο να λύσετε την εξίσωση: Α. Έστω οι συναρτήσεις,g : R R, R με ( ) ( ) και g( ) g( ), ( ) g( ) ( ) g( ) ( g)( ) ( g)( ) δηλαδή η g είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης επειδή οι,g είναι γνησίως αύξουσες τότε για () () e.. Επειδή οι,g είναι γνησίως αύξουσες τότε για, R με g( ) g( ) (g( )) (g( )) ( g) ) ( g)( ), δηλαδή η g είναι γνησίως αύξουσα. Β. α. Η συνάρτηση h() ln ( ) ln, είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα γνησίως αυξουσών συναρτήσεων. β.. Θεωρώ τη συνάρτηση h() ln,, Η συνάρτηση t() () ln() h(()) (h )(), είναι γνησίως αύξουσα ως σύνθεση γνησίως αυξουσών συναρτήσεων και κατά συνέπεια - με αποτέλεσμα να υπάρχει η αντίστροφή της, είναι δηλαδή αντιστρέψιμη.. Επειδή η C τέμνει τον άξονα yy στο προκύπτει ότι () t() () () () () () e ln () ln e () ln () t() t(). Θέμα Έστω οι συναρτήσεις () ln και α. Να δείξετε ότι η g είναι -. e g() e β. Να βρείτε την συνάρτηση : γ. Να βρείτε την συνάρτηση: g. g. δ. Να λύσετε την ανίσωση: g ( ()). Lents 8

9 α. Έστω, R με τότε e e g( ) g( ) e e e e g( ) g( ) δηλ. η g είναι γνησίως φθίνουσα και κατά συνέπεια -. β. γ. e y e y y y ye e e (y ) y e y ln με y. Άρα y g () ln με ln (g )() g ( ()) ln, (,e). ln δ. Για (,e) η ανίσωση γράφεται: ln ln g ( ()) ln ln / e. ln ln ln Επομένως: e Θέμα Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι γνησίως φθίνουσες στο Α να δείξετε ότι και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. Β. Έστω η συνάρτηση () ln( ). α. Να δείξετε ότι και η είναι γνησίως φθίνουσα. β. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την γ. Να λύσετε την εξίσωση: ().. δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της C και της ευθείας y Α. Έστω οι συναρτήσεις,g : A R. Επειδή οι,g είναι γνησίως φθίνουσες στο Α τότε Lents 9, R με ( ) ( ) και g( ) g( ) ( ) g( ) ( ) g( ) ( g)( ) ( g)( ) φθίνουσες στο Α. Β. Έστω η συνάρτηση () ln( ) με A [, ) α. Έστω, A με τότε ln( ) ln( ) ln( ) ln ), δηλαδή η g είναι γνησίως

10 ( ) ( ), δηλαδή η είναι γνησίως φθίνουσα. β. Η ως γνησίως φθίνουσα είναι - και κατά συνέπεια αντιστρέφεται. () ln( ) με A [, ) Είναι... () (A) (,] y () ln( ) y ln( ) e e y Επομένως () e με (,]. γ. () e. δ. () (). Θεωρώ τη συνάρτηση h() (),. Η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως φθίνουσα ως άθροισμα γνησίως φθινουσών συναρτήσεων και κατά συνέπεια -. Επομένως () h() h(). Θέμα Έστω η συνάρτηση : R εξίσωση () που έχει μοναδική ρίζα. α. Να βρείτε το (). β. Να δείξετε ότι η είναι -. γ. Αν (),, να δείξετε ότι :. Να δείξετε ότι η γνησίως αύξουσα.. Να λύσετε την ανίσωση: R για την οποία ισχύει () (y) ( y), y R και η (e ) (3 ) (e ). α. Επειδή ισχύει () (y) ( y), y R, για y () () () (). β. Έστω, R με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Επειδή η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα και () δηλαδή η είναι -. γ. (),., R με o ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), δηλαδή η γνησίως αύξουσα.. (e ) (3 ) (e ) (e ) (e ) (3 ) (e ) (e 3 ) (e ) (e 4 ) Lents

11 Θέμα 3 e e 4 Έστω η συνάρτηση : (, ) R για την οποία ισχύει εξίσωση () που έχει μοναδική ρίζα. α. Να βρείτε το (). () (y) ( ), y και η y β. Να δείξετε ότι η είναι -. γ. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) () (5 6). δ. Αν (), να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. α. Επειδή ισχύει () (y) ( ), y, y για y () () () (). β. Έστω, R με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (). Επειδή η () έχει μοναδική ρίζα, δηλαδή η είναι -. γ. ( ) () (5 6) ( ) (5 6) () ( ) ( ) δ., επειδή (), R με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), δηλαδή η γνησίως φθίνουσα. Θέμα 4 Έστω η συνάρτηση * : R R με () * R, για την οποία ισχύει Να δείξετε ότι: α. () () (y) (y) *, y R. β. (). Lents

12 γ. Αν η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα το, τότε η είναι -. δ. Αν η C τέμνει την ευθεία y σε ένα το πολύ σημείο, τότε η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη. () g() α. Επειδή ισχύει () (y) (y) *, y R για () (απορ.) β. y () () () () () () δεκτη () () () γ. Έστω. ( ), R με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *. Επειδή η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα το, τότε ( ) ( ) ( ) δηλαδή η είναι -. () δ. Για την g() με ) g() γιατί () * R ισχύουν R * ) (y) () (y) () (y) g(y) g()g(y) y y y *, y R 3) Η εξίσωση () () g() έχει το πολύ μία ρίζα και επειδή g(), η εξίσωση g() έχει μοναδική ρίζα το. Για τη συνάρτηση () g() ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις που ισχύουν και για την, η οποία είναι αντιστρέψιμη, συνεπώς και η g είναι αντιστρέψιμη. Θέμα 5 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει () (y) ( y), y R και (). Να δείξετε ότι: α. () R. β. () R. Lents

13 γ. (). δ. () ( ) R. ε. Αν η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα, τότε η αντιστρέφεται και ισχύει: (y) () (y), y. α. () ( ) ()( ) () R β. () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R. γ. Για y είναι () () ( ) δ. Για y είναι () ( ) () R. ε. Έστω () (απορ.) () () () () () δεκτη ( ), R με ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) εξάλλου ( ) ( ) ( ) () ( ) () Επομένως () ( ) ( ) ( ) (επειδή η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα και () ), επομένως και η αντιστρέφεται., y,, y R ώστε: ( ) () (y ) y (y) y ( y ) ( ) (y ) y (y) y Θέμα 6 (y) () (y),, y Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( ) () a β R και A(,3) C. α. Να βρείτε τα α, β. β. Να δείξετε ότι (), R γ. Να βρείτε το lim ()ημ () Lents 3

14 α. ( ) () a β R και A(,3) C. Για a β β a () Για () ( ) () ( )(a ) () a. () Επειδή συνεχής lim () () a 3 a β. () β. Για () () a (). Για () 3. Επομένως () R. γ. ημu ημu () u u u u lim ()ημ lim lim lim u u u Θέμα 7 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R (). R για την οποία ισχύει () () R και α. Να βρείτε τον τύπο της. β. Να βρείτε τα όρια: lim () () και lim ημ γ. Να δείξετε ότι υπάρχει, α. Ισχύει τέτοιο ώστε ( ) e () () R () () ( () ) () R. β. Είναι: lim () lim () () και lim lim ημ ημ γ. Θεωρώ τη συνάρτηση g() () e, R. Lents 4

15 Αυτή είναι συνεχής στο [,] και g() g() e θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει, ( ) e, ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του, τέτοιο ώστε g( ) ( ) e Θέμα 8 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει. α. Να δείξετε ότι a. β. Να βρείτε τον τύπο της. γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση () ( ) () a ημ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, () δ. Να βρείτε το όρι: lim, ν α. Η είναι συνεχής, επομένως ν N * lim( ) () lim( a) a a β. Για ( )( ) (). Επειδή η είναι συνεχής, για Επομένως () R. () lim( ) 3. γ. () ημ ημ. Θεωρώ τη συνάρτηση g() ημ, R. Αυτή είναι συνεχής στο [,] και g() g() ( ημ) ημ, ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε g( ), δηλαδή η εξίσωση () () δ. lim, ν ν N ι) Αν v τότε ιι) Αν v τότε * ν Lents 5, τέτοιο ημ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, () lim lim lim ( ) () lim lim lim ( ) ν v v v

16 Θέμα 9 Έστω οι συναρτήσεις () και g() α. Να βρείτε την συνάρτηση h g e. β. Να δείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. γ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, α., R e h() ( g)() (e ) τέτοιο ώστε h( ) h ( ) β. Έστω, R με e e h( ) h( ), δηλαδή η h είναι e e γνησίως φθίνουσα επομένως αντιστρέφεται. Θέτω Επομένως h () ln. y ln y. e γ. Θεωρώ τη συνάρτηση t() h() h (),. ln Αυτή είναι συνεχής στο [,] και t() t() ( ln ) e e, ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε t( ) h( ) h ( ). Εξάλλου η συνάρτηση με, είναι γνησίως φθίνουσα, ως άθροισμα t() h() h () γνησίως φθινουσών συναρτήσεων, και κατά συνέπεια το, είναι μοναδικό. Θέμα Έστω η συνάρτηση () e ln 3. α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση δ. Να βρείτε το όριο: lim e ln 3 έχει μοναδική ρίζα. α. Η συνάρτηση () e ln 3, είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα γνησίως αυξουσών συναρτήσεων (βλέπε θέμα Α ). Lents 6

17 β. (A) lim (), lim (), γ. Η εξίσωση e ln 3 είναι ισοδύναμη με την (). Το μηδέν () ανήκει στα σύνολο τιμών της συνάρτησης και η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Συνεπώς η εξίσωση ει μοναδική ρίζα. δ. lim ( ) lim (u) 3. u e ln 3 έχει μοναδική ρίζα στο (, ). Θέμα Έστω η συνεχής συνάρτηση : α, β R και οι μιγαδικοί α z e i (α), z (β) ie β. Αν Im(z )Re(z ) και z z z z να δείξετε ότι: α. α β e e. (α) (β) β. H C τέμνει τον άξονα α. Im(z )Re(z ) (a) (β) z z z z z z z z (z z )(z z ) z z z z z z z z z z z z a β zz zz e (β) e (a) α β e e (α) (β). σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη α, β β. Η συνάρτηση είναι ορισμένη και συνεχής στο [a,β] και a β a β βa e (β) e (a) e (a) (β) e ( (a)) (a) (β) e ( (a))., ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον α, β, τέτοιο ώστε ( ), δηλαδή η C τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη α, β. Θέμα Έστω η συνεχής συνάρτηση : R () ημχ ημ για κάθε χ R για την οποία ισχύει: Lents 7

18 α. Να βρείτε τον τύπο της. β. Να βρείτε το όριο: lim () γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει μια τουλάχιστον ρίζα. α. Για ημ () ημ. Επιπλέον η είναι συνεχής, επομένως ημ () lim () lim ημ lim. Άρα ημ ημ, (), β. Έχουμε διαδοχικά, ημ ημ lim () lim (ημ ) lim ημ lim ημu ημ lim lim u u γ. Επειδή lim () a,, ώστε (a). Η συνάρτηση είναι ορισμένη και συνεχής στο R και κατά συνέπεια στο [, a]και () (a), ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον, a, τέτοιο ώστε ( ). Θέμα 3 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R () 3ημ για κάθε R. α. Να βρείτε τον τύπο της. β. Να βρείτε το όριο: lim (). γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση α. Για 3ημ (). Επιπλέον η είναι συνεχής, επομένως R για την οποία ισχύει: () e έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα. Lents 8

19 3ημ () lim () lim lim 3 3. Άρα 3ημ, () 3, β. ημ lim () lim 3 lim 3 γ. Θεωρώ τη συνάρτηση g() () e, R. Αυτή είναι συνεχής στο R ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επιπλέον g() () e 3 4 lim g() lim ( () e ) lim () lim e Επειδή lim g() a,, ώστε g(a). Η συνάρτηση g είναι ορισμένη και συνεχής στο R και κατά συνέπεια στο [, a]και g()g(a), ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον, a τουλάχιστον θετική ρίζα., τέτοιο ώστε g( ), Δηλαδή η εξίσωση () e έχει μια Θέμα 4 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R () για κάθε R. R για την οποία ισχύει: Α. Να δείξετε ότι η C έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία y με τετμημένη,. Β. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) να δείξετε ότι: α. Η συνάρτηση g() () e, R, είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ). β. Η εξίσωση Γ. Να βρείτε το όριο: έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, e () e () ln. lim Α. Θεωρώ τη συνάρτηση h() (), R. Lents 9

20 Αυτή είναι συνεχής στο R ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και ισχύει h() R. Για είναι: h() h() Για είναι: h() h() Η συνάρτηση h είναι ορισμένη και συνεχής στο R και κατά συνέπεια στο [, ] και h()h(), ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε h( ). Η εξίσωση λοιπόν () έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, δηλαδή η C έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία y με τετμημένη,. Β. α. Η συνάρτηση g() () e, R, είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) ως άθροισμα των συναρτήσεων () και e που είναι γνησίως φθίνουσες στο [, ). β. e () e () g() Η συνάρτηση g() () e, R είναι συνεχής στο R και κατά συνέπεια στο [, ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και g() () e (ισχύει () ) () 4 3e g() (ισχύει () e e 4e () () ) δηλαδή g()g(), ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον, φθίνουσα στο [, ) η ρίζα είναι μοναδική., τέτοιο ώστε g( ) και επειδή η g είναι γνησίως Γ. Για και εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής έχω: () ( ) ( ) lim Επομένως. lim ln lim limln Lents

21 Θέμα 5 Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση :, C A, τότε: α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της g. g() (),, R. Αν το σημείο είναι γνησίως αύξουσα. γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση () () έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα,. α. Η συνάρτηση συναρτήσεων g() () () και,, που είναι γνησίως αύξουσες στο β. Το σύνολο τιμών της g είναι: g (,) lim g(), g(), είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα των.,. Αλλά g() () () και lim g() lim lim () () Επομένως το σύνολο τιμών της g είναι: g (,) (, ) γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση () () g(). Το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών της g, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον,, δηλαδή στο πεδίο ορισμού της, τέτοιο ώστε g( ) και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Θέμα 6 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R Α. Αν Im(z ) R να βρείτε τα όρια: ) z συν lim Re(z ) Β. Αν z,, τότε: α. Να λύσετε την εξίσωση: () R και οι μιγαδικοί z i (), R. και ) lim( z ) Lents

22 β. Να βρείτε την όταν Im(z ) Α. Im(z ) R () για κάθε R ) z συν () συν συν lim lim lim Re(z ) συν lim lim lim( ) ) lim ( z ) lim ( () ) lim ( ) Β. Αν z,, τότε: α. () z β.,, z ( ) () () ( ) () Θέμα 7 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R Α. Να δείξετε ότι: () R. Β. Αν () α. Να βρείτε τον τύπο της. β. Να βρείτε το όριο: Α. Έστω ότι υπάρχει Άρα () R για την οποία ισχύει () () για κάθε R. lim ()ημ. R ώστε: για κάθε R. Β. Είναι (). Για κάθε R ισχύει: ( ) ( ), άτοπο. () () () (). ( ισχύει: Im(z ) () ) Έστω () () lim () lim (), άτοπο. Άρα () και () (), R Lents

23 β. lim () lim ( ) lim ( )( ) ( ) ( )( ) lim lim lim ( ) Επομένως lim ()ημ lim ( )ημ. Θέμα 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει () ()ημ συν, για κάθε R και (). α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g() () ημ, R διατηρεί σταθερό πρόσημο. β. Να δείξετε ότι () ημ. γ. Να βρείτε τα όρια: ) ) () lim lim () α. Για κάθε R ισχύει: () ημ g() g(). () ()ημ συν ( () ημ) Αλλά η συνάρτηση g() () ημ είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και δεν μηδενίζεται, κατά συνέπεια διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επί πλέον g() () ημ. Επομένως g() R. β. Από το ερώτημα α. ισχύει: () ημ () ημ () ημ. γ. ) Είναι () ημ ημ lim lim lim lim ημ ημ lim lim lim lim ) lim () lim ( ημ) Lents 3

24 Θέμα 9 Δίνεται η συνάρτηση: () συν. Α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο π Δ, Β. Να βρείτε το (Δ) και να δείξετε ότι η εξίσωση συν έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα π,. Γ. Να βρείτε τα όρια: ) () 3 lim και ) lim (). Α. Η συνάρτηση () συν ( ) ( συν) είναι γνησίως αύξουσα στο π Δ, ως άθροισμα αυξουσών συναρτήσεων (βλέπε Θέμα ο Α). Β. Η συνάρτηση () συν είναι συνεχής στο Δ ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, επομένως το σύνολο τιμών της είναι: π π 8 (Δ) (), ( ), 4. π π 8 8 π Εξάλλου () ( ), πληρούνται δηλαδή οι προϋποθέσεις του 4 4 π θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε ( ) και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Γ. Να βρείτε τα όρια: ) () 3 lim και ) lim (). Θέμα 3 Α. Να δείξετε ότι:, ημ. Β. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :, R για την οποία ισχύει:, () ημ( ) α. Να λύσετε την εξίσωση: (). στο,. β. Να δείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, Lents 4

25 γ. Αν () ημ να βρείτε τον τύπο της. Α., () Εξάλλου ημ( ) ημ,. () ημ( ) Β. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :, R για την οποία ισχύει:, () ημ( ) α. Για κάθε, : ισχύει Επομένως με, έχουμε:. () ημ( ) () ημ( ). β. Επειδή οι αριθμοί, είναι διαδοχικές ρίζες της, αυτό σημαίνει ότι αυτή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο,. γ. Το μηδέν ανήκει στο πεδίο ορισμού,,, της, με () ημ και επειδή η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, έπεται ότι: () () ημ( ),. Επομένως Θέμα 3 ημ λ, Έστω η συνάρτηση () με λ. π α. Να βρείτε την. β. Να βρείτε το όριο: lim (). 3 γ. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής. δ. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο, π π τέτοιο ώστε ( ). α. Για κάθε Για κάθε 3 ημ συν λ 3 ημ συν λ είναι: 3 lim ημ λ είναι : Lents 5

26 Αλλά Επομένως β. Είναι : ημ λ ημ λ λ κρ. παρεμ lim ημ λ λ 3 ημ συν λ, αν λ, αν ημu λ u u u 3 lim () lim ημ λ lim ( ) u γ. H είναι συνεχής σε κάθε σημείο ( είναι αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων). Απομένει η εξέταση της συνέχειας στο σημείο. Ισχύει: ημ ημ Επομένως κρ. παρεμ lim ημ και συν συν κρ. παρεμ limσυν lim () lim3 ημ συν λ λ λ () Η λοιπόν είναι συνεχής. δ. Η ορίζεται και είναι συνεχής στο 3 Επί πλέον ( ) ημπ συνπ λ λ π π π π Οπότε, π π. 3 και ( ) ημ( π) συν( π) λ λ π π π π π π π π π ( ) ( ) λ λ λ που ισχύει, γιατί Για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρ. Bolzano στο διάστημα. λ π π λ, π π συνέπεια υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο, π π τέτοιο ώστε ( ). Θέμα 3. και κατά Έστω η συνάρτηση () ( ρ )( ρ )...( ρ 7 ), η συνάρτηση g()... ρ ρ ρ 7 και το σύνολο A ρ, ρ,...,ρ. 7 Lents 6

27 Να δείξετε ότι R A ισχύουν: α. g () β. () g() () γ. () () () α. Είναι: g ()... ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) 7 R A. β. () ( ρ )...( ρ 7 ) ( ρ ) ( ρ 3)...( ρ 7)... ( ρ )( ρ )...( ρ 6 ) Επομένως: γ. ()... g() () ρ ρ ρ 7 R A. () () () () () () () () g() g (), R A () () () Αλλά g () () () () Θέμα 33 () () () R A Έστω C ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: z 5i 6 z 5i α. Να βρείτε την εξίσωση του C. β. Να βρείτε τον τύπο της για την οποία ισχύει C C. γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που διέρχεται από το B,. δ. Έστω ένα κινητό Μ κινείται στην C. Καθώς το Μ περνάει από το σημείο Α, που η εφαπτομένη σ αυτό διέρχεται από το B,, η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό cm/sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του, την στιγμή που περνάει από το Α. α. z 5i 6 z 5i y 5 6 y 5 y y 5 36 y y 5 y y 5 y 36 y y 5 5y 9 3 y y 5 Lents 7

28 Για 9 y Η ανωτέρω γράφεται: 5 5y 9y 8 9 9y 9y 5 y 66y 9 44 (Ό κάτω κλάδος της υπερβολής με εστίες Ε(, 5), Ε(, -5) 9 6 α=4, β=3, γ=5 y y 3 3 β. y 6 6, R γ. Η εξίσωση της εφαπτομένης της C σε σημείο. Εξάλλου 6 και y 3 4 A, αυτής είναι: Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης στο 3 3 y Το σημείο B, δεν ανήκει στη οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν, Άρα A, γράφεται: C, διέρχεται όμως η όμως η εφαπτομένη, κατά συνέπεια Οπότε , 6 εφαπτομένης γράφεται: y y και η εξίσωση της 7 δ. Έστω (t) και y(t) οι συντεταγμένες του Μ. Τότε: 3 t 7yt 3 () Παραγωγίζοντας τα μέλη της έχουμε : Έστω και 3 t 7y t. () t η χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το Α, τότε t 6, t m / sec. Για t t 7 3 t 7y t y t 6 m / sec. 7 η () γράφεται: 3 y t 7 4 Lents 8