Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες 7) A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Έστω συνεχής συνάρτηση f : A R. Αν ισχύει ότι f () = για κάθε A, Τότε η f είναι σταθερή.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας,στο τετράδιό σας το γράμμα Α,αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (Μονάδες 1) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (Μονάδες ) A. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα α, β του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 4) [ ] A 4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν lim f() >, τότε f() > κοντά στο. (Μονάδες ) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ]. (Μονάδες ) γ. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει (fog) = f (g( )).g. (Μονάδες ) δ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο. (Μονάδες ) ε. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι «1-1», αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f() = e e +, R. Β 1. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της f. ( Μονάδες 5)

2 Β. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και ότι για κάθε R Ισχύει: < f() <. ( Μονάδες 6) Β. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α ln, 1 διαπερνά την γραφική παράσταση της f. ( Μονάδες 6) Β 4. Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f και να υπολογίσετε το εμβαδό που περικλείεται από την γραφική παράστασης της f τους άξονες, y y και την ευθεία = ln. ( Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Γ Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [ ] f () 5 για κάθε (,4). Αν f() 1 =, να δείξετε ότι:,4 και ισχύει Γ 1. 7 f(4) 19. ( Μονάδες 6) Γ. Υπάρχει (,4) με f 9 ( Μονάδες 7) Γ. Η γραφική παράσταση της f τέμνει ακριβώς μια φορά τον άξονα,4. ( Μονάδες 6) όταν Γ 4. Αν η f είναι συνεχής στο [,4 ] η εξίσωση [ f ()] = 7f () - 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,4 ). ( Μονάδες 6) ΘΕΜΑ Δ Αν f() πολυώνυμο πέμπτου βαθμού τέτοιο ώστε το f( ) + 16 να διαιρείτε με το (+1) και το f() 16 να διαιρείτε με το ( 1), τότε: 5 Δ 1. Να δείξετε ότι f() = 6 +. ( Μονάδες 1) Δ. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και ότι έχει δύο κρίσιμα σημεία. ( Μονάδες 5) Δ. Να δείξετε ότι τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης του f() είναι συνευθειακά. ( Μονάδες 5) Δ 4. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την C f τον άξονα και τις ευθείες = 1 και = 1. ( Μονάδες 5)

3 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις A 1. Έστω 1, με 1<. Θα δείξουμε ότι f( 1) < f( ). Πράγματι, στο διάστημα [ 1, ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, f( ) f( 1) υπάρχει ξ ( 1, ) τέτοιο, ώστε f (ξ) =, οπότε έχουμε 1 f( ) f( 1) = f (ξ)( 1). Επειδή f (ξ) > και 1>, έχουμε f( ) f( 1) >, οπότε f( 1) < f( ). A. α. Ψ β. Η συνάρτηση 1, < f () = ενώ είναι f () = για κάθε 1, > A= (,) (, + ), εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο (,) (, ) Δηλαδή το θεώρημα ισχύει σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. +. A. Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β ] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον ισχύει f() f(α) lim R και + α α f() f(β) lim R. β β A 4. α Σ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Σ ΘΕΜΑ Β Β 1. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Οριζόντια ασύμπτωτη στο + : + e + e lim f() = lim = lim =. e + e Άρα η y = οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο +. e e + Επίσης έχουμε lim f() = lim = + = ασύμπτωτη της C f στο.. Άρα η y = οριζόντια

4 Β. Είναι ( e +) ( e +) e e + e e 6e f () = = > για κάθε R, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R το σύνολο τιμών της είναι: f( R) = ( lim f(), lim f() ) = (,) + (τα όρια από το Β 1 ερώτημα) άρα < f() <. Β. Είναι 6e e + 6e e + e 6e e + e + e 6e e f () = = = e + e + e Επομένως f () e e ln Οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας f () f() ln + Η f παρουσιάζει για = ln σημείο καμπής το Α( ln, 1 ) επομένως στο σημείο αυτό η εφαπτομένη διαπερνά την C f. 1 Β 4. Επειδή f() = και έχοντας υπόψη και τα παραπάνω ερωτήματα η γραφική παράσταση της f είναι:

5 το ζητούμενο εμβαδό είναι: ln f() > ln ln e ln ( e + ) E = f() d = f() d= d = d e + e + ln 6 = ln( e +) = ln 6 ln 4 = ( ln 6 ln 4) = ln ln 4 = τετρ. μονάδες ΘΕΜΑ Γ Γ 1. Η f είναι συνεχής στο [,4 ], η f είναι παραγωγίσιμη στο (,4 ) άρα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,4) τέτοιο ώστε f(4) f() f(4) + 1 f (ξ) = f (ξ) =. 4 4 Είναι όμως f () 5 επομένως Γ. Έχουμε για κάθε (,4) άρα θα είναι και f (ξ) 5 f(4) + 1 f (ξ) f(4) f(4) f(4)+f() 7 f(4) 19 6 f(4)+f() Επειδή f η οποία είναι συνεχής στο [ ] f () > για κάθε (,4) για κάθε [,4]. Έτσι επειδή f() < f(4) είναι,4 και ισχύει f () 5 δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα άρα f () f() f(4) f() f()<f(4) f()+f(4) f() < f()+f(4) < f(4) f() < < f(4). f()<f(4) f(4) Σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ θα υπάρχει (,4) που λόγω της σχέσης f(4)+f() τέτοιο ώστε f( ) =, 1 προκύπτει f 9. Γ. Η f είναι συνεχής στο [,4 ] και f() = 1< και 7 f(4) 19 δηλαδή f(4) > άρα f() f(4) < επομένως σύμφωνα με το Θ. Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 (,4) τέτοιο ώστε f( 1) = και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα το 1 θα είναι μοναδικό. Επομένως η γραφική παράσταση της f τέμνει ακριβώς μια φορά τον άξονα,4. Γ 4. Αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση [ ] μία τουλάχιστον ρίζα στο (,4 ). όταν g() = f () 7f () + 4 έχει

6 Η g είναι συνεχής στο [,4 ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων [ ] [ ] g() = f () 7f () = f () f () 7 < γιατί f () 5 5 f () 7 [ ] g(4) = f (4) 7f (4) + 16 > γιατί το g(4) είναι τριώνυμο με = 49 64= 15 < επομένως g() g(4) < άρα σύμφωνα με το Θ. Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,4) ΘΕΜΑ Δ Δ 1. Από την υπόθεση έχουμε: f( ) + 16 = (+1) φ f 16 = ( 1) σ όπου ϕ () και σ() πολυώνυμα δευτέρου βαθμού. Με παραγωγίση παίρνουμε: f () = (+1) [φ()+(+1)φ ()] f () = ( 1) [σ()+( 1)σ ()] Δηλαδή το πολυώνυμο f () διαιρείται με το (+1) και με το επειδή είναι τετάρτου βαθμού θα έχει τη μορφή: τέτοιο ώστε g( ) = = α = α = α = α + ( 1) και 4 f () (+1) ( 1) [(+1)( 1)] ( 1) ( 1) 5 5 Συνεπώς έχουμε: f () = α( + ) άρα f() = α ( + ) + c. 5 5 Από υπόθεση όμως έχουμε: f( 1) = 16 και f(1) = 16 1 f( 1) = 16 α( + 1) + c = 16 8α+15c = 4 ( 1 ) 5 1 f(1) = 16 α( +1) + c = 16 8α+15c = 4 ( ) 5 βρίσκουμε α = και c = επομένως: Από τις ( 1 ) και f() = ( +) = 6 + Δ. Είναι 4 4 f () = 6 + = ( +1) = ( 1) f () f() 1 1 +

7 Άρα από τον πίνακα βλέπουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και έχει 1,f 1 f 1 f 1 =. κρίσιμα σημεία τα 1,f ( 1 ) και ( ) γιατί = και Δ. f () = 1 1 = 1( 1) = 1( 1)(+1) -1 f () f() Και όπως φαίνεται από τον πίνακα έχουμε τρία σημεία καμπής. Τα Γ 1, 16 Α(, ), Β( 1, 16 ) και 16 λ ΑΒ= =16 1 συνευθειακά. 16 λ = =16 1, ΑΓ δηλαδή λ ΑΒ = λ ΑΓ, άρα Α, Β, Γ 5 Δ 4. Έχουμε f() = 6 + είναι f ( ) = δηλαδή το είναι ρίζα της f και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R έχουμε: < f() < f() f() < > f() > f() f() > Άρα Ε = 1 1 f()d= f()d + f()d 1 1 = (6 + )d + (6 + )d = [ ] 1 + [ ] = = τετραγ. μονάδες.