3. MODELAREA SISTEMELOR MECATRONICE. ANSAMBLUL MOTOR MECANISM DE ACŢIONARE - SARCINĂ

Transcript

1 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă MODEAREA SISTEMEOR MECATRONICE. ANSAMBU MOTOR MECANISM DE ACŢIONARE - SARCINĂ 3. Modelaea ssteelo ecatonce 3.. Consdeaţ geneale În baza exeplelo de sstee ecatonce dn cele a dfete doen, pezentate în captolul, se poate tage concluza, că aceste sstee sunt caactezate, ndfeent de tpul ş doenul, ăea ş coplextatea lo, pn uătoaele eleente (fg.3.): Popetăţ ecance; Popetăţ electoagnetce; Copotae tecă; Electoncă de putee, Senzo; Ccute ş algot de coandă ş eglae. Fg.3. Stuctua ultdscplnaă a unu sste ecatonc [ZIR0] 3.. Analog înte ssteele ecance ş electce Subcaptolul îş popune să edenţeze analogle dnte ssteele ecance ş cele electce ş electonce, cae pet abodaea untaă a celo două sstee, da ş defnea uno ă de ae genealtate, cae pot un, înt-un odel geneal PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

2 68 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE coponentele detalate în fgua 3. (nclus cele tece). Analogle dnte ssteele ecance ş electce se bazează pe faptul că odelele ateatce ale acestoa cupnd ecuaţ cu o stuctuă slaă, cae pot f deduse, în abele cazu, pe baza ecuaţlo lu agange. Deonstaea analoglo se a ealza cu ajutoul ssteelo dn fgua 3. [PE0]. a) b) c) Fg.3. Sstee ecance ş electce, odelate cu ecuaţ slae În fgua 3., a este pezentat un sste ecanc asă esot aotzo, a cău funcţonae poate f descsă cu ajutoul ecuaţe dfeenţale: F x & bx& x. (3.) Întebaea cae se pune, în contnuae, este legată de ăle ecance ş electce cae tebue dentfcate pentu a obţne ecuaţ slae cu (3.) pentu cele două ccute analogce dn fgule 3., b ş 3., c. Consdeând un punct ateal, în cae este concentată asa,, ecuaţa (3.) expă faptul că sua foţelo cae acţonează asupa acestu punct este egală cu zeo, lucu cae conduce cu gândul la pa lege a lu Kchhoff, espect că sua cuenţlo electc dnt-un nod de eţea este egală cu zeo. Pentu ccutul dn fgua 3., b se poate sce ecuaţa: (3.) S R C, în cae: us usdt; R ; C Cu& s. (3.3) R Dn ecuaţle (3.) ş (3.3) ezultă: S us usdt Cu& s. (3.4)) R PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

3 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 69 Pentu a obţne o ecuaţe slaă cu (3.) se face apel la legătua dnte tensunea electcă ş fluxul agnetc, Ψ, stabltă de legea nducţe agnetce: Ψ & u S, (3.5) obţnându-se, în fnal, ecuaţa (3.6): S CΨ & Ψ & Ψ, (3.6) R slaă ca stuctuă cu ecuaţa (3.), în cae cuentul S al suse este pus în coespondenţă cu foţa exctatoae, F, capactatea cu asa, nesa ezstenţe electce cu coefcentul de aotzae ş nesa nducttăţ cu constanta elastcă. Ccutul analogc dn fgua 3., c, pete o abodae dfetă, cu stablea alto analog, espect înte foţe ş tensun ş înte teze ş cuenţ. A doua lege a lu Kchhoff pete sceea ecuaţe: u & S S RS Sdt. (3.7) C uând în consdeae faptul că ntenstatea cuentulu este deata în apot cu tpul a sacn electce, q, se poate sce ecuaţa: u S q& Rq& q, (3.8) C cae este, de aseenea, slaă cu ecuaţa (3.), da în acest caz foţa este pusă în coespondenţă cu tensunea electcă a suse, asa cu nducttatea, factoul de aotzae cu ezstenţa electcă ş constanta elastcă cu nesa capactăţ. Foulele (3.6) ş (3.8) pet luaea în consdeae a două tpu de analog cu ssteul ecanc odelat cu foula (3.): Analoga foţă cuent electc, ae aantajul că enţne stuctua ssteulu ecanc, espect eţelele paalele ăân eţele paalele, a cele see ăân tot see. Sunt aplcable cele două leg ale lu Kchhoff: foţele/cuenţ dnt-un nod, espect tezele/tensunle electce dnt-un och de eţea au sua egală cu zeo. Pncpalele elaţ, foate nteesante ş nstucte, cae pot f scse, în baza aceste analog pentu ccute electce analogce ş sstee ecance de tanslaţe ş otaţe sunt sntetzate în tabelul 3.. Analoga foţă tensune electcă. Nu ae aantajele analoge foţă cuent electc, da stă la baza ălo genealzate cae o f pezentate în subcaptolul Tabelul 3. Relaţ de analoge înte ccute electce ş sstee ecance [PE0] Ccute electce analogce Sstee ecance de Sstee ecance de tanslaţe otaţe Cuent electc I Foţă F Moent M Tensune Vteză Vteză unghulaă PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

4 70 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE U V Bobnă d u ( t) ( t) dt Condensato d ( t) C u( t) dt Rezstenţă ( t) u( t) R Consu de putee pe o ezstenţă P ( t) u( t) ( t) Enege agnetcă E ( t) ( t) Enege electostatcă E ( t) C u ( t) Tansfoato u u α u u α Sua cuenţlo dnt-un nod de eţea este zeo Sua tensunlo dnt-un och este egală cu zeo Resot d ( t) F( t) dt Ineţe d F ( t) ( t) dt Aotzae F ( t) b ( t) Consu de putee datotă aotză P ( t) ( t) F( t) Enege elastcă E ( t) F ( t) Enege cnetcă E ( t) ( t) Pâghe F F F α F α Sua foţelo cae acţonează asupa unu punct ateal este zeo Sua tezelo elate dnt-un och este egală cu zeo Ac de tosune d ( t ) M ( t) dt Ineţe d M ( t) J ( t) dt Aotzae M ( t) b ( t) Consu de putee datotă aotză P ( t) ( t) M ( t) Enege elastcă E ( t) M ( t) Enege cnetcă E( t) J ( t) Angenaj M M M α M α Sua oentelo cae acţonează asupa unu punct ateal este zeo Sua tezelo unghulae elate dnt-un och este egală cu zeo te senfcate în ealzaea analoglo dnte ssteele ecance ş electce sunt detenate de: Teceea de la ecanca undensonală la ecanca spaţală. Pobleele cneatce ş dnace ale oboţlo ndustal, detalate în captolul, pesupun ecanse tdensonale de pozţonae ş oentae a efectoulu fnal, cae nu îş găsesc o coespondenţă în doenul ccutelo electce ş electonce; Toate ecuaţle dn tabelul 3. pesupun elaţ lnae înte ăle plcate, cae nu coespund, în ulte cazu, fenoenelo eale. Astfel, legătua lnaă dnte foţa de fecae/oentul de fecae ş teza/teza unghulaă, dn cazul fecă âscoase, nu a este alablă în cazul fecă coulobene, unde ntene o elaţe nelnaă înte foţa de fecae ş foţa noală. PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

5 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă Mă genealzate pentu coponentele ssteelo ecatonce Efot ş flux O ăe geneală, cae stă la baza tutuo ssteelo: ecance; electce/electonce; tece; hdaulce/pneuatce, este enega, cae poate f de dfete felu: ecancă; electcă; tecă; chcă; nucleaă. În ssteele ecatonce se utlzează, pepondeent, enege ecancă, electcă ş tecă, da ş enege chcă, la otoaele cu cobuste ntenă sau la actuato chc (de exeplu, pentu upleea abag-ulo). Puteea epezntă enega în untatea de tp. Putele dn tabelul 3. sunt expate ca podus a două ă. Se defneşte puteea genealzată, ca fnd podusul a două ă fzce, dfeenţa de potenţal sau efotul (effot), notat cu e, ş fluxul (flow), notat cu f, denute co-aable ale pute [ISE99]: P(t) f (t) e (t). (3.9) În categoa efot sunt ncluse dfeenţele de potenţal, ăsuate înte două puncte: tensunea electcă, foţa, oentul, dfeenţa de pesune, a în categoa flux ăle ăsuable înt-un sngu punct: cuent electc, teză, debt oluetc (tabelul 3.). Debt oluetc dv/dt 3 /s Tabel 3. Co-aable la sstee cu fluxu de enege: clasfcaea potenţal-flux Electc Tensunea electcă U V Cuent electc I A Mecanc Foţa F N Vteză M/s (tanslaţe) Mecanc (otaţe) Moentul M N Vteză unghulaă ad/s Hdaulc Dfeenţa de pesune p Pa N/ Teodnac Tepeatua T K Cuent entopc ds/dt W/K Clasfcaea potenţal-flux este slaă analoge tensune electcă foţă dn exeplul pezentat în subcaptolul 3... Exstă ş posbltatea defn co-aablelo pute pe baza analoge cuent electc-foţă (ca în tabelul 3.), sau a defn alto coaable, al căo podus nu epezntă o putee [ISE0], da pezentul subcaptol nu îş popune să nte în a ulte detal, luând în consdeae, în contnuae, nua clasfcaea potenţal-flux. Eleentele cae tanst enege pot f epezentate cu ajutoul dpollo, cuadplollo sau ultpollo (fg.3.3), la ale căo bone se egăsesc cele două ă: potenţalul ş fluxul. Stablea sensulo săgeţlo se face de aşa aneă, încât puteea tanssă la bone să coespundă sensulu eal de tansfe. Dacă dpolul dn fgua 3.3, a, pea putee, fluxul f ntă în sste, a săgeata coespunzătoae PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

6 7 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE dfeenţe de potenţal este oentată de la bona de sus (al căe potenţal este a ae) spe bona de jos. a suse de putee săgeţle au sensu opuse, a la consuato de putee săgeţle pentu potenţal ş flux au acelaş sens. Fg.3.3 Dpol ş cuadpol: a) Dpol ; b) Cuadpol Gafu Bond Repezentaea fluxulo de putee cu ajutoul dpollo, cuadpollo ş ultpollo stă la baza etode cae utlzează gafu Bond (în engleză Bond Gaph, da ş Bondgaph), ntoduse de pofesoul H.M.Paynte în 959. Este o epezentae gafcă, în cae legătule înte pol sunt înlocute cu bond-u de enege, espect juătăţ de săgeţ, al căo sens coespunde fluxulu de enege. Deasupa săgeţ se tece potenţalul, a sub săgeată fluxul, astfel încât puteea tanssă ezultă dn podusul celo două ă. Teoa gafulo Bond a fost dezoltată ulteo de Kanopp, Rosenbeg, Thoa, Beedeld etc., cae au extns această tehncă de odelae în doenul hdaulc de putee, al ecatonc, al ssteelo teodnace, al electonc ş cha ssteelo ne-enegetce, ca econoa. Tabel 3.3 Gafu Bond Electotehncă Mecancă tanslaţe Mecancă otaţe Potenţal Tensune electcă Foţă Moent Flux Cuent electc Vteză Vteză unghulaă Eleent C Capactate Rgdtatea (tacţune) Rgdtate (tosune) Eleent I Inducttate Ineţe (asă) Moent de neţe Eleent R Rezstenţă Aotzae (tanslaţe) Aotzae (otaţe) Tansfoato Tansfoato Pâghe Angenaj Gyato Moto de c.c. Goscop Eleente standad ale gafulo Bond [SAM0] În gafule Bond apa patu gupe de sbolu de bază: a. Te eleente de bază pase cu o poată de tp R, C ş I (ez tabelul 3.3 ş fg.3.4, a, b, c); b. Două eleente de bază acte cu o poată - susele de potenţal s flux (fg.3.4, d ş e); c. Două eleente de bază cu două poţ: tansfoatoul ş gyato-ul. Pul tanste un potenţal sau un flux înt-un apot fx sau aabl (ez exeplele dn tabelul 3.3), în tp ce al dolea ealzează o legătuă înte potenţalul de pe o PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

7 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 73 pate ş fluxul de pe cealaltă pate. Un exeplu de gyato este otoul de cuent contnuu. d. Două eleente cu 3 poţ, cae epezntă, de fapt, conexun see sau paalele (joncţun S, joncţun P). Fg.3.4 Eleente cu o snguă poată Eleente R. Sunt ezstoaele, pentu cae aablele efot ş flux sunt legate pnt-o funcţe statcă. În geneal, un ezsto (o ezstenţă electcă, un aotzo ecanc, o ezstenţă hdaulcă) consuă enege. Sbolul utlzat în gafu Bond este cel dn fg.3.4, a, pentu cae juătatea de săgeată îndeptată spe R specfcă faptul că puteea (podusul dnte e ş f) este poztă ş ntă în R. Relaţle de bază înte e, f ş R sunt: e R * f; Puteea e * f R * f. Eleente C. Sunt eleente cu o poată, pentu cae exstă o elaţe statcă înte efot ş deplasae. Dspoztele de acest tp, denute capactoae, înagaznează ş esttue, făă pede, enega: condensatoae electce, acu, bae de tosune, acuulatoae fludce, ezeoae gataţonale etc. Sbolul utlzat în gafule Bond este pezentat în fgua 3.4, b. Pentu un esot defoaţa (Q) ş efotul (e) pot f expate cu ajutoul elaţlo: t t Q f dt, e f dt. (3.0) În acest caz fluxul este cauza, a defoaţa (ş dec ş efotul) este consecnţa. Pentu un condensato electc sacna electcă (Q) înagaznată de plăc ş tensunea electcă (e) au expesle: t t Q dt e C dt., (3.) În acest caz cuentul este cauza, a sacna ş tensunea electcă sunt consecnţa. Eleente I. Sunt denute eleente neţale în tenologa gafulo Bond ş au la bază o elaţe statcă înte oentul, P, ş fluxul, f. Eleentele neţale sunt utlzate PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

8 74 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE pentu odelaea efectelo nducte în ssteele electce ş a efectelo neţale în ssteele ecance sau fludce. Sbolul utlzat este cel dn fgua 3.4, c. În cazul ssteelo ecance pot f scse ecuaţle: t t P e dt f e dt., (3.) În elaţle (3.) efotul este cauza, a teza (ş, dec, pulsul) este consecnţa. În od sla, cuentul înt-un nducto se obţne cu elaţa: t e dt. (3.3) Susele de efot (fg. 3.4, d) ş de flux (fg.3.4, e) sunt poţ acte. De exeplu, o foţă sau o batee deală sunt consdeate suse de efot înt-un sste ecanc, espect electc. Eleente de bază cu două poţ. Sunt două eleente cu câte două poţ tansfoatoul, notat cu TF ş gyatoul, notat cu GY. Tansfoatoul nu geneează, nu înagaznează ş nu dspă enege, c conseă puteea ş o tanste, cu un facto de tansfoae adecat. Fg. 3.5 Tansfoato ş gyato: a) tansfoato electc; b) sbolzaea unu tansfoato în gafu Bond; c) sbolzaea unu gyato în gafu Bond Rolul unu tansfoato poate f înţeles cu ajutoul exeplulu dn fgua 3.5. Pentu tansfoatoul deal dn fgua 3.5, a, se pot sce elaţle: Astfel încât: U U ş (/), (3.4) U U. Pentu odelul de tansfoato dn gafule Bond (fg. 3.5, b) se pot sce elaţle: PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

9 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 75 ş, în consecnţă: f j f ş e j (/) e, (3.5) e j f j e f. este odulul tansfoatoulu, cae poate f o constantă, ca în elaţle (3.4) sau o expese, de exeplu b/a pentu baţele une pâgh. Gyatoul (fg.3.5, c) ealzează legătu dnte flux ş efot, espect efot ş flux, conseând, la ândul lu, puteea: e j µ f ; e µ f j, espect, e f e j f j. (3.6) Un goscop ecanc ş un oto de cuent contnuu deal se încadează în această categoe. În cazul otoulu de cuent contnuu, cae a f tatat în detalu în captolul 5, oentul oto este popoţonal cu cuentul electc, a tensunea contaelectootoae este popoţonală cu teza unghulaă (ez elaţle 5.3 captol 5). Un gyato este utlzat, în geneal, pentu tansfeaea pute dnt-o foă de enege în alta, de exeplu, dn enege electcă sau hdaulcă în enege ecancă, dn enege electcă în enege agnetcă etc. Joncţun eleente cu 3 poţ Fecae eleent dnt-un gaf Bond este legat la o stuctuă de joncţun pnt-un bond de enege. Exstă două tpu de joncţun: Joncţun (fg.3.6), notate în lteatua a puţn ecentă ş cu ltea S (sau s). Pesupun fluxu (cuenţ în doenul electc ş teze/teze unghulae în doenul ecanc) egale ş efotu a căo suă algebcă este egală cu zeo. Repezntă un punct ateal în ssteele ecance sau un ccut electc see. Fg.3.6 Joncţun Pentu fgua 3.6, a, poate f scsă ecuaţa: e f e f e 3 f 3 e 4 f 4 0, (3.7) PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

10 76 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE ş întucât fluxule f, f, f 3 ş f 4 sunt egale în joncţunea, ezultă: e e e 3 e 4 0. Întucât egula senelo înt-o elaţe de tpul (3.7) este detenată de sensul săgeţlo, consdeându-se pozt în decţa joncţun, pentu joncţunea dn fgua 3.6, b, teen e f ş e 4 f 4 o aea senul nus: e f - e f e 3 f 3 - e 4 f 4 0. (3.8) Joncţun 0 (fg.3.7), notate în lteatua a puţn ecentă ş cu ltea P (sau p). Pesupun efotu (tensun în doenul electc ş foţe/oente în doenul ecanc) egale ş fluxu a căo suă algebcă este egală cu zeo. Coespunde unu sste ecance seal sau unu nod înt-un ccut electc. Fg.3.7 Joncţun 0 Pentu joncţunea dn fgua 3.7, a, sua algebcă a putelo ae o expese slaă cu (3.7), a pentu joncţunea dn fgua 3.7, b, elaţa pentu pute este slaă cu (3.8), a întucât o joncţune 0 ealzează o egalzae a efotulo, e e e 3 e 4, ezultă, în fnal: f f f 3 f 4 0, pentu odelul dn fg.3.7,a, f - f f 3 - f 4 0, pentu odelul dn fg.3.7, b. În fgua 3.8, a este pezentat gaful Bond, pentu un ccut electc cu tansfoato, cae nclude atât o joncţune 0 pentu ccutul paalel dn paul tansfoatoulu, cât ş o joncţune pentu ccutul see dn secunda. În fgua 3.8, b ssteulu ecanc cu tansfoato (pâgha), î coespunde un gaf Bond cu două joncţun 0, în cae eleentele I epezntă neţ ecance, a eleentul C, gdtatea esotulu (constanta elastcă ). PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

11 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 77 Fgule 3.6, 3.7 ş 3.8 aduc, ca un aspect nou, pocedua de nueotae a săgeţlo, cae poate f ealzată secenţal, începând cu nuăul, făă a f puse, însă, egul pecse. Nueotaea pete dentfcaea eleentelo ş a joncţunlo, consttund un jloc efcent de edenţă pentu ajotatea poduselo softwae, cae odelează sstee ecatonce cu ajutoul gafulo Bond. De exeplu, joncţunea 0 dn fgua 3.8, a, poate f dentfcată ca (P 5 6), a joncţunea, dn aceeaş fguă, ca (S 3 4 7). Înantea nueelo săgeţlo pot f plasate ş sene, cae ndcă sensul acestoa în apot cu joncţunea. Pentu dentfcaea celo două ezstoae dn fguă se pot folos sbolule R ş R4 etc. Fg.3.8 Gafu Bond pentu sstee cu tansfoato: a) electc; b) ecanc Ultele consdeaţ legate de gafule Bond se o efe la un sste a coplex, consttut dnt-un ansablu oto de cuent contnuu sacnă ecancă [AME03]. O scheă splfcată a ssteulu este pezentată în fgua 3.9, a, a una a detalată în fgua 3.9, b. Motoul de cuent contnuu, cu aspectele sale constucte, cu posbltăţle de eglae a tuaţe ş cu ccute ntegate de coandă a f tatat detalat în captolul 7, da scheele ş gaful Bond afeent pot f înţelese în contextul noţunlo cae au fost detalate în acest captol. PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

12 78 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE a) Fg.3.9 Sbolu ş schee pentu o acţonae cu oto de cuent contnuu b) Pe baza celo două schee dn fgua 3.9 ş a pncplo pnd elaboaea gafelo Bond, pezentate anteo, se poate constu gaful dn fgua 3.0, cae cupnde o joncţune pentu ccutul electc see dn înfăşuaea otoulu, un gato, cu constanta, epezentând otoul, cae coneteşte enega electcă în enege ecancă de otaţe ş o joncţune, coespunzătoae sacn ecance (MEC), cu oentul e de neţe J ec, edus la axul otoulu. PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

13 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 79 Fg. 3.0 Gaf Bond pentu ssteul dn fgua 3.9 Pe baza gafulo Bond, constute pentu un anut sste ecatonc, se poate ealza o detenae ssteatcă a ecuaţlo cae odelează acel sste, astfel încât aceasta poate f algotzată ş efectuată de un ae nuă de aplcaţ softwae exstente: ENPORT, CAMP-G, SYMBOS, COSMO, os etc. Ecuaţle dfeenţale cae descu dnaca ssteulu sunt expate în funcţe de stăle acestua. Toate eleentele de înagaznae (I ş C) coespund uno aable de stae eoate (P pentu oent ş Q pentu deplasae), a ecuaţle sunt scse pentu deatele acestoa în apot cu tpul (efot, espect flux). Sceea ecuaţlo se ealzează pe pacusul a 4 etape [SAM0], cae nu o f detalate, întucât pesupun o cunoaştee a apofundată a gafulo Bond. Se o pezenta, în schb, unele aănunte pnd două aplcaţ softwae cae ealzează odelaea ş sulaea ssteelo ecatonce cu ajutoul gafulo Bond. CAMP-G (Copute Aded Modelng Poga wth Gaphcal nput) a fost dezoltat pentu a genea autoat odele cu ajutoul calculatoulu ş a fost ntegat în MATAB-SIMUINK, ca un nstuent de sulae. Ponnd de la un gaf Bond, CAMP-G geneează ecuaţ dfeenţale de stae de odnul I, funcţ sbolce de tansfe ş funcţ în cod susă MATAB, de tpul uno utne cu extensle. sau.s, pe cae SIMUINK le poate pocesa [GRA0]. 0-s (ctt Twente S ) este un softwae de sulae, elaboat la Contol aboatoy al Unestăţ dn Twente [AME03], ca nstuent de poectae a ssteelo ecatonce, fnd o contnuae a pachetulu TUTSIM, dezoltat de acelaş colect în an s pete odelaea oentată pe obecte. Potule acte ş de senale de ntae sau eşe în/dn sste detenă fecae obect. În nteoul unu obect pot f alte obecte, nelul nfeo fnd epezentat de ecuaţ. 3. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 3.. Consdeaţ geneale Un eleent de bază al tutuo ssteelo ecatonce îl epezntă ansablul acto (oto/actuato) ecans de acţonae sacnă (fg.3.). Coplectat cu senzo ş cu untatea de coandă (hadwae&softwae) confguează un subsste ecatonc, întâlnt în toate exeplele cae au fost detalate în captolul. În fgua 3., a, sunt fguate ş fluxule de enege (susă de enege sste de acţonae sacnă) ş de nfoaţe (senzo sste de coandă sste de acţonae). Fgua 3., b, pezntă o scheă de acţonae a une sacn ecance pn nteedul unu oto, de un anut tp, înte cae se ntepune, în cele a ulte PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

14 80 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE cazu un ecans de acţonae cu olul de a ealza o adaptae a paaetlo cneatc ş dnac a otoulu la ce a sacn. Fg.3. Scheă bloc a ansablulu oto ecans de acţonae - sacnă În captolul 5 sunt pezentate câtea consdeaţ pnd teen de acto, oto, actuato. Întucât teenul de oto este a fala, în acest captol se a folos, genec, această denue, făă ca acest lucu să afecteze genealtatea pobleelo analzate. Motoaele (actuato) pot f: electce, hdaulce, pneuatce, ecance, chce ş pot genea la tja/axul lo o şcae de tanslaţe (otoae lnae) sau o şcae de otaţe (otoae otate). Mecansele de acţonae au câtea funcţ potante: Tansteea şcă de la oto la sacnă; toate ecansele de acţonae au acest ol, da exeple a spectaculoase sunt tanssle cadance sau cele cu abo flexbl; Adaptaea şcă otoulu la şcaea sacn. Pot f otoae otate ş sacn cu şcae de tanslaţe, înte cae tebue să se ntepună un ecans PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

15 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 8 adecat (şuub-pulţă, pnon-cealeă, pnon-cuea dnţată etc.), sau otoae lnae ş sacn cu şcae de otaţe, înte cae se ntecalează ecanse de tp: cealeă-pnon, cablu/cuea dnţată/lanţ oată/pnon/oată de lanţ etc; Adaptaea paaetlo cneatc ş dnac a otoulu (cusă, teză/teză unghulaă ş foţă/oent) la paaet cneatc ş dnac a sacn. Întucât ecansul de acţonae coplcă ansablul ş ntoduce eo, datotă joculo ş defoaţlo elastce, poectanţ pefeă, ca, acolo unde este posbl, sacna să fe legată dect pe tja/axul otoulu. Sunt acţonăle decte dectde, uzuale în acţonaea hdaulcă/pneuatcă sau cu anute tpu de actuato electc (electoagneţ, actuato pezoelectc) a uno sacn cu şcae de tanslaţe, da cae, în cazul otoaelo electce otate, pun, în ulte cazu utlzaea uno otoae specale, coststoae, cu oent oto ae, nute toque otos. Utlzaea uno ecanse de acţonae coplcă ansablul oto sacnă, datotă uno eleente cae au şcă dfete ş la paaet cneatc dfeţ de oto. Alegeea otoulu ş pleentaea uno algot de coandă coespunzăto acestua, pun apotaea tutuo eleentelo cneatce ş dnace la axul otoulu, pn nteedul uno ecuaţ de foa: pentu otoae otate, espect: pentu otoae lnae. M J ε M, (3.9) F a F, (3.0) Măle cae apa în elaţle (3.9) ş (3.0) au uătoaele senfcaţ: M - oentul dezoltat de un oto otat la axul său de otaţe; J oentul de neţe edus (esţt) la axul otoulu, în cazul acceleă tutuo aselo dn sste; ε acceleaţa unghulaă dezoltată de oto; M oentul ezstent edus (esţt) la axul otoulu, coespunzăto tutuo foţelo ş oentelo ezstente ş de fecae dn sste; F - foţa dezoltată de un oto lna la eleentul (tja) de tanslaţe; asa edusă (esţtă) la tja otoulu, în cazul acceleă tutuo aselo dn sste; a acceleaţa lnaă dezoltată de oto; F foţa ezstentă edusă (esţtă) la axul otoulu, coespunzătoae tutuo foţelo ş oentelo ezstente ş de fecae dn sste; Elaboaea ecuaţlo de foa (3.9), espect (3.0), pesupune ezolaea a te catego de poblee: PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

16 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE 8 Reduceea aselo/oentelo de neţe la tja/axul otoulu; Reduceea foţelo/oentelo ezstente dn sste la tja/axul otoulu; Alegeea unu pofl adecat de teză a otoulu ş calculul acceleaţlo otoae, pe dfetele palee ale poflulu ales. 3.. Reduceea aselo/oentelo de neţe Calculul lu, espect, J, pesupune sceea uno ecuaţ de conseae a enege cnetce, de foa: ), ( J J j j j (3.) pentu otoae lnae, espect: ), ( J J J j j j (3.) pentu otoae otate. Pul teen dn patea deaptă a ecuaţlo (3.) ş (3.) epezntă sua eneglo cnetce ale celo j eleente dn sste cae au şcă de tanslaţe, al dolea teen coespunde sue eneglo cnetce ale celo eleente ale ssteulu cu şcae de otaţe, a cel de-al telea teen este echalent cu sua eneglo cnetce ale celo eleente cu şcae plan-paalelă. Dn (3.) ş (3.) se detenă asa edusă,, espect oentul de neţe edus, J : ), ) ( ) ( ( ) ( ) ( ), ) ( ) ( ( ) ( ) ( j j j j j j J J J J J (3.3) Dn exanaea elaţlo (3.3) se poate tage concluza că educeea aselo /oentelo de neţe pesupune îpăţea la pătatul apoatelo de tanstee de foa ( j / ), espect ( / ). De exeplu, dacă luă în consdeae o asă de otaţe, acţonată de un oto otat pn nteedul unu educto aonc, cu apotul de tanstee, 50, oentul de neţe coespunzăto ese, esţt la axul otoulu, a f de de o a c. Aspecte pactce pnd calculul aselo ş oentelo de neţe; exeple de educee a aselo/oentelo de neţe După stablea uno densun adecate pentu eleentele unu sste de acţonae: flanşe, coloane de ghdae, ase de tanslaţe etc. ş alegeea ecanselo de PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

17 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 83 acţonae, uează etapa calcululu aselo, pentu eleentele oble cu şcae de tanslaţe ş a oentelo de neţe, pentu eleentele oble cu şcae de otaţe. Tabel 3.4 Foule de calcul pentu ase ş oente de neţe Cop Masă Moent de neţe (ρπd )/4 J x D /8 J y (D /4 /3)/4 ρπ(d - D ) /4 J x (D D )/8 J y ((D D )/4 /3)/4 ρabc J x J x0 l (A B l )/, unde l este dstanţa dnte axele x ş x 0 ρabc J x (A B )/ J x (B C )/ Tabelul 3.4 sntetzează foulele de calcul pentu câtea tpu de copu cae nten în confguaţa ssteulu ecanc, a în tabelul 3.5 sunt date denstăţle pentu o see de ateale, cae pot f luate în consdeae pentu confecţonaea eleentelo ssteulu ecanc. Tabel 3.5 Denstăţ ale atealelo Mateal Denstate [g/d 3 ] Alunu,7 Alaă 8,6 Bonz 8,7 Cupu 8,9 Plastc, Oţel 7,8 en tae 0.8 en oale 0.48 PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

18 84 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE Calculul aselo se ealzează, în geneal, la nelul uno copu eleentae de tp paalelpped, clndu, clndu gol (ţeaă). În ceea ce peşte oentele de neţe, ele tebue calculate, în ajotatea cazulo, pentu copu clndce, unele cu daete a c ş lung a (şuubu), a altele cu daete a ş lung c (ole) (fg.3.). Fg.3. Copu clndce Pentu toate aceste copu, oentul de neţe se calculează cu foula: Jcl R πd ρ 4 D 4, (3.4) unde ρ epezntă denstatea atealulu dn cae este confecţonat copul clndc. Se o pezenta câtea exeple de sstee oto ecans de acţonae - sacnă, cu otoae electce otate (în toate exeplele se au în consdeae otoae pas cu pas MPP), în cae apa câtea dnte ecansele de acţonae utlzate fecent în constucţa ssteelo ecatonce: Mecanse cu tanstee tangenţală a şcă: cu pnon cuea dnţată; cu pnon cealeă; cu oată cu fcţune etc. Cu ecans şuub-pulţă; Cu educto. În fgua 3.3 este pezentată o sacnă cu şcae de tanslaţe, acţonată de un MPP, pn nteedul unu ecans cu tanstee tangenţală a şcă. Reduceea aselo sacn ş cuele la axul MPP se bazează pe elaţle: J ( b ) (3.5) ş pn. (3.6) PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

19 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 85 În elaţle (3.5) ş (3.6) s-au folost uătoaele notaţ: J oentul de neţe afeent aselo în şcae de tanslaţe, edus la axul MPP; asa sacn ( oad); b asa cuele (b belt); teza sacn. Pe baza celo două elaţ (3.5) ş (3.6) se obţne foula de calcul a oentulu de neţe, echalent aselo în şcae de tanslaţe, cae este esţt la nelul axulu MPP: J ( b ) pn pn. (3.7) Fg. 3.3 Acţonae cu MPP ş ecans cu tanstee tangenţală a şcă Moentul de neţe J, esţt la axul otoulu a f: J J J p, unde cu J p s-a notat oentul de neţe al unu pnon, antenat în şcae de otaţe, cu teza unghulaă,, a MPP. PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

20 86 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE Fg.3.4 Acţonae cu MPP ş ecans şuub-pulţă În fgua 3.4 este pezentată o sacnă cu şcae de tanslaţe, acţonată de un MPP, pn nteedul unu ecans şuub-pulţă cu pasul p. Reduceea aselo, cae execută o şcae de tanslaţe (pulţă, sacnă etc.), la axul MPP se bazează pe elaţle: J (3.8) ş: p. (3.9) π Relaţa (3.9) deă dn elaţa: d θ p, π cae expă deplasaea, d, a sacn, în funcţe de otaţa cu unghul ϑ a axulu MPP, solda cu şuubul ecansulu. Pe baza elaţlo (3.8) ş (3.9) se obţne foula de calcul a oentulu de neţe, echalent aselo în şcae de tanslaţe, cae este esţt la nelul axulu MPP: J p ( ) π p ( ) π. (3.30) În elaţa (3.30),, epezntă sua tutuo aselo, antenate de ecansul espect înt-o şcae de tanslaţe. Moentul de neţe J, esţt la axul otoulu a f: J J J şu J şu (πd şu /8) unde cu J şu s-a notat oentul de neţe al şuubulu cu daetul d şu ş asa şu, antenat în şcae de otaţe, cu teza unghulaă,, a MPP. Fgua 3.5 pezntă o sacnă cu şcae de tanslaţe, acţonată de un MPP cu educto, pn nteedul unu ecans şuub cu ble (Ball Scew)-pulţă cu pasul p. Exstă o gaă lagă de MPP, cu un educto încopoat în cacasa acestoa (MPP de tp Geaed Motos ), cu apoate de tanstee în doenul :, 3:, 5:, 0:. Moentele de neţe ale eleentelo eductoulu (cu a f J ş J în fgua 3.5), eduse la axul MPP, sunt ntegate în oentul de neţe, J, al MPP, funzat de cataloagele de fă. PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

21 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 87 Fg.3.5 Acţonae cu MPP cu educto ş ecans şuub-pulţă În cazul ssteulu de acţonae dn fgua 3.5, oentul de neţe echalent tutuo eleentelo (pulţăasătable, sacnăwo, şuub) de pe axul şuubulu, edus la axul MPP, a aea expesa: J (J J şu )/. Cu,, s-a notat apotul de tanstee al eductoulu, espect apotul dnte teza unghulaă,, a MPP ş teza unghulaă,, a şuubulu Reduceea foţelo/oentelo Ansablul ecans de acţonae-sacnă este supus la o see de foţe/oente ezstente (foţe/oente utle pentu efectuaea opeaţlo de lucu, foţe/oente de fecae etc.). Efectul acesto foţe/oente, cae acţonează de-a lungul lanţulu cneatc, tebue cuantfcat sub foa uno coponente de foţă, apotate la tja unu oto lna, sau sub foa uno coponente de oent, apotate la axul unu otoul otat, în scopul detenă foţelo/oentelo pe cae otoul tebue să le dezolte pentu a asgua deplasăle puse pn pogaul de coandă, în condţle întâpnă acelo ezstenţe. Dacă în cazul educe foţelo/oentelo de neţe, calculul se bazează pe sceea uno ecuaţ de conseae a eneglo cnetce, în cazul educe foţelo/oentelo, calculele se bazează pe sceea uno ecuaţ de conseae a luculo ecance eleentae, espect a putelo: F M F F M M. (3.3) PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

22 88 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE Pa suă cuantfcă efectul uno foţe ezstente, a cea de-a doua suă, pe cel al uno oente ezstente, cae acţonează asupa dfetelo eleente ale ansablulu ecans de acţonae-sacnă. Pentu a nu coplca lucule, foţele ş deplasăle coespunzătoae s-au consdeat colnae (cos (F, s ) 0), a putele coespunzătoae eleentelo cu şcae plan-paalelă au fost ncluse în cele două sue dn patea deaptă a elaţlo (3.3). Dn (3.3) se obţn foulele pentu calculul foţelo /oentelo eduse la axul otoulu: F M F F M ; M (3.3) Analzând elaţle (3.3), se constată că educeea foţelo /oentelo pesupune îpăţea cu apotul de tanstee de foa ( j / ), espect ( / ). De exeplu, dacă luă în consdeae o asă de otaţe, acţonată de un oto otat pn nteedul unu educto aonc cu apotul de tanstee, 50, un oent ezstent cae acţonează asupa ese a f esţt la axul otoulu cu o aloae de 50 de o a că. În cazul odulelo cu ecans cu tanstee tangenţală a şcă (fg.3.3), ecuaţa (3.3), cae a în consdeae efectele uno foţe ezstente, conduce la: M F F pn. (3.33) Pentu un ecans şuub-pulţă ntecalat înte oto ş sacnă (fg.3.4), ecuaţa (3.3) pete detenaea oentulu necesa pentu copensaea efectelo uno foţe ezstente, F : M F p F π (3.34) Cu ajutoul elaţe (3.34) pot f detenate uătoaele coponente ale oentulu edus la axul MPP [THK]: M F p, π η (3.35) este coponenta pentu asguaea foţe F ş ţne cont de andaentul, η 0.9, al ecansulu şuub cu ble-pulţă. Fao M P π p, PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

23 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 89 este oentul de fecae, detenat de foţa de petensonae, F ao, a pulţe; (0, 0,3) este coefcentul nten de fecae a pulţe petensonate. M f µ FN p, π (3.36) este coponenta datoată fecălo dn ghdaje. Cu F N s-a notat foţa de eacţune noală dnte bucş ş coloane de ghdae (egală, în pncpu cu sua geutăţlo, cae se spjnă pe ghdaje), a cu µ ( 0.0), coefcentul de fecae dn ghdajele cu ble. Dacă înte oto ş ecansul de acţonae se ntepune un educto, cu apotul de tanstee, toate coponentele oentelo eduse la axul otoulu, tebue îpăţte la Stablea poflulo de teză ş detenaea tezelo ş a acceleaţlo În ecuaţle (3.9) ş (3.0), nten, pe lângă ase/oente de neţe ş foţe/oente ş acceleaţle, lnae sau unghulae, a, espect, ε, dezoltate de oto. Detenaea ş contolul acestoa pesupune luaea în consdeae a unu pofl de teză adecat, cae tebue pus otoulu ş pe baza căua se detenă ş acceleaţle, pe dfetele nteale de tp, ş deplasăle. Alegeea unu anut pofl este detenat, pe de o pate, de pefoanţele ş exgenţele puse ssteulu acţonat, a, pe de altă pate, de posbltăţle ş ltele otoulu folost. În cazul ulto sstee ecatonce (oboţ, autoate de contol ş see, aşn unelte cu coandă nuecă), cenţele pentu poducttăţ a pun tp de pozţonae cât a c, dec acceleaţ ş teze a. Apa însă ltă ale aceste tendnţe, detenate de: Necestatea potejă obectelo anpulate; taea solctălo eleentelo ecanselo de acţonae; Etaea uno şocu ş saltu, detenate de aaţa buscă a acceleaţe etc. Cha dacă scopul tnde, întotdeauna, spe tp de pozţonae cât a c, soluţle concete sunt nfluenţate de aplcaţle pactce ş de tpul acţonălo utlzate [AI0]: a aşnle unelte ş alentatoae dstanţele de pozţonae pot f a, de odnul unu nuă ae de et. a oboţ ndustal, anpulatoae, aşn de abalat dstanţele sunt în lta a cca. a echpaente pefece de calculato (pante, scannee, untăţ floppy sau CD-ROM) sunt de odnul sutelo sau zeclo de ; Vteza axă, ax, este ltată de concepţa constuctă a otoulu (actuatoulu), cae ae o ltă axă de teză ş, eentual, de ltele puse de ecansul de acţonae utlzat. a aşn unelte sunt necesae teze de /s, a la oboţ ş autoate de see ş ontaj, teze de până la 5 /s; Acceleaţa axă, a ax, este stabltă, odată cu alegeea otoulu. Pentu educeea tplo nepoduct se pun acceleaţ de 5-0 /s la aşn PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

24 90 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE unelte, de până la 50 /s la oboţ ş anpulatoae, în condţle uno sacn a c, ş cha a a de 50 /s la autoate de see ş ontaj; Etaea şoculo pn ltaea aaţlo de acceleaţe; se pune a ales în stuaţle în cae tebue potejate eleentele ssteulu de acţonae ş obectele anpulate. Se o tece în estă te tpu de poflu de teză, două a sple poflul tunghula ş poflul tapezodal, deltate de segente de deaptă ş unul a coplex poflul paabolc, defnt cu ajutoul uno foule ateatce, ş se a face o analză copaată a acestoa pentu un cclu de pozţonae sla. Fg.3.6 Poflu de teză: a) tunghula; b) tapezodal În fgua 3.6 sunt pezentate dagae utlzate fecent: dagaa cu pofl tapezodal (fg.3.6, a), cae pesupune o acceleae până la o teză axă, tap, pe pacusul unu nteal de acceleae, t a, uată de esul unfo, pe duata t u, cu teza atnsă la sfâştul peoade de acceleae ş, apo, de o deceleaţe (fânae), pe duata, t d, până la ope (teză zeo). dagaa cu pofl tunghula (fg.3.6, b), cupnde nua două palee, cel de acceleae până la o teză axă, t, pe pacusul unu nteal de acceleae, t a, uat edat de o deceleaţe (fânae), pe duata, t d, până la ope (teză zeo). Poflul tunghula este consdeat, în ajotatea cazulo, ca un caz patcula al poflulu tapezodal, pentu cae, datotă tpulu de pozţonae foate scut, ssteul de acţonae nu poate atnge teza axă, lpsnd astfel paleul cu teză constantă. Pentu scopul popus, de analză copaată a celo două poflu, se a analza un caz patcula (fg.3.7) al dagaelo de teză dn fg.3.6. Eleentele coune celo două tpu de dagae o f consdeate unghul, θ, cu cae se oteşte axul otoulu (pesupus otat) pentu ealzaea înteg şcă, ş tpul, τ, pus pentu ealzaea unu cclu de pozţonae. Pentu poflul tapezodal se consdeă că PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

25 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 9 tp pentu cele te faze: acceleae, es unfo ş deceleaţe sunt egal cu τ/3, a pentu poflul tunghula, t a t d τ/. Pe baza uno calcule cneatce foate sple se pot deduce, cu uşunţă, elaţle edate în contnuae (cea a splă poteză, cae poate conduce la calculul tezelo unghulae, este aceea că supafaţa închsă de fecae dagaă este egală cu θ ). Fg. 3.7 Dagae de teză tunghulae ş tapezodale pentu analza copaată Pentu poflul tunghula: ε t t τ t θ τ ; 4θ τ, (3.37) Pentu poflul tapezodal: ε tap tap τ 3 3θ τ tap (3.38) În anute stuaţ exgenţele unu sste de pozţonae pun luaea în consdeae a uno ecuaţ ş poflu de teză a coplexe, cae să ofee o flexbltate a ae în pnţa ealză uno paaet opt. În fgua 3.8, a, este pezentat un pofl de ; 9θ τ, PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

26 9 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE teză paabolc ş se a pesupune că seeşte la pozţonaea cu unghul θ pe pacusul tpulu τ. Fg.3.8 Poflu de teză: a) paabolc; b) teza popoţonală cu (snt) Studul poneşte de la ecuaţa geneală a paabole (teze unghulae): (t) at bt, (3.39) pe baza căea cae se deduce acceleaţa unghulaă: ε(t) d/dt at b, (3.40) espect, aaţa acestea în apot cu tpul: dε/dt a constant. Pentu detenaea celo două constante, a ş b, se pun uătoele condţ: (τ) 0 aτ bτ 0 b a τ (3.4) ş: τ 0 3 a τ b τ ( a t b t) dt θ θ. 3 (3.4) Ssteul de ecuaţ (3.4) ş (3.4) conduce la soluţle: PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

27 Modelaea ssteelo ecatonce. Ansablul oto ecans de acţonae - sacnă 93 a 6θ 6θ ; b 3 τ τ, cae se înlocuesc în (3.39) ş (3.40): 6θ (t) 3 τ θ ε(t) 3 τ 6θ t τ 6θ t τ. t; (3.43) Valoaea axă a teze unghulae se obţne pentu t τ/, a cea a acceleaţe unghulae pentu t 0: 3θ 6θ pa ( τ / ) ; ε pa ε(0). (3.44) τ τ Calculul lu ş ε se face punând tp, τ, cât a c, pentu ealzaea cuselo axe,. Pentu ecanse cu şuub-pulţă (fg.3.4), θ, se obţne cu elaţa: θ π [ad], (3.45) p a pentu ecanse cu tanstee tangenţală a şcă: θ π π pn pn [ ad]. (3.46) Relaţa (3.45) ţne cont de faptul că, la o otaţe coplectă, cu π adan a axulu otoulu, sacna tanslatează cu pasul, p, al şuubulu, a elaţa (3.46) ae la bază faptul că o otaţe coplectă, cu π adan a axulu otoulu, detenă înantaea sacn cu o ccufenţă, π x pn a pnonulu. Totodată, în cazul ecanselo cu tanstee tangenţală s-a consdeat un oto cu educto, cu apot de tanstee,, pentu obţneea une ezoluţ acceptable pentu deplasaea sacn. În fgua 3.8, b, este pezentat un pofl de teză, cae pesupune coanda acceleaţe, pe pacusul peoadelo de acceleae ş deceleaţe, de aşa aneă, încât să se asgue o aaţe a teze popoţonală cu (snt) [AI0]. Cclul de pozţonae este stuctuat pe te faze: acceleae, es unfo, cu teza constantă, u, ş deceleaţe, pe pacusul căoa teza a aea alole: (t) u sn t (/) u [-cost], pentu 0 t t a ; (t) u, pentu ta < t t u ; (3.47) PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson

28 94 BAZEE SISTEMEOR MECATRONICE (t) (/) u (cos[t-(t c -t u )]), pentu t c -t u t t c. Valole acceleaţlo se obţn, pn deaea în apot cu tpul, a tezelo (3.47): a(t) u snt, pentu 0 t t a ; a(t) 0, pentu ta < t t u ; (3.48) a(t) - u sn[t-(t c -t u )], pentu t c -t u t t c. Pulsaţa de coandă,, ş tpul de acceleae, t a, se pot obţne dn elaţle (3.48), punând anute condţ ltă, ca, de exeplu, pentu aloaea axă a acceleaţe: a u ş: t u π. Spaţul x(t) este epezentat în fgua 3.8,b, ca ezultat al ntegă, funcţe de tp, a ecuaţlo (3.47), cu condţa ltă x(t c ) x. PDF ceated wth pdffactoy Po tal eson