Învățare automată. 6. Modele bazate pe energie. Florin Leon. Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iași Facultatea de Automatică și Calculatoare

Transcript

1 Învățare automată 6. Modele bazate pe energie Florin Leon Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iași Facultatea de Automatică și Calculatoare

2 Modele bazate pe energie 1. Modelul Ising 2. Rețeaua Hopfield 3. Mașina Boltzmann 4. Mașina Boltzmann restricționată 5. Rețele de convingeri profunde 2

4 Modelul Ising Modelul Ising (1D, 1924; 2D, 1944) este un model al feromagnetismului, cu variabile discrete care reprezintă momentele magnetice ale spinurilor atomice 4

5 Modelul Ising Modelul se bazează pe o latice a momentelor magnetice ale atomilor 5

6 Noțiuni de bază Energia unei stări Probabilitatea unei stări J ij : puterea interacțiunii vecinilor (i, j ) H i : câmp magnetic extern M: momentul magnetic T: temperatura 6

7 Evoluția sistemului Sistemul tinde către o stare cu energie minimă Atomii vecini au tendința să își modifice orientarea spinului pentru a se alinia cu vecinii, dacă aceasta scade energia sistemului Un atom își schimbă întotdeauna orientarea spinului când configurația rezultată are o energie mai mică (E next < E crt ) Dar chiar dacă energia e mai mare (E next > E crt ), își poate schimba orientarea cu probabilitatea P = exp( ΔE / T), unde ΔE = E next E crt Mai multe detalii despre călirea simulată se găsesc în cursul 5 de Inteligență artificială 7

8 Simulare: starea inițială 8

9 Temperatură mică 9

10 Temperatură mică: comportament feromagnetic 10

11 Temperatură mare: comportament paramagnetic 11

12 Tranziții de fază Modelul 1D nu are tranziții de fază Modelul 2D are Până la temperatura critică, sistemului poate ajunge ori în starea +1, ori în starea -1 12

13 Modele bazate pe energie 1. Modelul Ising 2. Rețeaua Hopfield 2.1. Procesul de învățare 2.2. Procesul de optimizare 3. Mașina Boltzmann 4. Mașina Boltzmann restricționată 5. Rețele de convingeri profunde 13

14 Asocieri În creierele biologice, memoria lucrează prin asociere Putem recunoaște o față cunoscută într-un mediu necunoscut în ms Putem rememora o întreagă experiență senzorială, vizuală și auditivă, când auzim primele măsuri ale unei melodii Perceptronul multistrat nu lucrează prin asociere Pentru emularea acestei capacități, este nevoie de un alt tip de rețea neuronală: o rețea recurentă O rețea recurentă are bucle de reacție de la ieșiri către intrări Datorită reacției (engl. feedback ), stabilitatea rețelei devine o problemă. Aceasta a fost rezolvată abia în 1982, când Hopfield a formulat principiul de stocare a informațiilor într-o rețea stabilă din punct de vedere dinamic 14

15 Asocieri Rețeaua Hopfield este o memorie auto-asociativă: Își poate aminti modelele stocate Își poate aminti un model dacă primește doar o parte din el Își poate aminti modelele dacă primește versiuni similare, dar nu identice, sau versiuni afectate de zgomot 15

16 Rețea Hopfield cu n neuroni y n nu este conectată la x n 16

17 Funcția de activare Rețeaua Hopfield folosește neuroni cu funcție de activare semn: 17

18 Vectorul de stare Starea curentă a rețelei este determinată de ieșirile tuturor neuronilor: y 1, y 2,..., y n Starea unei rețele cu un singur strat și n neuroni este un vector de stare: 18

19 Ponderile Ponderile se reprezintă de obicei în formă matriceală: unde M este numărul de stări care trebuie memorate, Y m este un vector de antrenare binar n-dimensional și I este matricea identitate de dimensiune n x n 19

20 Stări posibile pentru o rețea cu 3 neuroni 20

21 Exemplu Să presupunem că vrem să memorăm două stări: (1, 1, 1) și (-1,-1,-1) 21

22 Exemplu 22

23 Învățarea hebbiană Legea lui Hebb Dacă doi neuroni conectați sunt activați în același timp, ponderea conexiunii dintre ei crește Dacă doi neuroni sunt activați în contratimp, ponderea conexiunii dintre ei scade Neurons that fire together, wire together Antrenarea rețelei Hopfield este o formă de învățare hebbiană 23

24 Testarea rețelei 24

25 Stări stabile și instabile Aceste 2 stări sunt stabile. Celelalte 6 stări rămase sunt instabile Stările stabile (numite amintiri fundamentale) sunt capabile să atragă stările apropiate Amintirea fundamentală (1, 1, 1) atrage stările instabile ( 1, 1, 1), (1, 1, 1) și (1, 1, 1) Amintirea fundamentală ( 1, 1, 1) atrage stările instabile ( 1, 1, 1), ( 1, 1, 1) și (1, 1, 1) Fiecare din aceste stări are o singură eroare, în comparație cu amintirea fundamentală Deci o rețea Hopfield are capacitatea de a corecta erorile din stările prezentate 25

26 Amintiri false Deoarece X este foarte apropiat de X 1, ne-am aștepta ca rețeaua să-și amintească X 1 când i se prezintă X. Rețeaua produce însă X 3, o amintire falsă. 26

27 Capacitatea de stocare Capacitatea de stocare este cel mai mare număr de amintiri fundamentale care pot fi stocate și regăsite corect Numărul maxim de amintiri fundamentale M max care poate fi stocat într-o rețea de n neuroni este limitat de: M max = 0.15 n Pentru a garanta că toate amintirile fundamentale vor fi regăsite perfect, M max = n / (4 ln n) 27

28 Exemple Modelele stocate Intrări distorsionate pentru modelul 6 28

29 Memorii asociative bidirecționale Rețeaua Hopfield este un tip de memorie autoasociativă: poate regăsi o amintire coruptă sau incompletă, dar nu poate asocia o amintire cu o alta Memoria umană este în mod esențial asociativă Un lucru ne amintește de altul ș.a.m.d. Putem folosi o succesiune de asociații mentale pentru a recupera o amintire pierdută 29

30 Memoria asociativă bidirecțională Pentru a asocia o amintire cu alta, avem nevoie de o rețea recurentă capabilă să primească un vector de intrare într-o mulțime de neuroni și să producă un vector de ieșire înrudit, dar diferit, în altă mulțime de neuroni Memoria asociativă bidirecțională (engl. bidirectional associative memory, BAM) este o rețea hetero-asociativă Poate asocia vectori dintr-o mulțime A cu vectori dintr-o mulțime B și viceversa La fel ca rețeaua Hopfield, BAM poate generaliza și poate produce ieșiri corecte în cazul intrărilor corupte sau incomplete 30

31 Funcționarea BAM 31

32 Funcționarea BAM Când vectorul n-dimensional X este prezentat la intrare, BAM își reamintește vectorul m-dimensional Y, iar când Y este prezentat ca intrare, BAM își reamintește X BAM funcționează pe baza unei matrice de corelație unde M este numărul de vectori care trebuie memorați 32

33 Regăsirea Se prezintă un vector necunoscut X (diferit de amintirile fundamentale X m ) Se inițializează BAM cu X(0) = X Se calculează ieșirea la iterația p: Y(p) = sign ( W T X(p) ) Se actualizează vectorul de intrare: X(p + 1) = sign ( W Y(p) ) Se repetă procesul până la echilibru, când X și Y rămân neschimbați între două iterații succesive BAM converge întotdeauna către o stare stabilă 33

34 Exemple 34

35 Energia rețelei Hopfield În descrierea anterioară a rețelei Hopfield, nu am luat în calcul pragurile neuronilor Dacă includem și pragurile θ, energia rețelei este: 35

36 Procesul de optimizare Exemplu: problema plasării turnurilor pe o tablă de șah, astfel încât să nu se atace reciproc Fie x ij starea neuronului corespunzător celulei de pe poziția (i, j ) x ij este 1 dacă în celulă este un turn și 0 dacă nu Condiția C 1 : pe fiecare linie trebuie să fie doar un turn Condiția C 2 : pe fiecare coloană trebuie să fie doar un turn 36

37 Rezolvare Pentru condiția C 1, trebuie minimizată funcția: Pentru condiția C 2, trebuie minimizată funcția: Trebuie găsite ponderile și pragurile care minimizează energia E = E 1 + E 2 37

38 Soluție pentru 4 turnuri Nu s-au reprezentat toate conexiunile pentru a nu aglomera figura Ponderile conexiunilor între neuronii de pe aceeași linie sau coloană sunt -2. Celelalte ponderi sunt 0 Un neuron aprins pe o linie sau coloană îi inhibă pe ceilalți Toate pragurile sunt -1 Dacă niciun alt neuron nu e aprins pe linie sau coloană, se aprinde neuronul curent 38

39 Rularea rețelei Se pornește cu un vector de intrare x generat aleatoriu, cu elemente de 0 și 1 (nu -1 și 1) așa este definită aici problema Problema are mai multe soluții Rețeaua converge la o soluție, care poate fi diferită la fiecare rulare 39

40 40

42 Ipoteza creierului anticipativ Creierul realizează un model generativ probabilistic al lumii, care este folosit pentru a anticipa sau prezice stările mediului Inversul modelului poate fi folosit pentru a recunoaște cauzele unor evenimente externe prin evocarea conceptelor interne Conceptele interne sunt învățate prin potrivirea ipotezelor generate de creier cu intrările senzoriale din mediu Învățarea apare prin testarea activă a ipotezelor prin acțiuni Creierul încearcă să potrivească intrările senzoriale externe cu stările generate intern 42

43 Mașina Boltzmann Asemănătoare cu rețeaua Hopfield, dar: Distinge între noduri vizibile (~ intrările senzoriale) și ascunse (~ stările generate de creier) Activările neuronilor sunt stohastice, nu deterministe 43

44 Antrenarea Energia rețelei are aceeași expresie ca la rețeaua Hopfield Probabilitatea unei stări este aceeași ca la modelul Ising Antrenarea presupune minimizarea energiei, ceea ce conduce la minimizarea diferenței dintre distribuția datelor de intrare și distribuția datelor generate de model pentru acele date de intrare Dacă T = 0, o mașină Boltzmann este echivalentă cu o rețea Hopfield 44

45 Modele bazate pe energie 1. Modelul Ising 2. Rețeaua Hopfield 3. Mașina Boltzmann 4. Mașina Boltzmann restricționată (Restricted Boltzmann Machine, RBM) 5. Rețele de convingeri profunde 45

46 BM vs. RBM Mașina Boltzmann restricționată (RBM) este un graf bipartit: nu există conexiuni laterale între neuronii din același strat (vizibil sau ascuns) 46

47 RBM Stratul vizibil: v {0,1} N, stratul ascuns: h {0,1} M Pragurile neuronilor din stratul vizibil: a R N Pragurile neuronilor din stratul ascuns: b R M Ponderile conexiunilor dintre neuroni: W R N M 47

48 Caracteristici Energia unei stări (v, h) este: Probabilitatea unei stări (v, h) este: 48

49 Probabilitățile de activare Pornind de la aceste relații, se deduc probabilitățile de activare ale neuronilor, bazate pe funcția sigmoidă: Pentru RBM, funcția sigmoidă nu se dă, ci este un rezultat al calculelor de probabilități! 49

50 Antrenarea RBM Se bazează tot pe ideea MLE: <x> d : valoarea așteptată a lui x după distribuția d ε: rata de învățare 50

51 Antrenarea RBM Primul termen, cu distribuția data, este ușor de obținut: Al doilea termen, cu distribuția model, este mai greu de obținut și necesită metode statistice 51

52 Metode de eșantionare Metodele de eșantionare Monte Carlo pentru lanțuri Markov (engl. Markov Chain Monte Carlo, MCMC) rezolvă problem eșantionării dintr-o distribuție de probabilitate prin construirea unui lanț Markov care are distribuția dorită ca distribuție de echilibru Una din metodele MCMC este eșantionarea Gibbs (engl. Gibbs sampling ), pentru probabilități condiționate 52

53 Exemplu Să presupunem că starea vremii poate avea una din următoarele valori: (Rain, Sunny, Cloudy) Probabilitățile de tranziție sunt de forma: Matricea completă de tranziții: prima linie 53

54 Exemplu Dacă astăzi este soare, cum va fi vremea peste 2 zile? Dar peste 7 zile? 54

55 Distribuția staționară Pentru n mare: Oricare ar fi starea inițială π(0), peste un număr mare de zile, probabilitățile vor fi: Se spune că lanțul Markov a ajuns la o distribuție staționară, în care probabilitățile sunt independente de valorile de start 55

56 Antrenarea RBM Se folosește eșantionarea Gibbs pentru a estima <v i h j > model În distribuția staționară, aici nu mai este vectorul de intrare, ci ce crede rețeaua că e vectorul de intrare! 56

57 Antrenarea RBM j i i t = 0 t = 1 j Faza pozitivă Propagarea vizibil ascuns Învățarea datelor (~ rețeaua este trează) Faza negativă Propagarea ascuns vizibil Reconstrucția datelor (~ rețeaua visează) 57

58 Antrenarea RBM j j i i t = 0 t = 1 Autorul metodei, Hinton, recomandă folosirea probabilităților în loc de activările propriu-zise v i și h j (cu valori 0 sau 1) 58

59 Divergența contrastivă engl. Contrastive Divergence, CD Este algoritmul de antrenare cel mai cunoscut pentru RBM Presupune aplicarea formulelor prezentate anterior pentru actualizarea ponderilor și pragurilor, pentru un număr specificat de epoci Eșantionarea Gibbs se face în k pași, dar de cele mai multe ori se consideră k = 1 CD nu urmează gradientul verosimilității maxime decât dacă k =. CD minimizează în mod aproximativ divergența Kullback- Leibler (KL) care măsoara distanța între două distribuții de probabilitate (aici, între date și model): 59

60 Tipuri de RBM RBM Bernoulli-Bernoulli RBM Gaussian-Bernoulli 60

61 Exemplu Trăsături vizibile : Filme: Harry Potter, Avatar, LOTR 3, Gladiator, Titanic, Glitter Trăsături ascunse : Oscar winners: LOTR 3, Gladiator, Titanic SF/fantasy: Harry Potter, Avatar, LOTR 3 Instanțe de antrenare: Alice: (Harry Potter = 1, Avatar = 1, LOTR 3 = 1, Gladiator = 0, Titanic = 0, Glitter = 0). Fan SF/fantasy Bob: (Harry Potter = 1, Avatar = 0, LOTR 3 = 1, Gladiator = 0, Titanic = 0, Glitter = 0). Fan SF/fantasy, dar nu-i place Avatar Carol: (Harry Potter = 1, Avatar = 1, LOTR 3 = 1, Gladiator = 0, Titanic = 0, Glitter = 0). Fan SF/fantasy David: (Harry Potter = 0, Avatar = 0, LOTR 3 = 1, Gladiator = 1, Titanic = 1, Glitter = 0). Fan filme Oscar Eric: (Harry Potter = 0, Avatar = 0, LOTR 3 = 1, Gladiator = 1, Titanic = 1, Glitter = 0). Fan filme Oscar, cu excepția Titanic Fred: (Harry Potter = 0, Avatar = 0, LOTR 3 = 1, Gladiator = 1, Titanic = 1, Glitter = 0). Fan filme Oscar 61

62 Exemplu Unitatea ascunsă 1 se activează la filmele câștigătoare ale Oscarului Unitatea ascunsă 2 se activează la filmele SF/fantasy Pe baza preferințelor pentru cele 6 filme, se poate spune dacă o persoană este fan SF/fantasy și/sau fan filme Oscar Dacă se activează una din cele 2 unități ascunse, se generează o persoană cu anumite preferințe. De fiecare dată, preferințele generate sunt ușor diferite 62

63 Exemplu Descriere exemplu: Implementare RBM: 63

64 Modele bazate pe energie 1. Modelul Ising 2. Rețeaua Hopfield 3. Mașina Boltzmann 4. Mașina Boltzmann restricționată 5. Rețele de convingeri profunde (Deep Belief Networks, DBN) 64

65 Rețele de convingeri profunde engl. Deep Belief Networks, DBN RBM-urile sunt de obicei agregate în stivă Antrenarea se face strat cu strat, folosind de exemplu algoritmul divergenței contrastive (CD) Odată ce un RBM este antrenat, alt RBM se pune în stivă deasupra sa Unitățile ascunse devin unități vizibile pentru stratul imediat superior Ponderile RBM-urilor antrenate anterior rămân fixe 65

66 Arhitectura DBN 66

67 Antrenarea DBN Ponderile se ajustează strat cu strat prin învățare nesupervizată Dacă scopul final este clasificarea, se antrenează un clasificator clasic pe nivelul cel mai de sus prin învățare supervizată În final, toate ponderile sunt rafinate ( fine tuned ) cu algoritmul backpropagation {C 1, C 2,..., C n } 67

68 Transformarea în AE 68

69 Generarea din model Se obține un eșantion de echilibru din RBM-ul de la nivelul cel mai de sus efectuând eșantionarea Gibbs pentru un număr mare de pași Se face traversarea top-down cu activarea unităților de pe celelalte straturi Conexiunile bottom-up de pe nivelurile inferioare (marcate cu roșu) NU sunt folosite pentru generare, ci doar pentru inferență 69

70 Exemplu: Recunoașterea cifrelor scrise de mână (MNIST) Ultimele două niveluri superioare formează o memorie asociativă între reprezentările de nivel superior ale imaginilor cifrelor și etichetele (clasele) acestora Pentru recunoaștere, se pleacă de la imagini, se propagă activările în sus și se fac câteva iterații în memoria asociativă de la nivelul superior Pentru a genera imagini, se activează o unitate care corespunde unei etichete (clase) 70

71 Exemplu: rezultatele DBN 71

72 Exemplu: MNIST Rate de eroare pe mulțimea de test Deep Belief Network: 1.25% Support Vector Machine: 1.4% Perceptron multistrat antrenat cu backpropagation, cu 1000 neuroni într-un strat ascuns: ~1.6% Perceptron multistrat antrenat cu backpropagation, cu 500, respectiv 300 de neuroni în două straturi ascunse: ~1.6% k-nearest Neighbor: 3.3% 72

73 Discuție Autoencoderele simple sau DAE nu sunt modele generative Se pot activa unitățile de pe nivelurile superioare ale ierarhiei pentru a produce rezultate pe nivelul cel mai de jos (corespunzător intrării), dar rezultatele sunt deterministe DBN și VAE sunt modele generative: rezultatele generate sunt de fiecare dată altele, deși asemănătoare 73