STRUCTURA CORPULUI SOLID
|
|
|
- Χάρις Αργυριάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 STRUCTURA CORPULUI SOLID 1. Introducere 2. Legaturi atomice 3. Structura corpului solid 4. Retele cristaline 5. Reteaua reciproca 6. Radiatii X
2 1. Introducere Exista mii de materiale folosite mai mult sau mai putin in aplicatii practice Tinand cont de fortele atomoce de legatura materialele pot fi clasificate in trei mari clase : 1. Metale Ex: metale feroase si aliaje (fier, otel,.); metale neferoase (Al, Cu, Ti, Au, Ag,.) 2. Ceramice Ex: sticla, portelan, diamant. 3. Polimeri Ex: mase plastice, elastomeri. In plus combinand diverse materiale se pot obtine 4. Materiale compozite Ex: ciment, structuri tip sandwich,..
3 1. Introducere Metale Ceramica Polimeri Compozite
4 1. Introducere Exista doar 106 tipuri de atomi si mii de substante diferite In ordinea cresterii dimensiunii putem clasifica materialele astfel: structura atomica microstructura macrostructura
5 1. Introducere structura atomica - este responsabila in primul rand se proprietatile chimice, fizice (termice, electrice, magnetice, optice) microstructura si macrostructura - pot afecta si propriatatile de mai sus dar in general au un efect mai mare asupra proprietatilor mecanice si a vitezei reactiilor chimice. Ex: duritatea metalelor sugereaza legaturi puternice intre atomi, dar aceste legaturi trebuie sa permita atomilor sa se miste deoarece dupa cum se stie metalele sunt usor de deformat putand fi trase in fire respectiv foi subtiri
6 2. Legaturi atomice Toate legaturice implica electronii! Sunt mai stabili daca nu au paturi electronice partial ocupate! Legatura metalica - in cazul in care intr-o patura a unui atom sunt doar cativa electroni acestia vor avea tendinta de a se desprinde de atom pentru a goli patura. - aceste elemente sunt metale - legaturile formate de aceste elemente se numesc legaturi metalice Ex: Al Caracteristici: Bune conducatoare de caldura si electricitate Sunt opace Ductile in general
7 2. Legaturi atomice -In cazul in care un atom are o patura aproape plina, el va cauta electroni ca sa o umple. - aceste elemente sunt cunoscute ca nemetale Legatura covalenta - legatura dintre doi atomi nemetalici este deobicei legatura covalenta - acesti atomi pun in comun electroni pentru a-si completa paturile Ex: Cl -Electronii pusi in comun pot proveni de la atomi de acelasi tip sau de la atomi diferiti - Legatura intre atomii care formeaza molecula este puternica -- legaturile dintre molecule sunt deobicei slabe (exceptii diamantul ) Caracteristici: -Puncte de topire si fierbere scazute (cu exceptii) - dure - casante (mai usor se sparg decat se deformeaza) - transparente uneori -- izolatoare
8 2. Legaturi atomice Legatura ionica -Se realizeaza intre particule incarcate electric (atomi sau grupuri de atomi prin ionizare) - la formarea legaturii participa un metal si un nemetal (metalele au 1, 2 sau 3 electroni pe stratul exterior iar nemetalele 5, 6 sau 7 electroni) - metalele cedeaza electroni iar nemetalele accepta electroni Ex: NaCl Na: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 Na+: 1s 2 2s 2 2p 6 Cl: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 5 Cl+: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 Caracteristici: -Dure -Izolatoare - cliveaza mai repede decat sa se deformeze
9 Legatura van der Waals 2. Legaturi atomice -Se realizeaza intre molecule in care exista legatura covalenta - in molecula legatura e puternica - prezenta atomilor diferiti in molecula conduce la polarizarea acesteia - intre molecule apare o legatura slaba datorita acestei polarizari Ex: H 2 O -Intre legaturile H cu O exista un unghi de la pozitia H apare o polarizare pozitiva iar la O negativa La fel se intampla in materialele plastice dar legatura e mai puternica
10 3. Structura corpului solid
11 3. Structura corpului solid -Atomii pot fi adunati impreuna pentru a forma un corp solid prin diferite procese: - condensare - presurizare - reactii chimice - topire - electrodepozitie - Solide amorfe - nu prezinta ordine la distanta - nu au o temperatura de topire (se inmoaie si se topesc treptat odata cu cresterea temperaturii). Sunt izotope Solide cristaline - mai mult de 90% din solidele naturale sau artificiale - apare o aranjare repetara si regulata a atomilor sau moleculelor (repetarea in 3D a unor blocuri elementare)
12 3. Structura corpului solid -Majoritatea solidelor adopta structura cristalina deoarece este mai favorabila din punct de vedere energetic - solidele cristaline se impacheteaza in asa fel incat energia este minimizata - blocurile elementare pot fi descrise ca o retea de puncte Dupa modul de aranjare in material avem: Monoctristal : aranjarea regulata a blocurilor in intreg materialul Policristal: aranjare regulata pe portiuni mici (graunti sau cristalite de dimensiuni microscopice). Cristalitele sunt orientate aleator una fata de alta. imagine STM de la IBM Research, Almaden Research Center. Cristalul ideal: repetarea regulata, infinita, in spatiu a unor unitati structurale identice, atomi sau grupuri de atomi
13 4. Reteaua cristalina Reteaua esteo repetareregulatapetreidirectii necoplanare din spatiu a unor puncte echivalente numite noduri ale retelei de unde vecinatatea atomica observata este aceiasi. Structura cristalina = Retea + Baza Celula elementara: cea mai mica unitate care prin repetare genereaza intreaga retea - in general se alege in asa fel incat sa contina elementele de simetrie in colturi sau pe muchii - prin translatie celula elementara umple intreg spatiul Celula primitiva: are un singur nod pe celula
14 4. Reteaua cristalina Numarul de noduri N pe celula se calculeaza astfel: a) In plan N=1/4*N colturi + N centrati b) In spatiu: N=1/8*N colturi +1/2*N fete +N centrati Obs. Daca sunt atomi pe muchii se tine cont si de acesti cu ½*N muchii la plan si 1/4 *N muchii spatiu in Ex: CVC N= 1/8*8+1=2
15 4. Reteaua cristalina CFC: N=1/8*8+1/2*6=4
16 4. Reteaua cristalina Retele Bravais: - retea infinita de puncte pentru care vecinatatea imediata este identica (respecta proprietatea de translatie) - se pot alege trei vectori primitivi necoplanari a 1, a 2, a 3 astfel incat orice nod sa poata fi descris de un vector: T=n 1 *a 1 +n 2 *a 2 +n 3 *a 3 unde n i (i=1,2,3) sunt numere intregi. Exista 4 (+1 neprimitiva) retele Bravais in 2D si 7 (+7 neprimitive) in 3D, retele care pot fi diferentiate prin operatiile de simetrie care le caracterizeaza. Retele Bravais neprimitive - orice retea se poate descrie cu o celula elementara primitiva - celulele neprimitive se obtin prin centrare (fete, muchii, baze, volum)
17 4. Reteaua cristalina nodurile unei retele trebuie sa fie indiscernabile (vecinatate identica pentru fiecare nod). prin centrare este necesar ca aceasta regula sa fie indeplinita si pentru reteaua nou formata pentru fiecare sistem cristalin, reteaua Bravais trebuie sa aiba o simetrie minima corespunzatoare. prin centrare, reteaua nou formata trebuie sa respecte simetria minima a retelei primitive mama. doar cea mai mica celula, care are cel mai mic numar de noduri care conserva simetria ceruta poate fi considerata ca si celula a unei retele Bravais. In 3D exista 7 posibilitati diferite (din punctul de vedere al elementelor noi de simetrie pe care le introduce fiecare optiune) de a alege vectorii de retea si unghiurile dintre ei. Rezulta: 7 retele Bravais primitive + 7 retele centrate Total: 14 retele Bravais 3D
18 4. Reteaua cristalina Retelele Bravais 3D:
19 4. Reteaua cristalina Directii reticulare: Se noteaza cu [uvw] unde u, v, ww sunt cele mai mici numere, prime intre ele, ce descriu coordonatele (in unitati a, b sau c) ale primului nod intersectat de paralela la aceea dreapta care trece prin origine. Plane reticulare: prin oricare trei noduri ale retelei poate fi dus un plan. r, p, q sunt nodurile de intersectie ale acestui plan cu directiile descrise de axele de coordonate a,b si c (r,p,q) descriu o familie de plane paralele si echidistane (ex: 442 este paralel cu 221
20 4. Reteaua cristalina Indici Miller: Sunt un grup de trei cifre de form (h,k,l) care se determina dupa o procedura in trei pasi: 1. Se determina intersectiile planului cu cele trei axe cristalografice. Daca planul trece prin origine, deci toate intersectiile sunt zero, atunci trenbuie sa se aleaga un plan paralel cu acesta, din aceeasi familie de plane, care sa nu treaca prin origine. 2. Se calculeaza inversele numerelor obtinute. 3. Daca prin inversare se obtin valori fractionare, se multiplica rezultatul cu c.m.m.m.c pentru a se ajunge la trei numere intregi, prime intre ele -(hkl) descrie un plan -<hkl>descrie o familie de plane - indicii pot sa fie pozitivi sau negativi, dupa cum intersectia a avut loc in parte pozitiva sau negativa a axei.
21 4. Reteaua cristalina Exemplu: 1. Intersectia cu axele: 4,4,2 2. Inversele: 1/4, 1/4, ½ 3. C.m.m.m.c = 4 Deci multiplicam cu 4 si obtinem (112) = indicii Miller ai planului reprezentat in figura Observatie: Se ajungea la acelasi rezultat daca porneam de la intersectiile 2,2,1 care descriu un plan din aceiasi familie
22 5. Reteaua reciproca Daca a, b si c sunt vectorii care definesc reteaua reala, vectorii retelei reciproce se definesc ca: unde V este volumul din spatiul direct. Se vede ca: Pornind de la vectorii A, B, C se poate construi o retea, la fel ca la reteaua directa, numita retea reciprioca in care se pot defini celule elementare, retele Bravais in reteaua reciproca la fel ca la reteaua directa. La fel ca in reteaua directa, se defineste un vector de translatie, ca o combinatie a vectorilor de baza: unde h, k respectiv l sunt numere intregi.
23 5. Reteaua reciproca Observatii: 1. Vectorul este perpendicular pe planul (hkl) al retelei 2.Modulul lui este de 2π ori mai mare decat inversul distantei dintre planele (hkl) Exemplu: Retea cubica simpla
24
25 An X-ray picture (radiograph), taken by Wilhelm Röntgen in 1896, of Albert von Kölliker's hand.
26
27
28
29
30
31
32 Difuzia de raze X - interactiuni intre razele X si norul electronic al atomilor - fotonii X ricoseaza pastrand aceeasi energie si lungime de unda Difuzia elastica Difuzia elastica : modelul dipolului vibrant
33 Interferenta razelor X - razele X ce interactioneza cu materia sunt difuzate de catre fiecare atom - razele X difuzate interfera intre ele - interferentele undelor difuzate formeaza fenomenul de difractie Interferenta undelor difuzate fenomenul de difractie Obs.* In cazul atomilor : ordonati - interferente constructive pentru anumite directii (undele se aduna = peak-uri de difractie) dezordonati - interferente destructive pentru anumite directii (undele se anuleaza = zgomot)
34 Legea lui Brag 6. Radiatii X d distanta interreticulara θ jumatatea deviatiei n ordinul de difractie λ lungimea de unda a razelor X 2dsin(θ) = nλ Legea lui Bragg in directiile in care interferentele sunt constructive Indexarea peak-urilor : asocierea dintre un peak de difractie si un plan (hkl) 1. asocierea fiecarui peak de difractie unui plan atomic imaginar 2. planele sunt date de indicii Miller 3. asocierea indicilor (hkl) peak-urilor de difractie = indexare
35 Principiul de baza Intensitate - bombardarea probei cu un fascicol de raze X - razele X difuzate interfera intre ele - intensitatea prezinta maxime in diferite directii fenomen de difractie deviatia 2θ Inregistrarea intensitatii detectate in functie de unghiul de deviatie
36 Difractia Bragg-Bretano - modul de difractie cel mai curent utilizat - achizitionarea unei intensitati puternice datorita geometriei fascicolului
37 Camera Debye Sherrer - cel mai simplu principiu de masura - razele X difractate formeaza conuri - - in urma imprimarii pe filmul fotografic obtinem cercuri (inele Debye)
38
39
40 Semnatura caracteristica a unei faze - fiecare faza prezinta propria sa semnatura - pentru fiecare faza putem realiza o lista a peak-urilor de difractie (pozitii si intensitati de difractie) - fiecare peak de difractie este reprezentat cu ajutorul indicilor Miller
41 Analiza unui compus necunoscut - compararea difractogramei masurate cu un catalog al fiselor teoretice existente - difractograma este rezolvata daca fiecare intensitate de difractie (peak) vizibila corespunde unei fise selectionate Fe2B_Ta=675_t=5min Lin (Cps) Theta - Scale Fe2B_Ta=675_t=5min - File: Fe2B_Ta675_t5min.RAW - Type: 2Th/Th locked - Start: End: Step: Step time: 3. s - Temp.: 25 C (Room) - Time Started: 3 s - 2-Theta: 20.0 Operations: Import (*) - Boron Iron - Fe2B - Y: % - d x by: 1. - WL: Tetragonal - a b c alpha beta gamma Body-centred - I4/mcm (140) Semnatura unui compus poate fi alterata: - unele peak-uri sunt ascunse de catre peak-uri ale altei faze (superpozitie de peak-uri) - compusul nu este pur
42 Probleme de identificare A. Decalarea intensitatilor de difractie : - pozitia probei nu este buna (problema de preparare) - compusul prezinta impuritati
43 Inaltimea probei - suprafata analizata este deasupra sau sub un nivel bine stabilit unghiul de deviatie 2θ al fascicolului difera fata de unghiul calculat de catre aparat Obs.* - peak-uri decalate cu valoarea 2θ fata de pozitia asteptata 2θ = -2*cos(θ)h/R - o achizitie intre 0 si 70 (in 2θ) cosθ trece de la 1 la 0.82; decalaj aproape identic - distinctie greu de realizat intre o problema de goniometru sau a pozitionarii probei
44 Variatia inaltimilor relative : - orientari preferentiale - cristalitele sunt prea mari - suprapunerea peak-urilor de difractie Alte fenomene intalnite : - asemanarea dintre semnaturile mai multor faze - o faza este prezenta in cantitati mici
45 Ajustarea parametrilor de retea Intensité (Unit. arb.) simularea unei difractograme teoretice - compararea difractogramei simulate cu cea reala - afinarea parametrilor structurali incercand reproducerea curbei masurate angle 2θ (deg) substituirea unui atom intr-un compus poate induce : - o dilatare a retelei cristaline - o contractie a retelei cristaline
46 Analiza cantitativa - o proportie insemnata a unei faze determina o suprafata neta mare a peak-urilor de difractie - posibilitatea calcularii compozitie probei Ex. - considerand ca probele absorb radiatia X in aceeasi masura : C A = m A.I A unde C A - concentratia masica a fazei A in proba m A - coeficientul de etalonaj (inversul suprafetei peak-ului unei probe constituita in intregime de A) I A - suprafata peak-ului fazei A (fiecare peak generat de faza A are un coeficient m diferit)
47 - absorbtia radiatiei X diferita pentru faze diferite - corectarea efectului de absortie cu un etalon intern - etalon intern - faza de referinta R perfect cristalizata introdusa intr-o proportie cunoscuta C A /C R = m A/R *I A /I R Metoda Rietveld - simularea difractogramei de difractie pentru concentratii date - permite simularea superpozitiei peak-urilor
48 Largimea peak-urilor de difractie - pozitia in 2θ a unui peak este impusa de structura cristalografica - suprafata neta a unui peak este impusa de catre proportia fazei din compus Largimea la semi-inaltime Pentru o suprafata data : - un peak poate sa fie mai larg sau mai ingust largimea unui peak caracterizata prin largimea sa la semi-inaltime H H determinat de 2 parametrii ai compusului : 1. micro-tensiunile reziduale 2. marimea cristalitelor
49 Marimea cristalitelor - cu cat cristalitele sunt mai mici cu atat peak-urile de difractie sunt mai largi (efect vizibil pentru cristalite cu diametre < 1µm) - in raport cu un peak masurat pe un compus cu cristalite mari - largimea peakului (H) este data de formula lui Sherrer : H = k*λ/(τ *cosθ) unde : k - factorul de forma (depinde de forma si dimensiunile cristalului) τ - diametrul cristalitelor λ - lungimea de unda a razelor X Obs. In realitate cristalitele nu au o marime unica ci o distributie de marimi
50
51
52
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Algebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Electronegativitatea = capacitatea unui atom legat de a atrage electronii comuni = concept introdus de Pauling.
Cursul 8 3.5.4. Electronegativitatea Electronegativitatea = capacitatea unui atom legat de a atrage electronii comuni = concept introdus de Pauling. Cantitativ, ea se exprimă prin coeficienţii de electronegativitate
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale
Investește în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operațional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educația și formarea profesională în sprijinul creșterii
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Difractia de electroni
Difractia de electroni 1 Principiul lucrari Verificarea experimentala a difractiei electronilor rapizi pe straturi de grafit policristalin: observarea inelelor de interferenta ce apar pe ecranul fluorescent.
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
UNITĂŢI Ţ DE MĂSURĂ. Măsurarea mărimilor fizice. Exprimare în unităţile de măsură potrivite (mărimi adimensionale)
PARTEA I BIOFIZICA MOLECULARĂ 2 CURSUL 1 Sisteme de unităţiţ de măsură. Atomi şi molecule. UNITĂŢI Ţ DE MĂSURĂ Măsurarea mărimilor fizice Exprimare în unităţile de măsură potrivite (mărimi adimensionale)
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Lectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Reflexia şi refracţia luminii.
Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)
EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Dreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in
Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Proprietăţile pulberilor metalice
3 Proprietăţile pulberilor metalice Pulberea reprezintă principala componentă din materia primă folosită la elaborarea pieselor prin tehnologia M.P. (alături de aditivi, lubrefianţi, etc.) Pulberea se
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Circuite electrice in regim permanent
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
STIINTA MATERIALELOR CURS 3 STRUCTURA CRISTALINĂ ŞI AMORFĂ. DEFORMAREA PLASTICĂ A METALELOR.
STIINTA MATERIALELOR CURS 3 STRUCTURA CRISTALINĂ ŞI AMORFĂ. DEFORMAREA PLASTICĂ A METALELOR. LEGATURILE INTERATOMICE Proprietatile materialelor determinate de structura la nivelul aranjamentelor atomice,