Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
|
|
|
- Ησιοδ Βυζάντιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III
2 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Table of Contents 1 Produsul scalar: denitie, proprietati 2 Schimbari de repere ortonormate in plan 3 Aplicatii Oana Constantinescu Lectia III
3 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Denitia produsului scalar Denition Fie vectorii liberi nenuli u, v V. Produsul scalar al celor doi vectori se noteaza cu < u, v > (sau (u, v), u v) si se deneste prin < u, v >= u v cos α, unde α este masura unghiului celor doi vectori, α [0, π]. Daca unul dintre vectori este 0, produsul lor scalar este prin denitie 0. Observatie: numele acestui produs de vectori vine din faptul ca rezultatul este un scalar real. Oana Constantinescu Lectia III
4 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Denitia produsului scalar Denition Fie vectorii liberi nenuli u, v V. Produsul scalar al celor doi vectori se noteaza cu < u, v > (sau (u, v), u v) si se deneste prin < u, v >= u v cos α, unde α este masura unghiului celor doi vectori, α [0, π]. Daca unul dintre vectori este 0, produsul lor scalar este prin denitie 0. Observatie: numele acestui produs de vectori vine din faptul ca rezultatul este un scalar real. Oana Constantinescu Lectia III
5 Denitia produsului scalar Observatie: unghiul dintre cei doi vectori este unghiul dintre directiile lor, si nu depinde de punctul in care se aplica vectorii.
6 Interpretare geometrica O interpretare geometrica importanta a produsului scalar este data de proiectia ortogonala a unui vector pe o directie data. Fie d o dreapta cu directia data de u si v = AB. Fie A si B intersectiile dintre dreapta d si planele prin A, respectiv B, perpendiculare pe d.
7 Interpretare geometrica O interpretare geometrica importanta a produsului scalar este data de proiectia ortogonala a unui vector pe o directie data. Fie d o dreapta cu directia data de u si v = AB. Fie A si B intersectiile dintre dreapta d si planele prin A, respectiv B, perpendiculare pe d.
8 Proiectia ortogonala Vectorul A B = w se numeste proiectia ortogonala a lui v pe d si se noteaza cu pr d v sau pr u v.
9 Proiectia ortogonala Observatie: in cazul geometriei plane, cele doua plane ortogonale pe d sunt inlocuite de drepte ortogonale pe d, prin A, respectiv B. Marimea algebrica a vectorului pr u v se noteaza cu mpr u v si se numeste masura proiectiei. Mai exact, daca u 0 este versorul lui u, adica u 0 = u u, atunci pr u v = λu, λ R. Notam λ = mpr u v. Se observa usor pe gura anterioara ca mpr u v = v cos α, unde α [0, π] este masura unghiului dintre v si u.
10 Proiectia ortogonala Observatie: in cazul geometriei plane, cele doua plane ortogonale pe d sunt inlocuite de drepte ortogonale pe d, prin A, respectiv B. Marimea algebrica a vectorului pr u v se noteaza cu mpr u v si se numeste masura proiectiei. Mai exact, daca u 0 este versorul lui u, adica u 0 = u u, atunci pr u v = λu, λ R. Notam λ = mpr u v. Se observa usor pe gura anterioara ca mpr u v = v cos α, unde α [0, π] este masura unghiului dintre v si u.
11 Proiectia ortogonala Observatie: in cazul geometriei plane, cele doua plane ortogonale pe d sunt inlocuite de drepte ortogonale pe d, prin A, respectiv B. Marimea algebrica a vectorului pr u v se noteaza cu mpr u v si se numeste masura proiectiei. Mai exact, daca u 0 este versorul lui u, adica u 0 = u u, atunci pr u v = λu, λ R. Notam λ = mpr u v. Se observa usor pe gura anterioara ca mpr u v = v cos α, unde α [0, π] este masura unghiului dintre v si u.
12 Proiectia ortogonala Urmarind gura deduceti ca pr u (v + v ) = pr u v + pr u v, mpr u (v + v ) = mpr u v + mpr u v. Interpretarea geometrica a produsului scalar este < u, v >= u mpr u v = v mpr v u.
13 Proprietatile produsului scalar Theorem Produsul scalar a doi vectori liberi are urmatoarele proprietati: a) < u, v >=< v, u > (simetria); b) < u, v + w >=< u, v > + < u, w >(aditivitatea); c) < λu, v >= λ < u, v >(omogenitatea); d) < u, u > 0, < u, u >= 0 u = 0 (pozitiva denire); e) < u, v >= 0 u v, u, v V si λ R. Deci produsul scalar este o aplicatie <, >: V V R biliniara, simetrica, avand forma patratica asociata pozitiv denita. Observatie: doi vectori sunt perpendiculari daca au directiile perpendiculare.
14 Baze ortonormate Daca {O; i, j, k} este un reper ortonormat, si vectorii u, v au urmatoarele coordonate: u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, v = y 1 i + y 2 j + y 3 k, atunci produsul lor scalar se calculeaza astfel: < u, v >= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Denition Norma vectorului liber u este u = < u, u >. Observatie: se verica imediat ca u = u, u V.
15 Baze ortonormate Daca {O; i, j, k} este un reper ortonormat, si vectorii u, v au urmatoarele coordonate: u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, v = y 1 i + y 2 j + y 3 k, atunci produsul lor scalar se calculeaza astfel: < u, v >= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Denition Norma vectorului liber u este u = < u, u >. Observatie: se verica imediat ca u = u, u V.
16 Baze ortonormate Daca {O; i, j, k} este un reper ortonormat, si vectorii u, v au urmatoarele coordonate: u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, v = y 1 i + y 2 j + y 3 k, atunci produsul lor scalar se calculeaza astfel: < u, v >= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Denition Norma vectorului liber u este u = < u, u >. Observatie: se verica imediat ca u = u, u V.
17 Baze ortonormate Daca u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, atunci norma sa se calculeaza prin u = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2, iar unghiul dintre vectorii liberi u = x 1 i + x 2 j + x 3 k si v = y 1 i + y 2 j + y 3 k prin cos α = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2.
18 Proprietatile normei Theorem Norma unui vector liber este o aplicatie : V [0, ), cu proprietatile: 1) v = 0 v = 0; 2) λv = λ v, v V, λ R; 3) < u, v > u v, u, v V. Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari (inegalitatea lui Cauchy); 4) u + v u + v, u, v V. Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de acelasi sens (inegalitatea triunghiulara).
19 Cosinusi directori Theorem Fie {i, j, k} o baza ortonormata in V si u un vector liber unitar: u = 1. Daca v face unghiurile α, β, γ respectiv cu vectorii i, j, k, atunci u = (cos α)i + (cos β)j + (cos γ)k. Denition Numerele reale cos α, cos β, cos γ se numesc cosinii directori ai directiei vectorului u si satisfac relatia:. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
20 Cosinusi directori Theorem Fie {i, j, k} o baza ortonormata in V si u un vector liber unitar: u = 1. Daca v face unghiurile α, β, γ respectiv cu vectorii i, j, k, atunci u = (cos α)i + (cos β)j + (cos γ)k. Denition Numerele reale cos α, cos β, cos γ se numesc cosinii directori ai directiei vectorului u si satisfac relatia:. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
21 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Schimbari de repere ortonormate in plan Sa presupunem ca R = {O; i, j} si R = {O ; u, v} sunt doua repere ortonormate intr-un plan π. Deci {i, j} si {u, v} sunt doua baze ortonormate in π. Presupunem ca unghiul dintre i si u este α. Oana Constantinescu Lectia III
22 Schimbari de repere ortonormate in plan Atunci u = (cos α)i + (sin α)j, v = (sin α)i + (cos α)j, sau v = (sin α)i (cos α)j, iar formula corespunzatoare a transformarii de coordonate este: sau x = x cos α + y sin α + a, (1) y = x sin α + y cos α + b, x = x cos α + y sin α + a, (2) y = x sin α y cos α + b, unde am notat cu (x, y) coordonatele in raport cu R, (x, y ) coordonatele in raport cu R si am presupus ca O are in raport cu R coordonatele (a, b).
23 Schimbari de repere ortonormate in plan Atunci u = (cos α)i + (sin α)j, v = (sin α)i + (cos α)j, sau v = (sin α)i (cos α)j, iar formula corespunzatoare a transformarii de coordonate este: sau x = x cos α + y sin α + a, (1) y = x sin α + y cos α + b, x = x cos α + y sin α + a, (2) y = x sin α y cos α + b, unde am notat cu (x, y) coordonatele in raport cu R, (x, y ) coordonatele in raport cu R si am presupus ca O are in raport cu R coordonatele (a, b).
24 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Orientarea planului Pentru a decide care din ecuatiile (1), (2) este cea corecta, trebuie sa stim cum sunt orientate bazele celor doua repere. In plan, pentru determinarea sensului unui unghi, suntem obisnuiti sa folosim sensul acelor ceasornicului si cel trigonometric (invers acelor de ceas), care sunt, prin conventie, sensul negativ, respectiv cel pozitiv. Existenta unghiurilor pozitive si negative determina orientabilitatea planului, iar alegerea numelor de pozitiv si negativ este numita orientare. Oana Constantinescu Lectia III
25 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Orientarea planului Pentru a decide care din ecuatiile (1), (2) este cea corecta, trebuie sa stim cum sunt orientate bazele celor doua repere. In plan, pentru determinarea sensului unui unghi, suntem obisnuiti sa folosim sensul acelor ceasornicului si cel trigonometric (invers acelor de ceas), care sunt, prin conventie, sensul negativ, respectiv cel pozitiv. Existenta unghiurilor pozitive si negative determina orientabilitatea planului, iar alegerea numelor de pozitiv si negativ este numita orientare. Oana Constantinescu Lectia III
26 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Orientarea planului Pentru a decide care din ecuatiile (1), (2) este cea corecta, trebuie sa stim cum sunt orientate bazele celor doua repere. In plan, pentru determinarea sensului unui unghi, suntem obisnuiti sa folosim sensul acelor ceasornicului si cel trigonometric (invers acelor de ceas), care sunt, prin conventie, sensul negativ, respectiv cel pozitiv. Existenta unghiurilor pozitive si negative determina orientabilitatea planului, iar alegerea numelor de pozitiv si negativ este numita orientare. Oana Constantinescu Lectia III
27 Orientarea planului Prin denitie, doua baze ale unui plan vectorial sunt la fel orientate daca determinantul matricii de trecere de la o baza la alta este strict pozitiv, si opus orientate daca determinantul anterior este strict negativ. Doua repere sunt la fel orientate daca bazele lor sunt la fel orientate. Relatia la fel orientate este o relatie de echivalenta pe multimea bazelor spatiului liniar al vectorilor liberi, si aceasta multime se imparte in doua clase de echivalenta, disjuncte, astfel incat doua baze din aceeasi clasa sunt la fel orientate, iar doua baze din clase distincte sunt opus orientate.
28 Orientarea planului Prin denitie, doua baze ale unui plan vectorial sunt la fel orientate daca determinantul matricii de trecere de la o baza la alta este strict pozitiv, si opus orientate daca determinantul anterior este strict negativ. Doua repere sunt la fel orientate daca bazele lor sunt la fel orientate. Relatia la fel orientate este o relatie de echivalenta pe multimea bazelor spatiului liniar al vectorilor liberi, si aceasta multime se imparte in doua clase de echivalenta, disjuncte, astfel incat doua baze din aceeasi clasa sunt la fel orientate, iar doua baze din clase distincte sunt opus orientate.
29 Orientarea planului Impartirea in cele doua clase se face astfel: se xeaza o baza ortonormata oarecare (i, j) si e o alta baza ortonormata (i, j ). Se roteste i cu un anumit unghi α [0, π] pana cand acesta ajunge peste i. Daca rotatia pozitioneaza si vectorul j peste j, atunci asezam baza (i, j ) in clasa nr. 1. Daca nu, o punem in clasa nr. 2. A alege una dintre aceste clase drept clasa bazelor orientate pozitiv inseamna a orienta spatiul liniar V. Deci se obtine formula (1) pentru repere la fel orientate si formula (2) pentru repere opus orientate.
30 Orientarea planului Impartirea in cele doua clase se face astfel: se xeaza o baza ortonormata oarecare (i, j) si e o alta baza ortonormata (i, j ). Se roteste i cu un anumit unghi α [0, π] pana cand acesta ajunge peste i. Daca rotatia pozitioneaza si vectorul j peste j, atunci asezam baza (i, j ) in clasa nr. 1. Daca nu, o punem in clasa nr. 2. A alege una dintre aceste clase drept clasa bazelor orientate pozitiv inseamna a orienta spatiul liniar V. Deci se obtine formula (1) pentru repere la fel orientate si formula (2) pentru repere opus orientate.
31 Orientarea planului Impartirea in cele doua clase se face astfel: se xeaza o baza ortonormata oarecare (i, j) si e o alta baza ortonormata (i, j ). Se roteste i cu un anumit unghi α [0, π] pana cand acesta ajunge peste i. Daca rotatia pozitioneaza si vectorul j peste j, atunci asezam baza (i, j ) in clasa nr. 1. Daca nu, o punem in clasa nr. 2. A alege una dintre aceste clase drept clasa bazelor orientate pozitiv inseamna a orienta spatiul liniar V. Deci se obtine formula (1) pentru repere la fel orientate si formula (2) pentru repere opus orientate.
32 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Aplicatii Example Formulati si demonstrati teorema cosinusului intr-un triunghi oarecare, apoi aplicati-o pentru a obtine teorema medianei. Amintim ca, daca notam cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC, opuse varfurilor A, B, respectiv C, atunci teorema cosinusului arma: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Indicatii: a 2 = BC 2 = BA + AC 2 = BA 2 + AC 2 +2 < BA, AC >= b 2 + c 2 2 < AB, AC >= b 2 + c 2 2bc cos Â. Oana Constantinescu Lectia III
33 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Aplicatii Example Formulati si demonstrati teorema cosinusului intr-un triunghi oarecare, apoi aplicati-o pentru a obtine teorema medianei. Amintim ca, daca notam cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC, opuse varfurilor A, B, respectiv C, atunci teorema cosinusului arma: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Indicatii: a 2 = BC 2 = BA + AC 2 = BA 2 + AC 2 +2 < BA, AC >= b 2 + c 2 2 < AB, AC >= b 2 + c 2 2bc cos Â. Oana Constantinescu Lectia III
34 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Aplicatii Example Formulati si demonstrati teorema cosinusului intr-un triunghi oarecare, apoi aplicati-o pentru a obtine teorema medianei. Amintim ca, daca notam cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC, opuse varfurilor A, B, respectiv C, atunci teorema cosinusului arma: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Indicatii: a 2 = BC 2 = BA + AC 2 = BA 2 + AC 2 +2 < BA, AC >= b 2 + c 2 2 < AB, AC >= b 2 + c 2 2bc cos Â. Oana Constantinescu Lectia III
35 Aplicatii Notam cu D mijlocul laturii (BC) si cu m a lungimea medianei (AD). Atunci m 2 = ( 1 AB + AC ) 2 4m 2 = AB 2 + AC 2 a 2 a + 2 < AB, AC >. Folosind denitia produsului< AB, AC > in care se inlocuieste cos  din teorema cosinusului, se obtine 4m 2 a = 2(b 2 + c 2 ) a 2.
36 Aplicatii Example Fie B = (ī, j, k) o baza ortonormata in V. a) Sa se determine α R astfel incat vectorii ā = αī 3 j + 2 k si b = ī + 2 j α k sa e perpendiculari. b) Sa se determine unghiul dintre vectorii ā = 2ī 4 j + 4 k si b = 3ī + 2 j + 6 k. c) Sa se determine vectorul ū cu proprietatile unde ū ā, ū b, ū = 14, ( ū, j) > π 2, ā = 3ī + 2 j + 2 k, b = 18ī 22 j 5 k.
37 Aplicatii Indicatii: a) α = 6; b) cos( ā, b) = 5 ; c) Presupunem ca 21 ū = xī + y j + z k si se determina x, y, z din conditiile 3x + 2y + 2z = 0, 18x 22y 5z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 196, y < 0.
38 Aplicatii Example In raport cu reperul ortonormat pozitiv {O; i, j}, punctul A are coordonatele (1, 1). Cu ce unghi trebuie rotite axele de coordonate astfel incat A sa apartina abscisei noului reper {O; i, j }? Indicatii: presupunem ca noul reper este tot pozitiv. Fie α unghiul dintre i si i. Formula schimbarii de repere: { x y = (cos α)x + (sin α)y, = (sin α)x + (cos α)y. Punand conditiile y = 0, x = y = 1, se obtine sin α = cos α, deci α = π. Noile coordonate ale lui A vor (2, 0). 4
39 Aplicatii Example In raport cu reperul ortonormat pozitiv {O; i, j}, punctul A are coordonatele (1, 1). Cu ce unghi trebuie rotite axele de coordonate astfel incat A sa apartina abscisei noului reper {O; i, j }? Indicatii: presupunem ca noul reper este tot pozitiv. Fie α unghiul dintre i si i. Formula schimbarii de repere: { x y = (cos α)x + (sin α)y, = (sin α)x + (cos α)y. Punand conditiile y = 0, x = y = 1, se obtine sin α = cos α, deci α = π. Noile coordonate ale lui A vor (2, 0). 4
Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Algebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Lectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Dreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber
Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ
Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune
Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Vectori liberi-seminar 1
Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene
Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1
CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei
Cuprins. I Geometrie Analitică 9
Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predareînvăţare-evaluare
Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea
ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1
Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI
Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC
.Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu
GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...
Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.
POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai
NOŢIUNI INTRODUCTIVE
1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu
b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:
Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de
3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.
TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,
Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a