ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΕΤΑΡΤΗ : 35 π.μ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΕΤΑΡΤΗ : 35 π.μ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team"

Χθόνιος Αλεξανδρίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 18 5 16 1 : 35.

ΚΑΚΑΝΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΟΥΣΤΕΡΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΩΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΜΙΚΡΟΥΛΗΣ ΜΑΡΙΑ

1 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΤΑΡΤΗ : 35.μ (edit) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΝΙΚΟΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ ΣΗΦΗΣ ΒΟΣΚΑΚΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΓΚΡΙΜΠΑΒΙΩΤΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΚΑΝΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΟΥΣΤΕΡΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΩΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΜΙΚΡΟΥΛΗΣ ΜΑΡΙΑ ΠΑΠΑΔΟΜΑΝΩΛΑΚΗ ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΤΣΗΣ ΘΩΜΑΣ ΠΟΔΗΜΑΤΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΙΣΚΑΣ ΝΙΚΟΣ ΣΠΛΗΝΗΣ ΤΑΚΗΣ ΤΣΑΚΑΛΑΚΟΣ ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 3η έκδοση

2 Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των μελών της lisari team /14/1/blog-post_13.html 1η έκδοση: (συνεχής ανανέωση) Οι λύσεις διατίθεται αοκλειστικά αό το μαθηματικό blog

Πρόλογος Στο αρόν αρχείο εριλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων 16 στο μάθημα Μαθηματικά Προσανατολισμού θετικών Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής.

3 Πρόλογος Στο αρόν αρχείο εριλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων 16 στο μάθημα Μαθηματικά Προσανατολισμού θετικών Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής. Η αρουσίαση των λύσεων είναι λήρης και αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, ροκειμένου οι μαθητές να μορούν να μελετήσουν και να εεξεργαστούν εύκολα το αρχείο. Η εργασία αυτή εκονήθηκε αοκλειστικά αό τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα Μαθηματικών αό διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team. Προσάθησαν και τα κατάφεραν να δώσουν ρώτοι διαδικτυακά τις λήρεις λύσεις σε ένα αρχείο pdf για την διευκόλυνση μαθητών και καθηγητών!! Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και βελτιώσεις με στόχο μια ληρέστερη και ιο οιοτική αρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν αραλείψεις, λάθη ή αστοχίες ου ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει της ροσοχής μας, γεγονός αναόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών εριθωρίων. Θα ακολουθήσουν εόμενες εκδόσεις, όου η εν λόγω αρουσίαση θα βελτιωθεί, ίσως εμλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οοιαδήοτε σχόλια, αρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις εί των λύσεων είναι ευρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση Με εκτίμηση lisari teaμ

4 lisari team 1. Αντωνόουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "Κατεύθυνση" - Άργος). Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "ΔΙΑΤΑΞΗ" - Ν. Σμύρνη και Νίκαια) 3. Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο "ΒΕΛΑΩΡΑΣ" - Λιβαδειά Βοιωτίας) 4. Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο "Ευθύνη" - Ρέθυμνο) 5. Γιαννόουλος Μιχάλης ( Θεσσαλονίκη - Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή) 6. Γκριμαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο "Αστρολάβος" - Άρτα) 7. Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούολης) 8. Ζαμέλης Γιάννης (Φροντιστήρια "Πουκαμισάς" Γλυφάδας) 9. Ηλίας Ζωβοΐλης (Μαθηματικός - Χαϊδάρι) 1. Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο "Ώθηση" - Μαρούσι) 11. Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο "Παααναγιώτου Παααύλου" - Σέρρες) 1. Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού) 13. Καρδαμίτσης Σύρος (Πρότυο Λύκειο Αναβρύτων) 14. Κοάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων "19+" - Πολύγωνο) 15. Κουλούρης Ανδρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου) 16. Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο "Στόχος" - Περιστέρι) 17. Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο "Ρηγάκης" - Κοζάνη) 18. Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς) 19. Δημήτρης Μαδέμης (Φροντιστήριο "Πουκαμισάς" - Γλυφάδας). Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας) 1. Νικολόουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος). Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο "Φάσμα" - Αγρίνιο) 3. Πααδομανωλάκη Μαρία (Συνιδιοκτήτρια Πρότυου Κέντρου Μάθησης "ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ" - Ρέθυμνο) 4. Πααμικρούλης Δημήτρης (Εκαιδευτικός Οργανισμός "Ρόμβος") 5. Πάτσης Ανδρέας (Λευκάδα - Μαθηματικός) 6. Ποδηματάς Θωμάς ( Σουδαστήριο Μαθηματικών Θωμάς και Ρόζα Ποδηματά - Βόλος) 7. Ράτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου) 8. Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο "Μαχαράκης" - Θεσσαλονίκη) 9. Σκομρής Νίκος (Συγγραφέας 1ο Λύκειο Χαλκίδας) 3. Σλήνης Νίκος (Φροντιστήριο "ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ" - Ηράκλειο Κρήτης) 31. Σταυρόουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκαιδευτήρια Δούκα) 3. Σταυρόουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λεχαίου Κορινθίας) 33. Τρύφων Παύλος (1ο Εσερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου) 34. Τσακαλάκος Τάκης (συνταξιούχος αλλά ενεργός μαθηματικός) 35. Χαραλάμους Σταύρος (Θεσσαλονίκη - Μουσικό Λύκειο) 36. Χατζόουλος Μάκης (1ο ΓΕΛ Πετρούολης)

5 Γ Λυκείου lisari team / Σχολικό έτος ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΙΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ENNIA (9) ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Σχολικό βιβλίο, Θεώρημα σελ.6, υοερώτημα i Εειδή f () για κάθε (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε f () f ( ), για κάθε (α, ]. (1) Εειδή f () για κάθε (,β) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,β). Έτσι έχουμε: y f > f () f ( ), για κάθε [,β). () f( ) f < O a β Εομένως, λόγω των (1) και (), ισχύει: f () f ( ), για κάθε (α,β), ου σημαίνει ότι το f ( ) είναι μέγιστο της f στο (α,β) και άρα τοικό μέγιστο αυτής. A. Σχολικό βιβλίο, σελ.141 Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο εδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f () g(). 1

6 Γ Λυκείου Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g. A3. Σχολικό βιβλίο, σελ Θεώρημα Μέσης Τιμής Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και αραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) τότε υάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (α,β) τέτοιο, ώστε: f(β) f (α) f(ξ) β α Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Μέσης Τιμής f β f α Εφόσον υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε f ξ γεωμετρικά σημαίνει β α ότι υάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο M(ξ,f (ξ)) ώστε η εφατομένη της C f στο M να είναι αράλληλη της ευθείας ΑΒ. y M(ξ,f(ξ)) Β(β,f(β)) A(α,f(α)) Ο α ξ ξ β A4. (α) Λάθος (β) Σωστό (γ) Λάθος (δ) Σωστό (ε) Σωστό

,, γνησίως φθίνουσα στο, και αρουσιάζει Β.

7 Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Β B1. Για κάθε R έχουμε: f Ο ίνακας μεταβολών της f είναι ο ακόλουθος: 1 Συνεώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο (ολικό) ελάχιστο στο σημείο Ο(, ).,, γνησίως φθίνουσα στο, και αρουσιάζει Β. Για κάθε R έχουμε: Συνεώς έχουμε τον ακόλουθο ίνακα: f Άρα η f είναι κοίλη σε καθένα αό τα διαστήματα 3 3, και έχει σημεία καμής στα σημεία 3 3, 3 και 3 3, 3, κυρτή στο διάστημα A,f,B,f Β3. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f δεν έχει κατακόρυφη ασύμτωτη αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. Είσης: lim f lim lim 1 1 όμοια lim f 1 άρα η γραφική αράσταση της συνάρτησης f έχει οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία y = 1 στο και στο. 3

8 Γ Λυκείου Β4. Η f είναι άρτια, αφού f f για κάθε R και τέμνει τον άξονα στην αρχή των αξόνων. Είσης f για κάθε R, με την ισότητα να ισχύει για =. Άρα η γραφική αράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται ιο άνω αό τον άξονα εκτός αό το σημείο (, ). Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο αρακάτω σχήμα: 4

9 Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Γ Γ1. Γνωρίζουμε ότι: με την ισότητα να ισχύει για 1. Αν θέσουμε όου το e τότε γίνεται: ln 1 για κάθε, ln e e 1 e 1 e 1 με την ισότητα να ισχύει για e 1. Άρα η εξίσωση e 1 έχει μοναδική λύση την. Γ. Έχουμε: αφού e 1 για κάθε R. Όμως f e 1 f e 1 f e 1 οότε η f είναι συνεχής στο R άρα δεν μηδενίζεται στα διαστήματα,,, σταθερό ρόσημο κατά διαστήματα. Οότε: f Αν < και Αν < και f f Αν > και Αν > και f τότε f e 1 τότε f e 1 τότε f e 1 τότε f e 1 Και εειδή f() = όλες οι συνεχείς συναρτήσεις είναι: f e 1, R f e 1, R f f e 1, e 1, e 1, e 1, Γ3. Για κάθε R έχουμε: f e 1 άρα διατηρεί Εειδή e 1 e 1 το ρόσημο της f εξαρτάται αό το ρόσημο του. Είσης για κάθε R έχουμε: f 4 e e 4 e e 1 και εειδή η f είναι συνεχής στο η f είναι κυρτή στο R. 5

10 Γ Λυκείου Β τρόος Είναι Για είναι f e 1e f, οότε ζητάμε: e f e 1e e 1e e 1 Η τελευταία αληθεύει για κάθε, αφού 1 e 1 e και e e 1. Γ4. Προφανής λύση της εξίσωσης είναι η. Θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι g f 3 f, Dg R g f 3 f, R αφού η f είναι κυρτή στο R η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Ακόμα f < 3 f 3 f f 3 f g άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Έχουμε: g< ημ g ημ g f ημ 3 f ημ f 3 f Άρα μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η. 6

11 Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Δ Δ1. Έχουμε Ακόμα, θεωρούμε (f() f ''())ημ d = f()ημ d + f ''())ημ d = f()ημ d + f '()ημ - f '()συν d = f()ημ d + f '() ημ - f '() ημ -f ()συν f ()συν = f () f () = (1) - f ()συν f ()(-ημ) d = f() g() = f() = g() ημ ημ για κοντά στο με lim g() 1 και η f είναι συνεχής στο = ως αραγωγίσιμη, οότε Έτσι έχουμε, Συνεώς η (1) : Ειλέον έχουμε Άρα, lim f () f () lim f () lim [ημ g()] ημ1 άρα f() =. f() = f() - f() ημ g() ημ lim = lim = lim g() = 11 = 1 - f () = 1 Δ. α) Έστω ότι η f αρουσιάζει ακρότατο στο =. Εειδή D f το είναι εσωτερικό του εδίου ορισμού και αό θ.fermat : f '( ) = Eίναι οότε Άρα f () e f (f ()) e για κάθε f () f '() e 1 f '() f '(f ()) e για κάθε f ( ) f '( ) e 1 f '( ) f '(f ( )) e e =1 Όμως, f () = 1, άτοο. Άρα η f δεν αρουσιάζει ακρότατο. β) Αό Δα f () και αό συνέεια του θ.bolzano, η f θα διατηρεί ρόσημο (f () συνεχής), άρα f () > για κάθε ή f () < για κάθε. Όμως, f () = 1 >, οότε f () > για κάθε ου σημαίνει ότι η f είναι γν. αύξουσα. 7

12 Γ Λυκείου Δ3. Είναι Η f συνεχής στο f < f ( ) Ακόμα lim f() = ημ συν -1 ημ 1 f () f () f () - ημ συν -1 συν 1 κοντά στο lim lim + f() + f() ( ) f () κριτήριο αρεμβολής + ημ συν lim f () Δ4. Α τρόος: Θέτω Όμως 1 u ln du d με το «=» να μην ισχύει αντού. Εειδή η f συνεχής στο [, ] είναι : Β τρόος: Έχουμε: ln 1 e 1 ln1 ln ln e e f(ln) d f(u) du 1 για = 1u για = e u f ' f () f () f () f () f() d < d f() d < f ln 1 f f ln f Δ1 f ln f ln Όμως το f ln για e αίρνει τιμή f e, άρα δεν είναι αντού μηδέν, οότε e Ακόμα e 1 f ln d f ln οότε f 1 και για 1 αίρνει τιμή, άρα δεν είναι αντού μηδέν, e f ln 1 1 e d d 8

13 Γ Λυκείου Άρα e f ln e d d 1 1 e f ln e d ln 1 1 e f ln d. 1 e f ln d 1 9

Σχετικά έγγραφα

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Παρασκευή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Παρασκευή 0 05 6 :00 πµ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lsar team ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΓΚΡΙΜΠΑΒΙΩΤΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΚΑΝΟΣ ΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑ ΕΜΗΣ ΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΜΙΚΡΟΥΛΗΣ ΘΩΜΑΣ ΠΟ ΗΜΑΤΑΣ