f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 (i) Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 141 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. To πεδίο ορισμού της f είναι το R διότι + 1. Η f είναι παραγωγίσιμη, με f () = ( +1) ( +1) = ( +1) = ( +1). Iσχύουν : f () = για =. f () > για >. f () < για <. Άρα + f () + f() γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = με τιμή f()=. Β. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. f () = ( +1) ( +1) = (4 + +1) 8 ( +1) = = ( +1) 4 ( +1) 4 ( +1) 4 ( +1) 4

2 Το πρόσημο της f εξαρτάται από τον αριθμητή. Θέτουμε = ω. 3ω + ω 1 = Δ = 16 άρα έχει ρίζες τους αριθμούς ω= 1 3 και ω = 1. Αν 1 < ω < 1 3 3ω + ω 1 < Δηλαδή 1 < < 1 3 ή < 1 3 ή αν ( 1 3, 1 3 ) τότε <. Άρα f () >. Αν ω < 1 ή ω > 1 3 3ω + ω 1 > Δηλαδή αν > 1 3 ή (, 1 3 ) ή ( 1 3, + ) τότε >. Άρα f () <. Άρα η f είναι κυρτή στο διάστημα [ 1 3, 1 3 ] κοίλη στα διαστήματα (, 1 3 ] και [ 1 3, + ) Η f είναι συνεχής και δέχεται εφαπτομένη στα = 1 3 kai = 1 3. Αλλάζει κυρτότητα πριν και μετά από τα σημεία αυτά, άρα η f έχει σημεία καμπής τα ( 1 3, f ( 1 3 )) και ( 1 3, f ( 1 3 )). Β3. Η f είναι συνεχής στο R άρα δεν παρουσιάζει κατακόρυφες ασύμτωτες. Ελέγχουμε για οριζόντιες. lim f() = + lim f() = lim = lim lim = lim +1 = 1. = 1. Άρα η f έχει στο + οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=1. Άρα η f έχει στο - οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=1. Προφανώς δεν θα έχει πλάγιες ασύμτωτες.

3 Β4. ΘΕΜΑ Γ Γ1. Η εξίσωση 1 (1),, έχει προφανή λύση, αφού Θεωρούμε τη συνάρτηση Οπότε η (1) g() και g() 1. H g είναι παραγωγίσιμη στο Είναι (σύνθεση των παραγωγίσιμων Έχουμε g() 1,. ως άθροισμα των παραγωγίσιμων, ),, 1, άρα και συνεχής. g () ( 1) ( ) ( 1),.. g () ( 1) ή 1 1 ισχύει.

4 Έστω 1, ισχύει. Πίνακας προσήμου της g () : O Ο O + g () O + Πίνακας προσήμου της g () και μονοτονίας της g() : O g () O + g() O Ο.Ε. Είναι g () στο (,), g () στο (, ) και g () άρα η g παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο μόνο στο, το g(). Άρα το είναι μοναδική ρίζα της g(), άρα και μοναδική λύση της εξίσωσης (1). Γ. Έχουμε Έστω f () ( 1),. Γ1 f () f () ( 1) 1. Η συνάρτηση f στο διάστημα (,) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται σ αυτό. Άρα η f διατηρεί πρόσημο στο (,). Οπότε Αν f () στο (,), τότε στο διάστημα αυτό είναι f () ( 1) f () 1 f () 1 () Από Γ1 έχουμε ότι για, g γνησίως φθίνουσα, άρα Οπότε () f () 1 f () 1. Αν f () στο (,), τότε στο διάστημα αυτό είναι g() 1. f () ( 1) f () 1 f () 1 (3) Έχουμε για, Άρα 1. (3) f () 1.

5 Επειδή επιπλέον, f () έχουμε ή ή f () 1, για κάθε (,] f () 1, για κάθε (,] Αντίστοιχα έχουμε ή ή f () 1, για κάθε [, ) f () 1, για κάθε [, ) Τελικά συνδυάζοντας τα παραπάνω η f έχει έναν από τους παρακάτω τύπους: f () 1, f () 1, 1, f () 1, f () 1, 1, Γ3. f () 1, Η f είναι παραγωγίσιμή στο (αιτιολόγηση στο Γ1, αφού f () g() για κάθε ) άρα και συνεχής, με Η f είναι παραγωγίσιμη στο. f () ( 1) ως γινόμενο και άθροισμα παραγωγίσιμων, με f () [( 1)] ( 1) ( 1) 4 Είναι 1 1, που ισχύει για κάθε και 1 μόνο για. Επίσης 4 για κάθε και 4 μόνο για. Άρα f (), για κάθε (,) (, ) και η f είναι συνεχής στο άρα και στο, οπότε η f είναι κυρτή στο.

6 Γ4. Δίνεται η εξίσωση f(ημ 3) f ( ημ ) f ( 3) f (), (1) με [, ). Θεωρούμε συνάρτηση h() f ( 3) f (), με. Οπότε (1) h( ημ ) h(),(). Είναι h παραγωγίσιμη στο [, ) ως άθροισμα και σύνθεση παραγωγίσιμων, άρα και συνεχής. Έχουμε h () f ( 3) f (). Για είναι 3 και αφού η f είναι κυρτή στο (Γ3) η f είναι γνησίως αύξουσα στο άρα και στο [, ). Οπότε 3 f ( 3) f () h () για κάθε. Επομένως η h είναι γνησίως αύξουσα στο [, ), άρα και 1-1. Τότε () ημ. ΘΕΜΑ Δ Δ1. ( f ( ) f ''( ) )d ( f ( ) ) d ( f ''( ) ) d ( f ( ) ) d f '( ) ( f '( ) ) d ( f ( ) ) d f ( ) ( f ( ) ( )) d ( f ( ) ) d f ( ) f () ( f ( ) ) d f( ) f() (1) f( ) lim 1

7 Θεωρώ Άρα g ( ) f( ) με lim g ( ) 1 f () g( ) lim f ( ) 1 f () () Αφού f συνεχής στο. Από (1),() έχω f ( ) f ( ) f () g( ) lim lim lim g ( ) 1 Άρα f '() 1. Δ. Έστω ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο και αφού είναι παραγωγισίμη άρα από θεώρημα Frmat f '( ) f ( ) f ( f ( )) παραγωγίζοντας κατά μέλη αφού η σχέση είναι παραγωγίσιμη έχω f ( ) f '( ) 1 f '(f( )) f '( ) f ( ) f f f '( ) 1 '(f( )) '( ) 1 Άρα η f παρουσιάζει ακρότατο στο με f '() το οποίο είναι άτοπο αφού f '() 1. Αφού η f δεν παρουσιάζει ακρότατα άρα f '(), Επίσης f ' συνεχής στο άρα η f ' διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, οπότε f '(), ή f '(), Όμως f '() 1 άρα f '(), οπότε η f αύξουσα στο.

8 Δ4. Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο και f ( ) άρα lim f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 1 lim f( ) 1 lim f( ) Από Κριτήριο παρεμβολής έχουμε lim f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 1 lim f( ) 1 lim f( ) Από Κριτήριο παρεμβολής έχουμε lim f( ) Οπότε lim lim f ( ) f ( ) f ( ) Δ4. 1 f(ln ) d Θέτω ln u 1 d du καθώς 1 u u f(ln ) d f ( u ) du 1

9 f u f () f ( u) f ( ) f ( u) f ( u) Και η f δεν είναι παντού ίση με f ( ) f ( u) du f ( u) f (u) Η f δεν είναι παντού (αφού f () ) ( f ( u) ) du f ( u) du du f ( u) du f ( u) du Επιμέλεια απαντήσεων: Κατούδης Γιώργος, Κουντούπης Ηλίας, Παναγούλα Νατάσα, Τσαλιγόπουλος Μίλτος, Βαλιάδη Μαρία