ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. f (f )(x) x f (f )(x) x f (f )(x) (f ) (x)

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 4 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 A α) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 β) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 8-9 γ) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 δ) ) Α ) Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, οπότε και η σύνθεση και παραγωγίσιμη Επίσης ισχύει και επειδή,, ό o o Άρα η o είναι συνεχής συνάρτηση g o ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Roll στο διάστημα, ε) ) Α ) Πράγματι: Για κάθε ( ) ισχύει ( )() ( )() ( )() ( ) () ( ) (), ( ) ( )() Α α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β Αφού για κάθε, τότε για κάθε Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι D Θεωρούμε τη συνάρτηση g είναι H g είναι παραγωγίσιμη στο με g ln g για κάθε Σελίδα από

2 Παρατηρούμε ότι g, άρα g g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση για κάθε οπότε η g Επομένως από το Θ Frmat προκύπτει ότι: g ln ln Για είναι: Β Για να υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της ισοσκελές τρίγωνο με είναι ή 45 5 Εξετάζουμε αν η εξίσωση C που να σχηματίζει με τους άξονες, θα πρέπει η γωνία της εφαπτομένης με τον άξονα () 45, έχει μοναδική λύση για να Για κάθε έχουμε Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα με Για η ρίζα της γράφεται:, άρα το είναι Για το δεύτερο μέλος της είναι αριθμός αρνητικός, ενώ το πρώτο μέλος της είναι αριθμός θετικός άρα η εξίσωση είναι αδύνατη Οπότε η έχει μοναδική ρίζα το Εξετάζουμε αν η εξίσωση () 5, έχει μοναδική λύση για Σελίδα από

3 Για το δεύτερο μέλος της μέλος της είναι αριθμός θετικός, αφού () είναι αριθμός αρνητικός ή μηδέν, ενώ το πρώτο άρα η εξίσωση () είναι αδύνατη Β Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, έστω, με έχει Θεωρούμε τη συνάρτηση h, Η h είναι συνεχής στο h h ως πράξη συνεχών h 4 Άρα h h, hh άρα από το ΘBolzano υπάρχουν,, τέτοια ώστε h, h Θα αποδείξουμε ότι οι ρίζες αυτές είναι μοναδικές Έστω ότι η εξίσωση h και έχει τρείς πραγματικές ρίζες,, με Η h h h h είναι παραγωγίσιμη στο ως πράξη παραγωγίσιμων με Επομένως από το ΘRoll υπάρχουν,,, h,h, δηλαδή η εξίσωση h ρίζες Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί: τέτοια ώστε έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές και h Οπότε η εξίσωση Άρα η εξίσωση εξίσωση h έχει μοναδική ρίζα την h h έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, άρα ισοδύναμα και η, που είναι το ζητούμενο Σελίδα από

4 Β4 Η, και αφού αύξουσα στο είναι συνεχής στο, είναι διαδοχικές ρίζες της θα είναι, με ως πράξη συνεχών και αφού τα (από το Β), τότε διατηρεί πρόσημο στο για κάθε, άρα η, είναι γνησίως ΘΕΜΑ Γ t t (t) (t) t ΓΙσχύει: (t) (t) (t) (t) t t (t) (t) t t t t t c, c R (t) (t) (t) Για Άρα: t η τελευταία μας δίνει: c c c ( ) t t t t t c (t) (t) t t (t) (t) Γ Έχουμε: t t t t (t) Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της : t είναι γνησίως αύξουσα στο, t t t t t t (t) t t 4 t t t t t t t t t t 4 4 Είναι: t t t t t t t t t t ln (t) t ln t t Σελίδα 4 από

5 t t t t ln (t) t ln t t, Αν τότε ln, οπότε παρακάτω πίνακα μεταβολών (t) για κάθε t και έχουμε τον Άρα η συνάρτηση στο εσωτερικό του είναι κοίλη στο, αφού είναι συνεχής σ αυτό και (t) Αν τότε ln και έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών ln ln Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή στο, και κοίλη στο, ln Παρουσιάζει σημείο καμπής στο t και είναι το ln ln ln, ( ), Σελίδα 5 από

6 Γ α) Όχι Θα πρέπει να υπάρχει χρονική στιγμή t ώστε να ισχύει: t που είναι άτοπο Άρα η είδηση δεν θα t t ( ) t φτάσει ποτέ σε όλα τα άτομα β) Ο ρυθμός διάδοσης είναι η (t), οπότε για να μειώνεται πρέπει (t) ln Από το Γ έχουμε: (t) t Άρα ln t ρυθμός διάδοσης της είδησης θα αρχίσει να μειώνεται είναι η χρονική στιγμή που ο ΘΕΜΑ Δ Δ Για Για Έστω () y () () () () () () () () lim lim (*) Έχουμε: τυχαίος θετικός πραγματικός αριθμός ( θέτω ) (h) ( ) h () () ( ) (h) ( ) h lim lim lim h (h ) h h h h ( )( ) ( ) h (h) h (h) lim lim h (h ) h h (h ) h * ( ) (h) ( ) (h) ( ) lim lim lim h h h h h έ ό h h ( ) Άρα ( ) ( ) και επειδή τυχαίος θετικός πραγματικός αριθμός θα ισχύει: () () για κάθε Σελίδα 6 από

7 () Δ () () () ( ()) (ln ) () ln c () () ln Για () ln c c άρα () ln () Δ α) ln (), () με ln () ln και ln () ln Η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Άρα η στο είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, ) Επομένως παρουσιάζει τοπικό μέγιστο που είναι και ολικό με τιμή Επίσης ln ln () () () ln ln () και () Η κυρτότητα και τα σημεία καμπής φαίνονται στον παρακάτω πίνακα () Σελίδα 7 από

8 Άρα η, είναι κοίλη στο, και κυρτή στο Στο η μηδενίζεται και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημο Επομένως το σημείο, είναι σημείο καμπής β) lim () lim ln lim ( ) ( ) άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C ln ln lim () lim lim lim άρα η ευθεία DLH () ασύμπτωτη της C Σύνολο τιμών, η, η στο συνεχής και γνησίως αύξουσα άρα y είναι οριζόντια ( ) lim (), (), ( ) lim (), (), συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα Σύνολο τιμών (A) ( ) ( ), ln ln ln ln () Επειδή ( ), ( ) και η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στα Δ, Δ, έχουμε ότι η () έχει ακριβώς μία ρίζα σε καθένα από τα Δ, Δ που είναι θετικές και καμία δεν είναι αφού ( ) Άρα η έχει ακριβώς θετικές ρίζες γ) Η συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ) άρα: ln ln ( ) ( ) ln ln ln ln Για ln και έχουμε ln αποδείξουμε ότι: ln ln και για να ισχύει αρκεί να Σελίδα 8 από

9 Γνωρίζουμε (εφαρμογή σελ48) ότι: ln για κάθε Ισότητα ισχύει για,, Έχουμε άρα ln για κάθε ln ln ln δ) Η πληροί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα () (), τέτοιο ώστε ( ), () (4) () ( ), () Η κυρτή στο επομένως η γν αύξουσα άρα,, και, 4 και υπάρχει : () () () (4) () 4 ( ) ( ) () () () (4) () (4) () () άρα υπάρχει, 4 τέτοιο ώστε ε) Αρκεί να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln ln ln ln ln ln () ln Αν ln τότε ln ( ) άρα η εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα, επομένως οι γραφικές παρατάσεις έχουν ένα κοινό σημείο Αν ln τότε ln ( ) και ln ( ) άρα η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες, επομένως οι γραφικές παρατάσεις έχουν δύο κοινά σημεία Σελίδα 9 από

10 Αν ln τότε ln ( ) άρα η εξίσωση έχει μια ακριβώς ρίζα, επομένως οι γραφικές παρατάσεις έχουν ένα κοινό σημείο Αν ln τότε ln (A) άρα η εξίσωση δεν έχει καμία ρίζα, επομένως οι γραφικές παρατάσεις δεν έχουν κοινά σημεία Σελίδα από

11 Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: Το Θέμα Β επιμελήθηκε ο Παντερής Ανδρέας Μαθηματικός-ΜSc του ου ΓΕΛ Ηρακλείου Κρήτης Το Θέμα Γ επιμελήθηκε ο Κωνσταντόπουλος Λεωνίδας Μαθηματικός-ΜSc του ου& 9ου Γυμνασίου Πάτρας Το Θέμα Δ επιμελήθηκε ο Ρουσσάλης Ηλίας Μαθηματικός του Γυμνασίου & Λυκείου Λεωνιδίου Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο Σελίδα από