Fizica starii solide II

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1 zca sta sold II I acst cus vom cocta asua tasotulu lctolo matal cstal. oml d tasot sau ctc zta dlasaa odoata a utatolo d saca ca asus la alcaa uu cam lctc coduct lctca la alcaa uu cam magtc ctul Hall sau a uu gadt d tmatua ctul Sbc. oat omatl lgat d tasotul uu sstm d sac lctc s gassc ucta d dstbut t ca zta obabltata ca o atcula cu vctoul d uda sa ocu ozta la momtul t. D ucta d dstbut s ot obt mam mdat cum a cutul lctc mobltata tc. Paa acum la cusul d zca sta codsat s-a olost ucta m-dac x[ / ] ca zta ucta d dstbut a utatolo d saca cu ga clbu cu mdul cojuato. Acasta uct d dstbut u st otvta tu studul uu sstm d utato d saca zta camulo xt sau a gadtulu d tmatua doac acst sstm u ma st clbu. I gal staa d clbu ucta d dstbut t dd u doa d c s d coodoatl satal s tm modcal utad datoat uu gadt satal al tmatu/dstbut d lcto ca duc la vaata umaulu d atcul d lmtul d volum d juul ozt. I acst caz vaata tm a uct d dstbut a lctolo cu vtza v cstal st data d

2 asot lctc. cuata ctca oltzma t t d dt t v t t acclat zta camulo xt ca duc la csta mulsulu atcullo cu d od d la valoaa. I zta u ot alcat d / dt d / dt s vaata tm a uct d dstbut st data d t t d dt t t Daca alcam smulta u cam lctc s uul magtc v. absobt otca oza d mact tc. ca duc la vaata tm a umaulu d utato datota ocslo d ga s comba. I acst caz d dt G t R t 4 4 mastlo/coclo cu oo mutatl sau dctlo taua cstala ca duc la vaata umaulu d atcul ca au u aumt. ad cot d cul Paul ca l satsac stal lctoc cuatc vaata umaulu d lcto staa/cu vcto d uda uma mastlo staa ' duc la o vaat a uct d dstbut d dt. 5 t c I absta ocslo d mast s a ga/comba d utato d dt d d v t dt dt t 6 doac umaul atcullo ca umaza o aumta tacto satul azlo st cosvat.

3 asot lctc. cuata ctca oltzma Obsvat: tactoa u atcul satul azlo zta uu cam lctc x s tataa smclasca oma st: voluta ctulu uu act d ud cuatc oat dtmata d tactoa u atcul clasc cosuzatoa st data d omull d gua d data. I zta coclo ucta d dstbut d clbu s gasst d cuata ctca sau cuata d tasot oltzma t v t c. 7 I atcula sta statoaa cad ucta d dstbut st ddta d tm / t s zta doa a ot Lotz oltzma dv v cuata ctca v v t c. 8 Ptu a gas ucta d dstbut t d cuata oltzma st csa sa cuoastm xlct tmul d coc d ata data. Acasta st o oblma dcla ca oat smlcata toduca tmulu d laxa ca dsc va la clbu a uct d dstbut cad actua camulo xt st tuta:

4 asot lctc. cuata ctca oltzma 4 t c 9 sau t x[ t / ]. mul d laxa st dc tvalul ca abata uct d dstbut d la valoaa la clbu scad d o dua c camul xt sut datat. Itoduca tmulu d laxa st osbla daca ocsl d coc sut lastc ga utatolo d saca u s modca la mast cocl sut ddt u xsta tta a stalo lctoc cocl sut stata tmul d coc s oat glja camul xt u modca sctul gtc al lctolo d cstal; acasta codt tzc d xmlu camu magtc ts ca a duc la cuatzaa vllo gtc al lctoulu. Natua cuatca a lctolo st aata doa tmul d coc va cul Paul ca l satsac stal lctoc cuatc. Psuuad ca sul lctoulu u s modca uma mast o lua cosda dtalata a umaulu d lcto staa/cu vcto d uda s a clo staa ' coduc la tmul d coc t c P ' '[ ] P ' [ ' ] ' '

5 asot lctc. cuata ctca oltzma 5 ud P ' st obabltata d tazt lctoca utata d tm d staa staa '. S-a cosdat ca mastl d staa ocuata cu obabltata staa ' lba [cu obabltata ' ] duc la dscsta uct d dstbut cad mastl d staa ' ocuata cu obabltata ' staa lba [cu obabltata ] duc la csta uct d dstbut. La clbu P ' '[ ] P ' [ ']. Cosdam doa uct d dstbut ca ot aoxmat ca tubat al dc ca ot xmat ca cu d χ << d ud χ st o uct vctoala cuoscuta acst momt a om scc tu dt ocs d mast. I acst codt tmul d coc dv ' [ ] [ ' ] P ' [ ' ] t c ' ' [ ] [ ' ] 4 P ' [ ' ][ χ χ ' ' ] ' daca s t doa tm la s daca s olosst dttata d d / / [ ] [ ]. 5 I acst caz ' χ ' ' P ' 6 t c ' χ

6 asot lctc. cuata ctca oltzma 6 sau / P ' ' χ / χ tu coc lastc ca. Ac ' χ ' sut octl lu ' vctoul χ. Calculul tmulu d laxa s oat ctua tu dt mcasm d mast ddta d tmatua s g a acstu aamtu utad gal xmata ca ' χ A 7 ud A st u coct ddt d g s st scc cau t d coc: / tu coc cu oo acustc mtal / tu aclas mcasm da smcoducto / tu coc cu oo otc smcoducto ola la tmatu dcat tu coc cu mutat ut mtal / tu coc cu mutat ozat smcoducto. Daca ma mult mcasm d mast coxsta. 8 Coductvtata lctca D la cusul d lctctat stm ca otatl d tasot al uu matal macoscoc omog cu lugm L s a tasvsala A sut caactzat d zstvtat ρ sau coductvtat σ dtmat d masuato d zstta R sau coductvtat G astl cat cl ut tu tsu alcat V mc cutul I st ootoal cu V lga Om: V RI sau I GV cu R ρl / A sau G σa/ L.

7 asot lctc. cuata ctca oltzma 7 La alcaa uu cam lctc dcta x x dv V 9 dx L lcto au o msca alatoa cu o tdta d dlasa ta dcta camulu lctc alcat ota asua uu lcto d v d μx cu x s vtza md avad xsa x μ mobltata lctolo. Acst t d msca st umt dt vtza md d umta vtza d dt. Smul mus dta mobltat dca atul ca dlasaa lctolo st ousa dct camulu lctc alcat. I mscaa d dt a lctolo cu dstat dstata cutulu dcta x j x I / A st data d j x v μ σ σ μ d x x I zta uu gadt d dstat a lctolo datoat doa uom ca duc la u gadt a cvas-vlulu m aa o cotbut a duz la dstata d cut ca ao d clbu s la tmatua costata st j x d / σ dx astl cat dstata totala d cut dv j cu d μ x D dx x D coctul d duz. μ Smla zta uu gadt d tmatua dcta x avm o cotbut adtoala la cut datoata coctulu Sbc : j x Sσ d dx ud S st coctul Sbc.

8 asot lctc. cuata ctca oltzma 8 I acst cus vom cca sa gasm ddta coductvtat sau a zstvtat d tmatua tu dvs tu d matal mtal smcoducto matal u mucat tc.. I acst l utm xtag omat ds dvs matal d masuato lctc acut la dt tmatu. I gal coductvtata lctca a uu cstal st caactzata d u tso σˆ : j σˆ 4 sau comot μ ν x y z j μ σ μν ν. 5 ν It-u sold zoto coductvtata lctca st u aamtu scala s j σ. P d alta at tu dstata cutulu lctc dta ca j v cu coctata lctolo ca atca la coduct s gasst stmad stal lctoc ocuat utat d volum: j V v v V V V π v d 4 σ π v d 6 I cuata 6 suma dua umaul cuatc d s σ ca a doua valo s sus s jos aduc u acto a suma dua vcto d ma zoa llou s oat tasoma t-o tgala avad vd ca t-u cstal t cu volum V volumul satul xsta o sgua sta msa vz cusul d sold. Rzultatul al 6 s gasst obsvad ca ucta d dstbut la clbu d u aduc c o cotbut la suma valol oztv s gatv al lu d xsa lu j doac ca s st o uct aa d tm c v st o uct maa d. d π /V mul d tubat a uct d dstbut d clbu ca tv xsa dstat d cut 6 s dtma d cuata ctca oltzma. I atcula codt statoa tu ca / t daca u xsta gadt d tmatua sau dstat d utato d saca dc daca s s alca doa u cam lctc cuata ctca oltzma 7 s oat sc ca

9 asot lctc. cuata ctca oltzma 9. 7 Al dola tm oat gljat tu camu lctc mc ud doa ctl la sut luat cosda caz ca coductvtata lctca st ddta d camul lctc. Doac dd doa d dc zulta d d cuata d ma sus d d v d d d 8 astl cat tsoul coductvtat lctc s oat xma ca d σ μν v μ v ν d. 9 4π d I cstal zoto tu u cam lctc alcat dcta x coductvtata st scalaa: d v σ σ xx x d. 4π d Ptu suat zo-gtc sc ud / m v / m cu m masa μ μ ctva a lctoulu s coodoat sc cu θ ugul ola s ϕ cl azmutal avm x sθ cosϕ y sθ sϕ z cosθ d d sθdθdϕ s d π π max 4 σ σ xx d s θdθ cos ϕdϕ 4π m d π m m d d 4 d. I cuata d ma sus am olost atul ca π cos π ϕd ϕ cos ϕ dϕ π π s θdθ π π s θdcosθ cos θ dcosθ x dx 4.

10 asot lctc. cuata ctca oltzma Doac 4 / / d / d m m d / 5 s tu ca tmul d laxa dd d g astl cat mda sa statstca s dst ca d / d d d / d d coductvtata lctca dv σ. m I am olost atul ca tu mtal la clbu coctata d lcto s sc V σ m π V / V π x[ / d / ] m D d π d d / / m d π x[ / / d / d d ] / d 4 ud π d D d dstata d sta st s tu suat zo-gtc sc D π cost ds / m 4π / vz cusul d sold. Rlat smla s obt tu toat axl cal al uu cstal cu suat zo-gtc ltc. Rlata t coductvtata lctca s mobltat aoxmata tmulu d laxa st dc σ μ adca μ. 5 m I cstal azoto mobltata s coductvtata lctca sut tso.

11 Imasta utatolo d saca mutat Imasta utatolo d saca lcto sau golu mutat st lastca adca ' tu ca masa ctva a lctolo sau golulo m st mult ma mca dcat masa mutatlo M o/atom d mutat sut mult ma ut mobl dcat utato d saca lb astl cat ot cosdat statc M Datota aoxmata tmulu d laxa st dl justcata. Vom cosda tmul d laxa codtl ca s oat tc d la suma ma zoa llou adca umaza: [ V /π ] d vz omula 6 d catolul cdt s dscutl ca V ' χ P ' d ' π χ I cotua suu ca ottalul tubato al oulu d mutat oat aoxmat ca sc-smtc astl cat ot xma obabltata d mast cstal utata d tm t-u odus d obabltat: P ' P ' P θ ud P ' st obabltata adala d mast a lctolo sau golulo s P θ st obabltata ugulaa ca dd d ugul θ t s '. Ptu mastl lastc cosdam P ' π δ ' astl cat

12 Imasta utatolo d saca mutat π P ' d' δ ' d' adca masta toat stal st u vmt ct. Ptu a calcula tmul d laxa algm vctoul ca axa olaa satul ' ca vcto vaabl. Atuc ' a d' ' sθ dθdϕ ' dω ' 4 cu dω ' sθdθdϕ ugul sold dcta lu '. ϕ β χ θ Cosdad gomta d gua d data avm galtata cos cosθ cos β sθ s β cosϕ 5 astl cat ' χ χ ' cos cos β ' cosθ ta β sθ cosϕ 6 s doac π cosϕdϕ tmul d laxa s oat xma ca π ' πv d' dθ P θ sθ ' V P θ cosθ dω ' π δ ' cosθ πv P θ cosθ sθdθ 7 Imasta uo atcul ca uma coc s abat sub dt ugu d la dcta d msca tala s oat caactza sctua dtala d mast σ θ. atcul dvat cu ugul θ ugul sold dω σ θ dω 8. atcul cdt omal utata d a aclas tm

13 Imasta utatolo d saca mutat Psuum ca cstalul cu volum V xsta u ctu d mast s u uma V d lcto st dstata lctolo ca s msca toat dctl cu vtza v. luxul d lcto ca lovst acst ctu d mast utata d tm s st Vv astl cat umaul total d lcto mastat utata d tm sub ugul θ lmtul d ug sold dω st Vv σ θ dω. Daca xsta N ct d mast ddt utata d volum a cstalulu umaul total d lcto mastat utata d tm sub ugul θ lmtul d ug sold d Ω st N V v σ θ dω. 9 Doac acst uma oat xmat s ca V P θ dω obtm π Nv σ θ cosθ dω πn v σ θ cosθ sθdθ Itoducad sctua cac d tasot σ c π σ θ cosθ sθdθ tmul d laxa a oma N v σ c I cazul tact d t Coulomb t lcto s mutatl ozat tgala dua θ d xsa sctu cac d tasot st dvgta d uct d vd matmatc tu θ tu ca ottalul Coulomb dscst slab cu dstata s σ. D uct d vd xmtal sa sctua cac d tasot st totdaua ta! D acst motv gal tgala s ac d la θ m la π ud θ m st dtmat d atculatatl oblm studat. c

14 Imasta utatolo d saca mutat 4 Imasta mutat ozat tata clasca Io d mutat uma N caza juul lo u cam lctc sub actua caua utato d saca msca s ctul d mast s abat d la dcta tala. Abata st cu atat ma ma cu cat vtza utatolo d saca st ma mca s dcta d msca st ma aoata d mutata ozata. θ - b b lcto ol Daca modlam utato d saca ca atcul clasc camul Coulomba al olo d mutat d saca ottala d tactu st Z lasat t-u mdu cu mtvtat latva ε ga Z V ± 4πε ε ud smul gatv oztv cosud lctolo golulo. Notad cu b dstata mma t o s utatoul d saca s cu θ ugul d mast t dcta tala s ca ala a utatoulu d saca d calculul mast cam Coulomba vz box stm ca tactoa utatolo d saca cu masa ctva m s vtza tala v st bolca cu b Z 4πε ε mv θ cot 4 Dmostata lat 4 Daca ctul d mast ama mobl mulsul s ga ctca a lctoulu cdt ama scmbat: mv cu v modulul vtz atcul cdt.

15 Imasta utatolo d saca mutat 5 D gomta d mast ztata gua d ma sus otad Δ obtm Δ mvs θ / 5 Notad cu φ ugul t Δ s ota Z 4πε ε t lcto s ctul d mast la u aumt momt aamtu c vaaza t π θ / tu atcula cdta la dstata ma s π θ / tu atcula mastata la dstata ma avm Δ dt 6 adca doac comota dcta Δ st cosφ π θ / dt mv s θ / cosφdt cosφ dφ 7 dφ π θ / ad cot d cosvaa mulsulu ugula dφ dφ mvb la ± s m la t adca m mvb obtm dt dt L mv la mast ca a valoaa Z mvs θ / 4πε ε π θ / Z cosφ dφ sφ vb 4πε ε vb π θ / π θ / π θ / Z cos θ / πε ε vb 8 D acasta xs zulta b Z 4πε ε mv θ cot

16 Imasta utatolo d saca mutat 6 I calculul tmulu d laxa s cosda valoaa mdata dua ugul θ a sctu dtal d mast σ. Datota smt axal ata d ctul d mast ztata gua d ma jos utato d saca tu ca ugul d mast vaaza d la θ la dstata t b s b db. θ dθ s ala ugul sold dω π sθdθ s sut cdt la o It-u cstal cu volum V s coctat d utato d saca umaul total d atcul dvat utat d tm ugul sold d Ω st gal cu luxul d atcul cdt lul d a ds πb db astl cat s a db tu ca d θ > cosud la db < s vc-vsa. atcul dvat cu ugulθ ugul sold dω VvdS σ θ dω πb db. atcul cdt omal utata d a aclas tm Vv 9 Doac Z db dθ 8πε ε mv s θ / avm πb db b db σ θ Z dω sθdθ 8πεε mv s 4 θ /

17 Imasta utatolo d saca mutat 7 xs cuoscuta s ca actoul lu Rutod obtuta tal la masta atcullo ucll lmtlo atomc. I omula sctu cac d tasot σ c π σ θ cosθ sθdθ tgala dv dvgta daca lmta oaa d tga st alasa θ motv tu ca acasta lmta s alg ca d θ m ug d mast c cosud la u b max ca s dtma olosd atul ca tu o d mutat cu coctata N dstbut uom cstal dstata md t o st / N. Cosdad ca sa d actu a cau ctu d mast oat lmtata la jumatat d dstata dt dsc b / max / N astl cat θ cot m 4πεε mv b max Z πε Z ε mv / N Doac θ m cosθ sθ dθ 4 s θ / θ m θ θ θ cos s dθ 8 4 s θ / θ m θ cos θ θ d 4 l s θ s 4s π π π m xm zultatul uct d s tu ca s oat s gatv! obtm σ c π Z π σ θ cosθ sθdθ 8π θm 8πε ε mv Z πε ε mv l 8π / ε ε mv Z N l s θ m / 4 s dc 8πm ε ε v 5 Nv σ c 4 πεε mv Z N l / Z N

18 Imasta utatolo d saca mutat 8 Acasta xs a tmulu d laxa st cuoscuta s ca omula Cowll-Wsso. Ptu suat zogtc sc tu ca v / m avm 9/ / / πm ε ε 6 4 4πεε Z N l / Z N Ptu ca logatmul d xsa d ma sus vaaza lt cu ga obtm / / A A 7 ultma galtat d satsacuta doac actoul ddt d g A dd oat slab d tmatua ddta d a mas ctv a utatolo d saca. xsa tmulu d laxa dca atul ca masta mutatl ozat st u ocs c duaza cu atat ma mult cu cat ga utatolo d saca st ma ma. bu macat ca xsa tmulu d laxa obtuta ma sus u st valabla tu g mc doac daca l x x s m / / 8 πn mul d laxa la masta atom mutatlo ut Imasta atom mutatlo ut st u ocs motat la tmatu joas cad mutatl sut doa atal ozat. Acst mcasm d mast s oat alza coc lastca dcta scmbul dt lctoul cdt cu u lcto al atomulu d mutat. Calculul tmulu d laxa s scal calculul sctu cac d tasot st dcl d obtut acst caz da utm stma tmul d laxa d masta lctolo lt atomul d dog. S obt astl omula gsoy m m cost. 9 N a 8πε ε N N ud st coctata atomlo d mutat ut s a 4πε ε m st aza o ctva. /

19 Imasta utatolo d saca mutat 9 Imast mutat ozat tata cuatca Psuum ca tacta lastca/hamltoaul d tact H t lcto cu masa ctva m s mutatl ozat s oat xma t-u ottal Coulomb caat: Z x V 4πε ε ud / st lugma d caa adca dstata aa la ca ottalul scad d o. Ptu a ala tmul d laxa tbu sa gasm ta obabltata d tazt datota mast o mutat ozata π π P ' ' H δ ' ' V δ ' ca xma cosvaa g la masta lastca ucta δ. I s-a suus ca sul lctolo u s modca uma mast caz ca s ' zta staa cuatca a uu lcto cu vcto d uda s sctv '. Ptu mo cuatcaa a doua t doua sta uatcula cu aclas s lmtul d matc al ocau oato Oˆ ztaa coguatlo st O ˆ ψ ˆ ˆ d O V * ' ' O ψ d x O ud s-au cosdat uct d t uda laa ψ V x cu ' s s-a otat cu O V x Oˆ d tasomata ou a oatoulu Oˆ. / I cazul ottalulu Coulomba caat ' V ˆ V V ' a daca θ st ugul ola t s obtm V V Z 4πε ε V Z V d 4πε ε V π x Z d 4πε ε V Z x d ε ε V cosθ sθdθdϕd

20 Imasta utatolo d saca mutat Obsvat xsa a lmtulu d matc al uu oato oaca O ˆ oat obtuta s ztaa umlo d ocua a acstu oato: Oˆ ˆ O 4 ' O c' c ' c c c c ud s sut oato d ala s sctv ca a uu mo cu vctoul d ua. Acasta zta alcata ottalulu Coulomba caat a ca zultat ' V ˆ V 5 ' Vtcs tcs Vt ' cs tcs V ' s t s t daca stal s ' sut dtcat cu stal uatcula s sctv ca umaul lctolo st xlct dcat. ' I cazul ca coctata ctlo d mast ozat st s acsta oduc vmt d mast ddt obabltata totala d mast s multst cu umaul ctlo d mast d cstal gal cu N V s avm N ' χ π ' χ NV P ' VN V ' ' χ ' δ χ ' 6 cad d la suma la tgala algad vcto s χ ca cusul cdt cu θ ugul t s s tad cot d atul ca π dϕ π obtm ' ' 4 ' π N V V max π Z ' cos s d ' m V θ θ θδ π ε ε [ ' ] 7 d' Ptu o lat d dss aabolca: / m cu ' 'cosθ ' s olosd galtata δ ax a δ x adca δ[ / m ' ] m / δ '

21 Imasta utatolo d saca mutat mn 4π Z ε ε π [ cosθ ] cosθ sθdθ 8 Scmbad vaabla cosθ x avm mn 4π Z ε ε m xdx [m / x ] 4 Z N η 9 9 / / π mε ε ud x η dx 4 x / η st ucta oos-hg cu η 8m /. Doac uma tga at obtm xdx x dx x η l / / x x η x η x / η x / η η η l η η 4 zulta ca gal tu η >> codt satsacuta majotata cazulo d ts η lη st o uct cu vaat lta cu ga. mul d laxa dat d omula oos-hg 9 / / π mε ε 4 4 Z N η a astl o ddta a tmulu d laxa d g smlaa cu ca d cazul clasc: / 4 A

22 Imasta utatolo d saca mutat P d alta at la g mc daca η << xdx η η 44 / η s / 45 A xs ca st d asma cocodata cu zultatul clasc. atul ca s-a obtut acas ddta d g cazul clasc s cuatc s datoaza atulu ca tactua d t Coulomb a aza luga d actu astl cat aoxmata clasca oat justcata. Acsta u st sa cazul alt tu d mast asa cum vom vda catoll ca umaza.

23 Imasta lctolo oo acustc cstal ola Itactua lcto-oo cstal ola P oo tlgm cvasatcull/cuatl osclatlo tl cstal comus d o ucl cojuat doa d lcto d valta d vll gtc oa. Cstall ola sut cl cu lgatu covalt sau d t va d Waals ca u xsta dol mat asocat atomlo dt d baza. I acst caz talt mtal sau u smcoducto taua cstala st omata d o cu saca oztva lcto d coduct cu saca gatva d vll gtc suoa mscadu-s cvaslb matal doac sut ma slab lgat d ucl dcat lcto d valta. It-u cstal costad dt-u uma N d o cu saca oztva cu mas stuat ozt R..N cojuat d s tactu cu N lcto d coduct cu mas m s lasat oztl.. N Hamltoaul total st l l M s H l o V l V o V lo U l j U o R Rβ V R m M β j j β ud m do tm zta gl ctc al sstmulu d lcto s o umato do tactl lcto-lcto s o-o tactua masta lctooo d dscsa d tmul H V R Doac dlasal olo d oztl d clbu R sut mc astl cat R u R cu u << R utm dzvolta s aylo ottalul d tact: V R H V R u R Pmul tm d ata data s clud sub oma d g ottala Hamltoaul sstmulu d lcto aoxmata adabatca s da ast bzlo d g datota

24 Imasta lctolo oo odctat. I ocsul d mast a lctolo oo tv doa tmul al dola d ata data. I aoxmata oulu gd modlul Nodm s suu ca tacta lcto-oo u dd d ozta oulu: Hamltoaul tact dv V R V R astl cat V R H u 4 R Doac V R st o uct odca s oat dscomu s ou: t R t V R V x[ t ] 5 ud V t st tasomata ou a ottalulu d tact. Ptu u cstal d N o cu acas masa M s cu s atom baza dlasal omal cosuzad osclatlo cu cvt sut u A x R 6 ud st dcl d olaza st vctoul d uda al oolo s A s sut amltuda s dcta d osclat ua logtudala s doua tasvsal a modulu ooc dxat d. I acst caz H Vt t x[ t R ] A x R 7 t ad sama d atul ca ma zoa llou avm x[ N t R ] δ t 8 obtm umatoaa xs tu Hamltoaul d tactu lcto-oo: H N V A x N V A x 9

25 Imasta lctolo oo Dmostata lat 8 Ptu t s ca st u vcto d ma zoa llou cu comot s π / N a dcta xyz ca avm N clul s um tg s tu vcto d taua dcta R m a m a m a cu m tg N π m x π x π N N x sma x m N m N N x π / N / N δ δ s I cotua cosdam ca s aa acum masta osclatl tl a uu sgu lcto ozta cu vcto d uda tal s vcto d uda ' uma mast astl cat sul lctoulu sa u s modc ca zultat al mast. I acst caz suma dua d 9 s locust cu oatoul ˆ O x ' x c' c ' cuatcaa a doua ud c s c sut oato d ca s sctv d ala a lctolo. I lus s locust amltuda osclatlo omal cu oatoul ˆ A aˆ aˆ NM xmat uct d oato d ca s ala a oolo. Doac umaul oolo staa tala s ala a sstmulu lctooo s modca dua cum vom vda cotua st csaa xmaa oatolo uct d oato d ca s ala. Justcaa lat Amltudl osclatlo omal d tul u A x R u dscu dlasa al cstal t; doa suau d ud la lctat d magl cstalulu duc la dlasa al. D xmlu o solut oat

26 Imasta lctolo oo 4 ] x x [ * * R R u A A Daca s locusc s cu oato d ala s ca a osclatlo tl cu A * A vcto d uda s olaza s suum ca obtm * ˆ ˆ x ] x ˆ x ˆ [ ˆ R R R a a NM a a NM u 4 Cu acst substtut xsa Hamltoaul d tact lcto-oo dv c c a a V M N H ' ' x ' 5 Acasta omula s oat smlca tu uct loc ψ ca satsac lata x R R ψ ψ doac uma d vaabl clula lmtaa astl cat s uma suma dua toat clull lmta d volum Ω olosd lata 8 obtm c R c Ω Ω c c c c c c c c d N d d R R x x x ' x x x ' * ' ' * ' * ' ψ ψ δ ψ ψ ψ ψ 6 D acasta xs zulta ca x ' doa daca '. Rzultat smla tu aata ca tactua lcto-oo a loc cu cosvaa cvasmulsulu total: x ± ' 7 smul oztv gatv cosuzad ocsulu d ala/absobt ca/ms a uu oo cu vcto d uda uma mast. I uma mast oo s ga s cosva:

27 Imasta lctolo oo 5 ' ± 8 Daca u lmtam la ma zoa llou cosvaa cvas-mulsulu s sc ' ± K 9 cu K u vcto al tl coc xs c dsc alaa sau caa uu oo smulta cu lxa agg magl m zo llou ultmul ocs mlcad tasmsa u at a cvas-mulsulu tg tl cstal. Acst t d ocs s umsc U Umla sau d astua cad cl ca lga d cosva st 7 sut ocs N omal. I al tactua lcto-oo cu ala d oo smla s tu ocsul cu ca d oo s oat xma Hamltoaul H a a c c ud lmtul d matc st N V x M actoul ca s aulaza tu osclat tasvsal aata ca tactua lcto-oo a loc doa tu osclat/oo logtudal. I dduca Hamltoaulu H u s-a tut cot d tactua dt lcto ca caaza tacta lcto-oo. Ptu a t cot d acst ct ca aa scal mtal ud umaul lcolo d coduct st ma aoxmam caaa cu u ottal xto statc s xmam ctul acsta toduca uu lmt d matc al tactu ctv ε ud ε st ucta dlctca statca. Hamltoaul tactu caat dv H a a c c

28 Imasta lctolo oo 6 astl cat Hamltoaul total al sstmulu d lcto s oo tactu oat scs sub oma uu Hamltoa ölc H c c a a a a c c 4 ca mul s al dola tm d ata data dscu u sstm d lcto s sctv oo lb cuatcaa a doua. Calculul mtvtat lctc ε Daca t-u uct al uu sstm d lcto lb xsta o omogtat dstbuta sac sulus d saca oztva lcto td sa s aglomz acasta gu s caaza astl luta sac sulmta stabld utaltata lctca juul omogtat. caaa st statca ca cazul ostu daca saca oztva st xa sau damca daca st mobla. Daca saca oztva uctuala Q s cosda oga sstmulu d coodoat u lcto la dstata ma smt atat saca Q cat s saca d olaza dusa δ cu δ vaata coctat lctolo datoata sac Q. I cazul mtallo lata dt coctata lctolo s ga m ddusa la / / cusul d sold: m /π st valabla local ga m utad vaa satal datota toduc sac oztv; ma cs s modca cu V ultmul aamtu d obtut d cuata Posso V ε [ Qδ δ ]. 5 Daca δ st coctata lctolo uma dstbu acstoa d coctata lo absta sac Q s daca otam cu V ga m zta Q d valoaa acstu aamtu absta Q astl cat V << δ [ ] V / V. 6 Cu acasta valoa a δ cuata Posso

29 Imasta lctolo oo 7 Qδ V 7 ε ε s zolva uso tcad la tasomata ou cu ajutoul latlo V V x δ x 8 Soluta st Q Q V 9 ε ε ε ud st aza d caa omas-m ca c cosud uu ottal ε Coulomb caat vz catolul cdt Q x V 4πε Altatv utm caactza caaa cu ucta dlctca ε ca st o masua a slab ottalulu sac xt. Daca V V V / ε avm Q / ε absta caa s zta ε ε ε ultma galtat avad loc tu u sstm d lcto utc dgat cu mtal ma ca Ptu a calcula lmtul d matc al tactu caat dt lcto s oo logtudal utm uta la dcl doac cosdam doa oo logtudal s scm s. Daca tactua dt lcto cu saca s oo t-u cstal cu o d saca Z aszat uctl tl avas st u Coulombaa tasomata ou a ottalulu d tactu st

30 Imasta lctolo oo 8 Z V. V ε I acst caz otad lmtul d matc 6 cu x γ obtm Z N Z N ε γ γ D 4 V ε M V ε M MN cu V N D / Zγ. Obsvat Daca loc d uct loc 6 s olossc ud la ψ V x ca c mlca locua aajamtulu odc d o cstal cu u od omog d saca oztva obtm tu lmtul d matc ' x ψ * ' x ψ d x ' x x d δ' V adca x / Doac * Hamltoaul tactu lcto-oo caat dv H * [ a c c a c c ] 5 lat ca s oat tta ca mast tmul caa lctoul cu vcto d uda tc t-o sta cu vcto d uda ' ± ocsul d sott d absobta mul tm sau msa al dola tm oolo cu vcto d uda. Pobabltata d tazt a lctoulu d staa tala ca xsta u sgu lcto s u uma d oo: staa ala ' st dc ' π P H δ 6

31 Imasta lctolo oo 9 cu ' '. lmtul d matc al Hamltoaulu s oat sc H [ ' a ' c c ' a ' t s t t s t s t * t c s t c s ] 7 s doac ' at t ' ' t t δ δ a δ δ ' 8a ' c s tcs δ ' s tδ s ' cs tcs δ ' stδ s 8b obtm * δ ' δ ' t H δ δ 9 ' ' I cuatl d ma sus s-au olost latl scc oatolo d ca s ala: a j ] a a ud [ a δ [ a a ] [ a a ]. Rzultatul obtut tad cot s d cosvaa g scsa sub oma δ ' ' ] st ca obabltata d tazt d staa tala ca ala [ ' cot do tm ca cosud ocslo sott d absobt s ms d oo: j j j abs m P P P 4a abs π P δ 4b m π P δ 4c mul d laxa la masta oo acustc I cstal ola masta a loc scal oo acustc ocs ca st sott d o modca mult ma mca a g lctolo ata d masta d oo otc vz latl d dss caactstc acsto oo gua d data.

32 Imasta lctolo oo Ca s obabltatl d tazt s tmul d laxa la masta oo acustc cot do tm cosuzad absobt s ms d oo: abs χ P ac χ m χ P χ 4 I cazul oolo acustc v ac s tu o lg d dss aabolca tu lcto lga d cosva a g dv ± m m ± v ac sau otad θ ugul dt s 4 ϕ β χ θ m cosθ ± mv /. 4 ac D ac mvac / tu valo tc vac m/s obtm o tmatua caactstca a oolo acustc ac K ca c sama ca tu tmatu mult ma ma dcat acasta valoa ga ooulu acustc oat gljata ata d ga lctoulu astl cat χ ± vac χ s utm cosda masta ca d actc lastca: ± vac ac abs χ m P P χ χ χ 44 Ngljad ga ooulu acustc s uctl dlta d xsl obabltatlo d tazt: m δ ± m vac δ ± cosθ 45 s olosd atul ca D MN obtm

33 Imasta lctolo oo P abs m πd m ± ± δ ± cosθ m 46 MNv ac cad d la suma la tgala dua xsa tmulu d laxa [ V /π ] d s olosd atul ca gomta d ma sus smla cu cazul mast mutat ozat d sθdθdϕ cos cosθ cos β sθ s β cosϕ χ χ cos cos β cosθ ta β sθ cosϕ 47 π s doac cosϕdϕ ac max D mv π d sθ cosθdθ δ cosθ δ cosθ 4πMNvac m 48 olosd tgala dua θ ucta dlta obtm ac max D mω 4 [ d 8πMv ac m ] 49 cu Ω volumul clul lmta. Lmta oaa d tga st d obc m a ca suoaa st max d 4 daca acsta valoa st ma mca dcat lmta musa d cvta Dby D D / vac 6π N / V s max D caz cota. Ptu u gaz d oo clbu tmodamc x v ac / x vac /. 5 x v / ac

34 Imasta lctolo oo Mtal I cazul mtallo doac lcto ca atca la coduct sut mdata vcatat a vlulu m cosdad o lg d dss aabolca obtm m / m m m / 8 cm tu 4 V s tm c D 6π 8 7 cm tu o coctat a olo cm astl cat x vac / tmul d laxa st dat d max D. Itoducad otata ac Cm 5 Θ D 5 / Θ I D 5 ud Θ D v / ac D st tmatua Dby C m πm 5 D D Ω 9/ mv ac Θ / Θ D D D 4 x x I x dx x x Θ / x 4 cot x / dx 5 a tmatu alt Θ D << x x << : Θ I D / 4 / 4 ΘD x ΘD Θ D dx x dx x Θ D / / ac 5 C m ΘD b tmatu joas Θ D >> : I I b cost. 5 D Θ / 5 / ac 54 5 C b m Smcoducto I smcoducto ga lctolo oat aoxmata cu ga tmca astl cat la K s tu m m m / m / 5 6 cm tm c D a aoxmatv acas valoa ca s cazul cdt: 8 7 cm. I coscta max s acad scmbaa d vaabla x v ac / obtm

35 Imasta lctolo oo ac C s vac 5 vac I 55 cu 4D mω C 56 πmv ac Doac acst caz x << am vazut ato ca ga oolo acustc cosud u tmatu d K avm vac I 4 vac πmvac ac 57 D mω lat ca tu o lg d dss aabolca dv Mvac 4 / π / / ac 58 D m Ω Obsvat: mul d laxa oo otc cstal ola oat calculat smla olosd lata d dss scca. Acst mcasm ca u ma oat aoxmat cu u ocs lastc dv smcatv codt d tmatu dcat sau cazul xcta otc sau lctc a matalulu stuat ca ga lctolo cst mult st valoaa la clbu.

36 Imasta lctolo oo 4 Imasta lctolo oo otc cstal ola Itactua lcto-oo otc I cstal ola cu lgatua oca sau atal oca masta lctolo oo otc st ma utca dcat ca oo acustc doac tmul osclatlo olo cu olatat dt s omaza u momt d dol lctc ca clula cu ca lcto tactoaza Coulomba. xml d cstal ola sut cstall oc zolatoa d uct d vd lctc da s smcoducto ola cum a comus A III - V. S acst caz utm olos aoxmata oulu gd modlul Nodm ottalul Coulomba du-s la sacl ctv Q asocat olo: 4 ± ± ± πε R R j j Q V m 59 Hamltoaul d tactu a lctoulu cu cl doua tu d o st πε u R R u R R u R R u R R 4 Q V V H 6 ud dlasal d la oztl d clbu tu osclatl omal al tl sut x ± ± ± ± R u A NM 6 astl cat modlad cl d o adact ca dol al cao momt s aulaza staa d clbu cad obtm R R 4 πε u u R R Q H 6 ud u u M Q 6 st momtul d dol. Polazaa s dst ca momtul d dol utata d volum a clul lmta: Ω / M P.

37 Imasta lctolo oo 5 bu obsvat ca ds cstall oc xsta sac localzat oztv s gatv asocat olo sta d clbu acsta u cotbu la tactua lctooo c dtma stuctua d bz a cstalulu. I u tv dcat dlasal d la oztl d clbu. I acst ss momtl dola al olo adact s aulaza la clbu! ad cot d atul ca tu osclat otc vz cusul d sold M M M 64 algm vcto d olaza ± M ± m ˆ M M 65 cu ˆ u vso d olaza astl cat tm u mas dus dt M M M 66 s utad la dcl xsa Hamltoaulu obtm H Q R u ~ 67 4πε R ud A ˆ x R NM ~ u 68 st o dlasa d tul 6 ca aa masa latva locul mas olo. Hamltoaul d tact 67 st aclas cu cl d cazul mast lctolo oo acustc daca masa oulu M st locuta cu M s daca saca oztva Z st locuta cu Q. Ca uma tasomata ou a ottalulu d tactu s sc Q V V 69 ε

38 Imasta lctolo oo 6 s lmtul d matc al tactu lcto-oo u s a cosda caaa datota lctolo ca st gljabla acst caz doac lcto sut mult ma ut mobl. I coscta Q N 7 Vε M a obabltata d tazt utata d tm cu absobta sau msa uu oo otc st P abs m π ± m δ m ± 7 Saca Q st dtmata d dta dt sacl ucllo s al lctolo cat s d domaa sac lctoc ca zultat al momtlo d dol ca s omaza s oat gal lgata d mtvtata mdulu olazabl. Ma cs daca s alca u cam lctc xto olazaa totala va o suma a olaza P odusa d osclatl tl s olazaa P l a atulo lctoc: P P 7 tot P l ad cot d lgatua dt ducta lctca D s P tot : D ε P ε 7 tot zulta ε ε P tot D ε D D D 74 ε ε o lat smlaa xstad t P l s mtvtata otca latva: ~ ε P l D ~ 75 ε I coscta

39 Imasta lctolo oo 7 P P tot P l ~ D 76 ε ε Doac olazaa u c d o cu saca Q s masa dusa d codta d galtat a ot xt vd M oat ddusa s Q QD /ε cu ota actva a xt osclatlo tl ot u u obtm act M Q Q P u u D 77 Ω ε Ω sau M ot Q ε Ω M ot ~ ε ε 78 adca ot ~ Vε ε ε C V ot 79 mul d laxa la masta oo otc Itoduca uu tm d laxa la masta lctolo oo otc logtudal cu cvta ot u st gal justcata doac masta u oat cosdata lastca sau cvaslastca da cazul tmatulo alt s joas toduca acstu aamtu st osbla. Lga d cosva a g tu u lcto cu masa ctva m st ± m m ± ot 8 sau daca θ st ugul dt s m ± ot cosθ m m 8

40 Imasta lctolo oo 8 Rzolvad acasta cuat aot cu obtm doua solut cosuzatoa ocsl d absobt s ms d oo ca l otam s sctv : cosθ ± cos θ η d at doa cosθ ± cos θ η d at doa cosθ cos θ η 8a cosθ cos θ η 8b ud η m ot m Θ ot. I altat doa solutl oztv cl d atz sut lvat doac m la modulul vctoulu d uda tu oo. a matu alt: >> Θ ot >> η astl cat atat tu msa cat s tu absobta ooulu avm m oat cosdata lastca astl cat max. I acst gm d tmatua masta ot abs χ m P P χ χ χ 8 cu P abs χ χ m π ± m δ m ot ± ± 84 cosθ ta β sθ cosϕ 85 s uctl dlta utm glja ga ooulu otc: m δ ± m ot δ ± cosθ 86 cad d la suma la tgala xsa tmulu d laxa ca s cazul oolo acustc ot Cotm 4π d 87 ud la tmatu dcat utm aoxma umaul oolo cu

41 Imasta lctolo oo 9 x / ot ot / ot Θ ot >> 88 Rzultatul st ot C 4π m C ot ot d Θ ot π m Θ ot 89 ot / π Θot / C m ot / 9 b matu joas: << Θ ot << η. I acst caz masta st lastca toduca tmulu d laxa d osbla. Da daca << majotata lctolo ot doa absoab oo ocs ca lcto caata o g stuata t ot s ot. I uma absobt lctoul mt u oo doac aotul dt obabltata d ms s absobt st oat ma. Acst aot st dat d ot x ot >> 9 tu ca vaata g uu lcto uma absobt s ms mdat a uu oo otc st oat mca d dtmata doa d vaata slaba a cvt ooulu otc cu masta oat cosdata lastca. Vaata cvas-mulsulu lctoulu st oat ma uma mast!. I calculul tmulu d laxa s au cosda sa doa ocsl asocat cu absobta ooulu vz gua d data dscs obabltata d tazt P abs π δ ot 9 ot cu η m η δ ot δ cosθ δ cosθ 9 m m m

42 Imasta lctolo oo a lmtl d tga sut m η θ 94a η θ π 94b max Pocdad ca s cazul d ma sus cu x ot Θ x ot ot Cotm 4π η η η d Cotm x Θ 4π ot / η η η l η η η η 95 Ptu << η η η l η ± ± tmul d η η 6 η aatza ma st 4 / / η s ot Cotm x Θ π η ot / 96 ot π η x Θ C m ot ot / x Θ ot / 97 La tmatu joas tmul d laxa la masta lctolo oo otc cstal ola st ddt d ga lctolo! Obsvat: I cstal ola zolctc gal comus A II VI masta oo acustc st comaabla cu ca oo otc doac osclatl acustc cu lugm d uda ma oduc ot lastc sott d olazaa lctca a cstalulu. I acst caz la masta oo acustc zo ac / ca la masta oo otc cstal ola zolctc a la masta oo otc la tmatu joas zo ot x Θ ot / ca cstal ola zolctc.

43 om ctc sold. Coductvtata lctca La cutul cusulu am stablt ca tu suat zogtc sc: / m tsoul coductvtat dt ca j μ σ μν ν ν σ st zoto: σ μν σ. σ I lus am gast o lat t coductvtata lctca s mobltata lctolo cu coctat s masa ctva m s mda tmulu d laxa ca uct d g: σ μ m μ m d / d d d / d d Rlat smla cu ot sa obtut tu lat d dss dt d ca aabolca. D xmlu G s S suatl zogtc sut ltc: m m m Acasta stuat oat dusa la cazul suatlo zogtc sc t-o scmba d vaabla m / m' ' μ 4 μ μ μ astl cat ' ' ' ' '. 5 m' m' ad cot d atul ca s acst caz tsoul coductvtat st dagoal tu ca ga st o uct aa d μ cu

44 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo σ μμ d 4 d π m d μ 6 s d lata d d d d mm m / m' / d' obtm / m mm d 4 m mm d / σ μμ d d 5 / π mμm' d π mμ d 7 P d alta at mod aalog / / / / m mm π d d / d 8 astl cat σ xx σ μν σ cu yy σ zz 9 σ xx μ m x σ yy μ y σ zz μ z m m. Coductoul azoto oat caactzat t-o coductvtat s masa ctva d dt dt ca σ σ xx σ yy σ zz μx μ y μz m m d m m m m m d a b ultma galtat avad loc cazul lat d dss d oma lsod d otat toducad o masa ctva logtudala s ua tasvsala.

45 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo d xmlu Rlatl ot xts s cazul ca bzl d g cot ma mult lsoz N c lsoz cvalt ca cu lcto s avad axl cal d-a lugul axlo d coodoat x y s z. I acsta stuat scca S vz gua d ma jos N c σ σ xx σ yy σ zz N c μ x μ y μ z m d a m d Nc m m m b Masa ctva d dt st dta d masa ctva obtuta d lata d dss cl doua d gal doa cad xsta u sgu mm al bz s cad coductoul st zoto. D asma tsoul coductvtat oat ava comot dagoal daca axl lsozlo sut dsus dua alta dct dcat x y s z. U alt caz d motata actca st cl ca ga dd doa d modulul lu da ddta ds zotoa u st aabolca. Acsta st cazul comuslo smcoducto A III V cu bada tzsa gusta d xmlu ISb tu ca / g mg m d masa ctva la maga oaa a bz d coduct. I acasta stuat v d / d ˆ cu ˆ / s d d σ π d d d d d π d m 4 ud am todus o masa ctva ddta d g d. d m Acst lat sut valabl dt d atua mtalca sau smcoductoa a cstalulu. Mtall s smcoducto ucta d dstbut s mcasml d mast scc au comota dt la alcaa uu cam lctc asa cum vom vda cl c umaza.

46 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 4 Rzstvtata lctca a mtallo s alajlo Rzstvtata lctca a mtallo Doac taua cstala a mtallo st omata dt-u sgu t d atom acst matal sut cstal ola astl cat coductvtata uu mtal u dal s zoto st dtmata d masta lctolo oo acustc. I acst caz 8π mmvac ΘD / ac 5 ΘD D ΩDI cu 5 5 Θ I D Θ D / 4 x x x dx x x 6 I mtal la tmatu joas suum ca dstbuta lctolo st total d dgata astl cat δ cu valoaa vlulu m la s d d / ac d d ac d / d d ac σ ac 7 m adca / 5 8π Mvac ΘD σ 5 ΘD ΘD D Ω mdi I ΘD σ σ 5 8 sau tm d zstvtat Θ ρ ρ I ΘD 5 D 9

47 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 5 Obsvat omula tmulu d laxa 5 a ost obtuta aoxmata mast lastc a lctolo oo acustc. I cazul ca ga oolo acustc ds oat mca st luata cosda s obt o omula asmaatoa ucta cu dublul uct Θ I D d locuta Θ Θ D D x x x J5 dx [x x ] / 5 Ambl xs dau acas ddta a tmulu d laxa lmta tmatulo joas s alt. Ca uct d ddta zstvtat d tmatua J 5 5 ΘD ρ 4ρ J5 ΘD st cuoscuta ca omula loc-güs. Obsvat Aoxmata dstbut total dgat a lctolo st justcata cazul mtallo doac altl tu o uct d dstbut m-dac x[ / ] utm xma mda tmul / d xsa tmulu d laxa ca d d / d d d / / d / d d / / y y ud y /

48 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 6 x dx y 4 x x y st tgala m-dac s / y σ σ / y. 5 Doac la tmatu scazut da t m Dac cu y / >> utm aoxma tgall y π y 6 6 y obtm π σ σ 7 4 cocta ata d xsa 8 d d sub %. Pod d la omula zstvtat mtallo 9 sau d la omula loc-güs obtm aclas ddt d tmatua gmul d tmatu alt s joas. a matu alt: >> ΘD. Doac Θ I D Θ J5 Θ / D ΘD x dx D D Θ D / Θ x dx 4 D 4 4 ρ ρ 8 Θ Acasta s t ddta cuoscuta laa a zstvtat d tmatua valabla la tmatua cam sau tmatu ma alt vz gua d ma sus.

49 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 7 I cazul ca tu aumt mtal Θ D 4 K aoxmata ΘD >> u ma st valabla la tmatua cam s st csaa ta tmlo suo aa la x dzvoltaa s a xotallo: x x x x x s 6 Θ / 4 Θ D D x Θ D I x dx 6 Θ 9 Θ Θ 4 D / Θ D Θ x D D J5 x dx 4 8 D ddta zstvtat d tmatua d uso dta cl doua cazu Θ D ρ ρ ΘD 8 Θ ρ ρ ΘD 8 D 9 b matu joas: << Θ D. I acst caz lmta suoaa a tgal s oat xtd la t s zultatul tga st o costata b. I coscta acst gm d tmatua 5 ρ ρ' Θ D ddta co mata d xmt tu mtal moovalt alcal bvalt Cd Z tvalt I ttavalt S Pb s la ul mtal d tazt Mo. P d alta at la mult mtal d tazt ρ sub K datota uu alt mcasm d mast: lcto uso a bzlo s ca sut utato ctv d sa ca s mast lcto g actc mobl a bzlo d. La acst mtal 5 ρ A cu A costat. I gal ddta d tmatua a zstvtat aata ca gua d data.

50 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 8 Rzstvtata zduala a mtallo. Rgula Mattss Dua cum s s d s zstvtata lctca datoata osclatlo tl mast oo s aulaza la K doac umaul d oo dv zo o tl dv statc. xmtal s costata sa ca valoaa zstvtat mtallo omal u a clo suacoductoa! td s o valoa costata umta zstvtat zduala masua c tmatua scad s K. Rzstvtata zduala st ddta d tmatua s s datoaza mast lctolo d coduct mctul statc al tl mutat dct dslocat zt t-u mtal al. La tmatua cam zstvtata zduala st cu - od d mam ma mca dcat ca a mtalulu dal astl cat dv smcatva doa la tmatu joas. Imasta lctolo mctul statc st cosdata lastca tmul d laxa utad xmat ca smla cazulu mast mutat z N v σ c ud N st umaul mutatlo statc v vtza m vtza lctolo la tm atu scazut s σ c st sctua cac d tasot. Doac ocsul d mast mutat statc s cl d mast oo acustc sut colat z ac obabltatl d mast s adua s 5 ρ ρz ρ' 4a Θ ρ m 5 D z N 4b z xs dumta gula lu Mattss; zta coctata d lcto la K. Pot xsta abat d la acasta gula datota mutatlo ca scmba sctul ooc modcaa tactu lcto-oo. Masuaa zstvtat la tmatu oat scazut st o mtoda d a stma utata uu mtal.

51 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 9 Rzstvtata lctca a alajlo. Rgula Nodm I gal zstvtata lctca cst cazul alajlo mtalc doac toduca taua uu mtal A a atomlo mtalulu dstosoaza taua cstala a mtalulu A s masta lctolo cst. I lus tactua cmca a comotlo oat duc la csta zstvtat. Alaj mtalc s omaza doa t mtal mscbl ca mxtua omata sta lcda u s saa statu/gu cotad u sgu lmt. It-u alaj ba dzodoat A- cu coctat al comotlo A s gal cu c s sctv c daca stuctua alajulu u s modca tvalul d comozt als ρ c c 5 z lat umta s gula Nodm. Acasta lat s oat justca cosdad ca ottalul mdu al lctoulu alaj st o tata guoasa st dsgu mult ma comlcata V cv c A V 6 ud V s V sut ottall atomc al atomlo A s. I coscta ottalul A vcatata atomlo d t A s dv sctv V A V c V A V V cva 7 cu V A V V. I calculul tmulu d laxa obabltata d mast s obt d A atatul lmtulu d matc al ottalulu d tact t staa tala s ala acst lmt d matc tu atom A s d ' V V c ' V ' V A A V c ' V. 8 A It-u alaj cotbuta atomlo A s la tmul d laxa ca st ootoal cu zstvtata lctca s obt multd lmtul d matc cosuzato cu coctata c sctv c astl cat P c c ' V A c c ' V A c c ' V A. 9

52 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo Rgula Nodm st comata d zultatl xmtal tu alaj ba dzodoat d xmlu Ag-Au alaj ct mscbl vz gua d data Ag-Cu Au-Cu cuba uctata d gua d ma jos staga da ul abat s-au obsvat la alajl mtallo d tazt cu mtall obl. I ul alaj d xmlu Au-Cu s ot obt aumt codt d tmatua s su comus odoat cu ta cstala ca zstvtata scad ata d comus dzodoat ca atom A s u sut aszat odc la cotua gua d ma jos staga. I astl d cazu zstvtata oat ma scazuta dcat a mtallo comot. Cu Cu Au CuAu Au D asma aumt stuat alaj d mtall A s s obt doa aumt tval d comozt vz gua d ma sus data. I acst tval gula Nodm st valabla. Ptu alaj mtalc comlt mscbl mxtua d gaut d mtal A s oat cosdata ca o ta d zsto coctat s s aall vz gua d data.

53 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo Coductvtata lctca a smcoductolo S dosb d mtal smcoducto coductvtata/zstvtata st dtmata d ambl tu d utato d saca: lcto s golu a ucta d dstbut st d t Maxwll-oltzma: x 4 I acst caz tu u tm d laxa A d / d x d A d / d x d / d d A 5 Γ 5 Γ 4 ud tu x / ucta Γ st dta ca y Γ y x x x dx. 4 π 5 π ad cot ca tu tg Γ! Γ!! avm Γ 4 s tu lcto daca masa ctva dd slab d tmatua 4A 5 σ Γ m 4a π 4A 5 μ Γ A. 4b π m La masta oo acustc: / A ac Mvac 4 / Ω π D m ac 4Aac / μ 44 / π m

54 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo La masta oo otc la tmatu alt smcoducto ola: / A ot / πε Θot m ot ot 8Aot / / μ 45 π m La masta oo otc la tmatu joas smcoducto ola: A ot π ε m ot Θ x ot Θ x ot ot Aot Θot μ x m 46 La masta mutat ozat: / A 9 / Z πm / 4 N ε K ε cost. 8A μ π m / / 47 ud K st o uct ca dd oat slab d g: 4πε ε K l Z N / omula Cowll-Wsso tata clasca 8m K omula oos-hg tata cuatca tactu caata La masta mutat ut: m A 8πε ε N cost. A μ cost. 48 m mobltata d ddta d tmatua. bu macat ca ultml doua mcasm mobltata st vs ootoala cu coctata mutatlo d ma ma smcoducto u. D asma omull d ma sus a ost gljata ddta oat slaba d tmatua a mas ctv costat d culaj lcto-oo s cvtlo d osclat acustc s otc.

55 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo I lus u s-au luat cosda mcasm d mast ca masta lcto-lcto tva dslocat tc. talt aumt smcoducto sau codt scal. D xmlu masta tva a loc t val d bada d coduct a S lustat gua d data. I cocluz cu xcta mast oo otc la tmatu joas s μ 49 ud s / s / la masta oo acustc la masta oo otc la tmatu alt s / la masta mutat ozat s la masta mutat ut. La ma vd omull tu masta golulo s obt locud masa ctva a lctolo cu ca a golulo. otus datota dtlo dt stuctua gtca a bzlo d valta s coduct suatl zo-gtc tu golu u sut gal sc s mcasml d mast u sut totdaua aclas ca tu lcto. I atcula masta oo acustc st sotta d masta tva s oo otc. D aca ot aaa dt t aamt s d 49 cazul smcodutolo s d aclas matal. Dua cum am vazut s la sma cazul coduct ambola j j j s σ μ μ 5 Ddta d tmatua a coductvtat st dtmata d ddta d atat a mobltat cat s a coctat utatolo d saca. Ptu smcoducto tsc s g σ μ μ μ μ N c N v x 5 ud

56 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 4 N c v πm 4π / / 5 sut dstatl ctv d sta bada d coduct s valta. Latma bz tzs s oat dtma d masuato xmtal al coctat tsc dat d ctul Hall vz laboatoul d sold! s d taa ultoaa cu o l data a ddt l. / I cazul ca mobltatl lctolo s golulo au acas ddta d tmatua aclas s σ s / x g 5 adca / g σ x la masta mutat ut la tmatu joas g σ x la masta mutat ozat g σ x la m asta oo otc smcoducto ola la alt g σ x la masta oo acustc smcoducto u Doac ddta d tmatua a actoulu xotal st domata zstta lctca a smcoductolo dd d tmatua ca R Ax 54 masuatol xmtal mtad gasa mcasmulu d mast s a latm bz tzs d ddta g mult d o l data sau ca tu ca tu d masuato. l R vz laboatoul d sold! S zta ma mult astl d cub tu dt valo al s s s cosda lvata ca ca s ao ma g st ma aoa d valoaa obtuta d alt

57 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 5 Cosdatl d ma sus sut valabl doa daca u sgu mcasm d mast st domat stuat ca u cosud totdaua altat. D xmlu tu -G tvalul d tmatua -8 K x.66 μ tm c tu -G tvalul -4 K μ x.. I atcula daca masta utatolo d saca lcto sau golu cu masa ctva m oo acustc s mutat ozat a loc smulta 55 ac ac μ. 56 m m ac / Doac μ s μ la tmatu alt utm glja masta ac / mutat ozat la tmatu joas gljam masta oo acustc cl doua mcasm actoad smulta doa la tmatu tmda tu ca ac A ac / A / 4Aac 8A / μ ac μ / π m π m A A ac μ ac 6 β μ A ac / A ac A / A ac / / β π m μ 4 ac / / / β 57 s μ sau m x / / x d π μ 4 π β μac 4 ac / / d / J β 5 Γ 58 μ μ J β 59 ac ud cu x / x x x J β dx 6 x β

58 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 6 s tad cot ca β s obt ddta d tmatua a mobltat tgul tval d valo cluzad cl alt s joas. It-adva tu μ β J β x x x dx Γ μ μ ac 6 a daca μ β ac Γ4 6 μ J β x x x dx μ μ 6 β β β μac N d I cazul coct al uu smcoducto cu mutat ozat dooa d coctat d xmlu P S vz cusul/smaul d statstca a uta tolo d saca sold! coctata lctolo st dtmata d codta d utaltat lctca d N N 6 ud d N st coctata mutatlo ut vl gtc al caoa xsta lcto localzat d gd c d g v I acst caz ddta coctat lctolo d tmatua s talsc t cazu tmatu mc tu ca N d >> s tu ca lcto d bada d coduct ov xctaa tmca a lctolo localzat vll d mutat. Avm o coctat mca d lcto data d N c N d d x c N c N d x gd / 4 x gd / 64

59 om ctc. Coductvtata/zstvtata mtallo s smcoductolo 7 tmatu tmda t tmatua d satuat o zat s tu ca doo sut comlt toat vll dooa sut lb s tmatua d c a coduct tsc tu ca N da N <<. I acst caz d d al coduct xtsc vz gua d data N d / N d xtsc s tsc 65 tmatu ma st ca doo tsca: sut comlt ozat s coducta st g N c N v x >> N d 66 lctca vz gua d ata data gua st d t tsc cu ddta domata d tmatua d t xotal d I ca c vst coductvtata zta lσ utadu-s dtma latma bz tzs. I domul d satuat ddta coductvtat d tmatua st dctata d ddta d a mobltat tu ca ma d mutat ozat utm suu domat s ca σ μ / dd d ou xotal d tmatua s N cost. Avad vd zta uu uma d ca acsta st mcasmul d mast. La tmatu ma joas gua coductvtata N c N d gd / / 4 gd.5 gd σ μ x x x 67 d zta d tul lσ gasdu-s ga d oza a mutat. gd

60 Coct udamtal d tasot I codt d clbu s zta uu gadt d tmatua cstal aa u lux tmc. P aalog cu dstata cutulu lctc dstata luxulu tmc utata d tm s oat d ca w σ v v d 4π I xsa d ma sus ga tmca adca locust saca lctca d xsa dstat d cut a cu <<. Avad vd otatl d smt al uct d dstbut d clbu j 4π v d w v d 4 π Acst lat sut valabl s zta camulu magtc. I cam lctc s zta uu gadt d tmatua cuata ctca oltzma st v 4 Ptu d d v 5a d d d d x 5b d d obtm d v. 6 d

61 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca O comaat cu coductvtata lctca dvata zta doa a camulu lctc t-u coducto uom aata ca cazul gal s locust cu astl cat dstatl d cut lctc s lux tmc dv ˆ β j ˆ σ 7 ˆ χ w ˆ β 8 ud σˆ βˆ s χˆ sut tso udamtal d tasot. P comot latl d ma sus s scu β μν jμ σ μν ν ν ν χ μν wμ β μν ν ν ν 9 ud d σ μν vμvν d 4π d d β μν vμvν d 4π d d χ μν vμvν d 4π d I cazul zoto cad camul lctc s gadtul d tmatua sut alcat dcta ax x j x σ xx x d dx β xx d dx w x β xx x d dx χ xx d dx 4 coct udamtal d tasot coductvtat lctc d la cutul cusulu. σ xx σ β xx β χ xx χ calculadu-s aalog

62 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca I atcula tu suat zogtc sc σ m 5 β m 6 χ m 7 Coductvtata tmca a soldlo Coductvtata tmca st dtmata d tasotul d g atat utato d saca lcto s/sau golu cat s osclatl tl oo d asocat cu ocs d mast coc caactzat t-u tm d laxa. Coductvtata tmca st caactzata d ootoaltata dt dstata luxulu tmc utata d tm s gadtul d tmatua: w x d κ 8 dx smul gatv dcad scada luxulu d g tmca. Paamtul κ st coductvtata tmca s gal st o suma a cotbutlo lctoc s ooc: κ κ κ. 9 Coductvtata tmca a coductolo I coducto mtal sau smcoducto κ / κ astl cat κ κ. Ptu a dtma xsa coductvtat tmc s olosst d obc u motaj xmtal ca luxul sac lctc dcta cosdata d xmlu x st ul astl cat j w x x d β d σ x dx dx β x d dx χ d dx

63 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca 4 d ud obtm β κ χ σ sau κ m D acasta xs zulta ca o valoa ula a coductvtat tmc s obt cad cost. sau cad gazul lctoc st total dgat caz ca. D uct d vd xmtal coct d tasot satsac lata Wdma- az κ σ 4 κ xs c oat usa sub oma L cost. ud L st umaul lu Lotz. σ Acasta xs st cuoscuta s sub uml d lga Wdma-az-Lotz. Avm κ L σ 5 Daca tmul d laxa st dat d A A m A d d d d m / m / / d d m m / / d / d 6

64 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca 5 / / / / y y m A d d m A m m m ud x y x dx x y 7 cu sut tgall m-dac. Cu acst otat obtm x / y / [ ] [ ] / / / 5/ 5 7 y y y y L 8 Mtal olosd aoxmata 6 y y y π tu tgall m Dac valabla tu tmatu scazut da t / >> y s ddta vlulu m d tmatua valabla aclas codt π 9 avm / / 6 / s s s s s y π / 6 / s s s s π astl cat

65 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca 6 / / / 5/ 5 7 y y y y L π ultma at a galtat d ma sus ca zta lga Wdma-az- Lotz la mtal obtadu-s dua locul cu ajutoul lat. Numaul Lotz cazul mtallo st L.45 8 WΩ/K. L I gua d data st aatata ddta d tmatua a umaulu Lotz tu N s comusul mtalc Pa Cu 4 O 8. Ptu mtal la o tmatua data σ κ asa cum zulta d gua d ma jos obtuta tu tmatua cam. Lga Wdma-az st vcata xmtal doa la tmatu alt. La tmatu joas a tbu ca mtal doac da d 4 L κ σ 5 ρ

66 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca 7 xmt zulta κ. Acasta ddta s oat justca atul ca tmul d laxa s modca datota coductvtat tmc astl cat locul ddt la mtal la tmatua joasa obtuta tu coductvtata lctca avm dc κ. D asma la tmatu joas dv motata s masta mctul statc ca aduc o cotbut adtoala la coductvtata tmca 5 s lctoca z κ L / ρ z. Doac zstta zduala st ddta d z tmatua obtm κ s aalog cu gula Mattss κ κ z κ adca κ A La tmatu alt σ κ cost. vz gua d data. s Rlata aata ca odata cu scada tmatu coductvtata tmca lctoca tc t-u maxm s ao scad ad la zo ddta ca st acod cu xta dua cum s oat obsva d gua d staga tu Au. I gal d ddta laa κ s obt coctul d ata dt s costata A d xtaolaa odoat la og.

67 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca 8 Smcoducto I cazul u dstbut dgat d utato d saca x x Γ y dx x x y y 4 ud. olosd lata d cuta Γ x dx x x Γ Γ ca s oat dmosta uso tga at: x x x Γ Γ dx x x x x dx x x obtm Γ Γ Γ Γ 5 5/ 7 / 5/ 9/ y y y y L. 5 Avm / L ac la masta oo acustc tu ca / / 4 L la masta mutat ozat tu ca / I cazul smcoductolo xsta doua tu d utato d saca: lcto s golu xsa coductvtat tmc acst caz d σ σ χ χ σ σ β β κ 6 ud coct udamtal d tasot tu lcto s golu sut m σ m σ 7 σ β σ β 8 σ χ σ χ 9

68 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca 9 Coductvtata tmca st σ σ σ σ σ σ κ 4 s L L L σ β σ β σ σ σ σ σ σ σ σ 4 ud uml Lotz tu lcto s golu sut L L I smcoducto utc doat ddta d tmatua a coductvtat tmc gm xtsc st smlaa cu ca d mtal doac coctata utatolo d saca st aoxmatv costata vz gua d ma sus. I smcoducto tsc coctata utatolo d saca dd d tmatua ddta d tmatua a coductvtat tmc avad oma d gua d data. Guul d ct ca tasotul utatolo d saca t-u coducto a loc zta uu gadt d tmatua sau caza s umsc ct tmolctc. Cl ma motat sut ctl Sbc Plt s omso ca l-at studat la sma.

69 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca Coductvtata tmca a tl cstal Cotbuta oolo a osclatlo tl cstal la tasotul d g tmca st dtmat matal zolatoa d uct d vd lctc. Daca luxul tmc datoat tasotulu d oo a loc t doua otu al uu matal t ca xsta u gadt d tmatua suum ca acst oo sua ocs d mast. Dm luxulu tmc utata d tm al uu mod d vbat ooca cu ga s uma d uda ca w v g 4 ud s cazul oolo acustc v g v ac θ ϕ st vtza d gu. Avad vd ca la clbu tmc s dstata oolo dd doa d w doac vtza d gu st acas ca mam da ousa ca sm tu s. I coscta u lux d g tmca dt d zo aa doa daca dstata oolo da d valoaa la clbu tmc s u ma a acas valoa tu modul s. Acasta stuat aa zta uu gadt d tmatua cad dstata oolo vaaza tm oc uct al cstalulu. Daca la u momt d tm t dstata oolo st dua u tval d tm Δt oo s dlasaza s umaul lo cosud dstat dt-o gu la dstata v g Δt adca va v g Δt v g Δt 4 a vtza d vaat a dstat oolo st t dt v g. 44 O sta statoaa s stablst cad au loc ocs d mast ca modca dstata oolo ss ous vaat sal datota dtulu:

70 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca coc dt t t. 45 La l ca cazul mast lctolo toducm u tm d laxa la masta oo-oo coc t. 46 I aoxmata laa s suu ca zta gadtulu d tmatua dstbuta oolo u s abat utc d la ca d clbu tmul d dt s oat locu cu ud / x astl cat cuata ctca oltzma tu oo dv g v 47 s dstata luxulu tmc utata d tm s sc g g v v w 48 Coductvtata tmca ooca st dc data d g g κ v v 49 Ptu u gadt tmc dcta x d xmlu locud lata d ma sus ϕ θ ac g x g v v v tu modu acustc s v ac ϕ θ obtm ] / [x / x 5

71 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca s ] / [x / x v ac ϕ θ κ 5 Putm acum tc d la suma satul la tgala: d D 5 olosd dstata d sta/osclat Ω Ω cost ac cost cost v d V d d d V ds V D ϕ θ π π π / 5 adca π ϕ θ κ 4 ] / [x / x d V v d ac D Ω Ω 54 Cosdad ca v ac v ac d 4 Ω Ω ϕ θ π 55 s tad cot d xsa lmt suoaa a tgal dua cvt: / 6 V N v ac D π vaabla x / avm dx x C x v ac D / Θ κ 56 cu D D / Θ s

72 Coct udamtal d tasot. Coductvtata tmca 4 x x x C 9 N 57 4 Θ D x x Ptu a gas coductvtata tmca ooca tbu cuoscuta ddta x. I cazul ca tmul d laxa ooc st costat κ vac C 58 ud C Θ / D x x x Θ D 9 N dx 9 N J 4 59 Θ D [x x ] Θ D 4 cu J x x x y dx 6 [x x ] y st caldua scca ooca a tl la volum costat modlul Dby valabla tu osclatl acustc. Ddta caltatva d tmatua a coductvtat tmc oat gasta umatoal cazu: a matu alt: >> Θ D I acst caz umaul oolo d cstal st ootoal cu tmatua: 6 x / cvta coclo oo-oo a tbu sa casca ootoal cu tmatua s tmul d laxa a tbu sa scada ootoal cu tmatua s doac acst gm x << C 9 N Θ D ΘD / x dx N 6 astl cat