α τ κ ε να [ηπ] κ ς α ε η σ ς π λ ε σ α µ G µ µ [θη] ατ κ ω α γ ν[ασ ] ου ν υ M [ ]µ η ατ κα G a µ γ κ. α [γ ]ελ

Transcript

1 ε α να [ηπ] τ κ ς α κ ησ ε ς π λ ε σ α [θη] ατ κω α ν[ασ] ου ν υ ατ κα [ ] ε λ M a

2 M a [ ] ε λ

3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Οι φυσικοί αριθοί Α.1.1: Οι φυσικοί αριθοί - ιάταξη φυσικών - Στρουλοποίηση... 5 Α.1.: Πρόσθεση Αφαίρεση και Πολλαπλασιασός φυσικών αριθών... 6 Α.1.3: υνάεις φυσικών αριθών Α.1.4: Ευκλείδεια διαίρεση - ιαιρετότητα Α.1.5: Χαρακτήρες διαιρετότητας Μ.Κ.. Ε.Κ.Π. Ανάλυση αριθού σε ινόενο πρώτων παραόντων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Τα κλάσατα Α..1: Η έννοια του κλάσατος Α..: Ισοδύναα κλάσατα Α..3: Σύκριση κλασάτων Α..4 Α..6: Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασός - ιαίρεση κλασάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο εκαδικοί αριθοί Α.3.1: εκαδικά κλάσατα εκαδικοί αριθοί ιάταξη δεκαδικών αριθών M a - Α.3.: Πράξεις ε δεκαδικούς αριθούς υνάεις ε βάση δεκαδικό αριθό... 5 Στρουλοποίηση Α.3.4: Τυποποιηένη ορφή εάλων αριθών Α.3.5: Μονάδες έτρησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις και προβλήατα... 3 Α.4.0: Η έννοια της εταβλητής... 3 Α.4.1: Η έννοια της εξίσωσης Α.4.: Επίλυση προβληάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 [ ] ε ο Ποσοστά Α.5.1: Ποσοστά... λ 36 Α.5.: Προβλήατα ε ποσοστά ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο Ανάλοα ποσά Α.6.1: Παράσταση σηείων στο επίπεδο Α.6.: Λόος δύο αριθών - Αναλοία Α.6.3: Ανάλοα ποσά Ιδιότητες ανάλοων ποσών Α.6.4: Γραφική παράσταση σχέσης αναλοίας Α.6.5: Προβλήατα ανάλοων ποσών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο Θετικοί και αρνητικοί αριθοί Α.7.1: Θετικοί και αρνητικοί αριθοί (Ρητοί αριθοί) Η ευθεία των ρητών Τετηένη σηείου Α.7.: Απόλυτη τιή ρητού Αντίθετοι ρητοί Σύκριση ρητών Α.7.3: Πρόσθεση ρητών αριθών Α.7.4: Αφαίρεση ρητών αριθών Α.7.5.: Πολλαπλασιασός ρητών αριθών Α.7.6.: ιαίρεση ρητών αριθών Α : υνάεις ρητών αριθών ε εκθέτη ακέραιο

4 ΜΕΡΟΣ Β ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ...48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Βασικές εωετρικές έννοιες Β.1.1.: Σηείο Ευθύραο τήα Ηιευθεία Επίπεδο Ηιεπίπεδο...48 Β.1..: Γωνία Γραή Επίπεδα σχήατα Ευθύραα σχήατα Ίσα σχήατα...48 Β : Μέτρηση, σύκριση και ισότητα ευθυράων τηάτων Απόσταση σηείων Μέσο ευθύραου τήατος & πρόσθεση και αφαίρεση ευθυράων τηάτων Β : Μέτρηση, σύκριση και ισότητα ωνιών ιχοτόος ωνίας & είδη ωνιών Κάθετες ευθείες Β : Εφεξής και διαδοχικές ωνίες Άθροισα ωνιών & Παραπληρωατικές και Συπληρωατικές ωνίες Κατακορυφήν ωνίες Β.1.9.: Θέσεις ευθειών στο επίπεδο Β.1.10.: Απόσταση σηείου από ευθεία Απόσταση παραλλήλων ευθειών...53 Β.1.11.: Κύκλος και στοιχεία του κύκλου Β.1.13.: Σχέσεις ευθείας και κύκλου...54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συετρία Β..1..: Συετρία ως προς άξονα Άξονας συετρίας Β..3.: Μεσοκάθετος ευθύραου τήατος...56 M a Β..4.5.: Συετρία ως προς σηείο Κέντρο συετρίας Β..6.: Παράλληλες ευθείες που τένονται από ία άλλη ευθεία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Τρίωνα Παραλληλόραα - Τραπέζια...59 Β.3.1.: Στοιχεία τριώνου Είδη τριώνου...59 Β.3..: Άθροισα ωνιών τριώνου Ιδιότητες ισοσκελούς τριώνου Β : Παραλληλόραα Ορθοώνιο Ρόβος Τετράωνο Τραπέζιο Ισοσκελές τραπέζιο και οι ιδιότητές τους...6 [ ] ε λ 4

5 ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Οι φυσικοί αριθοί. Α.1.1: Οι φυσικοί αριθοί - ιάταξη φυσικών - Στρουλοποίηση 1. Οι φυσικοί αριθοί είναι: Α. Οι αριθοί 0,1,,3,4,5,6,7,8,9 Β. Οι αριθοί 1,3,5,7,... Γ. Οι αριθοί 1,,3,4,.... Οι αριθοί 0,1,,3,.... Οι άρτιοι αριθοί είναι: Α. Οι ονοί Β. Οι 0,,4,6,8 Γ. Οι 0,,4,6,8,.... Οι 1,3,5, Ο αριθός διαβάζεται: Α. Πέντε χιλιάδες πέντε Β. Πενήντα χιλιάδες κόα πέντε Γ. Πενήντα χιλιάδες πέντε. Τίποτα από τα πάρα-πάνω 4. Τις περισσότερες δεκάδες έχει ο αριθός; Α. 100 Β. 350 Γ M a Α Β Γ Ο αριθούς που έχει το εαλύτερο ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων είναι ο; 6. Με ποιο τρόπο ράφουε το 15 στον αρχαίο ελληνικό τρόπο ραφής; Α. ε Β. XV Γ. Αε. ιε [ ] ε λ 7. Ο αριθός στρουλοποιούενος στην πλησιέστερη χιλιάδα ίνεται: Α Β Γ Η δοκιή της αφαιρέσεως ίνεται αν: Α. Στον αφαιρετέο προσθέσουε την διαφορά Β. Στον ειωτέο προσθέσουε την διαφορά Γ. Απ' τον αφαιρετέο αφαιρέσουε την διαφορά. Απ' τον αφαιρετέο αφαιρέσουε τον ειωτέο 9. Μία οάδα πάσκετ έχει 10 παίκτες από τους οποίους ο ικρότερος είναι 0 ετών και ο εαλύτερος είναι 8. Να εξεταστεί αν υπάρχουν δύο παίκτες ε την ίδια ηλικία. (Ε.Μ.Ε., Θαλής 1997) 10. Να ράψετε όλους τους διψήφιους αριθούς που έχουν ένα τουλάχιστον ψηφίο τους το Να ράψετε όλους τους διψήφιους αριθούς που έχουν άθροισα ψηφίων α. Να σχηατίσετε όλους τους τριψήφιους αριθούς που χρησιοποιούν από ία φορά τα ψηφία 1,,3 και να τους διατάξετε κατά αύξουσα σειρά. β. Ποιοι από τους παραπάνω αριθούς είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί; 5

6 Α.1.: Πρόσθεση Αφαίρεση και Πολλαπλασιασός φυσικών αριθών. 13. Το 50-(65-35) Α. εν δίνει αποτέλεσα Β. Ισούται ε 30 Γ. Ισούται ε 5. Ισούται ε Αν α=5, β=10, =5, τότε το α-(β-) ισούται ε: Α. 10 Β. 0 Γ Το αποτέλεσα της πράξεως 0.α είναι: Α. 0 Β. 1 Γ. Α. Τίποτα από τα προηούενα 16. Το αποτέλεσα των πράξεων 7-3. είναι: Α. 8 Β. 6 Γ Αν α=14, β=6, =3, να υπολοίσετε τις τιές των παραστάσεων: Α=5(α+)-β+7 Β=4(α-β+)-α+β Γ=β-+α Στη συνέχεια, να συκρίνετε τις τιές που βρήκατε. M a 19. Να υπολοίσετε τα αθροίσατα: α β δ Αν α=8 και β+=10, να υπολοίσετε την τιή της παράστασης (α+β)+. [ ] ε λ 0. Να βρεθεί η τιή της παράστασης: Α=( )-( ) (Ε.Μ.Ε., Ευκλείδης 1999) 1. Να ίνουν οι πράξεις: ι. 5.(+3) ιι. 6.(α+1) ιιι..(χ+ψ-1) ιν. 3.(χ-+ω).5. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις. ι. Α=χ+χ+6χ+8χ ιι. Β=3χ-χ+7χ+8χ+10χ ιιι. Γ=χ+χ+ψ+χ+ψ+χ ιν. =4χ+5ψ+3χ-ψ ν. Ε=α+α+α+α+α-α νι. Ζ=β+3β-β+1β 3. ίνεται η παράσταση Α=7(χ+ψ)+3(χ-ψ)-6χ+1. ι. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α. ιι. Αν χ+ψ=7, να υπολοίσετε την τιή της παράστασης Α 6

7 4. Αν α+β=6, να βρεθεί η τιή των παραστάσεων: Α=α+(β+1)+010 Β=α=3(β+4)+α 5. Να ετατρέψετε σε ινόενο τις παραστάσεις: ι. χ+χ+6χ-5χ ιι. 10ψ-ψ+ψ-ψ ιιι. 3χ+χ+5ψ-χ-ψ ιν. 1χ 6χ + ψ ν. 5αβ+10αβ-6αβ+αβ νι. χ + χ νιι χ + 6χ + 4χ 6. Το 1. x ισούται ε: Α. x Β. 1 Γ. 0. Τίποτα από τα προηούενα 7. Το α+α+α+α ισούται: Α. 4 Β. 4α Γ. 4+α. Τίποτα από τα προηούενα 8. Αν 3α=0 η τιή του ινοένου 3(α+5) ισούται ε: Α. 15 Β. 36 Γ. 35,5. 35 M a Α. α(β+1) Β. α(β+) Γ. αβ. Τίποτα από τα προηούενα Α. 1 Β. x Γ. 3x. Τίποτα από τα προηούενα 9. 1x-11x ισούται ε: 30. αβ+α ισούται ε: Α.1.3: υνάεις φυσικών αριθών. [ ] ε λ 31. ίνονται οι αριθοί στην ανεπτυένη τους ορφή: ι ιι ιιι Να ραφούν στην δεκαδική τους ορφή. 3. Να ράψετε ε σύντοο τρόπο τα παρακάτω: α. χ χ χ χ β φορές φορές 1 φορές δ. ψ ψ ψ ψ ψ ψ ε. 5 β β β στ. ω ω ω ω 1 ζ. 5 χ χ η. ω ω ω ω ω 8 θ. ψ ψ 5 7

8 ι. κ κ κ λ λ λ κ. λ λ λ + κ + λ κ + λ λ. ( ) ( ). α β α β ν. α+ β + α+ β + ξ. χ + χ + χ + χ χ χ Να υπολοίσετε τις δυνάεις: ( ) 3 ( 6 ) 34. Να υπολοίσετε την τιή της παράστασης: M6 a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α = χ 100 χ 101 χ χ 5 ια χ= Να ράψετε το αριθό = ως ία δύναη. α Να βρείτε τον φυσικό αριθό χ ια τον οποίο ισχύει: ι. ιι. χ = 16 νι. χ = 64 νιι. ιιι. ( χ + 1) 3 = 7 νιιι. ιν. ν. 3 χ = 18 ιχ. 10 χ 1 = χ. χ = 18 κ. α 10 χ = [ ] ε λ (Ε.Μ.Ε., Ευκλείδης 199) χ 1 = 4 χ 3 = 7 χ 7 = Το 5 ισούται ε: Α. 10 Β. 5 Γ. 3. Τίποτα από τα προηούενα 38. Το 3 διαβάζεται: Α. εύτερη δύναη του τρία Β. Τρία στην δευτέρα Γ. Τρία στο τετράωνο. ύο στον κύβο 39. Το α.α.α ράφεται: Α. 3α Β. α 3 Γ. 3 α. α+α+α 40. Το 1 7 ισούται ε: Α. 1 Β. 7 Γ Το 10 7 προήλθε από το: Α Β Γ Τίποτα από τα πάραπάνω 8

9 Α.1.4: Ευκλείδεια διαίρεση - ιαιρετότητα. 4. Να ίνει η ευκλείδεια διαίρεση του 1453 ε το 7 και να ραφτεί η ισότητα που προκύπτει. 43. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες προκύπτουν από Ευκλείδεια διαίρεση και αν ναι από ποιες; ι. 37=5.6+7 ιι. 47=5.8+7 ιιι. 67=7.9+4 ιν. 108= Να συπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας αν είναι νωστό ότι όλοι οι διαιρετέοι είναι περιττοί. δ π υ M a 46. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθού 45. Ποιος είναι ο εαλύτερος φυσικός αριθός που αν διαιρεθεί ε το 7 δίνει πηλίκο 100; το πηλίκο της διαίρεσης; [ ] ε λ α = ε το 5. Ποιο είναι 47. Να βάλετε παρενθέσεις στη σωστή θέση έτσι ώστε να αληθεύουν οι ισότητες: ι =96 ιι =9 ιιι =6 ιν. 7-3:3=8 48. Να υπολοίσετε τις τιές των παρακάτω αριθητικών παραστάσεων: : : Να υπολοίσετε τις τιές των παρακάτω παραστάσεων: 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α = Β = 3 5 :4 3 : Γ = 3 : :9 = :

10 50. Να υπολοίσετε τις αλεβρικές παραστάσεις: ( 10 6 ) 1 ( 9 ) ( 3 ) 3 3 ( ) ( ) ( ) Α = : 3 : Β = Να υπολοίσετε τις παραστάσεις: 3 Α = 4 : M( a ) ( ) ( ) Β = 65 : ( ) Γ = , :11 4 = : 6 5. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: 3 α ( ) 4 ( ) + ( ) β ( ) ( ) : ( ) δ Να υπολοίσετε τις παραστάσεις: 3 Α = ( ) ( ) Β =, 4 1, 1, 0,1 + 0, 06 ( ) ( ) Γ = ( ) = 6,8 : 0, 0,3 5 Ε = : :9 Ζ = : ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Η = :10 Θ = : Ι = 0,1 + 0, , 8 1, (Ε.Μ.Ε., Θαλής, 001) [ ] ε λ 54. Να ίνουν οι παρακάτω πράξεις χρησιοποιώντας την επιεριστική ιδιότητα: α β δ :8 + 18:3 ( ) ε. 3,8 16, :,5 +, 45 1,6 55. Στη διαίρεση 30:3=10 το υπόλοιπο είναι: Α. 10 Β. 30 Γ. 3. Τίποτα από τα προηούενα 10

11 56. Στην διαίρεση 16:=8 το είναι: Α. ιαιρετέος Β. ιαιρέτης Γ. Πηλίκο. Υπόλοιπο 57. Το αποτέλεσα της πράξεως 0:x όπου x 0 είναι: Α. x Β.1 Γ. 0. α 58. Αν ένας φυσικός αριθός διαιρεθεί ε το 3 αφήνει υπόλοιπο: Α. Μικρότερο του 3 Β. Μεαλύτερο του 3 Γ Στην ισότητα 93= που προκύπτει από ευκλείδεια διαίρεση ισχύει: Α. ιαιρετέος = 93, διαιρέτης = 6, πηλίκο = 14, υπόλοιπο = 9 Β. ιαιρετέος = 6, διαιρέτης = 93, πηλίκο = 14, υπόλοιπο = 9 Γ. ιαιρετέος = 93, διαιρέτης = 6, πηλίκο = 9, υπόλοιπο = 14. ιαιρετέος = 93, διαιρέτης = 14, πηλίκο = 6, υπόλοιπο=9 Α.1.5: Χαρακτήρες διαιρετότητας Μ.Κ.. Ε.Κ.Π. Ανάλυση αριθού σε ινόενο πρώτων παραόντων. 60. Το Ε.Κ.Π των αριθών 4 και 6 είναι ο αριθός: Α. 4 Β. Γ. 1. Τίποτα από τα προηούενα M a 61. Να αποδείξετε ότι: ι. Ο αριθός [ α+1β η] είναι πολλαπλάσιο ατ του κα ιι. Ο αριθός 15χ+30ψ είναι πολλαπλάσιο του Να εξηήσετε ιατί ο αριθός Μ=13.κ+6 διαιρείται ε το 13 όποια τιή και αν πάρει ο φυσικός αριθός κ. [ ] ε λ 63. Για ποια ψηφία χ και ψ διαιρείται δια του 45 ο αριθός του οποίου η παράσταση στο δεκαδικό σύστηα αρίθησης είναι 6χ1ψ; (Ε.Μ.Ε., Θαλής, 005) 64. Γράφουε στη σειρά τους αριθούς από το 1990 έως και το 1997 και σχηατίζουε ένα αριθό. Να εξετάσετε αν ο αριθός αυτός είναι πρώτος ή σύνθετος. 65. Να βρεθεί ο Μ.Κ..(30,45) 66. Να απλοποιηθεί το κλάσα Ένας ανθοπώλης έχει 48 τριαντάφυλλα, 84 αρύφαλλα και 10 αραρίτες. Πόσες το πολύ ανθοδέσες πορεί να κάνει που να έχει η καθεία τον ίδιο αριθό από αυτά τα λουλούδια. Πόσα από αυτά θα περιέχει η κάθε ανθοδέση; 68. Αν διαιρέσουε έναν αριθό χ ε το 3 θα πάρουε υπόλοιπο 16. Ποιος είναι ο Μ.Κ..(χ,3); 69. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π.(1,15,4). 70. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π.(96,144,40). 11

12 71. Τρία παιδιά προπονούνται σε ένα κυκλικό στίβο και ξεκινούν συχρόνως από το σηείο Α τρέχοντας οόρροπα. Ο πρώτος κάνει τον κύκλο σε 45 δευτερόλεπτα, ο δεύτερος σε 75 και ο τρίτος σε 90. Μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα φτάσουν και οι τρεις στο σηείο Α και πόσες στροφές θα κάνει ο καθένας; 7. Ποιος είναι ο Μ.Κ.. και το Ε.Κ.Π. των αριθών α=4 και β=80; 73. Οι κοινοί διαιρέτες του 6 και του 15 είναι: Α. Ο 3 Β. Οι 1, 3 Γ. Ο 30. Τίποτα από τα πάρα-πάνω 74. Ο ΜΚ του και του 3 είναι ο: Α. Β. 3 Γ. 1. εν υπάρχει 75. Αν ο 3 διαιρεί τον φυσικό αριθό α, τότε θα διαιρεί και τον: Α. 5α Β. α Γ. α-1. Τίποτα από τα προηούενα 76. Ο αριθός διαιρείται ε το: Α. και 5 Β., 5 και 9 Γ. και 9. Τίποτα από τα προηούενα 77. Ο αριθός 13 5 διαιρείται ε το 5 όταν το είναι: Α. 5 Β. 0 Γ. 4. Οτιδήποτε M a Α. 4 Β. 16 Γ Ένας φυσικός αρθός διαιρείται ε το 8. Τότε θα διαιρείται σίουρα και ε το: 79. Ποιό από τα επόενα είναι σωστό; Α. Αν ένας φυσικός αριθός διαιρείται ε το 3, θα διαιρείται και ε το 9 Β. Αν ένας φυσικός αριθός διαιρείται ε το 9, θα διαιρείται και ε το 3 Γ. Ένας φυσικός αριθός διαιρείται ε το 9 όταν λήει σε 9. Τίποτα από τα προηούενα [ ] ε λ 80. Αν α= τότε ο 6α αναλύεται σε ινόενο πρώτων παραόντων ως εξής: Α Β Γ Τίποτα από τα προηούενα 81. (3+5) ισούται ε: Α. 34 Β. 64 Γ. 16. Τίποτα από τα προηούενα 8. Το ισούται ε: Α. 7 Β. 9 Γ. 3. Τίποτα από τα πάρα-πάνω 83. Αν το =3, τότε το 1+3 ισούται ε: Α. 36 Β. 8 Γ Αν x+y=3 ποιο είναι το άθροισα της παραστάσεως 7+x+1+y; Α. 8 Β. 11 Γ Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθοί που όταν διαιρεθούν ε το 4 δίνουν πηλίκο Να συπληρωθεί ο αριθός 3_51_ ώστε να διαιρείται ε το 5 και το 9. 1

13 87. Ποιοι από τους αριθούς 14, 687, 13456, , διαιρούνται ε το,3,5 και 9; 88. Να συπληρώσετε τα κενά ώστε, οι αριθοί να διαιρούνται ε το,3,5 και 9 αντίστοιχα: _4_, 3_5_71, 1_3_, 56_8_ 89. Να συπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως στο παράδεια ιαιρείται ε το Αριθός ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ M ( ) ( ) ( ) 91. Εξετάστε a αν το παρακάτω τετράωνο είναι αικό όταν: 90. Να βρεθεί η τιή της παράστασης: Α = + 1 : α κ ν [ ] ε λ β λ 3 1 Ο α είναι ο ικρότερος άρτιος πρώτος αριθός. Ο β είναι το τετράωνο του 3. Ο = 0, 07 0,1 : 0, 001 Ο κ είναι φυσικός αριθός που όταν διαιρείται ε το δίνει πηλίκο 5 και υπόλοιπο 1 Ο λ είναι λύση της εξίσωσης: 10-χ= Ο = + 3 Τον αριθό ν θα τον βρούε έτσι ώστε ο αριθός 11ν να διαιρείται ταυτόχρονα ε το 9 και το 5 9. Ένας βιβλιοπώλης έχει 1 αρκαδόρους 16 στυλό και 4 ολύβια. Πόσες το πολύ όοιες κασετίνες πορεί να φτιάξει; Πόσα στυλό, πόσα ολύβια και πόσους αρκαδόρους θα έχει η κασετίνα; 13

14 93. Ένας εωρός φύτεψε σήερα αϊντανό. Γνωρίζει ότι πρέπει να τον ποτίζει κάθε 4 ηέρες, να βάζει τα χόρτα κάθε 6 ηέρες και να κόβει από το αϊντανό κάθε 10 ηέρες. Να βρείτε σε πόσες ηέρες το λιότερο θα κάνει και τις τρεις ερασίες αζί. Κάθε πόσες ηέρες ο εωρός θα κάνει και τις τρεις ερασίες αζί; M a [ ] ε λ 14

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Τα κλάσατα Α..1: Η έννοια του κλάσατος. 1. Να σχεδιάσετε ένα τετράωνο ε πλευρά 4 cm και να ραοσκιάσετε: ι. Το 1 8 του τετραώνου. ιι. Τα 3 16 ιιι. Τα 5 3 του τετραώνου. του τετραώνου.. Ο Πέτρος στα ενέθλιά του έβαλε τα 3 cd s από τα 76 που είχε προραατίσει. ι. Ποιο έρος των cd s χρησιοποίησε. ιι. Ποιο έρος των cd s δεν χρησιοποίησε. 3. Ένα ζευάρι παπούτσια κοστίζει 65 αλλά στην περίοδο των εκπτώσεων ας κάνουν έκπτωση 13. ι. Ποιο [ έρος της ηαρχικής ] τιής είναι ατ η έκπτωση;. κα Mιι. a Ποιο έρος της αρχικής τιής είναι τα χρήατα που πληρώσαε; 4. Τα 4 των αθητών ίας τάξης είναι 0 παιδιά. Πόσοι είναι οι αθητές της 5 τάξης; [ ] ε λ 5. Μία διαφηιστική εταιρία ξοδεύει κάθε ήνα το 1 των εσόδων της ια 3 ραφική ύλη. Αν το ήνα Μάρτιο πλήρωσε ια ραφική ύλη 340, να βρείτε πόσα ήταν τα έσοδα της εταιρίας αυτό το ήνα. 6. Τα 7 των αθητών της Γ Λυκείου ενός σχολείου πηαίνει στην τεχνολοική κατεύθυνση, τα 5 8 στη θεωρητική και οι υπόλοιποι στη θετική. Αν στη θεωρητική πηαίνουν 35 παιδιά, να βρείτε: ι. Πόσους αθητές έχει η Γ Λυκείου αυτού του σχολείου. ιι. Πόσοι αθητές πηαίνουν στη θετική και πόσοι στην τεχνολοική κατεύθυνση. ιιι. Ποιο έρος των αθητών της Γ Λυκείου αποτελούν τα παιδιά της θετικής κατεύθυνσης. 7. Τα 4 1 των αθητών ενός σχολείου είναι 0 αθητές. Τα είναι: Α. 60 αθητές Β. 5 αθητές Γ. 185 αθητές. 370 αθητές 15

16 8. Να βρείτε ια ποιες τιές του αριθού χ ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: ι. ιι. ιιι. ιν. 5 χ 3 χ 7 χ 1 χ 4 5 χ χ 1 ( ) ν. 3 χ 8 Α..: Ισοδύναα κλάσατα. 9. Να ελέξετε αν τα παρακάτω κλάσατα είναι ισοδύναα: ι. 5 8 και 3 5 M a 11. Να ράψετε ως κλάσατα ε παρονοαστή το 5 τους αριθούς: ιι. 0 0 και 3 5 κα 10. Να ετατρέψετε καθένα από τα παρακάτω κλάσατα ε παρονοαστή το 100: χ,,,,, ,, 3, 5, 0, 50, 70, α. [ ] ε λ 1. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσατα: ,,,,,,,, Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσατα: ,, Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσατα: χ χ ν α β χ ψ ζ χ ψ χ ψ α β,,,,,,, χ χ ν α β χ ψ ζ χ ψ χ ψ α β 15. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσατα: ( 3 ) ι ιι ( ) 16

17 16. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσατα: ι. ιι. ιιι. χ 3 χ 6 5χ 0 χ 4 6χ 1 5χ 10 ιν. χ χ χ 1 ν. α β α β 010 Α..3: Σύκριση κλασάτων. 17. Να συκρίνετε τους παρακάτω αριθούς και να δικαιολοήσετε την απάντησή σας: M a 1 ι ιι ιιι ιν. ν. νι [ ] ε λ 18. Να συκρίνετε τα παρακάτω κλάσατα ε τη ονάδα: ,,,, Να συκρίνετε τα παρακάτω κλάσατα ε τη ονάδα (όπου χ φυσικός αριθός): χ + 3 7χ 3 χ 3χ,,, χ 7χ + 4 5χ 3χ Αν α 1 α =. Τότε το 5α ισούται ε: 5α Α. 5 Β. 1 Γ. α. 5α Αν = 1. Τότε: x+103 Α. x=13 B. x=103 Γ. x=0. x=1 17

18 . Αν 5α=8β ποια είναι η σωστή ισότητα; Α. 5 = 8 Β. α = β α β 5 8 Γ. 5 β = α 8. α 8 = β 5 3. Αν 5 < α β < 3 5 τότε το α β πορεί να ισούται ε: Α. 4 5 Β. 1 5 Γ Αν α=58, β= 57 3, = 58 3, δ= 57 4 τότε: Α. α<β<<δ Β. α<<δ<β Γ. δ<β<<α. β<α<<δ 5. Το 6α ισούται ε: α Α. α Β. 1 Γ. 6α Αν α β =3 τότε το α+β α Α. 3 Β. 1 3 Α..4 Α..6: Πρόσθεση [ Αφαίρεση η] Πολλαπλασιασός - ιαίρεση M a κλασάτων. ισούται ε: 7. Να ίνουν οι παρακάτω πράξεις: ι. ιι. ιιι. ιν. ν. νι νιι νιιι. ιχ χ χι. 1 5 χιι. 5 7 Γ. 4. Τίποτα από τα προηούενα [ ] ε 7 3 λ 4 8: : :6 1 18

19 8. Να υπολοίσετε τα αθροίσατα: α β δ Να ίνουν οι πράξεις: α β δ. + : M + a ε. : : ζ., η. 7, θ., ι [ ] ε λ 19

20 30. Να ίνουν οι πράξεις: Α = : Β = : Γ = :4 + : = : = 8 4 Ε = Ζ M 6 3 a Να κάνετε ε τον πιο σύντοο τρόπο τους πολλαπλασιασούς: ι. ιι. ιιι ιν Να κάνετε τις πράξεις: Να υπολοίσετε τα αθροίσατα: [ ] ε λ ι. ιι. ιιι προσθετέοι 34. Έστω οι αριθητικές παραστάσεις: Α = + και Β = 3 5. Να βρείτε τον αντίστροφο του αριθού Α+Β

21 35. ίνονται οι παραστάσεις: Α = , Β = Να βρείτε τον αριθό Α-Β. (Ε.Μ.Ε., Θαλής 000) 36. Να υπολοίσετε τον αριθό α + β αν είναι: α = β = Αν α+ β = και + δ = να υπολοίσετε την τιή των παραστάσεων: Α = α+ + + β + δ 6 3 Β = α+ + + δ + β 1 M a 38. Αν χ 3, ψ 0, ψ χ + 3ψ Κ = ψ 5χ + ψ Λ = 5ψ = [ να υπολοίσετε η] την τιή ατ των παραστάσεων: κα [ ] ε λ 39. Τρεις φίλοι έχουν πάει αζί εκδροή και έχουν ο πρώτος 90, ο δεύτερος 40 παραπάνω από τα των χρηάτων του πρώτου και ο τρίτος διπλάσια από τα 3 των χρηάτων του πρώτου. 3 α. Πόσα χρήατα έχουν ο δεύτερος και ο τρίτος; β. Αν το δωάτιο που θέλουν να είνουν στοιχίζει 60 τη βραδιά πόσες το πολύ διανυκτερεύσεις πορεί να κάνει ο καθένας; 40. Ένα ευθύραο τήα ΑΒ έχει ήκος 17cm. Να σχεδιάσετε ένα τήα: ι. Γ ε ήκος τα 3 17 ιι. ΕΖ ε ήκος τα του ΑΒ του ΑΒ 1

22 41. Να συπληρώσετε τη στήλη Β ε τους αντίστροφους των αριθών της στήλης Α χ 1 χ χ, χ 0 3, χ 4 χ α β + 4. Να ετατρέψετε τα παρακάτω κλάσατα σε απλά: Σύνθετα Mκλάσατα 5 a α β, α 0, β 0 6α 3 ζ, ζ 0 ζ Απλά κλάσατα [ ] ε λ

23 43. Να κάνετε τις πράξεις: ι ιι. : ιιι. : ιν : : + : ν νι M a 1 νιι [ ] ε λ 3

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο M a εκαδικοί αριθοί. Α.3.1: εκαδικά κλάσατα εκαδικοί αριθοί ιάταξη δεκαδικών αριθών - Στρουλοποίηση. 1. Μία βιοτεχνία κουστουιών χρειάζεται ια κάθε κουστούι 1 έτρο και 73 εκατοστά ύφασα ια το σακάκι, 1 έτρο και 3 δέκατα ια το παντελόνι. Πόσο ύφασα χρειάζεται συνολικά ια 10 κουστούια;. Μία πενταελής οικοένεια χρειάζεται ηερησίως κατά έσο όρο 1 κιλό και 50 ραάρια ήλα, κιλά και 70 ραάρια πορτοκάλια. Πόσα κιλά φρούτα χρειάζονται κατά έσο όρο το ήνα; 3. Να συπληρώσετε τα παρακάτω κενά ε το κατάλληλο σύβολο >,=,< ι. 31,31 313,3 ιι. 1,58 1,59 ιιι. 0,53 0,530 ιν. 3,0 0,3 ν. 15,3 14,85 νι Να βρείτε το φυσικό αριθό χ ια τον οποίο ισχύει: νιι. 5 χ 9 < = χ 4 χ 37 0, [ ] ε λ 5. ίνονται οι αριθοί στην ανεπτυένη τους ορφή: , , , , ,0001 Να τους ράψετε στη δεκαδική τους ορφή. 6. Να βρείτε το ψηφίο χ που λείπει στον αριθό 34,6χ834 ώστε στρουλοποιώντας στο πλησιέστερο εκατοστό να ίνει 34, Ο αριθός 11,4 προέκυψε από στρουλοποίηση στο πλησιέστερο εκατοστό του αριθού: Α. 11,317 Β. 11,397 Γ. 11,50. 11,4 8. Ένας αριθός εαλύτερος του 15,3567 είναι ο: Α. 15,3558 Β. 1,53568 Γ. 15. Κανένας από τους πάρα-πάνω 9. Το εαλύτερο δεκαδικό έρος έχει ο αριθός: Α. 15,31 Β.,0097 Γ. 3, ,091 4

25 Α.3.: Πράξεις ε δεκαδικούς αριθούς υνάεις ε βάση δεκαδικό αριθό. 10. Για να προσθέσουε δύο δεκαδικούς πρέπει να προσέξουε: Α. Να πολλαπλασιάσουε ε κατάλληλο αριθό ιά να φύουν οιυποδιαστολές Β. Να διώξουε την υποδιαστολή του δευτέρου Γ. Στην κατακόρυφη τοποθέτηση, οι υποδιαστολές να βρίσκονται στην ίδια στήλη. Ο πρώτος προσθετέος να είναι εαλύτερος από τον δεύτερο 11. Το άθροισα 0,003+7 ισούται ε: Α. 10 Β. 10,000 Γ. 7,003. Τίποτα από τα πάρα-πάνω 1. Η διαφορά 15-0,01 ισούται ε: Α. 14,01 Β. 14,9 Γ. 14. Τίποτα από τα πάρα-πάνω 13. Ο πολλαπλασιασός δεκαδικών ίνεται: Α. Αρκεί να πει η υποδιαστολή κάτω από την υποδιαστολή Β. Όπως και των φυσικών και το αποτέλεσα το χωρίζουε ε υποδιαστολή από τα δεξιά προς τα αριστερά, τόσες θέσεις, όσα δεκαδικά ψηφία έχουν οι παράοντες. M a Γ. Αρκεί να πει πρώτος ο εαλύτερος. Τίποτα από τα πάρα-πάνω 14. Να ίνουν οι παρακάτω πράξεις: 71+10,5+91, ,5+9, ,5+8, , ,4 14, ,7.53, ,80 (1,+,1).1,1 15. Να υπολοίσετε τα ινόενα: α. 10 0,1 0, β , [ ] ε λ 16. Να υπολοίσετε τις δυνάεις: ,1, 0,1, 0,, 0,, 0,, 1,1, 1,, 1, 3, 1, 4, 1,5 17. Να υπολοίσετε τις τιές των παρακάτω αριθητικών παραστάσεων: 87,17 6, 45 : 0,15 1,3 5, 4 ( ) ( ) ( 10 3,0 : ) + 3,14 ( 1,5 0,5) Το αποτέλεσα της πράξεως 0, είναι: Α. 18 Β. 0,18 Γ ,8 5

26 19. Το αποτέλεσα της πράξεως 18.0,01 είναι: Α. 0,18 Β. 18 Γ. 1, Η διαίρεση ε διαιρετέο δεκαδικό: Α. εν ίνεται Β. Γίνεται αρκεί να διώξουε κατάλληλα την υποδιαστολή από τον διαιρετέο Γ. Γίνεται αρκεί να βάλουε την υποδιαστολή κάτω από την υποδιαστολή. Γίνεται αρκεί ο διαιρέτης να ην είναι 0 Α.3.4: Τυποποιηένη ορφή εάλων αριθών. 1. Να τοποθετήσετε το κατάλληλο σύβολο της ανισότητας (< ή >) στα παρακάτω κενά. ι. ιι. ιιι. ιν. 4 4, 10..., , , , , , Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: M a Α. 1, Β Γ , ι ιι ιιι. ( ) 3 3. Η τυποποιηένη ορφή του είναι: [ ] ε λ 4. Ο 0, στην τυποποιηένη του ορφή ράφεται: Α. 0, Β. 0,.10 4 Γ Τίποτα από τα προηούενα Α.3.5: Μονάδες έτρησης. 5. Πως θα ράψουε την απόσταση της Γης από τον ήλιο που είναι km σε cm; 6. Η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου είναι 7km/h. Ποια είναι η ταχύτητά του σε m/sec; 7. Πόσα στρέατα είναι το εβαδόν ενός κτήατος που οι διαστάσεις του είναι 160m και 00m; 8. Να συπληρώσετε τις ισότητες: 1m + 7dm + 48cm =...cm 0,14Km 100m =...m 9. Όταν λειώνει ο πάος χάνει τα 0,07 ή 7% του όκου του. Πόσα λίτρα νερό θα δώσει όταν λειώσει 0,5m 3 πάου; 6

27 30. Ο αριθός a στον άξονα του σχ.1 ισούται ε: Α.,7 Β. 9 Γ., Στο σχ. ισχύει ια τους αριθούς a και b: Α. a>b Β. b<a Γ. b>a. a=b 3. 15,6:1 000 ισούται ε: Α. 1,561 Β. 0,156 Γ , Το πηλίκο της διαιρέσεως 8:3 ε προσέιση εκατοστού ισούται ε: Α. 9,3 Β. 9,33 Γ. 9,333. Τίποτα από τα προηούενα Mαριθούς. a 34. α) Στην παρακάνω εικόνα οι χρωατιστοί δείκτες ας δείχνουν κάποιους [ ] ε λ Συπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. Χρώα δείκτη Κόκκινο Μπλε Πράσινο Κίτρινο Αριθός που αντιστοιχεί β) Η εικόνα παριστάνει ένα στροφόετρο, το οποίο δείχνει τις στροφές που κάνει η ηχανή ιας οτοσικλέτας. Για να υπολοιστούν οι στροφές της ηχανής πρέπει να πολλαπλασιάσουε τον αριθό που δείχνει ο δείκτης ε το 100. Συπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. Χρώα δείκτη Κόκκινο Μπλε Πράσινο Κίτρινο Στροφές ηχανής ) Ο οδηός της οτοσικλέτας πρέπει να προσέχει ώστε ο δείκτης του στροφόετρου να ην ξεπεράσει τους αριθούς που βρίσκονται στην 7

28 πορτοκαλί και κόκκινη περιοχή του στροφόετρου, ιατί υπάρχει κίνδυνος βλάβης της ηχανής. Μέχρι πόσες χιλιάδες στροφές πρέπει να οδηεί ο οτοσικλετιστής. 35. Γνωρίζουε ότι η θεροκρασία του ανθρώπινου σώατος βρίσκεται εταξύ των 35 και 45 βαθών Κελσίου. α) Να κάνετε ένα τήα ευθείας στα άκρα του οποίου να τοποθετήσετε τους αριθούς 35 και 45 και ενδιάεσα όλους τους ακεραίους εταξύ του 35 και του 45. β) Στο προηούενο ευθύραο τήα να σηειώσετε την φυσιολοική θεροκρασία του ανθρώπινου σώατος που είναι 36,5 βαθοί Κελσίου. 36. Σε κατάλληλο άξονα ε αρχή το σηείο Ο όπου θα αντιστοιχίσετε τον αριθό 0 να τοποθετήσετε τους διψήφιους αριθούς που διαιρούνται ε το Σε κατάλληλο άξονα ε αρχή το σηείο Ο όπου θα αντιστοιχίσετε την χρονιά έννησή σας να τοποθετήσετε το χρόνο που διανύουε καθώς και την χρονιά που θα είστε 0 χρονών. 38. Σε κατάλληλο άξονα ε αρχή το σηείο Ο όπου θα αντιστοιχίσετε τον αριθό 0 να τοποθετήσετε τα κοινά διψήφια πολλαπλάσια του 9 και του. M a ξεκινάει από την πόλη Α ε προορισό την πόλη Β. Το αυτοκίνητο κινείται ε 39. ύο πόλεις Α και Β απέχουν εταξύ τους 300 χιλιόετρα. Ένα αυτοκίνητο ταχύτητα 90 χιλιοέτρων την ώρα. Θεωρούε τον δρόο που συνδέει τις δύο πόλεις ευθεία. α) Να κάνετε έναν άξονα ώστε η πόλη Α να είναι η αρχή του. Μονάδα του άξονα να θεωρήσετε τα 30 χιλιόετρα. Πάνω στον άξονα να τοποθετήσετε την πόλη Β. β) Να σηειώσετε πάνω στον άξονα τις θέσεις του αυτοκινήτου κάθε ία ώρα. ) Να υπολοίσετε ε κτην. βοήθεια α [ του άξονα ] ε το λ χρόνο στον οποίο το αυτοκίνητο θα φτάσει στον προορισό του 40. Ένα ισόπλευρο τρίωνο έχει πλευρά 5 cm. Ένα τετράωνο έχει πλευρά 0,18 m. Ένα ορθοώνιο έχει ήκος dm και πλάτος 170 mm. α) Να βρείτε τις περιέτρους των παραπάνω σχηάτων. β) Μικρότερη περίετρο έχει το Α. Τρίωνο Β. Τετράωνο Γ. Ορθοώνιο. Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 41. Ένα ορθοώνιο έχει διαστάσεις,5 dm η ία και 30 cm η άλλη. Να υπολοίσετε σε mm την πλευρά ενός τετραώνου που έχει περίετρο ίση ε την περίετρο του ορθοωνίου. 8

29 4. Ένα αεροπλάνο πετάει στον εναέριο χώρο της Ελλάδος σε ύψος ft. Το υψηλότερο βουνό της Ελλάδος είναι ο Όλυπος ε ύψος,9 Km. Είναι ασφαλής η πτήση του αεροπλάνου; ικαιολοήστε την απάντησή σας. ( ίνεται ότι 1 ft = 30,48 cm). M a 43. Το λιάνι της Λήνου απέχει από το λιάνι της Θεσσαλονίκης 150 ναυτικά [ ] ε λ ίλια. Ένα καράβι ξεκινάει από τη Λήνο ε ταχύτητα 37 Km την ώρα και προορισό την Θεσσαλονίκη. Να υπολοίσετε ε προσέιση δεκάτου πόσες ώρες χρειάζεται το καράβι ια να φτάσει στον προορισό του. ( ίνεται ότι 1 ναυτικό ίλι = 185 m) 9

30 44. Το κακουρό ε 100 εάλα άλατα πορεί να καλύψει ια απόσταση 0,7 Km. Αν σε δύο λεπτά το κακουρό κάνει 40 άλατα πόση απόσταση πορεί να καλύψει σε ισή ώρα. 45. Ένα φορτηό έχει απόβαρο 4,75 t. Μεταφέρει ια δεξαενή σχήατος ορθοωνίου παραλληλεπιπέδου, εάτη ε νερό.οι διαστάσεις της δεξαενής είναι: 4 m, m, 1,5 m.και το βάρος της, (χωρίς το νερό), 50 Kg. Να υπολοίσετε το ικτό βάρος του φορτηού αν νωρίζετε ότι η πυκνότητα του νερού είναι 1 Kg ανά lt. 46. Ένα κουτί έχει 500 όοια καρφιά και ζυίζει 3,55 Kg. Το βάρος του κουτιού είναι 50 g. Με τη βοήθεια ιας ζυαριάς, (ακριβείας), πώς θα πάρουε 110 καρφιά M a στις 15:5. Ενδιάεσα υπάρχουν 7 δεκάλεπτα διαλείατα. Γίνονται 8 ίσης 47. Σε ένα ιδιωτικό υνάσιο τα αθήατα ξεκινούν στις 08:15 και τελειώνουν διάρκειας διδακτικές ώρες. Να υπολοίσετε την διάρκεια της κάθε διδακτικής ώρας. [ ] ε λ 48. Ο ήλιος βρίσκεται σε απόσταση Km από τη η (:1 Αστρονοική ονάδα). Ένα σωατίδιο που εκπέπεται από τον ήλιο κινείται ε την ταχύτητα του φωτός, που είναι Km το δευτερόλεπτο και φτάνει στη η. Υπολοίστε το χρόνο, σε s και min, που χρειάστηκε το σωατίδιο ια να φτάσει στη η. 49. Ένα ρολόι δείχνει 11:15 π.. Υπολοίστε την ώρα που θα δείχνει το ρολόι ετά από: α) 8 h β) 1 h και 15 min. ) 18 h και 30 min. δ) 4 h και 50 min. 50. Η Σελήνη χρειάζεται 9,53 ηέρες ια να κάνει ια περιφορά ύρω από τη Γη. α) Να ετατρέψετε τον χρόνο περιφοράς της Σελήνης σε συιή αριθό (: ηέρες,ώρες, λεπτά και δευτερόλεπτα). β) Κάποιος την 1/06/00 στις 3:00:00 παρατηρεί από κάποιο σηείο της Γης την Σελήνη. Υπολοίστε πότε την επόενη φορά, (όνο νύχτα), που αυτός θα ξαναδεί την ίδια ακριβώς περιοχή της Σελήνης. 51. Η ητέρα του Φίλιππα ια να φτιάξει ένα λυκό πρέπει να ζυίσει 500 g αλεύρι. ιαθέτει ια απλή ζυαριά και τα εξής σταθά: Ένα των 750 g και ένα του 1 kg. Με ποιόν τρόπο θα ζυίσει το αλεύρι που χρειάζεται; (Μπορεί να κάνει περισσότερες από ια ζυίσεις). 30

31 5. Πυκνότητα ενός υλικού ονοάζουε το έεθος που ας δείχνει πόση άζα από αυτό το υλικό καταλαβάνει χώρο ίσο ε ια ονάδα όκου. Στην συσκευασία ενός υλικού διαβάζουε ότι η πυκνότητά του είναι 3 g ανά cm 3. α) Πόσο χώρο καταλαβάνουν τα 3 Kg αυτού του υλικού. β) Αν το υλικό αυτό έχει σχήα ορθοωνίου παραλληλεπιπέδου ε διαστάσεις cm,0 cm και 30 cm, πόση θα είναι η άζα του; M a [ ] ε λ 31

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις και προβλήατα Α.4.0: Η έννοια της εταβλητής. 1. Να ράψετε ε τη βοήθεια ίας εταβλητής τις παρακάτω εκφράσεις: ι. τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθοί. ιι. το άθροισα τριών διαδοχικών φυσικών αριθών. ιιι. το άθροισα τριών διαδοχικών φυσικών αριθών ισούται ε 33. ιν. ένας άρτιος αριθός. ν. ένας περιττός αριθός. νι. το άθροισα τριών διαδοχικών άρτιων αριθών. νιι. το άθροισα τριών διαδοχικών περιττών αριθών.. Η έκφραση "το τριπλάσιο ενός αριθού ειωένο κατά 1" ράφεται ε την βοήθεια αριθών και ραάτων ως εξής: Α. 3x-1 Β. 3+x-1 Γ. 1-3x. 3x>1 3. Να διατυπώσετε ε λόια τις παρακάτω εκφράσεις: ι. χ-7=30 ιι. χ>5 ιιι. χ-6=χ+4 ιν. x M a ια κάθε χιλιόετρο. Να συβολίσετε το ποσό που θα πληρώσουε αν 4. Όταν χρησιοποιούε ταξί πληρώνουε 1 ευρώ ια τη σηαία και 0,10 ευρώ κάνουε χ χιλιόετρα. [ ] ε λ 5. Μια ηχανή αζί ε τον οδηό ζυίζει 178 κιλά. Να συβολίσετε ε τη βοήθεια ίας εταβλητής το βάρος της ηχανής και το βάρος του οδηού. Α.4.1: Η έννοια της εξίσωσης. 6. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης Α ε τη λύση της από τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β ι. χ+α=β Α. χ=α+β ιι. α+χ=β Β. χ=β-α ιιι. χ-α=β Γ. χ=α-β ιν. α-χ=β. χ=αβ ν. αχ = β, α 0 Ε. α χ = β νι. χ : α = β, α 0 Ζ. β χ = α νιι. α:χ=β 3

33 7. Να αντιστοιχίσετε κάθε πρόταση της στήλης Α ε την ισοδύναή της από τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Αν η εξίσωση Τότε: α χ = β έχει: Α. α 0 1. είναι αδύνατη. Β. α=β=0. είναι ταυτότητα. Γ. α=0 και β 0 3. έχει οναδική λύση την β χ = α. α 0 και β 0 4. έχει λύση την χ=0 8. Η εξίσωση 5x-18=57 έχει σαν λύση τον αριθό: Α. 1 Β. Γ Ο αριθός 5 είναι λύση της εξισώσεως: Α. x+3=5 Β. 5x=5 Γ. x+3=7. 6=x ίνεται η εξίσωση: χ + 3 = 3( χ 1) + 4. Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθούς 0, 1,, 3 την επαληθεύουν και ποιοι όχι. Ποιοι αριθοί είναι λύση της εξίσωσης; M a ι. 3+χ=51 ν. 470-χ= Να λύσετε τις εξισώσεις: ιι. χ+1,5=1,7 νι. 54-χ=3 ιιι. χ-7=13 νιι. χ-3=89 ιν. χ:1=4 νιιι. 4:χ=3 [ ] ε λ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: ι. 8χ-4=7χ+006 νιι..(ψ+7)+3.(4-3.4).ψ= ιι. 3χ=9-χ νιιι. 3χ+χ=3χ+010.(3-3 ) ιιι. χ+3χ=χ+16 ιχ..(χ-1)+7=5 ιν. χ+3χ+5χ= χ. χ-3+7=χ+4 ν. 3.(χ-)=18 χι. 3χ=χ+χ+010 νι. 5ω+.(ω+4)=9 13. Να λύσετε τις εξισώσεις: ι. χ 4 1 = ιι. χ 1 = 10 1 ιιι. 4 + χ = 0 1 ιν. ( χ + 5) = χ χ 6 ν. ( ) ( ) 1 = 30 33

34 14. Να λύσετε τις εξισώσεις: ι. χ 1 3 = ιι. χ + 4 = 1 39 ιιι. χ 6 = χ + 5 ιν. ( ) 3 :0,1 ν. 5χ 1 = 1 3χ + 0 νι. ( ) M a = 1 χ = 1 χ + 65 νιι. χ 8 = 0 5, 87 νιιι. 3 ( χ 5) = χ + χ 64 = ιχ. ( ) 15. Αν α+8=10 να λυθούν οι εξισώσεις: ι. χ α = 0 15 ιι. χ + α = 1 57 ιιι. χ + α = Να λύσετε τις εξισώσεις: [ ] ε λ ι. χ νι. 1 7 = χ = ιι. χ 1 νιι. χ 5 1 = = ιιι. χ 0,1 5 = νιιι. χ χ = 3 3 ιν. χ 1 5 ιχ. χ 4 χ 1 = = 3 3 ν. 6 ( χ ) χ. 1 χ 3 = χ + χ =

35 Α.4.: Επίλυση προβληάτων. 17. Τρία αδέλφια Α, Β, Γ έχουν συνολικά 100 ευρώ. Αν ο Α έχει 15 ευρώ περισσότερα από τον Β και ο Γ 8 ευρώ λιότερα από τον Α, να βρείτε πόσα χρήατα έχει ο καθένας. 18. Προσδιορίστε αν υπάρχουν, δύο, τρεις ή τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθοί ε άθροισα Ένας πατέρας έχει σήερα τετραπλάσια ηλικία από το ιο του. Σε τέσσερα χρόνια θα έχει τριπλάσια ηλικία από τον ιο του. Ποια ηλικία έχει ο πατέρας και ποια ο ιος σήερα; 0. Να βρείτε ποιον αριθό πρέπει να προσθέσουε ε το 1 8 ια να βρούε άθροισα Να βρείτε ποιον αριθό πρέπει να αφαιρέσουε από το 3 18 διαφορά 1 9. M a [ ] ε λ ια να βρούε. α. Να συκρίνετε τα κλάσατα: και β. Ποιο κλάσα πρέπει να προσθέσουε στο πρώτο κλάσα ια να βρούε τη ονάδα;. Ποιο κλάσα πρέπει να αφαιρέσουε στο δεύτερο κλάσα ια να βρούε τη ονάδα; 35

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο Ποσοστά. Α.5.1: Ποσοστά. 1. Να ραφτούν ε ορφή ποσοστών τα παρακάτω κλάσατα: ,38,,,,,, Να συπληρώσετε τα παρακάτω κενά: ι. 5%= 1... ιι % = ιιι % = 4 ιν. 3...% = 3. Να υπολοιστεί το 3,6% του αριθού: 4, 3 + 0,1 Α 1 7 0,315 M= 0,3 3 a Α.5.: Προβλήατα ε ποσοστά. [ ] ε λ (Ε.Μ.Ε., Θαλής 005) 4. Σε ια έρευνα που έινε στην Ευρώπη ια τα παιδιά βρέθηκε ότι το 40% είναι παχύσαρκα. Από αυτά το 3% είχαν προβλήατα ε υψηλή χοληστερίνη. Ποιο είναι το ποσοστό των παιδιών ε υψηλή χοληστερίνη; 5. Σε ένα Γυνάσιο στις ραπτές εξετάσεις του Ιουνίου 0,4,18 αθητές από τα τήατα α 1,α,α 3 ε 5,30 και 4 αθητές αντίστοιχα πέρασαν τη βάση στα Μαθηατικά. Να υπολοίσετε το ποσοστό των αθητών σε κάθε τήα και το ποσοστό των παιδιών της Α Γυνασίου που πέρασε τη βάση στο άθηα των Μαθηατικών. 6. Από 10 υποψηφίους που προσήλθαν σε ένα διαωνισό οι 84 απέτυχαν. Να βρείτε το ποσοστό των επιτυχόντων. 7. Για ένα κράα από χαλκό και νικέλιο χρησιοποιήθηκαν 7kg χαλκός και 9 kg νικέλιο. Να υπολοίσετε το ποσοστό του χαλκού και το ποσοστό του νικελίου έσα σε αυτό το κράα. 8. Το πλήθος των ανδρών που εράζονται σε ία τράπεζα προς το πλήθος των υναικών που εράζονται στην ίδια τράπεζα είναι 3. Να βρείτε το ποσοστό 5 των ανδρών που εράζονται στην τράπεζα. 36

37 9. Το 40% ίας ποσότητας σιταριού ζυίζει 60 kg. Το 70% της ίδιας ποσότητας σιταριού πόσο ζυίζει; 10. Ένα δοχείο περιέχει 0.000ml όταν είναι κατά 40% εάτο. Πόσα λίτρα περιέχει το δοχείο όταν είναι πλήρες; 11. Για την ανάδειξη του προέδρου και ταία του 15ελούς συβουλίου του Γυνασίου ενός σχολείου ο Μάνος πήρε το 60% των ψήφων και η Αλεξάνδρα τις υπόλοιπες. Αν ο Μάνος εξελέη ε διαφορά 4 ψήφων, τότε πόσο ήταν το πλήθος των ατόων που ψήφισαν; 1. Ποιος είναι ο αριθός του οποίου το 40% είναι το 00; 13. Αοράσαε φάρακα αξίας 150 ευρώ. Το 80% της αξίας θα ας καλύψει το ηόσιο Ταείο Υείας. Πόσα λεφτά θα πληρώσουε εείς; 14. Ένα κατάστηα ηλεκτρικών ειδών έχει 5 ψυεία τα οποία κοστίζουν ευρώ. Από αυτά τα δύο τα πούλησε ε κέρδος 5% το καθένα. Τα άλλα δύο ε κέρδος 30% το καθένα και το τελευταίο ε 15%. α. Πόσα χρήατα εισέπραξε ο καταστηατάρχης; β. Αν το 1 4 χρήατα του έειναν; των χρηάτων που εισέπραξε το έδωσε στην M a εφορία, πόσα 15. Μία εταιρία κατέθεσε στις 16 εκεβρίου ευρώ σε ία τράπεζα ε επιτόκιο 5%. Να βρείτε το ποσό που θα υπάρχει στην τράπεζα ένα χρόνο ετά από την ηέρα κατάθεσης. [ ] ε λ 16. Ένα πολυκατάστηα έχει προσφορά ένα dvd player και στοιχίζει 35 ευρώ χωρίς το Φ.Π.Α. Να βρείτε πόσο θα το αοράσουε αν το Φ.Π.Α. είναι 19%. 17. Ένα λουρί ηχανής, όταν ήταν καινούριο, είχε ήκος 180cm. Μάκρυνε ύστερα από χρήση κατά 5%. Κατά πόσα εκατοστά άκρυνε; 18. Το εισιτήριο απλής διαδροής στις αστικές συκοινωνίες της Αθήνας έχει 0,75 ευρώ. Αν υποτεθεί ότι αυξάνει και κοστίζει 0,90 ευρώ, να υπολοίσετε το ποσοστό αύξησης. 19. Για είδη αξίας 1 ευρώ πληρώσαε ε το Φ.Π.Α. 0,48 ευρώ. Να βρείτε το συντελεστή Φ.Π.Α. των προϊόντων. 0. Αν ψήσουε,5kg ωό κρέας, θα είνει 1,9 Kg ψηένο κρέας. Να βρείτε πόσο τοις εκατό απώλεια έχουε. 1. Ένα ποδήλατο πουλιόταν 550 ευρώ. Την 1/1/008 αυξήθηκε η τιή του κατά 1% και στις 9/3/008 ελαττώθηκε κατά 1%. α. Να βρείτε την τελική τιή του ποδηλάτου στις 9/3/008. Στη συνέχεια βρείτε το συνολικό ποσοστό κέρδους ή ζηίας. β. Πόση θα ήταν η τελική τιή του ποδηλάτου αν αρχικά ελαττωνόταν η τιή του κατά 1% και ετά ακολουθούσε αύξηση κατά 1%; 37

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο Ανάλοα ποσά. Α.6.1: Παράσταση σηείων στο επίπεδο. 1. Οι συντεταένες τριών κορυφών του παρακάτω ορθοωνίου ΑΒΓ είναι Α(3,7), Β(3,0), (1,7). Να βρείτε ποιες είναι οι συντεταένες της κορυφής Γ. M a Ο(0,0), Α(1,1), Β(,), Γ(3,3), (4,4). Αφού ενώσετε τα σηεία αυτά, τι. Στο σύστηα των καρτεσιανών συντεταένων, να τοποθετήσετε τα σηεία παρατηρείτε; [ ] ε λ 3. Στο καρτεσιανό σύστηα συντεταένων, να τοποθετήσετε τα σηεία Κ(1,), Λ(,7), Μ(5,9), Ν(4,4). Τι είδους τετράπλευρο σχηατίζεται; Μπορείτε να βρείτε τις συντεταένες του σηείου τοής των διαωνίων ΚΛΜΝ; 4. α. Στο καρτεσιανό σύστηα συντεταένων, να τοποθετήσετε τα σηεία Α(,3) και Β(4,1). Μπορείτε να βρείτε τις συντεταένες του έσου Μ του ευθύραου τήατος ΑΒ; β. Να επαναλάβετε το ίδιο ια δύο δικά σας σηεία. Α.6.: Λόος δύο αριθών - Αναλοία. 5. Να συπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Κλίακα του χάρτη Πραατική απόσταση Απόσταση στο χάρτη 1: km 75cm 1: ,5km.cm 1,15km 4,5cm 6. Οι πραατικές διαστάσεις ενός ηχανήατος είναι 8m ήκος και 0m πλάτος. Αν στο σχέδιο το πλάτος του ηχανήατος είναι 5cm, να βρεθεί η κλίακα του σχεδίου και το ήκος του ηχανήατος στο σχέδιο. 38

39 7. Η κλίακα ενός χάρτη είναι 1: Να βρεθεί η πραατική απόσταση δύο πόλεων αν η απόσταση τους στο χάρτη είναι 3cm. Α.6.3: Ανάλοα ποσά Ιδιότητες ανάλοων ποσών. 8. Να εξετάσετε αν τα ποσά χ,ψ στους παρακάτω πίνακες εκφράζουν ανάλοα ποσά και να δικαιολοήσετε την απάντησή σας. χ ,8 8 1,9 ψ ,5 35 7,4 χ 8 0,8,4 0 ψ 5 0 0, Να υπολοίσετε την τιή του χ ώστε τα ποσά του παρακάτω πίνακα να είναι ανάλοα. Α 9 Χ Β 5 65 Α.6.4: Γραφική παράσταση σχέσης αναλοίας. M a 10. α. Να συπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες ώστε να ίνουν πίνακες αναλόων ποσών. Α ,5 Β 4, 1 4 [ ] ε λ Γ 0, , , Β. Να ράψετε την κατάλληλη σχέση αναλοίας (συνάρτηση) που προκύπτει από κάθε πίνακα και να σχεδιάσετε τη ραφική παράσταση κάθε συνάρτησης σε ένα ορθοκανονικό σύστηα αξόνων. 11. α. Αν από 10kg αλεύρι φτιάχνουε 15 kg ψωί, να συπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χ kg αλεύρι ψ kg ψωί 15 β. Να ράψετε τα kg του ψωιού ως συνάρτηση των kg αλευριού που χρησιοποιούε.. Να κάνετε τη ραφική παράσταση της συνάρτησης που βρήκατε στο προηούενο ερώτηα σε ένα ορθοκανονικό σύστηα αξόνων. Α.6.5: Προβλήατα ανάλοων ποσών. 1. Από 1 κιλά σταφύλια παίρνουε 8 λίτρα κρασί. Από 9 κιλά σταφύλια πόσα λίτρα κρασί παίρνουε; 39

40 13. Για να βάψουε έναν τοίχο επιφάνειας 1m χρειαζόαστε 3kg ποιά. Αν kg ποιά κοστίζουν 7 ευρώ, να βρεθεί πόσο θα πληρώσουε ια να βάψουε ένα δωάτιο ε συνολική επιφάνεια 100 m. 14. Τα 4750 κιλά βωξίτη δίνουν 30 κιλά αλουίνιο. Πόσα κιλά αλουίνιο παίρνουε από 1,9 τόνους βωξίτη; 15. Ένας απελουρός από 75 κιλά σταφύλια βάζει 5,5 κιλά ούστο. Πόσα κιλά σταφύλια χρειάζονται ια να είσει 8 βαρέλια που το καθένα χωράει 50 κιλά ούστο; 16. Η τιή αοράς ενός ποδηλάτου είναι 105 ευρώ. Να βρεθεί πόσο θα αοράσουε το ποδήλατο αν ο πωλητής ας κάνει έκπτωση 15%. 17. Τρεις έποροι ιδρύουν ία επιχείρηση και συετέχουν ε κεφάλαια ευρώ, ευρώ και ευρώ. Τα κέρδη της επιχείρησης οιράζονται ανάλοα ε τα κεφάλαια. Να βρείτε τι ποσό αντιστοιχεί στον καθένα από κέρδη ευρώ. 18. Αν χ = ψ και χ+ψ=11, να υπολοίσετε τα χ και ψ. 4 7 M a 19. Αν χ = ψ = ω και χ+ψ+7ω=90, να υπολοίσετε τα χ και ψ και ω [ ] ε λ 40

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο Θετικοί και αρνητικοί αριθοί. Α.7.1: Θετικοί και αρνητικοί αριθοί (Ρητοί αριθοί) Η ευθεία των ρητών Τετηένη σηείου. 1. Από τους παρακάτω αριθούς να κυκλώσετε τους φυσικούς: , 007, -3,,, 5 5. Από τους παρακάτω αριθούς να κυκλώσετε τους ακέραιους: +3,7, -000, 5, 9, 0, + 1, Από τους παρακάτω αριθούς να κυκλώσετε τους αρνητικούς ακέραιους: , -0,7, +8,, +, Να τοποθετήσετε σε έναν άξονα τους ρητούς: -3, 5, -31, 1, 77, -65 Α.7.: Απόλυτη τιή ρητού Αντίθετοι ρητοί Σύκριση ρητών. M a 5. Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα όλους τους αριθούς που έχουν απόλυτη τιή: α. 5, β. 3,7, Να συπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Αριθός χ 0, Αντίθετος του αριθού Απόλυτη τιή του αριθού -χ χ κ. -4 α [ ] ε λ 7. Να βρείτε, αν υπάρχουν, όλους τους ακέραιους αριθούς που έχουν απόλυτη τιή: ι. ικρότερη του 6 ιι. ικρότερη ή ίση του 4 ιιι. ικρότερη του 1 ιν. ικρότερη του

42 8. Να βρείτε, αν υπάρχουν, όλες τις ακέραιες τιές του α οι οποίες επαληθεύουν τις σχέσεις: ι. α < 4 ιι. α 7 ιιι. α < 0 ιν. α < Να βρείτε, τις ακέραιες τιές του α οι οποίες επαληθεύουν τις σχέσεις: ι. α > 3 ιι. α 7 ιιι. α > 4,5 ιν. α > Μεταξύ των παρακάτω αριθών να βάλετε το κατάλληλο σύβολο ανισότητας: ι ιι. -3,1-3,01 ιιι ιν. M0 30 ν νι. 3 a νιι [ ] ε αν: λ 11. Να συκρίνετε τους αριθούς α και α ε α 0 ι. α είναι θετικός αριθός. ιι. α είναι αρνητικός αριθός. ιιι. -α είναι θετικός αριθός. ιν. -α είναι αρνητικός αριθός. 4

43 Α.7.3: Πρόσθεση ρητών αριθών. 1. Να υπολοίσετε τα αθροίσατα: ι. ( + 7) + ( + 4) νιιι. ( ) + ( + ) ιι. ( 7) + ( 4) ιχ (,5) ιιι. ( 7) ( 4) ιν. ( 7) ( 4) M a χ. ( ) + + χι ,8 ν. ( + 3, 7) + ( 7, ) χιι. ( ) νι. ( + 0) + ( 1, 4) χιιι. ( 1) + ( 3, 45) νιι Α.7.4: Αφαίρεση ρητών αριθών. 13. Να υπολοίσετε τις διαφορές: χιν ( 15) ι. (-13)-(-4) νιιι. 0-(-19) ιι. (+13)-(-4) ιχ. (+1)-0 ιιι. (-13)-(+4) χ. 0-(-1,8) ιν. (+13)-(+4) χι. (+1,1)-(-1,1) ν. (-)-(-13,4) χιι. (+1,1)-(+1,1) νι νιι. 3 ( 3, 4) Να κάνετε τι πράξεις: ι. -+7 ιι. 7- ιιι. --7 ιν. +7 ν νι. 1 0 νιι νιιι ,4 χιιι. 1 + ( 0,15) 8 + κ. χιν. α [ 1 ] ( 4) ε 3 λ 43

44 15. Να κάνετε τι πράξεις: ι ιι ιιι. 1,1-3,5+,+7-1,1-1, ιν ν νι νιι. 0,9-1+0,1-1+0,8-1+0,-1+0,7-1+0, Να κάνετε τι πράξεις: ι ιι (-54)-69 ιιι. 1,7-3,4+(-,1)-(-0,7) Να υπολοίσετε τις τιές των παραστάσεων: ι. Α=(5+7-1) ιι. Β=-( )+(4-7+6) M Γ = ιν. = a 0, 6 + 0, 6 ( 4 0, 8) Ε =,5 +,7 3 5, 3,,1 ιιι ν. ( ) ( ) [ ] ε λ 18. Να υπολοίσετε τις τιές των παραστάσεων: ι. Α = ( α ) ( β ) ( α β) ιι. Β = 8 ( α β + ) + ( α β) ( β) β + 3 ιιι. = 5 ( 1 α) + ( β ) ( α+ β ) 19. Να υπολοίσετε τα αθροίσατα: Κ= Λ= Μ= Α.7.5.: Πολλαπλασιασός ρητών αριθών. 0. Να υπολοίσετε τα ινόενα: ι. ( ) ( 36) ιν , ιι. ( 4) ( 3) ( 1) ( + 7) ν. ( ) ( ) ιιι. ( 1) ( + 1) νι. 0 ( 1) ( 3) 4 ( 5 )... ( 007) 44

45 1. Αν α=-3 να βρεθούν οι τιές των παραστάσεων: Α = α α+ 4 α 4 α 3 α + 3 Mιι. ( 3) 3 a 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Β = α ( α+ 5) ( α 7) ( α + 8) Γ = ( 3α + ) ( 5α 3) ( 4 α) ( α+ 6) Α.7.6.: ιαίρεση ρητών αριθών.. Να υπολοίσετε τα πηλίκα: ι. 1 3 : 7 : 1 ιι. ( ) ( ) ιιι. 7: ( 7) ιν. 0: ( 5) Α : υνάεις ρητών αριθών ε εκθέτη ακέραιο. 3. Να υπολοίσετε τις δυνάεις: ι. ( 3) ιιι. ( ) ιν. 6 + ( 6) ν. ( 4) ( 3) νι. ( 4) ( 5) νιι. ( ) νιιι [ ] ε λ 45

46 4. Να υπολοίσετε τις δυνάεις: ι. 0 ιι. ιιι. 3 ιν ιχ. ( ) χ. ( ) 5 χι. ( ) 3 5 χιι. ( ) 1 7 ν. 10 χιιι νι. χιν νιι. 1 χν νιιι. 19 χνι Να ράψετε ως ια δύναη τις παρακάτω παραστάσεις και M a ετά να τις υπολοίσετε: 3 ι. ιι ιιι ιν. 3 ν. ( ) ( ) ( ) νι. 4 6 ( 3) ( 3) νιι. ( ) ( ) ( ) [ ] ε λ 6. Να ράψετε ως ια δύναη τις παρακάτω παραστάσεις και ετά να τις υπολοίσετε: ι ν. ( 3) ( 3) ιι νι. 3 ιιι. 3 4 νιι. 8 3 ιν ( 7) νιιι ( )

47 7. Να υπολοίσετε τις παρακάτω δυνάεις χρησιοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάεων: 6 6 ι ιι. 0, ιιι. 1,5 4 4 ιν. 1,5 ν. ( ) ( 5 ) νι. ( ) χ 5 5 νιι. ( ) 4 χ ψ νιιι. ( ) 3 3 χ 8. Να ράψετε ως ια δύναη τις παρακάτω παραστάσεις και ετά να τις υπολοίσετε: 4 ι ιι ιιι ν. 3 4 νι. 1 5 νιι. χ M a ιν. ( 14) Να ράψετε ως ια δύναη τις παρακάτω παραστάσεις και ετά να τις υπολοίσετε: ι. 3 ( ) ιι. ( ) 3 ιιι. 4 νιιι. χ 7 ( 1) 5 7 ιν. 4 ( ) 1 κ. ν. α [ ( 3 ) ] ε 1 λ νι. ( 3 ) 30. Να κάνετε τις πράξεις χρησιοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάεων: 3 4 ι. νι. 3 ( ) ιι. ( ) ( ) 3 ( ) 4 νιι. ( ) ιιι. ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 3 5 ιν. 7 ( ) ( ) 4 ( ) ν ( 4) 3 10 νιιι ( ) 3 1 ιχ χ

48 ΜΕΡΟΣ Β ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Βασικές εωετρικές έννοιες. Β.1.1.: Σηείο Ευθύραο τήα Ηιευθεία Επίπεδο Ηιεπίπεδο. 1. Στο παρακάτω τρίωνο να ράψετε όλα τα ευθύραα τήατα που υπάρχουν και τα τρίωνα που δηιουρούνται. M a. Στο παρακάτω σχήα ποιες ηιευθείες ορίζονται: ι. Με αρχή το Α ιι. Με αρχή το Β. [ ] ε λ 3. Πόσες ευθείες ορίζουν τρία διαφορετικά σηεία; (δύο περιπτώσεις) Β.1..: Γωνία Γραή Επίπεδα σχήατα Ευθύραα σχήατα Ίσα σχήατα. 4. Να βρείτε και να ονοάσετε πέντε ωνίες στο παρακάτω σχήα. 48

49 5. Να εξετάσετε αν είναι κυρτό ή η κυρτό πολύωνο το παρακάτω πολύωνο το οποίο ονοάζεται «Η χιονονιφάδα του Koch» Β : Μέτρηση, σύκριση και ισότητα ευθυράων τηάτων Απόσταση σηείων Μέσο ευθύραου τήατος & πρόσθεση και αφαίρεση ευθυράων τηάτων. M a ιι. Το ήκος του ευθύραου τήατος ΟΜ, όπου Μ το έσο του ΑΒ. κα 6. Πάνω στην ηιευθεία Οχ παίρνουε τα τήατα ΟΑ=6cm και ΟΒ=,4dm. Να υπολοίσετε: ι. το ήκος του ευθύραου τήατος ΑΒ. [ ] ε λ 7. Σε ένα ευθύραο τήα ΑΒ=14cm να βρείτε ένα σηείο Κ τέτοιο ώστε ΑΚ 3 = ΚΒ 4 Β : Μέτρηση, σύκριση και ισότητα ωνιών ιχοτόος ωνίας & είδη ωνιών Κάθετες ευθείες. 8. Στο παρακάτω σχήα να βρείτε τις οξείες, τις ορθές και τις αβλείες ωνίες που υπάρχουν. 49

50 Β : Εφεξής και διαδοχικές ωνίες Άθροισα ωνιών & Παραπληρωατικές και Συπληρωατικές ωνίες Κατακορυφήν ωνίες. 9. Να ράψετε τρία ζεύη εφεξής και παραπληρωατικών ωνιών που υπάρχουν στο παρακάτω σχήα: 10. Στο παρακάτω σχήα: α. Οι ωνίες ˆ ˆ M a AOB και ΓΟ είναι εφεξής; β. Οι ωνίες ΑΟΓ ˆ και ΑΟΒ ˆ είναι διαδοχικές; [ ] ε λ 50

51 11. Να συπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα (αν υπάρχουν οι ζητούενες ωνίες): Γωνία ˆω ο ορθής 3 5 ορθής 4 Συπληρωατική της ωνίας ˆω ω ˆ Παραπληρωατική της ωνίας ˆω ω ˆ 1. Να βρεθεί ία ωνία που το διπλάσιό της ισούται ε την M a συπληρωατική της. 13. Να υπολοίσετε δύο ωνίες αν νωρίζουε ότι είναι παραπληρωατικές και ότι: ι. η ία είναι 14 0 παραπάνω από την άλλη. ιι. η ία είναι οκταπλάσια της άλλης. 14. Να υπολοιστεί ια ωνία ˆω αν είναι ίση ε τα 3 [ ] ε λ της παραπληρωατικής της. 15. Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση η συπληρωατική ίας ωνίας να είναι ίση ε την παραπληρωατική της. 16. Να υπολοίσετε την ωνία ˆω του παρακάτω σχήατος: 51

52 17. Να υπολοίσετε τις ωνίες ˆ ˆκ καιλτουπαρακάτωσχήατος : M a 18. Να υπολοίσετε [ τις άνωστες η] ωνίες στα ατ παρακάτω σχήατα: κα [ ] ε λ 5

53 19. Ένα ρολόι δείχνει εννέα η ώρα ακριβώς. Τι ωνία σχηατίζουν οι δείκτες του ρολοιού; Μετά από πόσες ώρες οι δείκτες του ρολοιού θα σχηατίζουν ίση ωνία; 0. Να υπολοίσετε τη ωνία ˆω στο παρακάτω σχήα: Β.1.9.: Θέσεις ευθειών στο επίπεδο. 1. Να σχεδιάσετε τρεις ευθείες οι οποίες να τένονται ανά δύο, χωρίς να διέρχονται όλες από το ίδιο σηείο και να βρείτε: M a ιι. Πόσες ηιευθείες και πόσα ευθύραα τήατα ορίζονται; ι. πόσα είναι τα σηεία τοής των ευθειών Β.1.10.: Απόσταση σηείου από ευθεία Απόσταση παραλλήλων ευθειών. [ ] ε λ. Στο παρακάτω τρίωνο, να βρεθεί η απόσταση ΜΛ. Στη συνέχεια, ποιο σηείο της ΜΛ απέχει τη ικρότερη απόσταση από την κορυφή Κ; 3. Να σχεδιάσετε ια ευθεία (ε) και να πάρετε τα σηεία Α και Β εκατέρωθεν αυτής που να απέχουν από την ευθεία 3cm. Στη συνέχεια, να ενώσετε τα σηεία Α και Β και να ονοάσετε Ο το σηείο τοής του ευθύραου τήατος ε την ευθεία (ε). να συκρίνετε τα τήατα ΑΟ και ΒΟ. 4. Να ράψετε δυο ηιευθείες Οχ και Οψ οι οποίες δεν περιέχονται στην ίδια ευθεία. Να βρείτε ένα σηείο Α της Οψ το οποίο να απέχει από την Οχ απόσταση 3cm. 5. Να ράψετε ένα ευθύραο τήα ΒΓ=3cm. Στη συνέχεια, να βρείτε ένα σηείο Α έτσι ώστε στο τρίωνο ΑΒΓ που δηιουρείται το ύψος από την κορυφή Α να είναι,5cm. 53

54 Β.1.11.: Κύκλος και στοιχεία του κύκλου. 6. Να κατασκευάσετε ένα τρίωνο που να έχει πλευρές ΑΒ=3cm, ΒΓ=,7cm, ΓΑ=1,5cm. 7. Να χαράξετε ένα ευθύραο τήα ΕΖ=8cm. Να χρωατίσετε το τήα του επιπέδου που ανήκουν τα σηεία που απέχουν από το Ζ λιότερο από 6cm και από το Ε περισσότερο από 3cm. 8. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (Ο,4cm) και να φέρετε δύο διαέτρους ΑΒ και Γ έτσι ώστε AB Γ. Στη συνέχεια, να ράψετε τους κύκλους ε διαέτρους ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, Ο αντίστοιχα και να χρωατίσετε τα κοινά έρη των κύκλων ανά δύο. 9. Πάνω σε ία ευθεία (ε) πάρτε δύο σηεία Ο και Κ. Γράψτε έναν κύκλο ε κέντρο το Κ και ακτίνα ικρότερη από το ευθύραο τήα ΚΟ. Στη συνέχεια, ε κέντρο το Ο να χαράξετε ε το διαβήτη έναν κύκλο έτσι ώστε: ι. να έχει δύο κοινά σηεία ε τον κύκλο κέντρου Κ. ιι. Να ην έχει κανένα κοινό σηείο ε τον κύκλο κέντρου Κ (δύο περιπτώσεις). ιιι. να εφάπτεται εσωτερικά ε τον κύκλο κέντρου Κ. ιν. να εφάπτεται εξωτερικά ε τον κύκλο κέντρου Κ. M a τους 4 cm. Να πάρετε ένα τυχαίο σηείο Μ της (ε 1 ). Υπάρχουν σηεία της (ε ) 30. Να σχεδιάσετε δύο παράλληλες ευθείες (ε 1 ) και (ε ) που να απέχουν εταξύ Β.1.13.: Σχέσεις ευθείας και κύκλου. που να απέχουν από το Μ απόσταση: α.,7cm β. 5,5cm; [ ] ε λ 31. Να σχεδιάσετε ένα ευθύραο τήα ΑΒ=7 cm και να πάρετε το έσο του Μ. Στη συνέχεια, να φέρετε δύο κάθετες ευθείες (ε 1 ) και (ε ) στα άκρα του ευθύραου τήατος. Τέλος, να ράψετε τους κύκλους (Μ, 3cm), (Μ,3,5cm) και (Μ,4,cm). Να βρείτε και να δικαιολοήσετε τις θέσεις των ευθειών αυτών ως προς τον καθένα από τους τρεις αυτούς κύκλους. 54

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συετρία. Β..1..: Συετρία ως προς άξονα Άξονας συετρίας. 1. α. ίνεται ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ ( Αˆ 90 ) 0 β. Πότε είναι και η ευθεία ΑΒ άξονας συετρίας του σχήατος; [ ] ε λ =. Να βρεθεί το συετρικό του τριώνου ως προς την ευθεία της πλευράς ΑΒ. β. Αν το τρίωνο ΑΒΓ του προηούενου ερωτήατος είναι ορθοώνιο και ισοσκελές, τι είδους τρίωνο θα είναι το συετρικό του ως προς την ευθεία της πλευράς ΑΒ;. ίνεται ισοσκελές τρίωνο ΑΒΓ ε ΑΒ=ΑΓ. Αν Μ το έσο της ΑΒ και Ν το έσο της ΑΓ, να βρεθεί το συετρικό τρίωνο ΑΒΓ του ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΜΝ. α. Τι είδους τρίωνο είναι το ΑΒΓ ; β. Το σηείο Α ανήκει στο ευθύραο τήα ΒΓ ; M a 3. ύο κύκλοι (Ο,R) και (Κ,ρ) ε R>ρ τένονται στα σηεία Α και Β. α. Ποιος είναι ο άξονας συετρίας του σχήατος; 55