3 Minimizarea cu diagramelor KV

Transcript

1 3 Minimizarea c diagramelor KV 3. Prezentare generală Metoda de minimizare c ajtorl diagramelor KarnaghVeitch (diagrame KV) este o metodă grafică de minimizare bazată pe o reprezentare specială a tabelli de adevăr al fncţiei minimizate. Se nmeşte diagramă KV o reprezentare bidimensională sa tridimensională a ni tabel de adevăr, care respectă condiţia de vecinătate a pătratelor. Se spne că doă pătrate ale nei diagrame KV snt vecine dacă coordonatele lor diferă la nivell nei singre variabile. Eemple: În Fig. 4 snt prezentate diagrame KV de 2, 3 şi 4 variabile. În Fig. 5 prin arce c săgeţi snt nite câteva perechi de pătrate vecine logic. Se observă că doă pătrate pot fi vecine logic chiar dacă n snt vecine fizic. Ca reglă generală, pătratele care a o latră comnă ori snt sitate simetric în raport c na dintre aele de simetrie ale diagramei KV, snt pătrate vecine logic. Trecerea de la n tabel de adevăr la o diagramă KV corespnzătoare ca nmăr de variabile este prezentată în Fig n=2 2 3 n= n= Fig. 4 Fig. 5 f(,,y,z)=σ (,,2,4,7,9,2)+Σ d (6,5) y z f z Fig. 6 Observaţie! Dacă se doreşte obţinerea nei forme minime disjnctive, în diagramă se reprezintă de obicei nmai valorile şi valorile nedeterminate. Pentr a obţine forme minime conjnctive, în diagramă se pot reprezenta nmai valorile şi valorile nedeterminate. Pentr a simplifica completarea nei diagrame KV direct din reprezentarea simbolică, în fiecare pătrat al diagramei se introdce echivalentl zecimal al combinaţiei binare care reprezintă coordonatele pătratli (atenţie la ordinea variabilelor când se calclează echivalentl zecimal!). O diagramă completată c indicii zecimali ai pătratelor o vom nmi şablon. 2

2 În Anea 4 snt prezentate şabloane pentr diagrame KV de 2, 3, 4,5, şi 6 variabile. Pentr şabloanele c 4, 5 respectiv 6 variabile, prin linie îngroşată a fost marcate şi aele de simetrie ale diagramelor. Se nmeşte sprafaţă elementară întro diagramă KV, o sprafaţă în formă de dreptnghi sa pătrat, formată din 2 k pătrate vecine. Observaţie! Reglile de formare corectă a sprafeţelor elementare în procesl de minimizare vor fi prezentate lterior pentr diverse cazri practice. Ca o reglă generală, indiferent de caz, n se acceptă sprafeţe elementare inclse na în alta şi fiecare sprafaţă elementară trebie să conţină cel pţin o valoare determinată ( sa ). Eempl: În Fig. 7 se prezintă sprafeţe elementare corect definite pentr diagrama KV din Fig. 6. y z Fig. 4 Se spne că doă sprafeţe elementare, indiferent de forma lor, snt egale geometric dacă a acelaşi nmăr de pătrate. Eempl: Toate sprafeţele elementare din Fig. 8 snt egale geometric. Se spne că sprafaţa elementară S i este egală logic c sprafaţa elementară S m dacă ambele sprafeţe, indiferent de forma şi mărimea lor geometrică, conţin eact aceleaşi valori determinate ( sa ). Eempl: Toate sprafeţele elementare din Fig. 9 snt egale logic. Se spne că sprafaţa elementară S i domină sprafaţa elementară S m dacă S i conţine toate valorile determinate pe care le conţine S m, dar conţine şi alte valori determinate. Mărimea geometrică a celor doă sprafeţe n contează. Sprafaţa elementară S i se va nmi sprafaţă dominantă iar sprafaţa elementară S m se va nmi sprafaţă dominată. Eempl: În Fig. sprafaţa marcată c linie contină domină sprafaţele marcate c linie pnctată Fig. 8 Fig. 9 Fig. 3

3 3.2 Determinarea formelor minime disjnctive Având în vedere cele disctate în capitll 4, rezltă imediat că fiecari pătrat care conţine îi corespnde mintermenl m i (depinzând de aceleaşi variabilele ca şi fncţia dată) al cări indice zecimal i este echivalentl zecimal al combinaţiei binare care reprezintă coordonatele pătratli. Determinarea formelor minime disjnctive c ajtorl diagramelor KV se bazează pe rmătoarele doă teoreme: idempotenţa disjncţiei A=A+A () teorema de absorbţie A+A =A (2) Prima teoremă permite ca n pătrat să facă parte din oricâte sprafeţe elementare snt generate. Deoarece fiecare pătrat al nei diagrame KV corespnde ni mintermen c n variabile al fncţiei reprezentate în diagramă, teorema (2) garantează că nei sprafeţe elementare formată din doă pătrate vecine îi corespnde n termen elementar P c n variabile. În general nei sprafeţe elementare c 2 k pătrate îi corespnde n termen elementar P c nk variabile. Eempl: Se consideră sprafaţa elementară orizontală de 4 pătrate din diagrama prezentată în Fig. 8. Termenl corespnzător acestei sprafeţe se determină imediat din relaţia A= yz + yz + yz + yz = yz( + ) + yz( + ) = yz + yz = ( + )yz = yz Termenl corespnzător nei sprafeţe elementare se poate determina foarte simpl direct din diagrama KV respectând rmătoarele regli: dacă pe contrl sprafeţei analizate variabila are nmai valoarea, variabila apare în formă directă în termenl corespnzător sprafeţei; dacă pe contrl sprafeţei analizate variabila are nmai valoarea, variabila apare în formă complementată în termenl corespnzător sprafeţei; dacă pe contrl sprafeţei variabila are atât valoarea cât şi valoarea, variabila dispare din termenl corespnzător sprafeţei. Procesl de determinare a termenli P corespnzător nei sprafeţe elementare se nmeşte decodificarea sprafeţei elementare. În Fig. snt prezentaţi toţi termenii corespnzători sprafeţelor elementare din diagrama KV prezentată anterior în Fig 4. y z yz z yz z Fig. y 4

4 În esenţă, minimizarea c ajtorl diagramelor KV prespne determinarea nei forme minime normal disjnctive ca smă logică a termenilor obţinţi prin decodificarea sprafeţelor elementare şi eliminarea termenilor P redndanţi. Avantajl metodei constă în faptl că şi eliminarea termenilor redndanţi se poate realiza direct din diagramă. Eliminarea termenilor redndanţi se poate realiza printro simplă inspecţie vizală prin eliminarea sprafeţelor elementare dominate sa prin aplicarea algoritmli care va fi prezentat în continare. Dezavantajl constă în faptl că metoda este limitată în practică la cel mlt 6 variabile. Algoritm complet de determinare a formelor minime disjnctive P Pornind de la tabell de adevăr sa de la o reprezentare canonică a fncţiei se alege diagrama KV corespnzătoare ca nmăr de variabile şi se completează c valorile şi. P2 Se formează toate sprafeţele elementare admise, care conţin nmai ori (cel pţin n ) şi n snt inclse în sprafeţe elementare mai mari. P3 Se marchează c n asterisc pătratele care conţin n incls întro singră sprafaţă elementară (aceste pătrate se nmesc pătrate remarcabile). Dacă în diagramă n eistă nici n pătrat remarcabil, se trece la pasl P7. P4 Se decodifică sprafeţele care conţin cel pţin n pătrat remarcabil. Termenii corespnzători acestor sprafeţe fac parte obligatori din forma minima disjnctivă a fncţiei. P5 Se reface diagrama KV înlocind fiecare din sprafeţele deja decodificate c (are semnificaţia de valoare nedeterminată, ca şi ). P6 Se formează toate sprafeţele elementare admise care conţin, ori (cel pţin n ) şi se reia algoritml de la pasl P3. Dacă n se mai poate forma nici o sprafaţă elementară (n mai eistă nici n în diagramă), se trece la pasl P8. P7 Se cată sprafeţele dominate şi se elimină din diagramă dacă n snt geometric mai mari decât sprafaţa dominantă. Din doă sprafeţe logic egale se reţine na singră (cea mai mare geometric dacă a dimensini diferite). Se reface diagrama fără sprafeţele eliminate şi se reia algoritml de la P3. Dacă n eistă sprafeţe dominante sa sprafeţe egale logic care să poată fi eliminate, pot să apară doă sitaţii diferite: a) Toate sprafeţele elementare snt egale geometric (cazl ciclic). În acest caz se alege arbitrar na dintre sprafeţe, ca şi cm ar conţine n pătrat remarcabil, şi se reia algoritml de la pasl P4. b) Sprafeţele n snt egale geometric (cazl semiciclic). În acest caz se alege arbitrar na dintre sprafeţele cele mai mari geometric, ca şi cm ar conţine n pătrat remarcabil şi se reia algoritml de la pasl P4. P8 Se renesc prin smă logică toţi termenii obţinţi în etapele precedente. Epresia obţintă reprezintă acoperirea minimă disjnctivă a fncţiei. P9 STOP Observaţie! Se observă că în cazl general solţia n este nică, diverse solţii ptând fi generate în fncţie de alegerile făcte la pasl P7. Eempl: În Fig. 2 se prezintă etapele minimizării c diagrame KV a fncţiei: f(,,y,z)=σ(,4,7,8,,3,4,5)+σ d (2,5,6,9) Diagrama KV corespnzătoare fncţiei este prezentată în Fig. 2a iar sprafeţele elementare care pot fi generate în Fig. 2b. Analizând aceste sprafeţe se observă că n eistă pătrate remarcabile dar eistă sprafeţe dominate (marcate c linie pnctată) care pot fi eliminate. Diagrama obţintă dpă eliminarea sprafeţelor dominate este cea din Fig. 2c. 5

5 y z y z y z a) b) c) y z * z y z y z * * z * y d) y z e) y z f) y z * * yz g) h) i) Fig. 9 În Fig. 2.d snt pse în evidenţă pătratele remarcabile şi sprafeţele aferente acestora snt decodificate, obţinândse implicanţii primi z şi z. Aceştia snt implicanţi primi esenţiali deoarece n mai eistă nici o altă sprafaţă care să acopere pătratele remarcabile conţnte în sprafeţele care ia generat. Diagrama refăctă dpă eliminarea sprafeţelor decodificate anterior este prezentată în Fig. 2e. Se observă că în noa diagramă pot fi pse în evidenţă doă perechi de sprafeţe elementare egale logic şi egale geometric. C linie pnctată a fost marcate sprafeţele care a fost alese în mod arbitrar pentr a fi eliminate din fiecare pereche de sprafeţe egale. Se reface diagrama ca în Fig. 2f şi se decodifică sprafeţele rămase, care acm conţin câte n pătrat remarcabil fiecare. Dpă eliminarea acestor sprafeţe se obţine diagrama din Fig. 2g care n conţine nici n, deci procesl de minimizare se încheie. În final rezltă forma minimă disjnctivă: f(,,y,z)= z + z + + y Deoarece alegerea sprafeţelor păstrate pentr decodificare în Fig. 2e a fost arbitrară, solţia anterioară n este nică. În Fig. 2h şi Fig. 2i se prezintă determinarea nei alte variante: f(,,y,z)= z + z + + yz Determinarea celorlalte variante posibile este recomandată ca eerciţi cititorli. 6

6 Eempl: În Fig. 3 snt prezentate etapele minimizării c diagrame KV a fncţiei: f(,,y,z)=σ(,2,6,7,8,9,3,5) y z y z y z yz a) b) c) y z y z y z * * yz yz * * y z * * d) e) yz y z STOP g) h) Fig. 3 Reprezentarea fncţiei întro diagramă KV de 4 variabile şi sprafeţele elementare care se pot forma în această diagramă snt prezentate în Fig. 3. Se observă imediat că n eistă pătrate remarcabile, sprafeţe dominate sa sprafeţe egale logic, deci procesl de minimizare este blocat. Deoarece toate sprafeţele elementare snt egale geometric, cazl analizat este n caz ciclic. Aceasta implică necesitatea alegerii arbitrare a nei sprafeţe ce rmează să fie decodificată, ca şi cm ar conţine pătrate remarcabile. Sprafaţa aleasă pentr decodificare şi implicantl corespnzător acesteia apar în Fig. 3b. În continare, dpă eliminarea sprafeţei decodificate procesl de minimizare n mai prezintă nici n fel de dificltate deoarece n mai apar blocaje. În final se va obţine solţia: f(,,y,z)= yz + yz + yz + yz Şi în acest eempl solţia n este nică, deoarece pentr deblocare eistă opt posibilităţi de alegere a primei sprafeţe decodificate. N toate solţiile obţinte vor fi însă diferite între ele. Rămâne ca cititorl să determine câte solţii distincte eistă. 7

7 3.3 Determinarea formelor minime conjnctive Având în vedere cele disctate în capitll 4, rezltă imediat că fiecari pătrat care conţine îi corespnde matermenl M i (depinzând de aceleaşi variabilele ca şi fncţia dată) al cări indice zecimal i este echivalentl zecimal al combinaţiei binare care reprezintă coordonatele pătratli. Determinarea formelor minime disjnctive c ajtorl diagramelor KV se bazează pe rmătoarele doă teoreme: idempotenţa disjncţiei A=A*A (3) teorema de absorbţie (A+)(A+ )=A (4) Prima teoremă permite ca n pătrat să facă parte din oricâte sprafeţe elementare snt generate. Deoarece fiecare pătrat al nei diagrame KV corespnde ni matermen c n variabile al fncţiei reprezentate în diagramă, teorema (2) garantează că nei sprafeţe elementare formată din doă pătrate vecine care conţin (sa şi o valoare nedeterminată) îi corespnde n termen elementar S c n variabile. În general nei sprafeţe elementare c 2 k pătrate îi corespnde n termen elementar S c nk variabile. Termenl corespnzător nei sprafeţe elementare se poate determina foarte simpl direct din diagrama KV, respectând rmătoarele regli: dacă pe contrl sprafeţei analizate variabila are nmai valoarea, variabila apare în formă directă în termenl corespnzător sprafeţei; dacă pe contrl sprafeţei analizate variabila are nmai valoarea, variabila apare în formă complementată în termenl corespnzător sprafeţei; dacă pe contrl sprafeţei variabila are atât valoarea cât şi valoarea, variabila dispare din termenl corespnzător sprafeţei. Determinarea termenli S corespnzător nei sprafeţe elementare se nmeşte decodificarea sprafeţei elementare. În Fig. 4 snt prezentaţi toţi termenii corespnzători sprafeţelor elementare din diagrama KV prezentată anterior în Fig 7. y z +y+z +y+z ++y +y+z Fig. 4 ++z +y+z În esenţă, minimizarea c ajtorl diagramelor KV prespne determinarea nei forme minime normal conjnctive ca smă logică a termenilor obţinţi prin decodificarea sprafeţelor elementare şi eliminarea termenilor S redndanţi. Avantajl metodei constă în faptl că şi eliminarea termenilor redndanţi se poate realiza direct din diagramă. Eliminarea termenilor redndanţi se 8

8 poate realiza printro simplă inspecţie vizală prin eliminarea sprafeţelor elementare dominate sa prin aplicarea algoritmli care va fi prezentat în continare. Dezavantajl constă în faptl că metoda este limitată în practică la cel mlt 6 variabile. Algoritm complet de determinare a formelor minime conjnctive P Pornind de la tabell de adevăr sa de la o reprezentare canonică a fncţiei se alege diagrama KV corespnzătoare ca nmăr de variabile şi se completează c valorile şi. P2 Se formează toate sprafeţele elementare admise, care conţin nmai ori (cel pţin n ) şi n snt inclse în sprafeţe elementare mai mari. P3 Se marchează c n asterisc pătratele care conţin n incls întro singră sprafaţă elementară (aceste pătrate se nmesc pătrate remarcabile). Dacă în diagramă n eistă nici n pătrat remarcabil, se trece la pasl P7. P4 Se decodifică sprafeţele care conţin cel pţin n pătrat remarcabil. Termenii corespnzători acestor sprafeţe fac parte obligatori din forma minima conjnctivă a fncţiei. P5 Se reface diagrama KV înlocind fiecare din sprafeţele deja decodificate c (are semnificaţia de valoare nedeterminată, ca şi ). P6 Se formează toate sprafeţele elementare admise care conţin, ori (cel pţin n ) şi se reia algoritml de la pasl P3. Dacă n se mai poate forma nici o sprafaţă elementară (n mai eistă nici n în diagramă), se trece la pasl P8. P7 Se cată sprafeţele dominate şi se elimină din diagramă dacă n snt geometric mai mari decât sprafaţa dominantă. Din doă sprafeţe logic egale se reţine na singră (cea mai mare geometric, dacă a dimensini diferite). Se reface diagrama fără sprafeţele eliminate şi se reia algoritml de la P3. Dacă n eistă sprafeţe dominante ori sprafeţe egale logic care să poată fi eliminate, pot să apară doă sitaţii diferite: a) Toate sprafeţele elementare snt egale geometric (cazl ciclic). În acest caz se alege arbitrar na dintre sprafeţe, ca şi cm ar conţine n pătrat remarcabil, şi se reia algoritml de la pasl P4. b) Sprafeţele n snt egale geometric (cazl semiciclic). În acest caz se alege arbitrar na dintre sprafeţele cele mai mari geometric, ca şi cm ar conţine n pătrat remarcabil şi se reia algoritml de la pasl P4. P8 Se renesc prin prods logic toţi termenii S obţinţi în etapele precedente. Epresia obţintă reprezintă acoperirea minimă conjnctivă a fncţiei. P9 STOP Observaţie! Se observă că în cazl general solţia n este nică, diverse solţii ptând fi generate în fncţie de alegerile făcte la pasl P7. Eempl: pentr fncţia: În Fig. 5 snt prezintate etapele obţinerii formei minime conjnctive c ajtorl diagramei KV f(,,y,z)=σ(,4,7,8,,3,4,5)+σ d (2,5,6,9) Diagrama KV corespnzătoare fncţiei şi sprafeţele elementare care pot fi generate pentr obţinerea formei minime conjnctive snt prezentate în Fig. 5a. Analizând aceste sprafeţe, se observă că eistă pătrate remarcabile pse în evidenţă în Fig. 5b. Tot în această figră snt decodificate sprafeţele care conţin pătratele remarcabile. Dpă refacerea diagramei, aceasta n mai conţine nici n deci procesl de minimizare a lat sfârşit. Acoperirea minimă conjnctivă obţintă este nică şi are forma: f(,,y,z)= ( + y + z)( + + y + z) 9

9 y z +y+z y z * * * ++y+z y z a) b) Fig. 5 c) 2.4 Determinarea formelor minime disjnctive c XOR, AND şi Algoritml de determinare a nor forme minime disjnctive ce conţin nmai prodse logice de variabile şi evental constanta, renite prin operatorl, este asemănător celi prezentat pentr determinarea formelor minime disjnctive în paragrafl 2.2. Eistă totşi o deosebire foarte importantă în ceea ce priveşte modl de generare a sprafeţelor elementare. Determinarea formelor minime disjnctive c XOR, AND şi folosind diagramelor KV se bazează pe rmătoarele doă teoreme: daca n = 2k psedoidempotenţa A A... A = (5) Adaca n = 2k + n ori teorema de absorbţie A A =A (6) Relaţia (5) determină şi nica diferenţă între tilizarea diagramelor KV pentr determinarea formei minime disjnctive în baza AND, OR, NOT şi tilizarea diagramelor KV pentr determinarea formei minime disjnctive în baza XOR, AND,. Datorită psedoidempotenţei n pătrat poate fi introds întrn nmăr impar de sprafeţe elementare iar n pătrat poate fi introds întrn nmăr par de sprafeţe elementare. Valorile nedeterminate pot fi introdse în oricâte sprafeţe elementare este necesar. Rezltă imediat că, tilizând reglile de mai ss, pot fi generate sprafeţe mite, care conţin atât cât şi. La decodificare, fiecare dintre sprafeţe va fi considerată ca şi cm ar conţine nmai. Observaţie! Reglile de mai ss pentr formarea sprafeţelor elementare fac neori mai dificilă determinarea setli optim de sprafeţe care pot fi generate dar, în mlte cazri practice n este neapărat necesară obţinerea solţiei optime. Deoarece fiecare pătrat al nei diagrame KV corespnde ni mintermen c n variabile al fncţiei reprezentate în diagramă, teorema (2) garantează că nei sprafeţe elementare formată din doă pătrate vecine îi corespnde n termen elementar P c n variabile. În general, nei sprafeţe elementare c 2 k pătrate îi corespnde n termen elementar P c nk variabile. Eempl: Se consideră sprafaţa elementară orizontală de 4 pătrate din diagrama prezentată în Fig. Termenl corespnzător acestei sprafeţe se determină imediat din relaţia A= yz yz yz yz = yz( ) + yz( ) = yz yz = ( )yz = yz 2

10 Se observă că rezltatl este identic c cel obţint în paragrafl 2.2. Termenl corespnzător nei sprafeţe elementare se poate determina foarte simpl, direct din diagrama KV respectând rmătoarele regli: dacă pe contrl sprafeţei analizate variabila are nmai valoarea, variabila apare în formă directă în termenl corespnzător sprafeţei; dacă pe contrl sprafeţei analizate variabila are nmai valoarea, variabila apare în formă complementată în termenl corespnzător sprafeţei; dacă pe contrl sprafeţei variabila are atât valoarea cât şi valoarea, variabila dispare din termenl corespnzător sprafeţei. Algoritm complet de determinare a formelor minime disjnctive în baza XOR, AND, P Pornind de la tabell de adevăr sa de la o reprezentare canonică a fncţiei, se alege diagrama KV corespnzătoare ca nmăr de variabile şi se completează c valorile, şi. P2 Se formează toate sprafeţele elementare admise, care conţin, ori (cel pţin n ori ) şi n snt inclse în sprafeţe elementare mai mari. P3 Se marchează c n asterisc pătratele remarcabile. Dacă în diagramă n eistă nici n pătrat remarcabil, se trece la pasl P7. P4 Se decodifică sprafeţele care conţin cel pţin n pătrat remarcabil. Termenii corespnzători acestor sprafeţe fac parte obligatori din forma minima disjnctivă a fncţiei. P5 Se reface diagrama KV înlocind fiecare din sprafeţele deja decodificate c (are semnificaţia de valoare nedeterminată, ca şi ). P6 Se formează toate sprafeţele elementare admise care conţin,, ori (cel pţin n sa ) şi se reia algoritml de la pasl P3. Dacă n se mai poate forma nici o sprafaţă elementară (n mai eistă nici n în diagramă), se trece la pasl P8. P7 Se cată sprafeţele dominate şi se elimină din diagramă dacă n snt geometric mai mari decât sprafaţa dominantă. Dintre doă sprafeţe logic egale se reţine na singră (cea mai mare geometric dacă a dimensini diferite). Se reface diagrama fără sprafeţele eliminate şi se reia algoritml de la P3. Dacă n eistă sprafeţe dominante sa sprafeţe egale logic care să poată fi eliminate, pot să apară doă sitaţii diferite: a) Toate sprafeţele elementare snt egale geometric (cazl ciclic). În acest caz se alege arbitrar na dintre sprafeţe, ca şi cm ar conţine n pătrat remarcabil, şi se reia algoritml de la pasl P4. b) Sprafeţele n snt egale geometric (cazl semiciclic). În acest caz se alege arbitrar na dintre sprafeţele cele mai mari geometric, ca şi cm ar conţine n pătrat remarcabil şi se reia algoritml de la pasl P4. P8 Se renesc prin toţi termenii obţinţi în etapele precedente. Epresia obţintă se transformă întro formă disjnctivă RMJ (vezi capitoll 4) care reprezintă acoperirea minimă disjnctivă a fncţiei. P9 STOP Observaţii! Se observă că în cazl general solţia n este nică, diverse solţii ptând fi generate în fncţie de alegerile făcte la pasl P7. Eempl: În Fig. 6 se prezintă etapele minimizării c diagrame KV a fncţiei: f(,,y,z)=σ(,2,3,4,7,5)+σ d (6,) 2

11 Diagrama KV corespnzătoare fncţiei şi setl de sprafeţe elementare corect definite ce pot fi definite snt prezentate în Fig. 6a. Se observă că fiecare face parte din sa 3 sprafeţe iar fiecare din doă sprafeţe. Sprafaţa de 4 pătrate din colţl stânga jos n poate fi generată deoarece ar apare pătrate sitate în doă sa 4 sprafeţe diferite ceea ce n este admis. Decodificarea sprafeţelor este realizată în diagrama din Fig. 6b. y z a) y yz Fig. 6 y z * Forma minimă disjnctivă în baza XOR, AND, se va obţine în continare prin renirea c a termenilor generaţi în Fig. 6b şi apoi transformarea întro forma disjnctivă RMJ. f(,,y,z)= y yz y = [( )y] [y(z )] [( )] y = = y y yz y y = y yz y * * * b) * y 22