( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este"

Transcript

1 o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă : D R şi D. Funcţia este dierenţiabilă în dacă eistă o constantă A R şi o uncţie α: D R continuă şi nulă în astel încât : = + A +α D (IV.3.) şi uncţia liniară:, notat ( IV.4 ) : ( d R R d = d = A ) este dierenţiala lui în D (deiniţia IV.2.) Teorema VI.6. Fie D R mulţime deschisă, : D R şi D. Următoarele airmaţii sunt echivalente: (i) este dierenţiabilă în (ii) (IV.5.) A R a. î. ( ) A = (iii) L: R R o uncţie liniară astel încât: L (IV.6.) = (iv) este derivabilă în şi în acest caz avem: (IV.4) d = D., 229

2 Demonstraţie: (i) (ii) Dacă este dierenţiabilă în D din (IV.3.) A =α D şi pentru avem: ( ) A, ( ) sign ( ) =α ( ) ( ) ( ) ( ) şi cum: α = =α α sign = se obţine (IV.5.). (ii) (iii) Fie (IV.5.) adevărată şi considerăm uncţia liniară L: R R, L = A( - ), R şi se obţine (IV.6). (iii) (iv) Fie uncţia liniară L: R R, atunci avem: ( ) ( ) L L = + D V-{ } cu V V( ). Cum D V-{ } prin trecere la ită avem: este derivabilă în D cu (iv) (i) Fie = L(). = ±, A =, atunci deinim α: D R prin: D (*) α ( ) = ; = ( ) ( ) ; { } α = =α. Din (*) pentru rezultă: ( ) L () şi avem: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) α = = + = L = L(), şi 23

3 + +α care este o identitate pentru = şi deci valabilă D şi coincide cu (IV.3.) din deiniţia uncţiei dierenţiabile în ; de asemenea în (IV.4.) înlocuind A cu ( ) avem (IV.4). avem: (I) Consecinţa IV.5. Fie D R mulţime deschisă şi : D R, atunci derivabilă în D dierenţiabilă în D şi d =. (II) Dacă este dierenţiabilă pe D, atunci deinim (IV.7.) d: D L(R) (L(R) mulţimea uncţiilor liniare L: R R). Demonstraţie: (I) Dacă este derivabilă în luăm A = ( ) şi după (IV.4) avem d ( )( ) =. (II) Dacă este derivabilă în atunci A = ( ) R şi dacă este dierenţiabilă în, d este un element L L(R) şi atunci L este corespondentul lui A relativ la izomorismul de la R la L(R). Observaţii:. După echivalenţa (iv) (i) din teorema IV.6. rezultă că studiul uncţiilor dierenţiabile de o variabilă reală se reduce la studiul uncţiilor derivabile de o variabilă reală. 2. Echivalenţa (iv) (i) se eprimă în bajul mulţimilor astel: mulţimea uncţiilor dierenţiabile pe D coincide cu mulţimea uncţiilor derivabile pe D. Teorema IV.7. ] Fie I R interval deschis şi, g : I R uncţii dierenţiabile pe I, atunci au loc regulile de calcul: 23

4 o ( ) d + g = d + d g; I o (2 ) d λ =λ d ; I şi λ R o (3 ) d g = gd + d g; I gd d g o (4 ) d ; = 2 I şi g pe I g g 2] Fie I, J R intervale deschise şi : I J, g: J R. Dacă este dierenţiabilă pe I şi g este dierenţiabilă pe J, atunci g : I R este dierenţiabilă pe I cu: ( o ) ( o ) o (5 ) d g = g d, I Demonstraţia este directă din ormulele ( ) (5 ) şi olosind (IV.4). Observaţii:.) Fie aplicaţia identitate D : D D cu D () =, D care este derivabilă pe D şi deci dierenţiabilă pe D. Dierenţiala sa notată d pentru D este egală cu uncţia identitate pe R, adică R. Avem: (d)( )= R, R. 2.) Formula (IV.4) d ( )( ) (IV.8) = d d =, D se transcrie sub orma: sau într-un punct curent oarecare D: = = d dsau (IV.8), D. d d 3.) Dacă este dierenţiabilă în D avem: (IV.3) = + +α D, şi putem eprima variaţia lui în, ( ) ( ) cu partea liniară din (IV.3). 232

5 Se obţine ormula undamentală a calculului dierenţial aproimativ: (IV.9.) + d = d = d 4.) Dacă este derivabilă pe D, atunci derivata lui în D este raportul dintre dierenţiala lui în şi dierenţiala uncţiei identitate R : ( ) d ( ) =, D. d 5.) Din deiniţia uncţiei dierenţiabile şi a dierenţialei în D pentru : D R, rezultă că graicul dierenţialei este o dreaptă care trece prin origine de pantă m = ( ) şi care este paralelă cu tangenta la graicul lui ( ) în punctul,. 6.) Din observaţiile 3.) şi 5.) rezultă că graicul unei uncţii dierenţiabile în D, poate i aproimat pe o vecinătate suicient de mică a lui cu ( ) graicul tangentei sale în,.. 2. Teoreme undamentale ale calculului dierenţial Teorema IV.8 (Teorema lui Fermat) Fie I R interval : I R şi I punct de etrem local pentru interior =. lui I. Dacă este derivabilă în, atunci Demonstraţie: Fie I punct de maim local pentru (deiniţia III.9), atunci eistă δ > a. î. ( - δ, + δ) I şi ( ) ( ), în ( - δ, + δ), deci: 233

6 ; ( δ, ) ; (, ) = ( ) = şi s +δ < d ( ) = ( ) = ( ) = d ( ) s > =. Consecinţa IV.6. Fie I R interval şi : I R uncţie derivabilă pe I, atunci punctele de =. etrem local ale lui se găsesc printre soluţiile ecuaţiei: Observaţii:. Dacă din teorema lui Fermat nu este punct interior lui I, airmaţia nu este obligatoriu valabilă. =,, = I are în = un punct de minim 2. Eemplu: [ ] absolut şi în = un punct de maim absolut, şi totuşi avem: şi ( ) = =. 3. Pentru : I R uncţie derivabilă pe I, soluţiile ecuaţiei se numesc puncte critice sau puncte staţionare ale uncţiei. =, I 4. În general, nu orice punct de etrem local este un punct critic şi reciproc nu orice punct critic este punct de etrem local. 5. Din punct de vedere geometric, teorema lui Fermat eprimă aptul că, dacă graicul lui admite o tangentă într-un punct de etrem local interior lui I, atunci tangenta la graic în acest punct este paralelă cu aa O. Teorema IV.9. (Teorema lui Rolle) Fie a,b R cu a < b şi : [a, b] R o uncţie cu proprietăţile: ) continuă pe [a, b] 2) derivabilă pe (a, b) 3) (a)= (b), 234

7 c =. atunci eistă c (a, b) a.î. Demonstraţie: Intervalul I = [a, b] R este o mulţime compactă şi continuă pe [a, b] este mărginită şi îşi atinge marginile, deci eistă, 2 [a, b] a. î. m = ( ) () ( 2 ) = M, I. Dacă ( ) = ( 2 ) atunci este constantă pe I, deci =. Dacă ( ) ( 2 ), atunci {a,b} sau 2 {a,b}; în cazul {a,b} şi 2 {a,b} rezultă ( ) = ( 2 ) = (a) = (b), ceea ce este absurd. Deci {a,b} sau 2 {a,b}; ie {a,b} I = [a,b] punct interior şi este punctul de minim absolut şi în acelaşi timp punct de minim local, atunci după teorema Fermat ( ) =. Consecinţă IV.7 Fie I R interval şi : I R uncţie derivabilă pe I, atunci avem: (i) Între două (rădăcini) soluţii consecutive ale ecuaţiei () = se ală cel puţin o soluţie a ecuaţiei ( ) =. (ii) Între două soluţii consecutive, 2 ale ecuaţiei ( ) = se ală cel mult o soluţie a ecuaţiei () = şi eact una dacă ( ) ( 2 ) <. Observaţii: ) Din punct de vedere geometric, avem: dacă continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) cu (a) = (b), atunci eistă un punct c (a,b) a.î tangenta geometrică la graicul lui în punctul (c, (c)) este paralelă cu aa O. 2) Dacă satisace condiţiile din teorema lui Rolle, conorm consecinţei IV.7 ecuaţia ( ) = poate avea o soluţie, un număr init arbitrar de soluţii sau o ininitate numărabilă de soluţii pe (a,b). Eemple: 235

8 . () = 2, [-,]; ecuaţia ( ) π = + nπ 2. ( ) sin 2 soluţii în punctele 3. ( ) = are o singură soluţie =. cu [,]; ecuaţia ( ) 2k + k =, k =,..., n 2n + 2 π sin ; (,] = 2, avem ; = Rolle pe intervalul soluţie în n soluţii n cu n., n + n, n+ n = are eact (n+) =, n N şi după teorema n (n ) ecuaţia ( ) ; ecuaţia ( ) = are cel puţin o = are o ininitate numărabilă de 3) Fiecare din condiţiile teoremei Rolle sunt esenţiale pentru valabilitatea concluziei sale. Eemple: admite 2 o ( ), [,] cu derivabilă pe [,] şi () (), [,]. ( ] 2 ;, = este derivabilă pe (,) cu () = () =, dar ; = este discontinuă în = şi evident avem, (,). 3 o ( ) =, [-, ] este continuă pe [-,] cu ( ) ( ) = = şi este derivabilă pe [-, ]- {} şi nederivabilă în = ; avem ( ), [-, ]- {}. 4) Condiţiile din teorema lui Rolle sunt suiciente şi nu obligatoriu necesare pentru ca derivata să se anuleze într-un punct. 236

9 Eemple: o ( ) continuă numai în = şi avem Q [,2] [ ] Q 2 ; = ;,2 = este derivabilă şi 2 o ( ) = 3, [, ] este derivabilă pe [-,] cu ( ) ( ) totuşi, şi se anulează în = (-,) ( ) 3 2, [,] Teorema IV. (Teorema lui Lagrange) =. Fie a, b R cu a < b şi : [a, b] R o uncţie cu proprietăţile: o ] continuă pe [a, b] 2 o ] derivabilă pe (a, b), atunci eistă c (a,b) astel încât: (IV.) ( b) ( a) = ( b a) ( c) Demonstraţie: Fie F : [a, b] R cu F() = λ( - a) () şi să se determine λ R a. î. F să satisacă condiţiile din teorema lui Rolle. Avem F continuă pe [a, b], F derivabilă pe (a, b) cu F() = λ - condiţia F(a) = F(b) = - (a), atunci eistă c (a,b) a. î. = =λ = sau F c F c c ( a) b λ(b - a) (b) = - (a) λ= b a (IV.) ( b) ( a) ( b a) ( c) =. şi punem c =λ. Din F(a) = F(b) şi se obţine: Consecinţa IV.8. (Consecinţe ale teoremei lui Lagrange) Fie I R interval şi : I R o uncţie continuă pe I şi derivabilă în orice punct interior I. Atunci au loc următoarele airmaţii: (I) Pentru, 2 I cu < 2 eistă c (, 2 ) a.î. (IV. ) ( ) ( ) = ( c)( )

10 (II) Dacă este derivabilă pe I avem constantă pe I, dacă şi numai dacă,, = I. (III) Funcţia derivabilă pe I este monoton crescătoare (respectiv descrescătoare), dacă şi numai dacă, pe I (respectiv pe I). (La el este strict crescătoare sau strict descrescătoare pentru > sau < pe I). (IV) Dacă I R este interval de capete a, b R şi : I R derivabilă în I punct interior atunci: Dacă pe interiorul lui I şi (a + ) (respectiv (a + ) > ) (respectiv > ). 2 Dacă pe interiorul lui I şi (b - ) (respectiv (b - ) < ) (respectiv < ). (La el în cazul sau <.) (V) Fie I R interval compact şi dacă : I R este o uncţie derivabilă cu derivata mărginită (respectiv continuă) atunci este uncţie lipschitziană. [, ] I. 2 Demonstraţie: (I) Se aplică teorema Lagrange restricţiei (II) dacă ] [, 2 = c, I =, I. Fie, 2 I cu < 2 iaţi şi conorm teoremei Lagrange eistă c (, 2 ) a. î. = ( ) şi cum c 2 2 = deci este constantă pe I. 2 c =, c I avem: (III) Fie monoton crescătoare pe I şi I iat. Presupunem că <sup I şi cum este crescătoare avem: cu 238

11 , I (, + ) ( ) = ( ) = d > La el pentru > in I găsim: ( ) ( ) Dacă pe I, ie, 2 Lagrange eistă c (, 2 =, deci avem s pe I. I cu < 2 iaţi şi atunci după teorema ) a. î. ( ) ( ) ( c)( ) =. Dar cum, < şi ( c ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2, 2 cu 2, < 2 monoton crescătoare pe I. (IV) Dacă, I punct interior strict crescătoare pe interiorul lui I şi deci strict monotonă, atunci eistă ( a + ) şi ( b - ). Dacă I punct interior cu ( ) <, atunci () ( ), (a, ) deci ( a, ) a+ = in < ceea ce este absurd avem în acest caz (), I punct interior. La el se dovedeşte airmaţia în cazul 2. (V) Fie L = sup ( ) I şi după teorema Lagrange,y I cu <y, eistă ξ (,y) a. î. ( ξ ) y = y y L y şi este uncţie lipschitziană pe I. Observaţii:. Dacă : I R este derivabilă şi strict monotonă, nu rezultă obligatoriu > pe I (sau < pe I). Eemplu: ( ) = 3, R derivabilă şi strict crescătoare pe R cu = 3 pe R deoarece 2 =. 2. Din punct de vedere geometric teorema lui Lagrange are semniicaţia: continuă pe [a, b] şi derivabilă pe (a, b), atunci eistă cel puţin un punct ( III) 239

12 c (a, b) a.î. tangenta geometrică la graicul lui în punctul (c, (c)) este paralelă cu dreapta care trece prin punctele A(a, (a)) şi B(b, (b)). 3. Teorema lui Lagrange permite demonstrarea unor inegalităţi. b a b a Eemple:. < ln b ln a<, < a< b<+. Fie () = b a =ln, > derivabilă cu ( ) ξ ξ (a, b) a. î. ln b ln a= ( b a) = şi dupa teorema Lagrange eistă. Cum b a b a b < < < < a deci b a ln ln b < b a< a. b ξ a b ξ a b a În particular pentru a =, b = + cu > -, avem: ln( ),, + < + < Pentru a = şi b = + cu >, obţinem:. < ln( + ) ln < pentru > (demonstrată pentr = n N*). + * 2. e > +, R. Fie () = e, R uncţie derivabilă cu ( ) = e deci ( ) < dacă < şi ( ) > dacă > iar =. După consecinţa (IV.8) cazul (III) avem: strict crescătoare pentru > şi strict descrescătoare pentru < ; atunci = este punct de minim absolut unic determinat () > (), R* e > +, R *. e 3. I. e >, > şi e este singurul număr pozitiv cu această proprietate. ln =, > o uncţie derivabilă cu Fie 24

13 ln ( ) = 2, > ( ) >, (, e) şi ( ) <, ( e, ), iar ( e) =. Funcţia este strict crescătoare pe (, e) şi strict descrescătoare pe (e, ), deci = e este punct de maim absolut unic determinat ln, * { } e, * e = e > = R+ e e R+ { e} >. II. Fie a > cu proprietatea a a >, > ln a aln, > deci ln a ln ( a) = ( ), a = > şi punctul = a este punct de maim global a = e. e III. În particular avem: e π >π. Teorema IV.. (Teorema lui Cauchy) Fie a,b R cu a < b şi, g : [a, b] R uncţii cu proprietăţile: o ] şi g continue pe [a, b] 2 o ] şi g derivabile pe (a, b) 3 o ] g (), (a, b), atunci g(a) g(b) şi eistă c (a, b) a.î.: (IV..) b a c = g b g a g c Demonstraţie: Dacă g(a) = g(b) uncţia satisace condiţiile din teorema Rolle şi atunci eistă c (a, b) a. î. g 3 ], deci g(a) g(b). c = ceea ce contrazice Formula (IV.) (IV. ) [ ( b) ( a) ] g ( c) [ g( b) g( a) ] ( c) Fie F: [a, b] R cu: =. F() = [ ( b) ( a) ] g( ) g( a) [ g( b) g( a) ] ( ) ( a) o uncţie continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) şi F(a) = F(b) =, atunci după teorema lui Rolle eistă c (a, b) a.î.: 24

14 [ ] [ ] F () c = () b () a g c g() b g() a c = adevărată. Teorema IV.. (Teorema lui Darbou) (IV. ) Fie I R interval şi : I R o uncţie derivabilă pe I, atunci derivata sa : I R are proprietatea Darbou pe I. Demonstraţie: Fie ab, Icu a< bşi λ R cuprins între (a) şi (b) ; presupunem (a) < (b) şi λ R cu (a) < λ < (b). Considerăm F : I R cu F () = () - λ, I şi F este derivabilă pe I cu F() = () - λ, I deci: F (a) = (a) - λ < şi F (b) = (b) - λ >. Prin deiniţie: F ( a) F ( b) > a F( b) F( a) F = < şi a a F = >, atunci eistă c, d (a, b) cu proprietăţile: b b < b F F a F F b <, ( a, c) şi <, ( d, b) a b, (, ) şi, F < F a a c F < F b d, b (*) Funcţia F este continuă pe [a, b] compact din R, atunci eistă [a, b] a.î. F( ) F( ) [ a b], şi din (*) avem a şi b, deci, (a, b) şi este punct de minim. După teorema lui Fermat avem: = = λ =λ F, a, b şi are proprietatea Darbou pe I. Consecinţa IV.9. Fie I R interval, I avem: ( ), : I R uncţie derivabilă pe I şi dacă ( ), > I sau <, I. 242

15 Demonstraţie: Dacă ar eista, 2 I a. î. ( ) ( ) 2 având proprietatea lui Darbou pe I, ar eista (, 2 ) cu <, atunci ( ) = este absurd, deoarece pe I şi avem: ie > pe I ie > pe I. Teorema IV.3. Fie I R interval, I şi : I R uncţie cu proprietăţile: o continuă pe I 2 o derivabilă pe I - { } 3 o eistă l l = R, atunci eistă : I R este continuă în I. = l. Dacă l R uncţia Demonstraţie:.Fie l R şi ε> δ(ε) > a. î. l - ( ) < ε, ( - δ, + δ) I. Aplicăm teorema Lagrange pe intervalul [, ] cu ( - δ, + δ) I { } şi >, avem: l = l ξ, ξ (, ) şi la el pentru < cu ( - δ, + δ) I { }. În aceste condiţii, avem: l < ε, ( - δ, + δ) I { } eistă = l =l. şi deci 2. Dacă l = +, ie c > iat, atunci eistă δ > a. î. ( ) c, ( - δ, + δ) I { }. Aplicând teorema Lagrange pe intervalul [, ] cu ( - δ, + δ) I { } şi >, avem: = ( ξ ), ξ (, ) şi la el pentru <. În aceste condiţii c ( - δ, + δ) I { } eistă 243

16 = + = +., deci eistă 3. Dacă l = - se ace acelaşi raţionament ca în cazul 2. Observaţii:. Teorema IV.3. este adevărată şi în cazul eistenţei itelor laterale: şi < > în R. 2. În cazul l R din teorema IV.3. rezultă că este uncţie continuă în I. 3. Continuitatea lui în I în teorema IV.3. este o condiţie esenţială. ; [,) (,] Eemplu: :[, ] R, ( ) = este discontinuă în ; = =. Avem ( ) =, [,) (,] şi deci, ( ) eistă (), avem: ( ), s = = +. d = şi nu 4. Condiţiile o - 3 o din teorema IV.3 sunt suiciente dar nu şi necesare obligatoriu pentru eistenţa lui în. Eemple: o :, derivabilă pe R * cu =. Nu eistă 2 sin ; R R R = este continuă şi ; = = 2sin cos, R ; este continuă şi în şi totuşi avem: = = = sin. 244

17 + 2 o Derivabilitatea uncţiei lui Hahn, ( ) = ( este continuă pe R se va preciza mai jos. Avem: ( ) ; > ( + 2 ) ( + ) = = 2 2 = ( + ) ( + ) ; < 2 ( ) şi eistă ( ) = şi cum continuă în = derivabilă în = cu cu : R,) care = şi este continuă pe R. Deiniţia IV.3. Fie I, J R intervale şi o uncţie : I J. ] Funcţia este dieomoră sau este un dieomorism dacă satisace condiţiile:. bijectivă, 2. şi - sunt uncţii derivabile. 2] Funcţia este de clasă C pe I dacă este derivabilă şi continuă pe I. este uncţie 3] Funcţia este de clasă C dieomoră sau este un C - dieomorism dacă:. este bijectivă; 2. şi - sunt uncţii de clasă C pe I ( şi - C (I)). Teorema IV.4. (Teorema de inversare locală) Fie I R interval şi : I R o uncţie de clasă C pe I. Dacă I este punct interior şi ( ), atunci eista V I interval deschis cu V şi eistă W R interval dechis cu ( ) W astel încât aplică C dieomor V pe W. Demonstraţie: Funcţia de clasă C pe I eistă uncţie continuă pe I şi cu ( ) eistă V I interval deschis cu V a. î. 245

18 ( ), V. Funcţia după teorema lui Darbou şi consecinţa sa în cazul (), V rezultă () > sau ( ) <, V, deci este strict monotonă pe V cu (V) = W R este interval deschis, avem: ( ) W. Funcţia V este bijectivă şi derivabilă cu V (), V deci ( V ) - este derivabilă pe W cu ( ) ( ) V y =, y = W. După ipoteză este de clasă C pe I deci de clasă C şi pe V I, rezultă ( V ) continuă pe V deci şi ( ) V este continuă pe W uncţia aplică C dieomor V pe W conorm deiniţiei de mai sus. Observaţii:. Dacă este derivabilă pe I şi nu este de clasă C, atunci concluzia teoremei de inversare locală nu are loc în mod obligatoriu. 2. Eemplu: : R R, + sin ; R = 2 ; = V 2 * este derivabilă pe R cu () = şi nu este strict monotonă pe nici o 2 vecinătate V V(). Teorema IV.5. Fie I, J R intervale şi : I J o uncţie derivabilă. Funcţia este dieomoră, dacă şi numai dacă, (), I şi este surjectivă. Demonstraţie: Dacă este dieomoră este bijectivă şi, sunt derivabile. Avem: o = I derivabilă cu derivata: ( )( ) ( ) ( ) o = ( ) =, I ( ), I. 246

19 Dacă iar, I strict monotonă pe I şi surjectivă bijectivă, : J I este derivabilă cu uncţie dieomoră. y =, y J este ( y) Înlăturarea ormelor nedeterminate nedeterminate. Formula lui Cauchy (IV.) are aplicaţii în einarea ormelor Deiniţia IV.4. ] Fie A R, R punct de acumulare pentru A, două uncţii, g : A R. şi presupunem că eistă V V ( ) astel încât g( ), A V { }. Dacă eistă ita: ( ) g. 2] Dacă ( ) g( ) g A V A V = =, se spune că, nedeterminare de orma:. ( ) ( ) se notează prin ( ) g este o 3] A înlătura sau a eina sau a ridica o nedeterminare de orma înseamnă a gasi valoarea itei ( ) g eistă. La el se deinesc nedetrminările de orma: în cazul când această ită 247

20 ,,,,,,. Teorema IV.6. Fie A R, R punct de acumulare pentru A şi, g : A R. Dacă ( ) g prezintă o nedeterminare de orma,,,,,, ea se reduce la o nedeterminare de orma. Demonstraţie: () Presupunem ( ) g( ) eistă V V ( ) a.î. ( ) şi g( ), A V { } =, A V { } cu F( ) F G g = =±, atunci şi avem: =, G( ) = g ( ) unde G( ) F = = ; nedeterminarea se reduce la nedeterminarea. (2) Relaţia ( ) g =, A V { } eprimă aptul că o G nedeterminare de orma se reduce la. = g( ) ( ) (3) Pentru ( ) g( ) ( ) g( ) orma ( ), care după (2) se reduce la (4) Fie ( ), g( ). o nedeterminare de = =, atunci eistă V V ( ) a.î. () >, g () >, A V { }. Considerăm h( ) ( ) 248 = g

21 A V { } şi avem h( ) ( ) ln h = e cu ln ln ( ln = care conduce la o nedeterminare de orma. g h = g )= (5) Un raţionament analog cu cel din (4) se ace în cazul nedeterminărilor de orma şi. Teorema IV.7 (Teorema lui Cauchy) Fie I R interval, I şi, g: I R cu proprietăţile: o ] ( ) = g( ) = 2 o ] şi g derivabile în şi V V ( ) cu g( ), I V { } şi avem g atunci eistă ( ) =. g g Demonstraţie: ) Presupunem că V V ( ), V I { } n n g( V ) = şi luăm V = ; +, I V { } ( ) g = n g( ) g n n, { } g V I şi atunci avem: ( ) g( ) g = g( ) ( ) =. g g, n a. î. V cu g n = = contrazice ipoteza 2 ] V V ( ) a.î. { } V I de unde obţinem: Teorema IV.8 (Teorema lui LHospital) 249

22 Fie ab, R cu a< bşi I Run interval cu ( ab, ) I [ ab, ], [ ab], iar g I { },, : R uncţii cu proprietăţile: o ( ) = g( ) = (respectiv g( ) 2 o, g sunt derivabile pe I { } şi g ( ) 3 o eistă ( ) ( = ), I { } l = cu l R sau l =± ), atunci g(), V I g -{ }. (respectiv eistă V V ( ) cu g(), V I { }), g eistă şi este egală cu l. Demonstraţie: (I) Fie ( ) g( ) ( ) = = şi avem g(), I { }; în caz contrar dacă eistă I { } cu g() =, după proprietatea Darbou a derivatei pe intervalul de capete şi eistă un punct ξ cuprins între şi cu g ( ξ ) = contrazice ipoteza 2.. Fie = b, iăm I { } şi pe intervalul [, ] aplicăm consecinţa teoremei Darbou, deci eistă ξ (, ) a. î. ( ) ( ) ξ = = pentru rezultă ξ şi g g g g ξ avem: ( ) ξ = = l. g g ξ 2. Fie = a, se procedează la el ca în = b. 3. Fie (a, b) şi aplicând cazul pe (a, ) şi rezpectiv cazul 2 pe (, b) se obţine: < ( ) g > ( ) = l respectiv g = l ( ) = l. g 25

23 (II) g( ) =.. = b. Cum g ( ), I, rezultă că g are semn constant pe I, deci g este strict monotonă. Din ipoteza g( ) = c cu c (a, b) a. î. g() = g() >, (c, ). Fie n (c, ) un şir crescător R cu n g n n, atunci este şir strict crescător şi are ita +. După teorema lui Cauchy (teorema de medie) aplicată pe iecare interval [ n, n+ ] rezulta că c n ( n, n+ ) a. î. ( n+ ) ( n) n+ n ( n) c = g g g c n (*). Din aptul că, R R < c < n şi n cn şi deci eistă n g ( cn ) ( c ) n n = l n şi din (*) avem: ( + ) n n cn = = l. n g g g c n n+ n n Aplicând lema Cesaro-Stoltz pentru şiruri n g < ( ) g = l. ( n ) n = l 2. Pentru = a, se ace raţionament analog cu cel din cazul = b. 3. Fie (a, b) se aplică pe (a, ) şi 2 pe (, b) şi se obţine: ( ) g > ( ) = l şi g = l ( ) = l. g Observaţii:. Teorema lui Cauchy şi teorema lui LHospital nu au acelaşi câmp de aplicabilitate: în teorema lui LHospital şi g nu sunt obligatoriu deinite în, ele iind derivabile pe I { }. În teorema lui Cauchy şi g sunt deinite şi derivabile în I. 25

24 2. Cele două teorema se completează una pe cealaltă în scopul înlăturării ormelor nedeterminate. 3. Eemple o Să se calculeze: 2 2 sin = sin g ( ) π = sin şi g = sin unde < <. Funcţiile şi g satisac 2 condiţiile şi 2, dar nu satisac condiţia 3 din teorema lui LHospital, deoarece avem: 2sin cos g = cos care nu eistă (nu eistă cu cos ). Avem sin, şi sin = atunci : 2 sin = sin = =. sin sin ln ( + ) ctg ln + = = = = + =. tg > > 2 cos 2 o ( ) 2 cos = = = sin 2 3 o 2 ctg = = 2 2 cos sin 2... sin = = 5. sin ln sin 4 o ln sin cos cos cos 3 e e e = = = =. 252

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL

ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL PROPRIETĂłILE ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL 1. Puncte de etrem ale unei uncńii Determinarea punctelor de etrem ale unei uncńii are o mare importanńă practică, iind legată de rezolvarea problemelor

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE

Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy). TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Teorema lui Peano de existenţă

Teorema lui Peano de existenţă Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

1Ecuaţii diferenţiale

1Ecuaţii diferenţiale 1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα