7. Rezolvarea numerică a problemelor la limită pentru ecuaţii cu derivate parţiale de tip eliptic
|
|
- Ἄμπελιος Καλλιγάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 7 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr ecaţii c derivate parţiale de tip eliptic Fie R o mlţime descisă coneă şi mărginită a cărei frontieră este netedă pe porţini Aşadar poate fi o jtapnere de mai mlte crbe În continare vom prespne că este jtapnerea a doă crbe şi şi este orientată în sens trigonometric O onsiderăm ecaţia c derivate parţiale de ordinl al doilea p f nde p şi f este contină pe porţini pe onsiderăm de asemenea rmătoarele condiţii la limită: ϕ nde ϕ este cnosctă n γ
2 Bazele Analizei Nmerice nde γ snt cnoscte iar este derivata dpă normala n eterioară la Problema la limită pentr ecaţia constă în determinarea nei fncţii care verifică ecaţia şi condiţiile la limită şi Dacă p f şi obţinem problema Diriclet pentr ecaţia Laplace ϕ Dacă p f şi obţinem problema Nemann pentr ecaţia Laplace 5 γ n Dacă p şi f obţinem ecaţia Poisson f 6 Evident şi pentr ecaţia Poisson ptem considera problema Diriclet sa problema Nemann f f respectiv ϕ γ n Dacă f şi p se obţine ecaţia vibraţiilor p Aşadar problema la limită deşi n reprezintă cazl cel mai general este sficient de generală pentr a acoperi cazrile zale de probleme la limită pentr ecaţii c derivate parţiale de tip eliptic în plan În continare notăm c D ; ϕ 7 şi c J grad p f dd 8 s γ s şi ne pnem rmătoarea problemă variaţională: să se minimizeze fncţionala J pe mlţimea D Pentr ca această problemă să aibă solţie trebie mai întâi ca mlţimea D să fie nevidă Vom prespne aşadar că eistă cel pţin o fncţie D Atnci D D nde
3 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic { ; } D Se observă că D n depinde de fncţia în sensl că oricare ar fi avem D D D Teorema Dacă eistă D astfel încât J min J ; D atnci este solţie pentr problema la limită Dacă p pentr orice { } şi s pentr orice s atnci are loc şi afirmaţia reciprocă şi anme: dacă este solţie a problemei la limită atnci J min{ J ; D } şi este singrl pnct de minim al fncţiei J pe D J min J ; D Demonstraţie Fie D astfel încât { } c proprietatea ϕ t J t m şi :[ a a] a > ϕ R definită astfel ϕ t J t J ϕ rezltă că t este n pnct de minim pentr ϕ şi deci ϕ Pe de altă parte ţinând seama de 8 avem t ϕ t t dd p t f t d d S s t γ s t nde S este lngimea crbei iar s s [ S] s este reprezentarea sa normală Un calcl direct ne condce la ϕ p f d d S [ s γ s ] Din formla reen rezltă 9
4 Bazele Analizei Nmerice dd d d dd dd dd Deoarece rezltă că avem dd d d dd Dacă notăm c τ r versorl tangentei la crba atnci β π j i j d i d r r r r r β τ cos cos τ r Pe de altă parte versorl normalei eterioare la crba este j i n r r r cos cos π β β Ţinând seama de aceste observaţii mai departe avem n r S S S n n d d d d cos cos π β m ϕ din 9 şi rezltă [ ] s s n dd f p γ ϕ Egalitatea are loc pentr orice c proprietatea ; în particlar şi pentr o fncţie nlă pe Atnci obţinem [ ] dd f p
5 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 5 pentr orice Dintr-o cnosctă lemă de calcl variaţional rezltă f p adică ecaţia Înlocind acm în rezltă n γ pentr orice Printr-n raţionament asemănător c cel precedent dedcem γ n adică În continare demonstrăm afirmaţia reciprocă Fie o solţie a problemei la limită v D şi v- Evident D Ţinând seama de definiţia fncţionalei J dată de 8 rezltă grad grad grad d d f p p J J J v J γ m f p deoarece satisface mai departe avem grad grad grad d d p J v J γ Ţinând seama de şi rezltă n dd p grad J v J γ Deoarece satisface egalitatea devine d d p J v J grad 5 m p pe şi s pe din 5 rezltă
6 6 Bazele Analizei Nmerice J v J grad d d Observăm că dacă v atnci grad d d > Într-adevăr în caz contrar ar rezlta grad şi deci că este constantă pe m rezltă ceea ce contrazice ipoteza făctă Aşadar Jv > J dacă v Rămâne să demonstrăm nicitatea elementli Fie D astfel încât J min{ J ; D } onform celor demonstrate mai înainte rezltă J > J Analog avem J > J Rezltă astfel o contradicţie şi c aceasta teorema este demonstrată Observaţia Fncţionala 8 are sens şi pentr fncţii dintr-o clasă mai largă şi anme fncţii de clasă Analizând demonstraţia Teoremei constatăm că dacă fncţia minimizează fncţionala J pe mlţimea ~ D { ; ϕ } atnci satisface ecaţia ce derivă din ϕ şi anme [ grad grad p f] dd γ 6 pentr orice c proprietatea Evident n mai este solţie clasică a problemei la limită O fncţie din D ~ care verifică 6 poartă nmele de solţie slabă a problemei la limită Pentr rezolvarea nmerică a problemei la limită se consideră o reţea pătratică de drepte paralele c aele de coordonate: a i i m i j b j j n care acoperă întreg domenil Pnctele M ij i j se nmesc nodrile reţelei iar pasl reţelei O primă metodă de rezolvare nmerică a problemei la limită constă în discretizarea ecaţiei şi a condiţiilor la limită în nodrile reţelei obţinând-se n sistem de ecaţii liniare Solţia acesti sistem aproimează în nodrile reţelei solţia problemei la limită În continare vom nmi această metodă metoda reţelelor O a doa metodă constă în discretizarea integralei 8 din problema variaţională rezltând o
7 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 7 fncţie pătratică care apoi se minimizează Vom nmi această metodă metoda energiei Prezentăm cele doă metode pe rmătorl eempl Eempll Fie dreptngil ABD de latri AB 5 şi AD Se cere să se determine o fncţie care este solţie pentr ecaţia Poisson f 7 nde dacă f dacă D A B Figra şi care verifică condiţiile la limită AB D 8 AD 9 B Interpretarea fizică este rmătoarea: o membrană elastică are marginile AB şi D fie marginea AD liberă iar marginea B este rezemată elastic Fncţia cătată reprezintă deplasarea membranei sb acţinea nei încărcări contine f f care este aplicată perpendiclar pe membrană 7 Metoda reţelelor a diferenţelor finite Pentr discretizarea problemei 789 considerăm o reţea pătratică de pas Deoarece pe AB şi D nodrile de pe aceste latri n prezintă interes ele 8 nodri în care rmează să determinăm fncţia
8 8 Bazele Analizei Nmerice snt notate în figră Valorile fncţiei şi ale fncţiei f în aceste nodri le vom nota c 8 respectiv f f f 8 şi Pentr discretizarea ecaţiei 7 va trebi să aproimăm derivatele în nodrile reţelei Ne propnem să facem această aproimare în nodl Aşadar aproimăm derivatele şi în nodl c derivatele lor nmerice în acest nod onform 9 5 rezltă 8 şi Înlocind în ecaţia Poisson 7 obţinem 8 f şi mai departe 8 f În fiecare din cele nodri interioare vom obţine câte o ecaţie liniară de tipl Modl de alcătire al ecaţiei de tip este ps simbolic în evidenţă de figra Dacă nodl este interior dar este f de tipl atnci va trebi să ţinem seama că D Ecaţia corespnzătoare nodli va fi Figra 5 7 f Aşadar celor nodri interioare le corespnd ecaţii liniare c 8 necnoscte 8 ele 6 ecaţii liniare care lipsesc se obţin din condiţiile la limită 9 şi În nodrile de pe latrile AD şi B aproimăm derivata c derivata nmerică dată de 7 5 De eempl în nodl avem 7
9 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 9 m A rezltă ecaţia liniară 7 Ecaţii asemănătoare se obţin datorită nodrilor şi Deoarece pe latra B avem condiţia la limită B în nodl 6 obţinem 6 6 şi mai departe 6 6 Ecaţii asemănătoare se obţin datorită nodrilor 7 şi 8 În final se obţine n sistem de 8 ecaţii liniare c 8 necnoscte 8 Rezolvând acest sistem se obţin valorile aproimative ale fncţiei în nodrile reţelei 7 Metoda energiei Problema la limită din Eempll este n caz particlar al problemei la limită şi anme: este dreptngil ABD AB D AD B p ϕ γ AD B Fncţionala J asociată acestei probleme la limită va fi n caz particlar al fncţionalei 8 şi anme J grad f d d d B onform Teoremei problema la limită 789 este ecivalentă c rmătoarea problemă variaţională: să se găsească o fncţie care satisface condiţia 5 AB D şi care minimizează fncţionala Introdcem notaţiile: J grad d d d d 6 J f d d 7
10 Bazele Analizei Nmerice J d 8 B şi considerăm reţeaa pătratică de pas din figra Metoda energiei constă în aproimarea integralei J J J J în nodrile reţelei aproimare în rma căreia se obţine o fncţie pătratică F F 8 Problema minimizării fncţionalei J c condiţia la limită 5 se va înloci c problema minimizării fncţiei pătratice F c aceeaşi condiţie la limită ondiţia necesară de minim pentr F şi anme gradf ne condce la n sistem de 8 ecaţii liniare în necnosctele 8 Observaţia Eistă doă avantaje majore ale metodei energiei în raport c metoda reţelelor Priml constă în faptl că în metoda energiei n este necesară discretizarea condiţiilor la limită 9 şi şi nici a derivatelor parţiale de ordinl doi Al doilea constă în aceea că termenii pătratici din epresia li F constitie o formă pătratică pozitiv definită Drept rmare sisteml de ecaţii liniare care rezltă din minimizarea fncţiei pătratice F este simetric şi pozitiv definit şi astfel avem acces la metodele de relaare pentr rezolvarea sa Pentr discretizarea integralei J va trebi să aproimăm derivatele şi Ne propnem să facem această aproimare în pătratl aşrat Pe segmentl orizontal determinat de nodrile şi avem iar pe segmentl orizontal determinat de nodrile şi 5 avem 5 Media aritmetică a pătratelor acestor epresii constitie o aproimare bnă pentr derivata în centrl pătratli Aşadar avem: [ 5 ] 9 Un rezltat asemănător obţinem pentr şi anme: [ 5 ]
11 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic Ţinând seama că aria pătratli este din teorema de medie pentr integrala dblă rezltă J [ 5 5 ] Pentr aproimarea integralei J folosim metoda trapezelor pentr integrala dblă 5 Avem J [ f f f55 f ] Pentr aproimarea integralei J se foloseşte metoda dreptngirilor şi se obţine J Aşadar integrala J J J J se va aproima c o fncţie pătratică F F 8 care provine din adnarea epresiilor Fncţia pătratică F se compne dintr-o formă pătratică pozitiv definită provenind din discretizarea integralelor J şi J şi o formă liniară provenind din discretizarea integralei J Pentr ca F să fie minimă trebie ca gradf ontribţia cellei F în va fi [ ] f f Datorită celorlalte trei celle vecine care a în comn c nodl în F vor apare şi epresiile 8 f f 8 f Deoarece variabila intervine în epresia li F nmai datorită cellelor care a comn nodl rezltă că F se compne din sma celor patr epresii de mai ss Rezltă că F 8 f 5 ontribţia nodli în gradf este psă în evidenţă de scema în crce din Figra Deoarece n nod D interior de tipl nodli ne condce la ecaţia f Figra
12 Bazele Analizei Nmerice F 5 7 f 5 Să analizăm acm contribţia în gradf a ni nod de pe AD de eempl a nodli În acest caz snt nmai doă celle vecine care a în comn nodl Epresia c care intervine în F va fi [ 5 ] f 5 f ontribţia nodli în gradf revine la [ 5 5 ] f Se obţine astfel ecaţia 5 f 6 Modl de alcătire a ecaţiei 6 este ps în evidenţă de scema din Figra În cazl nodli vom avea f deoarece D În mod analog nodli îi corespnde ecaţia 6 f f În sfârşit rămâne să analizăm nodrile de Figra pe latra B de eempl nodl 7 Şi în acest caz avem nmai doă celle vecine ontribţia nodli 7 în gradf datorită discretizării integralelor J şi J va fi f7 La această epresie trebie să adăgăm şi termenl 7 7 care provine din discretizarea integralei J Aşadar nodli 7 îi corespnde ecaţia f7 7 Modl de alcătire al ecaţiei 7 este ps în evidenţă de scema din Figra 5 f Figra 5
13 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic Deoarece D nodli 6 îi corespnde ecaţia f O ecaţie analoagă obţinem pentr nodl 8 În cazl concret considerat când fncţia f este dată de dacă dacă f rezltă f 5 f 6 f 8 f 9 şi f i în rest Precizăm de asemenea că În final se obţine rmătorl sistem de ecaţii liniare AUb în care A este matricea coeficienţilor necnosctelor 8 U 8 T iar b b b b 8 T omponentele vectorli b snt toate nle c ecepţia componentelor b 5 b 6 b 8 şi b 9 care snt egale c Matricea A arată astfel 8
14 Bazele Analizei Nmerice Observăm că matricea sistemli este simetrică iredctibilă şi slab diagonal dominantă onform Teoremei din rezltă că această matrice este pozitiv definită Nmărl ecaţiilor sistemli liniar este egal c nmărl nodrilor Pentr o reţea c n nmăr mic de nodri sisteml se poate rezolva c metoda olesk De asemenea se poate folosi metode relaării simple sa metoda ass - Seidel Dacă reţeaa se alege mai fină nmărl ecaţiilor creşte rapid ea mai indicată metodă de rezolvare în acest caz este metoda sprarelaării Noi ştim să determinăm parametrl optim de relaare pentr o matrice simetrică pozitiv definită diagonal bloc tridiagonală Teorema În cazl de faţă matricea sistemli este simetrică pozitiv definită şi bloc tridiagonală dar n este diagonal bloc tridiagonală Să observăm însă că strctra matricei coeficienţilor este legată de nmerotarea nodrilor Pentr acelaşi nmăr de nodri dacă se scimbă nmerotarea se scimbă şi matricea sistemli Să considerăm din no o reţea formată din 8 nodri pe care le împărţim în doă părţi O jmătate din nodri a cloarea neagră iar cealaltă jmătate a cloarea albă Nmerotarea o facem astfel încât orice segment paralel c aele neşte 7 7 nodri de clori diferite vezi Figra 6 Pentr nodl 6 scema în crce din Figra ne condce la ecaţia f6 Pentr nodl scema din Figra ne condce la ecaţia Figra 6 f etc Se obţine rmătorl sistem b
15 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic Matricea acesti sistem este simetrică pozitiv definită şi diagonal bloc tridiagonală Definiţie Fie M{ n} O matrice pătratică A M n R se nmeşte de tip A dacă eistă doă sbmlţimi S şi T ale li M nevide c proprietăţile: i S TM ii S Tφ iii Dacă a ij atnci sa ij sa i S şi j T Să observăm că matricea 8 de tipl A Într-adevăr sbmlţimile S {57957} şi T {6868} satisfac proprietăţile i-iii Se poate arăta că o matrice este de tipl A dacă prin permtări simltane de linii şi coloane poate fi aă la forma diagonal bloc tridiagonală O matrice de tipl A poate avea mai mlte reprezentări diagonal bloc tridiagonale Matricea 9 este na dintre aceste reprezentări ale matricei Figra 7 Nmerotarea din Figra 6 este tipică pentr adcerea nei matrice de tip A la forma diagonal bloc tridiagonală O nmerotare a nodrilor pe diagonală ca în Figra 7 condce de asemenea la o matrice diagonal bloc tridiagonală Lăsăm în seama cititorli dedcerea matricei sistemli de ecaţii liniare ce corespnde acestei nmerotări Definiţie Pentr o matrice de tip A n sistem de nmerotare a nodrilor căria îi corespnde o matrice diagonal bloc tridiagonală se nmeşte consistent Reamintim că pentr o matrice simetrică pozitiv definită diagonal bloc tridiagonală parametrl optim de relaare este
16 6 Bazele Analizei Nmerice ωopt λ nde λ este cea mai mare valoare proprie a matricei -D - EF Teorema Se poate demonstra că pentr o matrice de tipl A parametrl optim de relaare este independent de sisteml particlar consistent de nmerotare a nodrilor În cazl eemplli nostr pentr reţeaa c 8 nodri avem: λ 879 şi ω opt 96 Pentr a obţine o solţie c 6 zecimale eacte snt necesare 5 de iteraţii c metoda ass-seidel şi nmai 6 c metoda sprarelaării Pentr o reţea c 77 de nodri λ şi ω opt 55 Pentr a obţine o solţie c 6 zecimale eacte snt necesare de iteraţii c metoda ass-seidel şi nmai 5 c metoda sprarelaării În înceierea acesti capitol vom analiza pe scrt cazl când frontiera domenili este o crbă Figra 8 R onsiderăm o reţea pătratică de pas R R care acoperă domenil şi notăm c domenil aşrat format din cellele conţinte în interiorl domenili Să prespnem că se cnosc valorile fncţiei pe crba 8 9 Notăm c a distanţa de la nodl la pnctl R Dreapta determinată de pnctele 5 şi ar are ecaţia Figra 8 R 5 5 a Pnând condiţia ca pentr să rezlte obţinem a R 5 a Pe parcrsl discretizării variabila se va înloci c epresia din membrl drept al relaţiei astfel încât variabila va dispare din sisteml final Nodl se nmeşte nod eliminat iar nodl 5 se nmeşte nod ailiar N acelaşi lcr se întâmplă c nodl Acesta este nod eliminat din pnct de vedere al pnctli R de pe frontieră dar în acelaşi timp este nod ailiar pentr pnctl R Rezltă că variabila n va dispare din sisteml final Eerciţii
17 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 7 Aplicând metoda reţelei pentr k să se determine solţia ecaţiei li Laplace într-n pătrat c vârfrile A B D şi c condiţiile la limită rmătoare: AD AB B R Facem rmătoarele notaţii: i i i jk j ij i j Determinăm valorile la limită ale fncţiei şi obţinem: D j ; Vom nmerota nodrile reţelei ca in figra de mai jos: Vom înloci derivatele parţiale de ordin în ecaţia li Laplace pentr nodrile interioare reţelei Obţinem astfel ecaţiile:
18 8 Bazele Analizei Nmerice Înlocind în ecaţiile de mai ss valorile la limita specificate obţinem sisteml de ecaţii: Rezolvând acest sistem se obţin valorile: Aplicând metoda reţelei pentr k să se determine solţia ecaţiei li Laplace c condiţiile la limită specificate în figra de mai jos daca vârfl din stânga jos al plăcii are coordonatele 5 5 R Din caza simetriei condiţiilor la limită faţă de aa vom avea:
19 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 9 Aceste relaţii redc nmărl valorilor necnoscte ale fncţiei în pnctele interioare reţelei la 6 Vom înloci derivatele parţiale de ordin în ecaţia li Laplace pentr nodrile Obţinem astfel ecaţiile: Ţinând cont că i i j j şi înlocind în ecaţiile de mai ss valorile la limita specificate obţinem sisteml de ecaţii: Rezolvând acest sistem se obţin valorile: dpă cm se observă şi in figra de mai jos
20 Bazele Analizei Nmerice Problema deformării elastice a nei plăci pătrate sb acţinea nei forţe constante se redce la rezolvarea ecaţiei c valori la limită egale c Să se determine solţia ecaţiei folosind metoda reţelelor dacă latra plăcii pătrate se ia egală c iar distanţa R Fie domenil plan ABDE din fig AB 5 B 5 DE AE Formlaţi problema la limită corespnzătoare problemei de minim pentr fncţionala J grad dd D definită pe mlţimea fncţiilor care satisfac: pe B pe DE şi EA R Procedând ca în demonstraţia teoremei se obţine problema la limită în E D pe AB n pe D n pe B pe DE şi EA Fie trapezl ABD AB 5 DA Fig D 5 fig Să se determine fncţionala asociată problemei la limită: D în pe AB D şi DA pe B n R J grad dd dd A A Fig B B 6 Fie trapezl ABD AB 5 DA D 5 fig Să se determine fncţionala asociată problemei la limită:
21 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic în pe AB pe B n ped pe DA n R J grad dd dd DA 7 Să se discretizeze problema la limită folosind metoda energiei pentr fncţionala asociată acestei probleme alegând reţeaa şi nmerotarea nodrilor ca în fig R Folosim notaţiile şi tenica prezentată la metoda energiei Fie J grad dd J D Integrala J J se va aproima c o fncţie pătratică F F 9 ondiţia gradf condce în cazl ni nod interior de eempl nodl 7 la ecaţia vezi 5: F În cazl nodrilor de pe AB cm este cazl nodli ţinând seama că nodl este comn la celle rezltă: F 9 Ţinând seama că pe AE şi pe B obţinem: F F În cazl nodli 7 se procedează ca în cazl nodli 7 ţinând seama că pe DE În consecinţă: F Să analizăm acm cazl nodli 6 Pentr a aproima J pe cella D 6 7 ţinem seama că:
22 Bazele Analizei Nmerice Deci pe această cellă J [ ] Similar pe cella 56 J [ ] Pentr a aproima J cm ecaţia dreptei D este 8 d deci J 6 8 d conform formlei trapezelor Ţinând seama şi de aceasta şi aportl cellelor vecine rezltă: F F Similar obţinem: În final se obţine rmătorl sistem de ecaţii liniare: AU b nde A este matricea coeficienţilor necnosctelor 8 T T U 8 iar b b b b8 Matricea A arată astfel: 6
23 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 5 5 T b 8 Să se discretizeze problema la limită folosind metoda energiei pentr fncţionala asociată acestei probleme alegând reţeaa şi nmerotarea nodrilor ca în fig 9 Să se discretizeze problema la limită folosind metoda energiei pentr fncţionala asociată acestei probleme alegând reţeaa şi nmerotarea nodrilor ca în fig
CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II
CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II. Utiizarea transformării Lapace Să considerăm probema hiperboică de forma a x + b x + c + d = f(t, x), (t, x) [, + )
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCursul 14 ) 1 2 ( fg dµ <. Deci fg L 2 ([ π, π]). Prin urmare,
D.Rs, Teoia măsii şi integala Lebesge 6 SERII FOURIER ÎN L ([, ]) Csl 4 6 Seii Foie în L ([, ]) Consideăm spaţil c măsă ([, ], M [,], µ), nde M este σ-algeba mlţimilo măsabile Lebesge, ia µ este măsa Lebesge.
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα3 Minimizarea cu diagramelor KV
3 Minimizarea c diagramelor KV 3. Prezentare generală Metoda de minimizare c ajtorl diagramelor KarnaghVeitch (diagrame KV) este o metodă grafică de minimizare bazată pe o reprezentare specială a tabelli
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice)
. RUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţini algebrice) Un grpoid poate fi gândit ca n grp c mai mlte elemente nitate. Dacă n grpoid are n singr element nitate, atnci de fapt, este grp. Astfel noţinea de grpoid
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραA-PDF Merger DEMO : Purchase from to remove the watermark
A-PDF Merger DEMO : Prchase from wwwa-pdfcom to remoe the watermark III CUPRINS Prefaţă Capitoll ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ A CURBELOR PLANE Reprezentarea analitică a crbelor plane Stabilirea ecaţiilor
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότερα3. Vectori şi valori proprii
Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραCapitolul I ECUAŢII DIFERENŢIALE. 1 Matematici speciale. Probleme. 1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară
Mamaici spcial Problm c solţia apioll I EUAŢII DIFERENŢIALE Să d ingrz caţia difrnţială d ordinl înâi liniară g cos d Solţi: Ecaţia omognă aaşaă s: - g sa g d ln - ln cos ln sa Pnr rzolvara caţii cos nomogn
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραMETODA DEPLASĂRILOR PENTRU STRUCTURI DIN BARE DREPTE
. METODA DEPLASĂILO PENTU STUCTUI DIN BAE DEPTE În constrcţiile civile, ca şi în cele de maşini, se întâlnesc nmeroase podri, acoperişri, dispoitive, instalaţii, schelete ale nor maşini etc care snt realiate
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραAPLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE
1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότερα