1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice)
|
|
- Ἄννας Ζωγράφος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . RUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţini algebrice) Un grpoid poate fi gândit ca n grp c mai mlte elemente nitate. Dacă n grpoid are n singr element nitate, atnci de fapt, este grp. Astfel noţinea de grpoid este o extensie a celei de grp. Pe de altă parte, vom vedea că grpoizii generalizează şi alte strctri printre care se nmără acţinile grprilor, relaţiile de echivalenţă şi spaţiile obişnite. Vom prezenta în acest capitol câteva aspecte algebrice elementare referitoare la grpoizi. Vom folosi definiţia grpoidli algebric dată de P. Hahn în [4]. ( ) Definiţie.. Un grpoid este o mlţime împrenă c o sbmlţime şi doă aplicaţii : ( ) ( x, y) xy ( aplicaţia prods ) x x ( aplicaţia de inversare ) având rmătoarele proprietăţi: () ( x ) = x ( ) (, yz) ( ) ( ) ( ) () Dacă ( x, y) şi ( y, z), atnci (, z) x şi ( xy ) z = x( yz) ( ) (3) ( ) x ( x, x ) = > xy, ( ), şi dacă ( y, x) atnci ( yx) x = y CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
2 4 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI ( ) (4) ( ) x = > ( x, x) ( ), şi dacă ( x, y) atnci x ( xy) = y Mlţimea () se nmeşte mlţimea perechilor compozabile, iar x - se nmeşte inversl li x. ( ) Pentr x se notează r( x) = xx şi d( x) = x x. Atnci (, y) x dacă. şi nmai dacă d(x) = r(y). U = r() = d() este spaţil nităţilor li, elementele sale fiind nităţi în sensl că xd(x) = r(x)x = x. Pentr, v U şi A, notăm = { x A : r( x) }, A v : { x A : d( x) = v } A : = = şi A v : = A A v. se nmeşte grp de izotropie pentr orice U, şi se mai notează c. Pentr A, B, definim A - = { x : x A} AB = { z : ( ) x A, ( ) y B c z = xy}. Pe U se defineşte rmătoarea relaţie de echivalenţă : ~ v < = > ( ) x astfel încât r ( x) = şi ( x) v şi d =. Clasele de echivalenţă se nmesc orbite, iar orbita nei nităţi U se notează []. O mlţime A U se nmeşte satrată sa invariantă dacă este reninea orbitelor elementelor sale (i.e. A şi v ~ => v A). Pentr A U mlţimea [A] = [] =d(r - (A)) = r(d - (A)) se nmeşte satrata li A. A se nmeşte grpoid tranzitiv dacă ( r,d): U U def este srjectivă sa, echivalent dacă pentr orice U avem ] U [ =. se nmeşte grpoid principal dacă ( r,d): U U este injectivă. Un sbgrpoid al grpoidli este o sbmlţime închisă pentr aplicaţia prods şi aplicaţia de inversare. Vom da o serie de exemple de grpoizi dintre care nele vor fi frecvent tilizate în capitolele rmătoare 4
3 REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 5 Exemple... Orice grp este n grpoid. Mai mlt, grpoidl este grp <=> () = (orice doă elemente snt compozabile) <=> U conţine n singr element (elementl nitate al grpli). prin. Fie S o mlţime şi g n grp. Definim o strctră de grpoid pe =S g () : = {(( s, x, t ), ( s, x, t )) : t = } s (, x, t )( t, x, t ): ( s, x x, ) s = şi ( s, x, t) : = ( t, x,s) t Este şor de verificat că r(s,x,t) = (s,e,s), d(s,x,t) = (t,e,t) şi U = S {} e S (e elementl netr din g). De obicei vom identifica U c S. rpoidl = S g S se nmeşte grpoidl trivial pe S de grp g, şi este n grpoid tranzitiv. În particlar, orice grp poate fi considerat n grpoid trivial pe o mlţime formată dintr-n singr element, şi orice prods cartezian S S este n grpoid trivial pe S de grp { e. } pe S şi. Fie S o mlţime, g n grp care acţionează la stânga (respectiv la dreapta) g S (x,s) xs S ( resp. S g (s,x) sx S ) acţinea. Vom defini pe = g S (resp. = S g ) o strctră de grpoid astfel: ) {((x,s),(y, t) ) (g S) (g S) : s yt} (resp. : {((s,x),(t, y) ) (S g) (S g) : t sx} ( : = = ( x, yt)(y, t) : = (xy, t) (resp. ( s, x)(sx, y) : = (s, xy) ) (x,s) : = (x, xs) (resp. (s, x) : = (sx, x ) ) = ) C aceste operaţii devine grpoid c spaţil nităţilor U = {} e S (resp. U = S {} e ) (e elementl netr din g). Vom identifica spaţil nităţilor c S. Aplicaţiile r, d snt definite prin r ( x,s) = ( e, xs), d( x, s)= (e, s) pentr orice ( x,s) g S ) (resp. r ( s,x) = ( s,e), d( s, x)= (sx, e) pentr orice ( s, x) S g ). CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
4 6 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI rpoidl se nmeşte grpoidl determinat de acţinea li g pe S. este grpoid tranzitiv dacă şi nmai dacă acţinea li g pe S este tranzitivă, şi este grpoid principal dacă şi nmai dacă acţinea este liberă. 4. Dacă este grpoid ptem defini pe () o strctră de grpoid dpă cm rmează { : z = xy} ()() ( ) ( ) : = (( x, y),( z, w) ) (x,y)(xy,w) : = (x, yw) şi (x,y) - : = (xy, y - ) Notăm aplicaţiile r, d corespnzătoare grpoidli () c r (), respectiv d (). Avem r () (x,y) = (x,d(x)) şi d () (x,y) = (xy, d(xy)), deci spaţil nităţilor U ( ) poate fi identificat c. () este grpoid principal. rpoidl () este tranzitiv dacă şi nmai dacă este grp. 5. Fie n grpoid şi E o sbmlţime a spaţili nităţilor U. Notăm E = { x : r( x) E,d( x) E} = r ( E) d ( E) Dacă definim ( ) ( ) ca fiind ( ) ( ) E operaţiilor de pe, atnci şi operaţiile ca restricţii ale E E devine grpoid c spaţil nităţilor egal c E. E E este n sbgrpoid al li, nmit contracţia (sa redcerea) li la E. 6. Fie S o mlţime şi R S S o relaţie de echivalenţă. Lăm ( ) = {(( s, t ), ( s, t )): t t } R = şi definim (s, t ) (t, t ) : = (s, t ) şi (s, t) - : = (t, s). Este şor de verificat că R devine grpoid c U R = {(,s): s S} s. Vom identifica frecvent U R c S şi astfel, r(s,t) = s, d(s,t).= t. R este grpoid principal. Pnem în evidenţă doă cazri extreme. Dacă R = S S, atnci R este grpoidl trivial pe mlţimea S, iar dacă R = diag(s) = {(,s): s S} s, atnci R se nmeşte grpoidl co-trivial pe mlţimea S. 7. Dacă este n grpoid, atnci {(, v) U U :( ) x, r( x) =,d( x) = v} = {( r( x),d( x) ): x } este relaţia de echivalenţă pe U din definiţia.. rpoidl definit de această relaţie de echivalenţă (ca în exempll anterior) se nmeşte grpoidl principal asociat li şi se notează c (r,d)(). Spaţil nităţilor acesti grpoid se identifică c U. 6
5 REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 7 8. Fie S o mlţime şi p : S U o aplicaţie srjectivă. Nmim p - () fibra peste şi o notăm c S pentr U. Fie Iso(S, p, U) = { (v, ϕ, ) : ϕ : S S v este bijectivă}. Spnem că doă elemente (v, ϕ, ) şi (v, ϕ, ) snt compozabile dacă şi nmai dacă = v. Definim rmătoarele operaţii (v, ϕ, )(, ϕ, ) : = (v, ϕ ϕ, ) şi (v, ϕ, ) - : = (v, ϕ -, ). Relativ la aceste operaţii Iso(S, p, U) este n grpoid, nmit grpoidl de izomorfisme ale fibratli p : S U. 9. Fie S o mlţime. Notăm: Inj(S) : = { f : D(f) S : D(f) S, f injectivă} R() f : = f ( D() f ) S Lăm ( ) ( Inj S ) {( f, g) : D( f ) = R( g) } =, şi definim rmătoarele aplicaţii: [ ] ( f,g) fg : Inj( S) ( ) Inj( S), fg : D( g) S, fg( x) = f ( g( x) ) f f Pentr a defini [: Inj( S) Inj( S) ] f ţinem cont de faptl că : D() f S deci f : D() f R() f, f ( x) f ( x)( ) x D( f ) ( ) g : R( f ) D( f ), g = f f f este injectivă, = este bijectivă, şi (inversa li f relativ la compnere ). Definim : R( f ) S, f ( x) = g( x) ( ) x R( f ). C aceste operaţii ( S ) Pentr acest grpoid aplicaţiile de proiecţie,d : Inj( S) U Inj ( S) () f f f D ( f ) d = r f f f = =, () = R( f ) iar spaţil nităţilor este dat de U Inj ( S) { A : A S / A S} =, nde prin A am notat fncţia identică pe A. Inj devine grpoid. r snt definite prin Pnem în evidenţă doi sbgrpoizi şi grpoidli Inj ( S). Dacă U = { : S S} 0 S atnci Inj { } = { f : S S / f bijectivă} ( S) = f : D() f S / D( f ) = S = R ( f ) U 0 CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
6 8 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI Deci contracţia grpoidli Inj ( S) la mlţimea formată din fncţia identică a li S este chiar grpl de permtări al li S. Dacă {} P este o partiţie a li S şi { : P } U = P P atnci ( S) { f : D() f S injectivă / () P, P a.î. D() f = P şi R() f P } Inj = P =. U rpoidl Inj ( S) U se notează c ( S, P ) P P Inj şi este format din fncţiile injective al căror domeni şi a căror imagine aparţin partiţiei P. Dacă P = {P i } i I, definim p : S I, prin p(s) = i dacă s P i. Este şor de observat că grpoidl ( S, P ) Inj poate fi identificat c Iso(S, p, I). rpoizii Inj(S) şi Iso(S, p, I) pot fi priviţi ca grpoizi care generalizează grpl de permtări ai mlţimii S. Definim 0. Fie = { } U o familie de grpri indexate dpă o mlţime U. Notăm U = {(,t) : U, t }. (U ) () : = {((, t),(v, s)) : = v}, (, t)(,s) : = (, ts) şi (, t) - :=(, t - ). C această strctră U devine n grpoid, nmit fibrat de grpri peste U. Pnem în evidenţă n fibrat de grpri asociat ni grpoid H. Fie I = {x H : r(x) = d(x)}. I este n sbgrpoid al li H. Deoarece I este reninea disjnctă H { }, I poate fi U H privit ca n fibrat de grpri (grprile de izotropie ale li H) peste spaţil nităţilor li H. I este nmit fibratl de grpri de izotropie al li H.. Fie { α } α A o familie de grpoizi disjncţi doi câte doi, şi = α. C () = α A ( ) α şi c operaţiile evidente devine grpoid.. Fie { α } α A o familie de grpoizi, şi = α A () = {((x α ), (y α )) : (x α, y α ) şi c operaţiile definite pe componente devine grpoid. α ( ) α }. C α A 8
7 REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 9 Definiţie.3. Dacă, H snt grpoizi atnci o fncţie ρ : H se nmeşte ( ) ( ) morfism (strict) dacă pentr orice ( x, y) rezltă ( ( x), ρ( y) ) ρ ( x) ρ( y) = ρ( xy). Dacă ρ este şi bijectivă, atnci se nmeşte izomorfism. ρ şi Este şor de observat că orice morfism comtă c aplicaţiile r şi d (ρ r = r ρ şi ρ d = d ρ), dce nităţile în nităţi şi inversele în inverse. Pentr n morfism de grpoizi ρ: H se notează c ρ ~ restricţia li ρ la U, ρ ~ : U U H. Propoziţie.4. ) Orice morfism de grpoizi triviali ϕ : S g S S g S este de forma ϕ(s, x, t) = (ϕ(s, e, s), θ(s)f(x)θ(t) -, ϕ(t, e, t)), nde e este elementl netr al grpli g, f : g g este n morfism de grpri, iar θ : S g este o aplicaţie oarecare. ) Dacă = S S este n grpoid trivial pe o mlţime S şi este n grpoid oarecare, atnci orice morfism ϕ : este de forma ϕ(s,t) = θ(s)θ(t) - = θ(r(s,t))θ(d(s,t)) -, nde θ : S (= U ) este o fncţie oarecare. Demonstraţie. ) Deoarece ϕ r = r ϕ şi ϕ d = d ϕ, atnci componentele şi 3 din ϕ(s, x, t) trebie să fie ϕ(s, e, s), respectiv ϕ(t, e, t). Fie n b S fixat. Definim θ : S g şi f : g g prin ϕ(s, e, b) = (ϕ(s, e, s), θ(s), ϕ(b, e, b)), ϕ(b, x, b) = (ϕ(b, e, b), f(x), ϕ(b, e, b)). Avem (ϕ(b, e, b), f(xy), ϕ(b, e, b)) = ϕ(b, xy, b) = ϕ((b, x, b)(b, y, b)) = ϕ(b, x, b)ϕ(b, y, b) = = (ϕ(b, e, b), f(x), ϕ(b, e, b)) (ϕ(b, e, b), f(y), ϕ(b, e, b)) = (ϕ(b, e, b), f(x)f(y), ϕ(b, e, Obţinem f(xy) = f(x)f(y) pentr orice x,y g, deci f morfism de grpri. În pls, ϕ(s, x, t) = ϕ((s, e, b)(b, x, b) (b, e, t)) = ϕ(s, e, b)ϕ(b, x, b) ϕ(t, e, b) - = = (ϕ(s, e, s), θ(s), ϕ(b, e, b)) (ϕ(b, e, b), f(x), ϕ(b, e, b)) (ϕ(t, e, t), θ(t), ϕ(b, e, b)) - = = (ϕ(s, e, s), θ(s)f(x)θ(t) -, ϕ(t, e, t)). Se observă că aplicaţiile f : g g, θ : S g n snt nice (depind de alegerea li b din S ). b)). CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
8 0 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI ) Fie b S fixat. Definim θ : S (= U pentr (s,t) S S, ) prin θ(s) = ϕ(s,b). Atnci ϕ(s,t) = ϕ((s,b)(b,t)) = ϕ(s,b)ϕ(b,t) = ϕ(s,b)ϕ(t,b) - = θ(s) θ(t) - = θ(r(s, t)) θ(d(s, t)) -. Propoziţie.5. ) rprile de izotropie ale ni grpoid corespnzătoare la nităţi din aceeaşi orbită snt izomorfe. ) Orice grpoid poate fi scris, în mod nic, ca o renine disjnctă de grpoizi tranzitivi. 3) Orice grpoid tranzitiv este izomorf c n grpoid trivial de grp egal c nl din grprile de izotropie ale grpoidli. Demonstraţie. Pentr a arăta prima afirmaţie, considerăm,v U c ~ v. Atnci există x astfel încât r(x) = şi d(x) = v. Aplicaţia I x :, definită v v prin I x (y) = xyx -, este în mod evident n izomorfism de grpri. A doa afirmaţie rezltă din faptl că = [], iar [] este grpoid tranzitiv. Pentr a demonstra a [] treia afirmaţie, să observăm că dacă este tranzitiv şi U este o nitate fixată, atnci aplicaţia r σ = r este srjectivă, şi deci există σ : U injectivă astfel încât U. Definim ϕ : U U, prin ϕ(v, x, w) = σ(v)xσ(w) - pentr orice (v, x, w) U Se verifică şor că ϕ este izomorfism, şi că ϕ - : U U. U, ϕ - (x) = (r(x), σ(r(x)) - xσ(d(x)), d(x)). Definiţie.6. Fie şi doi grpoizi. Morfismele ϕ, ϕ : se nmesc similare dacă există o fncţie θ : U astfel încât ( x) =θ( r( x) ) ϕ ( x) θ( d( )) ϕ pentr orice x din. x Doi grpoizi şi se nmesc similari dacă există doă morfisme ϕ : şi : ϕ astfel încât ϕ ϕ este similar c identitatea din şi ϕ ϕ este similar c identitatea din. 0
9 REPREZENTĂRI DE RUPOIZI Observaţie.7.. Noţinea de similaritate pentr morfisme de grpoizi generalizează noţinea de conjgare pentr morfisme de grpri. Aceasta înseamnă că, dacă şi snt grpri, atnci morfismele ϕ, ϕ : snt similare în sensl definiţiei precedente dacă şi nmai dacă există b astfel încât ( x) = bϕ ( x) ϕ pentr orice x. b. Relaţia de similaritate a grpoizilor este o relaţie de echivalenţă..8. Exemple de grpoizi similari. Orice grpoid este similar c contracţia li la o mlţime care intersectează fiecare orbită. Într-adevăr, fie U 0 o sbmlţime a li U care intersectează fiecare orbită (i.e. [U 0 ] = U ). Fie i : U0, definită prin i(x) = x pentr orice x U0, şi o fncţie θ : U definită dpă cm rmează. θ() = pentr orice U 0. Dacă U 0 există v U 0 c v ~, şi deci există x c r(x) = şi d(x) = v. În acest caz pnem θ() = x. Considerăm morfisml de grpoizi ϕ: U0, definit prin ϕ(x) = θ(r(x))xθ(d(x)) - pentr orice x. Deoarece θ() = pentr U 0, ϕ coincide c identitatea pe U şi deci ϕ i este identitatea pe 0 U 0. Pentr a arăta că i ϕ = ϕ este similar c identitatea li, tilizăm θ: ϕ(x) = θ(r(x))xθ(d(x)) - pentr orice x.. Orice grpoid este similar c o renine disjnctă de grpri. Dacă în exempll precedent U 0 conţine exact câte n element din fiecare orbită, atnci U0 =, şi deci este similar c. U 0 3. Un grpoid tranzitiv este similar c n grp. Într-adevăr, conform exemplli.8., este similar c {} = U Dacă este n grp şi H este n sbgrp a li, atnci F = \H (grpoidl determinat de acţinea li pe \H ) este similar c H. CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
10 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI similar c Dacă în exempll.8. U 0 = {(H,e)} (e este nitatea grpli ), atnci F este F U0 F este similar c H.. Deoarece h (H, h) este n izomorfism al li H pe F U0, rezltă că Acţinea la stânga (respectiv la dreapta) a ni grp pe o mlţime S este dată de n morfism (respectiv n antimorfism) al li pe grpl permtărilor li S. Prin analogie vom defini acţinea ni grpoid pe o mlţime. (a) Propoziţia.9. Fie n grpoid şi S o mlţime. Considerăm F { S} ( S) = f : D( f ) S D( f ) ψ : F ( S) Pentr x notăm c '( x) ψ ( x) : D' ( x) S, D' ( x) S Notăm ( x )( s) = xs ψ. D domenil aplicaţiei ψ(x), deci ψ este n morfism de grpoizi de la la Inj ( S) (grpoidl din exempll..9) dacă şi nmai dacă rmătoarele doă condiţii snt îndeplinite şi s D' ( ) => s = s U ( ) (b) ( x, y), s D' ( y) Demonstraţie. Pentr că (a)+(b) => : Inj( S) proprietatea că ψ ( x)( s ) = ψ( x)( ) avem ( x) ( xy) ys D' => şi x( ys) = ( xy)s s D' x notăm c R' ( x) = { xs / s D' ( x) }. Demonstrăm ψ morfism de grpoizi. Fie s Analog x ( xs ) = s x x şi,s D' ( x) s c (echivalent c xs = xs ). Deoarece s D (x), ( xs ) = ( x x) s = d( x) s ( a ) = d(x) U ( ). Dar xs = xs, deci s = s. Am demonstrat că ψ(x) este injectivă pentr oricare x, şi în consecinţă că ψ : Inj(S) este corect definită. Arătăm că D' ( x) R' ( x ) = pentr oricare x. Dacă s D (x), atnci s
11 s REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 3 = ( x x) s = x ( xs) R' ( x ). Dacă s R' ( x ), atnci există t '( x ) D astfel încât s = x t, şi din (x, x - ) () () rezltă că s D (x). Arătăm că pentr ( x, y) avem ( x) R' ( y) D ' =. Dacă s R (y), atnci există t D (y) astfel încât s = yt. Din () (, y) x rezltă că s = yt D (x). Reciproc, dacă s D (x) atnci xs D (x - ), şi ( ) din ( y, x ) rezltă că s D (y - ( ) ) = R (y). În consecinţă, din ( x, y) rezltă ( ψ ( x), ψ( y) ) Inj( S) ( ) (). Pentr (, y) = R (y - ) = D (y). Pentr s D' ( xy) = D' ( y) ψ avem () x rezltă că ( xy, y ) ( x) ψ( y)( s) = ψ( x) ( ψ( y)( s) ) = ψ( x)( ys) = x( ys) = ( xy) s = ψ( xy)( s) Deci ψ este morfism de grpoizi. Demonstrăm că : Inj( S) s D' ( ) s ψ ( ) b) şi D (xy) ψ morfism => (a)+(b). Fie U şi = (s) s. Condiţia (a) este astfel îndeplinită. = nitate=> ψ ( ) nitate ( ) Dacă ( x, y) şi s D' ( y) = D( ψ( y) ) = ( y )( s) R( ψ( y) ) = R' ( y) ψ = D '(x)., atnci ys Pe de altă parte din ψ( xy) = ψ( x) ψ( y) rezltă ( ) s x( ys) xy =. Definiţie.0 Fie grpoid, S o mlţime şi F S o sbmlţime c proprietatea că pentr fiecare x există cel pţin n s S astfel încât ( x,s) F. Pentr x notăm D' ( x) { s S: ( x,s) F} =. O fncţie ψ : F S se nmeşte acţine la stânga a li în S dacă şi nmai dacă fncţia : ( S ), ψ( x)( s) = ψ( x,s) propoziţia.9. ψ F satisface condiţiile (a) şi (b) din Dacă S D' ( x) = = F spnem că acţionează pe S. x x x CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
12 4 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI Observaţie.. Fie S D' ( ) =. Atnci S 0 x x S 0 şi ( ) Inj este n sbgrpoid al grpoidli Inj ( S). Deci orice acţine a grpoidli pe S dă naştere nei acţini a grpoidli pe S 0. S 0 ψ : Inj S se nmeşte Definiţie. Un morfism de grpoizi ( ) S reprezentare a li prin permtări. Dacă P este o partiţie a li S atnci o acţine căreia îi corespnde n morfism ( S; P ) ψ : Inj se nmeşte acţine care respectă partiţia P. din ( x) ψ( y) Morfisml de grpoizi ψ : se nmeşte adevărat dacă şi nmai dacă ψ definit rezltă xy definit. xy definit. O acţine este adevărată dacă şi nmai dacă s D' ( y) şi D' ( x) ys implică Propoziţia.3. Dacă este n grpoid, S o mlţime şi : Inj( S) ψ este n morfism atnci ψ este adevărat dacă acţinea corespnzătoare este adevărată. Reciproca este adevărată dacă acţinea respectă o partiţie. Demonstraţie. Pentr x,y, ( ) ( ψ ( x), ψ( y) ) <=> R( ψ( y) ) = D( ψ( x) ) <=> R' ( y) = D' ( x) Dacă acţinea este adevărată, atnci avem şirl de implicaţii ( y) => ys R' ( y) = D' ( x) xy s D' => este definit. Pentr reciprocă observăm că dacă s D' ( y) şi ys D' ( x) ( x) R' ( y) ys D'. Deoarece '( x) R' ( y) φ, atnci D, şi acţinea este sbordonată nei partiţii, avem ( ) ( ) D '( x) = R' ( y), de nde rezltă ( ψ ( x), ψ( y) ), şi deci (, y) x. Propoziţia.4. Dacă ( x,s) xs este o acţine adevărată a grpoidli pe o mlţime S, considerăm relaţia definită prin ( ) x s ~ t <=> astfel încât xt = s 4
13 REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 5 şi definim orbita [s] pentr s S ca fiind { xs : s D' ( x) } [ s] =. Atnci relaţia ~ este o relaţie de echivalenţă. încât (,s) F Demonstraţie. Verificăm doar reflexivitatea. Fie s S şi x astfel x. Atnci s D (x), xs D (x - ) şi s = ( x x)s. Teorema.5. (Teorema li Cayley) Fie n grpoid. Considerăm rmătoarea partiţie a li, = { } U ψ Dacă x definim ψ ( x) Inj(, P ) prin ψ d( x ) ( x) : ( x)( y) = xy P. Atnci ψ este n morfism adevărat, şi de fapt n izomorfism al li pe n sbgrpoid al li (, P ) Inj. Demonstraţie. Evidentă. Observaţie.6. Conform exemplli..9 grpoidl (, P ) Inj poate fi identificat c grpoidl Iso(, r, U ), şi deci teorema li Cayley mai poate fi ennţată şi astfel: Orice grpoid este izomorf c n sbgrpoid al li Iso(S, p, U) pentr n anmit fibrat p : S U. Propoziţia.7. Pentr definim *s r( x) x considerăm '( x) d( x) x =. Atnci * este o acţine adevărată a li pe U. Demonstraţie. Evidentă. D = { } şi pentr s D' ( x) Observaţie.8 În restl lcrării prin acţine ( x,s) xs [ : F S] vom înţelege o acţine adevărată şi având în pls, proprietatea că S = D' ( x) = Fx. Pentr astfel de acţini ptem defini o aplicaţie p : S U prin p(s) = d(x), nde x este n element din c proprietatea că (x, s) F. Aplicaţia p se notează c r, când x x CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
14 6 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI n există pericol de confzie c aplicaţia scop r a grpoidli. C această observaţie ptem defini acţinile în rmătorl mod (notând mlţimea F c S): Definiţie.9. Fie n grpoid şi S o mlţime. Spnem că acţionează la stânga pe S, sa că S este n -spaţi la stânga, dacă există o srjecţie r:s şi o aplicaţie (,s) xs U încât să fie îndeplinite rmătoarele condiţii: x definită pe S = {( x,s):d( x) = r( s) } () r( xs) = r( x), ( x,s) S ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) y, yx, s, x s x,s S, y, x y( x s) = ( yx ) s () 3 r() s s = s,s S astfel S Acţinile la dreapta şi -spaţiile la dreapta se definesc similar, dar vom nota c d aplicaţia de la S la U şi c S = {(s, x) : d(s) = r(x) }. Observaţie.0.. Dacă acţionează la stânga ( respectiv la dreapta ) pe S, atnci S (resp. S ) are o strctră de grpoid şi se nmeşte grpoidl acţine la stânga (resp. la dreapta). Spaţil perechilor compozabile ( S) ( ), (resp. ( ) ( ) se defineşte ca iar operaţiile {(( x,s ),( x,s )) : s = x } ( resp. {((, x ),( s x )): s s } s (, x s )( x, s ): ( x x, ) x = şi ( x, s) : = ( x, xs) s (resp. (, x )( s x, x ): ( s, x ) x s = ), x S ) s = şi ( s, x) : ( sx, x ) = ). Spaţil nităţilor li S (resp. S ) se identifică c S prin aplicaţia s ( r(s), s ) ( resp. s ( s, d(s) ) ) deoarece r ( x,s) = ( x,s)( x,s) = ( x,s)( x, xs) = ( xx, xs ) = r( x) (, xs) = ( r( xs), xs), (resp.: d r ( x,s) = ( x, s) ( x, s) = ( x, xs)( x,s) = ( x x, s) = d( x) (,s) ( s, x) = ( s, x)( s, x) = ( s, x)( sx, x ) = ( s, xx ) = s,r( x) ( ) 6
15 REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 7 d ( s, x) = ( s, x) ( s, x) = ( sx, x )( s, x) = ( sx, x x) = sx,d( x) rpoizii S şi S generalizează grpoizii din exempll..3. ( ) = ( sx,d( sx) ) Scriem \ S (resp. S / ) pentr spaţil cât obţint prin factorizarea la rmătoarea relaţie de echivalenţă: s ~ t <=> ( ) x astfel încât xs = t (resp. sx = t ).. Pnem în evidenţă grpoidl obţint prin acţinea la dreapta prin translaţie a li aspra li însşi. În acest caz = ( ), iar strctra de grpoid este aceeaşi c cea din exempll..4. Unităţile ( x, d(x) ) şi ( y, d(y) ) snt echivalente dacă şi nmai dacă r(x) = r(y). Astfel, ( ) poate fi privit ca o relaţie de echivalenţă ). pe ale cărei clase de echivalenţă snt spaţiile, U. Definiţie.. Fie S n -spaţi la stânga, şi fie S op tot spaţil S, dar pe care se consideră acţinea li la dreapta, definită dpă cm rmează : sx: = x s. Se notează c S op S: = op {( s, t) : d ( s) = r( t) } = {( s, t) : r( s) = r( t) } şi se defineşte acţinea diagonală prin : x ( s, t) : = ( sx,sxt) = ( xs, x t) op, dacă d( x) d ( s) = r( t) =. d op = r şi Notăm spaţil cât \ (S S) prin sa prin S op S, iar elementele sale prin [s, t], pentr (s, t) strctră de grpoid definită prin : S op S. Rezltă că avem [s x, t] = [s, x t]. are o ( ) : = {([ s, t ],[ s, t ]):( ) x c proprietatea s x t } = [ s, t ][ s, t ] = [ s, t ][ t x, t ] = [ s, t ][ t, x t ]: = [ s, x t ] = [ s x, ] t [ s, t] : = [ t, s] Aplicaţiile de proiecţie snt : r ([ s, t] ) = [ s, t][ s, t] = [ s, t][ t,s] = [ s,s] ([ s, t] ) = [ s, t] [ s, t] = [ t,s][ s, t] = [ t, t] d CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
16 8 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI Spaţil nităţilor U se identifică c \ S prin aplicaţia [s] [s, s], şi astfel ptem scrie r ([ s, t] ) = [s] şi ([ s, t] ) [t] d =. S devine spaţi la dreapta dacă pnem : d : S \ S U, d(s) = [s] S = { ( q,[ s, t] ) : d( q) r( [ s, t] )} = {( q, [ s, t] ) : [q] = [s]} = ( q, [ s, t] ):( ) x,q = x s = sx { } q [q x, t] = q [q, x t] : = x t. Acţinile li şi comtă : =. ( q[ s, t] ) = x ( q[ qx, t] ) = x ( xt) = ( xx ) t = x q[ ( x q)( xx ), t] = q ( qx )( xx ), t = xq qx, t = xq s, t x [ ] [ ] ( )[ ] x Dând-se n -spaţi la dreapta S, ptem transforma S într-n -spaţi la stânga, notat de asemenea c S op, prin formla x s: sx =. Aplicaţia op r este d. Ptem forma grpoidl = S, care este câtl li op S S prin acţinea S op diagonală a li, şi ptem observa că S acţionează la stânga pe S. Din no, S op această acţine comtă c acţinea iniţială a li. rpoidl = S op S ( resp. S ) asociat -spaţili la stânga ( S op resp. la dreapta ) S se nmeşte grpoidl de imprimitivitate al perechii ( S, ), sa simpl al li S dacă roll li este clar. rpoidl acţionează liber pe S (la stânga) dacă x s = s implică x = d(x) = r(s). Analog se defineşte noţinea de acţine liberă la dreapta. Definiţie.. Fie şi H doi grpoizi. Spnem că şi H snt echivalenţi dacă există o mlţime S, o acţine la stânga, liberă a li pe S şi o acţine la dreapta, liberă a li H pe S astfel încât:. cele doă acţini comtă. aplicaţia r indce o bijecţie între S / H şi în H astfel încât s x = s U i.e ( s ) r( ) r = <=> ( ) x s 8
17 REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 9 3. aplicaţia d indce o bijecţie între \ S şi H y astfel încât y s = s U i.e ( s ) d( ) d = <=> ( ) s S se nmeşte echivalenţă între şi H sa simpl (, H ) echivalenţă. Observaţie.3. Dacă acţionează liber pe S la stânga, iar este grpoidl constrit anterior atnci S este o (,) -echivalenţă. Exemple de echivalenţe.4.. Prespnem că este grpoidl trivial peste {,,3,,n}, (deci = {,,3,..., n} {,,3,..., n} ), H este {,,3,..., m} {,,3,..., m} {,,3,..., n} {,,3,..., m}, şi S este. Aplicaţia r este definită prin r(k,l):=k, în timp ce aplicaţia d prin d(k,l):=l. Dacă ( i, j) şi ( j, k) S, atnci ( i, j)( j,k) : = ( i,k) şi analog se defineşte acţinea (la dreapta) a li H pe S. Se verifică şor că S este o (,H)- echivalenţă. d. Fie n grpoid şi T o sbmlţime a li U a cărei satrată [T] = ( r ( T) ) r d ( T) ( ) = este întreaga mlţime U. Fie T S =. Deoarece d(s) = U, acţionează la dreapta pe S prin translaţie (mltiplicare) la dreapta. Analog, pentr că r(s) = T (T este spaţil nităţilor li T T ), este şor de observat că acţionează pe S la stânga prin mltiplicare la stânga, şi că S este o (,) T - echivalenţă. 3. Un caz particlar al exemplli de mai ss se obţine pnând T = U. În acest caz rezltă că este o (,)-echivalenţă. 4. Noţinea de echivalenţă generalizează noţinea de izomorfism. Dacă avem ϕ : H n izomorfism, atnci devine o (,H)-echivalenţă considerând că acţionează pe prin mltiplicare la stânga, iar acţinea li H pe este dată prin : xy = xϕ(y). CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
18 30 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI Observaţii.5.. Dacă şi H snt echivalenţi via S, atnci H este izomorf op c. Într-adevăr ;dacă [ s, t], atnci r() s = d () s = r() t. Astfel există n nic x astfel încât tx =s.se verifică şor că aplicaţia [, t] x s este n izomorfism.. Dând-se n grpoid şi n -spaţi liber la stânga S, este şor de demonstrat că şi snt izomorfi, nde = ( ). 3. Echivalenţa de grpoizi este o relaţie de echivalenţă. Într-adevăr, dacă S este o (,H)-echivalenţă, şi T este o (H,K)-echivalenţă, atnci echivalenţă, nde S H S H T este o (,K)- T este spaţil cât obţint prin factorizarea li S relativ la acţinea diagonală a li H: ((, t), x) ( s x, x t) s. Propoziţie.6. ) Dacă este n grpoid tranzitiv, atnci pentr fiecare nitate U, şi { } snt echivalenţi. ) Fiecare grpoid este echivalent c n fibrat grpal. Demonstraţie. A doa afirmaţie rezltă din prima, pentr că echivalenţa respectă reninile disjncte. Prima afirmaţie este n caz particlar al exemplli.4. - este sficient să considerăm T ={}. Faptl că este tranzitiv este echivalent c [] = U. Propoziţie.7. Doi grpoizi snt echivalenţi dacă şi nmai dacă snt similari. Demonstraţie. Deoarece ambele noţini respectă reninile disjncte, ptem prespne că cei doi grpoizi snt tranzitivi. Vom ţine de asemenea seama de faptl că doă grpri snt echivalente sa similare dacă şi nmai dacă snt izomorfe. Este sficient să observăm că n grpoid tranzitiv este similar şi echivalent c { }, ( ). 30
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II
CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II. Utiizarea transformării Lapace Să considerăm probema hiperboică de forma a x + b x + c + d = f(t, x), (t, x) [, + )
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCursul 14 ) 1 2 ( fg dµ <. Deci fg L 2 ([ π, π]). Prin urmare,
D.Rs, Teoia măsii şi integala Lebesge 6 SERII FOURIER ÎN L ([, ]) Csl 4 6 Seii Foie în L ([, ]) Consideăm spaţil c măsă ([, ], M [,], µ), nde M este σ-algeba mlţimilo măsabile Lebesge, ia µ este măsa Lebesge.
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCapitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor
Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραGeometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότεραTIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006
1 TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1 Bucureşti, 2006 2 Profesorului meu NICOLAE RADU 3 PREFAŢĂ Lucrarea se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de matematică şi informatică din universităţi. În
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότερα2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...
Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότερα1.7 Mişcarea Browniană
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 43 1.7 Mişcarea Browniană Mişcarea Browniană a fost pentru prima dată observată de către botanistul scoţian Robert Brown în 1828, când a observat
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραNOŢIUNI INTRODUCTIVE
1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότερα7. Rezolvarea numerică a problemelor la limită pentru ecuaţii cu derivate parţiale de tip eliptic
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 7 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr ecaţii c derivate parţiale de tip eliptic Fie R o mlţime descisă coneă şi mărginită
Διαβάστε περισσότεραUn rezultat de descompunere pentru o clasa de distributii omogene
Un rezultat de descompunere pentru o clasa de distributii omogene Ingrid Beltiţă si Anders Melin Raport pentru contractul CEx-18 MDDS, faza octombrie 27 Introducere Consideram operatorii Schrödinger H
Διαβάστε περισσότεραConice şi cercuri tangente
Conice şi cercuri tangente Ioan POP 1 Abstract It proves how to obtain the non-degenerate conics, ellipse, hyperbola and parabola, of some basic tangent problems Keywords: circle, ellipse, hyperbola, parabola
Διαβάστε περισσότεραAritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs
Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte
Διαβάστε περισσότερα1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.
Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.
Διαβάστε περισσότεραAsist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.
Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα