Cursul 14 ) 1 2 ( fg dµ <. Deci fg L 2 ([ π, π]). Prin urmare,

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Cursul 14 ) 1 2 ( fg dµ <. Deci fg L 2 ([ π, π]). Prin urmare,"

Ἰακϊώβ Ζάρκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 D.Rs, Teoia măsii şi integala Lebesge 6 SERII FOURIER ÎN L ([, ]) Csl 4 6 Seii Foie în L ([, ]) Consideăm spaţil c măsă ([, ], M [,], µ), nde M este σ-algeba mlţimilo măsabile Lebesge, ia µ este măsa Lebesge. Pent f, g L ([, ]) ae loc inegalitatea li Hölde (vezi Teoema.7): şi cm [,] f dµ < şi [,] [,] ( fg dµ f dµ [,] g dµ <, obţinem [,] ) ( este bine definită fncţia <, >: L ([, ]) L ([, ]) R, < f, g >= [,] g dµ ) fg dµ <. Deci fg L ([, ]). Pin mae, [,] fgdµ, f, g L ([, ]). Aceasta ae mătoaele popietăţi (cae ezltă imediat din definiţie sa din popietăţile integalei Lebesge):. < f, f >= f, f L ([, ]),. < f, g >=< g, f >, f, g L ([, ]), 3. < αf + βg, h >= α < f, h > +β < g, h >, f, g, h L ([, ]), α, β R. Din pima popietate ezltă că < f, f >, f L ([, ]) şi < f, f >= f = µ-a.p.t. Definiţia 6. Spnem că doă fncţii f, g L ([, ]) snt otogonale, şi notăm c f g, dacă < f, g >=. Definiţia 6.. Un şi (f n ) L ([, ]) se nmeşte sistem otogonal dacă f m f n, m, n N, c m n.. Un şi (f n ) L ([, ]) se nmeşte sistem otonomat dacă (f n ) este sistem otogonal şi f n =, n N. Obsevaţia 6.3 Dacă (f n ) L ([, ]) este n sistem otogonal aşa încât f n >, n N, atnci şil (e n ), definit pin e n = f n f n, n N, este n sistem otonomat. Consideăm şil de fncţii f n : [, ] R, n N, definite pin f (x) =, x [, ], f n (x) = cos(nx), x [, ], n N, f n (x) = sin(nx), x [, ], n N. Teoema 6.4 Şil (f n ) este n sistem otogonal, nmit sisteml otogonal tigonometic. Demonstaţie. Deoaece fncţiile f n snt contine, din Teoema.46 ezltă că, m, n N, < f m, f n >= f m f n dµ = f m (x)f n (x)dx. Fie m, n N. Atnci avem: < f, f n >= < f, f n >= < f m, f n >= f n (x)dx = f n (x)dx = f m (x)f n (x)dx = este impaă. De asemenea, dacă m n, avem: < f m, f n >= [,] cos(nx)dx = sin(nx) sin(n) sin( n) = =. n n sin(nx)dx =, deoaece fncţia x sin(nx) este impaă. f m (x)f n (x)dx = cos(mx)sin(nx)dx =, deoaece fncţia x cos(mx)sin(nx) cos(mx)cos(nx)dx = 7 [cos((m + n)x) + cos((m n)x)]dx =

2 D.Rs, Teoia măsii şi integala Lebesge 6 SERII FOURIER ÎN L ([, ]) = cos((m + n)x)dx + sin((m + n)x) cos((m n)x)dx = + m + n sin((m n)x) =. m n < f m, f n >= f m (x)f n (x)dx = sin(mx)sin(nx)dx = [cos((m n)x) cos((m + n)x)]dx = = cos((m n)x)dx sin((m n)x) cos((m + n)x)dx = sin((m + n)x) =. m n m + n În conclzie, f m f n, m, n N c m n, şi deci, (f n ) este n sistem otogonal. De asemenea avem: f = dµ = dx =, [,] f n = cos (nx)dµ(x) = [,] f n = sin (nx)dµ(x) = [,] Obsevaţia 6.5 Şil (e n ), definit pin e (x) =, x [, ], cos (nx)dx = sin (nx)dx = e n (x) = cos(nx), x [, ], n N, e n (x) = sin(nx), x [, ], n N, este n sistem otonomat, nmit sisteml otonomat tigonometic. + cos(nx) dx =, n N, cos(nx) dx =, n N. În cele ce mează ne vom apota doa la sisteml otonomat tigonometic. Fie o fncţie f L ([, ]). Definiţia 6.6. Se nmesc coeficienţii Foie ai fncţiei f nmeele c n = < f, e n >= f(x)e n (x)dµ(x), n N. [,]. Se nmeşte seia Foie asociată fncţiei f seia de fncţii Pent oice n N, notăm c a n = b n = [,] [,] c n e n. n= f(x)cos(nx)dµ(x), f(x)sin(nx)dµ(x). Atnci avem c =< f, e >= f(x)dµ(x) = a, [,] c n =< f, e n >= f(x)cos(nx)dµ(x) = a n, n N, [,] c n =< f, e n >= f(x)sin(nx)dµ(x) = b n, n N, [,] ia pent oice x [, ], seia Foie asociată fncţiei f devine: c n e n (x) = c e (x) + (c n e n (x) + c n e n (x)) = a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)). n= Din acest motiv, nmeele {a n, b n n N} le vom nmi de asemenea coeficienţii Foie ai fncţiei f. Pent oice n N şi oice x [, ], notăm c sma paţială a seiei Foie asociată fncţiei f. S n (x) = a n + (a k cos(kx) + b k sin(kx)), Definiţia 6.7 O fncţie T : [, ] R se nmeşte polinom tigonometic de gad n N nmeele eale α k, β k, k, n aşa încât T (x) = α n + (α k cos(kx) + β k sin(kx)), x [, ]. dacă există 8

3 D.Rs, Teoia măsii şi integala Lebesge 6 SERII FOURIER ÎN L ([, ]) Pent oice n N, notăm c T n mlţimea polinoamelo tigonometice de gad n. Evident că S n T n, n N. Teoema 6.8 Fie f L ([, ]), {a n, b n n N} coeficienţii Foie ai li f şi n N. Atnci avem:. f S n f T,( T T n ; ). f S n = f a n + (a k + bk) ; 3. a + (a k + b k) f (inegalitatea li Bessel); 4. a k şi b k. Demonstaţie. Fie T T n şi pespnem că T (x) = α n + (α k cos(kx) + β k sin(kx)), x [, ], nde α k, β k R, k, n. Atnci avem: f T =< f T, f T >= f < f, T > + < T, T >= f α f(x)dµ(x) [,] ) (α k f(x)cos(kx)dµ(x) + β k f(x)sin(kx)dµ(x) + < T, T >= f α a [,] [,] ( (α k a k + β k b k ) + α k + β α k) + 4 = f + (α a ) [ + (αk a k ) + (β k b k ) ] ( ) a n + (a k + b k). În paticla, pent T n = S n avem α k = a k şi β k = b k, k, n şi deci ( ) f S n = f a n + (a k + b k), ceea ce demonsteză (). De asemenea, ( mai ezltă) că f S n f T, ceea ce demonstează (). 3. Din () obţinem f a n + (a k + b k), n N, adică a n + (a k + b k) f, n N. Pin mae a + (a k + b k) f. 4. Din (3) mează că a k + b k şi cm a k, b k a k + b k, k N, obţinem a k şi b k. Lema 6.9 Consideăm şil =. =. = 3. = cos n tdt = 4 4. > n, n. cos n tdt, n N; cos n x y dx, y R, n N; (n )!!, n N ; (n)!! cos n tdt, n N. A loc mătoaele: Demonstaţie.. Fie n N. Deoaece fncţia t cos n t este paă, avem = cos n tdt = Deci =. Fie n N şi y R. cos n tdt + cos n tdt = 4 y + cos n zdz z=+ = cos n zdz z= = cos n tdt. cos n x y dx y cos n tdt + y x y = =t y cos n tdt cos n tdt = y cos n tdt y cos n d = cos n tdt + cos n d = cos n tdt. De asemenea: cos n tdt. cos n tdt+ cos n tdt =. 9

4 D.Rs, Teoia măsii şi integala Lebesge 6 SERII FOURIER ÎN L ([, ]) 3. Fie n N. = cos n tdt = cos n t (sint) dt = (n ) cos n t sin tdt = (n ) cos n t ( cos t)dt = (n )( ). De aici, găsim elaţia de ecenţă: = n (n )!! (n )!! de nde obţinem: = =. (n)!! (n)!! 4. Pent oice k N, k, ae loc inegalitatea k k < k k (n )!! şi înmlţind inegalităţile obţinte, găsim inegalitatea: (n )!! ( n ) Ţinând seama de elaţia (3), obţinem < n n >. n n,. Dând valoi li k de la la n n [ ] )!! (n )!! < (n, de nde < n. (n)!! (n)!! Lema 6. Fie (, ) şi fie ( ) şil definit în lema anteioaă. Pent oice n N, definim fncţia φ n : [ +, ] R, φ n (y) = y+ cos n x y dx. Atnci φ n. [+, ] Demonstaţie. Fie y [ +, ] şi n N. Avem mătoaele: φ n (y) = y+ cos n x y x y dx = =t cos n tdt = 4 y n ( ) 4 4 cos n tdt = 4 cos n tdt, de nde obţinem: φ n (y) = 4 cos n tdt 4 y cos n tdt = 4 ( ) cos n tdt cos n tdt = cos n dt = 4 (cos n ( ) ) < 4 (cos n Lema 6.9(4) < ) < n cos n. Consideăm şil a n = n cos n, n N. Pin mae avem: φ n (y) < a n, y [ +, ], n N. (46) Deoaece a n+ n + = cos a n n cos <, ezltă că seia a n este convegentă şi atnci a n. Pin mae, din (46), ezltă că φ n [+, ]. Lema 6. Fie g C([, ]). Pent N, fie fncţia ψ n : [, ] R, ψ n (y) = Atnci [a, b] (, ), ψ n [a,b] g. g(x)cos n x y dx. Demonstaţie. Fie n inteval [a, b] (, ). Deoaece fncţia g este contină, este măginită şi deci, M > astfel încât g(x) M, x [, ]. De asemenea, g este nifom contină pe [, ] şi deci, pent n ε > aşa încât ε < 4M(M ), există δ > c δ < min{ + a, b} astfel încât g(x) g(y) < ε, x, y [, ] c x y < δ. (47) 4M Deoaece [a, b] (, ) şi < δ < min{ + a, b}, ezltă că δ (, ). Pent oice n N, consideăm fncţia φ n : [ + δ, δ] R, φ n (y) = 6., ezltă φ n şi cm [a, b] [ + δ, δ], obţinem că φ n [+δ, δ] mai ss, exisă n ε N astfel încât y+δ y δ cos n x y dx. Din Lema [a,b]. Atnci, pent ε consideat φ n (y) < ε 4M, y [a, b], n n ε. (48) Fie n n ε şi y [a, b]. Avem mătoaele: ψ n (y) g(y) = g(x)cos n x y Lema 6.9() dx g(y) = g(x)cos n x y dx g(y) cos n x y dx = (g(x) g(y))cos n x y dx

5 D.Rs, Teoia măsii şi integala Lebesge 6 SERII FOURIER ÎN L ([, ]) y δ g(x) g(y) cos n x y dx = g(x) g(y) cos n x y dx + n g(x) g(y) cos x y dx+ }{{} y δ }{{} M < ε 4M ( din (47) g(x) g(y) cos n x y y δ dx < M cos n x y dx + ) cos n x y dx + ε y+δ }{{} y+δ 4M φ n(y) = M ( M cos n x y dx ) y+δ cos n x y dx + ε y δ 4M φ Lema 6.9() n(y) = M ( φ n (y)) + ε 4M φ n(y) (48) < M ε 4M + ε ( + ε ) < ε 4M 4M + ε = ε. În consecinţă, ε >, n ε N aşa încât n n ε, y [a, b], ψ n (y) g(y) < ε. Deci ψ n g. [a,b] y+δ Lema 6. Pent oice n N, există fncţiile α,..., α n, β,..., β n C([, ]) astfel încât ( + cosx cosy + sinx siny) n = (α k (x)cosky + β k (x)sinky), x, y [, ]. Demonstaţie. Demonstaţia se face pin indcţie şi o lăsăm cititoli ca execiţi. k= Teoema 6.3 Fie f L ([, ]) şi (a n ), (b n ), coeficienţii Foie ai li f. Pent oice n N, consideăm fncţia S n (x) = a n + (a k cos(kx) + b k sin(kx)), x [, ]. Atnci S n f. Demonstaţie. Din Teoema.4 avem că L ([, ]) = C([, ]), în sensl nomei. Fie ε >. Cm f C([, ]), există g C([, ]) astfel încât f g < ε. (49) Pent fiecae n N, definim fncţia ψ n : [, ] R, ψ n (y) = g(x)cos n x y dx. Deoaece g este contină, este măginită şi deci, M > astfel încât g(x) M, x [, ]. Din Teoema de tansfe de continitate (Teoema 4.) (ţinând seama de Teoema.46), ezltă că ψ n este contină şi deci este M [,] -măsabilă. p Din Lema 6. obţinem că ψ n g, [a, b] (, ). Atnci ψ n g şi deci ψ µ a.p.t. n g. De aici ezltă [a,b] (,) [,] ψ n g µ a.p.t.. De asemenea, y [, ], ψ n (y) g(y) g(x) g(y) cos n x y dx M cos n x y dx = M. În conclzie, snt îndeplinite condiţiile din mica teoemă a li Lebesge (Coolal.34) şi atnci ψ n g. Pin mae, pent acelaşi ε, există n ε N aşa încât n n ε avem ψ n g < ε. (5) Din (49) şi (5), ezltă atnci că n n ε, ψ n f < ε. (5) Pe de altă pate, cos n x y ( ) n + cos(x y) ( + cosx cosy + sinx siny)n = = n, ia, din Lema 6., există fncţiile α,..., α n, β,..., β n C([, ]) astfel încât ( + cosx cosy + sinx siny) n = (α k (x)cosky + β k (x)sinky), x, y [, ]. k= Atnci y [, ], ψ n (y) = g(x)cos n x y dx = n g(x) (α k (x)cosky + β k (x)sinky)dx = k= [( ) ( ) ] n g(x)α k (x)dx cosky + g(x)β k (x)dx sinky = (α kcosky + β ksinky), nde k= k=

6 D.Rs, Teoia măsii şi integala Lebesge 6 SERII FOURIER ÎN L ([, ]) α k = n g(x)α k (x)dx şi β k = n g(x)β k (x)dx, k, n. În consecinţă, ψ n T n şi atnci, din Teoema 6.8, obţinem că S n f ψ n f. Atnci, din (5) obţinem: n n ε, S n f < ε. Aceasta aată că S n f. Coola 6.4 Fie f L ([, ]) şi (a n ), (b n ), coeficienţii Foie ai li f. Atnci nmită identitatea li Paseval. a + (a k + b k) = f, Execiţil 6.5 Să se scie identitatea li Paseval pent mătoaele fncţii f, g, h : [, ] R, f(x) = sgn(x), g(x) = x, h(x) = x. Să se dedcă de aici (tilizând evental şi alte fncţii) mătoaele egalităţi Acestea se nmesc seiile li Ele. n = 6, n 4 = 4 9, n 6 = 6 945, n 8 =

Σχετικά έγγραφα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2