Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Transcript

1 Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a n = d, ( n N) (1) adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu precedentul plus unul si acelasi numar (ratia). Elementul a n se numeste termen general al progresiei sau termen de rang n. Exemplul 1. Sa se verifice daca sirurile ce urmeaza formeaza o progresie aritmetica a) a n = n 1, b) 3, 6, 9,..., 3k,... c) a n = 1 n. Rezolvare. a) Cum diferenta a n+1 a n reprezinta un numar constant a n+1 a n = (n + 1) 1 (n 1) = pentru orice n N, rezulta ca sirul dat de termenul general a n = n 1 reprezinta o progresie aritmetica cu ratia, si anume 1, 3, 5,..., n 1,... b) Similar exemplului a) se obtine a n+1 a n = 3(n + 1) 3n = 3, ( n N) si prin urmare sirul dat formeaza o progresie aritmetica cu ratia 3. c) Se scriu primii trei termeni ai sirului a 1 = 1, a = 1, a 3 = 1 3 si se observa ca a a 1 = 1 a 3 a = 1, adica sirul dat nu formeaza o progresie aritmetica. 6 Altfel, se considera diferenta a n+1 a n = 1 n n = 1 si se observa ca ea depinde (n + 1)n de n (nu este un numar constant) si prin urmare sirul dat nu este o progresie aritmetica. Proprietati ale progresiei aritmetice Demonstratiile proprietatilor ce urmeaza, pot fi gasite, de exemplu, in [1]. P1. Termenul general al progresiei aritmetice se poate determina prin formula unde a 1 - primul termen al progresiei, d - ratia ei. a n = a 1 + (n 1)d, () 1

2 P. (Proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice). Termenul de rang n este media aritmetica a termenilor echidistanti de el: a n k + a n+k = a n, k = 1, n 1 (3) Nota. Din propretatea P rezulta ca conditia necesara si suficienta ca a) trei numere a, b, c (in ordinea data) sa formeze o progresie aritmetica este b = a + b, () b) trei numere a, b, c (fara precizarea consecutivitatii) sa formeze o progresie aritmetica este (b a c)(c a b)(a b c) =. (5) P3. Daca a 1, a,..., a n,... este o progresie aritmetica si k + n = m + p (k, n, m, p N), atunci a k + a n = a m + a p. (6) P. Formula sumei S n primilor n termeni ai progresiei aritmetice: sau tinand seama de () S n = a 1 + a n n, (7) S n = a 1 + (n 1)d n. (8) Definitia. Progresia aritmetica este un sir crescator (descrescator), daca si numai daca ratia ei este un numar pozitiv (negativ). Daca ratia progresiei este zero avem un sir constant. In continuare sa anlizam cateva exemple. Exemplul. Sa se determine progresia aritmetica, daca a 3 = si a 5 =. Rezolvare. Se aplica formula teremenul general al progresiei aritmetice si se obtine sistemul { a3 = a 1 + d, a 5 = a 1 + d, sau, tinand seama de conditiile problemei obtinem { a1 + d =, a 1 + d =, de unde se obtine primul termen al progresiei a 1 = 6 si ratia progresiei d =. Exemplul 3. Sa se determine numarul x, astfel ca numerele a x, x, b (a, b fiind date), luate in aceasta ordine sa formeze o progresie aritmetica. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice si se obtine ecuatia liniara x = a x + b,

3 cu solutia x = a + b 3. Exemplul. Sa se determine progresia aritmetica, suma primilor n termeni ai careia se exprima prin formula S n = 3n + 6n (n 1). Rezolvare. Cum suma primilor (n 1) termeni este si cum S n S n 1 = a n, rezulta S n 1 = 3(n 1) + 6(n 1) = 3n 3, (n ) a n = 3n + 6n 3n + 3 = 6n + 3. Substituind in formula termenului general, consecutiv n = 1,, 3,... se obtine a 1 = 9, a = 15, a 3 = 1,... Exemplul 5. Sa se determine suma primilor nouasprezece termeni ai progresiei aritmetice a 1, a, a 3,..., daca a + a 8 + a 1 + a 16 =. Rezolvare. Se observa ca +16 = 8+1 si, prin urmare, (a se vedea (6)) a +a 16 = a 8 +a 1. Se tine seama ca suma acestor termeni este, si se obtine a + a 16 = 11. Cum (a se vedea (7)) S 19 = a 1 + a si a 1 + a 19 = a + a 16 = 11 (1+19=+16), rezulta S 19 = = 15. Exemplul 6. Pentru ce valori ale parametrului a exista asa valori ale variabilei x astfel incat numerele 5 1+x x a,, 5x + 5 x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Rezolvare. Conform proprietatii caracteristice a progresiei aritmetice, se obtine ecuatia a = 5 1+x x + 5 x + 5 x. Se observa ca pentru a ecuatia nu are solutii (membrul din dreapta, ca suma de termeni pozitivi, este un numar pozitiv). Cum a x+y = a x a y, a x = 1 a x (a >, a 1), ecuatia se scrie 5 x + 1 ( x + 1 ) = a. x 5 x 3

4 Se noteaza 5 x + 1 = t, t (suma a doua marimi pozitive inverse), atunci 5x si ecuatia devine 5 x x = ( 5 x x ) = t, t + 5t (a + ) =. Cel putin o radacina a acestei ecuatii urmeaza a fi mai mare ca doi (ecuatia data are doua radacini reale distincte, deoarece pentru a >, (a + ) < si coeficientul de pe langa t, 1 > ), pentru ce este suficient ca sa se verifice sistemul b a <, f(), sau 5 <, + 1 (a + ), de unde a 1. Exemplul 7. Sa se determine suma tuturor numerelor pare de trei cifre, divizibile la 3. Rezolvare. Primul numar par de trei cifre, divizibil la 3 este 1. Cum numarul par, divizibil la 3 se divide si la 6, se obtine progresia 1, 18, 11,..., 996, cu a 1 = 1, d = 6 si ultimul termen a x = 996 (x N). Se tine seama ca a x = a 1 + (x 1)d sau 1 + (x 1) 6 = 996, de unde, numarul tuturor numerelor pare de trei cifre divizibile prin trei, x = 15. Astfel, utilizand formula (7) se obtine S 15 = = 785. Exemplul 8. Fie S n, S m si S p suma primilor n, respectiv m si p, termeni ai progresiei aritmetice a 1, a, a 3,.... Sa se arate ca S n n (m p) + S m m (p n) + S p (n m) =. (9) p Rezolvare. Se tine seama de formula (8) si egalitatea (9) devine a 1 + (n 1)d (m p) + a 1 + (m 1)d (p n) + a 1 + (p 1)d (n m) =

5 sau a 1 [m p + p n + n m] + [(n 1)(m p) + (m 1)(p n) + (p 1)(n m)]d =. Cum (n 1)(m p)+(m 1)(p n)+(p 1)(n m) = nm np m+p+mp mn p+n+pn pm n+m = se obtine si prin urmare, egalitatea este demonstrata. a 1 + d =, adica =, Exemplul 9. Sa se determine numerele, ce sunt termeni comuni ai progresiilor aritmetice, 5, 8,..., 33 si 7, 1, 17,..., 157. Rezolvare. Fie b este termenul de rang n in prima progresie si, prin urmare, b = +(n 1) 3 si in acelasi timp, este termenul de rang m in a doua progresie, adica b = 7+(m 1) 5. Asadar se obtine ecuatia + (n 1) 3 = 7 + (m 1) 5, sau 3(n 1) = 5m de unde, tinand seama ca m, n sunt numere naturale, se obtine n = 5k + 1 si m = 3k, k N, adica termenii a 6, a 11, a 16,..., a 5k+1 din prima progresie coincid cu termenii c 3, c 6, c 9,..., c 3k, din a doua progresie. Asadar, termenii comuni sunt: 17, 3, 7, 6, 77, 9, 17, 1, 137 si 15. Exemplul 1. Suma a trei numere pozitive α, β si γ este egala cu π. Sa se determine produsul ctg α ctg γ daca ctg α, ctg β, ctg γ formeaza o progresie aritmetica. Rezolvare. Se tine seama de proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice si se obtine relatia ctg β = ctg α + ctg γ. Cum α+β+γ = π implica β = π (α+γ), se utilizeaza formula de reducere ctg ( π x ) = tg x si se obtine tg(α + β) = ctg α + ctg β sau, folosind formulea tangentei sumei a doua unghiuri de unde, tg α + tg γ 1 tg α tg γ = 1 tg α + 1 tg γ tg α + tg γ 1 tg α tg γ = tg γ + tg α tg α tg γ sau, tinand seama ca α, β si γ sunt numere pozitive si suma lor este π (tg α tg γ 1, tg α, tg γ ) se obtine tg α tg γ = 1 tg α tg γ 5

6 de unde rezulta tg α tg γ = 1 si, prin urmare, ctg α ctg γ = 3. 3 Exemplul 11. Fie ecuatia patrata x + px + q = cu radacinile reale x 1 si x. Sa se determine p si q astfel incat q, x 1, p, x (in ordinea indicata) sa formeze o progresie aritmetica crescatoare. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice, teorema lui Viete si se obtine sistemul x 1 = q + p, p = x 1 + x, x 1 + x = p, x 1 x = q, cu solutiile q =, x 1 =, p =, x =, si q =, x 1 =, p =, x = Cum progresia urmeaza a fi crescatoare, ramane q =, x 1 =, p =, x = si prin urmare ecuatia patrata ce verifica conditiile problemei date este x = cu p = si q =. Exemplul 1. Sa se determine primii trei termeni ai unei progresii aritmetice, descrescatoare, daca a 1 + a 3 + a 5 = si a 1 a 3 a 5 = 6. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea P3 si se determina a 3 = 8, dupa ce se obtine sistemul { a1 + a 5 = 16, a 1 a 5 = 8, cu solutiile a 1 =, a 5 = si a 1 =, a 5 =. Cum progresia este descrescatoare (d < ) ramane a 1 = si a 5 =. Se utilizeaza P3 si se obtine a = a 1 + a 3 = + ( 8) =. Asadar primii trei termeni ai progresiei sunt, si 8. Progresia geometrica Definitia 3. Sirul numeric (b n ) n N se numeste progresie geometrica, daca exista asa un numar q, numit ratia progresiei, astfel incat b n+1 = b n q, ( n N) (1) adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu produsul dintre termenul precedent si unul si acelasi numar (ratia). Elementul b n se numeste termen general al progresiei de rang n. 6

7 Urmatoarele siruri reprezinta progresii geometrice:,, 8,..., n,... cu b 1 = si q =, 3; 1; 1 3 ; 1 3,... cu b 1 = 3 si q = 1 3, a, a, a,... cu b 1 = a si q = 1, a,,,... cu b 1 = a si q = Tinem sa mentionam, ca daca unul din termenii progresiei geometrice este egal cu zero, atunci sau b 1 = sau q =. Proprietatile progresiei geometrice P5. Termenul de rang n al progresiei geometrice se determine prin formula b n = b 1 q n 1, ( n N). (11) P6. (Proprietatea caracteristica a unei progresii geometrice). Patratul termenului de rang n este egal cu produsul termenilor echidistanti de el: b n = b n k b n+k, (n, k = 1,,..., n 1) (1) in caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi Nota. Formulele (1), (13) se pot scrie si astfel b n = b n 1 b n+1. (13) b n = b n = b n k b n+k, (1) b n 1 b n+1, (15) adica modulul termenului de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el. In cazul progresiei cu termeni pozitivi insasi termenul de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el b n = b n k b n+k (b i >, i = 1,,...). (16) P7. Daca k + n = m + p (k, n, m, p N), atunci b k b n = b m b p, (17) unde b k, b n, b m, b p - termeni ai progresiei geometrice b 1, b,.... P8. Trei numere a, b, c formeaza o progresie geometrica (fara a preciza consecutivitatea lor) daca si numai daca verifica relatia: (a bc)(b ac)(c ab) =, (18) 7

8 iar numerele a, b, c formeaza o progresie geometrica (in ordinea indicata) daca si numai daca b = ac. P9. Suma primilor n termeni S n ai unei progresii geometrice se determina prin formula S n = b 1 b n q, (q 1) (19) 1 q unde b 1 - primul termen, q - ratia, si b n - termenul general al progresiei geometrice. In caz q = 1 suma primilor n termeni se determina prin formula S n = b 1 n. () P1. Suma S a tuturor termenilor ai progresiei geometrice infinit descrescatoare ( q < 1) se determina prin formula In continuare sa analizam cateva exemple. S = b 1 1 q. (1) Exemplul 13. Produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice este egal cu 178, iar suma lor este egala cu 63. Sa se determine primul termen si ratia progresiei. Rezolvare. Fie primii termeni ai progresiei b 1, b si b 3. Atunci din conditia b 1 b b 3 = 178 rezulta (a se vedea (1)) b 3 = 178 si b = 1. Astfel se obtine sistemul: { b1 b 3 = 1, b 1 + b 3 = 51, solutiile caruia sunt si solutiile (a se vedea teorema reciproca a lui Viete) ecuatiei patrate z 51z + 1 =. Se rezolva ecuatia si se obtine z 1 = 3 si z = 8, adica b 1 = 3, b 3 = 8 sau b 1 = 8, b 3 = 3. Cum b 1 = 3, b = 1 sau b 1 = 8 si b = 1 se obtine q = sau q = 1. Asadar solutiile problemei sunt b 1 = 3 si q = sau b 1 = 8 si q = 1. Exemplul 1. Intr-o progresie geometrica cu termeni pozitivi termenul de rangul (m + n) este egal cu p, iar termenul de rangul (m n) (m > n) este s. Sa se determine termenul de rang m si termenul de rang n. Rezolvare. Cum (a se vedea (11)) b m n b m+n = b m rezulta b m = ps si cum b m >, se obtine b m = ps. 8

9 Conform conditiilor problemei si formulei (1) avem { b1 q m+n 1 = p, b 1 q m n 1 = s, de unde q n = p s si prin urmare q = n p s. Cum b 1 q m+n 1 = b 1 q n 1 q m = b n q m = p, rezulta b n = p q m = ) p m ( ) p m = p ( s n. p n s Exemplul 15. Sa se calculeze suma Rezolvare. Avem S n = } 777 {{... 77}. n cifre S n = 7( } 111 {{... 11} ), n cifre 9S n = 7( } 999 {{... 99} ) n cifre sau 9 7 S n = (1 1) + (1 1) + (1 3 1) (1 n 1) de unde 9 7 S n = ( n ) n. Cum in paranteze se afla suma primilor n termeni ai progresiei geometrice cu primul termen b 1 = 1 si ratia q = 1 se utilizeaza formula (19) si se obtine 9 7 S n = 1 1n de unde S n = 7 ( 1 1 n+1 ) + 9n = 7 ( 1 n+1 ) 9(n + 1) 1 = 7 ( 1 n+1 ) 1 (n + 1) n Exemplul 16. Sa se arate ca numerele 9, 1, 11 nu pot fi termeni ai unei progresii geometrice. 9

10 Rezolvare. Fie ca numerele date sunt termeni ai progresiei geometrice cu primul termen b 1 si ratia q. Atunci 9 = b 1 q k 1, 1 = b 1 q n 1 si 11 = b 1 q m 1, de unde rezulta ( 9 = q 1) k n, ( ) 11 = q m k sau 1 ( 9 1 ) m n = q (k n)(m n), ( ) 11 k n = q (m n)(k n). 1 Asadar ( ) 9 (m n) ( ) 11 (k n) = 1 1 de unde 9 m n 11 = k n 1m k. Cum m, n, k sunt numere naturale diferite, aceasta egalitate nu are loc si, prin urmare, numerele 9, 1, si 11 nu pot fi termeni ai unei progresii geometrice. Exemplul 17. Numerele a, b, c, d formeaza o progresie geometrica. Sa se arate ca (a c) + (b c) + (b d) = (a d). Rezolvare. Se dezvolta membrul din stanga egalitatii A = a ac + c + b bc + c + b bd + d. Se tine seama ca b = ac, c = bd si bc = ad (a se vedea (1) si (17)), si se obtine A = a b + c + b bc + c + b c + d = a bc + d = a ad + d = (a d). Exemplul 18. Suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare este egal cu, iar suma cuburilor termenilor ei este egala cu 19. Sa se determine termenul de rang 5. Rezolvare. Fie b 1 si q - primul termen si ratia progresiei geometrice date. Atunci q < 1 si S = b 1 1 q =. Se observa ca cuburile termenilor progresiei initiale la fel formeaza o progresie geometrica infinit descrescatoare cu primul termen b 3 1 si ratia q 3. In adevar, cum b n+1 = q, n N, b ( ) n 3 rezulta b3 n+1 bn+1 = = q 3, n N. Astfel se obtine sistemul b 3 n b n b 1 1 q =, Se determina b 1 din prima ecuatie: b q 3 = 19. b 1 = (1 q) si se substituie in a doua: 6(1 q) 3 (1 q)(1 + q + q ) = 19 1

11 de unde ( q < 1) rezulta ecuatia (1 q) = 3(1 + q + q ) sau q + 5q + = cu solutiile q 1 = si q = 1. Cum q < 1 ramane q = 1 si prin urmare b 1 = 6. Se utilizeaza formula termenului de rang n si se obtine b 5 = b 1 q = 6 ( 1 ) = 3 8. Exemplul 19. Sa se rezolve ecuatia: 1 + tg x + tg x tg n x tg x + tg x... + ( 1) n tg x +... = 1 + sin x, tg x < 1. Rezolvare. Se observa ca in numaratorul membrului din stanga se afla suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare cu primul termen b 1 = 1 si ratia q 1 = tg x, iar in numitorul membrului din stanga - suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare cu primul termen 1 si ratia ( tg x). Cum tg x < 1 ecuatia se scrie 1 1 tg x tg x = 1 + sin x sau tg x + 1 = 1 + sin x. 1 tg x Cum tg x tg x = tg x + tg π ( 1 tg x tg π = tg x + π ) = sin(x + π) cos(x + π), iar 1 + sin x = (sin x + cos x) = ( ( sin x cos π + cos x sin π )) ( = sin x + π ), ecuatia devine sin(x + π ) cos(x + π ) = sin (x + π ) de unde rezulta totalitatea ( sin x + π ) =, ( sin x + π ) ( cos x + π ) = 1, 11

12 sau x + π = πk, k Z, ( sin x + π ) = 1, sau x = πk π, k Z, x = πn, n Z. Cum tg x < 1, ramane x = πn, n Z. Probleme combinate Exemplul. Sa se determine numerele a, b si c daca se stie ca a, b, c sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice; a, b +, c formeaza o progresie aritmetica, iar a, b +, c + 9 formeaza o progresie geometrica. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatile caracteristice ale progresiilor geometrice si aritmetice si se obtine sistemul b = ac, (b + ) = a + c, (b + c) = a(c + 9), cu solutiile a =, b = 8, c = 16 sau a = 5, b = 16 5 si c = 6 5. Exemplul 1. Sa se arate, ca daca numerele pozitive a, b, c sunt respectiv termenii de rang m, n, p atat a unei progresii aritmetice cat si geometrice, atunci a b c b c a c a b = 1. Rezolvare. Conform conditiilor a = a 1 + (m 1)d, b = a 1 + (n 1)d, c = a 1 + (p 1)d, () unde a 1 si d desemneaza primul termen si ratia progresiei aritmetice. Din egalitatile () rezulta In acelasi timp b c = (n p)d, c a = (p m)d si a b = (m n)d. (3) a = b 1 q m 1, b = b 1 q n 1, c = b 1 q p 1, () unde b 1 si q sunt primul termen si ratia progresiei geometrice. Se tine seama de egalitatile (3) si () si se obtine a b c b c a c a b = a (n p)d b (p m)d c (m n)d = = (b 1 q m 1 ) (n p)d (b 1 q n 1 ) (p m)d (b 1 q p 1 ) (m n)d = = b d[(n p)+(p m)+(m n)] 1 q d[(m 1)(n p)+(n 1)(p m)+(p 1)(m n)] = = b 1 q = 1. 1

13 Exemplul. Sa se determine triunghiurile, lungimile laturilor carora formeaza o progresie geometrica, iar marimile unghiurilor - o progresiei aritmetica. Rezolvare. Fie α, β, γ - unghiurile interioare ale unui triunghi, opuse laturilor a, b si c. Cum α + β + γ = 18 si α = β d, γ = β + d unde d - ratia progresiei aritmetice, se obtine de unde β = 6. Conform teoremei cosinusurilor Cum b = ac, si cos β = 1, rezulta β d + β + β + d = 18 b = a + c ac cos β. ac = a + c ac de unde a ac + c = sau (a c) = si a = c. Astfel se obtine un triughi isoscel (a = c) cu unghiul cuprins intre aceste laturi egal cu 6, adica un triuhgi echilateral. Exemplul 3. Sirul de numere pozitive a 1, a,..., a n,... formeaza o progresie aritmetica, iar sirul b 1, b,..., b n,... - o progresie geometrica. Sa se arate ca pentru orice n natural, n > a n < b n, daca a 1 a, a 1 = b 1 si a = b. Rezolvare. Fie d - ratia progresiei aritmetice si q - ratia progresiei geometrice. Cum a 1 = b 1 si a = b se obtine a 1 + d = a 1 q, de unde q = a 1 + d a 1 = 1 + d a 1 > 1 si d = a 1 (q 1) >. Asadar, a n = a 1 + (n 1)d = a 1 + (n 1)a 1 (q 1) = a 1 (1 + (n 1)(q 1)) b n = b 1 q n 1 = a 1 q n 1 si urmeaza sa demonstram inegalitatea sau, cum a 1 >, a 1 (1 + (n 1)(q 1)) < a 1 q n (n 1)(q 1) < q n 1. Ultima inegalitate rezulta nemijlocit din inegalitatea lui Bernoulli (a se vedea tema Principiul Inductiei Matematice sau Inegalitati ). 13

14 Altfel, se considera diferenta 1+(n 1)(q 1) q n 1 = (1 q) [ 1 q n 1 1 q (n 1) ] = (1 q)(1+q +q +...+q n (n 1)) (s-a tinut seama ca 1 qn 1 reprezinta suma primilor n termeni ai progresiei geometrice 1 q cu b 1 = 1 si q = q). Cum q > 1 si, prin urmare q k > 1, k N, se obtine 1 + q + q q n (n 1) > iar produsul (1 q)(1+q+q +...+q n (n 1)) <. Prin urmare si 1+(n 1)(q 1) q n 1 <, adica a n < b n, n >. Exemplul. Sa se determine progresiile ce sunt concomitent si aritmetice si geometrice. Rezolvare. Fie a 1, a,..., a n,... progresiile aritmetica si geometrica. Atunci a k+ = a k+1 + a k+3, si a 1 q k+1 = a 1 q k + a 1 q k+ sau a 1 q k a 1 q k+1 + a 1 q k+ =, de unde se obtine a 1 q k (1 q + q ) =, a 1 q k (1 q) =. Asadar, daca a 1 q rezulta q = 1, adica progresia reprezinta un sir constant a 1, a 1,..., a 1,... (d =, q = 1). Daca a =, se obtine sirul constant,,...,,... (d =, q R), iar daca q =, a solutii nu sunt. Probleme recapitulative 1. Fie a 1, a,..., a n,... - o progresie aritmetica cu termeni pozitivi. Sa se arate ca 1 a a a a 3 an + an+1 a 1 =. a n+1 d. Sa se arate ca = a 1 a a a 3 a n a n+1 n a 1 a n+1 unde a 1, a,..., a n+1,... sunt termeni nenuli ai unei progresii aritmetice. 3. Sa se determine numerele de trei cifre, divizibile prin 5, cifrele carora formeaza o progresie aritmetica.. Sa se rezolve ecuatiile x = Sa se determine suma tuturor numerelor pare de doua cifre. 1

15 6. Sa se afle a 1 + a 6 + a 11 + a 16 daca a 1, a,..., a n,... o progresie aritmetica si a 1 + a + a a 16 = Sa se determine valorile lui x pentru care numerele lg, lg( x 1), lg( x +3) sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice. 8. Sa se arate ca numerele, 3, 5 nu pot fi termeni ai unei progresii aritmetice. 9. Fie S n, S n, S 3n respectiv sumele primilor n, n, 3n termeni ai aceleiasi progresii geometrice. Sa se arate ca este justa relatia S n (S 3n S n ) = (S n S n ). 1. Sa se determine patru numere in progresie aritmetica stiind ca suma lor este 8, iar raportul dintre produsul termenilor extremi si produsul la ceilalti doi termeni este Sa se determine o progresie geometrica, continand sapte termeni, daca suma primilor trei termeni este egala cu 6, iar suma ultimilor trei este egala cu Sa se arate ca numerele α = n a x y, β = n a z y, γ = n a z x formeaza o progresie geometrica. 13. Sa se determine trei numere, ce formeaza o progresie geometrica, daca suma lor este egala cu 6, iar suma patratelor acestor numere este egala cu Numerele a 1, a, a 3 formeaza o progresie aritmetica, iar patratele lor o progresie geometrica. Sa se determine aceste numere, daca suma lor este egala cu Sa se determine progresia aritmetica, daca suma primilor ei zece termeni este egala cu 3, iar primul termen, termenul de rang doi si termenul de rang cinci formeaza o progresie geometrica. Referinte 1. P.Cojuhari si altii. Progresii aritmetice si geometrice. Mica biblioteca a elevului. Seria Matematica, informatica. Chisinau, Editura ASRM,