Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica."

Transcript

1 Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a n = d, ( n N) (1) adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu precedentul plus unul si acelasi numar (ratia). Elementul a n se numeste termen general al progresiei sau termen de rang n. Exemplul 1. Sa se verifice daca sirurile ce urmeaza formeaza o progresie aritmetica a) a n = n 1, b) 3, 6, 9,..., 3k,... c) a n = 1 n. Rezolvare. a) Cum diferenta a n+1 a n reprezinta un numar constant a n+1 a n = (n + 1) 1 (n 1) = pentru orice n N, rezulta ca sirul dat de termenul general a n = n 1 reprezinta o progresie aritmetica cu ratia, si anume 1, 3, 5,..., n 1,... b) Similar exemplului a) se obtine a n+1 a n = 3(n + 1) 3n = 3, ( n N) si prin urmare sirul dat formeaza o progresie aritmetica cu ratia 3. c) Se scriu primii trei termeni ai sirului a 1 = 1, a = 1, a 3 = 1 3 si se observa ca a a 1 = 1 a 3 a = 1, adica sirul dat nu formeaza o progresie aritmetica. 6 Altfel, se considera diferenta a n+1 a n = 1 n n = 1 si se observa ca ea depinde (n + 1)n de n (nu este un numar constant) si prin urmare sirul dat nu este o progresie aritmetica. Proprietati ale progresiei aritmetice Demonstratiile proprietatilor ce urmeaza, pot fi gasite, de exemplu, in [1]. P1. Termenul general al progresiei aritmetice se poate determina prin formula unde a 1 - primul termen al progresiei, d - ratia ei. a n = a 1 + (n 1)d, () 1

2 P. (Proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice). Termenul de rang n este media aritmetica a termenilor echidistanti de el: a n k + a n+k = a n, k = 1, n 1 (3) Nota. Din propretatea P rezulta ca conditia necesara si suficienta ca a) trei numere a, b, c (in ordinea data) sa formeze o progresie aritmetica este b = a + b, () b) trei numere a, b, c (fara precizarea consecutivitatii) sa formeze o progresie aritmetica este (b a c)(c a b)(a b c) =. (5) P3. Daca a 1, a,..., a n,... este o progresie aritmetica si k + n = m + p (k, n, m, p N), atunci a k + a n = a m + a p. (6) P. Formula sumei S n primilor n termeni ai progresiei aritmetice: sau tinand seama de () S n = a 1 + a n n, (7) S n = a 1 + (n 1)d n. (8) Definitia. Progresia aritmetica este un sir crescator (descrescator), daca si numai daca ratia ei este un numar pozitiv (negativ). Daca ratia progresiei este zero avem un sir constant. In continuare sa anlizam cateva exemple. Exemplul. Sa se determine progresia aritmetica, daca a 3 = si a 5 =. Rezolvare. Se aplica formula teremenul general al progresiei aritmetice si se obtine sistemul { a3 = a 1 + d, a 5 = a 1 + d, sau, tinand seama de conditiile problemei obtinem { a1 + d =, a 1 + d =, de unde se obtine primul termen al progresiei a 1 = 6 si ratia progresiei d =. Exemplul 3. Sa se determine numarul x, astfel ca numerele a x, x, b (a, b fiind date), luate in aceasta ordine sa formeze o progresie aritmetica. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice si se obtine ecuatia liniara x = a x + b,

3 cu solutia x = a + b 3. Exemplul. Sa se determine progresia aritmetica, suma primilor n termeni ai careia se exprima prin formula S n = 3n + 6n (n 1). Rezolvare. Cum suma primilor (n 1) termeni este si cum S n S n 1 = a n, rezulta S n 1 = 3(n 1) + 6(n 1) = 3n 3, (n ) a n = 3n + 6n 3n + 3 = 6n + 3. Substituind in formula termenului general, consecutiv n = 1,, 3,... se obtine a 1 = 9, a = 15, a 3 = 1,... Exemplul 5. Sa se determine suma primilor nouasprezece termeni ai progresiei aritmetice a 1, a, a 3,..., daca a + a 8 + a 1 + a 16 =. Rezolvare. Se observa ca +16 = 8+1 si, prin urmare, (a se vedea (6)) a +a 16 = a 8 +a 1. Se tine seama ca suma acestor termeni este, si se obtine a + a 16 = 11. Cum (a se vedea (7)) S 19 = a 1 + a si a 1 + a 19 = a + a 16 = 11 (1+19=+16), rezulta S 19 = = 15. Exemplul 6. Pentru ce valori ale parametrului a exista asa valori ale variabilei x astfel incat numerele 5 1+x x a,, 5x + 5 x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Rezolvare. Conform proprietatii caracteristice a progresiei aritmetice, se obtine ecuatia a = 5 1+x x + 5 x + 5 x. Se observa ca pentru a ecuatia nu are solutii (membrul din dreapta, ca suma de termeni pozitivi, este un numar pozitiv). Cum a x+y = a x a y, a x = 1 a x (a >, a 1), ecuatia se scrie 5 x + 1 ( x + 1 ) = a. x 5 x 3

4 Se noteaza 5 x + 1 = t, t (suma a doua marimi pozitive inverse), atunci 5x si ecuatia devine 5 x x = ( 5 x x ) = t, t + 5t (a + ) =. Cel putin o radacina a acestei ecuatii urmeaza a fi mai mare ca doi (ecuatia data are doua radacini reale distincte, deoarece pentru a >, (a + ) < si coeficientul de pe langa t, 1 > ), pentru ce este suficient ca sa se verifice sistemul b a <, f(), sau 5 <, + 1 (a + ), de unde a 1. Exemplul 7. Sa se determine suma tuturor numerelor pare de trei cifre, divizibile la 3. Rezolvare. Primul numar par de trei cifre, divizibil la 3 este 1. Cum numarul par, divizibil la 3 se divide si la 6, se obtine progresia 1, 18, 11,..., 996, cu a 1 = 1, d = 6 si ultimul termen a x = 996 (x N). Se tine seama ca a x = a 1 + (x 1)d sau 1 + (x 1) 6 = 996, de unde, numarul tuturor numerelor pare de trei cifre divizibile prin trei, x = 15. Astfel, utilizand formula (7) se obtine S 15 = = 785. Exemplul 8. Fie S n, S m si S p suma primilor n, respectiv m si p, termeni ai progresiei aritmetice a 1, a, a 3,.... Sa se arate ca S n n (m p) + S m m (p n) + S p (n m) =. (9) p Rezolvare. Se tine seama de formula (8) si egalitatea (9) devine a 1 + (n 1)d (m p) + a 1 + (m 1)d (p n) + a 1 + (p 1)d (n m) =

5 sau a 1 [m p + p n + n m] + [(n 1)(m p) + (m 1)(p n) + (p 1)(n m)]d =. Cum (n 1)(m p)+(m 1)(p n)+(p 1)(n m) = nm np m+p+mp mn p+n+pn pm n+m = se obtine si prin urmare, egalitatea este demonstrata. a 1 + d =, adica =, Exemplul 9. Sa se determine numerele, ce sunt termeni comuni ai progresiilor aritmetice, 5, 8,..., 33 si 7, 1, 17,..., 157. Rezolvare. Fie b este termenul de rang n in prima progresie si, prin urmare, b = +(n 1) 3 si in acelasi timp, este termenul de rang m in a doua progresie, adica b = 7+(m 1) 5. Asadar se obtine ecuatia + (n 1) 3 = 7 + (m 1) 5, sau 3(n 1) = 5m de unde, tinand seama ca m, n sunt numere naturale, se obtine n = 5k + 1 si m = 3k, k N, adica termenii a 6, a 11, a 16,..., a 5k+1 din prima progresie coincid cu termenii c 3, c 6, c 9,..., c 3k, din a doua progresie. Asadar, termenii comuni sunt: 17, 3, 7, 6, 77, 9, 17, 1, 137 si 15. Exemplul 1. Suma a trei numere pozitive α, β si γ este egala cu π. Sa se determine produsul ctg α ctg γ daca ctg α, ctg β, ctg γ formeaza o progresie aritmetica. Rezolvare. Se tine seama de proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice si se obtine relatia ctg β = ctg α + ctg γ. Cum α+β+γ = π implica β = π (α+γ), se utilizeaza formula de reducere ctg ( π x ) = tg x si se obtine tg(α + β) = ctg α + ctg β sau, folosind formulea tangentei sumei a doua unghiuri de unde, tg α + tg γ 1 tg α tg γ = 1 tg α + 1 tg γ tg α + tg γ 1 tg α tg γ = tg γ + tg α tg α tg γ sau, tinand seama ca α, β si γ sunt numere pozitive si suma lor este π (tg α tg γ 1, tg α, tg γ ) se obtine tg α tg γ = 1 tg α tg γ 5

6 de unde rezulta tg α tg γ = 1 si, prin urmare, ctg α ctg γ = 3. 3 Exemplul 11. Fie ecuatia patrata x + px + q = cu radacinile reale x 1 si x. Sa se determine p si q astfel incat q, x 1, p, x (in ordinea indicata) sa formeze o progresie aritmetica crescatoare. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice, teorema lui Viete si se obtine sistemul x 1 = q + p, p = x 1 + x, x 1 + x = p, x 1 x = q, cu solutiile q =, x 1 =, p =, x =, si q =, x 1 =, p =, x = Cum progresia urmeaza a fi crescatoare, ramane q =, x 1 =, p =, x = si prin urmare ecuatia patrata ce verifica conditiile problemei date este x = cu p = si q =. Exemplul 1. Sa se determine primii trei termeni ai unei progresii aritmetice, descrescatoare, daca a 1 + a 3 + a 5 = si a 1 a 3 a 5 = 6. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea P3 si se determina a 3 = 8, dupa ce se obtine sistemul { a1 + a 5 = 16, a 1 a 5 = 8, cu solutiile a 1 =, a 5 = si a 1 =, a 5 =. Cum progresia este descrescatoare (d < ) ramane a 1 = si a 5 =. Se utilizeaza P3 si se obtine a = a 1 + a 3 = + ( 8) =. Asadar primii trei termeni ai progresiei sunt, si 8. Progresia geometrica Definitia 3. Sirul numeric (b n ) n N se numeste progresie geometrica, daca exista asa un numar q, numit ratia progresiei, astfel incat b n+1 = b n q, ( n N) (1) adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu produsul dintre termenul precedent si unul si acelasi numar (ratia). Elementul b n se numeste termen general al progresiei de rang n. 6

7 Urmatoarele siruri reprezinta progresii geometrice:,, 8,..., n,... cu b 1 = si q =, 3; 1; 1 3 ; 1 3,... cu b 1 = 3 si q = 1 3, a, a, a,... cu b 1 = a si q = 1, a,,,... cu b 1 = a si q = Tinem sa mentionam, ca daca unul din termenii progresiei geometrice este egal cu zero, atunci sau b 1 = sau q =. Proprietatile progresiei geometrice P5. Termenul de rang n al progresiei geometrice se determine prin formula b n = b 1 q n 1, ( n N). (11) P6. (Proprietatea caracteristica a unei progresii geometrice). Patratul termenului de rang n este egal cu produsul termenilor echidistanti de el: b n = b n k b n+k, (n, k = 1,,..., n 1) (1) in caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi Nota. Formulele (1), (13) se pot scrie si astfel b n = b n 1 b n+1. (13) b n = b n = b n k b n+k, (1) b n 1 b n+1, (15) adica modulul termenului de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el. In cazul progresiei cu termeni pozitivi insasi termenul de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el b n = b n k b n+k (b i >, i = 1,,...). (16) P7. Daca k + n = m + p (k, n, m, p N), atunci b k b n = b m b p, (17) unde b k, b n, b m, b p - termeni ai progresiei geometrice b 1, b,.... P8. Trei numere a, b, c formeaza o progresie geometrica (fara a preciza consecutivitatea lor) daca si numai daca verifica relatia: (a bc)(b ac)(c ab) =, (18) 7

8 iar numerele a, b, c formeaza o progresie geometrica (in ordinea indicata) daca si numai daca b = ac. P9. Suma primilor n termeni S n ai unei progresii geometrice se determina prin formula S n = b 1 b n q, (q 1) (19) 1 q unde b 1 - primul termen, q - ratia, si b n - termenul general al progresiei geometrice. In caz q = 1 suma primilor n termeni se determina prin formula S n = b 1 n. () P1. Suma S a tuturor termenilor ai progresiei geometrice infinit descrescatoare ( q < 1) se determina prin formula In continuare sa analizam cateva exemple. S = b 1 1 q. (1) Exemplul 13. Produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice este egal cu 178, iar suma lor este egala cu 63. Sa se determine primul termen si ratia progresiei. Rezolvare. Fie primii termeni ai progresiei b 1, b si b 3. Atunci din conditia b 1 b b 3 = 178 rezulta (a se vedea (1)) b 3 = 178 si b = 1. Astfel se obtine sistemul: { b1 b 3 = 1, b 1 + b 3 = 51, solutiile caruia sunt si solutiile (a se vedea teorema reciproca a lui Viete) ecuatiei patrate z 51z + 1 =. Se rezolva ecuatia si se obtine z 1 = 3 si z = 8, adica b 1 = 3, b 3 = 8 sau b 1 = 8, b 3 = 3. Cum b 1 = 3, b = 1 sau b 1 = 8 si b = 1 se obtine q = sau q = 1. Asadar solutiile problemei sunt b 1 = 3 si q = sau b 1 = 8 si q = 1. Exemplul 1. Intr-o progresie geometrica cu termeni pozitivi termenul de rangul (m + n) este egal cu p, iar termenul de rangul (m n) (m > n) este s. Sa se determine termenul de rang m si termenul de rang n. Rezolvare. Cum (a se vedea (11)) b m n b m+n = b m rezulta b m = ps si cum b m >, se obtine b m = ps. 8

9 Conform conditiilor problemei si formulei (1) avem { b1 q m+n 1 = p, b 1 q m n 1 = s, de unde q n = p s si prin urmare q = n p s. Cum b 1 q m+n 1 = b 1 q n 1 q m = b n q m = p, rezulta b n = p q m = ) p m ( ) p m = p ( s n. p n s Exemplul 15. Sa se calculeze suma Rezolvare. Avem S n = } 777 {{... 77}. n cifre S n = 7( } 111 {{... 11} ), n cifre 9S n = 7( } 999 {{... 99} ) n cifre sau 9 7 S n = (1 1) + (1 1) + (1 3 1) (1 n 1) de unde 9 7 S n = ( n ) n. Cum in paranteze se afla suma primilor n termeni ai progresiei geometrice cu primul termen b 1 = 1 si ratia q = 1 se utilizeaza formula (19) si se obtine 9 7 S n = 1 1n de unde S n = 7 ( 1 1 n+1 ) + 9n = 7 ( 1 n+1 ) 9(n + 1) 1 = 7 ( 1 n+1 ) 1 (n + 1) n Exemplul 16. Sa se arate ca numerele 9, 1, 11 nu pot fi termeni ai unei progresii geometrice. 9

10 Rezolvare. Fie ca numerele date sunt termeni ai progresiei geometrice cu primul termen b 1 si ratia q. Atunci 9 = b 1 q k 1, 1 = b 1 q n 1 si 11 = b 1 q m 1, de unde rezulta ( 9 = q 1) k n, ( ) 11 = q m k sau 1 ( 9 1 ) m n = q (k n)(m n), ( ) 11 k n = q (m n)(k n). 1 Asadar ( ) 9 (m n) ( ) 11 (k n) = 1 1 de unde 9 m n 11 = k n 1m k. Cum m, n, k sunt numere naturale diferite, aceasta egalitate nu are loc si, prin urmare, numerele 9, 1, si 11 nu pot fi termeni ai unei progresii geometrice. Exemplul 17. Numerele a, b, c, d formeaza o progresie geometrica. Sa se arate ca (a c) + (b c) + (b d) = (a d). Rezolvare. Se dezvolta membrul din stanga egalitatii A = a ac + c + b bc + c + b bd + d. Se tine seama ca b = ac, c = bd si bc = ad (a se vedea (1) si (17)), si se obtine A = a b + c + b bc + c + b c + d = a bc + d = a ad + d = (a d). Exemplul 18. Suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare este egal cu, iar suma cuburilor termenilor ei este egala cu 19. Sa se determine termenul de rang 5. Rezolvare. Fie b 1 si q - primul termen si ratia progresiei geometrice date. Atunci q < 1 si S = b 1 1 q =. Se observa ca cuburile termenilor progresiei initiale la fel formeaza o progresie geometrica infinit descrescatoare cu primul termen b 3 1 si ratia q 3. In adevar, cum b n+1 = q, n N, b ( ) n 3 rezulta b3 n+1 bn+1 = = q 3, n N. Astfel se obtine sistemul b 3 n b n b 1 1 q =, Se determina b 1 din prima ecuatie: b q 3 = 19. b 1 = (1 q) si se substituie in a doua: 6(1 q) 3 (1 q)(1 + q + q ) = 19 1

11 de unde ( q < 1) rezulta ecuatia (1 q) = 3(1 + q + q ) sau q + 5q + = cu solutiile q 1 = si q = 1. Cum q < 1 ramane q = 1 si prin urmare b 1 = 6. Se utilizeaza formula termenului de rang n si se obtine b 5 = b 1 q = 6 ( 1 ) = 3 8. Exemplul 19. Sa se rezolve ecuatia: 1 + tg x + tg x tg n x tg x + tg x... + ( 1) n tg x +... = 1 + sin x, tg x < 1. Rezolvare. Se observa ca in numaratorul membrului din stanga se afla suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare cu primul termen b 1 = 1 si ratia q 1 = tg x, iar in numitorul membrului din stanga - suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare cu primul termen 1 si ratia ( tg x). Cum tg x < 1 ecuatia se scrie 1 1 tg x tg x = 1 + sin x sau tg x + 1 = 1 + sin x. 1 tg x Cum tg x tg x = tg x + tg π ( 1 tg x tg π = tg x + π ) = sin(x + π) cos(x + π), iar 1 + sin x = (sin x + cos x) = ( ( sin x cos π + cos x sin π )) ( = sin x + π ), ecuatia devine sin(x + π ) cos(x + π ) = sin (x + π ) de unde rezulta totalitatea ( sin x + π ) =, ( sin x + π ) ( cos x + π ) = 1, 11

12 sau x + π = πk, k Z, ( sin x + π ) = 1, sau x = πk π, k Z, x = πn, n Z. Cum tg x < 1, ramane x = πn, n Z. Probleme combinate Exemplul. Sa se determine numerele a, b si c daca se stie ca a, b, c sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice; a, b +, c formeaza o progresie aritmetica, iar a, b +, c + 9 formeaza o progresie geometrica. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatile caracteristice ale progresiilor geometrice si aritmetice si se obtine sistemul b = ac, (b + ) = a + c, (b + c) = a(c + 9), cu solutiile a =, b = 8, c = 16 sau a = 5, b = 16 5 si c = 6 5. Exemplul 1. Sa se arate, ca daca numerele pozitive a, b, c sunt respectiv termenii de rang m, n, p atat a unei progresii aritmetice cat si geometrice, atunci a b c b c a c a b = 1. Rezolvare. Conform conditiilor a = a 1 + (m 1)d, b = a 1 + (n 1)d, c = a 1 + (p 1)d, () unde a 1 si d desemneaza primul termen si ratia progresiei aritmetice. Din egalitatile () rezulta In acelasi timp b c = (n p)d, c a = (p m)d si a b = (m n)d. (3) a = b 1 q m 1, b = b 1 q n 1, c = b 1 q p 1, () unde b 1 si q sunt primul termen si ratia progresiei geometrice. Se tine seama de egalitatile (3) si () si se obtine a b c b c a c a b = a (n p)d b (p m)d c (m n)d = = (b 1 q m 1 ) (n p)d (b 1 q n 1 ) (p m)d (b 1 q p 1 ) (m n)d = = b d[(n p)+(p m)+(m n)] 1 q d[(m 1)(n p)+(n 1)(p m)+(p 1)(m n)] = = b 1 q = 1. 1

13 Exemplul. Sa se determine triunghiurile, lungimile laturilor carora formeaza o progresie geometrica, iar marimile unghiurilor - o progresiei aritmetica. Rezolvare. Fie α, β, γ - unghiurile interioare ale unui triunghi, opuse laturilor a, b si c. Cum α + β + γ = 18 si α = β d, γ = β + d unde d - ratia progresiei aritmetice, se obtine de unde β = 6. Conform teoremei cosinusurilor Cum b = ac, si cos β = 1, rezulta β d + β + β + d = 18 b = a + c ac cos β. ac = a + c ac de unde a ac + c = sau (a c) = si a = c. Astfel se obtine un triughi isoscel (a = c) cu unghiul cuprins intre aceste laturi egal cu 6, adica un triuhgi echilateral. Exemplul 3. Sirul de numere pozitive a 1, a,..., a n,... formeaza o progresie aritmetica, iar sirul b 1, b,..., b n,... - o progresie geometrica. Sa se arate ca pentru orice n natural, n > a n < b n, daca a 1 a, a 1 = b 1 si a = b. Rezolvare. Fie d - ratia progresiei aritmetice si q - ratia progresiei geometrice. Cum a 1 = b 1 si a = b se obtine a 1 + d = a 1 q, de unde q = a 1 + d a 1 = 1 + d a 1 > 1 si d = a 1 (q 1) >. Asadar, a n = a 1 + (n 1)d = a 1 + (n 1)a 1 (q 1) = a 1 (1 + (n 1)(q 1)) b n = b 1 q n 1 = a 1 q n 1 si urmeaza sa demonstram inegalitatea sau, cum a 1 >, a 1 (1 + (n 1)(q 1)) < a 1 q n (n 1)(q 1) < q n 1. Ultima inegalitate rezulta nemijlocit din inegalitatea lui Bernoulli (a se vedea tema Principiul Inductiei Matematice sau Inegalitati ). 13

14 Altfel, se considera diferenta 1+(n 1)(q 1) q n 1 = (1 q) [ 1 q n 1 1 q (n 1) ] = (1 q)(1+q +q +...+q n (n 1)) (s-a tinut seama ca 1 qn 1 reprezinta suma primilor n termeni ai progresiei geometrice 1 q cu b 1 = 1 si q = q). Cum q > 1 si, prin urmare q k > 1, k N, se obtine 1 + q + q q n (n 1) > iar produsul (1 q)(1+q+q +...+q n (n 1)) <. Prin urmare si 1+(n 1)(q 1) q n 1 <, adica a n < b n, n >. Exemplul. Sa se determine progresiile ce sunt concomitent si aritmetice si geometrice. Rezolvare. Fie a 1, a,..., a n,... progresiile aritmetica si geometrica. Atunci a k+ = a k+1 + a k+3, si a 1 q k+1 = a 1 q k + a 1 q k+ sau a 1 q k a 1 q k+1 + a 1 q k+ =, de unde se obtine a 1 q k (1 q + q ) =, a 1 q k (1 q) =. Asadar, daca a 1 q rezulta q = 1, adica progresia reprezinta un sir constant a 1, a 1,..., a 1,... (d =, q = 1). Daca a =, se obtine sirul constant,,...,,... (d =, q R), iar daca q =, a solutii nu sunt. Probleme recapitulative 1. Fie a 1, a,..., a n,... - o progresie aritmetica cu termeni pozitivi. Sa se arate ca 1 a a a a 3 an + an+1 a 1 =. a n+1 d. Sa se arate ca = a 1 a a a 3 a n a n+1 n a 1 a n+1 unde a 1, a,..., a n+1,... sunt termeni nenuli ai unei progresii aritmetice. 3. Sa se determine numerele de trei cifre, divizibile prin 5, cifrele carora formeaza o progresie aritmetica.. Sa se rezolve ecuatiile x = Sa se determine suma tuturor numerelor pare de doua cifre. 1

15 6. Sa se afle a 1 + a 6 + a 11 + a 16 daca a 1, a,..., a n,... o progresie aritmetica si a 1 + a + a a 16 = Sa se determine valorile lui x pentru care numerele lg, lg( x 1), lg( x +3) sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice. 8. Sa se arate ca numerele, 3, 5 nu pot fi termeni ai unei progresii aritmetice. 9. Fie S n, S n, S 3n respectiv sumele primilor n, n, 3n termeni ai aceleiasi progresii geometrice. Sa se arate ca este justa relatia S n (S 3n S n ) = (S n S n ). 1. Sa se determine patru numere in progresie aritmetica stiind ca suma lor este 8, iar raportul dintre produsul termenilor extremi si produsul la ceilalti doi termeni este Sa se determine o progresie geometrica, continand sapte termeni, daca suma primilor trei termeni este egala cu 6, iar suma ultimilor trei este egala cu Sa se arate ca numerele α = n a x y, β = n a z y, γ = n a z x formeaza o progresie geometrica. 13. Sa se determine trei numere, ce formeaza o progresie geometrica, daca suma lor este egala cu 6, iar suma patratelor acestor numere este egala cu Numerele a 1, a, a 3 formeaza o progresie aritmetica, iar patratele lor o progresie geometrica. Sa se determine aceste numere, daca suma lor este egala cu Sa se determine progresia aritmetica, daca suma primilor ei zece termeni este egala cu 3, iar primul termen, termenul de rang doi si termenul de rang cinci formeaza o progresie geometrica. Referinte 1. P.Cojuhari si altii. Progresii aritmetice si geometrice. Mica biblioteca a elevului. Seria Matematica, informatica. Chisinau, Editura ASRM,

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2)

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2) Numere Fibonacci Problema iepurilor Fie data o pereche de iepuri. Se stie ca fiecare pereche de iepuri produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care la randul sau devine productiva la varsta de

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a 1. Aflați cel mai mare număr de cinci cifre astfel încât cea de-a patra cifră să fie mai mare decât cea de-a cincea, a treia să fie

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă

EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018 TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 8 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Câmpian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα