CÁLCULO III CUADERNO DE EJERCICIOS SOLUCIONES. Dra. Lorena Zogaib Departamento de Matemáticas ITAM

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1 CÁLCULO III CUADERNO DE EJERCICIOS SOLUCIONES Dra. Lorea Zogaib Departameto de Matemáticas ITAM Agosto, 6

2 INTRODUCCIÓN Este documeto costituye u material de apoyo para el curso de Cálculo III para las carreras de Ecoomía y Direcció Fiaciera e el ITAM. Cotiee las solucioes detalladas del documeto de trabajo Cálculo III, Cuadero de Ejercicios, Lorea Zogaib, Departameto de Matemáticas, ITAM, agosto de 6. Todas las solucioes fuero elaboradas por mí, si ua revisió cuidadosa, por lo que seguramete el lector ecotrará varios errores e el camio. Ésta es ua trascripció e computadora, de mis versioes mauscritas origiales. Para este fi, tuve la suerte de cotar co la colaboració de dos estudiates de Ecoomía del ITAM: Agélica Martíez Leyva, que realizó la primera trascripció de las solucioes e Scietific WorkPlace, y Rigel Jarabo García, que elaboró la gra mayoría del material gráfico. Quiero epresar mi agradecimieto aellas,poreletusiasmoyesmerocoquellevaroacabosutrabajo. Agradezco de atemao sus cometarios y correccioes e relació co este material. Lorea Zogaib

3 CÁLCULO III TAREA - SOLUCIONES INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN (Tema.). (a) 5 4 4/5 /5 +C 5 5 /5 +C. (b) / / / /8 9/8 +C /8 +C. (c) C C. (d) / +9 / 9 + +C C

4 (e) e +l e / +l (e +l) e +(l)+c e +l+c.. (a) f ()7+cos. f() f () (7+cos) (b) f ()9 +6. f () 7 +se+c. f () 9 +6 f() + +C, f () + +C C +C. (c) f (). f () f () ( ) +C, f() f () ( +C ) +C +C. 4

5 (d) f (). f () f () C,. (a) dy +, y(). Se tiee Sabemos que Por lo tato, y() dy f() (b) d s dt t 8, s(4)4, s (4). Se tiee Sabemos que s (t) s(t) f () C C +C C. y() + +C C. y() +. t s (t) dt 8 dt 6 t +C, s (t) dt 6 t +C dt t 6 +C t+c. s(4) C +C s (4) 6 4 +C C, C. Por lo tato, s(t) t 6. 5

6 4. Sabemos que la utilidad margial es u (q) q y que u() 7. Para maimizarlautilidadu(q)esecesarioqueu (q). Etoces, u (q) q q 5. Observamos que se trata de u problema de maimizació, ya que u (q) <. Paraecotrarlautilidadmáimau má debemosecotrarlafucióu(q).setiee u(q) u (q) dq ( q) dq q q +A. Sabemos que Así,lafuciódeutilidades u()7() () +A A. u(q)q q. Cocluimosquelaempresamaimizasuutilidadeq5,co u má u(5),dólares. 5. Ecadaputo (,y)delacurvay()lapedieteeseldobledelaabscisa,estoes, dy. De esta maera, y() dy Lacurvapasaporelputo (,),dedode +C. Porlotato,lacurvaquebuscamoses y( )( ) +C C. y() +. 6

7 6. (a). Sea u du. Así, ( ) udu u/ +C ( )/ +C. (b) y y y+ dy. Sea uy y+ du(y )dy (y )dy. Así, y y y+ dy (y ) y y+ dy (c) 7r 5 r 4 dr. Sea u r 4 du 4r dr Así, du u u+c 7r 5 dr 7 r y y++c (y ) +C y +C r 5 r 4 dr u /5 du 6 u4/5 +C r 4 4/5 +C.

8 (d) ( +). Sea u + du6 Así, ( +) (6 ) ( +) du u u du (e) se( 4). Sea u 4 du 4. Así, 4 u +C 4( +) +C. se( 4) se( 4)( 4) 4 seudu 4 4 cosu+c 4 cos( 4)+C. (f) se 5 (/)cos(/). Sea use(/) du cos(/). Así, se 5 (/)cos(/) se 5 (/) cos(/) u 5 du u6 +C se6 (/)+C. 8

9 (g) cos( ). Sea u du. Así, cos cos cosudu seu+c (h) cos Sea. se +C. u du. Así, cos (i) cos se. cos cos udu u +se(u) +C 4 4 se +C. Sea u se du cos. Así, cos se se)( cos) udu u/ +C ( se)/ +C. 9

10 (j) (+ ). Sea u+ du. Así, (k) +. (+ ) (+ ) du u u +C + +C. Sea u+ du u. Así, + +() u udu (l) e. e +e Sea ue +e du(+e ) e 9 u / u / du 45 u5/ 4 7 u/ +C 45 (+)5/ 4 7 (+)/ +C.

11 Así, e e +e e e +e du u l u +C l e +e +C (m) + e e e +e. Sea u+e du e Así, + e e l(e +e )+C. e +e +e e udu u/ +C +e / +C. () / Sea. u du Así, / / u du l u +C l / +C.

12 l(4 ) (o). Sea ul(4 )l4+ l du Así, l(4 ) l 4 udu u +C l 4 +C. (p) (e +e ) (e ) +(e )(e )+(e ) [e ++e ] e + + e. Sea u y w du dw. Así, e +e e ()+ e ( ) e u du+ e w dw eu + ew +C e + e +C. (q) ( +) ( ) +( )()+ [ +( )+]. Sea u du. Así, ( +) ()+ + u du+ + l u + l ++C l + l ++C.

13 (r) α dα. Sea uα dudα. Así, α dα α (dα) u du l u +C l α +C. 7. (a) Seaa,p. Sea ua+b dua. Así, (a+b) p (a+b) p (a) a u p du a u p+ +C a p+ a(p+) (a+b)p+ +C. (b) i) (+) 4. Idetificamosa,byp4. Así, (+) 4 (4+) (+)4+ +C ii) 4. (+)5 +C. Idetificamosa,b4yp /. Así, 4 ( )( +C +)(4 )( /)+ 4 +C.

14 CÁLCULO III TAREA - SOLUCIONES SUMAS FINITAS. SUMAS DE RIEMANN. INTEGRAL DEFINIDA. (Tema.). (a) (b) (c) (d) k ( ) k k ( ) i cos(i) cos()+cos() cos()+ +( ) cos(). i j+ j +(j+) +(j+). j f( k ) k f( ) +f( ) + +f( ). k. (a) k. k (b) k ( ) k+ k. (c) ( ) 5 (d) k. k 5 ( ) k k 5 k 5 ( ) k+ k. k. i) ii) iii) ( ) k+ k+. k 6 ( ) k+ k. k k 5 ( ) k+ k (a) k(+k) k k+6 k k k (+) + 6(+)(+) 6 (+). 4

15 (b) (c) 99 k k k+ ( 4 )+( )+( 5 98 )+( )+( 99 ) (i+j) [(i+)+(i+)+(i+)] i j i (i+6) i [()+6]+[()+6]. 5. i i (+) Sea, 4,. (a) µ (b) σ (+) (+)( ) (sedescarta ). i ( + + ) (+4+) 8. k k i k ( +4 + ) i ( + + ) ( + + ) (+4+) Seary. (a) Sea S r k +r+r +r + +r +r. k Multiplicado por r ambos lados de la igualdad, se obtiee rs r+r +r +r 4 + +r +r, 5

16 de dode S rs r ( r)s r k S r r. r k r r. (b) Partimosdelasumageométrica(r,k ) Esto es, k r k r r. +r+r +r + +r r r. Derivadocorespectoarambosladosdelaigualdad,setiee d dr +r+r +r + +r dr d r r +r+r + +( )r r +( )r ( r) Multiplicadoporrambosladosdelaigualdadsellegaa r+r +r + +( )r r[ r +( )r ] ( r) kr k r[ r +( )r ] ( r). k (c) Delosicisos7ay7bsesigue (a+kd)r k a r k +d k k k kr k a( r ) r + rd[ r +( )r ] ( r). 8. E los primeros icisos se trata de ua suma geométrica. El último iciso correspode a ua suma aritmético-geométrica. (a) 99 k ( ) k k 99 k k. 6

17 (b) Estaeslamismasumaqueladelicisoaterior,loquesedemuestrahaciedoel cambiodeídicesmk : ( ) k k 99 k m ( ) m m 99 k ( ) k k. (c) 4 k k ( ) +5 k 4 k k + 4 k (5)(4) 4 +. k k k (d) 4 k k ( ) k +5 4 k 5 k (e) Usado el resultado del ejercicio 7b, se obtiee 9. (a) P (b) P (c) P k k k 99 k k k 99 k k k (c k 5c k) k ( 5). 4 c k k 4. cos(c k ) k π π/ cos

18 . Hay que idetificar (a) k k k. f(c k ) Seac k k.setiee f(c k ) b a f(),dodec k a+k y b a. c k k f(c k )c k. Como c k k +k a+k, porlotato Así, (b) k + 4k 4. f(c k ) a, b a, b +a+. k Aquí hay dos respuestas directas: (b.) Seac k + 4k.Setiee k. c k + 4k f(c k )c k. Como porlotato Así, c k + 4k 4 +k a+k, a, 4 b a, b 4+a4+6. k + 4k

19 (b.) Seac k 4k.Setiee c k 4k f(c k )(+c k ). Como c k 4k 4 +k a+k, porlotato Así, k a, 4 b a, b 4+a k 4 4 (+). Nota que las dos respuestas so equivaletes. E efecto, usado la sustitució u+elaitegraldelasegudarespuesta,seobtiee (c) 4 k 4 + k f(c k ) (+). 6 u du. Seac k + k.setiee c k + k f(c k )4 c k. Como c k + k +k a+k, porlotato Así, 4 k a, b a, b +a+( ). + k 4. 9

20 (d). +k/ k f(c k ) Aquí hay dos respuestas directas: (d.) Seac k k.setiee c k k f(c k ) +c k. Como c k k +k a+k, porlotato a, b a, b +a+. Así, k / +k/ +. (d.) Seac k + k.setiee c k + k f(c k ) c k. Como c k + k +k a+k, porlotato a, b a, b +a+4. Así, k / +k/ 4.

21 (e) k +(k/) Seac k k.setiee +(k/) f(c k ) k. c k k f(c k ). +c k Como c k k +k a+k, porlotato Así, (f) k k 4 5 a, b a, b +a+. k k k 4 f(c k ) +(k/). +. Seac k k.setiee c k k f(c k )c 4 k. Como c k k +k a+k, porlotato a, b a, b +a+. Así, k k

22 (g) 5 + Seac k k.setiee k f(c k ) k. c k k f(c k )f(c k )c 5 k. Como c k k +k a+k, porlotato Así, (h) k 5 + / +5k/ 5 a, b a, b +a k Aquí hay dos respuestas directas: (h.) Seac k 5k.Setiee k/ f(c k ) c k 5k f(c k ) +ck. Como c k 5k 5 +k a+k, porlotato a, 5 b a, b 5+a5+5. Así, k / +5k/ 5 k 5/ +5k/

23 (h.) Seac k + 5k.Setiee c k + 5k f(c k ) ck. Como c k + 5k 5 +k a+k, porlotato a, 5 b a, b 5+a5+7. Así, (i) k k / +5k/ 5 / +k/ (k/) k 5/ +5k/ k/. k (k/) f(c k ) Seac k k.setiee c k k f(c k ) +ck ck. Como c k k +k a+k, porlotato Así, k a, b a, b +a+. / +k/ (k/). +

24 . Para calcular la itegral () utilizado sumas de Riema, observamos que De esta maera, () P f(c k )c k, a, b b a c k a+k +k k. k (c k ) (+) k k + +. k k. (a) La itegral 4 6 represetalacuartapartedel áreadeucírculo co cetroeelorigeyradioiguala4: (π 4 )4π. (b) La itegral yaltura : ( ) represetaeláreadeutriáguloisóscelescobase ( ) ()., < (c) Si f(), 5. trapecio mostrado e la figura:, la itegral 5 f() represeta el área del 5 f() () +(). 4

25 5. Seaf cotiuaytalque f() y 5 f() 4. (a) 5 f(u) du 5 f(). (b) f() f(). (c) (d) 5 [ f(t)] dt 5 f() 5 f() f(t) dt 5 f(t) dt( ). 5 f() ( ) (4) (a) Sif escotiuayf() paratodo [a,b],etoces b f(). a Verdadera. (b) Si b f(),etocesf() paratodo [a,b]. a Falsa. Ejemplo: >,perof()<paraalguos [,]. (c) Si b a Falsa. Ejemplo: f(),etocesf()paratodo [a,b].,pero f()paraalguos [,]. (d) Sif() y b f(),etocesf()paratodo [a,b]. a Verdadera. (e) Si b a f() > b a g(),etoces b a Verdadera. [f() g()] >. (f) Sif yg socotiuasyf()>g()paratodo [a,b],etoces b > f() b. g() a a Falsa. Ejemplo: Sea f() y g(). Claramete, f() > g() e [,].Siembargo, <. ( ) 5. Elitegradode + eslafuciócotiuaf() +.Losvaloresmíimo ymáimodef eelitervalo [,]so,respectivamete, Por la desigualdad ma-mi se tiee ( ) mif +, maf +. + ( ), 5

26 es decir, 5 +. Porlotato,elvalordelaitegralestáetre /5y. 6. (a) (b) (c) / / ππ ( ) + π( )π. / / (/) + ( ) ( /). ( ) + [ ( )]. 6

27 CÁLCULO III TAREA - SOLUCIONES TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. SUSTITUCIÓN EN INTEGRAL DEFINIDA (Temas.-.4). (a) G() +t4 dt. dg() d +t4 dt + 4. (b) G() +t4 dt. dg() d +t4 dt d +t4 dt + 4. (c) G() +t4 dt. dg() d +t4 dt. costate (d) G() +t 4 dt. dg() d +t 4 dt d ( +t4 dt +t4 dt) costate +t4 dt. (e) G() +t 4 dt. dg() d +t 4 dt d +t4 dt d +t4 dt + +t4 dt t4 dt. 7

28 (f) G() se (u +seu) du. dg() d se u +seu du (se) +se(se) dse se +se(se) cos. (g) G() +t4 dt. UsadolaregladeLeibitzsetiee dg() d +t4 dt +( ) (h) G() ( +t ) 9 dt. UsadoelcasogeeraldelaregladeLeibitzsetiee dg() d +t 9 dt d t 8 ()dt t 8 dt. ( +t ) 9 dt (i) G() cos(t 4 )dt. UsadoelcasogeeraldelaregladeLeibitzsetiee dg() d cos(t 4 )dt cos( 4 ) cos( 4 ) d + cos(t 4 ) cos() cos( 4 ) se(t 4 ) 4 dt cos( 4 )+4 se(t 4 )dt. dt 8

29 . (a) r(θ) dr(θ) dθ e θ e θ (b) α(u) lu (c) G() (d) (y) (e) (t) d dθ ltdt. e θ e θ 9θe θ eθ. dα(u) du y t l se(e ). d du ltdtl e θ de θ dθ l e θ de θ lu se(e ) se e lu dlu du (seu) (e t +t ) dt, >. dg() d y +s (y) dy e (t z ) dz. (t) dt l dθ θ e θ θ seu u u. e t +t dt e l +(l) dl +4l. e l +4(l) ds. d y y ds d dy +s dy dy y dy +s ds+y y y y ds+ +s +y. d t e (t z ) d t dz e t dt dt de t t d e z dz+e t dt dt t te t d dy y y y e z dz t e z dz+e t e t t t Nota que la respuesta tambié se puede escribir como (t) dt 9 t(t)+. +s ds +s ds e z dz e (t z ) dz+. θ e θ

30 /. Seaf() t + dt+ df() d / + t + dt,co>.como t + dt+ d + +, porlotatof escostateparatodo>. 4. SeaG() (a) dg() a f(t) dt,coauacostate. d (b) G( ) (c) dg( ) 5. SeaF() 4 (a) F () 4 a d (b) F () d para. F ()4e 4 a f(t) dt. a f(t) dtf(). t + dt (/) + f(t) dtf( ) f( ). e t dt,paratodo. e t dt. 4 d + + e t dt e e e. Notaque, (c) F () d (e )e +e (+)e. F ()6e 6. Seaf talquef >yf().seag() f(t) dt. (a) g esuafuciodifereciablede. Verdadero. Como f es difereciable, por lo tato f es cotiua. Por el Teorema Fudametal decálculo,g()esdifereciable(co dg f). (b) g esuafuciocotiuade. Verdadero. Comog esdifereciable,porlotatog escotiua.

31 (c) Lagráficadeg tieeuatagetehorizotale. Verdadero. dg() f() dg() f() e la tagete de g es horizotal. (d) g tieeumáimolocale. Falso. g ()f ()> g escovea g tieeumíimolocale. (e) Lagráficade dg cruzaelejee. Verdadero. g () dg() f(). 7. Reescribimos el precio P(t), de la siguiete maera: Eesecaso, P(t) t dp(t) dt v(s)e r(t s) dse rt t v(s)e rs ds e rt t v(s)e rs ds. de rt t v(s)e rs ds e rt d t v(s)e rs ds dt dt re rt t v(s)e rs ds e rt v(t)e rt r t t v(s)e r(t s) ds v(t) r v(s)e r(t s) ds v(t) rp(t) v(t). 8. De acuerdo co el Teorema Fudametal del Cálculo, df () 5+e F() co a ua costate. E particular, demodoque F () F() a a a F() a 5+e t dt 5+e t dt, a 5+e t dt+ a 5+e t dt+ a a 5+e t dt 5+e t dt 5+e t dt 5+e t dt, 5+e t dt.

32 De esta maera, F() ComoF()7,porlotato F() 5+e t dt+f(). 5+e t dt+7. E efecto, F () df() d 5+e t dt+7+77, 5+e t dt+7 5+e. 9. De acuerdo co el Teorema Fudametal del Cálculo, (t) dt t f(t) (t) t a u f(u) du, co a ua costate. E particular, () a u f(u) du, demodoque De esta maera, (t) () t a u f(u) du (t) Porúltimo,como()5,porlotato t (t) t a u f(u) du t u f(u) du+(). u f(u) du+5.. De acuerdo co el Teorema Fudametal del Cálculo, u f(u) du. f(t) df (t) dt F(t) t a f(u) du, co a ua costate. E particular, F (t ) t a f(u) du,

33 demodoque De esta maera, F(t) F(t ) t a f(u) du Porúltimo,comoF(t )K,porlotato, t t a f(u) du t F (t) f(u) du+f(t ). t t F (t) f(u) du+k. t t f(u) du.. (a) 8 5 / 5 8 5/ [] ( ) 5/ ( 8) 5/ 5[( ) ( 8)]+8 [( ) ( )] 5[7] ( ) ( 8) (b) y 5 + dy y y +y y dy y (c) (d) l l (e +) [e +] l l e l +l e l +( l) e l +l e l l (+l) l 8 +l 8 +l9. (e) Como + +,,, <,

34 por lo tato, ( ) + (+) O bie, por sustitució, 4 + u du udu+ u udu u (a) 6. Seau6.Setiee Por lo tato, u6 du, u()4, u(). 6 6 ( ) u / 4 4 / udu udu (b) t t + dt. Seaut +.Setiee Por lo tato, ut + dut dt, u()4, u() +. t t + dt t + t dt u du u +. 4

35 (c) + +. Seau +.Setiee Por lo tato, u + du +, u()4, u() du u [l u ]6 4 (l6 l4) l 6 4 l9. (d) 4 (+ ). Seau+.Setiee (e) Por lo tato, 4. + u+ du (+ ) Seau +.Setiee 4 (+ ) + 6., u(), u(4). du u u u + u udu, u(), u(). Por lo tato, u udu u u du + u u (f) 4l e 4l Seau. Setiee e /. u du, u( 4l) l, u(). 5

36 Por lo tato, 4l e 4l e / l e u du [e u ] l (e e l )( e l )( 9 ) 6 9. (g) l e e. Seaue.Setiee ue du6e, u(), u(l)e l e l8 5. Por lo tato, l e e 6 l 6 l5. 6e e 6 5 du u 6 [l u ]5 6 (l5 l) (h) e (l+). Seaul+.Setiee ul+ du, u()l+, u(e)le+. Por lo tato, e e (l+) l+ du u [l u ] l ll. (i) π/4 π/8 cos(θ) se (θ) dθ. Seause(θ). Setiee Por lo tato, use(θ) ducos(θ)dθ, u( π 8 ), u( π 4 ). π/4 π/8 cos(θ) se (θ) dθ π/4 π/8 u cos(θ)dθ [se(θ)] du / u /

37 (j) π/ 5se cos (+se ). Seau+se. Setiee Por lo tato, u+se duse cos, u(), u( π ). π/ 5se cos (+se ) 5 5 π/ u se cos (+se ) 5 5 ( du u. (a) Seau+λ.Setiee u+λ du, u(a)a+λ, u(b)b+λ, u λ. Por lo tato, b a f() b+λ a+λ f(u λ)du b+λ a+λ f( λ). Laúltimaigualdaddelladoderechoesválida,yaqueeuaitegraldefiidala variable de itegració es ua variable muda(es idistito llamarla u o ). (b) Seauλ.Setiee Por lo tato, uλ duλ, u(a)λa, u(b)λb, u λ. b a f() λ b a f()λ λ λb λa u f λ du λ λb λa f λ. 7

38 CÁLCULO III TAREA 4 - SOLUCIONES ÁREA. VALOR PROMEDIO. LONGITUD DE CURVA (Tema.5). (a) y,. A (b) y se +cos, π. u du l [u ] l 7 l. A π π se +cos ( se) +cos (c) y +6+9,. π se +cos udu u / 5/. A

39 (d) y ( ) /, 7. A 7 8 ( ) / u / du 7 u / du 4 (e) y 4,. / u 4/ ( ) / u 4/ 5 4. ( ) / A 4 4 udu+ 4 4 udu. (a) y l y yl(), 5. 4 udu 4 + u / A 5 l() l 5 (l+l l) 5 l(l)[] 5 4l. 9

40 (b) y se y y se(), π. A π π se se() [se se()] π se π se() π se π seudu [cos] π + [cosu]π (cosπ cos )+ (cos(π) cos )4. (c) y y y 4,. A (d) y 4 y y,

41 A ( ) (e) +y y 4+y, y. A y. (a) y y y. y dy 4 y 4 dy y 4 dy y y (+)( ) o. A (b) y y 5y , 6 5 (+6) i) 5(+6) +6 ( 4)( 9) 4 o 9. ii) 6 < 5(+6) +7+6 (+)(+6).

42 A y yy. 4 o. (a) Itegrado co respecto a (regió y-simple): A ( ) (b) Itegrado co respecto a y (regió -simple): A 4 5. y,y6 yy. y y 4 udu u / 4. 4 dy 4. ydy udu 4 6, ( 4)( 9) 4. (a) Itegrado co respecto a (regió y-simple): A (b) Itegrado co respecto a y (regió -simple): A 4 [(6 ) ]. (6 y) y dy. 4

43 6. LosecedetesdelcosumidorEC ydelproductorep estádadospor EC 8 EP 8 44 q 8 dq 4 4., q dq 5 7.7EC. 7. (a) f() e,. f. f ysealcazae, yaquef(). (b) f() e [,]. f ( ) ( ) + ( ) 5 6. f 5 6 ysealcazae 6, y 6,yaquef f

44 8. Seaf cotiuaytalque f()4.como f f() (4)4, y como f es ua fució cotiua e [,], por el Teorema del Valor Medio para itegralesdefiidaseistec [,] talquef(c)4.porlotato,f()4 almeos uaveze [,]. 9. LalogitudLdelsegmetodelarectay+5etrey4estádadapor L 4 +[y ()]. Comoy()+5,porlotatoy (),demodoque L Eefecto,ladistaciaLetreelputo (,8)yel (4,7)es L (4 ) +(7 8) Comoy() /,porlotatoy () /,demodoque L 7 / +[ / ] 7 / udu 7 u /

45 CÁLCULO III TAREA 5 - SOLUCIONES INTEGRALES RELACIONADAS CON LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (Tema.6). sec se. 4 Sea θse 4 seθ 4 catetoopuesto hipoteusa sec se secθ log 5 +ta (y) log 5 +ta y log 5 5 log 5 +ta y 5 +ta y 5 +ta y 5 ta y y ta().. (a) Siyse,etoces dy dse d. (b) Siycot (/) ta,etoces dy d[cot (/) ta ] +(/) d(/) +(/) Eotraspalabras, dcot (/) dta. 45

46 (c) Siyl(ta ),etoces dy dl(ta ) dta ta ta + (+ )ta. (d) Siye ta ( 5 ),etoces dy deta (5 ) e ta ( 5 ) dta ( 5 ) e ta ( 5 ) +( 5 ) 5 54 e ta (5 ) +. (e) Siycsc (e ),etoces dy (e ) dcsc e (e ) de e e e e. 4. (a) 4 () du u se u+c se ()+C. (b) dy +4y 4y dy dy 4 (y ) 4 (y ) du u 4 u se +C y se +C. (c) e t dt e t e t dt (e t ) du u se u+c se e t +C. (d) dt 7+t dt 7+t dt + t ta +C 7 t 7 7 ta 7 t +C. (e) seθdθ +cos θ du +u ta u+c ta (cosθ)+c. 46

47 (f) + +( ) l l +( ) l l ta u+c l ta ( )+C. du +u (g) sec 5 +C sec 5 +C. (h) du (+ )ta ta + u l u +C l ta +C. (i) e se e se e u due u +C e se +C. 5. (a) se 4 π 4 6 π. 4 se se () (b) e dt t +l t e +(lt) dt t du +u ta u ta () ta () π 4 π 4. (c) 8dt t t+ 8 dt (t ) + 8 du u + 8 ta u 8 ta () ta () π 8 4 π. 47

48 (d) Método: sec (sec ) sec (sec ) π/ π/4 sec () sec ( ) sec udu sec udu[tau] π/ π/4 ta π ta π 4. Método : Como sec(sec ),porlotato sec (sec )[sec(sec )].Deesta maera, sec (sec ) 6. Las itegrales idefiidas se +C y du u u. cos +C so equivaletes. E efecto, si e la seguda epresió utilizamos la idetidad se +cos π, obteemos cos +C se π +C. Observamos que las dos itegrales idefiidas difiere sólo e ua costate, de modo que ambas respuestas so correctas. 48

49 CÁLCULO III TAREA 6 - SOLUCIONES TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN (Tema.7). (a) e 4+9e. Seau4+9e.Setiee u4+9e du8e. (b) Por lo tato, e 8e 4+9e 8 4+9e du 8 u 8 l u +C 8 l 4+9e +C 8 l 4+9e +C. e 4+9e. Nota que Seaue.Setiee e 4+9e e 4+(e ). ue due. Por lo tato, e e 4+9e 4+(e ) e 6 ta +C. du 4+u u ta +C (c) 6 l. Seaul.Setiee ul du, u()l, u(6)l6. Por lo tato, 6 l 6 l l6 l du u u l6 l l6 l 4l l l. 49

50 (d) l. Seau l.setiee u l du. (e) Por lo tato, l l. du u+c l u l+c. Nota que Seaul.Setiee l (l). ul du. (f) Por lo tato, l l +4l. Nota que l +4l (l) se (l)+c. l +4l du u se (u)+c l +4(l). Seau+4(l).Setiee u+4(l) du8(l) Por lo tato, l +4l 8 +4(l) 8l 8 l +4l +C. 8l. du 8 u 8 l u +C 5

51 (g) +. Seau+.Setiee u+ du. Por lo tato, /+C. + udu 4 u/ +C (h). (a) (b) +. Seau+,demodoque u.setiee u+ du du(u ) du. Por lo tato, (u )(u ) u + u+ du du u u u + u du u u+l u +C l+ +C Seau. Setiee l + +C. + u u udu. +l +C. Por lo tato, + u u + udu u u u + du + du u + du u ta u +C u + ta +C. 5

52 (c) 5. Seau.Setiee 5. u du. (d) Por lo tato, 5 (sec+cot). (sec+cot) udu u/ +C / +C. sec +seccot+cot cos sec + cos se + csc sec +csc+csc (e) (f) ta l csc+cot cot +C. +se. +se se se se +se se se cos se cos cos sec secta ta sec+c. seθ dθ. cosθ seθ seθ +seθ se θ dθ dθ cosθ cosθ +seθ cosθ(+seθ) dθ cos θ cosθ(+seθ) dθ cosθ +seθ dθ. Seau+seθ. Setiee Por lo tato, seθ cosθ dθ u+seθ ducosθdθ. cosθ du +seθ dθ l u +C l +seθ +C. u 5

53 (g) e +. e + e + e e e e (e +) e. +e Seaue. Setiee ue du e. (h) (i) Por lo tato, e + e ( e ) du +e +e u l u +C l +e +C l +e +C.. e +e e +e Seaue. Setiee e +e Por lo tato, e +e e. e +e e e +e ue e e due. e e + e e (e +e ) e (e ) + ta (u)+c ta (e )+C. e e +e e e e e (e +e ) e e +. du u + e e +. Seaue +. Setiee Por lo tato, e e +e ue + due. e e + (e ) e + du u l u +C l e + +C l e + +C. 5

54 (j) e. Seau e. Setiee u e l(u +) u u + du. (k) Por lo tato, e 8 t t+ dt. u u u + du u + u u u + du + du u + duu ta (u)+c e ta e +C. Completado cuadrados, se obtiee 8 t t+ dt8 dt (t ) +. Seaut. Setiee ut dudt.. (a) Por lo tato, 8 t t+ dt8 se(). Propoemos dt (t ) + 8 du u + 8ta (u)+c 8ta (t )+C. Por lo tato, u du dv se() v cos(). se() cos() cos() cos()+ cos() cos()+ 9 se()+c. 54

55 (b) e /. Primero coviee determiar e /.Paraello,propoemos u du dv e / v e /. De esta maera, e e / e / / e / + e / e / + e / +C e / 4e / +C (+)e / +C. Por lo tato, (c) e /. e / (+)e / 4e e 8e +4. Propoemos u du dv e / v e /. Por lo tato, e e / e / / () e / +4 e /. Ahora itegramos por partes la ueva itegral. Para ello, propoemos u du dv e / v e /. Por lo tato, e / e / +4 e / e e / +4 e / / e / 8e / +8 e / e / 8e / +8 e / +C e / 8e / 6e / +C +4+8 e / +C. 55

56 (d) e l. Nota que e l e l / Primerodetermiemos l.paraello,propoemos u l du dv v. e l. De esta maera, ll Por lo tato, () l l +C. e l e l [l ]e [(ele e) (l )] [(e e)+]. (e) e l. Primerodetermiemos l.paraello,propoemos De esta maera, l l u l du dv v. l l 9 +C. Por lo tato, e l e e l 9 e e e + 9. le e 9 l 9 56

57 (f) cos l(se). Propoemos u l(se) du cos se dv cos v se. Por lo tato, cos l(se) se l(se) se l(se) cos (se ) se cos se l(se) se+c. (g) e e. Como e e e e e, propoemos u e due e dv v e. e Por lo tato, e e e e e (e ) e e + e e e e 4 ( e ) / +C. (h) ta (). Propoemos u ta () du + dv v. Por lo tato, ta () ta () + ta () l + +C. 57

58 (i) e cos. Propoemos u e du e dv cos v se. Por lo tato, e cos e se e se+ (se) e e se. Ahora itegramos por partes la ueva itegral. Para ello, propoemos u e du e dv se v cos. Por lo tato, e cos e se+ e se e se+ e cos ( cos) e e se e cos e cos. Por lo tato, e cose (se cos), demodoque e cos e (se cos)+c. (j) se(l). Propoemos u se(l) ducos(l) dv v. Por lo tato, se(l)se(l) cos(l). 58

59 Ahora itegramos por partes la ueva itegral. Para ello, propoemos u cos(l) du se(l) dv v. Por lo tato, se(l) se(l) cos(l) se(l) cos(l) [se(l) cos(l)] ( se(l)) se(l). De esta maera, se(l)[se(l) cos(l)], demodoque se(l) [se(l) cos(l)]+c. (k) cos( ). Primeropropoemoslasustitucióy.Setiee y y ydy. Por lo tato, cos ycosydy. Esta última se itegra por partes. Para ello, propoemos u y dudy dv cosydy v sey. Por lo tato, cos ycosydy ysey seydy ysey+cosy+c se +cos +C 59

60 4. (a) Propoemos de dode (+)(+) A + + B + A(+)+B(+) (+)(+) A+B A+B 4. Al resolver el sistema de ecuacioes se obtiee AyB, (A+B)+(A+B), (+)(+) (b) porloque Por lo tato, l + l + +C. (+)( +). + + Propoemos (+)( +) de dode A + +B+C +)+(B+C)(+) + A( (+)( +) (A+B) +(B+C)+(A+C), (+)( +) A+B B+C A+C. Al resolver el sistema de ecuacioes se obtiee AC /yb /, porloque (+)( +) /

61 (c) Por lo tato, (+)( +) ( ). Propoemos de dode / l + 4 l + + ta ()+C. ( ) A + B ( ) A( )+B ( ) A B A. Al resolver el sistema de ecuacioes se obtiee AB, A+(B A) ( ), (d) porloque Por lo tato, ( ). Propoemos de dode ( ) + ( ). + ( ) l +C. + ( ) ( ) A + B + C A( )+B( )+C ( ) (C A) +(A B)+B, ( ) C A A B B. 6

62 (e) Al resolver el sistema de ecuacioes se obtiee porloque Por lo tato,. AB C, l l +C. Primero reducimos la fracció impropia e el itegrado, quedado De este modo, Propoemos de dode A + + B A( )+B(+) (+)( ) (A+B)+(B A), (+)( ) A+B B A. Al resolver el sistema de ecuacioes se obtiee demodoque Por lo tato, A / y B /, + / + + /. + + / + + / l + + l +C. 6

63 + (f). Primero reducimos la fracció impropia e el itegrado, quedado + +. Deestemodo, + Propoemos de dode +. ( ) A + B A( )+B ( ) A+B A. Resolviedo el sistema de ecuacioes se obtiee A yb, (A+B) A, ( ) demodoque Por lo tato, l +l +C. 5. (a) l. Método: Usadolasustitucióul. Se tiee ul du. Por lo tato, l udu u 6 +C (l) +C l +C.

64 Método : Itegrado por partes. Propoemos u l du dv v l. (b) Porlotato, Así, dedode l. l l (l). l (l), l (l) Se itegra por partes. Para ello, propoemos +C. u l du dv v. Por lo tato, l l l+ (c) (d) se +cos. l +C. Sepropoelasustitucióucos.Setiee ucos du se. Por lo tato, se +cos du +u ta u+c ta (cos)+c. +cos. Se utiliza procedimietos algebraicos e idetidades trigoométricas: +cos cos cos cos +cos cos cos se csc csccot cot+csc+c. 64

65 (e) l(+ ). Se itegra por partes. Para ello, propoemos u l + du + dv v. Por lo tato, l + l + l l + +ta ()+C. (f) (g) 4 +. Se itegra por sustitució. Para ello, primero ota que 4 + ( ) +. Seau.Setiee Por lo tato, ( ) + u du. du u + ta (u)+c ta +C. Se itegra por fraccioes parciales. Para ello, propoemos 5 5 (+)( ) A + + B A( )+B(+) (+)( ) (A+B)+( A+B), (+)( ) de dode A+B 5 A+B. Al resolver el sistema de ecuacioes se obtiee AyB, 65

66 (h) porloque Por lo tato, l + +l +C. Se itegra por sustitució. Para ello, ota que. ( ) Seau.Setiee + + (i) Por lo tato, se (). u du. du u l u +C l +C. Se itegra por partes. Para ello, propoemos u se () du dv v. Por lo tato, se () se () se ()+ +C. (j) +. Método: Usadolasustitucióu+. Se tiee u+ u du. 66

67 Por lo tato, + u u du / u / du u u/ u / +C (+)/ (+) / +C (+)/ ( )+C. Método: Usadolasustitucióu +. Se tiee u + u + u udu. Por lo tato, + u u u udu du u u+c (+)/ (+) / +C (+)/ ( )+C. Método : Itegrado por partes. Propoemos u du dv v +. + (k) Por lo tato, (+)/ ( )+C (+)/ +C Se itegra por sustitució. Para ello, ota que +4 (+4) +( ). Seau.Setiee u du. Por lo tato, +4 +( ) ta +C. +u duta (u)+c 67

68 (l) (m) e. Se itegra por procedimietos algebraicos, multiplicado el itegrado por. e e e e e e e. Seaue. Setiee Por lo tato, e dz z z. ue e e e due. e e (e ) du u u sec u +C sec e +C sec (e )+C. Se itegra por procedimietos algebraicos, completado cuadrados. dz dz. z z 4 (z+) Seauz+. Setiee uz+ dudz. Por lo tato, dz z z dz 4 (z+) du 4 u () e. u z+ se +C se +C. Primeropropoemoslasustitucióy.Setiee y y ydy. Por lo tato, e e y (y)dy ye y dy. Esta última se itegra por partes. Para ello, propoemos u y dudy dv e y dy v e y. 68

69 Por lo tato, e ye y dy ye y e y dy [ye y e y ]+C (o) (y )e y +C e +C. Se itegra por fraccioes parciales. Primero reducimos la fracció impropia e el itegrado, quedado ( +). De este modo, Propoemos ( +). ( +) A +B+C +)+(B+C) + A( ( +) (A+B) +C+A, ( +) de dode A+B C A. Al resolver el sistema de ecuacioes se obtiee porloque Por lo tato, A, B yc, ( +) + +. ( +) + + l + l + +C

70 (p) e. Se itegra por partes, pero de ua maera cuidadosa. Como e e, propoemos u du dv e v e. Por lo tato, e e () e e e e e +C e +C. 7

71 . (a) CÁLCULO III TAREA 7 - SOLUCIONES FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L HOPITAL (Tema.) 4 L 4. (b) AquíoseaplicalaregladeL Hopital,yaqueellímiteoesdeltipo,sio. 6 Se tiee 9 6. (c) (d) L l l l l. l(cos) L se() cos() 4 4 ta() L 4 sec () 9 4. (e) (f) tset t cost L t tcost+set set L t tset+cost+cost cost L l l. (g) AquíoseaplicalaregladeL Hopital,yaqueellímiteoesdeltipo a,sio. Se tiee. + a+ a y a+ a. (h) +setdt L d +setdt +se. (i) e 4 t dt L d e 4 e t dt 7 4e 4 e t dt+e 4 e () d() 4e 4 e t dt+e 4 4 4e 4 e t dt+e

72 (j) (k) 8 +5 L 99 e e L 6 4 L 6 4. L ()(99) L L ()(99)...() e e. (l) (m) / l L (/) 9/ / 9/ /. l( +) l L + + (+) L. () (o) (p) (q) (r) l l(l) L +l / l [(l)(+l)]. e L L e e e. e / e / + + / L e / ( / ) + / e/. + e / e /. / o se usa L Hopital [l(+/)] l(+/) / L / +/ /. + (s) e l +e l(+e ) L e e +e e. +e (t) + l + l / L + / ( / ) +. 7

73 (u) AquíoseaplicalaregladeL Hopital,yaqueellímiteoesdeltipo,sio.Setiee l. (v) [l l(se)] l + + se l + se L l l. + cos (w) [l() l(+)] l + l + L l l. () AquíoseaplicalaregladeL Hopital, yaqueellímiteoesdeltipo, sio.setiee [l() l(+)] l l l() Utilizado la regla de L Hopital: cot + csc L + csc csccot + csc cot Utilizado idetidades trigoométricas: L + csccot csc cot + csc (cos/se) + (/se) (cos). + cot. + csc límite origial. (a) (b) (c) el/ e +/ + l/ e +[ l ] e. + el/( ) e +/( ) + l/( ) e +[ l] + e l + e L / + e. (l)/ e l(l)/ e l(l)/ e l(l)] [ e l(l ) L e ( / l) e l e. 7

74 (d) /l e l/l e l/l e [ l] l e e. o se usa L Hopital (e) + + el e + l e +[l] e + l (/) L e + (/) ( / ) e + e. (f) (e +) / / +) + + el(e e + l(e +) / e +[ l(e +)] e l(e +) + L e + e + e + e + + e + e e. (g) / (+)/() + el(+) e + l(+)/ e +[ l(+) ] + e l(+) + L e + + e /. (h) (+)/(l) e l(+)/(l) e l(+)/(l) e [ l l(+) ] e l(+) l L e + / e + L e e. (i) /(l) (+)/(l) e(+) e +(+)/(l) + + e +[ l l(+)] e l(+) + l o se usa L Hopital e. (j) ( +) / e l( +) / e l( +) / e [ l( + )] e e l( +) L e l() + l() + e L l()l() l() e l() e l(). 74

75 4. a a a L a d da ( a ) a l( ) d ( a) a l l. a ( ) a da 5. A (+r/k) kt A (+r/k) kt A e l(+r/k)kt A e k l(+r/k)kt k k k A e k [ktl(+r/k)] A e t k [kl(+r/k)]. Calculemos por separado k [kl(+r/k)]: k [kl(+r/k)] k k l(+r/k) /k L k ( r/k ) +(r/k) ( /k ) k d l(+r/k) dk d (/k) dk r +r/k r. 6. Por lo tato, k A (+r/k) kt A e t(r) A e rt.! /t c i i t c t +...+c t /t t + i t + el(c t +...+c t ) /t t + e l(c t t ct ) /t e l ( c t +...+c t ) t + t. Notaque L Hopital, l(c t +...+ct ) t + t esdeltipo,yaquec +...+c.usadolareglade l(c t +...+c t ) t + t t + c t l +...+c t l c t +...+c t c l +...+c l c +...+c c l +...+c l l c +...+l c l( c... c ). Por lo tato, t + c i t i i /t e l ( c t +...+c t ) t + t e l(c... c ) c... c " i c i i. 75

76 7. Seaf(σ,v) γh v +c v /σ v /σ v (a) Por simplicidad, defiimos (v). γh v +c v v v,co>. Así, f /σ /σ. Latrasformaciómootóicay(σ,v)f(σ,v) De esta maera, y f y /σ σ σ /σ /σ secoviertee /σ /σ /σ /σ /σ /σ. L σ d dσ σ /σ l l. /σ d ( /σ) dσ /σ (l)(/σ ) σ (/σ ) Nota que este resultado coicide co el del ejercicio 4. Por último, sustituimos la fució (v), de dode y(σ,v)l γh v +c v σ (b) La trasformació mootóica y(σ, v) v v. ( σ)( v ) v f(σ,v)aquíes +γ y ( σ)( v ) v f +γ +γ γh v +c v /σ +γ /σ γ +γ h v + +γ c ( σ)( v v ) v /σ v γh v +c v /σ v /σ v v z /σ /σ, v /σ v dode hemos defiido, por simplicidad, z(v) z>. Deestamaera, v y v γ +γ h v + z /σ /σ /σ z /σ. v +γ c v v v, co 76

77 Calculemos por separado v z : γ z(v) v v +γ h v + c v +γ v v e l γ v UsadolaregladeL Hopitaleelepoete,setiee γ l v +γ h v + v v +γ c v l v l v v +γ h v+ γ +γ h v + v v γ +γ h v + /v +γ c v +γ c +γ c v v v v γ +γ h v(lh)(/v )+ +γ c v(lc)(/v ) γ +γ h v+ γ +γ lh+ lc +γ γ + +γ +γ l h γ +γ c +γ. z(v)e l h γ +γ c+γ h γ +γ c +γ. v v y(σ,v) h γ +γ c +γ /σ +γ c v /v /σ. γ +γ lh+ +γ lc. 77

78 . (a) (b) (c) (d) (e) β 5 a CÁLCULO III TAREA 8 - SOLUCIONES INTEGRALES IMPROPIAS (Tema.) a 4( ) a 4 a 4a 4 a 64. a 4( ) 4 + 4a 4 dt b dt b t t b t b b b b diverge. b αβ α y dy α+ αβα b β α b b β y y α dy αβ α α b α +. b α (α>) b e e b + b e b. e / a a * L Hopital: ae a/ a a b b β β α b b α β α e b e b b e / e / 4e / a a a ( 4) ae a/ 4e a/ 4 a aea/ +4 (* L Hopital) a e a/ L a a ea/ 4. e a/ a ea/. 78

79 (f) (g) 4 b e b e e b 4 b + b e b e 6 e 6. 4 e b e 6 b l b l b / l b [l l ]b b [l lb l l ] lb b l l diverge. (h) e θ dθ +e θ b b e θ dθ +e θ l +e θ b b l + e l b b l +ll. l + e b b +l (i) (+) b b (+) b b + fraccioes parciales [l l + ] b b [l b l b+ l +l 4 ] (b>) b b l b b+ * L Hopital: b +l4l b b b+ b b +l4l b+ /(* L Hopital)

80 (j). (a) ++ (b) Método : b a a (+) + + b (+) + ta (+) + a a ta (+) b b ta () ta (a+) + ta (b+) ta () a b ta () a ta (a+)+ ta (b+) ta () b a ta (a+) + π/ b ta (b+) π/ π. dt dt t 4 t 4 a + a t 4 a + a 4 a 4 a + 4 a 4 4. a + b b dt (6+t) b 6+t b 6+b + diverge. b 6+b 9 dt (6+t) b Método (co cambio de variable): Seau6+t.Setiee Por lo tato, u6+t dudt, u( ), u( ). dt (6+t) b du u b b u du u b b b diverge. b b 9 8

81 (c) /l e / a + e l /l e / e / /l a a + a e /a a +. a + e l e /a (d) (e) l a + a + a l a + l 4 a l a 4 la a 4 4 a + a la (* L Hopital) * L Hopital: a la la L /a a + a + /a a + /a s+ 4 s ds b b s+ 4 s b ds b b + 4 a a + 4. s ds+ b 4 s b a + a. ds 4 s 4 s s + se b b b 4 b + se se b b 4 b b ++ se + π b b. π/ (f) 8 / b + 8 / b b / + / b b/ a + 8 a / b / b + a + / 8 a b / ( ) / + 8 / a / a + + a a/

82 (g) (h) (i) e e b b + b 5 a + a 5 4 b 4 4 b b 4 4 a a diverge. 4 b b 4 4 a + a 4 (l) b b du u b du u + du u + b + b a + + b du u a + a + du u + a + b u + a a b 4 a + 4 a + a + u a diverge. b + b a + a b + a b a + ++ b b a a (a) Efectuadoelcambiodevariableulseobtiee e (l) p du u p, si p<, p diverge, si p. (b) Efectuadoelcambiodevariableulseobtiee e (l) p du u p 8 diverge, si p,, si p>. p

83 4. (a) Sif esparetocesf( )f(). Partimos de f() f()+ f(). Ahorareescribimos f().paraello,utilizamoselhechodequef( ) f() eitroducimoselcambiodevariableu,demodoque f() f( ) f(u) ( du) f(u) du. De esta maera, f() f(u) du+ f() f(). so iguales (b) Sif esimparetocesf( ) f(). Partimos de f() f()+ f(). Ahorareescribimos f().paraello,utilizamoselhechodeque f( ) f() eitroducimoselcambiodevariableu,demodoque De esta maera, f() f( ) f(u) ( du) f() f(u) du+ f() so iguales 8. f(u) du.

84 5. Sea f() e / e (,), co π porlotatof esuafuciópar. f(). Comof() f( ), (a) Calculemoslamediaµ f().sabemosque µ f() f() + f(). Ahorareescribimos f().paraello,utilizamoselhechodequef( ) f() eitroducimoselcambiodevariableu,demodoque f() De esta maera, f( ) µ (b) Calculemos la variaza σ ( u)f(u) ( du) uf(u) du+ cuetaelicisoaterior(µ),setiee f(). f() uf(u) du f(). Tomado e uf(u) du. σ f() f() f() µ f(). Partiedo la itegral resultate, se tiee σ f() + f(). Ahorareescribimos f().paraello,utilizamoselhechodequef( ) f() eitroducimoselcambiodevariableu,demodoque f() f( ) ( u) f(u) ( du) u f(u) du. De esta maera, σ f() u f(u) du+ f() f(). 84

85 Por último, calculamos la itegral resultate: σ f() b b π b / π b be b (*L Hopital) u b e / dv + f() π π b e / π * L Hopital: be b / b b b e b / 6. Seaf() a e /a e [,),coa>. (a) b b e / e / b + b π e / (ver euciado) L b be. b / e /. b e /a a ae /a b b e b/a +. b b e b/a (a>) f() a b e /a b b (b) f() a b b e /a a ae /a a e /a b b be b/a ae b/a ( a) b b a +aa. e /a ae /a b b b e b/a b (*L Hopital) e b/a (a>) (c) b * L Hopital: L b e b/a b. eb/a a ( a)f() f() a f() a a(). a 85

86 (d) (e) f() a b 7. Observa que b e /a a a e /a a e /a a e /a b b e /a ae /a a e /a b b b e b/a abe b/a a e b/a +a b b b a a b e b/a (* L Hopital) b b * L Hopital: L b e b/a ( a) f() e b/a (** L Hopital) b ** L Hopital: L b e b/a m(t) b e b/a (a>) b L b a eb/a b. eb/a a b. eb/a a a+a f() +a a. f() a f() +a f() a. a a e e t /4 4 4 e (t /4), porloquesedebeaalizarporseparadoloscasost /4yt</4. i) Sit /4,etoceslaitegraldiverge(verfiguradelaizquierda). ii) Sit< 4 (figuradeladerecha),etoces m(t) 4 e (t /4) b 4t b [eu ] (t /4)b 4t b 4(t /4) b (t /4)b 4t e (t /4)b b 4t 4t. b e(t /4)b (t</4) 86 e u du

87 Cocluimos etoces que m(t) e e t /4 4 4t, t<, 4 diverge, t Sea Γ(α) y α e y dy,α R +. (a) Γ() y e y dy e a + a e y dy a a e a a e y dy e y a a +. (b) Γ(α) y α e y dy b b y α e y dy y α e y b +(α ) b b b bα e b (* L Hopital) b α * L Hopital: L (α )b α b e b b e b ) y α e y dy +(α ) y (α ) e y dy (α )Γ(α ). Γ(α ) L... L b (α )(α )... () e b. (c) Sabemosque Γ(α)(α )Γ(α )yque Γ().Deestamaera, Γ()! Γ() Γ()! Γ() Γ()! Γ(4) Γ() (!)!,etc... Por lo tato, Γ()( )!, Z Sea f(y) yα e y/β β α Γ(α) e [,). (a) Efectuadoelcambiodevariableuy/β setiee f(y) dy β α Γ(α) y α e y/β dy Γ(α) 87 u α e u Γ(α) du Γ(α) Γ(α).

88 (b) Efectuadoelcambiodevariableuy/β setiee yf(y) dy β α Γ(α) β Γ(α) y y α e y/β dy β Γ(α) (c) Efectuadoelcambiodevariableuy/β setiee u α e u du u (α+) e u du β Γ(α) Γ(α+) αβ. αγ(α) y f(y) dy β α Γ(α) β Γ(α) β (α+) y y α e y/β dy β Γ(α) u (α+) e u du β Γ(α) Γ(α+) (α+)γ(α+) αγ(α) Γ(α+) α(α+)β. Γ(α) u α+ e u du. Lafuciódedistribucióacumuladaparalafuciódedesidadf()e es F X () f(t)dt e t dt, R. Si<,etoces F X () e ( t) dt e t dt a a e t dt e t a a a e e a e. Si,etoces F X () e ( t) dt+ a e t a e (t) dt a e t a e t dt+ e t dt e e. Por lo tato, F X () e, si< e si. 88

89 CÁLCULO III TAREA 9 - SOLUCIONES INTEGRACIÓN MÚLTIPLE (Temas.-.7). (a) (b) (c) y y dy l +ydy l ydy y ( ). 4 5 e +y dy l l +y / dy (y+) / y / (y+) 5/ 5 ) y 5/ 5 4 5/ 4 5/ 4 5/. 5 5 e l e e y dy l e l e e l e e [e y ] l l e l e e l [9 ]4. dy (d) e y dy [e y ] [e ][e ] e e e.. (a) R ( +) da l l +( ) dy +( ) 89 +( ) [y] l +( ) l l + 9+() + l ( ) 8.

90 (b) (c) (d) (e). (a) R R R R e 4 da e da e 4 dy e 4 e8 e y da e dy y + da y e 4 [y] e [y] + +y dy e 4 (4) 4e 4 e e e. [] y +y y dy l +y l ll. + + dy + [y]+ y +y dy l + [l5 l] 5 l l5. (b) ydy y ( ) 6 ( ) 6. 9

91 ydy y ( ) (c) y y e y dy e y y y dy y e y dy e y e y 4y y dy e 7 e. (d) (e) 4 4 dy [y] / 6. y ydy y y y[] dy y y y dy y /. 9

92 (f) l8 ly e +y dy l8 l8 e y ly e y [y ] it. por partes e dy l8 e y [e ] ly dy l8 e y e ly y dy dy [(y )e y e y ] l8 [(y )e y ] l8 (l8 )e l8 ( )e 8l8 6+e (a) (b) 4 f(,y) dy 4 y/ f(,y) dy. y f(,y) dy y f(,y) dy. 9

93 (c) (d) f(,y) dy y+ f(,y) dy+ y f(,y) dy. 4 f(,y) dy 4 y f(,y) dy+ 4 y+ f(,y) dy. (e) l e f(,y) dy / l f(,y) dy+ / ly f(,y) dy. 9

94 (f) y f(,y) dy+ y f(,y) dy f(,y) dy. (g) f(,y) dy+ e l f(,y) dy e y f(,y) dy. (h) y f(,y) dy+ y f(,y) dy + f(,y) dy. 94

95 5. (a) (b) 4 y + dy y y + dy y + []y dy l y + l9 ll9. y y + dy (c) y + dy + dy + [y] l + [l l] l. + 4y 4 e y dy y 4y 4 e y dy 4y e y4 dy 4y y ye y dy 4y [e y ] y dy e y4 y 4 (e ) ( )e. 95

96 (d) y e dy e dy e [y] e e [e ]. 6. (a) (b) f A R e e A R e e y dy A R e dy(e ). [l y ]e A R A R [l ] e A R [le l] A R e (e ). le l A R f A R e e / / / / dy e e y dy A R [l ]e (le l). e e y y/ y/ A R e e [l ] e e A e (le l) e e. R A R 96 e e e

97 (c) A R dy. f A R A R e y dy e A R e y dy A R e e (e ). A R A R [e y ] y y 7. A R 4 dkdl4. P A R 4 6 A R L/ L / K / dkdl A R / 9A R L / K/ dl 6 A R 6/ L / dl 8. Trasformalaitegral A partir de la sustitució propuesta despejamos las variables y y, quedado dyauauevaitegralcodvdu,siu+y,v y. u+y, v y u+v, y u v. 97

98 El correspodiete determiate jacobiao es (, y) (u,v) u v y y u v dedode (,y) (u, v)., Elitegradoesiguala,porloqueosevemodificadoporlatrasformació. Por último, debemos trasformar la regió R e el plao y, e la regió T e el plao uv.laregiórestáitadaporlasgráficasdey,y y. Tomadoe cuetaque u+v,y u v,setiee y u v y u v u+v u+v u+v u v v u Las regioes correspodietes R y T se muestra e la siguiete figura. De esta maera, dy u dvdu. 9. (a) dy π rdrdθ π r dθ π dθ [θ]π π. 98

99 (b) 9 9 dy π rdrdθ π r dθ 9 π dθ 9 (π)9π. (c) 4 y +y dy π/ π/ r rdrdθ π/ π/ r 4 4 dθ4 π/ π/ dθ4π. (d) e π/ ( +y ) dy e r rdrdθ e + π/ π/ dθ e r dθ e + π π( e ) 4. 99

100 (e) / e +y dy π/ π/4 e r rdrdθ e + π/ π/4 π/ π/4 (r+)e r dθ dθ e + π 4 π( e +). 4 (f) / 8ydy π/4 /cosθ 8(rcosθ)(rseθ) rdrdθ π/4 r 4 /cosθ 8cosθseθ dθ 4 π/4 4 cosθseθ dθ cosθ π/4 seθ cos θ seθcosθ dθ cos (π/4) +cos (π/4) + / /. π/4 cos θ +cos θ cos () cos ()

101 (g) 6 y dy π/ π/4 6/se θ π/ π/4 6 8 rcosθrdrdθ 6 cosθ se θ / u du 6 π/ π/4 dθ 6 cosθ π/ π/4 u / r 6/seθ / 6( )6. dθ (seθ) cosθdθ (h) dy π/4 π/4 cosθ secθ r secθ rdrdθ+ dθ+ π/ π/4 π/ π/4 r seθ cscθ cscθ rdrdθ dθ [taθ]π/4 [cotθ]π/ π/4 ta π 4 π/4 sec θdθ+ ta π/ π/4 cot π csc θdθ cot π. 4

102 (i) / y dy y π/4 π/4 cscθ θ + 4 cotθ rdrdθ π/4 π/4 π/4 π/4 r cscθ π 8 + π 4 cot 4 dθ π/4 π/4 4 csc θ dθ π 8 4 cotπ 4 π. (j) / dy+ A dy B + 4 dy C π/4 rdrdθ π/4 r dθ π 8.. (a) Regió y-simple: π/4 rdrdθ / dy+ / dy. Regió -simple: π/4 rdrdθ / y y dy.

103 (b) Regió y-simple: π/ π/4 /se θ Regió -simple: r cosθdrdθ π/ π/4 /se θ / r cosθdrdθ / dy+ / y y dy. dy.. (a) e dy b b b e dy b e b b b e [y] b e b. b e (b) e dy b e dy b e [y] b b b e e b b be b e b + b b +. b e b b e b (*L Hopital) b e b *L Hopital: L b e b b e. b

104 (c).4. Regió rectagular 5e y dy e y dy5 b 5 b 5 b e y yb.4. y.4 b e b be.4b b b b e y dy b be.b e b.. (d) e (+y) dy b c b c Regió Rectagular c c e e y dy Itegrado factorizable e b por partes e e c c (ver b) b e y dy e y b b /. 4

105 (e) sey y dy y a + sey dy y sey [] y y a y it. impropia a + a seydy a + a it. propia cos+cos cos. dy a + a sey y sey y dy (y ) dy seydy [ cosy] (f) 4 y ye 4 dy 4 4 b 4 b 4 b b ye 4 e 4 [e ] 4 e4. dy 4 b 4 b 4 ydy b 4 e (4 ) 4 b 4 ye 4 dy b b e y 4 4 e 4 e 5

106 (g) y/ e 4 dy+ y/ e 4 dy a + a + e 4 a a dy a + e 4 [y] e 4 e4. a a + 4e 4 4e 4 e 4 dy a e 4 (4). (a) π/ e ( +y ) dy π/ e r rdrdθ π/ rb b e r r π/ dθ π π 4. b dθ b π/ e r rdr dθ b e b + dθ 6

107 (b) π/ (+ +y ) dy π/ π/ π/ (+r ) rdrdθ b b rb dθ b (+r ) r + b +b dθ r (+r ) dr dθ π/ dθ π π 4.. e e e e yz dydz e yz [l ]e dydz e z [l y ]e dz [l z ] e. 4. Lassuperficieszyz4 y seitersecae 4 y,esdecir, +y 4, co. Porlotato,elvolumeV R delaregiórestádadopor V R y 4 y 4 z4 y z dzdy. 7

108 5. Lassuperficieszy+ y +z seitersecae+y,,y,esdecir, y, co. Porlotato,elvolumeV R delaregiórestádadopor V R y y z y z dzdy. 6. Las superficies z +y y z y se iterseca e +y, es decir, y±, co. Porlotato,elvolumeV R delaregiórestádadopor / y ( )/ z y V R / dzdy. y ( )/ z +y 8

109 CÁLCULO III TAREA SUCESIONES - SOLUCIONES (Temas 4.-4.). (a) a! Setratadelasucesió,!,!, 4!, 5!,...,, 6, 4,,... (b) a +( ). Setratadelasucesió,,,,,... (c) a +. Setratadelasucesió,,,,,... (d) a. Setratadelasucesió, 4, 9, 6, 4 5,.... (a) a + (+)a, a. Como a! a (+)a a! a (+)a a! a 4 (+)a 4a 4 4! a 5 (4+)a 4 5a !, etc... porlotatosetratadelasucesió!,!,!,4!,5!,...,,6,4,,... (b) a + a + a, a, a. Como a a a a ( ) a a 4 a ( /) a ( ) a 5 a 4 a (/) ( /), etc... porlotatosetratadelasucesió,,,,,.... (a),,,,,... Uaposiblerespuestaesa ( ) +,. (b),,,,... Uaposiblerespuestaesa ( ),. 9

110 (c), 4, 9, 6, 5,... Uaposiblerespuestaesa ( ) +,. (d),,,,,,... Uaposiblerespuestaesa 4,. (e),,5, 7,9,,... Uaposiblerespuestaesa ( ) + ( ),. 4. (a) a l(e ). (b) a se. Usaremos el teorema del sádwich: a [l(e ) ] [l+le ] [l+ ] l. se se se se. Por lo tato, a se. + (c) a (( ) +). Aquí o se cumple las hipótesis del teorema del sádwich. La sucesió o tiee ulímite,yaque k+ k par a k + a k k k k k impar a k a k. k Por lo tato, a oeiste {a } diverge.

111 (d) a ( ). + Podemos utilizar el teorema del valor absoluto: Como a + porlotato + a ( ). + Nota que e este ejemplo tambié puede utilizarse el teorema del sádwich. (e) a ( ). + Aquí o podemos utilizar el teorema del valor absoluto, ya que a. Tampoco se cumple las hipótesis del teorema del sádwich. Lasucesióotieeulímite,yaque k par a k k k + + k k impar a k k k + Por lo tato, (f) a. + k a oeiste {a } diverge., k a k k a k. a L l L (l) 6 {a } diverge. (g) a l l(l). L (l) 6. a l l(l) (/) / l (l). (h) a l(+e ). a l(+e ) L l(+e ) l +e l.

112 (i) a (j) a e e a a e e 8 e () L L. e (k) a l l(+). a [l l(+)] l + L l l l. + (l) a l( ). (m) a. a l( ) l a l. lím. frecuete. lím. frecuetes () a ( 4).! (o) a /. a ( 4).! lím. frecuete / a / / / / lím. frecuetes.

113 (p) a. (q) a l. (r) a a + ( ) e. a l. + a + (s) a (+4) /(+4). l lím. frecuete + lím. frecuete l le /. + e. lím. frecuete a (+4) /(+4) e l(+4)/(+4) e l(+4) +4 e L /(+4) e. Tambié puedes itetar el cambio de variable demodoque m+4, a (+4) /(+4) m m/m. (porlímitesfrecuetes) (t) a ( cos(/)). cos(/) a ( cos(/)) / se(/)se. (u) a /. a / / l l. lím. frecuete / (/) L L ( / ) se(/) ( / ) / (l)( / ) ( / )

114 (v) a /. (w) a ()! ( )!. a / m m cambio de variable: m/ lím. frecuete m e. a 4 ()! ( )! 4. ()( )[( )!] [( )!] 4 4

115 CÁLCULO III TAREA - SOLUCIONES SERIES (Temas ). (a)!! e (e ) esuaseriegeométrica,core. Como <e <,la seriecoverge. Elvalordelasumaes e e e e. (b) (c) (d) (e)! oesuaseriegeométrica(labasedepedede).! / oesuaseriegeométrica(lapoteciaoesetera).!! / esuaseriegeométrica,cor. Como >,laserie diverge.! ( ) (l)! ( l) es ua serie geométrica, co r l. Como r <,laseriecoverge. Elvalordelasumaes ( l) ( l) +l. (f) (g) (h). (a)! (l)! esuaseriegeométrica,cor l l. Comor>, la serie diverge.!! / o es ua serie geométrica (la base depede de y la / potecia es costate).! r! oesuaseriegeométrica(lesobra!eeldeomiador)

116 (b) ( ) + 5 ( 6) ( ) ( ) (5) ( 6)( 6) ( ) (5) ( 6) (c) ( ) + ( 6) ( ) 4 ( ) ( 6) ( 6)( )4 ( ) 9 4. (d) ( ) + 8 ( ) + 8 ( ) ( ) ( ) ( ) (e) ce r +ce r +ce r +ce 4r + ce r +e r +e r +e r + ce r +e r + e r + e r + ce r e e r, r>. r ce r (f) (g) r( r) r ( r) r ( r), <r<. (+g) D (+r) + D +r +g D +r +r +g +r D r g, <g<r. 6

117 (h) (+r) k (+r) γ k k (+r) k γ k k γ(+r) k γ +r γ(+r), <γ<+r, r> +r γ γ k (+r) γ γ k k (+r) k k (+r) k k γ(+r) γ +r. (a) (b)! ( )! ( ),demodoquer. Laseriecovergesólosi <,esdecir,si <<.Eesecaso, ( ) ( ) ( ) +, <<.!!,demodoquer. La serie coverge sólo si <,esdecir,si< o>.eesecaso,, < o >. (c) (d)!! e e,demodoquere. i)si,etocesr,demodoquelaseriediverge. ii) Si, etoces <r <, de modo quela serie coverge. El valorde la suma es e e e e e,.! (l),demodoquerl. Laseriecovergesólosi l <,esdecir,sie <<e. Eesecaso, (l) l, e <<e. 4. Sea r <.Deacuerdocoelresultado7cdelatarea, (a+kd)r k a ( r ) r k 7 + rd[ r +( )r ] ( r).

118 Como r <,eellímitek sesatisface De esta maera, r r L r ( r lr) (a+kd)r k (a+kd)r k k k a ( r ) + rd[ r +( )r ] r ( r) a r ( r a r + rd ( r). )+ rd ( r) ( r r lr. + ( )r ) 5. (a) Sea S + k k + S k k S k. Como (b) Sea S k k! + +, k+ porlotato De esta maera, S k k k S S k. k k k+ e e k. + k e e S k k S k. k+ 8

119 Como S k k! (e e ) (e e )+(e e )+...+ e k e k + e k e k e +e k, porlotato S S k e +e k e. k k De esta maera, e e e. 6. (a) (b) (c) (d) 7. (a)!!!! diverge,yaque / / ( / )( / ) / /. ( )! ( ) diverge, ya que ( ) oeiste(haydosputosdeacumulació, y ). diverge,yaque e. cos(π)diverge,yaqueoeiste cos(π).! (l). a (l) l - l a l a <! (l) coverge. l 9

120 (b) (c) (d)! e. a e e a e e a e /! e coverge.!!. a!, a + (+)! + a + (+)! a +! / e < (+)!! a + a (+)!! diverge.! +. + a + + (+)!! (+) (e) - a + a + lapruebaoescocluyete. Utilizamos la prueba del ésimo térmio: a + e! + diverge.!. a a / a L! coverge. l <

121 (f) (g) (h) (i)! (l). a (l) a (l) / l / a! (l) coverge.!. a, a + a + a l / + (+) + + (+) + (+) a + a (+)! diverge.! (+)!!!. a (+)!!! L > < l a + ((+)+)!! (+)! (+4)! +! (+)! + a + (+4)!!! a! (+)! + (+)! (+4)!! (+)! (+)! (+4) (+)!! (+)! (+)! (+4) (+) a + a!!!. (+)!!! coverge < a!, a + (+)+ (+)! a + (+)+! (+) (+)! a (+)! (+)! a + + a + (+) + e>

122 (j) 8. (a)! diverge.!!! (+)!.! a (+)! (+)! a + ((+)+)! (+)! (+)! a + (+)! (+)! a (+)!! a + a (+) (+)!! coverge. (+)!!. Sabemos que b b + (+)! (+)! (+) (+) (+)!! < (+) (+) b b l b b l + l l. coverge coverge. (b) Esteresultadoestablecequelaseriedadacoverge,peroodiceaquévalor. De! hecho,esfácilmostrarque (laserieestipogeométrica,cor/). Observaque!! +. Sabemos que. + b b + b [l + ]b b (l(b+) l). + + diverge diverge.

123 (c)! (l). Sabemos que (l) b b (l) b b l l. coverge (l) (l) coverge. (d)! ( +). Sabemos que b ( +) b b. ( +) b + ( +) coverge ( +) coverge. 9. (a) (b)! +. Como + <, porlotato!! < +.! Sabemos que coverge(tipogeométrica,co r/).! Porlotato coverge. +! +. Sabemos que + + >. Como + >, porlotato! + >!.! Sabemos que diverge(seriearmóica,oserie-pcop).! Porlotato + diverge.

124 (c) (d) (e) (f)! + 5/. Sabemos que Como + 5/ + 5/ / < + 5/ < /, porlotato! Sabemosque! Porlotato! /. + 5/ <! coverge(serie-pcop/). / + coverge. 5/!. Sabemos que <. Como <, porlotato! <!! Sabemos que Porlotato!. /. coverge(geométrica,co r/). coverge.!. + Sabemos que <. +!! Como <, porlotato < + +! Sabemos que coverge(tipogeométrica,co r/).! Porlotato coverge. +! l(l). Sabemosque l(l)<l<, para. Como l(l) >, porlotato! l(l) >!.! Sabemos que diverge(tipoarmóica,oserie-pcop).! Porlotato l(l) diverge.. 4

125 . (a)!. Sea a, b. Sabemos que!! b geométrica,cor/)yque a b L l l. coverge (tipo (b)! coverge.! + (+)(+). + Seaa (+)(+), b. Sabemos que!! b (serie-p,cop>)yque coverge a b (+) (+)(+) L. (c)! + (+)(+) coverge.!. l Seaa, b l.sabemosque! oserie-pcop)yque b! diverge (tipoarmóica, a b l l L /( ) /. (d)!! (l). l diverge. Seaa (l), b!!.sabemosque b p>)yque coverge (serie-pco a (l) b L (l)(/) l.! (l) coverge. 5

126 . (a) !!! 5 ( ) 5 ( ) 5. coverge(geométricacor/5<). coverge,yaque!! ( 5) covergeabsolutamete. (b) ! (c) (d) (e)!! ( )+!!! coverge. 5 ( ) +. diverge(serie-pcop/ ). ( ) + coverge(seriealterate,a,a + <a, a ). ( ) + covergecodicioalmete. ( ) + l.!!!! l diverge (yaque! l >! y! diverge). ( ) + l coverge(seriealterate,a l,a +<a, a ). ( ) + l covergecodicioalmete. ( ) +. Prueba del -ésimo térmio: ( ) (haydosputosdeacumulació, y ). +! ( ) + diverge.! l ( ). l! l! l! coverge(tipogeométricacor/<). l l! l ( )! coverge,yaque l coverge. l l 6

127 ! l ( ) covergeabsolutamete. l (f). (a) (b) (c) (d)! ( ) + +5.!!!! coverge(pruebadelcociete: a + a 5 <). ( ) + +5 coverge,yaque! ( ) + +5 covergeabsolutamete. Prueba del -ésimo térmio: L +.! + diverge.!.!!!! +cos. coverge coverge. / serie-pcop/>. Prueba de la comparació directa:! +cos! <! y coverge(seriepcop>).! +cos coverge.! e π.!! e π (e π ) seriegeométricacore π <.! e π coverge. 7

128 (e) (f) (g) (h)!!. Prueba del cociete:! a + a! coverge. + + e <.!.!! seriegeométricacor>.! diverge.! /.!! /! / diverge.! l. Prueba de la itegral: l b b serie-pcop/. l b (l) b diverge! l diverge. Tambié puede utilizarse la prueba de la comparació directa:! l >! y! diverge(tipoarmóica).! l diverge. (i)! l. Prueba del -ésimo térmio:! l L l diverge.. 8

129 (j) (k) (l). (a)!. Prueba de la raíz -ésima:!! a coverge. ( ) + l. <. Seriealterate: a l,a +<a, a.! ( ) + l coverge.! e Prueba de la itegral: b b e coverge. b e b e! e coverge.! +.! a + a + (+)+ (+)+ (+)+ + a + (+)+ (+) (+)(+) a (+) (+) a + a (+)(+) (+) ++ + a + ++ a < + <<.! () E: +! diverge(prueba del -ésimo térmio). +! ( ) E : +! ( ) diverge(prueba del -ésimo térmio). + Laseriecovergeeelitervalo <<yelradioes R. 9

130 (b) (c)! (+). 5! (+) + + (+) + (+) + 4(+) a (+) 5 a + (+)(+)+ 5 + a + (+)(+)+ 5 a 5 + (+) (+)(+) 5 a + a (+)(+) a + a < + <5 8<<.! ( 5)! E 8: ( ) diverge 5! (5)! E: diverge 5 Laseriecovergeeelitervalo 8<<yelradioes R5.! ( ).! ( ) ( ) + ( ) + ( ) +... a ( ) a + ( )+ + + a + ( )+ a + +( ) ( ) + a + a ( ) + + a + a + + < <<.! ( ) E :! ( )!! () E:! diverge(serie-pcop/<). Laseriecovergeeelitervalo < yelradioesr. < ( ) coverge(seriealterate).

131 (d) (e) (f)! ( ) + (+).! ( ) + (+) a ( )+ (+) ( ) + (+) a + a + a + + <! E 4: (+) (+) + (+) (+) / 4<<. + / ( ) + ( )! / + diverge(armóica). <.! E: ( ) + ()! ( ) + coverge(armóicaalterate). Laseriecovergeeelitervalo 4< yelradioes R.!.!! ++ () + () + ()4 +...!!! 4! a! a (+)! a + + +! a (+)!! (+)! + a + a + + a + a + < Laseriecovergee <<yelradioesr.!.! a a

132 a a,,. Laseriesólocovergee yelradioesr. 4. LaseriedeTaylorgeeradaporf()alrededorde estádadapor f () ( ) ( ) f( )+f ( )( )+! f ( )( ) +! f ( )( ) +... yelcorrespodietepoliomiodetaylordeorde eslafució (a) f()e,. P ()f( )+f ( )( )+ f ( )( ). f()e f() f () e f () f ()4e f ()4 f () 8e f () 8.. f () ()( ) e f () ()( ). Deestemodo,laseriedeTaylorgeeradaporf alrededorde es f () () ( ) ( ) + () () + ()4...!!!!! 4! ElpoliomiodeTaylordeorde es: (b) f()e,. f()e f ()e f( )e f ( )e.. f () ()e f () ( )e. P () +. Deestemodo,laseriedeTaylorgeeradaporf alrededorde es f () ( )( ( )) e (+) e (+)!!! e +(+)+ (+) + (+) +....!! ElpoliomiodeTaylordeorde es: P ()e +(+)+ (+).