Družina analiz variance. Analiza variance. Analiza variance. Analiza podatkov pri eno- in večfaktorskih raziskovalnih načrtih

Transcript

1 Družin nliz vrinc nliz podtkov pri no- in včfktorskih rziskovlnih nčrtih n Podlsk Doktorski študi Humnistik in družboslov, psihološk smri, Rziskovln mtodologi v psihologii nliz vrinc Enosmrn Tstirmo hipotz o nkosti M OV pri rzličnih vricih fktor vpliv NV n OV Včsmrn M M 11 M 1 intrkci glvni učinki fktorv intrkci fktorv nliz kovrinc M 1 M glvni učinki in intrkci ktgorilnih NV ob sočsni kontroli učinkov zvznih NV Multivritn nliz vrinc glvni in intrkciski učink NV n vč OV hkrti Linrni mšni modli glvni in intrkciski učink NV n OV, pri čmr so podtki gnzdni M 1 M nliz vrinc Nponovln vs. ponovln mritv Nčrti z nponovlnimi mritvmi (npr. nčrt z vč rndomizirnimi skupinmi, vsk skupin sodlu l v nm ksprimntlnm pogou) Nčrti z no skupino osb Vmsn rzličic mšni nčrti nliz vrinc Znčilnosti NOVE: Intrvln OV Nominln NV (in intrvlni kovriti pri NCOVI) Mritv v vč pogoih = vzorčn iz vč populci H : ni rzlik md nihovimi m Ocn vrinc X X N 1 vsot kvdrtov () Enosmrn nliz vrinc z nponovln mritv 1

2 Rzstvln odklon posmzng rzultt: X i - M tot = (X i - M i ) + (M i - M tot ) M 1 = 4 M = 1 M T = X i - M tot M i - M tot X i - M i trukturni modl Rzstvln odklon posmzng rzultt: X i - M tot = (X i - M i ) + (M i - M tot ) μ α ε i totln srdin učink NV i npk Vzroki: učink NV, npk mrn, npk v kontroli (vplivi zunnih sprmnlivk), individuln rzlik. Rzstvln vsot kvdrtov odklonov (): totl = znotr skupin + md skupinmi / = ocn vrinc F rzmr = rzmr dvh vrinc: vrinc md skupinmi in vrinc znotr skupin Vrinco lhko rzstvimo n dv dl: zn održ l slučno vribilnost (= vrinc npk) E( ) / E( ) n md tmli n rzpršitvi M in održ slučno vribilnost in, č H npčn, tudi učink NV. Č md pommbno vč od zn, zklučimo, d vribilnost md skupinmi prvlik, d bi o povzročl l slučn vribilnost, tor zvrnmo H. F md znotr F blizu 1, kž, d so rzlik md skupinmi l posldic nklučn vrici. Vči kot F, mn vrtno, d H prviln. M T = znotr-1 = 1(-4) + (-4) + (4-4) + (-4) + 1(-4) =1 znotr- = 1(-1) + (-1) + (1-1) + (11-1) + 1(1-1) =1 md = (4-) + (1-) = = 1 znotr = N - = 1 - = 1 md = - 1 = - 1 = 1 znotr = znotr / znotr = 4 / 1 = 1. md = md / md = 1 / 1 = 1 F = 1 / 1. = 1 F. (1, 1) = 4.4

3 Ocn pommbnosti NV umrn tbl nliz vrinc Izvor vribilnosti F p NV 1 1 1, 1, <.1 npk 4 1 1, skup 1 1 Tko li vč F-rzmr bi, č bi vzorčili iz populci, v ktri drži H, nšli v mn kot,1 % vzorcv. rdin skupin s sttistično pommbno rzlikuo, kr pomni, d NV (nvrtn) vpliv n OV. F(1, 1) = 1,, p <.1 Ocn komponnt vrinc E( E( ) n / ) m mtot 1 1 ˆ n... vrinc srdin skupin /... vrinc populci, iz ktr bilo vzorcnih n podtkov Mr vlikosti učink Č ničln hipotz prviln, lhko / po sluču vč od in bo ocn vrinc srdin ngtivn ( ). Ocn pommbnosti NV Ocn dlžv vrinc M T = M 1 = 4 M = 1 n = = znotr = N - = 1 - = 1 md = - 1 = - 1 = 1 znotr = 1. md = 1 F = 1 / 1. = 1 E( / E( ) n 1 ) 1, m mtot 1 1 ˆ n / , 1, F. (1, 1) = 4.4 ˆ bsolutn vlikost vrinc 1 Rltivn vlikost (oz. dlž) vrinc učink = vlikost gld n drug vir vribilnosti = Hysov w li koficint dtrminci ω ωˆ ωˆ 1 m m tot 1 / n 1 / / n 1 F 1, pričmr F 1 F 1 n / Mr vlikosti učink = pov, kolikšn dlž vrinc posnu NV... ni čist vrinc α (M ) 1 ˆ... ˆ 1 ˆ 1 / n / Moč F tst M T = M 1 = 4 M = 1 n = = znotr = N - = 1 - = 1 md = - 1 = - 1 = 1 znotr = 1. md = 1 F = 1 / 1. = 1 F. (1, 1) = 4.4 E( / ) 1, E( ) n 1 1 ˆ 1, ˆ 1 ˆ 1 1,, ω,,1 1 / 1 1 1, ωˆ n, 1 / 1 1 1, / 1, n 1 F 1 11 ωˆ, 1 F 1 n 11 Nvdno žlimo zvrniti ničlno hipotzo. Č učinki obsto, mor imti tst zdovolivo moč, d ih odkri. Moč tst odvisn od: rvni lf npk v štvcu in imnovlcu F-rzmr (od in n) vlikosti vrinc npk / vlikosti učinkov NV ˆ n indks moči s pomočo tbl oz. rč. progrmov odčitmo moč tst (1-b) pri tm indksu, določni rvni in določnih 1 in

4 Prdpostvk NOVE M T = M 1 = 4 M = 1 n = = znotr = N - = 1 - = 1 md = - 1 = - 1 = 1 znotr = 1. md = 1 F = 1 / 1. = 1 F. (1, 1) = 4.4 E( / ) 1, E( ) n 1 1 ˆ 1, ˆ 1 ˆ 1 1,, ω,,1 1 / 1 1 1, ωˆ n, 1 / 1 1 1, / 1, n 1 F 1 11 ωˆ, 1 F 1 n 11 n,, 1, 1-b >, Npk (ε i v strukturnm modlu) so nodvisn, nkorlirn Porzdlitv npk ε i normln (v vskm pogou) pommbno pri mhnih vzorcih pogosto kršno pri diskrtnih sprmnlivkh F-tst prc robustn, nobčutliv n kršitv t prdpostvk, rzn v primrih kstrmn s li pl Homognost vrinc Prdpostvk NOVE Homognost vrinc = Porzdlitv npk im nko vrinco pri vsh rvnh NV V imnovlcu F rzmr skupn vrinc npk, ki thtn znotrskupinsk vrinc. Č s vrinc skupin zlo rzlikuo, tk skupn mr slb ocn vrinc npk. Vrtnost npk nvdno vč, kot o kž F tst. Problm prdvsm pri nnkih skupinh (ž rzmr :1 lhko kritično; priporočno, n bo rzmr mnš od 4:1), prdvsm č vč vrinc znčiln z mnšo skupino. Prvrmo o z Lvnovim tstom Rčun NOVO n bsolutnih odklonih od M. ttistično pommbn rzultt pov, d vrinc niso homogn. Ni občutliv n odstopn od N. D. Prgld grfov prd vs. Lvl Plot Box-Plot Prdpostvk NOVE Vrtnost nnormln porzdlitv in htrognosti vrinc rst: z nižnm N z včnm rznolikosti vlikosti rzličnih skupin z včnm štvil fktorv N sm biti osmlcv, s ti povčo vrinco npk in povčo vrtnost b npk. Ršitv v primru kršn prdpostvk v poprvkih stopn svobod Wlchov t tst korkci ( s zmnšo) bolši pri visokm rzmru vrinc rzličnih skupin, pri n vs 1 in N.D., kdr st vzorc rzlično vlik in vrinci nhomogni obično vč moč npihnn lf pri simtričnih porzdlitvh Brown-Forsythov F tst robustn tst, vč moč v primru, ko so vs srdin rzn n nk in im vzorc z izstopočo srdino tudi vliko vrinco primrn ob nnkih skupinh, htrognih vrinch in simtrični porzdlitvi odklonov rzulttov od M (kdr ni N. D.) primrliv pri vzorcih z n < Z WL (wightd lst squrs) utžmi osb rzlično obtžimo, d bi zmnšli htroscdstičnost Ršitv v primru kršn prdpostvk v trnsformcii podtkov simtričn porzdlitv približmo normlnim Zmnšmo htrognost vrinc Trnsformci: rc sin (sqrt( i )), log, potnc lik log / log M ; trnsf = 1-ngib ; č ngib funkci nk 1 log Trnsformci v primru simtričnosti porzdlitv podtkov povčo moč, vndr tstiro ničlno hipotzo n drugčni lstvici tžv pri intrprtcii rzulttov 4

5 Primrv (kontrsti) srdin priori in post hoc nliz NOV omnibus tst tstir pommbnost rzlik md vč srdinmi, nm n pov nič o tm, k ntnčno rzlik obsto. Posmzn rzlik opzumo s posbnimi tsti. Vč tstov kot nrdimo, vč vrtnost npk. Vrtnost, d bomo odkrili (vs (no)) pommbno rzliko, s štvilom nliz nršč. Zrdi multiplih primrv mormo imti pri tstirnu stroži kritri. Kontrol npk Rvn npk pri posmznm kontrstu (EC) kupn rvn npk pri družini kontrstov (FWER fmilywis rror rt) Npr., č EC z vskg od nodvisnih tstov,, FWER,. Č so tsti odvisni, FWER mnš. Vč kot tstov, vč FWER. FWER nvdno vžmo n posmzni vir vribilnosti v nm poskusu. Pri posmznmtstu: pni α npk 1 EC Pri skupini tstov: FWER pα npk vsprinm kontrstu 1 pni α npkprinobnm v druzini kontrstov 1 1 EC K Kontrsti v nofktorskm nčrtu z nponovln mritv Kontrsti: (prn) primrv in drug linrn kombinci povprči Ortogonlni in nortogonlni kontrsti Kontrst st ortogonln (= ditivn), č nun utži niso korlirn Npr. <1, -1,, > in <-1/, -1/, ½, ½> w pwq n 1 (1) 1 ( 1) () 1 () 1 H : 1 μ 1μ μ μ 1 K1 K K H : μ μk μk μ K4 K1 H μk1 μk μk μ : K4 ψ 1 w μ w H 1 : Linrn kombinci ni nk. K4 ttistik t: primrv linrn kombinci z štvc: obtžn povprč imnovlc: obtžn stndrdn npk Tstirn kontrstov t sttistiko ψˆ t σˆ ψˆ w μ / F sttistiko prko kontrst ψˆ w μ w n w n K1 K K K4 M, 4,,4, Vir vribilnosti F,4, 1,, /,, 1, H 1 H : : t t M K1 M K, 4, / 1, / M K1 1 1 M K 1 1 M K 1 1 M K4 1 1,, 1 1, 1 4, 1 1,4 1 1 (1), ( 1/) 4, ( 1/),4 ( 1/), : ˆ 4, H ψ F 4, ˆψ t, 4, ( ) 1 /, 1 1 4, Nčrtovni ( priori) kontrsti Nčrtumo ih, prdn immo vpogld v podtk. Štvilo tstirnih kontrstov tmli n torii. Č rčunmo l n kontrst, vrtnost npk (EC) ustrzn in lhko uporbimo t-tst. Pri vč kontrstih mormo poskrbti, d FWER ni prvlik. FWER 1-(1-EC) K 1-(1-K(EC)) Bonfrroniv nnkost FWER vsot vsh EC

6 Nčrtovni ( priori) kontrsti Bonfrroniv poprvk t sttistik (oz. Dunnov postopk) EC = FWER / K. ttistiko t z vsk kontrst prvrmo pri EC. Tmli n Bonfrronivi nnkosti Č bomo vsk kontrst tstirli pri EC = FWER / K, vrtnost npk z clotno družino kontrstov n bo prsgl FWER. T nčb ustrzn pri ortogonlnih kontrstih. FWER lhko rzdlimo tudi n nnk dl (posmznmu kontrstu lhko dovolimo višo kot drugim), vndr mormo dl nčrtovti vnpr. Nizk moč pri vlikm štvilu primrv: dopuščn EC zlo mhn. idkov tst (Dunn-idk) 1/ K prv tko uporbl t-tst, H zvrn, č p 1 1 FWER Im nkoliko včo moč kot Bonfrroniv poprvk Dunntov tst z primrvo ksprimntlnih in kontroln skupin Prdvidvmo nortogonlnost kontrstov (npr. K(-1), E1(+1); K(-1), E(+1)). Kritri tor lhko nkoliko blži kot pri Bonfrronivm poprvku. Nčrtovni ( priori) kontrsti V P/PW: Dvition: M z vsko rvn NV primrmo z M tot. Rfrnčn ktgori: prv li zdn skupin. impl: Vsko rvn NV primrmo z rfrnčno rvno. Diffrnc: Vsko rvn NV (rzn prv v vrsti) primrmo s povprčm vsh pršnih rvni (= ortogonlni kontrsti). Hlmrt: Vsko rvn NV (rzn zdn v vrsti) primrmo s povprčm vsh ndlnih rvni (= ortogonlni kontrsti). Rptd: Vsko rvn (rzn zdn v vrsti) primrmo z nsldno rvno. Polynomil: Tstirmo, ktr rvn polinom (linrn, kvdrtni, kubični odnos) zdovolivo posni odnos md M rzličnih rvni NV. Post hoc kontrsti Izvdmo ih šl, ko ž izvmo z rzultt NOVE. Č F določn NV pommbn, izvdmo rzličn post hoc tst. ksplortorn pristop Dnsk vrtnost npk zto vč od prdvidn. Kritri tstirn mor biti zto strog. Z vsko primrvo izrčunmo t, potm doblno vrdnost primrmo s strožim kritrim kot pri običnm t-tstu li priori kontrstih. Post hoc kontrsti Fishrv LD (lst significnt diffrnc) tst Izvmo g smo, č NOV dl sttistično pommbn F. Nrdimo vs možn prn primrv srdin. FWER n kontrolirmo. Post hoc kontrsti Tukyv (HD) postopk (Tuky s honstly significnt diffrnc tst) Z prvrn prnih kontrstov md srdinmi Nrdimo vs možn prn primrv. Z vsko primrvo izrčunmo t (q) in g primrmo s kritično t vrdnosto. Rzlik md srdinm n dlimo s E M1-M kot pri t-tstu, pč p s E M. H : M izh iz ist populci kot M 1. Č nbol kstrmni rzliki n dst sttistično pommbng q, zklučimo, d so vs srdin homogn. Vč skupin kot immo, vč mor biti prn rzlik md srdinmi, d bo pommbn. Postopk mn konzrvtivn od chffvg in tudi od Bonfrronivg poprvk (pri vč kot trh primrvh); klub tmu dobro kontrolir npko. Pri rzlično vlikih vzorcih konzrvtivn. ltrntiv: Tuky-Krmrv tst, Tukyv b tst (Tuky s wholly significnt diffrnc tst) Pri nhomognih vrinch poprvimo stopn svobod. M1 M q / n q (, ) t FWER krit q FWER / Post hoc kontrsti chffév tst Izvmo g, č F v NOVI sttistično pommbn. Z vs možn prn primrv izrčunmo t in g primrmo s. Oz., z vsko primrvo izrčunmo F in g primrmo s F, ki š vči od F iz NOVE; F = (-1)F. Tudi z prvrn ktrgkoli post hoc kontrst zlo konzrvtivn tst, odsvtovn z posmzn primrv; l kdr dlmo ogromno štvilo primrv, prdvsm linrnih kombinci srdin rzličnih skupin f F f,, FWER f 1 F (, ),,

7 Post hoc kontrsti kvnčni tsti: rzlik urdimo po vlikosti; č nvč rzlik sttistično pommbn, mor nsldn v vrsti prsči niži kritri; potm ko pridmo do npommbn rzlik, mnših n tstirmo vč Nwmn-Kulsov postopk, Duncnov tst (mn uporbln) Rynovi tsti, npr. R-E-G-W Q: im dobro moč, tudi dobro kontrolo npk; g priporoč vč vtorv Č st vzorc rzlično vlik: Gbrilov postopk ( postn pri kstrmnih rzlikh v n prvč librln) Post hoc kontrsti Tsti, primrni z htrogn vrinc pri nosmrni NOVI: Hochbrgov GT postopk rzn č s n zlo rzlikuo Tmhnov T tst Konzrvtivn Uporbn pri nnkih n Gms-Howllov postopk Uporbn pri nnkih n, l, č n > Mlo bol konzrvtivn od Tmhnovg T tst Nbol priporočn Uporbimo g ob drugih postopkih, d prvrimo, koliko s rzultti rzličnih postopkov rzlikuo Dunntov T tst in Dunnttov C tst Imt striktno kontrolo nd FWER Fktorski rziskovlni nčrt Včfktorski rziskovlni nčrt Fktorski nčrti: nčrti, kr so n vsh fktorih mritv nponovln, nčrti, kr so n vsh fktorih mritv ponovln, mšni nčrti. Primr: (smr gibn trč - ponovln mritv) x (hitrost gibn trč - ponovln mritv) x (polož nmig - ponovln mritv) = ksprimntlnih pogov, vs osb sodluo v vsh pogoih Dskriptivn nliz Dskriptivn nliz TBEL z: ritmtičnimi srdinmi stndrdnimi dvicimi z vsk pogo robn sttistik z rvni posmzng fktor (združno prko vsh vrici drugih fktorv) 1 Tot B1 B M 11 D 11 M 1 D 1 M 1 D 1 M D M B1 D B1 M B D B Tot M 1 D 1 M D Mtot D tot GRFIČNI PRIKZ Pokž glvni učink in intrkcio (ordinlno, disordinlno). intrkci učink NV1 n rzličnih rvnh NV rzličn (Intrkci korlci md NV1 in NV. NV n bi bil md sbo nkorlirn, sicr s nihovi učinki prkrivo.) OV 1 4 NV-d NV- NV-f B C D NV1

8 K intrkci? K intrkci? zmnšn bolčin 11 1 mlši strši zmnšn bolčin 11 1 mlši strši B C plcbo B C plcbo zdrvilo zdrvilo K intrkci? K intrkci? zmnšn bolčin 11 1 mlši strši zmnšn bolčin 11 1 mlši strši B C plcbo zdrvilo B C plcbo zdrvilo K intrkci? K intrkci? zmnšn bolčin mlši strši zmnšn bolčin mlši strši B C plcbo zdrvilo B C plcbo zdrvilo

9 Zklučvn Kko pommbni so učinki NV? Odklon posmzng rzultt povzročo: glvni učinki vsh fktorv, intrkci md fktori, npk mrn (pri nponovlnih mritvh tudi rzlik md posmzniki) Zklučvn Primr rzstvln vrinc pri dvofktorskm nčrtu z nponovlnimi mrni: totl = + B + B + npk N podlgi izrčunmo, t dlimo z in tko pridmo do F rzmr, ki kž pommbnost pručvng vpliv. skupno vsm nlizm vrinc Rzlik md tipi nliz so v vrsti npk. Dvosmrn NOV z nponovln mritv Oznk v nčbh i vrici sprmnlivk vrici sprmnlivk B k podtk v skupini n štvilo podtkov v skupini štvilo vrici sprmnlivk b štvilo vrici sprmnlivk B Rzstvln odklon vskg podtk od skupng povprč vsh podtkov ik i ( ik ( i.. i. ) ( i....) (..... )...) ( i. i ) zdrvilo 1 zdrvilo zdrvilo zmnšn bolčin 1 4 B1 B bolzn B1 1 1 bolzn B 4 bolzn B1 bolzn B skup zdrvilo 1 M 4,, 4, D 1, 1, 1, zdrvilo M, 4,, D 1,4 1, 1, zdrvilo M, 4,, D 1,,, skup M, 4, 4, D, 1,,4 Vsot kvdrtov odklonov totl totl B B nb n n npk i i i k ( ( i.... ( i k B ( i. ik )... )... ( ik i.. B )..... ) i. npk )... topn prostosti totl B B bn 1 1 b 1 ( 1)( b 1) npk b( n 1) zdrvilo

10 rdni kvdrti odklonov B B npk B B B B npk npk F F F F rzmr B B npk B npk B npk Povztk nliz vrinc Izvor vribilnosti F p zdrvilo,44 11,,,1 bolzn 4, 1 4, 1,, zdrvilo bolzn 4, 1,1,, npk 4, 1 4,11 skup 11,1 1 Intrprtci rzulttov Npr intrprtirmo intrkcio. Č učink pri rzličnih rvnh B rvno obrtn, s lhko (nvidzno) izniči. Glvni učink ni pommbn, p pommbn intrkci. nliz rzidulov Rzlg kstrmnih primrov s trtimi sprmnlivkmi Diskutbilno: Ktro rvn npk izbrti z odločn o sttistični pommbnosti učinkov? Toothkr (po Grson, ) prvi, d bi morl npk, vlti z clotn ksprimnt (xprimntwis rror rt). V dvosmrni NOVI bi tor morli kot mo postviti =, /. Trismrn NOV z nponovln mritv Oznk v nčbh i vrici sprmnlivk ; vrici sprmnlivk B; k vrici sprmnlivk C; m podtk v skupini n štvilo podtkov v skupini štvilo vrici sprmnlivk b štvilo vrici sprmnlivk B c štvilo vrici sprmnlivk C Rzstvln odklon vskg podtk od skupng povprč vsh podtkov ikm ik.... ( i......) (. ( i... (. k. ikm ik. ) ( ik. i..... k....) ( ik......)...) (.. k. i ) (.. i.... k. i... k. i ) (. k. i. k....)..... k....) Vsot kvdrtov odklonov totl B C B BC C BC npk B nc i totl ( ikm...) i k m nbc i B nc C nb i C nb k BC n BC n i k ( i......) (......) (.. k....) k k ( i.. i ) (. k k....) ( i. k. i..... k....) npk ( ikm ik. ) i k m ( ik. i k. i... k. i. k....) topn prostosti totl bcn 1 1 B b 1 C c 1 B ( 1)( b 1) BC ( b 1)( c 1) C ( 1)( c 1) BC ( 1)( b 1)( c 1) npk bc( n 1) 1

11 rdni kvdrti odklonov B B B C C C B B B BC BC BC C C C BC BC BC npk npk npk F rzmr X FX npk X..., B, C, B, C, BC, BC Primr Tbl 1 Ocn zmnšn bolčin po prmu določng zdrvil pri rzlično strih bolnikih z rzličnimi bolznimi bolzn B1 bolzn B strost strost strost strost C1 C C1 C zdrvilo zdrvilo zdrvilo Tbl Povprčn ocn in rzpršnost ocn zmnšn bolčin v posmzni skupini bolnikov bolzn B1 bolzn B strost strost strost strost C1 C C1 C skup zdrvilo 1 M, 1,, 1,, D,, 1, 1,, zdrvilo M, 1,, 1,, D 1,, 1,, 4, zdrvilo M, 1, 4, 1,, D 1,,,, 4, skup M, 11,, 1,, D,4,4 1,4,1 4, 14 zmnšn bolcin 1, 1,,,,,,, 1 zmnšn bolcin ,, B1 v rst bolzni lik 1. Dvosmrn intrkci md vrsto zdrvil in vrsto bolzni. Vpliv sprmnlivk C»znmrimo«. B B1 strost C1 B B1 strost C lik. Učinkovn zdrvil n zmnšn bolčin pri rzličnih skupinh bolnikov. liki prikzut trosmrno intrkcio md vrsto zdrvil (sprmnlivko ), vrsto bolzni (sprmnlivko B) in strosto (sprmnlivk C). B N sliki opzimo dokšno podobnost vzorcv, tor trismrn intrkci nvrtn ni sttistično pommbn. Ugotovitvi potruo rzultti nliz vrinc (gl tblo 4). Tbl 4 Povztk nliz vrinc ocn zmnšn bolčin Izvor vribilnosti F p zdrvilo,,,1,4 bolzn, 1,,, strost 4, 1 4, 1,, zdrvilo bolzn 4,,,,1 bolzn strost 4, 1,,1,4 zdrvilo strost, 4, 1,, zdrvilo bolzn strost, 1,,44, npk, 4 4, skup, Fktorski nčrti z ponovln mritv 11

12 Fktorski ksprimntlni nčrti: ponovln mritv Pogosti v ksprimntlni psihologii Vs osb sodluo v vsh ksprimntlnih pogoih mn osb Vč moč vrinc npk mnš Mritv so korlirn upoštvti pri določnu npk Pomnklivost: problm vpliv zpord ksprimntlnih pogov in prnosov učinkov; Ršitv: urvnotžn učinkov z rndomizcio zpord, zdostn prmor md pogoi Fktorski ksprimntlni nčrti: ponovln mritv Rzstvln vrinc rzlik md osbmi rzlik znotr osb, ki so posldic učinkov NV in npk mrn V vskm polu tbl s nh l n rzultt, zto n mormo izrčunti vribilnosti znotr pol. K dti v imnovlc F-rzmr? Kot npko vzmmo intrkcio znčilnosti osb s pručvnim vplivom. 1 4 M() 1 4 4, 4 4, 1 Enosmrn NOV z ponovln mritv 4 4, 4 4 4,, 4 4, 1,, M(), 4,, 4, 4, Eksprimntlni pogo 4 H : μ 1 = μ = μ = H 1 : Vs n srdin odstop od drugih. vrinc rzlik md pogoi (brz ind. rzlik) F = vrinc rzlik, kot bi o ih pričkovli po sluču (z izklučnimi ind. rzlikmi) učink NV + slučn rzlik F = slučn rzlik 1 4 M() 1 1 4, 4 4, 1 4, 4 4 4,, 4, 4,, M(), 4,, 4, 4, Eksprimntlni pogo M() 4 4, 1 4 4, 4 4, 4 4 4,, 4 4, 1,, M(), 4,, 4, 4, Eksprimntlni pogo 1 4 Primr brz slučnih rzlik: Primr s slučnimi rzlikmi: Rzlik md pogoi so pri rzličnih osbh nk ni intrkci md osbmi in pogoi Rzlik md pogoi so pri rzličnih osbh rzličn intrkci md osbmi in pogoi 1

13 1 4 M() 1 4 4, 4 4, 4 4, 4 4 4,, 4 4, 1,, M(), 4,, 4, 4, Odklon posmzng rzultt: X i - M tot = (M s - M tot ) + (X i - M s ) Eksprimntlni pogo totl = md osbmi + znotr osb = md osbmi + pogoi + npk Učinki NV štvc F-rzmr 1 4 Npk mrn imnovlc F-rzmr x ditivni modl Rzstvln odklon posmzng rzultt: X i - M tot = (M s - M tot ) + (X i - M s ) trukturni modl: μ η α ε Rzstvln odklonov rzulttov: tot = md osbmi + znotr osb = = md osbmi + pogoi + npk Prdpostvk: Nodvisnost porzdlitv, h i in i Normlnost porzdlitv, h i in i α μ μ μ μ 1 δ Mri vribilnosti učinkov trtm μ μ 1 θ 1 i i i 1 4 M() 1 1 4, 4 4, 1 4, 4 4 4,, 4, 4,, M(), 4,, 4, 4, md osbmi =, znotr osb =, pogoi =, npk =, Pričkovni : Z: Z : Z : n Npk (=npk mrn) ditivni modl Rzstvln odklon posmzng rzultt: X i - M tot = (M s - M tot ) + (X i - M s ) trukturni modl: μ η α ε Rzstvln odklonov rzulttov: tot = md osbmi + znotr osb = = md osbmi + pogoi + npk Prdpostvk: Nodvisnost porzdlitv, h i in i Normlnost porzdlitv, h i in i α μ μ μ μ 1 δ Mri vribilnosti učinkov trtm μ μ 1 θ 1 i i i 1 4 M() 1 4 4, 4 4, 4 4, 4 4 4,, 4 4, 1,, M(), 4,, 4, 4, md osbmi =, znotr osb =, pogoi =, npk = 1, Pričkovni : Z: Z : Z : n Npk (=npk mrn) Nditivni modl stv posmzng rzultt (strukturni modl): μ η α i i ηα εi i m M tot h... znčilnosti osb i učink NV i (h) i = m i h i + m učink trtm s od posmznik do posmznik rzliku i npk Rzstvln odklonov rzulttov: totl = md osbmi + znotr osb znotr osb = pogoi + intrkci osb z učinkom NV + npk mrn imnovlc v F rzmru Ugotvln nditivnosti: istmtičn vzorc (npr. krivulčni odnos) n grfu rzidulov vs. npovdnih dosžkov Pričkovni : Z: Z : Z : n npk 1 4 M() 4 4, 1 4 4, 4 4, 4 4 4,, 4 4, 1,, M(), 4,, 4, 4, Vir vribilno sti F x kup n i1 i..., n 1= n 1,,..., 1 = 1 1, 1, n 1 n i i.... 1,, (n 1)( 1) = 1 i1 1 1n 1 n i.. 111, i1 1 n 1 = 1 p <,1 <,1 Vlikost učink NV Hysov omg^ = ocn posnn vrinc: ω ωˆ δ σˆ δ, spodn m σˆ n δ σˆ σˆ ( 1)( ) ( 1)( ) n 1

14 Prdpostvk Normln porzdlitv prnih rzlik md rvnmi OV fričnost: Vs prn rzlik md rvnmi NV moro imti nko vrinco. Č prid do nsfričnosti, nrst vrtnost visokih F vrdnosti, tor rvn npk. Muchlyv tst sfričnosti Problmi: č porzdlitv znotr pogov niso normln, lhko d tst pommbn vrdnosti, čtudi sfričnost ni kršn; pri mhnih vzorcih im prmhno moč, pri vlikih vzorcih p prvliko Ršitv, č sfričnost kršn: MNOV Korkci Tsti nčrtovnih kontrstov Prdpostvk Korkci stopn svobod z psilonom Porzdlitv / F, ki im nsldn stopn svobod: = (-1) = (-1)(n-1) Prilgoditv funkci stopn nsfričnosti; pri sfričnih podtkih nk 1, sicr mnši od 1 in s z včnm stopn nsfričnosti približu spodni mi 1/(-1). Zto vč kot nsfričnost, vči mor biti F, d sttistično pommbn. Grnhous-Gissrv korkci (oz. ocn Konzrvtivn, posb pri mhnm n Priporočliv, kdr <, Huynhov in Fldtov korkci Obično bol priporočliv, im včo moč Lowr bound mthod Nbol konzrvtivn prilgoditv Dvosmrn NOV s ponovlnimi mritvmi n obh fktorih Primr: Poggndorfov iluzi Eksprimntlni nčrt: (rzmik md nvpičnim črtm; ponovln mritv) x (kot pošvnih črt; ponovln mritv) Ob sprmnlivki fiksni. OV = npk v višini črt (+ črt nstvln prnizko, - črt nstvln prvisoko) r1k r1k4 r1k r1k4 4,4,, 1, 4,1 4,,,, 44,, 1, 1,, 1, 1, 1,,,,, 4, 41, 4,,,4, 1,4,, 1,, 1,, 4, 1,, 1,,, 4,,1 1, 4,1,1 1, 1,4 11, 1, 1, 1, 1,4 1,4 4,,4, 4,, 1, 1, 4,, 11,, 1, 1,, 11,, 1,4 4,1,, 4,, 1,1 4,, 4, 1, 4,, 1, 1, 4,4, -,, -,,, 1,, 4,4, 1,1,1,,1, 1, 4, 14, 1,4 1, 1,, 1, 11, 4, 1,4, 4,, 1, 44,,4,,,4,, 1,,, 1, 1,,,,,1,,,,1 1, 1, 1,, 1, 1 1, 1, 4, 1, 1,,, 14, 1,,, 1,,1 4, 4,4, 1,,4, 1, 1,, 4,4 1, 1,,,,1 1, 1, 4,, Primr: Poggndorfov iluzi Učink 1 : : Učink 1 : Učink B B 1 : B Intrkci B 1B 1 : 1B : 1B 1 : 1B B 1B 1 1B B 1 B B 1 B B B 1 1B 1 B 1 B 1 B 1 B r1k r1k4 r1k r1k4 4,4,, 1, 4,1 4,,,, 44,, 1, 1,, 1, 1, 1,,,,, 4, 41, 4,,,4, 1,4,, 1,, 1,, 4, 1,, 1,,, 4,,1 1, 4,1,1 1, 1,4 11, 1, 1, 1, 1,4 1,4 4,,4, 4,, 1, 1, 4,, 11,, 1, 1,, 11,, 1,4 4,1,, 4,, 1,1 4,, 4, 1, 4,, 1, 1, 4,4, -,, -,,, 1,, 4,4, 1,1,1,,1, 1, 4, 14, 1,4 1, 1,, 1, 11, 4, 1,4, 4,, 1, 44,,4,,,4,, 1,,, 1, 1,,,,,1,,,,1 1, 1, 1,, 1, 1 1, 1, 4, 1, 1,,, 14, 1,,, 1,,1 4, 4,4, 1,,4, 1, 1,, 4,4 1, 1,,,,1 1, 1, 4,, Tbl 1 Opisn sttistik skupinskih podtkov z poskus s Poggndorfovo iluzio kot º kot 4º skup rzmik 1 pik M, 1,4, D 1,, / rzmik 1 pik M 4,1,1, D 1,1 1, / skup M,,4, odklon nstvitv od ustrzn vrdnosti (zslonsk pik) rzmik 1 pik rzmik 1 pik kot kot 4 lik 1. Intrkci md sprmnlivko Rzmik md nvpičnim črtm in sprmnlivko Kót md pošvno in nvpično črto. Tbl Povztk dvosmrn nliz vrinc vlikosti iluzi Izvor vribilnosti F p Md osbmi prsčišč 111, ,14 1,, -npk, 4, Znotr osb -rzmik 4, 1 4, 4,4, -npk (rzmik) 11, 4 44, B-kot, 1,,1, B-npk (kot) 4,4 4, B-rzmik x kot 1, 1 1,,44,1 B-npk (rzmik x kot) 1, 4,1 Opomb: NOV bil izvdn n skupinskih podtkih. Ob nodvisni sprmnlivki smo mrili ponovlno. 14

15 Tri fktori: (vrici 1 in ), B (vrici B1 in B), C (vrici C1 in C) Nčrt: (znotr osb) (znotr osb) (znotr osb) Podtki: X scb Trismrn NOV s ponovlnimi mritvmi n vsh fktorih C1 C B1 B B1 B osb Ms 1 X1111 X111 X111 X11 X111 X11 X111 X11 X11 X1 X11 X1 X111 X11 X11 X1 X11 X1 X11 X1 X1 X X1 X 4 M.cb M. C1 C B1 B B1 B osb Ms 1,, 1, 1,4 1, 1, 1, 1, 4,,, 1,,4 1, 1 1,,,, 11,4,4 1 1,, 11, 4 4,,, 11,,4 1, 1,4,4 1,,,, 1,4, 1,4 1,4, 1, M.cb 4,,,4 11,, 1, 1,, 11, Rzstvln vsot kvdrtov odklonov tot = md osbmi + znotr osb znotr osb = pogoi + npk pogoi = + B + C + B + + C + BC + BC npk = npk + npkb + npkc + + npkb + npkc + npkbc + + npkbc npk = + B + C + + B + C + B C + B C topn prostosti totl = nbc-1 povprč = 1 = -1 B = b-1 C = c-1 B = (-1)(b-1) C = (-1)(c-1) BC = (b-1)(c-1) BC = (-1)(b-1)(c-1) = n-1 = (n-1)(-1) B = (n-1)(b-1) C = (n-1)(c-1) B = (n-1)(-1)(b-1) C = (n-1)(-1)(c-1) BC = (n-1)(b-1)(c-1) BC = (n-1)(-1)(b-1)(c-1) Tbl Povztk nliz vrinc z ponovln mrn Izvor vribilnosti F Totl 14,,44 4 1, Znotr subktov, 1, 1,***,4 4, B 4,1 1 4,1,4*** B,4 4 1,1 C 14, 1 14,,*** C,44 4 1, B 4, 1 4,,** B,4 4,14 C,14 1,14 1,*** C, 4,4 BC, 1,,4*** BC, 4,1 BC,44 1,44,** BC, 4,1 **p <,1. ***p <,1. Mšni nčrti Npr.: Trismrn NOV z nponovlnimi mritvmi n nm fktoru in ponovlnimi mritvmi n dvh fktorih 1

16 B1 B C1 C C1 C : ( ) : ( ) B B1 : B ( ) : ( ) C C1 : C ( ) : ( ) B = 4 primrv 1B1 : 1B : B1 : B (1 + ) : ( + 4) : ( + ) : ( + ) C = 4 primrv 1C1 : 1C : C1 : C (1 + ) : ( + 4) : ( + ) : ( + ) BC = 4 primrv 1C1 : 1C : C1 : C (1 + ) : ( + ) : ( + ) : (4 + ) ubkti so gnzdni znotr vrici fktor (skupin): / = + / Odkloni rzulttov vsh osb so sstvlni iz rzlik md dvm skupinm in rzlik znotr skupin. B intrkci subktov s fktorm B BC = primrv 1B1C1 : 1B1C : 1BC1 : 1BC : B1C1 : B1C : BC1 : BC 1 : : : 4 : : : : B = B + B/ / B Odklon, ki ih povzroč intrkci vsh osb z B (skupn rzlik v odnosih B), lhko rzstvimo n: odklon, ki ih povzroč intrkci fktor s fktorm B (rzlik v odnosih B md skupinm), odklon, ki ih povzroč intrkci subktov znotr vrici fktor (skupin) s fktorm B (rzlik v odnosih B znotr skupin). Enko rzstvlmo C (odklon, ki so nstli zrdi intrkci vsh osb s fktorm C) in BC (odklon, ki so nstli zrdi intrkci vsh osb z intrkcio B C). / = / (-1) = B / B = B / (b-1) = B C / C = C / (c-1) = C B / B = B / (-1)(b-1) = B C / C = C / (-1)(c-1) = C BC / BC = BC / (b-1)(c-1) = BC BC / BC = BC / (-1)(b-1)(c-1) = BC F = / / FB = B / B/ FC = C / C/ / / / = / / (n-1) = / FBC = BC / BC/ B/ / B/ = B/ / (n-1)(b-1) = B/ FB = B / B/ C/ / C/ = C/ / (n-1)(c-1) = C/ FC = C / C/ BC/ / BC/ = BC/ / (n-1)(b-1)(c-1) = BC/ FBC = BC / BC/ TRIMERN NLIZ VRINCE Z MEŠNI NČRT (1 fktor z nponovlnimi, fktor s ponovlnimi mritvmi) Osnovni podtki b1 b b skup osb c1 c c c1 c c c1 c c Dlovn tbl BC b1 b b c1 c c c1 c c c1 c c Dlovn tbl B b1 b b glvni učinki fktorv Dlovn tbl C in nihov intrkci c1 c c Dlovn tbl BC c1 c c b1 1 b 1 npk b Dlovn tbl B osb v 1 os. b1 b b Dlovn tbl B osb v os. b1 b b Dlovn tbl C osb v 1 os. c1 c c Dlovn tbl C osb v os. c1 c c

17 Enčb (1) = G / nbc = 1 / () =1.,1 () = X = = 11., () = (i ) / nbc = ( ) / () = 1., (4) = ( B ) / nb = ( ) / () = 1., () = ( Ck ) / nb = ( + + ) / () = 1., () = ( Bi ) / nc = ( ) / () = 11.1, () = ( Cik) ) / nb = ( ) / () = 1., () = ( BCk) / n = ( ) / () = 111.1, () = (BCik) / n = ( ) / = 11.4, (1) = ( Pm ) / bc = ( ) / () = 1.,44 (11) = ( BPm) / c = ( ) / = 11.11, (1) = ( CPkm) / b = ( ) / = 111., Izvor Rčunsk nčb vribilnosti Md osbmi (1) (1) n 1 () (1) 1 osb znotr (1) () (n 1) skupin Znotr osb () (1) n(bc 1) B (4) (1) b 1 B () () (4) + (1) ( 1)(b 1) B osb znotr (11) () (1) + () (n 1)(b 1)) skupin C () (1) c 1 C () () () + (1) ( 1)(c 1) C osb znotr (1) () (1) + () (n 1)(c 1) skupin BC () (4) () + (1) (b 1)(c 1) BC () () () () + () + (4) + () (1) ( 1)(b 1)(c 1) BC osb () () (11) (1) + () + () + (1) () (n 1)(b 1)(c 1) znotr skupin Povztk nliz vrinc podtkov iz primr Izvor vribilnosti F Md osbmi, 4,1 1 4,1 osb znotr skupin 41,11 4, Znotr osb, 4 B, 11,1, * B, 1,, * B osb znotr skupin 4,, C, 11,1, * C,4,1 1,1 C osb znotr skupin 1, 1, BC 1, 4, BC 11, 4, BC osb znotr skupin 1,11 1,4 * p <, Nčrti prdmritv in nkndnih mritv (prtst-posttst dsigns) Posbn rzličic mšnih nčrtov; izmrimo osnovno rvn pri E in K, nto uvdmo NV in ponovno izmrimo OV v obh skupinh Možn vrst nliz: Enosmrn NOV n ponovnih mritvh NOV z mšni nčrt; skupin = nponovln mritv, prdmritv in nkndn mritv = ponovln mritv; ugotovimo, kkšn st glvni učink trtm in intrkci osb z učinkom zpord Enosmrn NOV n rzlikh md nkndnimi mritvmi in prdmritvmi; č odnos md obm vrstm mritv linrn in skupni rgrsiski koficint 1, im t mtod včo moč od NCOVE NCOV n nkndnih mritvh, pri čmr prdmritv uporbimo kot kovrit. Č skupni rgrsiski koficint mnši od 1, im NCOV včo moč od NOVE rzlik md obm mritvm. plošno o včfktorskih nčrtih Imnovlci v F rzmru pri rzličnih vrsth nčrtov Pri rzličnih fktorskih nčrtih so v imnovlcu F-rzmr rzličn vrst npk. Pri fktorskih nčrtih z nponovlnimi mrni npk n sm, in sicr vribilnost subktov znotr skupin (vrinc vrdnosti v posmznih skupinh, obtžn z vlikosto skupin). Pri fktorskih nčrtih s ponovlnimi mrni s v imnovlcu F-rzmri nh npk, ki nstn zrdi intrkci osb z rzličnimi fktori li nihovimi intrkcimi. Vsko F-rzmr im lstno npko. Pri mšnih nčrtih podobno, l d si vč F-rzmri dli isto npko. Kontrsti v včfktorskm nčrtu Tstirn kontrstov v glvnih učinkih pri nčrtih z nponovlnimi mritvmi V imnovlc t sttistik vstvimo ustrzno npko in utži dlimo s štvilom osb n posmzni rvni tstirn NV (osb, ztih v izrčun M ; v nčbh N M ). w μ w μ t ψˆ σˆ ψˆ / w n t li p izrčunmo F = / ustrzn npk ψˆ w μ w n ψˆ ψˆ F npr. / ψˆ vsotkvdrirnih utzi ˆ ψˆ vsot kvdrirnih utzi / N B M npr. npr. / NM w μ w bn /B w bn 1

18 Kontrsti v včfktorskm nčrtu Tsti multiplih primrv n upoštvo drugih fktorv li kovritov v modlu. Vsk post hoc tst upoštv l glvni učink pručvn NV, n p tudi drugih glvnih učinkov in intrkci upoštvti pri intrprtcii kontrstov. Rzultti multiplih primrv so lhko nskldni z rzultti NOVE oz. so odvisni od drugih fktorv v modlu. Mr vlikosti učink Prciln η Prciln η z clotn modl nm pov, kolikšn dl totln vrinc OV posnu vrinc md skupinmi NV. Kž, kolikšn učink ob kontroli drugih sprmnlivk v modlu (= dlž vrinc, ki drug sprmnlivk n posnuo). Prciln η = učink / ( učink + npk ) prciln η z rzličn učink v včfktorskm nčrtu s n sšto v 1, Hysov w ocn dlž posnn vrinc v populcii (mdtm ko h dlž posnn vrinc v vzorcu; h = učink / tot ) ni odvisn od štvil učinkov (prdiktorv) w = [ md (k-1) zn ] / [ tot + zn ] Vlik učink w >,1; srdni, w,1; mhn: w <, w n uporblmo pri nčrtih z nklučnimi učinki, pri rzlično vlikih skupinh in pri včsmrnih NOVH s ponovlnimi mrni. Pri nosmrni NOVI s ponovlnimi mrni pri obstou intrkci x podcnn. Hrzbrgov R ltrntivn npristrnsk ocn dlž posnn vrinc Mr vlikosti učink Koficint intrklsn korlci r Mri rltivno homognost znotr skupin gld n totlno vrinco Intrklsn r = ( md zn ) / ( md + (n-1) zn ), pri čmr n povprčno štvilo osb v skupini Lhko sg od -1/(n-1) (kdr vribilnost znotr skupin vlik in ni rzlik md skupinmi) do 1, (kdr ni vribilnosti znotr skupin in s povprč skupin rzlikuo) Cohnov d Viši kot, vči učink. d =, mhn učink, d =, srdn vlik učink, d =, vlik učink Glssov D, Hdgsov g Modli z nklučnimi učinki Vrdnosti NV n določimo nčrtno, mpk ih vzorčimo. Vrdnosti so ndomstliv, z izbrnih vrdnosti posplošumo n ostl. Pri nofktorskih nčrtih izrčun F nk kot pri fiksnih učinkih, pri včfktorskih p n. Gnzdni nčrti (kot npr. ltinski kvdrt, ltinsko-grški kvdrt, včstopnsko vzorčn; znotr vrdnosti fktor, t. glvng učink, vzorčimo vrdnosti fktor B, npr. znotr šol učnc; vrdnost i s povl l pri ni od rvni B; n mormo dobiti M 1 prko vsh B oz. povprč n rvni učnc n vč šolh.) Č gnzdni učink sttistično pommbn, to pomni, d OV vriir gld n gnzdni fktor znotr posmzn rvni glvng učink (t., ob kontroli glvng učink). Glvni učink z fiksni fktor povprčni učink prko not nklučng fktor. Intrkci fiksng in nklučng fktor vrinc učink fiksng fktor prko vsh not nklučng fktor. Glvni učink nklučng fktor ns n znim (s so bil vrdnosti tko li tko nklučno izbrn). Tstirn nklučng učink kot fiksng povč npko. LMM 1