c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

Transcript

1 Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom kombincijom vektor i b s koeficijentim α i β. c = α + β b, 8 i = α ( i + 3 j ) + β (4 i 3 j ) => 8 i = α i + 3α j + 4β i 3β j, [n desnoj strni izlučimo vektor i i vektor j ] 8 i = (α + 4β) i + (3α 3β) j, Ako su = i + j, b = b i + b j dv vektor, oni su jednki ko i smo ko su im odgovrjuće koordinte jednke, tj. = b i = b. 8 i + j = (α + 4β) i + (3α 3β) j, [sustv rješvmo metodom suprotnih koeficijent] α + 4β = 8 / 3 3α 3β = / 4 6α + β = 4 α β = 4 4 8α = 4 => α = =. 8 3 Ako α uvrstimo u drugu jedndžbu dobijemo: α 3 β = 3 3 β = /:3 β = β = Vježb c = 3 i 4 j. c = b. Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i j, b = i + j, Rezultt: c = 7 b. Zdtk (Toni, gimnzij) Rješenje Ako vektori ztvrju kut 6º, = 4, b = 3, pronđite b. Sklrni produkt vektor i b iznosi: b = b cos < (, b ) = 4 3 cos 6º = = 6.

2 Sklrni produkt vektor Sd je: Vježb s smim sobom glsi: = cos º = = ². =. b = b b = b+ b = = = 3. Ako vektori ztvrju kut 6º, = 4, b = 3, pronđite + b. Rezultt: 37. Zdtk 3 (Ines, gimnzij) Zdni su vektori = i + j, b = 3 i j. Odredi vektor = A i + B j z kojeg je = 3, b = 5. Rješenje 3 Ako su vektori zdni u koordintnom sustvu, td se sklrni produkt definir n ovj nčin: = i + j b b b. = + b = b i + b j Budući d su u zdtku zdn dv sklrn produkt, dobije se sustv od dvije linerne jedndžbe s dvije nepoznnice: = 3 A + B = 3 A + B = 3 / 4A + B = 6 A A. = = 3A B = 5 3A B = 5 3A B = 5 b = 5 Iz jedndžbe A + B = 3 izrčunmo B: ( ) + B = 3 => + B = 3 => B =. i j Vektor je (, ) Vježb 3 = + =. Zdni su vektori = i + j, b = i + j. Odredi vektor = A i + B j z kojeg je = 7, b = 8. = i + 3 j =, 3. Rezultt: Zdtk 4 (Miš, gimnzij) Zdni su vektori = 3 i j, b = i + 5 j. Odredi relni prmetr tko d ) su vektori i b kolinerni, b) su vektori i b okomiti, c) je vektor b pet put dulji od vektor,

3 d) odredi jedinični vektor. Rješenje 4 ) U koordintnom sustvu vektori i b zdni su n sljedeći nčin: = i + j, b = b i + b j. Vektori i b su kolinerni ko postoji relni broj k tko d vrijedi: = k b, tj. ko su im odgovrjuće komponente proporcionlne: = = k. b b Budući d vektori = 3 i j, b = i + 5 j morju biti kolinerni, vrijedi: b) 3 = = 5 = 5. 5 U koordintnom sustvu sklrni produk vektor i b definir se: = i + j b b b. = + b = b i + b j Dv su vektor i b okomit ko im je sklrni produkt jednk nuli: b + b =. Budući d vektori = 3 i j, b = i + 5 j morju biti okomiti, slijedi: c) ( ) 5 = 3 5 = 3 = 5 =. 3 U koordintnom sustvu duljin vektor = i + j definir se: = +. Budući d vektor b = i + 5 j mor biti pet put dulji od vektor = 3 i j, pišemo jednkost: b = = = = 5 / d) + 5 = = 5 = 5 / = ± 5., Jedinični vektor rčun se po formuli: i + j = = = i + j

4 Z vektor = 3 i j pripdni jedinični vektor iznosi: 3 i j 3 i j 3 i j 3 3 = = = = i j = [ rcionlizcij nzivnik ] = i j. 9 + Vježb Zdni su vektori = 6 i j, b = i + j. Odredi relni prmetr tko d ) su vektori i b kolinerni, b) su vektori i b okomiti, c) je vektor b pet put dulji od vektor, d) odredi jedinični vektor. Rezultt: ) = 3, b) =, c) 3, 3, = ± 3 d) = i j. Zdtk 5 (Miš, gimnzij) Kkv međusobni položj imju vektori i b ko vrijedi jednkost: + b = b? Rješenje 5 S slike je vidljivo d vektori i b morju biti okomiti: b + b - b - b Vježb 5 Kkv međusobni položj imju vektori i b ko vrijedi jednkost: + b? Rezultt: Vektori i b su suprotni: b = b. O Zdtk 6 (Anstzij, gimnzij) Odredi reln broj m tko d vektori = (m ) i + 3 j i b = 3 i + (m ) j ztvrju s vektorom i jednke kutove. 4

5 Rješenje 6 Podsjetimo se! Ako su = i + j, b = b i + b j dv vektor, td vrijedi: b = b + b, = +, b = b + b, b = b cos α, b cos α =, b b + b cos α =. + b + b Z jedinične vektore i i j vrijedi: i i = j j =, i j = j i =, i = j =. Promtrjmo sklrne produkte vektor i b s vektorom. Uvjet je d ztvrju s vektorom jednke kutove: i = i cosα i b i cosα = i cos α =. b i = b i cosα i b i Sd je: ( m ) i 3 j i 3 i ( m ) j i i b i + + = = i b i m m i ( m ) i i + 3 j i 3 i i + ( m ) j i ( m ) ( m ) = = m m m m Vježb 6 m 3 = m = 3 m = 4 m =. ( m ) ( m ) Odredi reln broj m tko d vektori = (m ) i + 3 j i b = 3 i + (m ) i ztvrju s vektorom i jednke kutove. Rezultt: m = 4. 5

6 Zdtk 7 (Seve, hotelijersk škol) Zdn je prlelogrm ABCD. N dijgonli AC dne su točke K i L tko d je AK = LC. N dijgonli BD određene su točke P i Q z koje vrijedi BP = QD. Dokžite d je KPLQ prlelogrm. Rješenje 7 Pokzt ćemo jednkost vektor PL = KQ i KP = QL. D C Q S L K P A B Dijgonle prlelogrm ABCD rspolvljju se u točki S. Budući d je BP = QD, slijedi d je PS = SQ. Anlogno iz jednkosti AK = LC slijedi d je KS = SL. S slike vidi se d vrijedi: PL = PS+ SL, ( prvilo trokut) Dokžimo d je PL = KQ. KQ = KS+ SQ. ( prvilo trokut) PL = PS+ SL = SL+ PS = SL = KS, PS = SQ = KS+ SQ = KQ. Slično se pokzuje d je KP = QL. Iz jednkosti BP = QD slijedi d je PS = SQ. S slike vidi se d je: KP = KS+ SP, ( prvilo trokut) Dokžimo d je KP = QL. QL = QS+ SL. ( prvilo trokut) KP = KS+ SP = SP+ KS = SP = QS, KS = SL = QS+ SL = QL. Vježb 7 Zdn je trokut ABC. N strnici AB dno je polovište P, n strnici BC polovište Q. Dokžite d je PQ = AC. Rezultt: C Q A P B 6

7 Zdtk 8 (Seve, hotelijersk škol) Izrčunj b, ko je 5, b 4 i kut između i b je + = =. Rješenje 8 + b = + b + b = + b + b + b b = + b + b = cos = + b + b = = =. Vježb 8 Izrčunj b, ko je 3, b 7 i kut između i b je 6 = =. Rezultt: 37. Zdtk 9 (Seve, hotelijersk škol) Ako je m n, m, n = = =, = m n i b = m + n, izrčunj b. Rješenje 9 b = m n m + n = m m + m n m n n n = m + m n n = Vježb 9 Ako je Rezultt:. cos = m + m n n = +.5 =.5 =.5. m n, m, n = = =, = m + n i b = m n, izrčunj b. Zdtk (Leon, gimnzij) Provjeri jesu li vektori = i 3 j+ k, b = 3 i j+ 5 k, c = i 4 j+ 3k linerno zvisni ili linerno nezvisni. Rješenje Vektori, b i c bit će linerno nezvisni ko iz α + β b + γ c = slijedi d je α = β = γ =. Vektori, b i c bit će linerno zvisni ko iz α + β b + γ c = slijedi d je br jedn od koeficijent α, β, γ rzličit od nule. Ovdje je: α + β b+ γ c = α i 3 j+ k + β 3 i j+ 5 k + γ i 4 j+ 3k = α i 3α j+ α k+ 3β i β j+ 5β k + γ i 4γ j+ 3γ k = ( α β γ ) ( α β γ ) ( α β γ ) i j k = ( α β γ ) ( α β γ ) ( α β γ ) i j k = i + j+ k [ Dv su vektor jednk ko su im odgovrjuće komponente jednke] 7

8 α + 3β + γ = γ = α 3β iz prve jedndžbe izrčunmo 3α β 4γ = 3α β 4γ γ i uvrstimo u ostle dvije = α + 5β + 3γ = α + 5β + 3γ = 3α β 4 α 3β = 3α β + 8α + β = 5α + β = 7β = β = α + 5β + 3 α 3β = α + 5β 6α 9β = 5α 4β = [ 5 + = ] α [ 3 ] α β = γ = α β γ =. Dobili smo α = β = γ =, to znči d su vektori, b i c linerno nezvisni. Vježb Provjeri jesu li vektori = 6 i j+ k, b = 4 i 6 j+ k, c = i 8 j+ 6 k linerno zvisni ili linerno nezvisni. Rezultt: Vektori su linerno nezvisni. Zdtk (Gimnzijlk, gimnzij) Zdni su vektori = i + j, b = 3 i j. Odredi vektor = A i + B j z kojeg je 8 = 3, b = 5. Rješenje Uporbom sklrnog produkt dobije se sustv jedndžbi: i j A i B j = = A + B = 3 / 4 A + B = 6 3 A B = 5 3 A B = 5 b = 5 3 i j A i + B j = 5 A + B = 3 A = A = ( ) + B = 3 + B = 3 B =. A = Vektor glsi: = i + j. Vježb Zdni su vektori = i + j, b = 3 i j. Odredi vektor = A i + B j z kojeg je = 4, b = 5. Rezultt: 3 i j. Zdtk (Ivn, gimnzij) Zdn je vektor = 4 i + 3 j. Odredite vektor tko d bude kolinern s vektorom, d im duljinu 5 i d s osi ztvr tupi kut. Rješenje Budući d vektor mor biti kolinern s vektorom i s osi mor ztvrti tupi kut, vrijedi: = k, k <. Pomoću duljine vektor izrčunmo k: = 5 k k 5 k = = = ( 4) = k = k

9 tupi kut k = 3 5 = k 5 /:5 k = 3 k = Vektor glsi: ( nije rješenje zbog k<) 3 ( rješenje je ). = k = 3 4 i +3 j = i 9 j. k = 3 Vježb Zdn je vektor = 4 i + 3 j. Odredite vektor tko d bude kolinern s vektorom, d im duljinu i d s osi ztvr tupi kut. Rezultt: 6 i j. Zdtk 3 (Ivn, gimnzij) Izrčunj b + b c + c ko je =, b = 3, c = 5, + b + c =. Rješenje 3 Zbroj vektor je nulvektor p vrijedi: + b + c = + b = c. Z zbroj duljin vektor vrijedi: + b = c. c O To znči d su: vektori kolinerni kutovi º (između vektor i b ) odnosno 8º (između vektor i c i između vektor b i c ). Prem definiciji sklrnog produkt immo: b + b c + c = 3 cos cos8 + 5 cos8 = = jer je cos º =, cos 8º =. = ( ) + 5 ( ) = 6 5 = 9 Vježb 3 Izrčunj b + b c c ko je =, b = 3, c = 5, + b + c =. Rezultt:. Zdtk 4 (Vedrn, gimnzij) Koliki je sklrni produkt dv rdijus vektor koje određuju točke A(3, ) i B(, 6)? Rješenje 4 Ponovimo! Ako je zdn točk A(, ) pripdni rdijus vektor glsi: r = i + j. 9 b

10 Sklrni produkt rdijus vektor r i r rčun se po formuli: r = i + j r r = +. r = i + j Zto je: A(, ) = A( 3, ) r = 3 i + j r r = 3 ( ) + 6 = =. B(, ) = B(, 6) r = i + 6 j Vježb 4 Koliki je sklrni produkt dv rdijus vektor koje određuju točke A(5, 3) i B( 3, 5)? Rezultt:. Zdtk 5 (Vedrn, gimnzij) Zdni su vektori = 4 i + j, b = i + j. Koliki je iznos vektor c, c = + b? Rješenje 5 c b 4 i j i = + = + + j 4 i j i 4 j i 5 + = + + = + j. Iznos vektor c je: c = c + c c = c i c j + c = = 9. c = i + 5 j c = + 5 Vježb 5 Zdni su vektori = i + j, b = i + j. Koliki je iznos vektor c, c = + b? Rezultt:. ko je ko je Zdtk 6 (Vedrn, gimnzij) Zdni su vektori = 3 i + 4 j, b = 4 i 3 j. Dokži d su međusobno okomiti. Rješenje 6 Dv su vektor međusobno okomit ko je njihov sklrni produkt jednk nuli, tj. ko vrijedi Dokžimo tvrdnju! = i + j b = b i + b j b + b =. b = i + j, b = b i + b j i + j b i + b j = b =

11 i = j = b i + b i j + b j i + b j = i j j i = = b + b =. Z vektore = 3 i + 4 j i b = 4 i 3 j vrijedi: = 3 i + 4 j ( 3) = =. b = 4 i 3 j Vježb 6 Zdni su vektori = 8 i 3 j, b = 3 i + 8 j. Dokži d su međusobno okomiti. Rezultt: Točno je. Zdtk 7 (Vedrn, gimnzij) Pri trnslciji z vektor prbol = preslik se u prbolu = 3. Nđite vektor. Rješenje 7 Odredimo koordinte tjemen trnsltirne prbole: b = 3 = = = 4 =, b =, c = 3 4 c b 4 ( 3) ( ) = = = = T (, 4 ). = 4 Zdn prbol trnsltirn je z vektor = i 4 j. Vježb 7 Pri trnslciji z vektor prbol = preslik se u prbolu = 4 6. Nđite vektor. Rezultt: Zdn prbol trnsltirn je z vektor = i j. Zdtk 8 (Vedrn, gimnzij) Pri trnslciji z vektor = 3 i 4 j prbol = preslik se u prbolu = + b + c. Koj je to prbol? Rješenje 8 Zdni vektor im vrh (krj) u točki T3, 4) koj je istodobno tjeme trnsltirne prbole. Vodeći koeficijent prbole je =. Uvrstimo koordinte tjemen u jedndžbu prbole: ( 3, 4) T 3 b 3 c b c 4 3 b c = + + = + = = + b + c Iz pscise tjemen odredimo linerni koeficijent b:

12 b = b = 3 / ( ) b = 6. = 3 Slobodni koeficijent c im vrijednost: b = 6 3 ( 6) + c = c = 3 c = 5. 3 b + c = 3 Jedndžb prbole glsi: = Vježb 8 Pri trnslciji z vektor = 6 i 8 j prbol = preslik se u prbolu = + b + c. Koj je to prbol? Rezultt: = T Zdtk 9 (Ante, tehničk škol) Ako je k =, k R, koliko je k? Rješenje 9 k = k = /: k = k = ±. Vježb 9 Ako je k = 5, k R, koliko je k? Rezultt: k = ± 5. Zdtk (Ante, tehničk škol) Zdn je trokut ABC i točke M i N koje polove strnice AB i BC. Dokžite jednkost: MN = AC. Rješenje C Prem slici slijedi: N MN = MB + BN = AB + BC = A M B = ( AB + BC ) = AC. Vježb Zdn je trokut ABC i točke M i N koje polove strnice AB i AC. Dokžite jednkost: MN = BC. Rezultt: Dokz sličn.