4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i"

Εφροσύνη Μαρκόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Sdržj 4 INTEGRALI Neodredeni integrl Integrirnje supstitucijom Prcijln integrcij Odredeni integrl i rčunnje površine lik Neprvi integrl i

2 Poglvlje 4 INTEGRALI 4. Neodredeni integrl f() d F() + c F () f() Npomen: Funkciju F zovemo primitivnom funkcijom funkcije f. PRAVILA INTEGRIRANJA:. cf() d c f() d, c konstnt,. [f() ± g()] d f() d ± g() d. 64

3 TABLICA NEODREDENIH INTEGRALA: { n+ n + c, n ; d n+ ln + c, n. d + c e d e + c d ln + c d + rctn + c d ln + + c d ± ln + ± + c d rcsin + c sin d cos + c cos d sin + c tg d ln cos + c ctg d ln sin + c d cos tg + c d sin ctg + c 65

4 Izrčunjte neodredene integrle: Zdtk 4.. ( ) d d 5 4 d + d d 4 4 5\ 5 5\ + + c c. Zdtk 4.. ( ) d ( 4 ) d c c 7 + c. Zdtk 4.. ( + ) d + + d ( + + ) d \ 5 5 \ + \ \ + \ \ c c. + c Zdtk d ( ) 4 d 5 ( 4 5) ln c. 66

5 Zdtk d 5 5 d 0 5 ( ) 5 5 d ( 5) ( ) 5 ln 5 ln ( ) d c ln 5 ( 5 ) + 5 ln ( ) d ( ) + c. DZ d Zdtk 4.7. d 7 8 d 7 ( ) 8 7 d ( ln c ) Zdtk 4.8. ( + d + ) d + ln + c. Zdtk ( d ) + 5 d + 5 d ( + 5 ) d d ( ) + 5 ln + + c. 67

6 Zdtk ( + + d ( ) + + ) d + + d d + d + + ( ) + + rctg + c. ( ) Dijelimo polinome: ( ) ± ± + ± ± : ( + ) Integrirnje supstitucijom Općenito, ko želimo integrirti rcionlnu funkciju oblik Pn () Q m () d, pri čemu su P n i Q m redom polinomi stupnj n, odnosno m, provodimo sljedeći postupk: n > m dijelimo brojnik s nzivnikom (pr. Zdtk 4.0.), n m ndopunjvmo brojnik do nzivnik (pr. Zdtk 4.9.), n < m supstitucij (ko integrl nije tblični!). 68

7 Zdtk 4.. supstitucij: t + 9 d (m > n) dt + 9 d dt ( )d dt t ln t + c ln c. Supstitucij je, osim z integrirnje rcionlnih funkcij, korisn i u mnogim drugim slučjevim: Zdtk d t 6 dt ( 6)d 6 dt 6 t t dt t + c 4 t + c c. DZ 4.. DZ d d Zdtk 4.5. ( + ) 4 5 d 5 6 t + dt 6d d dt 6 t dt 6 t 5 5 t + c c c. 69

8 Zdtk 4.6. d t t + d t t dt d dt (t + ) t t dt (t + )t dt ( ) t (t 4 + t 5 ) dt 5 + t + c 5 ( ) 5 + ( ) + c. Zdtk 4.7. d + t t dt d t t t dt t + t + dt t ±t ± t t t ( t + ) dt \ t t + \ t + t + u du dt du t t + u : (t + ) t + t+ dt t + + ln u + c + ln( + ) + c. DZ 4.8. DZ 4.9. d 70

9 Zdtk 4.0. e d t dt d d dt e t dt et + c e + c. e t dt DZ 4.. e + d DZ 4.. e + d [supstitucij: t + ] 4. Prcijln integrcij Vrijedi: u v d u v u v d Neki tipični primjeri integrl koje rčunmo prcijlnom integrcijom: k sin d k cosd k e stvimo u d k k d k ln d } stvimo u ln e sin d e cosd } svejedno: ili u e ili v e 7

10 Zdtk 4.. sin d u v sin u v sin d cos ( cos) ( cos) d cos + sin + c. Zdtk 4.4. ln d u ln v u v d ln \ d ln + c. \ Zdtk 4.5. ln d ln d ln d u ln v u v d [ln \ ] \ d ( ln ) d + c ( 4 ln 8 + c. ln ) + c Zdtk 4.6. e d e d u v e u v e ( e ) ( e ) d e + e d ( ) ( ) e e + c. e d t d dt e t ( ) dt e t dt e t e 7

11 DZ 4.7. e cosd DZ 4.8. ( ln + ) d DZ 4.9. d e Zdtk 4.0. e sin d u sin v e u cos v e e sin e cosd u cos v e u sin v e ( ) e sin e cos e ( sin ) d e sin e cos e sin d. e sin d e sin e cos e sin d (e sin e cos) + c. 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine lik Vrijedi: b F () f() Direktno slijedi svojstvo: b f()d b f()d 7

12 Zdtk d 4 d Npomen: Odredeni integrl b f()d jednk je površini lik omedenog grfom funkcije f(), -osi i prvcim i b, ko se grf funkcije f() nlzi iznd -osi. Ako se grf funkcije f() nlzi ispod -osi, td je odredeni integrl b f()d jednk negtivnoj površini lik omedenog grfom funkcije f(), -osi i prvcim i b. f() P b P b P P c c P b f() f() P b f()d P b f()d f() 0 c, c P P + P + P Zdtk 4.. Izrčunjte površinu lik omedenog prvcim, 4, 0 i grfom funkcije f(). Rješenje. P 4 P 4 4 d d

13 Zdtk 4.. Izrčunjte površinu lik kojeg grf funkcije f() ztvr s -osi n intervlu [, 4]. Rješenje. f() 0, Lik se sstoji od tri dijel: P P 4 P [, ] P [, ] P [, 4] P Ukupn površin lik jednk je zbroju površin pojedinih dijelov: P P + P + P Preostje izzrčunti površinu svkog dijel: ( ) P ( )d ( ) ( ) ( ) P ( )d ( ) ( ) ( ) P ( )d 4 ( ) ( ) P

14 Zdtk 4.4. Koliki je mjerni broj površine što je krivulj () ( )( + ) ztvr s osi pscis? Npomen: Općenito z polinom trećeg stupnj () vrijedi: > 0 : < 0 : Rješenje. () P 0 P () ( )( + ) 0 0,, Krivulj () ztvr s osi pscis dvije površine: [, 0] P [0, ] P Ukupn površin jednk je zbroju površin pojedinih dijelov: P P + P Preostje izzrčunti površinu svkog dijel: () ( )( + ) ( )( + ) + P P 0 0 ( ( 4 )d ( )d 4 ( 4 4 ) ( ) ) ( 4 ) 4 Primijetimo d dijelovi imju jednke površine (neprn funkcij)! P

15 Npomen: Površin lik omedenog grfovim funkcij f () i f (), te prvcim i b, pri čemu je grf funkcije f () iznd grf funkcije f (), jednk je P b (f () f ())d. P f () b f () P f () b f () P b (f () f ())d P b (f () f ())d Zdtk 4.5. Izrčunjte površinu lik omedenog prvcim e,, te grfovim funkcij f() ln( ) i g(). Rješenje. Prisjetimo se njprije grfov funkcij ln() i ln( ): ln() ln( ) Iz podtk zdnih u zdtku dobivmo sljedeći grf: f() e P g() e 77

16 P (ln( ) )d ln( )d e e t e t e t dt d e d dt u ln t v u v dt t t ln t t e ( t ln t + t) e + e e +. e e d ln tdt + e e t dt t [( ln + ) ( e ln e + e)] [ e ] e Zdtk 4.6. Izrčunjte površinu lik omedenog grfovim funkcij f() i g() +. Rješenje. P f() g() Točke presjek grfov: f() g() + 0, P (g() f())d ( ) ( + ( ( + )d ) )

17 Zdtk 4.7. Izrčunjte površinu lik kojeg ztvrju krivulje 9, + i + n intervlu [, ]. Rješenje. Prondimo njprije sve točke presjek dnih krivulj n intervlu [, ] , , 5 P P + + Lik možemo podijeliti n dv dijel: [, 0] P [0, ] P 9 P P + P 9 P P 0 ( 0 ( + ( 9))d + + ) ( + ( 9))d ( + + 9)d ( ) 6 45 P P + P ( + + )d (Vidi se odmh iz simetrije grf!) 79

18 DZ 4.8. Izrčunjte površinu lik omedenog krivuljm, i 4 u rvnini 0. Rješenje. 4 ( 4, 4) P 4 (, 4) (, ) P 4 + ln Neprvi integrl Vrijedi: b + + f()d lim z f()d lim w + f()d lim z b z w ( f()d f()d w lim w + z ) f()d Zdtk 4.9. Izrčunjte površinu lik omedenog krivuljom i osi pscis n intervlu, ]. Rješenje. 80

19 P P lim z d lim z )) ( ( z z d lim z ) lim z ( + z. z lim z z Zdtk Izrčunjte površinu lik omedenog krivuljom + i -osi. Rješenje. P + P + lim z lim z ( w ) d lim lim + z w + z + d ( ) ( lim rctn w w + lim z z ( π ) rctn z π + π π. lim (rctn w rctn z) w + ) 8

Σχετικά έγγραφα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,