B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

Transcript

1 B) VEKTORSKI PRODUKT 1 1) Prvilo desneg vijk Vsi smo že videli vijk, nekteri kkšneg privili, tisti, ki teg še niste storili, p prosite kog, ki se n vijke spozn, d vm pokže privijnje vijk. Večin vijkov je desnih. To pomeni, d g privijmo, ko g vrtimo v negtivni smeri ( ) in odvijmo, ko g vrtimo v pozitivni smeri ( ). Temu dejstvu prvimo prvilo desneg vijk. Povzemimo še s sliko: Slik 1: Pri vrtenju v pozitivni smeri odvijmo, pri vrtenju v negtivni smeri p privijmo. 2) Definicij in lstnosti Nj ost in vektorj, ki ležit v rvnini in imt zčetek v točki O te rvnine. Vektorj nj oklept kot = (, ), 0 π. Z vektorjem in sestvimo nov vektor, imenujmo g vektorski produkt vektorjev in, in g oznčimo z. 1 Poglvje o vektorskem produktu ni ovezno. Klju temu p se g potrudite prerti. O upornosti oste tisti, ki oste študirli nrvoslovje, sodili ksneje. Le to nj izdmo, d je npr. v fiziki nvor vektorski produkt ročice in sile ( M = r F ), mgnetn sil n vodnik je vektorski produkt smeri tok in gostote mgnetneg polj ( F m = l I B), vrtiln količin je vektorski produkt ročice in gilne količine ( Γ = r G), itd. 1

2 Definicij 1 : Vektor im: smer, ki je prvokotn n rvnino vektorjev in, smisel določen po prvilu desneg vijk, ko vektor zvrtimo z kot v smer vektorj, dolžino (velikost), ki je enk ploščini prlelogrm, ki g ustvrit vektorj in : = sin. Neposredni, lhko dokzljivi, posledici definicije st nslednji trditvi: Vektorski produkt kolinernih vektorjev je vektor 0, t.j.: = 0. 0 = 0 = 0. Zpišimo in dokžimo lstnosti vektorskeg produkt: Trditev 1 : Z vektorski produkt vektorjev veljjo nslednje lstnosti: ) ntikomuttivnost: = ( ), ) homogenost: (m ) = (m ) = m( ), m R, c) distriutivnost: ( + c) = + c. Dokz: ) Res, velikosti oeh vektorjev st ploščin prlelogrm s strnicm in ter kotom, smer je z o prvokotn n, smisl p st rvno nsprotn; zto ) drži (glej desno sliko). ) Dolžin: m > 0 (m ) = m sin = m sin = m. m < 0 (m ) = m sin(π ) = m sin = m. Podono je (m ) = m. 2

3 Smisel: Nj o njprej m > 0. Potem im m isti smisel kot, zto imt (m ) in m( ) isti smisel; če je m < 0 imt (m ) in m( ) nsprotni smisel (glej desno sliko). Smer vseh vektorjev (m ), (m ) in m( ) je prvokotn n rvnino vektorjev in, zto je enk. c) Distriutivnost pokžimo v treh korkih: 1. kork nj o nslednj trditev: m m > 0 m ( ) m π m( ) m < 0 Trditev 2 : Nj o e enotski vektor, ki je prvokoten n rvnino, x p poljuen vektor. Vektorj postvimo v skupno izhodišče O. Vektor x nj o projekcij vektorj x n rvnino, vektor x p doimo tko, d x zvrtimo v pozitivni smeri z kot π okoli nosilke vektorj e. Tedj 2 je x = e x. e = 1 x e x' π/2 Ο x'' Dokz: Dolžin x je enk x, t p je enk x sin (slik). Enko vrednost im tudi dolžin e x = e x sin = x sin, sj je e = 1. Zto x = e x. Vektor x je očitno prvokoten n rvnino vektorjev e in x, p tudi smisel je prvi. Zto je x = e x. 2. kork Oznčimo x = + c. Vektorji x, in c sestvljjo prostorski trikotnik, npr. OAB. Trikotnik prvokotno projecirmo n rvnino ; nstne OA B, ki g zvrtimo v pozitivni smeri okoli nosilke vektorj e z prvi kot. Doimo OA B. 3

4 B B' c A x A' x ' A'' e Ο x '' B'' Strnice OA B so x, in c in znje velj: x = + c. Tod trditev 2 prvi: x = e x, = e in c = e c. Zto je: x = + c e ( + c) = e + e c. 3.kork: Zdnjo enčo ( e ( + c) = e + e c) pomnožimo z, upoštevjmo, d je = e in homogenost, p pridelmo distriutivnostni zkon. Kko p je z socitivnostjo? Zčnimo z nslednjo trditvijo: Trditev 3 : Nj ost in nekolinern vektorj, ki ležit v rvnini. Nj o c 0 prvokoten n rvnino. Potem velj: Poljuen vektor x, ki je prvokoten n vektor c, leži v rvnini. Dokz: Vektorji, in c so nekoplnrni, zto ostjjo ntnko določen števil m, n in p, d velj: x = m + n + p c. Zdnjo enčo sklrno množimo s c, upoštevjmo x c (zto x c = 0), c (zto c = 0) in c (zto c = 0), p doimo: 0 = x c = m c + n c + p c c = p c 2 Zčetek in konec zdnje verige enč pove: p = 0, zto: x = m + n, kr pove, d x leži v rvnini vektorjev in, t.j. v rvnini, q.e.d. 2 Trditev pokže, d v splošnem z vektorski produkt socitivnostni zkon ne velj. Res: vektor x = ( c) je prvokoten n vektor c, t p je prvokoten n rvnino vektorjev in c. Zto x leži v rvnini vektorjev in c (trditev 1). Podono sklepmo, d vektor y = ( ) c leži v rvnini vektorjev in, ki p je v splošnem rzličn od rvnine vektorjev in c. Tko v splošnem x y. 2 Krtic q.e.d. pomeni: quod errt demonstrndum = kr je ilo tre dokzti. 4

5 3) Vektorski produkt v zi { i, j, k Definicij vektorskeg produkt in vektorjev { i, j, k nm prikže nslednjo poštevnko: i j k i 0 k j j k 0 i k j i 0. Vzemimo, d je = ( 1, 2, 3 ) in = ( 1, 2, 3 ). Z upoštevnjem ntikomuttivnosti, distriutivnosti in homogenosti vektorskeg produkt izpeljemo: = ( 1 i + 2 j + 3 k) (1 i + 2 j + 3 k) = (1 2 )( i j ) + ( {{ 1 3 )( i {{ k ) + +( 2 1 )( j i ) + ( {{ 2 3 )( j k) + ( {{ 3 2 )( k {{ i ) + ( 3 2 )( k j ) = {{ = k = i = ( ) i ( ) j + ( ) k. V prvem rzredu smo rzliko dveh produktov cd zpisli z dvovrstno determinnto: cd = c d. = j = k = i = j Z dvovrstnimi determinntmi je potem : = i j k li ( = , , ). Z primer izrčunjmo ( 1, ( 0, 2) (1, 2, 1): 0 2 ( 1, 0, 2) (1, 2, 1) = 2 1, , ) = ( 4, 1, 2). 5