Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν στην οικονομία την περίοδο αυτή επικρατούν δύο διαφορετικές καταστάσεις φύσης (states of nature) με πιθανότητες 0, αντίστοιχα. Οι καταστάσεις αυτές μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις καταστάσεις ύφεσης και ανάπτυξης που πιθανά να βρίσκεται η οικονομία την επόμενη περίοδο. ΑΡΧΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑ ΕΠΕΝΔΥΣΗ ΦΥΣΗΣ ΦΥΣΗΣ 0, 0, Α -.000,00.00,00.00,00 Β -.000,00 00,00.600,00 Γ -.000,00.00,00.600,00 Κριτήριο επικράτησης σε κάθε κατάσταση φύσης (state by state dominance) Συγκρίνει τις ροές διαφορετικών επενδυτικών σχεδίων σε κάθε διαφορετική κατάσταση φύσης της οικονομίας. Δηλαδή λαμβάνει υπόψη του ολόκληρη την κατανομή των ροών των σχεδίων. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα το σχέδιο Γ αποτελεί το προτιμότερο από τα σχέδια του πίνακα. Επικρατεί σε κάθε κατάσταση και του Α και του Β. Πλεονέκτημα Αν είναι δυνατή η επιλογή ενός σχεδίου με βάση το κριτήριο αυτό, τότε το επιλεγμένο σχέδιο δεν διατρέχει κανένα κίνδυνο απώλειας εισοδήματος σε σχέση με κάποιο άλλο σχέδιο, καθώς παρέχει μεγαλύτερες ή τουλάχιστον ίσες ροές σε κάθε κατάσταση φύσης της οικονομίας. Μειονέκτημα Έχει περιορισμένη χρήση καθώς στην πράξη είναι δύσκολο να βρεθούν επενδυτικά σχέδια που σε κάθε κατάσταση φύσης έχουν μεγαλύτερες ή τουλάχιστον ίσες ροές με κάποια άλλα. Π.χ. αν συγκρίνουμε τα Α και Β δεν μπορούμε να κρίνουμε με βάση αυτό το κριτήριο ποιο από τα δύο σχέδια είναι προτιμότερο.

Κριτήριο μέσου διακύμανσης (mean - variance) ή μέσου τυπικής απόκλισης (mean standard deviation) Μεταξύ δύο αμοιβαία αποκλειόμενων σχεδίων το κριτήριο αυτό συνιστά να επιλέγεται το σχέδιο εκείνο του οποίου οι ροές ή οι αποδόσεις έχουν μεγαλύτερο μέσο και τη μικρότερη διακύμανση (ή τυπική απόκλιση). Επειδή η διακύμανση των ροών ενός επενδυτικού σχεδίου μετρά κατά μέσο όρο το τετράγωνο των θετικών και αρνητικών αποκλίσεων από τη μέση τιμή, αυτή συνήθως χρησιμοποιείται στη χρηματοοικονομική ως μέτρο του κινδύνου απώλειας εισοδήματος από την ανάληψη του σχεδίου κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας. ΣΧΕΔΙΑ ΑΠΟΔΟΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΩΝ ΦΥΣΗΣ ΦΥΣΗΣ ΜΕΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗ (μ) ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ (σ) ΛΟΓΟΣ μ/σ 0, 0, Α 0,0 0,0,0% 7,0%,66 Β -0,0 0,60 % % 0,09 Γ 0,0 0,60,0% 7,0%,8 Με βάση αυτό το κριτήριο βλέπουμε ότι το Α είναι προτιμότερο του Β. Μεταξύ όμως Α και Γ υπάρχει πρόβλημα Μειονέκτημα Δεν χρησιμοποιεί όλες τις πληροφορίες για τις κατανομές των αποδόσεων ή των ροών τους. Η ασυμμετρία και η κύρτωση που προσδιορίζουν τη μορφή αυτών των κατανομών δε λαμβάνονται υπόψη. Λόγος του Sharpe (μ/σ) Δίνει τη μέση απόδοση ενός σχεδίου ανά μονάδα τυπικής απόκλισης. Δηλαδή μετράει τη μέση απόδοση κάθε σχεδίου ανά μονάδα κινδύνου του. Επιλέγεται εκείνο το σχέδιο με το μεγαλύτερο λόγο. Η κατάταξη των σχεδίων με βάση το λόγο του Sharpe είναι : Α, Γ, Β. Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν στην οικονομία την περίοδο αυτή επικρατούν δύο διαφορετικές καταστάσεις φύσης (states of nature) με πιθανότητες 0,6 και 0, αντίστοιχα. Οι καταστάσεις αυτές μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις

καταστάσεις ύφεσης και ανάπτυξης που πιθανά να βρίσκεται η οικονομία την επόμενη περίοδο. ΑΡΧΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑ ΕΠΕΝΔΥΣΗ ΦΥΣΗΣ ΦΥΣΗΣ 0,6 0, Α -.000,00.0,00.00,00 Β -.000,00.800,00.00,00 Γ -.000,00.0,00.800,00 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Άσκηση Ο οικονομικός διευθυντής μιας επιχείρησης εξετάζει τα ακόλουθα επενδυτικά προγράμματα. Υπολογίστε την αναμενόμενη απόδοση, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβλητότητας και των δύο προγραμμάτων. Θεωρώντας ότι τα προγράμματα αυτά είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα, ποιο από τα δύο θα πρέπει να επιλέξει ο οικονομικός διευθυντής; Πρόγραμμα Πρόγραμμα Πιθανή ΚΠΑ (r) Αντίστοιχη Πιθανότητα (P) Πιθανή ΚΠΑ (r) Αντίστοιχη Πιθανότητα (P).00 0%.00 0%.00 0%.00 0%.000 0%.00 0% Απάντηση Πρόγραμμα Πιθανή ΚΠΑ (r) Αντίστοιχη Πιθανότητα (P) P x r r - E(r) (r - E(r)) P x (r - E(r)).00 0, 00-90 90.00 80.00.00 0,.0 0.00.0.000 0, 900 0 0.00 90.70 E(r):.0 Var: 7.00 σ:,0 CV: 0,067

Πρόγραμμα Πιθανή ΚΠΑ (r) Αντίστοιχη Πιθανότητα (P) P x r r - E(r) (r - E(r)) P x (r - E(r)).00 0, 680 -.00.060.900.80.00 0,.00-0 9.00 6.0.00 0,.60.070..900.70 E(r):.0 Var: 8.00 σ: 76,98 CV: 0,7 Το πρόγραμμα έχει υψηλότερη αναμενόμενη απόδοση σε σχέση με το πρόγραμμα, αλλά έχει και υψηλότερο κίνδυνο. Επομένως, η απόφασή μας θα πρέπει να βασιστεί στον συντελεστή μεταβλητότητας, όπου CV = 0.0, και CV = 0.7, άρα θα πρέπει να επιλέξουμε το πρόγραμμα το οποίο έχει μικρότερο κίνδυνο ανά μονάδα αναμενόμενης απόδοσης. Άσκηση Μια εταιρεία εξετάζει ένα επενδυτικό πρόγραμμα αρχικού κόστους 80.000, το οποίο έχει διάρκεια ζωής χρόνια. Δίνονται παρακάτω οι πρόσθετες ταμειακές ροές μετά από φόρους τις οποίες θα αποφέρει το πρόγραμμα, καθώς επίσης και οι αντίστοιχοι συντελεστές ισοδυναμίας με τη βεβαιότητα τους οποίους έχει υπολογίσει η εταιρεία. Έτη Πρόσθετες ταμειακές ροές μετά από φόρους 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Συντελεστές ισοδυναμίας με τη βεβαιότητα (α t ) 0,9 0,90 0,8 0,80 0,7 Η απαιτούμενη απόδοση είναι %, ενώ το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο είναι 0%. Να υπολογίσετε τη καθαρή παρούσα αξία του προγράμματος, χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση της ισοδυναμίας με τη βεβαιότητα. Θα προτείνατε να γίνει αποδεκτό το επενδυτικό αυτό πρόγραμμα;

Η καθαρή παρούσα αξία του προγράμματος είναι ίση με 80 0,9 0.000 0,90 0.000 0,8 0.000 0,80 0.000 0,7 0.000 NPV =.000 ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) = 7.8 Επειδή η καθαρή παρούσα αξία του προγράμματος είναι θετική (NPV = 7.8.90,0 > 0), το επενδυτικό πρόγραμμα θα πρέπει να γίνει αποδεκτό. Άσκηση Μια εταιρεία εξετάζει ένα επενδυτικό πρόγραμμα αρχικού κόστους 80.000 το οποίο έχει διάρκεια ζωής χρόνια. Η εταιρεία εκτιμά ότι το πρόγραμμα θα αποφέρει τις ακόλουθες πρόσθετες ταμειακές ροές μετά από φόρους. Έτη Πρόσθετες ταμειακές ροές μετά από φόρους 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Η διοίκηση της εταιρείας πιστεύει ότι η κανονική απαιτούμενη από την εταιρεία απόδοση, η οποία είναι %, δεν είναι αρκετή για να καλύψει το κίνδυνο τον οποίο περιέχει το έργο αυτό. Η ελάχιστη αποδεκτή από την εταιρεία απόδοση για το έργο αυτό είναι 0%. Να υπολογίσετε τη καθαρή παρούσα αξία του προγράμματος, χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση της προσαρμογής του προεξοφλητικού επιτοκίου. Θα προτείνατε να γίνει αποδεκτό το επενδυτικό αυτό πρόγραμμα; Η καθαρή παρούσα αξία του προγράμματος η οποία προκύπτει εάν προεξοφλήσουμε τις αναμενόμενες πρόσθετες ταμειακές ροές με 0% είναι ίση με 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 NPV = 80.000 ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) =.0,66

Επειδή η καθαρή παρούσα αξία του προγράμματος είναι αρνητική (NPV = -.0.66,6 < 0), το επενδυτικό πρόγραμμα θα πρέπει να απορριφθεί. Άσκηση Μια εταιρεία εξετάζει δύο επενδυτικά προγράμματα τα οποία έχουν διάρκεια ζωής χρόνια. Η εταιρεία εκτιμά ότι τα προγράμματα αυτά θα δώσουν τις παρακάτω πρόσθετες ταμειακές ροές μετά από φόρους Έτη 0 Πρόσθετες ταμειακές ροές μετά από φόρους Α προγράμματος (00.000) 0.000 0.000 80.000 Πρόσθετες ταμειακές ροές μετά από φόρους Β προγράμματος (00.000) 0.000 0.000 60.000 Ποιο πρόγραμμα εμπεριέχει περισσότερο κίνδυνο αν το προεξοφλητικό επιτόκιο μεταβληθεί από 0% σε %; (Να απαντήσετε υπολογίζοντας τη καθαρή παρούσα αξία και εφαρμόζοντας ανάλυση ευαισθησίας). Η καθαρή παρούσα αξία του προγράμματος Α για επιτόκιο 0% είναι.,8 και για επιτόκιο % είναι 6.687,. Η καθαρή παρούσα αξία του προγράμματος Β για επιτόκιο 0% είναι.67,9 και για επιτόκιο % είναι 9.,. Τα αποτελέσματα αυτά μπορούν να παρουσιασθούν σ ένα πίνακα ως εξής: Προγράμματα ΚΠΑ (0%) ΚΠΑ (%) Ποσοστιαία μεταβολή στην ΚΠΑ Α.,8 6.687, -,0% Β.67,9 9., -,60% 6

Από τα παραπάνω αποτελέσματα βλέπουμε ότι ενώ οι καθαρές παρούσες αξίες και των δύο προγραμμάτων μειώνονται όταν το προεξοφλητικό επιτόκιο αυξάνεται από 0% σε %, η ποσοστιαία μεταβολή της καθαρής παρούσης αξίας του Α προγράμματος (,0%) είναι πολύ μεγαλύτερη από εκείνη του Β προγράμματος (,60%). Επομένως, το πρόγραμμα Α είναι περισσότερο ευαίσθητο στις αλλαγές του προεξοφλητικού επιτοκίου. Με άλλα λόγια, το πρόγραμμα Α περιέχει περισσότερο κίνδυνο απ ότι το Β, εάν το προεξοφλητικό επιτόκιο μεταβληθεί στο μέλλον. Άσκηση Μια εταιρεία εξετάζει ένα επενδυτικό πρόγραμμα. Ο οικονομικός διευθυντής της εταιρείας έχει εφαρμόσει τρία σενάρια (ένα απαισιόδοξο, ένα μέσο και ένα αισιόδοξο) όσον αφορά τις πρόσθετες ταμειακές ροές μετά από φόρους οι οποίες θα προέλθουν από την αποδοχή του προγράμματος. Τα τρία αυτά σενάρια (απαισιόδοξο, μέσο και αισιόδοξο) έχουν καταλήξει στον υπολογισμό τριών καθαρών παρουσών αξιών, οι οποίες είναι 0.000, 0.000 και 0.000. αντίστοιχα. Εάν υποθέσετε ότι υπάρχει % πιθανότητα να συμβεί το χειρότερο σενάριο, % πιθανότητα να συμβεί το καλύτερο σενάριο και 0% πιθανότητα να συμβεί το πιο πιθανό, να υπολογίσετε την αναμενόμενη καθαρή παρούσα αξία, την τυπική απόκλιση της καθαρής παρούσης αξίας και το συντελεστή μεταβλητότητας της καθαρής παρούσης αξίας του προγράμματος. Εάν ο συνολικός συντελεστής μεταβλητότητας όλου του υπάρχοντος ενεργητικού της εταιρείας είναι 0,0, θα προτείνατε την αποδοχή του προγράμματος αυτού; Η αναμενόμενη καθαρή παρούσα αξία του προγράμματος είναι ίση με E(NPV) = (0, 0.000)(0,0 0.000)(0, 0.000) = 0.000 Η τυπική απόκλιση της καθαρής παρούσης αξίας είναι ίση με σ = [(0,) (0.000-0.000) (0,0) (0.000-0.000) (0,) (0.000-0.000) ] / σ = 7.07 Ο συντελεστής μεταβλητότητας της καθαρής παρούσης αξίας του προγράμματος είναι ίσος με CV = [σ/e(npv)] = (7.07/0.000) = 0,6 7

Όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας, τόσο καλύτερο είναι το πρόγραμμα από την άποψη της αντιστάθμισης κινδύνου-απόδοσης. (Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι ένα μέτρο της σχετικής διασποράς μιας κατανομής πιθανοτήτων και μετρά το κίνδυνο ανά μονάδα αναμενόμενης απόδοσης). Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι το εξεταζόμενο πρόγραμμα έχει μικρότερο συντελεστή μεταβλητότητας (0,6) από τον συντελεστή μεταβλητότητας όλων των υπαρχόντων ενεργητικών της εταιρείας (,00). Άρα, το πρόγραμμα ενέχει μικρότερο κίνδυνο από το «μέσο» πρόγραμμα της εταιρείας και επομένως θα προτείναμε την αποδοχή του. Άσκηση 6 Μια επιχείρηση αξιολογεί ένα επενδυτικό πρόγραμμα, το οποίο έχει διάρκεια ζωής έτη και αρχικό κόστος.000. Το δένδρο αποφάσεων των δυνητικών πρόσθετων ταμειακών ροών μετά από φόρους με τις αντίστοιχες πιθανότητες πραγματοποίησή τους, είναι το ακόλουθο. ο έτος ο έτος Αρχική Ταμειακές ροές Πιθανότητα Ταμειακές ροές Σειρές πιθανότητα ( ) υπό συνθήκη ( ) (κλάδοι) 0,.000 0,.00 0,.00 0,.000 0,.000 0,6.00 0,.00 0,.000 6 Ζητούνται: (α) Ποιες είναι οι σύνθετες πιθανότητες να συμβούν οι διάφορες δυνητικές ακολουθίες ταμειακών ροών (δηλαδή οι διάφορες σειρές ή κλάδοι); (β) Εάν το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο είναι 0%, ποια είναι η αναμενόμενη καθαρή παρούσα αξία και ο κίνδυνος της (δηλαδή η τυπική απόκλιση της κατανομής πιθανοτήτων των δυνητικών καθαρών παρουσών αξιών); (α) Η σύνθετη πιθανότητα η οποία αντιστοιχεί σε κάθε κλάδο είναι η εξής. 8

Σειρές Σύνθετες Πιθανότητες (P i ) 0, 0, = 0, 0, 0, = 0,6 0, 0, = 0, 0,6 0, = 0, 0,6 0, = 0, 6 0,6 0, = 0, Άθροισμα Σ =,00 (β) Υπολογίζουμε τη καθαρή παρούσα αξία του κάθε κλάδου. NPV = -.000 [.00/(0,0)] [.000/(0,0) ] = -80 NPV = -.000 [.00/(0,0)] [.00/(0,0) ] = -96 NPV = -.000 [.00/(0,0)] [.000/(0,0) ] = 7 NPV = -.000 [.00/(0,0)] [.000/(0,0) ] = 96 NPV = -.000 [.00/(0,0)] [.00/(0,0) ] =.9 NPV 6 = -.000 [.00/(0,0)] [.000/(0,0) ] =.7 Υπολογίζουμε τη αναμενόμενη καθαρή παρούσα αξία, ως εξής: Αναμενόμενη NPV = (0,) (-80)(0,6) (-96)(0,) (7)(0,) (06) (0,) (.9)(0,) (.7) = 9 Υπολογίζουμε τη τυπική απόκλιση ως εξής: σ = [(0,) (-80-9) (0,6) (-96-9) (0,) (7-9) (0,) (96-9) (0,) (.9-9) (0,) (.7-9) ] / σ 868 9