014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής δουλειάς στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ της Α Λυκείου. Έχουν γραφεί βασικά θέματα εξισώσεων,αλλά και πολλά νέα θέματα πέραν των ορίων του σχολικού βιβλίου,για να δοθεί η δυνατότητα εξάσκησης στον Αλγεβρικό λογισμό με άμεση συνέπεια φυσικά την ενδυνάμωση της λυτικής ικανότητας. ΠΗΓΕΣ ΘΕΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΡΧΕΙΟ (Βαγγέλη Α Νικολακάκη) Σχολικό Βιβλίο MATHEMATICA Μιλτ. Παπαγρηγοράκης (Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου) Λάζαρος Ζαχαριάδης (Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου) Υ.Γ. Το παρόν φυλλάδιο μπορεί να δημοσιευτεί ή να εκτυπωθεί και να διανεμηθεί ως έχει. Σε κάθε περίπτωση δεν επιτρέπεται η κάθε μορφής αντιγραφή και η εκ του πονηρού κλεψίτυπη εμπορική του χρήση. Κάθε κριτική, σχόλιο,παρατήρηση ή διόρθωση είναι ευπρόσδεκτη. Με εκτίμηση Βαγγέλης Α Νικολακάκης
1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθεί η εξίσωση εξίσωση. Να λυθεί η εξίσωση 7 1 0 9 4 4 1. Να λυθεί η εξίσωση 9 1 4. Να λυθεί η εξίσωση 1 1 4 8 1 5. Να λυθεί η ανίσωση 1 4 6 6. Να λυθεί η ανίσωση 7. Να λυθεί η εξίσωση 10 1 4 1 1 5 10 5 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 1 6 1 7 4 5 7 7 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( 1) 5 (4 ) β) 4 5 4 11 4 10. Να λύσετε την εξίσωση 49 1 0 4 5 60
11. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1 α) 1 1 0 1 β) 0 6 9 0 γ) 1. Αν είναι λύση της εξίσωσης να δείξετε ότι α β α 1 5 5 αβ β 1 1. Αν είναι λύση της εξίσωσης βρείτε τον λ. λ λ 7, να 14. Αν 1 είναι λύση της εξίσωσης βρείτε τον λ. λ λ 4, να 4 15. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει λ R,ώστε η εξίσωση έχει λύση την. λ λ 1 7, να 16. Αν 1 είναι λύση της εξίσωσης 1 α 4αβ 4β 1 β 5 4 β 0, να βρείτε τους α,β R. 17. Αν 1 είναι λύση της εξίσωσης α 6αβ 9β 1 β 4 β 0, να βρείτε τους α,β R. 18. Δίνονται οι εξισώσεις 5 5 = 8λ 1 4 4 λ 7. + 7 και Να δείξετε ότι για λ 1 οι δύο εξισώσεις έχουν άπειρες κοινές λύσεις
ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΟΥΣΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 19. Να βρείτε την κοινή λύση των εξισώσεων 1 1 1 και 0. Να βρείτε την κοινή λύση των εξισώσεων 1 7 και 1 1. Δίνονται οι εξισώσεις 4 ( 1) = 7 4 και λ 4 1 4λ 5. 5 4 0 4 Να βρείτε τον λ R,ώστε η ρίζα της πρώτης εξίσωσης να είναι πενταπλάσια από την αντίθετη της ρίζας της δεύτερης.. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει λ R ώστε οι εξισώσεις λ 5 1 λ να έχουν και λ λ κοινή λύση την. Αν 1 είναι λύση των εξισώσεων : α β α α αβ β 4 β 4β 4 0 και, να βρείτε τους α,β R. 4. Να βρείτε τον λ R ώστε οι εξισώσεις λ 1 1 λ 5 και ρίζα 1 λ 1 λ 4 να έχουν κοινή
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (λ + 1) = λ + 1, β) (λ + 4) = λ 4 16.. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (λ 1) = λ 1, β) (λ 1) = λ γ) μ + μ = 1, δ) (μ + 1) = μ 1.. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) λ λ = 4λ +, β) (λ + 1) + 9 = (λ + ) + λ(λ ), γ) λ λ = 4λ +, δ) λ λ = λ 1, ε) μ 4 = μ 4μ + 4. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (λ 4λ) = λ + λ, β) (λ + ) = λ + 5, λ 4 λ 5 λ 1 8λ 5 γ) λ, δ). 4 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) λ ( 1) = 4(4 + 1) 5λ, β) λ ( 1) = 1, γ) λ(λ + 6) = + 1 + λ(λ 1), δ) λ (λ 6 + λ 4 λ 1) = 1 λ 4 (1 λ ). 6. Να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις για κάθε τιμή των λ, μ : α) (λ μ) = λ + μ, β) (λ 4μ ) = λ + μλ, γ) λ + μ = μ + λ( + ), ) (λ + ) + μ = μ + (λ 1)( ), λ μ ε). 5 7. Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. λ λ λ 1 λ λ 1 i λ 1 55 λ iv) λ 1 λ
8. Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. λ 1 λ λ λ 1 iv) λ 1 λ λ 1 i λ 1 4λ 8 9. Να λυθούν οι παραμετρικές εξισώσεις λ ( 1) λ( 1) (α 1) α (α ) i λ ( μ) μ (μ ) λμ 1 1 ), με α,β 0,μ α β α β β α iv μ1 μ μ μ1 μ μ *. 10. Να λύσετε την εξίσωση 0 0 40 80 70 60 80 70 60 0 0 40 (Υπόδειξη: να θέσετε όπου χ = ω+.) ΑΠΑΙΤΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΙΔΟΥΣ ΛΥΣΕΩΝ 11. Αν η εξίσωση (4 α) + α = 16 έχει δύο λύσεις, να βρείτε τον α. 1. Να προσδιορίσετε τον λ ώστε η εξίσωση: (λ + 4) λ 4 = 5( λ) + λ(λ ) να έχει μοναδική λύση το μηδέν. 1. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε η εξίσωση: λ( ) 5 = ( + ) + (λ + 1) να έχει λύση τον αριθμό =. 14. Να βρείτε το λ αν η εξίσωση: λλ 1 λ λ είναι αόριστη είναι αδύνατη. 15. Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση λ(5 ) = 7μ + 1 είναι ταυτότητα, η εξίσωση μ( ) + 4λ = (λ μ) + 10 είναι αδύνατη. 16. Αν η εξίσωση (4λ 1) = λ 1 έχει μοναδική λύση, να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης λ = +. 17. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ, ώστε η εξίσωση λ λ 5λ 6 να έχει μοναδική ρίζα την 0.
18. Αν η εξίσωση να βρείτε την τιμή του λ αν λ αδύνατη. λ 1 λ,λ είναι ταυτότητα, τότε: λ 1 λ 5 1 6 0 θα είναι να αποδείξετε ότι η εξίσωση 19. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση: λ λ λ να έχει μοναδική λύση-ρίζα το. 0. Αν η εξίσωση λ λ λ 9 λ 1 λ 5 έχει μοναδική λύση. είναι αδύνατη, να δείξετε ότι η εξίσωση 1. Να βρεθούν οι ακέραιες και θετικές λύσεις της παραμετρικής εξίσωσης λ = λ 5 όπου λ ακέραιος.. Αν η εξίσωση εξίσωση λ 9 λ 7 είναι ταυτότητα, να βρείτε το μ ώστε η λ μ 4 μ μ να είναι αδύνατη.. Αν η εξίσωση λ 1 λ λ είναι αδύνατη λ R λ λ 1 λ είναι ταυτότητα,να δείξετε ότι η εξίσωση 4. Αν η εξίσωση λ λ λ είναι ταυτότητα λ R,να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Π 009 010 λ λ 008 λ 5. Να βρεθούν οι ακέραιες και θετικές λύσεις της εξίσωσης (λ 1) = λ 1 όταν λ ακέραιος. 6. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, γ για τις οποίες η εξίσωση (α 4α) = - 4 + β 6β + γ 10γ + 4, είναι αόριστη. 7. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση λ λ = 9 6λ + 9 είναι αδύνατη έχει μοναδική λύση.
8. Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η εξίσωση λ + 5λ = λ + + 6 Να έχει μοναδική ρίζα το 1 Να έχει ρίζα το 1. 9. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση λ = 4 + λ λ + Να έχει λύση το 5. Να έχει μοναδική λύση το 5. 0. Έστω οι εξισώσεις (1) α + β = 0, () β + γ = 0 όπου α, β, γ θετικοί πραγματικοί αριθμοί.να αποδείξετε την ισοδυναμία. Οι εξισώσεις (1) και () έχουν κοινές λύσεις β = αγ. 1 Δίνονται οι εξισώσεις λ 6 μ 4 1 και λ μ λ 4 Αν η (1) είναι ταυτότητα και η () είναι αδύνατη,να βρείτε τις τιμές των λ, μ.. Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν λύση για κάθε τιμή των παραμέτρων α,β i ) α α αβ β,α 0 ii ) ( α) ( β) α(α β)
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( 4) + ( 4) + ( 4) = 0, β) ( 1) + = 0, γ) ( + 1) + 1 = 0, δ) ( ) = 4 + 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( ) ( )(4 + ) = 0, β) ( 4)( 1) = ( 1)( ), γ) + = 0, δ) ( 1)( ) = 0.. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 0 β) 5 6 0 4. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 4 0 β) 8 16 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 9 1 1 β) 1 1 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 5 6 6 1 10 β) 7. Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( 1) ( )( 5) 7 β) ( ) ( 1)( 4) 8. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 4 0 β) 1 1 0 γ) 4 4 0 9. Να λύσετε τις εξισώσεις 6 9 β) 9 1 1 α)
10. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 6 7 1 0 1 0 11. Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 1 1 v) 1 1 0 v i 4 9 0 iv) 1 1 0 4 0 1 0 1 1 0 vi 1 0 v 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 0 v) 5 6 0 6 0 v 4 8 18 0 i 1 0 v 9 4 0 iv) 1 0 vi 0 1. Να λύσετε τις εξισώσεις 11 10 α) 4 0 β) 4 0 14. Να λύσετε: 5 8 5 7 1 0 1 4 0 15. Να λύσετε την εξίσωση 16. Να λύσετε την εξίσωση 1 1 1 1 17. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 1 1 και 1 1 9
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 18. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1 1 1 5 1 1 6 1 19. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 1 1 1 4 1 i 0 1 1 9 1 1 iv) 9 1 1 1 7 1 v) 1 1 1 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α), β) 5 7 4 1 1, γ) 1. 1 1 1 1 1 1 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4, β) 1 1 1,. Να λύσετε τις εξίσωση: 7 18 81. 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) 1 1, β) 1, 1 γ) 0, δ) 6 1 1 4. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 1 5 5 1, β) 1,
γ) 1 5 4 4 ( 1) 6 6, δ) 1 1. 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1 1 α) 0, 1 1 4 1 6 β) 4 1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ 1V1 V 6. Να λυθεί ο τύπος ως προς V T T 1 7. Να λυθεί ο τύπος 1 t t 0 ως προς 0 1 8. Να λυθεί ο τύπος F m m ως προς m 1 r 1 9. Να λυθεί ο τύπος F q q ως προς r r 0. Να λυθεί ο τύπος m m11 m ως προς 1. Να επιλύσετε τους ακόλουθους τύπους: α) P V nr T ως προς P και ως προς R, β) Q = m c Δθ ως προς Δθ. m. Να επιλύσετε τους ακόλουθους τύπους: α) d ως προς m και ως προς V, V m1 m β) υ = υ 0 + αt ως προς t, γ) F G ως προς m 1 και d. d 1. Με τη βοήθεια των τύπων S t t αποδείξετε ότι: S t. 0 και υ = υ 0 + αt, να
4. Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά μήκους 4cm. Να βρείτε εσωτερικό σημείο Μ της πλευράς ΑΔ, τέτοιο ώστε: α) E ABM + E MΒΓ = Ε ΜΓΔ, β) Ε ΑΒΜ = Ε ΜΓΔ. 5. Το μήκος και το πλάτος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 10 m και 6 m αντίστοιχα. Αν αυξηθεί το μήκος του κατά 5 m, να βρείτε πόσο πρέπει να αυξηθεί το πλάτος του ώστε να διπλασιαστεί το εμβαδόν του. 6. Μία μητέρα είναι 4 ετών και η κόρη της είναι 7 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η μητέρα θα έχει τριπλάσια ηλικία από την κόρη της. 7. Καταθέτουμε σε μια τράπεζα δύο κεφάλαια, που διαφέρουν κατά.500 ευρώ, με επιτόκιο 5% για το μεγαλύτερο κεφάλαιο και 7% για το μικρότερο. Αν μετά από ένα χρόνο τα δύο κεφάλαια εξισώνονται, να βρείτε τα αρχικά ποσά που καταθέσαμε. 8. Ένας χημικός πρέπει να αναμίξει δύο διαλύματα του ίδιου οξέος, το Α περιεκτικότητας 7% και το Β περιεκτικότητας 4% σε οξύ, για να προκύψει ένα μείγμα 50 λίτρων περιεκτικότητας 5% σε οξύ. Πόσα λίτρα από το κάθε διάλυμα πρέπει να χρησιμοποιήσει. 9. Ένα τμήμα της Α Λυκείου που αποτελείται από 0 αγόρια και κορίτσια έγραψε ένα τεστ στα Μαθηματικά, με μέσο όρο βαθμολογίας 15,56.Αν ο μέσος όρος των γραπτών των κοριτσιών ήταν 14,6 και των αγοριών 17, να βρείτε πόσα ήταν τα κορίτσια και πόσα τα αγόρια. 40. Σε μία γιορτή βρίσκονται 40 άτομα. Αν φύγουν 8 αγόρια και έρθουν κορίτσια, τότε ο αριθμός των αγοριών είναι ίσος με τον αριθμό των κοριτσιών. Να βρείτε τον αρχικό αριθμό των αγοριών και κοριτσιών. 41. Δύο αυτοκίνητα ξεκινάνε από το ίδιο σημείο και κινούνται ευθύγραμμα και ομαλά, το ένα ανατολικά με ταχύτητα u 1 = 60 km/h και το άλλο δυτικά με ταχύτητα u = 80 km/h. Να βρείτε μετά από πόση ώρα τα αυτοκίνητα θα έχουν απόσταση 770 km.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 4. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 β) 5 0 γ) 6 10 δ) 1 8 4. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 6 β) 6 1 γ) 4 8 δ) 1 8 1 6 4 44. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 7 1 β) 1 1 γ) 1 6 4 δ) 5 1 45. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 5 1 β) 1 9 4 46. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1 5 β) 4 1 8 47. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1 9 β) 1 5 1 7 48. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 11 β) 4 8 49. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 6 6 1 10 β) 4 4 5 50. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 β) 8 4 4 9 6 1
51. Να λύσετε την εξίσωση 5. Να λύσετε την εξίσωση 6 7 4 1 1 5 10 5. Να λύσετε την εξίσωση 54. Να λύσετε την εξίσωση 1, όπου R 55. Να λύσετε την εξίσωση 1 6 4 4, όπου R 56. Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) 4 6 57. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1 0 β) 4 0 58. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1 1 0 β) 4 4 1 1 59. Να λύσετε τις εξισώσεις d,1 d,1 d,1 d,1 α) β) 60. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1 d,1 d,1 9 6 1 β) d 1,1 1,1 61. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 6 9 0 β) 1 4 1 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 0 β) 6. Να λύσετε την εξίσωση 4 4 1 1 1 0 1 1 1 1 1
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 64. Να λύσετε τις εξισώσεις 9 81 1 8 1 15 iii 1 ) 5 15 65. Να λύσετε τις εξισώσεις 5 8 7 1 8 iii 1 1 ) 54 66. Να λύσετε την εξίσωση 67. Να λύσετε την εξίσωση 1 1 5 1 5 16 68. Να λύσετε τις εξισώσεις 4 α) 1 1 0 β) 18 69. Να λύσετε τις εξισώσεις 4 4 1 1 1 ii 5 1 1 0 70. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) γ) 5 7 1 5 5 1 1 4 ) 8 4 9 7 0 1 β) 9 7 0 δ) 8 1 1 1, 1 1 ε) 6 7 στ) 4 10 4 ζ) 16 81 5 6 η) 4 0 5 θ)
4 ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) 64 (β) 64 (γ) 8 (δ). Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 15 0 4 0 i 1 8 7 1 0. Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 6 (α) 64 (β) 01 (γ) 5 (δ) 9 4. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) 7 (β) 4 16 (γ) 8 (δ) 14 1 7 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 15 0 4 0 i 7 1 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 64 0 81 0 i 6 64 0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: 7 0 v) 49 0 v i 1 7 v iv) 0 vi 5 1 11 1 0 4 16 0 8 1 7 64 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: 8 5 1 0 v) 5 81 0 5 15 0 v 1 10 104 0 i 7 18 0 v iv) 4 1 16 0 vi 5 1 8 0 1 0
9. Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 81 0 v) 6 10 0 v i 8 1 7 0 6 5 40 0 6 4 18 0 4 v iv) 7 1 0 vi 8 0 1 4 10. Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 4 8 0 0 i 5 16 0 11. Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 (α) 8 0 (β) 4 (γ) 0 (δ) 4 0 16 0 6 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) 1 7 (β) 4 1 7 16 (γ) 5 (δ) 1 8 8 7 0 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) 5 1 (β) 6 4 4 1 14. Να βρείτε τον λ R,ώστε η εξίσωση να είναι αόριστη λ λ λ 1 0 15. Να βρείτε τον λ R να έχει λύση την =1 01 17. Αν α,β και γ., ώστε η εξίσωση λ 5 λ λ -λ 0 α 1 α β α β γ 0 να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς 8 4 15 5 18. Να λυθεί η εξίσωση 4 7 0..
1. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 0 16 0 i 6 0 iv) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΛΕΙΠΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ 0. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις. 4 0 i 1 6 1 1 v) 5 iv) v 0. Να λυθούν οι εξισώσεις ) 1 0 i 1 0 0 4. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 1 1 4 4 4 1 0 5. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 0 i 4 4 0 0 ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ iv) 5 6 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 0 1 10 0 i 4 4 0 iv) 1 10 0
7. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 9 1 1 4 1 1 8 4 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. 5 = ( 5)( + 4) ii. (4 9) = ( + ) iii. ( ) 1 = ( ) iv. 5( + ) ( 1) ( + )( 1) = 0 v. (7 + ) 4( ) = 0. 9. Να λυθούν οι εξισώσεις 6 0 ) i 6 0 ) 1 0 ii iv 1 0 10. Να λυθούν οι εξισώσεις 0 ) 6 0 i 6 0 ) 0 ii iv 11. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 4 α) 4 β) 1. Να λυθούν οι εξισώσεις ) 10 ) 1 6 6 i i 71 ii iv ) 4 4 1. Να λυθούν οι εξισώσεις 10 1 6 4 6 i 6 10 6 iv) 6 6 5 5
14. Να λυθούν οι εξισώσεις 6 1 1 6 6 1 1 6 15. Να λυθούν οι εξισώσεις ) 4 0 ) i i 9 4 0 ) ii iv 5 6 0 5 4 4 0 16. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 5 4 4 6 4 17. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 5 5 4 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 18. Ένα ορθογώνιο παρ/μμο έχει μήκος 8cm και πλάτος 4cm.Αν αυξήσουμε συγχρόνως τις δύο διαστάσεις κατά cm,τότε το εμβαδόν του θα αυξηθεί κατά 8cm.Να βρείτε το 19. Δύο αδέλφια είναι σήμερα και 7 ετών.σε πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι 60 ; 0. Το 01 η ηλικία τοτ πατέρα είναι το τετράγωνο της ηλικίας του γιυού του Δύο αδέλφια είναι σήμερα και 7 ετών.σε πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι 60 ;
6 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθεί η εξίσωση α β αβ 0. Να λυθεί η εξίσωση α β γ α β γ 0. Να λυθούν οι εξισώσεις ) α β γ αβ αγ 0 i α β αβ 0 4. Δίνεται η εξίσωση α β γ α α γ β 0,όπου α,β, γ είναι ρητοί με α β γ Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός ρητός d ώστε d Δ Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρητές ρίζες,τις οποίες και να υπολογίσετε. 5. Αν α-β+γ=0, να λυθεί η εξίσωση: αχ +βχ+γ=0 6. Nα βρείτε τους ρητούς αριθμούς α, β ώστε η εξισωση: χ +αχ+β=0, να έχει ρίζα τον αριθμό +. Ποια είναι η άλλη ρίζα της; 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) λ -(λ+μ)+μ=0 β) α(β-γ) +β(γ-α)+γ(α-β)=0 8. Να λυθούν οι εξισώσεις α) (λ-) -(λ+1)+λ-4=0, λ β) λ -(6λ+)+λ-5=0 9. Αν ρ είναι ρίζα της εξίσωσης +α+β=0 να αποδειχθεί ότι ρ α ρ β.
10. Δίνεται η εξίσωση πραγματικού αριθμού λ, το πλήθος των ριζών της. λ+1=0. Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του 11. Να λυθούν οι εξισώσεις: ) α β α α β 0 i α β 6αβ 0 i α β α α β 0 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 α 1 α α 1 0 ) α γ αγ β 0 ii 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α α β α β 1 0 α β α β α β 0 14. Να βρείτε τις τιμές του λ R λ 1 λ λ 8 0,ώστε η εξίσωση έχει ριζα το. ΑΠ ( λ, ) 15. Να βρείτε τις τιμές των α,β R,ώστε η εξίσωση α β α β 0 έχει ριζα το. ΑΠ (α 1,β ) 16. Δίνεται ότι το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης Να δείξετε ότι ρ 1 β γ β γ 0 με α 0 17. Δίνονται οι εξισώσεις α β γ 0, α β γ 0 και α β γ 0, όπου α 0,οι οποίες έχουν διακρίνουσες αντίστοιχα Δ 1,Δ,Δ με Δ1 Δ Δ 0.Να βρείτε τον β R. 18. Να λυθεί η εξίσωση αβ α β 19.Δίνεται η εξίσωση (αβ 1) 0. Αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό α+β, τότε να αποδείξετε ότι α = β = 1.
0.Αν η μια ρίζα της εξίσωσης ( ) λ 1 5λ 4 0 είναι το 1, να βρεθεί ο ακέραιος λ καθώς και η άλλη ρίζα. 1.Nα λυθεί η εξίσωση Δ Δ 0 όπου Δ η διακρίνουσά της..για ποιες τιμές του κ ε R, η εξίσωση: 9 κ κ 9 0 έχει ρίζα το -1. Για κάθε μία από τις τιμές του κ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση..για ποιες τιμές των κ, λ, η εξίσωση: ρίζα το 0. 4.Για τις διάφορες τιμές του α ε R, να λυθεί η εξίσωση: α 1 1 α 4α 0. 5 κ 1 λ 4 0, έχει μοναδική 5.Να βρεθεί ο λεr, ώστε ο αριθμός -, να είναι ρίζα της εξίσωσης: λ λ 4λ 7 λ 0. 6.Για ποιες τιμές του κ ε R, η εξίσωση: Για κάθε μία από τις τιμές 9 κ κ 9 0 έχει ρίζα το -1. του κ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση. 7.Να λυθούν οι επόμενες εξισώσεις. αβ αγ β γ 0, α β 0 αβ α β 1 0, α β 0 i β αβ α β 1 0 8.Δίνεται η εξίσωση αβ α+β,να αποδείξετε ότι α=β. 1 0. Αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 9.Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης α β 0 1, έλυσε την εξίσωση β α 0 και βρήκε δύο ρίζες. Από αυτές, η μία ήταν ίση με μία ρίζα της (1) και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά της άλλης ρίζας της (1). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β. 0. Για ποιες τιμές του μία κοινή ρίζα; α οι εξισώσεις α 1 0 και α 0 έχουν
ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ α β γ 0 1.Αν η εξίσωση α β γ 0 ότι και η εξίσωση ΑΠ ( Δ 4α γ Δ ) 1 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες,να δείξετε β αγ 1 αγ 1 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.. Αν η εξίσωση β γ 0 έχει δύο ίσες ρίζες,να δείξετε ότι και η εξίσωση γ β 1 1 0 έχει δύο ίσες ρίζες και αντίστροφα. ΑΠ ( Δ Δ1 4 β γ ). Αν η εξίσωση ρίζες,να δείξετε ότι και η εξίσωση α β γ αβ βγ αγ 0 δεν έχει πραγματικές β γα 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. ΑΠ (ισχύει ότι Δ1 4α γ 4β αγ 0 και Δ 4 β αγ 0 ) 4. Nα αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες α α β β 1 0 α β α αβ β 0 i α β αβ α β 0 με α β 5. Nα βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων ) β β 0 i i α α β α β 0 με α 0 κ κ 1 κ 0 με κ R 6. Αν η εξίσωση β γ 0 β, γ 0 έχει δύο ρίζες άνισες, συμπληρώστε δίπλα από κάθε εξίσωση το πλήθος των ριζών της: β γ 0 iv) γ β 1 0 β γ 0 v) i γ β 1 0 7. Αν η εξίσωση και η εξίσωση γ β 1 0 α 1 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες,να δείξετε ότι α 1 α 0 είναι αδύνατη. 4 9
8. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση α β γ α β α β γ 0 με α β γ 0 έχει πραγματικές ρίζες. ΑΠ ( Δ 4γ 0 ) 9. Αν α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου,να αποδείξετε ότι η εξίσωση β β γ α γ 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. λ λ λ 0. 40.Δίνεται η εξίσωση Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε: α) να έχει μία μόνο ρίζα β) να έχει διπλή ρίζα γ) να είναι αδύνατη. 41. Nα βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση λ 5λ 4λ 1 0 έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. ΑΠ ( λ, ) 7 4. Δίνεται η εξίσωση -λ 0.Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε: α) να έχει δύο ρίζες άνισες β) να είναι αδύνατη. 4. Nα βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση λ λ 1 λ 5 0 έχει διπλή ρίζα.στη συνέχεια να βρείτε την ρίζα αυτή. 44.Nα βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση λ 1 λ λ 0 είναι αδύνατη. 45.Δίνεται η εξίσωση λ λ 1 0. i ) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ Rη εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες ii ) Να βρείτε τις τιμές του λ R,ώστε και οι δύο ρίζες της εξίσωσης να ανήκουν στο διάστημα,4
λ 1 6 λ 0. i ) Να βρείτε τον λ R,ώστε η εξίσωση να έχει ρίζα το 1 ii ) Για την μεγαλύτερη τιμή του λ που βρήκατε,να βρείτε τον 46.Δίνεται η εξίσωση εξίσωση λ κ 0 να έχει διπλή πραγματική ρίζα. κ R,ώστε η γ α γ 47.Αν α0 και 0, να δείξετε ότι η εξίσωση: α ρίζες πραγματικές και άνισες. α β γ 0, έχει δύο 48.Να δείξετε ότι η εξίσωση: όταν αδ=βγ. 49.Για ποιες τιμές των α, β η εξίσωση : οποία επαληθεύει και την εξίσωση: β β α 0. 50.Να δείξετε ότι, αν η εξίσωση: εξίσωση: α β γ δ 0 (αγ0), έχει μία διπλή ρίζα α β 4 0, έχει μία διπλή ρίζα η α β -4α 4β 0, έχει διπλή ρίζα, τότε η α β α β 0, έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. 51.Αν η εξίσωση: α β γ 0, (α0) έχει ρίζες πραγματικές, να δείξετε ότι η α β γ κ α β 0, έχει ρίζες πραγματικές για κάθε κ ε R. εξίσωση: 5.Αν η εξίσωση: ότι: α β 1. 4 α β 1 α β 0, έχει μία διπλή ρίζα, να δείξετε 5.Δίνεται η εξίσωση λ λ λ 1 0, λ. Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού; Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει πραγματικές; Ρίζες 54.Δίνεται η εξίσωση λ 5 0, λ. Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα το 1; Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; i Να βρεθεί η διπλή ρίζα του παραπάνω ερωτήματος. iv) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα, να υπολογίσετε την τιμή του ρ Α,
55.Δίνεται η εξίσωση λ λ λ 1 0, λ. Να βρεθεί η τιμή του λ σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις. Η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Η εξίσωση να έχει ρίζα διπλή. i Η εξίσωση να μην έχει πραγματικές ρίζες. 56.Να βρεθεί ο αριθμός Να έχει μόνο μία ρίζα. Να έχει διπλή ρίζα. 57. Αν η εξίσωση λ ώστε η εξίσωση λ λ λ 0 λ 5λ λ 0, λ έχει ρίζα τον αριθμό -1, να βρείτε το λ και μετά να δείξετε ότι το -1 είναι διπλή ρίζα. 58.Να βρεθούν οι τα α και β. 59.Δίνεται η εξίσωση α, β για να είναι ρίζες της εξίσωσης λ 5 10 0, λ. Για ποια τιμή του λ έχει μία μόνο λύση; Για ποια τιμή του λ έχει μία ρίζα διπλή; i Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης. 60.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α β γ αβ βγ αγ 0, α, β, γ έχει μία διπλή ρίζα, αν και μόνο αν α=β=γ. α β 0 ίσες με 61. Δίνεται η εξίσωση μ 0, μ. Να βρεθεί η τιμή του μ σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις. Η εξίσωση να έχει διαφορετικές ρίζες. Η εξίσωση να έχει μία διπλή ρίζα. 6.Να δείξετε ότι αν η εξίσωση 4 4 0,,, 0 διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση α β α β α β έχει α β α β 0 έχει δύο ρίζες άνισες.
6.Αν η εξίσωση μ κ 0, κ, μ έχει διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι το ίδιο θα συμβαίνει και για την εξίσωση μ μ 1 κ μ1 κ κ κ 1 0. 64.Αν η εξίσωση η εξίσωση β γ 0, β, γ δεν έχει καμία ρίζα, να δείξετε ότι β 5γ 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. 65. Αν η εξίσωση β β β 0, β έχει διακρίνουσα ίση με 4,τότε : Α.Να βρείτε τις τιμές του β R. Β.Για την μικρότερη από τις τιμές του β που βρήκατε,να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. 66.Κάθε μία από τις παρακάτω εξισώσεις λ 0 λ 1 λ 7 0 λ και Α.Να βρείτε τις τιμές του λ R. Β.Να λύσετε τις παραπάνω εξισώσεις.. έχει μια διπλή ρίζα. 67.Οι παραπάτω εξισώσεις 4λ 0 λ και 1 λ λ 4 0 έχουν την ίδια διακρίνουσα. Α.Να βρείτε τις τιμές του λ R. Β.Για την μικρότερη από τις τιμές του λ που βρήκατε,να λύσετε τις δύο εξισώσεις. 68. Δίνεται ότι η εξίσωση 1 λ λ λ 1 0, λ. έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες,από τις οποίες η μία είναι η 1. Α.Να βρεθεί η τιμή του λ. Β.Να βρεθεί η άλλη ρίζα της εξίσωσης. 69. Δίνεται ότι η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική ρίζα. Α.Να βρείτε τους αριθμούς λ, μ. Β.Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης. λ μ λ μ 4 0, λ, μ.
7 ΣΧΕΣΕΙΣ VIETTA ΕΥΡΕΣΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ-ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΡΙΖΩΝ 1.Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο ριζών των παρακάτω εξισώσεων 0 +4 0.Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο ριζών των παρακάτω εξισώσεων 4 4 1 0 5 +4 0.Να προσδιορίσετε τον λ R ώστε η εξίσωση λ =0 να έχει ρίζες με τις 1, 1 1 4.Αν για τις ρίζες της εξίσωσης α α β γ βγ 0 ισχύει ότι 1 1 1, να δείξετε ότι : β γ α 1 ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Π( 1, ) 5.Δίνεται η εξίσωση 0 α) Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων 1 1 i 1 iv) 1 1 ) 6.Δίνεται η εξίσωση 0 α) Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων 1 1 1 i ) 1 v 1 iv 1 1 1
7.Δίνεται η εξίσωση 4 0 α) Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων 1 1 1, 1 1 1 i 1 iv) 1 8.Αν 1, είναι οι ρίζες της 1 0, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= 1 +, Β= 1, Γ= 1 +, Δ= 1 + 1 1, Ε= 1 + 1 9.Aν 1, είναι οι ρίζες της α +β+γ=0 (α 0 ), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α 4 4. 1 1 1 1 10.Aν 1, ρίζες της εξίσωσης --=0 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : 1 1 α) β) 1 γ) 1 1 1 11.Αν 1, είναι ρίζες της εξίσωσης -+1=0 να υπολογιστεί η παράσταση : A = 1 1 1 1 1 1.Αν 1, είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης --=0 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : α) ( ) ( ) ( 4)( 4) 1 1 1 1 β) 1 1 1 4 4 1 1.Δίνεται η εξίσωση β γ 0,β, γ, γ 0 με ρίζες 1,. Χωρίς να υπολογιστούν οι ρίζες να βρεθούν: Το S 1 και το P 1.,, 1, 1 1 1 1 1 1 Οι τιμές των 1 γ)
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 14.Δίνεται η εξίσωση: -5+6, (1). Γράψτε την εξίσωση που έχει ρίζες: αντίθετες αντίστροφες i διπλάσιες, από τις ρίζες της (1). 15.Να κατασκευάσετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : ) και διπλή ρίζα i 1 i 1, ) iv 1 α β, α β 16.Να κατασκευάσετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : ) και διπλή ρίζα i 1 1 1 i 1, ) iv 1 α β, α β 17.Δίνεται ότι οι αριθμοί 1, είναι ρίζες της εξίσωσης 0 Να κατασκευάσετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : 1 1 και και i 1 1 και 1 1 18.Αν 1, είναι οι ρίζες της εξίσωσης έχει ρίζες τις: 1 1 ρ 1 και ρ 1 1 ρ και ρ 1 1 i ρ1 1 και ρ 1 5 7 0 να βρεθεί εξίσωση που να 19.Έστω 1, ρίζες της +10+5=0. Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες ρ 1, ρ, όταν : ρ 1 = 1, ρ = ρ 1 = 1 +, ρ = +. 0.Να κατασκευασθεί εξίσωση ου βαθμού με ρίζες : α) ρ 1 = 4 5 6, ρ = 4 5 6 β) ρ 1 = 5 5 5 5, ρ = 0 5
1.Αν ρ 1, ρ είναι οι ρίζες της +7+8=0 και 1, οι ρίζες της -+=0 να σχηματισθεί εξίσωση ου βαθμού με ρίζες 1 ρ 1 + ρ και ρ 1 + 1 ρ.αν 1, οι πραγματικές ρίζες της ++1=0 να κατασκευασθεί εξίσωση ου 1 βαθμού με ρίζες : α) ρ 1 = 1 +, ρ = + 1 1 β) ρ 1 = 1, ρ =.Δίνεται ότι οι αριθμοί 1, είναι ρίζες της εξίσωσης α β γ 0,αγ 0 Α.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων S 1, P= 1 Β.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων α β S α β α β P α β 1 και 1 Γ.Να γράψετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : 1 1 ρ 1, ρ α αβ β α αβ β 1 1 4.Δίνεται ότι οι αριθμοί, είναι ρίζες της εξίσωσης α β γ 0,αγ 0 1 Α.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων S 1, P= 1 Β.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων α β S α β α β P α β 1 και 1 Γ.Να γράψετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : 1 1 ρ 1, ρ α α β αβ β α α β αβ β 1 1 1 5.Δίνεται ότι οι αριθμοί 1, είναι ρίζες της εξίσωσης 0 Να κατασκευάσετε την εξίσωση,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : και 1 6.Αν ρ 1,ρ είναι οι ρίζες της α β γ 0,α,β, γ,α 0 και 1, οι ρίζες της εξίσωσης κ λ μ 0, κ,λ,μ, κ 0, να βρεθεί η εξίσωση που θα έχει για ρίζες της τους αριθμούς 1 ρ1 ρ και 1 ρ ρ. 1
ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΧΩΡΙΣ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ 7.Να βρείτε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων,με βάση το άθροισμα και το γινόμενο τους 5 6 0 8 0 i 6 5 0 8.Να βρεθεί το πρόσημο των ριζών των εξισώσεων: --6=0 ++=0 i -4+=0, χωρίς να λυθούν οι εξισώσεις. 9.Να βρείτε δύο αριθμούς, y ώστε: y 6 και y 5 y 4 και y 5 0.Να βρείτε δύο αριθμούς, y ώστε: y 5 και y 1 y 6 και y 1. Ένα ορθογώνιο παρ.μμο έχει εμβσδό 16cm και περίμετρο 0 cm. Να βρείτε τις διαστάσεις του. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ.Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η Δύο ρίζες ετερόσημες. Δύο ρίζες θετικές και άνισες. i Δύο ρίζες αρνητικές. iv) Δύο ρίζες αντίστροφες. λ 0 έχει:.να βρεθούν οι τιμές του α Δύο ρίζες ετερόσημες. Δύο ρίζες θετικές. i Δύο ρίζες αρνητικές και άνισες. iv) Δύο ρίζες αντίθετες. για τις οποίες η α α α 0 έχει: 4.Αν οι ρίζες της εξίσωσης : 5λ 6μ 1 0 είναι αντίθετες και οι ρίζες της εξίσωσης: λ 1 λμ λ 0, (λ 0) είναι αντίστροφεςτότε : να βρεθούν οι τιμές των λ, μ ε R να λυθούν οι εξισώσεις για τις τιμές των λ, μ, που βρήκατε.
5.Δίνεται η εξίσωση: (μ-1) -μ+μ+1=0, (μ1) με ρίζες 1, ε R. Για ποια τιμή του μ η εξίσωση: έχει ρίζες αντίθετες iι) έχει ρίζες αντίστροφες. λ λ λ λ λ 6 0. 6.Δίνεται η εξίσωση : Για ποιες τιμές του λ έχει ρίζες α) αντίθετες β) αντίστροφες 7.Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης Δ 6 0,τότε: Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει άνισες πραγματικές ρίζες,οι οποίες μάλιστα είναι θετικές. 8.Δίνεται η εξίσωση λ λ 1 λ 0,λ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Αν λ 0, 5 και 1, οι δύο ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε την τιμή της 6 6 παράστασης Α. 1 1 1 9.Έστω η εξίσωση α α β β 0,α,β,α 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α,β. Αν 1, οι δύο ρίζες της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι θα ισχύει 1 1 1. i Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α με α 1, δείξετε ότι α=β. 40.Έστω η εξίσωση λ 1 λ 0 Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες άνισες; Να βρεθεί ο λ ώστε οι ρίζες της να είναι αντίθετες. i Να λυθεί η ανίσωση d,λ 5 λ, όταν η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. 41.Αν 1, είναι οι ρίζες της εξίσωσης ο πραγματικός αριθμός λ, έτσι ώστε λ 1 0,λ, να βρεθεί 8 8 19. 1 1 1 4.Αν 1, οι ρίζες της -+λ=0, να βρεθεί ο λ ε R ώστε οι ρίζες να επαληθεύουν την παράσταση: 5 4 4 5 λ. 1 1 1 1
4.Αν για τους αριθμούς α, β, γ ισχύει γ α β γ 0,α 0 να αποδείξετε ότι: Η εξίσωση α β γ 0 δεν μπορεί να έχει ρίζες τους αριθμούς 0 και 1. Η εξίσωση α β γ 0 έχει δύο ρίζες άνισες. i Αν 1, οι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι: 1 1 1 1 0. 44.Αν 1, είναι οι ρίζες της ρίζες της εξίσωσης α β γ 0,α,β, γ,α 0 0 1 1 και ρ 1,ρ οι, να αποδειχθεί ότι αν οι 1, είναι ετερόσημες, τότε και οι ρ 1,ρ θα είναι ετερόσημες. 45.Αν 1, oι ρίζες της εξίσωσης : παράσταση : ( 1) λ( ) 0, να δείξετε ότι η Α (1 4)( 4) είναι ανεξάρτητη του λ. 46.Δίνονται οι εξισώσεις 4α 0 0 (1) και α 1 0 (). Να βρείτε τα αr αν γνωρίζουμε ότι η μία ρίζα της (1) είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της () 47.Δίνονται οι εξισώσεις --λ=0 (1) και +λ+1=0 () και οι ρίζες τους 1, και ρ 1,ρ αντίστοιχα. Να προσδιορισθεί ο λ έτσι ώστε η μία ρίζα της πρώτης να είναι ίση με το τετράγωνο της διαφοράς των ριζών της δεύτερης 48.Δίνεται η εξίσωση +λ-=0, λr. Αν οι ρίζες 1, της εξίσωσης ικανοποιούν την σχέση 1 ( 1 + )=4- να βρεθεί το λν Για τις τιμές του λ που θα βρείτε να λύσετε την ανίσωση λ 49.Αν ρ 1, ρ ρίζες της εξίσωσης λόγος των ριζών να είναι. 1 1 50.Αν ρ 1, ρ ρίζες της εξίσωσης να προσδιοριστεί ο λr ώστε ρ1 ρ 1 λ 0να προσδιοριστεί ο λr ώστε ο λ 1 λ 0
51.Αν 1, ρίζες της 5 4 4 5 λ 1 1 1 1 λ 0 να υπολογιστεί η τιμή του λ ώστε : 5.Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση +(λ-)+-λ=0 έχει ρίζες πραγματικές που ικανοποιούν την σχέση : 0<ρ 1 +ρ +ρ 1 ρ < 5.Αν 1, ρίζες της εξίσωσης 1 α, δείξτε ότι η παράσταση ( 1 )( ) είναι ανεξάρτητη του α χωρίς να λύσετε την εξίσωση. 54.Έστω η εξίσωση 4 1 0 και ρ 1,ρ οι ρίζες της. Να βρεθούν οι τιμές των παρακάτω παραστάσεων: ρ ρ ρ ρ ρ ρ 1 1 1 1 ρ ρ,, 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ 1 1 1 ρ ρ, ρ ρ 1 1 i Να σχηματίσετε εξίσωση β βαθμού με ρίζες τις 1, των παραστάσεων του ερωτήματος και μετά να υπολογίσετε το. 1 55.Δίνεται η εξίσωση β γ 0, γ 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες άνισες. Αν 1, οι δύο ρίζες της εξίσωσης, να γράψετε συναρτήσει των αριθμών β, γ τις παραστάσεις,,. 1 1 1 i Οι ρίζες της εξίσωσης είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι αριθμοί; iv) Να αποδείξετε ότι d, Δ, όπου Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης. 1 λ 1 λ 1 8 0. Να βρείτε τις τιμές του λ R η εξίσωση έχει δύο ρίζες τέτοιες ώστε το άθροισμα τους να ισούται με το γινόμενο τους. 56.Δίνεται η εξίσωση 57.Δίνονται οι εξισώσεις 5 α 0 και 7 4α 0.Να βρείτε τον α R,ώστε μια ρίζα της δεύτερης εξίσωσης να είναι διπλάσια από μια ρίζα της πρώτης. AΠ : α 1
8 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 10 9 0 6 9 0 4. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 4 0 4 0 4 i iv) i iv) 8 9 0 4 1 6 0 4 4 4 0 4 1 6 0 4. Δίνεται η εξίσωση 4 + (λ 4) + (λ + 1) = 0, λ ακέραιος αριθμός. Να βρείτε τον λ ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 4. Να λύσετε την εξίσωση 4 0 5. Να λύσετε την εξίσωση 10 6. Να λύσετε την εξίσωση 0 7. Να λύσετε την εξίσωση 1 5 4 0 8. Να λύσετε την εξίσωση 9. Να λύσετε την εξίσωση + = 0 5 + 6 = 0
10. Να λύσετε την εξίσωση 11. Να λύσετε την εξίσωση 1. Να λύσετε την εξίσωση 1. Να λύσετε την εξίσωση 6 6 7 6 0 1 1 10 + = 1 6 6-9 + 8 = 0 14. Να λύσετε την εξίσωση 8 4 15 16 0 15. Να λύσετε την εξίσωση 6 4 ( ) 4 5 16. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 1 ( ) 0 ii ) 4 5( ) 10 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ αφ β Φ γ 0 17. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 0 4 4 0 i iv) 5 4 0 0 18. Να λυθούν οι εξισώσεις 0 4 0 i 1 5 iv) 1 1 5 1 8 16 11 19. Να λυθούν οι εξισώσεις 0 ) ii 1 1 0
0. Να λυθούν οι εξισώσεις 9 ) ii 4 7 1 1. Να λυθούν οι εξισώσεις 10 ) 1 1 8 ii. Να λύσετε την εξίσωση. Να λύσετε την εξίσωση 1 4 1 0 1 6 4. Να λύσετε την εξίσωση 1 4 1 5. Να λύσετε την εξίσωση 6. Να λύσετε την εξίσωση 7. Να λύσετε την εξίσωση 4 6 0 6 6 14 0 1 8. Να λύσετε την εξίσωση 4 5 9. Αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί ο λ. 0. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 0 ) ii X 1 4 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ 1. Να λύσετε την εξίσωση. Να λύσετε την εξίσωση. Να λύσετε την εξίσωση 1 1 4 5 10 1 4
4. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 4 4 5. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 1 4 4 i 1 4 6. Να λυθούν οι εξισώσεις 6 9 15 1 i 01 iv) 5 6 4 iv) i 4 1 1 1 0 7. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 7 1 7 8. Να λυθούν οι εξισώσεις i iv) 9 6 1 1 4 4 1 6 9 6 9 4 4 6 6 9. Να λυθούν οι εξισώσεις i iv) 4 4 1 6 9 4 4 4 4 1 6 9 4 4 1 6 9 4 4 6
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 40. Να λύσετε την εξίσωση 41. Να λύσετε την εξίσωση 4. Να λύσετε την εξίσωση 4. Να λύσετε την εξίσωση 44. Να λύσετε την εξίσωση 45. Να λύσετε την εξίσωση 46. Να λύσετε την εξίσωση + - = 0 5 4 1 4 9 7 7 1 9 1 19 1 1 10 1 9 1 1 1 47. Να λύσετε την εξίσωση 1 5 48. Να λύσετε την εξίσωση 6 1 49. Να λύσετε την εξίσωση 4 11 1 1 1 50. Να λύσετε την εξίσωση 1 4 5 1 1 1 4
ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ 51. Να λύσετε την εξίσωση 4 1 16 4 0 5. Να λύσετε την εξίσωση 1 4 5. Να λύσετε την εξίσωση 4 5 54. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 0 1 4 0 55. Να λυθούν οι εξισώσεις 0 4 0 56. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 1 1 4 10 9 0 1 1 014 0 57. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 1 4 1 1 4 58. Να λυθούν οι εξισώσεις ) 0 i 59. ) 8 i Για τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμους, ισχύει ότι : 1 1 0. Να δείξετε ότι οι αριθμοί, είναι ίσοι ή αντίστροφοι. ii ) Να λύσετε την εξίσωση 6 8 6 8 4 4 6 8 6 8 4 4 44
45