Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Τραπεζικής ιοικητικής Ειδικά Θέµατα Χρηµατοοικονοµικής: Επιλογή και Αξιολόγηση Χαρτοφυλακίων Φεβρουάριος 009 : Καθηγητής ηµήτρης Μαλλιαρόπουλος e-mail: dmalliaropoulos@eurobank.gr
Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Τραπεζικής ιοικητικής Ειδικά Θέµατα Χρηµατοοικονοµικής: Επιλογή και Αξιολόγηση Χαρτοφυλακίων Καθηγητής ηµήτρης Μαλλιαρόπουλος Abstract: Το µάθηµα καλύπτει την θεωρία και την πρακτική επιλογής χαρτοφυλακίου καθώς και των µέτρων αξιολόγησης χαρτοφυλακίων. Παράλληλα µε την κλασσική θεωρία του Markowitz, δίνεται ιδιαίτερη έµφαση στη σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου για στρατηγικούς επενδυτές (Merton). Ο στρατηγικός επενδυτής επιλέγει χαρτοφυλάκια τα οποία ισοσταθµίζουν µακροοικονοµικούς κινδύνους πέρα από τον γνωστό κίνδυνο της αγοράς. Η επιλογή χαρτοφυλακίου διαφέρει ανάλογα µε την φάση του οικονοµικού κύκλου και τον ορίζοντα του επενδυτή. Τα µέτρα αξιολόγησης αφορούν τον έλεγχο του κατά πόσο η διαφορά της απόδοσης ανά µονάδα κινδύνου µεταξύ δυο χαρτοφυλακίων είναι στατιστικά σηµαντική. Σκοπός του µαθήµατος είναι να παρέχει µια βαθύτερη αντίληψη της διαχείρισης περιουσιακών στοιχείων στη διάρκεια του οικονοµικού κύκλου. H έντονη έµφαση σε εφαρµογές είναι βασικό συστατικό του µαθήµατος. Βαθµολόγηση: 30% ασκήσεις-εφαρµογές, 70% τελική γραπτή εξέταση. Αναλυτικό πρόγραµµα:. Εισαγωγή: Επενδύσεις και επιλογή χαρτοφυλακίου. Θεωρία και εφαρµογές [διαφάνειες]. Το άριστο χαρτοφυλάκιο του µυωπικού επενδυτή [σηµειώσεις] Χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου Επιλογή χαρτοφυλακίου µε αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου Το υπόδειγµα CAPM Εφαρµογές 3. Οικονοµετρικές µέθοδοι ιακύµανση σταθµίσεων χαρτοφυλακίων Στατιστικοί έλεγχοι / Εφαρµογές Προβλήµατα στην κατασκευή χαρτοφυλακίων Markowitz 4. Αντισταθµιστικά (στρατηγικά) χαρτοφυλάκια, M+ fund separation και ICAPM 5. Έλεγχος αποτελεσµατικότητας χαρτοφυλακίου [σηµειώσεις] 6. Έλεγχος Intersection και Spanning µε δύο αξιόγραφα [σηµειώσεις] Εφαρµογές 7. Έλεγχος Intersection και Spanning µε πολλά αξιόγραφα [σηµειώσεις] Εφαρµογές 8. Καθορισµός της σύνθεσης χαρτοφυλακίου µέσω παλινδρόµησης [σηµειώσεις] Εφαρµογές Βιβλιογραφία: Τις σηµειώσεις καθώς και ένα µεγάλο µέρος των άρθρων που αναφέρονται στο πρόγραµµα του µαθήµατος µπορείτε να τα πάρετε από την ιστοσελίδα του Τµήµατος. Άρθρα που δεν βρίσκονται στην ιστοσελίδα µπορείτε να τα πάρετε από τις βιβλιογραφικές βάσεις δεδοµένων της βιβλιοθήκης του πανεπιστηµίου (JSTOR, NBER, ScienceDirect, Elsevier, κλπ) και από τις ιστοσελίδες των συγγραφέων.
Οικονοµετρικά προγράµµατα: Εφαρµογές στο RATS (διατίθενται) εδοµένα: Βάση δεδοµένων διεθνών χρηµατιστηριακών δεικτών, επιτοκίων, οµολόγων, εµπορευµάτων και µετοχικών στυλ (διατίθεται) Άρθρα. Επιλογή χαρτοφυλακίου Britten-Jones, M (999) The sampling error in estimates of mean-variance efficient portfolio weights, Journal of Finance 54, pp. 655-67. Campbell, J.Y., A.W. Lo and A.C. Macinlay (997) The Econometrics of Financial Markets. Princeton University Press, Chapter 7. Campbell, J.Y. and L. Viceira (999) Consumption and portfolio decisions when expected returns are time varying. Quarterly Journal of Economics, vol. 4, pp. 433-495. Campbell, J.Y., Y.L. Chan and L. Viceira (000) A multivariate model of strategic asset allocation. Harvard University Discussion Paper. De Roon, Frans and Nijman Theo (00) Testing for mean-variance spanning: A survey. Journal of Empirical Finance, vol. 8, pp. -56. De Roon, Frans, Nijman, Theo and Jenke R. ter Horst (004) Evaluating style analysis. Journal of Empirical Finance, vol., pp. 9-53. Goorbergh Rob, Frans De Roon and Bas Werker (003) Economic hedging portfolios. Unpublished Discussion Paper, Tilburg University. Jobson J.D. and Bob orkie (989) A performance interpretation of multivariate tests of asset set intersection, spanning and mean-variance efficiency. Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 4, pp. 85-04. Gibbons, Michael, Steven Ross and Jay Shanken (989) A test of the efficiency of a given portfolio. Econometrica, vol. 57, pp. -5. Shanken Jay (986) Testing portfolio efficiency when the zero-beta rate is unknown: A note. Journal of Finance, vol. 4, pp. 69-76.. Υποδείγµατα αποτίµησης Bansal, Rαvi and Amir Yaron (004): Risks for the long run. Journal of Finance, vol. 59, pp. 48-509. Campbell, J.Y. (993) Intertemporal Asset Pricing without Consumption Data. American Economic Review, 83, 487-5. Campbell, J.Y. (996) Understanding Risk and Return. Journal of Political Economy, 04, 98-345. Fama, E.F. and.r. French (993) Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds. Journal of Financial Economics, 33, 3-56. Jagannathan, R. and Z. Wang (996) The Conditional CAPM and the Cross-Section of Expected Returns. The Journal of Finance, LI, 3-53. 3
Εισαγωγή Το βιβλίο αυτό προέκυψε από την προσωπική µου ανάγκη να κατανοήσω την σύγχρονη θεωρία επιλογής χαρτοφυλακίου. Το αξιοπερίεργο στον τοµέα αυτόν της χρηµατοοικονοµικής είναι ότι παρά την τεράστια πρόοδο που έχει σηµειώσει τα τελευταία 35 χρόνια η θεωρία αποτίµησης αξιόγραφων, το βασικό υπόδειγµα χαρτοφυλακίου παραµένει το κλασικό υπόδειγµα του Markowitz (95). Το υπόδειγµα αυτό είναι στατικό και αντιτίθεται στη βασική αρχή της χρηµατοοικονοµικής ότι οι επενδυτές επιλέγουν άριστα χαρτοφυλάκια σε βάθος χρόνου. Οι προσπάθειες µιας σύνδεσης της θεωρίας αποτίµησης µε την θεωρία χαρτοφυλακίου ξεκίνησαν σχετικά πρόσφατα (συγκεκριµένα την δεκαετία του 990), παρότι οι βασικές αρχές είναι γνωστές ήδη από το 969 µε τις εργασίες των Μerton και Samuelson, οι οποίοι έδειξαν ότι η επιλογή χαρτοφυλακίου ενός µακροχρόνιου επενδυτή µπορεί να διαφέρει σηµαντικά από την λύση του στατικού προβλήµατος του Markowitz. Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα ασχοληθούµε µε την επιλογή άριστων χαρτοφυλακίων για επενδυτές µε έµφαση σε πρακτικές εφαρµογές. Θα ξεκινήσουµε µε την κλασσική θεωρία επιλογής άριστου χαρτοφυλακίου του Markowitz. Το χαρτοφυλάκιο αυτό χαρακτηρίζει την επιλογή επενδυτών οι οποίοι ενδιαφέρονται για την µέση απόδοση και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου µε ορίζοντα επένδυσης µιας περιόδου. Η κατανοµή των αποδόσεων θεωρείται κανονική και σταθερή στον χρόνο. Κατά συνέπεια, οι αναµενόµενες αποδόσεις είναι οι µέσες δειγµατικές και ο αναµενόµενος κίνδυνος είναι ο πίνακας της δειγµατικής συνδιακύµανσης. Επιπλέον, 4
θεωρείται ότι η κατανοµή των αποδόσεων δεν εξαρτάται από άλλες οικονοµικές µεταβλητές στην διάρκεια του οικονοµικού κύκλου. Κατά συνέπεια, οι δεσµευµένες ροπές της κατανοµής είναι ίδιες µε τις αδέσµευτες. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει καµία οικονοµική µεταβλητή η οποία έχει προβλεπτική ικανότητα είτε για τις αναµενόµενες αποδόσεις είτε για τον κίνδυνο, δηλ. τον πίνακα συνδιακύµανσης. Στον κόσµο του Markowitz η επιλογή χαρτοφυλακίου δεν διαφέρει µεταξύ βραχυχρόνιων επενδυτών µε ορίζοντα επένδυσης µία περίοδο και µακροχρόνιων επενδυτών µε ορίζοντα επένδυσης πολλές περιόδους. Ο λόγος είναι ότι η ετησιοποιηµένη αναµενόµενη απόδοση µιας επένδυσης µε ορίζοντα k περιόδους είναι ίδια µε την αναµενόµενη απόδοση µίας περιόδου. Το ίδιο συµβαίνει και µε τον κίνδυνο. Θα ονοµάσουµε τους επενδυτές αυτούς µυωπικούς διότι επιλέγουν άριστα χαρτοφυλάκια για µία περίοδο και ενδεχοµένως αναπροσαρµόζουν τα χαρτοφυλάκια κάθε περίοδο µε την εισροή νέας πληροφόρησης για τις αναµενόµενες αποδόσεις και τον κίνδυνο των αξιογράφων. Οι επενδυτές αυτοί δεν ενδιαφέρονται για µακροχρόνιους κινδύνους και κατά συνέπεια δεν επιλέγουν χαρτοφυλάκια που να αντισταθµίζουν µακροχρόνιους κινδύνους. Στον κόσµο αυτόν θα συζητήσουµε τις έννοιες της αποδοτικότητας, intersection και spanning χαρτοφυλακίων και θα γνωρίσουµε στατιστικούς ελέγχους που µας βοηθούν να ξεχωρίσουµε άριστα από µη άριστα χαρτοφυλάκια. Στην συνέχεια θα χαλαρώσουµε τις περιοριστικές υποθέσεις του Markowitz µε σκοπό να διατυπώσουµε µια εναλλακτική θεωρία επιλογής άριστου 5
χαρτοφυλακίου για µακροχρόνιους στρατηγικούς επενδυτές. Θα ονοµάσουµε τους επενδυτές αυτούς στρατηγικούς για δύο λόγους. Πρώτον, οι επενδυτές αυτοί επιλέγουν χαρτοφυλάκια τα οποία αντισταθµίζουν µακροχρόνιους κινδύνους όπως για παράδειγµα τον κίνδυνο µιας οικονοµικής ύφεσης, µιας αλλαγής στα επιτόκια, µιας αλλαγής στον κίνδυνο της αγοράς κλπ. Τα χαρτοφυλάκια αυτά είναι στρατηγικά γιατί προστατεύουν από µελλοντικούς κινδύνους. εύτερον, οι επενδυτές αυτοί έχουν µεγάλο ορίζοντα σε αντίθεση µε τους µυωπικούς επενδυτές. Οι δύο αυτές αρχές είναι συνaφεíς µε το διαχρονικό υπόδειγµα αποτίµησης του Merton. Στο υπόδειγνα αυτό, τα ασφάλιστρα κινδύνου των αξιόγραφων καθορίζονται ως συναρτήσεις της συνδιακύµανσης των αποδόσεων των αξιόγραφων µε µεταβλητές κατάστασης, οι οποίες σηµατοδοτούν τον κίνδυνο µιας αλλαγής του σετ επενδυτικών δυνατοτήτων στο µέλλον, σύµφωνα µε το υπόδειγµα του Merton. Κατά συνέπεια, το χαρτοφυλάκιο του επενδυτή αποτελείται από δύο µέρη: (α) το χαρτοφυλάκιο του Markowitz και (β) την αντισταθµιστική ζήτηση για αξιόγραφα τα οποία προστατεύουν το χαρτοφυλάκιο από µελλοντικούς κινδύνους. Η κατανόηση της θεωρίας επιλογής χαρτοφυλακίου απαιτεί την χρήση σύνθετων µαθηµατικών και στατιστικών εργαλείων. Στο βιβλίο αυτό θα προσπαθήσουµε να ελαχιστοποιήσουµε την χρήση δύσκολων µαθηµατικών πέρα από τα απολύτως απαραίτητα. Η κατανόηση του αντικειµένου απαιτεί βασικές γνώσεις γραµµικής άλγεβρας, στατιστικής και οικονοµετρίας. Τέλος, η επιλογή χαρτοφυλακίου είναι ένα αντικείµενο µε εφαρµογές στην πράξη. Για να µπορεί η θεωρία να εφαρµοστεί στην πράξη, πρέπει να οδηγεί 6
σε λύσεις οι οποίες να µπορούν να εκτιµηθούν µε απλές µεθόδους στατιστικής και οικονοµετρίας. Έχουµε φροντίσει ώστε όλες οι λύσεις των υποδειγµάτων να είναι εφαρµόσιµες και σε πολλά κεφάλαια θα συζητήσουµε εµπειρικές εφαρµογές. Αυτό ισχύει ακόµη και για το κεφάλαιο της επιλογής στρατηγικών χαρτοφυλακίων, όπου η σύγχρονη θεωρητική βιβλιογραφία συχνά οδηγεί σε λύσεις που δεν είναι εύκολα εφαρµόσιµες. Αυτός είναι και ένας λόγος που εξηγεί γιατί η βιβλιογραφία αυτή δεν έχει ακόµη διαδοθεί στον κόσµο της διαχείρησης περιουσίας. Ο κύριος λόγος για την περιορισµένη εφαρµοσιµότητα της σύγχρονης θεωρίας επιλογής χαρτοφυλακίου είναι κατά την άποψη µου το γεγονός ότι δεν έχουµε κατανοήσει επαρκώς την σχέση µεταξύ της θεωρίας χαρτοφυλακίου και της θεωρίας αποτίµησης αξιόγραφων. Στην πραγµατικότητα, οι δύο θεωρίες είναι οι δύο όψεις του ίδιου νοµίσµατος, καθώς έχουν και οι δύο ως βάση το διαχρονικό υπόδειγµα του καταναλωτή (Consumption Capital Asset Pricing Model, CCAPM). Το υπόδειγµα αυτό καθορίζει τόσο τα ασφάλιστρα κινδύνου και το πραγµατικό επιτόκιο µηδενικού κινδύνου όσο και την επιλογή της διαχρονικής πορείας της κατανάλωσης και του άριστου χαρτοφυλακίου µε βάση τις προσδοκίες και τους κινδύνους που αντιµετωπίζει ο επενδυτής. ηµήτρης Μαλλιαρόπουλος 7
Επιλογή Χαρτοφυλακίου Το αποδοτικό όριο Στο κεφάλαιο αυτό θα επικεντρωθούµε στην επιλογή του άριστου χαρτοφυλακίου επενδυτών µε ορίζοντα µιας περιόδου σύµφωνα µε τον Μarkowitz. Το υπόδειγµα υποθέτει ότι οι αποδόσεις ακολουθούν κανονική κατανοµή µε σταθερή διακύµανση. Κατά συνέπεια, ο επενδυτής ενδιαφέρεται µόνο για τις πρώτες δυο ροπές της κατανοµής (µέσο και διακύµανση), καθώς αυτές ορίζουν πλήρως την κανονική κατανοµή. Η συνάρτηση χρησιµότητας του επενδυτή είναι θετική στην αναµενόµενη απόδοση και αρνητική στην διακύµανση του χαρτοφυλακίου. Αυτό προκύπτει όταν η συνάρτηση χρησιµότητας του επενδυτή είναι τετραγωνική στην κατανάλωση ή τον πλούτο, καθώς θεωρούµε ότι ο επενδυτής δεν έχει εισόδηµα από εργασία και κατά συνέπεια η µόνη πηγή κατανάλωσης είναι ο πλούτος του. Η τετραγωνική συνάρτηση χρησιµότητας είναι πολυ περιοριστική. Όµως, µπορούµε να χαλαρώσουµε αυτή την υπόθεση και να αντιληφθούµε την συνάρτηση χρησιµότητας του Markowitz ως το αποτέλεσµα µιας γραµµικής προσέγγισης Taylor ου βαθµού µιας γενικής συνάρτησης χρησιµότητας πλούτου U(W) βλέπε Παράρτηµα: Συνάρτηση Χρησιµότητας. Ο επενδυτής επιλέγει το χαρτοφυλάκιο το οποίο µεγιστοποιεί την αναµενόµενη απόδοση µε δεδοµένη διακύµανση (κίνδυνο) ή, αντίστροφα, το χαρτοφυλάκιο το οποίο ελαχιστοποιεί την διακύµανση µε δεδοµένη την αναµενόµενη απόδοση. Καταρχήν θα εξετάσουµε χαρτοφυλάκια αξιογράφων µε 8
κίνδυνο. Στο επόµενο κεφάλαιο θα εξετάσουµε χαρτοφυλάκια στα οποία το ένα αξιόγραφο είναι µηδενικού κινδύνου. Όλα τα χαρτοφυλάκια που θα εξετάσουµε δεν υφίστανται περιορισµούς short selling. Ορίζουµε: : διάνυσµα αναµενόµενων αποδόσεων περιουσιακών στοιχείων ( x ) w : διάνυσµα σταθµίσεων περιουσιακών στοιχείων στο χαρτοφυλάκιο ( x) : Πίνακας διακύµανσης/συνδιακύµανσης αποδόσεων ( x ) : βαθµός αποστροφής κινδύνου ( x ) Η αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι E( r) = µ p = w µ. Η διακύµανση του χαρτοφυλακίου είναι: Var[ r ] = σ = E( µ µ ') = w Σ. p, t p p p w Το πρόβληµα µεγιστοποίησης χρησιµότητας του επενδυτή ορίζεται ως: γ maxu = w µ w Σw w s. t.: w i = ' όπου i είναι το ( x ) µοναδιαίο διάνυσµα, = (,,...). O περιορισµός i w i = σηµαίνει ότι οι σταθµίσεις του χαρτοφυλακίου προστίθενται στην µονάδα. Το πρόβληµα χωρίς περιορισµούς µπορεί να γραφτεί ως: max u w w w w w i όπου η είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange, ο οποίος µπορεί να ορισθεί ως η απόδοση του χαρτοφυλακίου µηδενικού κινδύνου µε beta=0 (zero beta portfolio return). 9
Η συνθήκη πρώτου βαθµού δίνει το άριστο χαρτοφυλάκιο: ϑ u / ϑw = 0 w i Η σύνθεση του άριστου χαρτοφυλακίου κατά Markowitz είναι συνάρτηση τριών παραµέτρων: (α) της αναµενόµενης απόδοσης των αξιόγραφων πάνω από την απόδοση του χαρτοφυλακίου µηδενικού κινδύνου, (β) του κινδύνου των αξιόγραφων, όπως αυτός µετράται από τον πίνακα συνδιακύµανσης και (γ) του βαθµού αποστροφής κινδύνου του επενδυτή. Ας σηµειωθεί ότι ο πολλαπλασιαστής lagrange η δεν είναι γνωστός και κατά κανόνα είναι µη παρατηρήσιµος. Μπορούµε να δείξουµε ότι ο πολλαπλασιαστής lagrange εξαρτάται από τον βαθµό αποστροφής κινδύνου. Κατά συνέπεια, καθορίζοντας στο πρόβληµά µας τον τύπο του επενδυτή, ορίζουµε ταυτόχρονα και το η. Απόδειξη: Πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά την συνθήκη άριστου χαρτοφυλακίου w = γ Σ ( µ ηi ) µε i, παίρνουµε: = i w = γ i Σ ( µ ηi ). Λύνοντας για τον βαθµό αποστροφής κινδύνου, παίρνουµε: γ = i Σ µ ηi Σ i = B ηa, όπου Α και Β είναι δυο σταθερές (efficient set constants). 0
µ p = Ε(r p ) Αποδοτικό όριο Άριστο χαρτοφυλάκιο w(γ) Άριστο χαρτοφυλάκιο w(γ) Χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου (GMV) σ p ιάγραµµα : Αποδοτικό όριο
Εφαρµογή: αξιόγραφα µε κίνδυνο Έστω ότι ο επενδυτής επιλέγει χαρτοφυλάκιο µε δύο αξιόγραφα. Το πρόβληµα είναι: max u w w w w w w w w Η λύση είναι: w w Υπενθυµίζουµε ότι ο αντίστροφος ενός πίνακα x είναι: Σ σ = σ = σ σ σ σ σ = σ σ σ σ Οι σταθµίσεις του άριστου χαρτοφυλακίου µπορούν να γραφτούν πιο απλά ως: w w = γ [ σ ( µ η) σ ( µ η)] σ = γ [ σ σ σ ( µ η) + σ ( µ η)] σ σ σ
Παράρτηµα: Συνάρτηση χρησιµότητας Η συνάρτηση χρησιµότητας του επενδυτή στο υπόδειγµα του Markowitz είναι το αποτέλεσµα µιας γραµµικής προσέγγισης Taylor ου βαθµού µιας συνάρτησης χρησιµότητας E u( ) µε t C t+ w Ct Wt w + = + = Rt+ ( Wt Ct ) = Rt+ ( Wt Ct ), όπου R t+ = + rt + και w i =. w Παίρνοντας την προσέγγιση γύρω από το R0 = και W0 C0 έχουµε: w w E tu( Ct + ) = u( W0 C0 ) + u' ( W0 ) Et ( Rt+ ) + u' '( W0 C0 ) Vart ( Rt+ ) Υποθέτοντας ότι οι αποδόσεις είναι κανονικές και χρησιµοποιώντας τους w w ορισµούς E R ) = w' E ( R ) ' µ και Var ( R w = Σ, όπου R t+ t ( t+ t t+ = w t t+ ) w είναι το διάνυσµα των καθαρών αποδόσεων των αξιογράφων, έχουµε Etu( Ct+ ) = u( W0 C0 ) + u'( W0 C0 ) w' µ + u''( W0 C0 ) w' Σw ιαιρώντας και τις δύο πλευρές µε u ( W ), έχουµε E u( C t ) u'( W C ' 0 γ = const + w' µ + w Σw t + ' 0 0 ) u' ' ( W0 C0 ) όπου γ = ο βαθµός αποστροφής κινδύνου του επενδυτή. u' ( W C ) 0 0 3
Εφαρµογή: Κατασκευή αποδοτικού όριου µε γεωγραφικούς δείκτες (Αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) ίδονται οι µηνιαίες αποδόσεις τριών χρηµατιστηριακών δεικτών (Αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) από το 973: έως το 00:3. Οι µέσες αποδόσεις είναι: AUSTRIA: 0.00695 IRELAND: 0.054 ITALY: 0.09 Ο πίνακας συνδιακύµανσης είναι: AUSTRIA IRELAND ITALY AUSTRIA 0.003697640 0.304656589 0.5353746 IRELAND 0.000369866 0.00403893 0.3794589 ITALY 0.000390576 0.00685484 0.00536809 Το αποδοτικό όριο µπορεί να κατασκευαστεί από την w = γ Σ ( µ ηi ) µεταβάλλοντας το γ και χρησιµοποιώντας την συνθήκη γ = i Σ µ ηi Σ i = B ηa, για να καθορίσουµε το η. Στο ιάγραµµα φαίνεται το αποδοτικό όριο των χαρτοφυλακίων τα οποία αποτελούνται από τους παραπάνω τρείς χρηµατιστηριακούς είκτες για γ από 0.0 (πάνω δεξιά) έως 0 (κάτω αριστερά). Η σύνθεση του αποδοτικού χαρτοφυλακίου για γ=0.0 είναι AUSTRIA: 0.3483 IRELAND: 0.6366 ITALY: 0.89 Η σύνθεση του αποδοτικού χαρτοφυλακίου για γ=0 είναι AUSTRIA: 0.36360 IRELAND: 0.4609 ITALY: 0.03 εδοµένα: emu_ret.ws. Program: frontier_gama.prg. νδία)ιρλανδία)(αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) 4
0.0350 Efficient frontier (gama=[0.0 to 0]) 0.035 Mean return 0.0300 0.075 0.050 0.05 0.000 0.075 γ=0 γ=0.0 0.050 0.046 0.047 0.048 0.049 0.050 0.05 0.05 Standard deviation ιάγραµµα : Υπολογισµός αποδοτικού όριου µε µεταβολή του βαθµού αποστροφης κινδύνου, γ 5
Το σφαιρικό χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου (GMV: global minimum variance portfolio) Ποιο είναι το χαρτοφυλάκιο πάνω στο αποδοτικό όριο µε την ελάχιστη διακύµανση; Για να το βρούµε, πρέπει να λύσουµε το πρόβληµα: Ή: γ min u = w Σw w s. t. : w i = min u w w w w i Η συνθήκη πρώτου βαθµού είναι: w i Για να καθορίσουµε το, πολλαπλασιάζουµε την συνθήκη πρώτου βαθµού µε i. Από τον περιορισµό ότι οι σταθµίσεις του χαρτοφυλακίου πρέπει να αθροίζουν στην µονάδα i w = w i = προκύπτει: i w i i. i i Αντικαθιστώντας το στην συνθήκη πρώτου βαθµού δίνει τα σταθµά του 6
σφαιρικού χαρτοφυλακίου ελάχιστου κινδύνου (GMV portfolio): Σ wgmv = i Σ i i Με άλλα λόγια, η άριστη στάθµιση του στοιχείου i στο χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου (δηλ. το στοιχείο i του διανύσµατος w) δίδεται ως: w GMV Άθροισµα σειράς i Σ i = Άθροισµα όλων των στοιχείων Σ, 7
Εφαρµογή: Καθορισµός σφαιρικού χαρτοφυλακίου ελάχιστου κινδύνου µε γεωγραφικούς δείκτες (Αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) ίδονται οι µηνιαίες αποδόσεις τριών χρηµατιστηριακών δεικτών (Αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) από το 973: έως το 00:3. Οι µέσες αποδόσεις είναι: AUSTRIA: 0.00695 IRELAND: 0.054 ITALY: 0.09 Ο πίνακας συνδιακύµανσης είναι: AUSTRIA IRELAND ITALY AUSTRIA 0.003697640 0.304656589 0.5353746 IRELAND 0.000369866 0.00403893 0.3794589 ITALY 0.000390576 0.00685484 0.00536809 Το σφαιρικό χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου είναι: AUSTRIA: 0.47694 IRELAND: 0.3070 ITALY: 0.605 Η απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι: 0.0063. Η διακύµανση του χαρτοφυλακίου είναι: 0.00. εδοµένα: emu_ret.ws. Program: frontier_gmv_opt.prg. νδία)ιρλανδία)(αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) 8
Κατασκευή του αποδοτικού συνόρου µε συνδιασµό δυο αποδοτικών χαρτοφυλακίων Η δυσκολία στην κατασκευή του αποδοτικού ορίου έγκειται στο γεγονός ότι στο γενικό υπόδειγµα του προηγούµενου κεφαλαίου το αποδοτικό χαρτοφυλάκιο είναι συνάρτηση δυο αγνώστων παραµέτρων: του βαθµού αποστροφής κινδύνου, γ, και της απόδοσης του χαρτοφυλακίου το οποίο είναι ορθογώνιο στο αποδοτικό χαρτοφυλάκιο, η. Όµως, το αποδοτικό όριο µπορεί να κατασκευαστεί ως γραµµικός συνδιασµός οποιωνδήποτε δυο αποδοτικών χαρτοφυλακίων (βλέπε: Campbell, Lo, Macinlay, Chapter 5, result ). Επιλέγουµε ως το ένα χαρτοφυλάκιο το σφαιρικό χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου. Το άλλο χαρτοφυλάκιο µπορεί να είναι το χαρτοφυλάκιο ενός επενδυτή µε γ=. Αυτή η ειδική περίπτωση χαρακτηρίζει έναν επενδυτή µε λογαριθµική χρησιµότητα. Το πρόβληµα του επενδυτή µε λογαριθµική χρησιµότητα είναι: max u = w µ w w Σw Ο περιορισµός w i = δεν επιβάλλεται στο παραπάνω πρόβληµα. Κατά συνέπεια, για να βρούµε τις άριστες σταθµίσεις, πρέπει να διαιρέσουµε τις σταθµίσεις που προκύπτουν από τη λύση του προβλήµατος µε το άθροισµά ' τους, i Σ µ. Η συνθήκη πρώτου βαθµού δίνει το άριστο χαρτοφυλάκιο: ϑ u / ϑw = 0 9
w γ = = Σ ' i Σ µ Το αποδοτικό όριο µπορεί να υπολογιστεί ως ο γραµµικός συνδιασµός µεταξύ του w GMV και του w γ= : µ w p = ( a) wgmv + awγ = Για α µεταξύ 0 και, κατασκευάζεται το αποδοτικό όριο µεταξύ w GMV και του w γ=, βλέπε ιάγραµµα 3. µ p = Ε(r p ) Αποτελεσµατικό όριο Χαρτοφυλάκιο w(γ=) Σφαιρικό χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου (GMV) σ p ιάγραµµα 3 : Αποδοτικό όριο ως συνδιασµός δυο χαρτοφυλακίων 0
Εφαρµογή: Κατασκευή αποδοτικού ορίου µε γεωγραφικούς δείκτες (Αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) Στο προηγούµενο παράδειγµα τριών χρηµατιστηριακών δεικτών (Αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) µπορούµε να βρούµε το χαρτοφυλάκιο για γ=. Το χαρτοφυλάκιο αυτό είναι: AUSTRIA: 0.3874 IRELAND: 0.6350 ITALY: 0.876 Η απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι: 0.0344. Η διακύµανση του χαρτοφυλακίου είναι: 0.0068. Όπως βρίκαµε παραπάνω, το σφαιρικό χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου είναι: AUSTRIA: 0.47694 IRELAND: 0.3070 ITALY: 0.605 Η απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι: 0.0063. Η διακύµανση του χαρτοφυλακίου είναι: 0.00. Το αποδοτικό όριο µπορεί να υπολογιστεί ως ο γραµµικός συνδιασµός µεταξύ του w GMV και του w γ= : w p = ( a) wgmv + awγ = Για α µεταξύ 0 και, το αποδοτικό όριο µεταξύ w GMV και του w γ=, δίδεται στο ιάγραµµα 4. εδοµένα: emu_ret.ws. Program: frontier_gmv_opt.prg νδία)ιρλανδία)(αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία)
0.035 Efficient Frontier w(γ=) 0.030 0.05 M ean retu rn 0.00 0.05 0.00 0.005 w(gmv) 0.046 0.047 0.048 0.049 0.050 0.05 0.05 Standard deviation ιάγραµµα 4 : Αποδοτικό όριο ως συνδιασµός δυο χαρτοφυλακίων
Χαρτοφυλάκια µε ένα περιουσιακό στοιχείο µηδενικού κινδύνου Ας υποθέσουµε ότι ο επενδυτής κατανέµει τον πλούτο του µεταξύ Κ περιουσιακών στοιχείων µε κίνδυνο και περιουσιακού κινδύνου χωρίς κίνδυνο (κατάθεση). Ο επενδυτής κατανέµει ένα ποσοστό w 0 του πλούτου του στο στοιχείο χωρίς κίνδυνο µε γνωστή απόδοση rf και ένα ποσοστό w του πλούτου του στα Κ στοιχεία µε κίνδυνο µε αναµενόµενη απόδοση µ, όπου µ είναι ένα διάνυσµα (Κ x ). Ο περιορισµός χαρτοφυλακίου είναι w 0 + w i =. Η αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι µ = 0 r + w µ. Καθώς ο p w F περιορισµός χαρτοφυλακίου µπορεί να γραφτεί ως w = w i 0, η αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι: µ p = ( w i ) rf + w µ = rf + w ( µ rf i ). Ορίζουµε το διάνυσµα των αναµενόµενων υπερβαλουσών αποδόσεων πάνω από το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου ως: µ = µ r Η διακύµανση των υπερβαλουσών αποδόσεων είναι rr. Η διακύµανση της απόδοσης του χαρτοφυλακίου είναι: r F i. Var( r, ) = σ = w Σ w. p t p rr 3
Το πρόβληµα µεγιστοποίησης της χρησιµότητας του επενδυτή είναι: max u w r w w rr w Το άριστο χαρτοφυλάκιο των στοιχείων µε κίνδυνο προκύπτει ως: w = γ Σ ( µ r i Το ποσοστό του πλούτου που επενδύεται στο στοιχείο χωρίς κίνδυνο προκύπτει από τον περιορισµό w 0 w i. rr F ) µ r = Ε(r p )-r f Κλíση λόγου Sharpe Αποδοτικό όριο Άριστο χαρτοφυλάκιο w(γ) Χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου (GMV) σ p ιάγραµµα 5: Αποδοτικό όριο χαρτοφυλακίου µε υπερβάλλουσες αποδόσεις 4
Θεώρηµα δυο αµοιβαίων κεφαλαίων (Two fund separation) Όταν υπάρχει ένα περιουσιακό στοιχείο χωρίς κίνδυνο, το άριστο χαρτοφυλάκιο του επενδυτή θα είναι ένας γραµµικός συνδιασµός µεταξύ του αξιογράφου χωρίς κίνδυνο και ενός χαρτοφυλακίου των Κ αξιογράφων µε κίνδυνο (two fund separation). Όλοι οι επενδυτές θα κρατούν ένα και µοναδικό χαρτοφυλάκιο µε κίνδυνο, το λεγόµενο εφαπτώµενο χαρτοφυλάκιο (tangency portfolio) και το αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου. Συντηρητικοί επενδυτές θα κρατούν ένα µεγαλύτερο ποσοστό του πλούτου τους στο αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου. Επιθετικοί επενδυτές θα κρατούν µεγαλύτερο ποσοστό του πλούτου τους στο χαρτοφυλάκιο µε κίνδυνο. Πολύ επιθετικοί επενδυτές θα δανείζονται στο επιτόκιο µηδενικού κινδύνου και θα επενδύουν ένα πολλαπλάσιο του πλούτου τους στο χαρτοφυλάκιο µε κίνδυνο (µόχλευση). Ο περιορισµός χαρτοφυλακίου είναι w 0 + w i =. Με ένα αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου, οι σταθµίσεις του χαρτοφυλακίου σε αξιόγραφα µε κίνδυνο δεν πρέπει απαραίτητα να αθροίζουν στην µονάδα καθώς w i µπορεί να επενδυθεί στο αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου. Η αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι µ = 0 r + w µ. Καθώς ο p w F περιορισµός χαρτοφυλακίου µπορεί να γραφτεί ως w w 0 = i, η αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι: 5
µ p = ( w i ) rf + w µ = rf + w ( µ rf i ). Ορίζουµε το διάνυσµα των αναµενόµενων υπερβαλουσών αποδόσεων πάνω από το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου ως: µ = µ r r Η διακύµανση των υπερβαλουσών αποδόσεων είναι Σ rr. Η διακύµανση της απόδοσης του χαρτοφυλακίου είναι: Var( r ) = σ = w Σ. F i. p, t p rr w Το άριστο χαρτοφυλάκιο µε αναµενόµενη απόδοση µ p θα είναι η λύση του προβλήµατος: min u s. t. : w = w µ = r p Σ F rr w + w ( µ r i F ) Το πρόβληµα χωρίς περιορισµούς είναι: min u = w Σ rr w + δ ( rf + w ( µ rf i ) µ p ) w Το άριστο χαρτοφυλάκιο των στοιχείων µε κίνδυνο προκύπτει ως: w = δ Σ ( µ r i rr F ) Η σταθερά δ είναι µια θετική συνάρτηση του αναµενόµενου ασφάλιστρου κινδύνου του επενδυτή µ r ). Με άλλα λόγια, ο επενδυτής επιλέγει ένα ( p F χαρτοφυλάκιο πάνω στο αποδοτικό όριο, ανάλογα µε το ασφάλιστρο κινδύνου 6
που επιθυµεί ( ιάγραµµα 5). Όσο υψηλότερο ασφάλιστρο κινδύνου επιθυµεί ο επενδυτής, τόσο µεγαλύτερη και ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου. Για να το δείξουµε αυτό, χρησιµοποιούµε τον περιορισµό µ = r + w µ r i ). p F ( F Παίρνοντας την αντίστροφη της w = δσ ( µ r i rr F ) και αντικαθιστώντας στην µ = r + w µ r i ) έχουµε: δ p F ( F άριστο χαρτοφυλάκιο προκύπτει ως: ( µ r p F = ( µ rf i )' Σ rr ) ( µ r i F. Κατά συνέπεια, το ) w = ( µ r ( µ p rf ) Σ rr ( µ r i i )' Σ ( µ r i ) F F rr F ) Απόδειξη: Από την w = δσ rr ( µ rf i ) έχουµε: w ' = δ ( µ r F i )' Σ rr και w'( µ r i F ) = δ ( µ r i F )' Σ rr ( µ r i F ). Από την µ = r + w µ r i ) έχουµε: p F ( F w ( µ r i ) = µ r. Συνδιάζοντας τις δυο συνθήκες, παίρνουµε: F ( µ p rf ) δ =. ( µ r i )' Σ ( µ r i ) F p rr F F Από την παραπάνω έκφραση µπορούµε να ορίσουµε το εφαπτώµενο χαρτοφυλάκιο (tangency portfolio). Το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο είναι το χαρτοφυλάκιο πάνω στο αποδοτικό όριο µε τη µέγιστη υπερβάλλουσα απόδοση ανά µονάδα κινδύνου (Sharpe ratio), δηλ. το µέγιστο µ p / std ( µ p ). ιαγραµµατικά, η µέγιστη υπερβάλλουσα απόδοση ανά µονάδα κινδύνου παριστάνεται από την ευθεία η οποία ξεκινάει από το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου R f και εφάπτεται στο αποδοτικό όριο. Το σηµείο στο οποίο η ευθεία αυτή εφάπτεται στο αποδοτικό όριο, ορίζεται το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο 7
(βλέπε ιάγραµµα 6). Το χαρτοφυλάκιο αυτό µπορούµε να το υπολογίσουµε από τον περιορισµό ότι τα σταθµά του θα πρέπει να αθρίζουν στη µονάδα ' i w =. Πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά τα σταθµά του άριστου χαρτοφυλακίου w = δσ ( µ r i ) µε προκύπτει: rr F ' i = δ ' tani Σ rr ( µ r i F ) δ tan = i ' Σ rr ( µ r i F ) Αντικαθιστώντας την παραπάνω έκφραση στο w = δσ ( µ r i rr F ), βρίσκουµε τα σταθµά του εφαπτόµενου χαρτοφυλακίου: w tan rr = Σ ( rr µ rf i i ' Σ ( µ r i ) F ) Ο όρος i ' Σ ( µ r i rr F ) είναι το άθροισµα των στοιχείων του χαρτοφυλακίου. ιαιρώντας µε το άθροισµα αυτό, επιβάλλουµε τον περιορισµό ότι οι σταθµίσεις του χαρτοφυλακίου µε κίνδυνο πρέπει να αθροίζουν στην µονάδα. Το ιάγραµµα 6 δείχνει το αποδοτικό όριο µε ένα αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου. Το χαρτοφυλάκιο Ε είναι το εφαπτώµενο χαρτοφυλάκιο. Όλοι οι επενδυτές επιλέγουν ένα χαρτοφυλάκιο πάνω στην ευθεία r F A. Η ευθεία αυτή είναι το αποδοτικό όριο. Επενδυτές µε υψηλό γ (υψηλή αποστροφή στον κίνδυνο) επιλέγουν σηµεία πάνω στην ευθεία κοντά στο ενώ επενδυτές µε r F χαµηλό γ επιλέγουν σηµεία πάνω στην ευθεία κοντά στο Ε. Στο τµήµα r F E οι επενδυτες έχουν θετικές ποσότητες του αξιογράφου µε κίνδυνο. Στο τµήµα ΕΑ, οι επενδυτές δανείζονται στο αξιόγραφο χωρίς κίνδυνο και επενδύουν στο χαρτοφυλάκιο µε κίνδυνο (µόχλευση). 8
µ p = Ε(r p ) E A Αποδοτικό όριο Tangency portfolio Χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου (GMV) r F σ p ιάγραµµα 6: Αποδοτικό όριο όταν υπάρχει αξιόγραφο χωρίς κίνδυνο 9
Εφαρµογή: Το εφαπτώµενο χαρτοφυλάκιο µε γεωγραφικούς δείκτες (Αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) Στο προηγούµενο παράδειγµα τριών χρηµατιστηριακών δεικτών (Αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) µπορούµε να βρούµε το εφαπτώµενο (tangency) χαρτοφυλάκιο µε ένα επιτόκιο µηδενικού κινδύνου 0.04% ετησίως. Το επιτόκιο αυτό αντιστοιχεί σε 0.00% τον µήνα. Το εφαπτώµενο χαρτοφυλάκιο είναι: AUSTRIA: 0.7090 IRELAND: 0.779 ITALY: 0.879 Η απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι: 0.0656. Η διακύµανση του χαρτοφυλακίου είναι: 0.00407. Το αποδοτικό όριο δίδεται στο ιάγραµµα 7. εδοµένα: emu_ret.ws. Program: frontier_tangency.prg νδία)ιρλανδία)(αυστρία, Ιταλία, Ιρλανδία) 30
0.08 0.06 0.04 Efficient Frontier Tangency portfolio Mean return 0.0 0.00 0.008 0.006 Αποδοτικό όριο όλων των χαρτοφυλακίων µε κίνδυνο 0.004 R F 0.00 0.00 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Standard deviation ιάγραµµα 7: Αποδοτικό όριο όταν υπάρχει αξιόγραφο χωρίς κίνδυνο Στο διάγραµµα φαίνεται το αποδοτικό όριο ως η ευθεία η οποία ξεκινάει από το σηµείο (0, 0.00). Το εφαπτώµενο χαρτοφυλάκιο είναι το χαρτοφυλάκιο όπου η ευθεία αυτή εφάπτεται µε το αποδοτικό όριο όλων των χαρτοφυλακίων µε κίνδυνο (µπλέ γραµµή). 3
Το Υπόδειγµα CAPM Στο κεφάλαιο αυτό θα δείξουµε ότι αν όλοι οι επενδυτές κρατούν το άριστο χαρτοφυλάκιο, τότε ισχύει το υπόδειγµα της αγοράς (Capital Asset Pricing Model, CAPM). Η λογική είναι η εξής: Αν οι αποδόσεις είναι κανονικές, τότε οι αναµενόµενες αποδόσεις και ο κίνδυνος είναι ίσες µε τις αδέσµευτες αποδόσεις και τον πίνακα των αδέσµευτων συνδιακυµάνσεων της από κοινού κατανοµής των αποδόσεων. Αυτές οι ροπές της κατανοµής είναι γνωστές σε όλους τους επενδυτές. Κατά συνέπεια, όλοι οι επενδυτές έχουν τις ίδιες προσδοκίες και εάν δεν υπάρχουν περιορισµοί στις επενδυτικές τους επιλογές, όλοι κρατούν το ίδιο άριστο χαρτοφυλάκιο. Το χαρτοφυλάκιο αυτό είναι το χαρτοφυλάκιο αγοράς. Κατά συνέπεια, ισχύει το υπόδειγµα της αγοράς CAPM. Οι υποθέσεις που κάναµε είναι οµολογουµένως πολύ ισχυρές, όµως αυτός είναι και ο λόγος που παίρνουµε ένα τόσο ισχυρό αποτέλεσµα. Το σηµείο εκκίνησης για την απόδειξη του CAPM είναι ο κανόνας του άριστου χαρτοφυλακίου: w i. Λύνοντας για τις υπερβάλλουσες αποδόσεις, παίρνουµε: i w. Στο παράδειγµα δυο αξιογράφων, η συνθήκη αυτή είναι: µ η = γ ( w σ µ η = γ ( w σ + w σ + w σ ) ) Για να πάρουµε µια εξίσωση για την απόδοση του χαρτοφυλακίου, πολλαπλασιάζουµε την συνθήκη άριστου χαρτοφυλακίου µε w : Καθώς w ( µ ηi m ) = γw Σw µ η = γσ m 3
w i m, w w m όπου µ and είναι η απόδοση και η διακύµανση του χαρτοφυλακίου της m σ m αγοράς. Από την συνθήκη αυτή προκύπτει: m m Εφαρµογή: x Στην περίπτωση x η συνθήκη w ( µ ηi ) = γw Σw είναι: w ( µ ηi ) = ( w w ) µ η = µ η ( w µ + w µ ) ( w + w ) η = µ η m w w w w w w w w w w w w w w w m Η τελευταία εξίσωση προκύπτει από τον ορισµό της διακύµανσης: w σ = E ( µ m ) m r m = E w r w r w w w w 33
CAPM Αντικαθιστούµε την συνθήκη γ µ η = στην ηi = γσw m σ m µ : σ µ m η µ m η µ ηi = Σw = M σ m σ m σ m nm Η τελευταία εξίσωση είναι το CAPM. Η αναµενόµενη υπερβάλλουσα απόδοση κάθε περιουσιακού στοιχείου µε κίνδυνο δίδεται ως το γινόµενο του beta του αξιόγραφου και της υπερβάλλουσας απόδοσης του χαρτοφυλακίου της αγοράς. Το beta δίδεται ως ο λόγος της συνδιακύµανσης του αξιόγραφου µε την αγορά προς την διακύµανση της αγοράς. Για να το δούµε αυτό, γράφουµε την παραπάνω εξίσωση ως ένα σύστηµα εξισώσεων για τα Κ αξιόγραφα: µ η = β ( µ η) µ η = β ( µ η)... µ η = β ( µ η) Κ Κ m m m όπου β = σ i im / σ m, i=,,. 34
Εφαρµογή: αξιόγραφα µε κίνδυνο µ m η µ ηi = Σw σ m m m m m m m w w w w w w m m Σηµείωση: m E r w r w r w w, m E r w r w r w w Άρα, ισχύει το CAPM: m m m m m m m m Απόδοση στοιχείου µηδενικού beta (Zero beta return): Αν ένα περιουσιακό στοιχείο, π.χ. το στοιχείο, είναι µηδενικού κινδύνου, τότε η συνδιακύµανση του µε το χαρτοφυλάκιο αγοράς θα είναι 0, δηλ. β = 0. Κατά συνέπεια, µ = η. Αυτό σηµαίνει ότι ο πολλαπλασιαστής Lagrange είναι 35
το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου. Γενικότερα, αν υπάρχει ένα χαρτοφυλάκιο µε µηδενικό beta µε το χαρτοφυλάκιο αγοράς, τότε η απόδοση του ορίζει τον πολλαπλασιαστή Lagrange. Οικονοµετρικές Τεχνικές Η διακύµανση των σταθµίσεων του άριστου χαρτοφυλακίου Καθώς οι αποδόσεις και ο πίνακας συνδιακύµανσης είναι τυχαίες µεταβλητές, είναι φανερό ότι και το διάνυσµα σταθµίσεων του άριστου χαρτοφυλακίου είναι µια τυχαία µεταβλητή. Η εκτίµηση ενός άριστου χαρτοφυλακίου θα πάσχει πάντα από αβεβαιότητα καθώς τα λάθη εκτίµησης των αναµενόµενων αποδόσεων και του πίνακα συνδιακύµανσης µεταφράζονται σε λάθη εκτίµησης των σταθµίσεων του άριστου χαρτοφυλακίου. Το πρόβληµα αυτό είναι πιο έντονο σε µικρά δείγµατα (ακόµη και κάτω από την περιοριστική συνθήκη ότι η κατανοµή των αποδόσεων είναι κανονική), αλλά κάτω από γενικές συνθήκες ισχύει και ασυµπτοτικά, ιδιαίτερα όταν η κατανοµή των αποδόσεων παρουσιάζει κύρτωση. Για να γίνουµε πιο συγκεκριµένοι, ας υποθέσουµε ότι έχουµε ιστορικές υπερβάλουσες αποδόσεις { r t } T t=, από τις οποίες µπορούµε να εκτιµήσουµε τον δειγµατικό µέσο και την δειγµατική µήτρα διακύµανσης T, T ˆµ = r t Σ = t= T ˆ ( r t ˆ)( µ r t ˆ)' µ T N t= Βάζοντας τους εκτιµητές του µέσου και της διακύµανσης στην έκφραση των σταθµών του άριστου χαρτοφυλακίου, έχουµε για τον εκτιµητή του άριστου 36
χαρτοφυλακίου: w = Σˆ γ ˆ Ποιες είναι οι στατιστικές ιδιότητες του εκτιµητή του άριστου χαρτοφυλακίου; Υποθέτοντας κανονικότητα της κατανοµής των υπερβαλουσών αποδόσεων, ο εκτιµητής του άριστου χαρτοφυλακίου είναι αµερόληπτος: ˆ µ ( ˆ E ( wˆ ) = E Σ ) E( ˆ) µ = Σ γ γ Όπου η πρώτη ισότητα προκύπτει από την ανεξαρτησία του µ και του Σ και η δεύτερη ισότητα προκύπτει από την ιδιότητα των µˆ και µ ˆ Σ να είναι αµερόληπτοι εκτιµητές των πραγµατικών ροπών της κατανοµής (αµεροληψία: κατά µέσο όρο, ο εκτιµητής µας είναι σωστός). Αν η κατανοµή των αποδόσεων δεν είναι κανονική, τότε ο εκτιµητής του άριστου χαρτοφυλακίου δεν είναι αµερόληπτος, αλλά είναι συνεπής (consistent), δηλ. plim( ŵ )=w. Για να βρούµε την διακύµανση του εκτιµητή άριστου χαρτοφυλακίου, παίρνουµε την παράγωγο του ŵ γύρω από τον πραγµατικό µέσο και διακύµανση των υπερβαλουσών αποδόσεων. Για να απλουστεύσουµε τα πράγµατα, περιορίζουµε την ανάλυσή µας στην περίπτωση ενός αξιογράφου µε κίνδυνο (η επέκταση σε πολλά αξιόγραφα είναι δυνατή, παρότι πιο δύσκολη). Με ένα αξιόγραφο, το άριστο χαρτοφυλάκιο είναι ˆ µ w ˆ =. Παίρνοντας την γ ˆ σ παράγωγο του ŵ γύρω από τον πραγµατικό µέσο και διακύµανση των υπερβαλουσών αποδόσεων, έχουµε: var( w ˆ ) µ var( ˆ) µ var( ˆ σ ) + γ σ µ σ = 4 37
Η διακύµανση του εκτιµητή της στάθµισης του άριστου χαρτοφυλακίου είναι συνάρτηση τόσο της διακύµανσης του µέσου όσο και της διακύµανσης της διακύµανσης της υπερβάλουσας απόδοσης. Η αβεβαιότητα σχετικά µε τις δυο αυτές µεταβλητές πολλαπλασιάζεται µε το τετράγωνο της άριστης στάθµισης µ. γ σ Για να δώσουµε µια ποσοτική έκφραση στην αβεβαιότητα της εκτίµησης των σταθµίσεων του άριστου χαρτοφυλακίου, ας υποθέσουµε κάποιες λογικές τιµές για τα µ, σ, var(µ ˆ) και var( ˆ σ ). Έστω ότι έχουµε 0 χρόνια µηνιαίων δεδοµένων της υπερβάλουσας απόδοσης µιας µετοχής µε µ=6% και σ=5%. Με iid κανονικά δεδοµένα, η τυπική απόκλιση του µέσου είναι std ( ˆ) µ = σ / Τ =,4%. Η τυπική απόκλιση της διακύµανσης είναι std ( ˆ σ ) = σ / Τ = 0,3%. Κατά συνέπεια, η τυπική απόκλιση του εκτιµητή ŵ για µια τιµή του γ=5 είναι 4%. Καθώς το πραγµατικό w (για µ=6%, σ=5%, γ=5) είναι 53,3%, η ζώνη αβεβαιότητας δυο τυπικών αποκλίσεων γύρω από το w είναι (39,3% - 67,3%), δηλ. αρκετά µεγάλη. Το παραπάνω παράδειγµα δείχνει ότι το λάθος εκτίµησης του w οφείλεται κυρίως στο λάθος εκτίµησης της µέσης απόδοσης και λιγότερο στο λάθος εκτίµησης της διακύµανσης. Αυτό όµως ισχύει λόγω της υπόθεσης της κανονικότητας των αποδόσεων. Αν υποθέσουµε µη κανονικότητα, το λάθος εκτίµησης της διακύµανσης αυξάνεται σηµαντικά λόγω της κύρτωσης της κατανοµής. Συγκεκριµένα, όσο µεγαλύτερη η κύρτωση της κατανοµής των αποδόσεων (fat tails) τόσο µεγαλύτερο το λάθος εκτίµησης της διακύµανσης διότι υψηλές τιµές στα άκρα της κατανοµής (outliers) κάνουν την εκτίµηση πιο ανακριβή. 38
Εκτίµηση της τυπικής απόκλισης των σταθµίσεων µέσω παλινδρόµησης Για την εκτίµηση της τυπικής απόκλισης του ŵ ο Britten-Jones (999) πρότεινε µια απλή µέθοδο. Συγκεκριµένα, για την εκτίµηση της τυπικής απόκλισης των σταθµίσεων του εφαπτόµενου χαρτοφυλακίου, ο Britten- Jones (999) προτείνει µια παλινδρόµηση ελαχίστων τετραγώνων µιας σταθεράς πάνω στον πίνακα των υπερβαλουσών αποδόσεων: r b u = t+ + t+ Όπου είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα (Τ x ), b είναι το διάνυσµα των συντελεστών παλινδρόµησης (Κx ), r t+ είναι ο πίνακας των αποδόσεων (Τ x u t+ Κ) και είναι ένα διάνυσµα τυχαίων λαθών (T x ). Ο Britten-Jones δείχνει ότι οι σταθµίσεις του εφαπτώµενου χαρτοφυλακίου µπορούν να εκτιµηθούν ως: bˆ wˆ tan = i' bˆ Όπου i' b ˆ είναι το άθροισµα των bˆ. Κατά συνέπεια, η τυπική απόκλιση των σταθµίσεων του χαρτοφυλακίου µπορεί να υπολογιστεί άµεσα από την τυπική απόκλιση των συντελεστών bˆ. Επίσης, µπορούν εύκολα να χρησιµοποιηθούν κλασικοί έλεγχοι σηµατικότητας, όπως το t-test και το F-test. Για παράδειγµα, για να ελέγξουµε αν το στοιχείο k του w είναι στατιστικά διαφορετικό του µηδενός, αρκεί να ελέγξουµε µε ένα t-test αν το στοιχείο k του b είναι στατιστικά διαφορετικό του µηδενός. Με τον ίδιο τρόπο, για να ελέγξουµε αν το στοιχείο k του w είναι ίσον µε µια σταθερά c, αρκεί να ελέγξουµε µε ένα F-test αν ο περιορισµός b ˆ = c i' bˆ δεν µπορεί να αποριφθεί 39
από τα δεδοµένα. Προβλήµατα στην κατασκευή χαρτοφυλακίων Markowitz Εκτός του ότι τα χαρτοφυλάκια Markowitz πάσχουν από σηµαντικά υψηλά λάθη εκτίµησης, παρουσιάζουν επιπλέον δυο προβλήµατα. Πρώτον, οι σταθµίσεις πολλών αξιογράφων είναι ακραίες, είτε υπερβολικά υψηλές (πολύ υψηλότερες της µονάδας), είτε πολύ αρνητικές, παρότι αθροίζουν στη µονάδα. εύτερον, παρουσιάζουν αστάθεια, δηλ. µικρές αλλαγές στις αναµενόµενες αποδόσεις ή στον πίνακα συνδιακύµανσης οδηγούν σε µεγάλες αλλαγές στις σταθµίσεις του χαρτοφυλακίου. Τα προβλήµατα αυτά είναι ιδιαίτερα έντονα όταν κάποια αξιόγραφα στο χαρτοφυλάκιο έχουν υψηλή συσχέτιση. Για το λόγο αυτό, αρκετοί ερευνητές υποστηρίζουν ότι οι κλασσικές µέθοδοι αριστοποίησης χαρτοφυλακίου, όπως η µέθοδος του Markowitz, λειτουργούν στην πραξη ως µέθοδοι µεγιστοποίησης του λάθους Michaud (989). Με σκοπό την ελαχιστοποίηση του λάθους εκτίµησης της κλασσικής µεθόδου αριστοποίησης χαρτοφυλακίου, έχουν προταθεί µια σειρά εναλλακτικών µεθόδων. Μεταξύ των µεθόδων αυτών περιλαµβάνονται (α) εκτιµητές shrinkage, (β) χρήση παραγωντικών υποδειγµάτων και (γ) περιορισµοί στις σταθµίσεις του χαρτοφυλακίου. 40
Εκτιµητές Schrinkage Η ιδέα της χρήσης ενός shrinkage estimator οφείλεται στους James and Stein (96), οι οποίοι υποστήριξαν ότι για 3 ή περισσότερες τυχαίες µεταβλητές, το διάνυσµα των πραγµατικών µέσων τους µπορεί να εκτιµηθεί ως ένας γραµµικός συνδιασµός των δειγµατικών µέσων τους, µˆ, και µιας κοινής σταθεράς, µ 0, η οποία συνήθως είναι ο διαστρωµατικός µέσος όλων των µεταβλητών (grand mean): µ = δµ + ( δ ) ˆ µ s 0 για 0<δ<. Ο εκτιµητής shrinkage «σµικρύνει» τους µέσους προς µια κοινή σταθερά, µ 0. Κατά συνέπεια, µειώνει τα ακραία λάθη εκτίµησης των διαστρωµατικών µέσων. Η άριστη τιµή του δ εξαρτάται θετικά από τον αριθµό των αξιογράφων στο χαρτοφυλάκιο, αρνητικά από το µέγεθος του δείγµατος (αριθµός παρατηρήσεων) καθώς αυξάνει η ακρίβεια της εκτίµησης των µέσων και αρνητικά από την διασπορά των µέσων γύρω από το µ 0. Η µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί και στην εκτίµηση του πίνακα συνδιακύµανσης, Σ: Σ s = δσ + ( ) Σˆ 0 δ καθώς επίσης και απευθείας πάνω στα σταθµά του χαρτοφυλακίου: w s = δw ( ) wˆ 0 + δ µε w 0 =, και Κ τον αριθµό των αξιογράφων στο χαρτοφυλάκιο. Εναλλακτικά, το διάνυσµα w 0 µπορεί να είναι τα σταθµά του χαρτοφυλακίου της αγοράς ή ενός χαρτοφυλακίου-στόχου (benchmark) του διαχειριστή. Αξίζει να σηµειωθεί ότι κάθε µορφή εκτίµησης shrinkage περιλαµβάνει µια 4
αυθαίρετη επιλογή της σταθεράς-στόχου. Παραγοντικά υποδείγµατα Μια εναλλακτική µέθοδος που αποσκοπεί στην µείωση του στατιστικού λάθος στην κατασκευή χαρτοφυλακίων είναι η χρήση ενός παραγοντικού υποδείγµατος αποτίµησης Sharpe (963). Τα παραγοντικά υποδείγµατα επιβάλλουν περιορισµούς στον πίνακα συνδιακύµανσης των αποδόσεων και, κατά συνέπεια, µειώνουν τον αριθµό των παραµέτρων που πρέπει να εκτιµηθούν. Για να γίνουµε πιο συγκεκριµένοι, ας υποθέσουµε ότι οι αναµενόµενες υπερβάλουσες αποδόσεις ακολουθούν ένα µονοπαραγοντικό υπόδειγµα αποτίµησης, π.χ. το CAPΜ: r i, t = ai + β irm, t + ε i, t όπου τα διαστρωµατικά κατάλοιπα έχουν µηδενική συσχέτιση µεταξύ τους (δηλ. ο πίνακας συνδιακύµανσης Σε είναι διαγώνιος) και δεν σχετίζονται µε τα β i. Βάζοντας τα Κ β i σε ένα διάνυσµα β, ο πίνακας συνδιακύµανσης των υπερβαλουσών αποδόσεων είναι: Σ = σ ββ ' + Σ Το πλεονέκτηµα της µεθόδου αυτής έγκειται στο ότι µειώνει σηµαντικά τον αριθµό των παραµέτρων που πρέπει να εκτιµηθούν στον πίνακα Σ σε 3Κ+ ( a,, σ }, σ ) έναντι Κx(Κ-) χωρίς περιορισµούς. Το µειονέκτηµα της { i β i i i= m m µεθόδου αυτής εέγκειται στο ότι ένα µονοπαραγοντικό υπόδειγµα δεν µπορεί να εξηγήσει επαρκώς την συσχέτιση µεταξύ των αποδόσεων. Ο προφανής τρόπος για να ξεπεράσουµε το παραπάνω µειονέκτηµα είναι να υποθέσουµε ένα πολυπαραγοντικό υπόδειγµα αποτίµησης: ε 4
' r i, t = ai + β i f t + ε i, t όπου β i είναι ένα διάνυσµα των β και f t ένα διάνυσµα των Μ παραγόντων κινδύνου. Ο πίνακας συνδιακύµανσης των υπερβαλουσών αποδόσεων είναι: Σ = BΣ f όπου Β είναι ένας πίνακας ( x M) και παραγόντων (Μ x M). B' +Σ ε Σ f ο πίνακας συνδιακύµανσης των Αν οι παράγοντες παρουσιάζουν συσχέτιση µεταξύ τους, ο αριθµός παραµέτρων προς εκτίµηαη του Σ είναι Μ(Μ+)/ + Κ(Μ+). Αν οι παράγοντες δεν παρουσιάζουν συσχέτιση µεταξύ τους (δηλ. ο πίνακας Σ f είναι διαγώνιος), ο αριθµός παραµέτρων προς εκτίµηαη του Σ είναι Μ + Κ(Μ+). Η µείωση του αριθµού των προς εκτίµηση παραµέτρων είναι σηµαντική σε σχέση µε την εκτίµηση του πόνακα συνδιακύµανσης των αποδόσεων χωρίς περιορισµούς. Για παράδειγµα, µε 500 αξιόγραφα στο χαρτοφυλάκιο και πέντε παράγοντες, ο αριθµός των παραµέτρων είναι 3.55 αν οι παράγοντες έχουν συσχέτιση έναντι 5.000 παραµέτρων χωρίς περιορισµούς. Η πρακτική δυσκολία στην εφαρµογή του πολυπαραγοντικού υποδείγµατος είναι η επιλογή των παραγόντων. Με το θέµα αυτό ασχολείται η θεωρία αποτίµησης αξιογράφων, η οποία προτείνει µια σειρά υποδειγµάτων αποτίµησης όπως το CAPM, Consumption-CAPM, Intertemporal CAPM, APT κλπ. 43
Περιορισµοί στις σταθµίσεις του χαρτοφυλακίου Η τρίτη µέθοδος που αποσκοπεί στην µείωση του στατιστικού λάθος στην κατασκευή χαρτοφυλακίων είναι η χρήση περιορισµών στις σταθµίσεις του χαρτοφυλακίου στη διαδικασία βελτιστοποίησης. Οι πιο συνήθεις περιορισµοί είναι περιορισµοί short sales (όλες οι σταθµίσεις να είναι θετικές), περιορισµοί στο µέγιστο ύψος των ατοµικών σταθµίσεων (καµία στάθµιση να µην είναι πάνω από χ%) και περιορισµοί στο ύψος της µόχλευσης. Η επιβολή περιορισµών είναι πολύ διαδεδοµένη στη πράξη. Όπως και στην περίπτωση του εκτιµητή shrinkage, η επιβολή περιορισµών γίνεται συνήθως αυθαίρετα. 44
Χαρτοφυλάκια αντιστάθµισης οικονοµικών κινδύνων (στρατηγικά χαρτοφυλάκια) Όταν οι επενδυτές αντιµετωπίζουν κινδύνους πέραν του κινδύνου της αγοράς, το άριστο χαρτοφυλάκιο προκύπτει ως η λύση ενός γενικότερου προβλήµατος βελτιστοποίησης: ελαχιστοποίησε την διακύµανση της απόδοσης του χαρτοφυλακίου για µια δεδοµένη αναµενόµενη απόδοση και για µια δεδοµένη συσχέτιση των αποδόσεων µε τους παράγοντες κινδύνου. Σύµφωνα µε τον Fama (996), το αποδοτικό όριο που προκύπτει είναι multifactor efficient. Οι επενδυτές επιλέγουν έναν συνδιασµό µεταξύ (α) του αξιογράφου µηδενικού κινδύνου, (β) του εφαπτώµενου χαρτοφυλάκιου, και (γ) Μ χαρτοφυλάκια (αµοιβαία κεφάλαια), τα οποία αντισταθµίζουν τους κινδύνους που προκύπτουν από τους Μ παράγοντες (µεταβλητές κατάστασης). Αντί του -fund separation, ισχύει το M+ fund separation (Θεώρηµα Μ+ αµοιβαίων κεφαλαίων). Οι σταθµίσεις των αξιογράφων στα χαρτοφυλάκια αντιστάθµισης είναι γραµµικές συναρτήσεις της συσχέτισης των παραγόντων κινδύνου µε τις αποδόσεις των αξιογράφων, δηλ. των συντελεστών παλινδρόµισης των παραγόντων κινδύνου πάνω στις αποδόσεις. Οι συντελεστές αυτής της παλινδρόµισης είναι τα σταθµά ενός χαρτοφυλακίου, οι αποδόσεις του οποίου έχουν την υψηλότερη συσχέτιση µε τον παράγοντα κινδύνου. Το χαρτοφυλάκιο αυτό ονοµάζεται mimicking portfolio και είναι ένα αντισταθµιστικό χαρτοφυλάκιο για τον συγκεκριµένο κίνδυνο. Η λύση του προβλήµατος αυτού 45
είναι παρόµοια µε την λύση του Merton για έναν στρατηγικό επενδυτή, ο οποίος επιλέγει χαρτοφυλάκια που τον προστατεύουν από µελλοντικούς κινδύνους που προκύπτουν από µια µεταβλητή κατάστασης. Για ποιο λόγο να θέλουν οι επενδυτές να προστατευθούν από παράγοντες κινδύνου πέραν του κινδύνου της αγοράς; Υπάρχουν δυο λόγοι. Πρώτον, σύµφωνα µε τον Merton, η κατανοµή των αποδόσεων είναι συνάρτηση µιας µεταβλητής κατάστασης. Καθώς αλλαγές αυτής της µεταβλητής κατάστασης µεταβάλουν το «σύνολο των επενδυτικών ευκαιριών» ( investment opportunity set ), οι επενδυτές επιθυµούν προστασία από τέτοιες µεταβολές. εύτερον, οι επενδυτές έχουν εισόδηµα από εργασία πέραν του εισοδήµατος από επενδύσεις. Καθώς σε µια ύφεση είναι πολύ πιθανόν ότι θα µείνουν άνεργοι και θα χάσουν το εισόδηµα από εργασία, θέλουν ένα χαρτοφυλάκιο, το οποίο να τους προστατεύει από τον κίνδυνο αυτό. Το χαρτοφυλάκιο αυτό πρέπει να επενδύει σε έναν συνδυασµό αξιογράφων, τα οποία δίνουν υψηλές αποδόσεις σε περιόδους αύξησης της ανεργίας (ύφεσης), έτσι ώστε ο επενδυτής να ισοσταθµίσει την απώλεια εισοδήµατος από εργασία. Η όλη τέχνη της αντιστάθµησης κινδύνου είναι να βρούµε ένα χαρτοφυλάκιο µε αυτήν την ιδιότητα. Όπως θα δείξουµε σε λίγο, οι επενδυτές είναι διατεθειµένοι να θυσιάσουν ένα µέρος της απόδοσης του χαρτοφυλακίου τους για να προσταευτούν από τέτοιου τύπου κινδύνους. Το πρόβληµα που θα λύσουµε έχει ως εξής: Υπάρχει ένα αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου. Κατά συνέπεια, οι επενδυτές έχουν την δυνατότητα να δανείσουν ή να δανειστούν στο επιτόκιο µηδενικού κινδύνου. Η αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι: 46
µ p = ( w i ) rf + w µ = rf + w ( µ rf i ). Οι επενδυτές επιλέγουν ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο µεγιστοποιεί την αναµενόµενη απόδοση για ένα δεδοµένο επίπεδο διακύµανσης ενώ παραλληλα παρέχει προστασία από έναν παράγοντα κινδύνου f (η γενίκευση σε περισσότερους από έναν παράγοντες κινδύνου είναι εύκολη). Η τελευταία ιδιότητα του χαρτοφυλακίου σηµαίνει ότι οι αποδόσεις του χαρτοφυλακίου έχουν την υψηλότερη δυνατή συσχέτιση µε τον παράγοντα κινδύνου. Το άριστο χαρτοφυλάκιο µε αναµενόµενη απόδοση µ p θα είναι η λύση του προβλήµατος: max Ε( r p r max w'( µ rf i w f γ ) var( r ) + δ cov( r γ ) w Σw + δw' Σ p rf p, f ) = Όπου δ>0 ο βαθµός αποστροφής του κινδύνου f και cov( r, f ) = w' Σ, µε ένα διάνυσµα συνδιακύµανσης των αποδόσεων µε το f. Το άριστο χαρτοφυλάκιο των στοιχείων µε κίνδυνο προκύπτει ως: P rf Σ rf w = Σ γ δ ( µ r F i ) + Σ γ Σ rf Ο πρώτος όρος στην παραπάνω έκφραση, Σ ( µ r F i ), είναι το γ 47
χαρτοφυλάκιο Markowitz. Ο δεύτερος όρος, δ Σ Σ γ rf, είναι το χαρτοφυλάκιο αντιστάθµισης κινδύνου (hedging portfolio κατά Merton), δηλ. µια διόρθωση του χαρτοφυλακίου Markowitz για τον κίνδυνο που προκύπτει από τον παράγοντα f. Ο επενδυτής διορθώνει τις σταθµίσεις του χαρτοφυλακίου Markowitz σύµφωνα µε την συνδιακύµανση των αποδόσεων µε το f. Καθώς το Σ Σ rf είναι το (Κx) διάνυσµα Β των συντελεστών παλινδρόµισης του f στο διάνυσµα των αποδόσεων R, f = r B + u, (u ένα τυχαίο λάθος), το χαρτοφυλάκιο αντιστάθµισης κινδύνου µπορεί να γραφτεί ως συνάρτηση των β: w = Σ γ ( µ r F i δ ) + B γ To διάνυσµα Β είναι οι σταθµίσεις ενός χαρτοφυλακίου το οποίο έχει την µέγιστη δυνατή συσχέτιση µε τον παράγοντα κινδύνου f, καθώς στην παλινδρόµιση ελαχίστων τετραγώνων f = r B + u, το Β επιλέγεται έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί η διακύµανση του u. Με άλλα λόγια, το r B είναι η απόδοση ενός χαρτοφυλακίου το οποίο προσεγγίζει («µιµείται») τον παράγοντα κινδύνου και ονοµάζετα factor-mimicking χαρτοφυλάκιο. Ο λόγος που οι επενδυτες καταφευγουν σε ένα τέτοιο χαρτοφυλάκιο για να αντισταθµίσουν τον κίνδυνο f είναι ότι ο f δεν είναι εµπορεύσιµος, άρα πρέπει να τον αντισταθµίσουν επενδύοντας σε ένα χαρτοφυλάκιο, το οποίο έχει θετική συσχέτιση µε το f. Το χαρτοφυλάκιο αντιστάθµισης οικονοµικών κινδύνων µπορεί εύκολα να γενικευθεί σε Μ κινδύνους. Στην περίπτωση αυτή, τo f είναι ένα διάνυσµα (M x ). Tο διάνυσµα Β γίνεται ένας πίνακας (Κ x M). Η στήλη j (j=,,m) του 48
πίνακα περιέχει τα beta των Κ αξιογράφων ως προς τον παράγοντα f. Tέλος, το δ γίνεται ένα διάνυσµα ( x M). Η στήλη j του δ περιέχει τον βαθµό αποστροφής του επενδυτή στον παράγοντα κινδύνου f. j j Το διαχρονικό CAPM Από το παραπάνω υπόδειγµα άριστου χαρτοφυλακίου προκύπτει το διαχρονικό CAPM (Intertemporal CAPM ή ICAPM) του Merton. Για να το δούµε αυτό, αρκεί να υποθέσουµε ότι το χαρτοφυλάκιο αγοράς βρίσκεται και αυτό πάνω στο αποδοτικό όριο, δηλ. w m = γ m Σ ( µ r i δ ) + Σ m F γ m Σ rf και να λύσουµε το υπόδειγµα χαρτοφυλακίου ως προς τις αναµενόµενες αποδόσεις: µ r F i = γ Σw m m δ Σ m rf Καθώς Σ w = cov( r, r') w = cov( r, r' w ) = cov( r, r ), προκύπτει: m m m m µ r i = γ cov( r, r ) δ cov( r, f ) F m m m To υπόδειγµα αυτό είναι το ICAPM. Τα ασφάλιστρο κινδύνου ενός αξιογράφου είναι συνάρτηση της συνδιακύµανσης της απόδοσης του αξιογράφου µε την απόδοση της αγοράς καθώς και της συνδιακύµανσης του µε τον παράγοντα κινδύνου f. Το υπόδειγµα ICAPM µπορεί εύκολα να γραφτεί σε µορφή beta: 49
µ rfi = λmβ rm λ f β όπου β = cov( r, r ) / var( r ) το διάνυσµα των beta των αξιογράφων µε την m m m απόδοση της αγοράς, β cov( r, f ) / var( f ) το διάνυσµα των beta των f = αξιογράφων µε το f, λ m = γ m var( r m ) η τιµή κινδύνου της αγοράς και λ = var( f ) η τιµή κινδύνου του f. f δ m rf Το πολυπαραγοντικό ICAPM Καθώς το χαρτοφυλάκιο αντιστάθµισης οικονοµικών κινδύνων µπορεί εύκολα να γενικευθεί σε Μ κινδύνους, έτσι και το ICAPM µπορεί να γενικευθεί σε ένα πολυπαραγοντικό υπόδειγµα αποτίµησης. Έστω ότι το f είναι ένα διάνυσµα (M x ) παραγόντων κινδύνου. Υποθέτοντας ότι το χαρτοφυλάκιο της αγοράς βρίσκεται πάνω στο αποδοτικό όριο και λύνοντας το υπόδειγµα χαρτοφυλακίου ως προς τις αναµενόµενες αποδόσεις, προκύπτει το πολυπαραγοντικό υπόδειγµα ICAPM σε µορφή beta: µ r i = λ β B λ F m rm rf f όπου β = cov( r, r ) / var( r ) το διάνυσµα των beta των αξιογράφων µε την m m m απόδοση της αγοράς, Brf = Σ f Σ rf ο (xm) πίνακας των beta των αξιογράφων µε τους παράγοντες κινδύνου f, λ = γ var( r m ) η τιµή κινδύνου της αγοράς m m και λ = δ Σ το (Mx) διάνυσµα των τιµών κινδύνου του f. f m f 50
Αξιολόγηση Χαρτοφυλακίων Έλεγχος Αποδοτικότητας χαρτοφυλακίου (portfolio efficiency) Ι Οι συνθήκη ου βαθµού του άριστου χαρτοφυλακίου είναι: ( µ η ) = γσw Αν οι αποδόσεις είναι πάνω από το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου (υπερβάλλουσες αποδόσεις), τότε η συνθήκη αυτή είναι: i µ = ( µ r i ) = γσ w r F rr Οι παραπάνω δυο σχέσεις επιβάλλουν ελέγξιµους περιορισµούς στις αποδόσεις µε δεδοµένες τις σταθµίσεις των χαρτοφυλακίων. Για παράδειγµα, υποθέτοντας ότι το άριστο χαρτοφυλάκιο είναι το χαρτοφυλάκιο αγοράς µπορούµε να ελέγξουµε αν ισχύει το CAPM. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να ελέγξουµε αν ένα δεδοµένο χαρτοφυλάκιο είναι αποτελεσµατικό, δηλ. αν διαφέρει σηµαντικά από το άριστο χαρτοφυλάκιο. Για τον έλεγχο αποτελεσµατικότητας πρέπει να ορίσουµε πρώτα την µηδενική υπόθεση. Η µηδενική υπόθεση είναι ότι το χαρτοφυλάκιο e, το οποίο αποτελείται από τα αξιόγραφα,,κ µε σταθµίσεις w e είναι αποδοτικό (Η εναλλακτική υπόθεση είναι ότι το χαρτοφυλάκιο e δεν είναι αποδοτικό). Κάτω από την µηδενική υπόθεση, µ = γσ w. Αυτό συνεπάγεται: r rr e 5