ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ουζούνης Παναγιώτης ΜΑΡΤΙΟΣ 008 ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γεροντίδης Ιωάννης Εκπονηθείσα πτυχιακή εργασία απαραίτητη για την κτήση του βασικού πτυχίου

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛΙΔΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΩΝ.. ΠΡΟΛΟΓΟΣ..6 ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ. Ιστορικά στοιχεία..8. Κεντρική ιδέα.8. Ορισμός..9. Αρχή βελτιστοποίησης...0.5 Η μέθοδος της αντίστροφης λύσης..0.6 Το μοντέλο λύσης.7 Πρότυπα Δυναμικού Προγραμματισμού..8 Χαρακτηριστικά προβλημάτων.5 ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Μαθηματική διατύπωση μεθοδολογίας 7. Το πρόβλημα των επενδύσεων 8. Λύση εργασιακών προβλημάτων... Το πρόβλημα κατανομής εργασίας.... Το πρόβλημα παραγωγής και αποθεμάτων...5.. Το πρόβλημα αντικατάστασης μηχανολογικού εξοπλισμού Σελίδα από 85

Περιεχόμενα.. Το πρόβλημα αντικατάστασης εργαλείων..5..5 Το πρόβλημα αποφάσεων υπο συνθήκες αβεβαιότητας.6. Το πρόβλημα βέλτιστης φόρτωσης πλοίου 5.5 Λύση προβλημάτων μέσα σε δίκτυα 55 ΤΡΙΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ. Εισαγωγή.57. Λύση προβλημάτων με χρήση του Ecel 57.. Το πρόβλημα μεταφοράς διανομής..57.. Το πρόβλημα καταμερισμού των πόρων 60.. Το πρόβλημα της απογραφής..65. Λύση προβλημάτων με χρήση του Win QSB Version.0 70.. Το πρόβλημα σύντομης διαδρομής.7.. Το πρόβλημα μεταφοράς διανομής..75.. Το πρόβλημα παραγωγής, αποθήκευσης απογραφής.79 ΕΠΙΛΟΓΟΣ...8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ..85 Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ : Διάγραμμα. Διάγραμμα σύντομης διαδρομής μοντέλο ταξιδιώτη.. Διάγραμμα. Διάγραμμα δικτύου αποφάσεων..9 Διάγραμμα. Διάγραμμα κατανομής εργασίας με στάδια. Διάγραμμα. Διάγραμμα ελάχιστου κόστους σε δίκτυα 55 Διάγραμμα. Διάγραμμα εγκαταστάσεων εταιρείας CMP 7 ΠΙΝΑΚΕΣ : Πίνακας. Πίνακας επενδυτικών προγραμμάτων.8 Πίνακας. Πίνακας επενδυτικών λύσεων... Πίνακας. Πίνακας σταδίων παραγωγής...9 Πίνακας. Πίνακας περιόδων παραγωγής και αποθήκευσης. Πίνακες.5 Πίνακες ηλικίας μηχανής από έως 0 έτη..8-0 Πίνακας.6 Πίνακας μελλοντικών οικονομικών στοιχείων μηχανής.0 Σελίδα από 85

Περιεχόμενα Πίνακας.7 Πίνακας τιμών της συνάρτησης () t 0 Πίνακες.8 Πίνακες συγκεντρωτικών τιμών i () t... Πίνακας.9 Πίνακας βέλτιστης πολιτικής κάθε έτους. Πίνακας.0 Πίνακας πιθανοτήτων και τιμών κάθε μήνα 7 Πίνακας. Πίνακας λύσεων κάθε σταδίου φόρτωσης πλοίου.5 Πίνακας. Πίνακας κέρδους σε κάθε μεταφορά 58 Πίνακας. Πίνακας παραγωγής κάθε μήνα 79 ΕΙΚΟΝΕΣ : Εικόνα. Λύση Ecel στο πρόβλημα του γυλιού 59 Εικόνα.,.,. Λύση Ecel στο πρόβλημα του καταμερισμού.6-65 Εικόνα.5,.6,.7 Λύση Ecel στο πρόβλημα της απογραφής.67-68 Εικόνα.8 Βήμα ο 7 Εικόνα.9 Βήμα ο 7 Εικόνα.0 Βήμα ο 7 Εικόνα. Βήμα ο 75 Λύση σύντομης διαδρομής με χρήση QSB Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Εικόνα. Βήμα ο 76 Εικόνα. Βήμα ο 77 Εικόνα. Βήμα ο 78 Λύση του γυλιού με χρήση QSB Εικόνα.5 Βήμα ο 80 Εικόνα.6 Βήμα ο 8 Εικόνα.7 Βήμα ο 8 Λύση στο πρόβλημα της παραγωγής με χρήση QSB Σελίδα 5 από 85

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο Δυναμικός Προγραμματισμός είναι μια από τις σημαντικότερες μεθόδους της Επιχειρηματικής Έρευνας και σήμερα είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εφόδιά της. Από τότε που πρώτο αναπτύχθηκε έχει γίνει θέμα πολλών θεωρητικών μελετών, καθώς επίσης και ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο για την ανάλυση περίπλοκων θεωρητικών και πρακτικών προβλημάτων. Ο Δυναμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική επίλυσης προβλημάτων, τα οποία χαρακτηρίζονται από διαδοχικές αλληλοεξαρτώμενες αποφάσεις οπού η κάθε απόφαση επηρεάζει τις επόμενες αποφάσεις. Ο όρος δυναμικός φαίνεται ότι οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι πολλές εφαρμογές του προγραμματισμού περιλαμβάνουν μία διαχρονική ακολουθία αποφάσεων. Στα μέσα του προηγούμενου αιώνα, όπου και αναπτύχθηκε, δημιουργήθηκαν περίπλοκα προβλήματα με σύνθετο χαρακτήρα και με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές, που έπρεπε να απαντηθούν με εξίσου σύνθετο, ακριβές και αξιόπιστο τρόπο. Ο ήδη υπάρχον Γραμμικός ή ακέραιος προγραμματισμός, εξυπηρετούσε στην λύση σύγχρονων προβλημάτων, αλλά γινόταν εξαιρετικά δυσλειτουργικός, πολύπλοκος και επίπονος σε ζητήματα που θα έπρεπε να ληφθούν αποφάσεις που η μία θα μπορούσε να επηρεάσει την άλλη. Με γνώμονα την μέθοδο λύσης προβλημάτων του Δυναμικού Προγραμματισμού, έγινε η συγγραφή αυτής της εργασίας που σκοπό έχει να βοηθήσει τους αναγνώστες, μέσω της λεπτομερούς ανάπτυξης της μεθοδολογίας και ενός μεγάλου πλήθους παραδειγμάτων, στην κατανόηση της αναγκαιότητας και της χρησιμότητας της συγκεκριμένης μεθόδου, ως βοήθημα στην αντιμετώπιση επιχειρησιακών προβλημάτων. Η εργασία αυτή αποτελείται από τρία κεφάλαια: Στο πρώτο, θα μάθουμε κάποια ιστορικά στοιχεία, την κεντρική ιδέα του Δυναμικού Προγραμματισμού και θα παρακολουθήσουμε ένα πρώτο εισαγωγικό παράδειγμα εφαρμογής της συγκεκριμένης μεθοδολογίας. Σελίδα 6 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Στο δεύτερο κεφάλαιο, θα εμβαθύνουμε περισσότερο στις εφαρμογές και θα αναλύσουμε την χρήση της μεθοδολογίας με πιο παρατεταμένα παραδείγματα. Ενώ στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο, θα δούμε κάποιες από τις εφαρμογές του Δυναμικού Προγραμματισμού που βρίσκουν χρήση στις μέρες μας, από σύγχρονα ηλεκτρονικά και υπολογιστικά προγράμματα. Σελίδα 7 από 85

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Την μεθοδολογία του Δυναμικού Προγραμματισμού την εισήγαγε και την ανέπτυξε ο Αμερικάνος μαθηματικός Dr. Richard Bellman στη δεκαετία του 950, όταν ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας Berkeley και ταυτόχρονα ερευνητής στην εταιρεία Rand Corp. Συγκεκριμένα αφού εργάστηκε πάνω σε προβλήματα αλληλοεξαρτώμενων αποφάσεων από το 95 έως το 957 συγκέντρωσε αρκετό υλικό ώστε να κυκλοφορήσει το πρώτο του βιβλίο για τον Δυναμικό προγραμματισμό. Στα τέλη της δεκαετίας καθιερώθηκε ως ο πρωτεργάτης της συγκεκριμένης μεθόδου, η οποία γρήγορα αναπτύχθηκε σε κεντρικό εργαλείο επίλυσης προβλημάτων Επιχειρησιακής Έρευνας.. ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑ Η βασική ιδέα του Δυναμικού Προγραμματισμού είναι ότι μπορούμε να χωρίσουμε κατάλληλα το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε σε τόσα υπο - προβλήματα όσες είναι και οι άγνωστες μεταβλητές του και να προσδιορίζουμε κάθε φορά την τιμή μιας μόνο μεταβλητής. Έτσι αντί να έχουμε ένα πρόβλημα με τρείς, παραδείγματος χάρη μεταβλητές, σχηματίζουμε τρία αλληλοσυνδεόμενα υπο-προβλήματα με μία μεταβλητή στο καθένα. Ο ίδιος ο Bellman ονόμασε Δυναμικό Προγραμματισμό τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να λύσουμε τα προβλήματα στα οποία πρέπει να πάρουμε μια σειρά αποφάσεων που η καθεμία τους επηρεάζει τις επόμενές της και που όλες μαζί θέλουμε να δημιουργούν ένα βέλτιστο αποτέλεσμα. Σελίδα 8 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη. ΟΡΙΣΜΟΣ Ο πρώτος ορισμός διατυπώθηκε ως εξής : «Δυναμικός Προγραμματισμός είναι η μαθηματική θεωρία των πολυσταδιακών αποφάσεων, που αναφέρεται στη βελτιστοποίηση της λειτουργίας τους, βάσει κάποιου επιλεγμένου κριτηρίου, γνωστού ως συνάρτηση κόστους ή αντικειμενικής συνάρτησης» Πριν προχωρήσουμε στην ανάπτυξη του ορισμού θα ήταν σκόπιμο να καθορίσουμε πληρέστερα την έννοια της διαδικασίας των πολυσταδιακών αποφάσεων. Έστω ότι έχουμε ένα φυσικό σύστημα ή διαδικασία του οποίου η κατάσταση σε μια χρονική στιγμή t καθορίζεται από ένα σύνολο τιμών των μεταβλητών του, δηλαδή από ένα διάνυσμα καταστάσεως. Οι μεταβλητές του συστήματος μπορεί να παριστάνουν διάφορα μεγέθη του, όπως συντεταγμένες θέσεως, όγκου, θερμοκρασίας πίεσης κ.τ.λ. Οι μεταβλητές αυτές μπορεί να είναι είτε αιτιοκρατικές, οπότε έχουν μια συγκεκριμένη τιμή κάθε χρονική στιγμή, είτε τυχαίες ή πιθανολογικές, οπότε δεν έχουν συκγεκριμένη τιμή αλλά μια ορισμένη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας των τιμών τους. Με την πάροδο του χρόνου το σύστημα υφίσταται μεταβολές είτε αυτές είναι αιτιοκρατικής μορφής είτε πιθανολογικής, και οι μεταβλητές του υπόκεινται σε μετασχηματισμούς. Σε ορισμένες από τις μεταβλητές του συστήματος που τις ονομάζουμε και ελεγχόμενες μεταβλητές, είναι δυνατό να υπαγορεύουμε εμείς τους μετασχηματισμούς που θα υποστούν σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Ο καθορισμός των μετασχηματισμών που θα επιβάλουμε στο σύστημα ισοδυναμεί με μια απόφαση. Εάν πρέπει να πάρουμε μια μόνο απόφαση για ολόκληρο το διάστημα χρόνου που εξετάζουμε, τότε έχουμε να κάνουμε με την διαδικασία απόφασης ενός μόνο σταδίου. Εάν αντίθετα πρέπει να πάρουμε μια αλληλουχία διαδοχικών αποφάσεων, τότε και χρησημοποιούμε τον όρο «πολυσταδιακή διαδικασία αποφάσεων». Μια τέτοια αλληλουχία διαδοχικών αποφάσεων ονομάζεται «πολιτική». Βέλτιστη πολιτική είναι εκείνη που βελτιστοποιεί (μεγιστοποιεί Σελίδα 9 από 85

Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό ή ελαχιστοποιεί) την τιμή της επιλεγμένης αντικειμενικής συνάρτησης της διαδικασίας. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι τα δυναμικά προβλήματα δηλαδή εκείνα που περιλαμβάνουν στις μεταβλητές τους το χρόνο, μπορούν να αναχθούν σε πολυσταδιακές διαδικασίες αποφάσεων. Έτσι προέκυψε και η ονομασία Δυναμικός Προγραμματισμός.. ΑΡΧΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Για την απλοποίηση των πραγμάτων ο Bellman εξέφρασε την αρχή της βελτιστοποιήσεως η οποία εκφράζεται ως εξής : «Μία βέλτιστη πολιτική έχει την ιδιότητα ότι οποιαδήποτε και αν είναι η αρχική κατάσταση της διαδικασίας και η αρχική απόφαση, οι αποφάσεις που εναπομένουν πρέπει να συνιστούν μια βέλτιστη πολιτική σε σχέση με την κατάσταση που είναι αποτέλεσμα της πρώτης απόφασης». Έτσι, αρχίζοντας από ένα στάδιο της πολυσταδιακής διαδικασίας, για το οποίο γνωρίζουμε την αρχική κατάσταση του συστήματος, επιλύουμε τις εξισώσεις του προβλήματος για το στάδιο αυτό και ορίζουμε την κατάσταση του συστήματος κατά την αρχή του επόμενου σταδίου της διαδικασίας. Κατόπιν χρησημοποιώντας την κατάσταση που υπολογίσαμε σαν αρχική κατάσταση του δευτέρου σταδίου προσδιορίζουμε τη βέλτιστη απόφαση για το στάδιο αυτό και επίσης την αρχική κατάσταση του επόμενου σταδίου. Προχωρώντας κατά αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να προσδιορίσουμε μια αλληλουχία διαδοχικών αποφάσεων που αποτελεί την βέλτιστη πολιτική για όλα τα στάδια της διαδικασίας. Η πολιτική αυτή, σύμφωνα με την αρχή βελτιστοποίησης του Bellman, αποτελεί την βέλτιστη πολιτική για ολόκληρη την πολυσταδιακή διαδικασία..5 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΛΥΣΗΣ Συνήθως στα προβλήματα του Δυναμικού προγραμματισμού γνωρίζουμε ή μπορούμε να καθορίσουμε την τελική κατάσταση της διαδικασίας που Σελίδα 0 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη θέλουμε να βελτιστοποιήσουμε και για το λόγο αυτό η αρίθμηση των σταδίων της πολυσταδιακής διαδικασίας γίνεται κατά την αντίστροφη φορά δηλαδή από το τέλος του προβλήματος που εξετάζουμε προς την αρχή του. Αυτήν είναι μια βασική χαρακτηριστική ιδιότητα των προβλημάτων δυναμικού προγραμματισμού..6 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΛΥΣΗΣ Από όλα τα παραπάνω συμπεραίνομε ότι η μεθοδολογία του Δυναμικού Προγραμματισμού έχει τα εξής κύρια χαρακτηριστικά : Χωρίζουμε το πρόβλημά μας σε τόσα στάδια όσες και οι αποφάσεις που θα πρέπει στο τέλος να ληφθούν. Ξεκινάμε από το τελευταίο στάδιο απόφασης και προχωρούμε προς το πρώτο αντίστροφα δηλαδή προς την αρχή του προβλήματος. Σε κάθε στάδιο υπολογίζουμε την καλύτερη δυνατή απόφαση, από οποιαδήποτε θέση αυτού του σταδίου, μέχρι τον τελικό προορισμό, την λύση του προβλήματος. Η διαδικασία αυτή θα πρέπει να είναι η πιο βέλτιστη μεταξύ όλων των πιθανών καταστάσεων αυτής της θέσης και του τελικού προορισμού. Έτσι για κάθε επόμενη θέση υπολογίζουμε την απόφαση που θα πρέπει να λάβουμε από την τωρινή μας θέση έως την επόμενη, συν την βέλτιστη απόφαση που έχουμε ήδη λάβει ως τώρα μέχρι τον προορισμό μας. Αποτέλεσμα αυτού του μοντέλου είναι ότι όταν θα φτάσουμε στην αρχή του προβλήματος, θα αθροίσουμε όλες τις βέλτιστες αποφάσεις που έχουμε λάβει έως τώρα σε κάθε στάδιό, σε μία γενική βέλτιστη πολιτική που θα πρέπει να ακολουθήσουμε για την τελική λύση του προβλήματος..7 ΠΡΟΤΥΠΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Οι υπολογισμοί διεξάγονται σε στάδια αναλύοντας το πρόβλημα σε υπο προβλήματα, όπως αναφέραμε και παραπάνω. Κάθε υπο πρόβλημα εξετάζεται ξεχωριστά με στόχο τη μείωση των υπολογισμών. Επειδή όμως τα υπο προβλήματα αλληλοσυνδέονται μεταξύ τους, πρέπει να επινοηθεί Σελίδα από 85

Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό μια διαδικασία που να συνδέει τους υπολογισμούς, με τέτοιο τρόπο ώστε μια εφικτή λύση για ένα στάδιο να είναι επίσης εφικτή για το συνολικό πρόβλημα. Η μεθοδολογία του Δυναμικού προγραμματισμού θα αναπτυχθεί με το παράδειγμα του ταξιδιώτη. Έστω ότι ένας ταξιδιώτης θέλει να ταξιδέψει από την πόλη Α στην πόλη Λ διανύοντας την μικρότερη συνολικά χιλιομετρική απόσταση μέσα σε τέσσερις μέρες (βλέπε σχήμα.). Μετά από μελέτη των αποστάσεων κατέληξε ότι θέλει να διανυκτερεύσει τα βράδια του, στις παρακάτω πόλεις : Αφετηρία : πόλη Α ο βράδυ : πόλη Β, Γ ή Δ ο βράδυ : πόλη Ε, Ζ ή Η ο βράδυ : πόλη Θ, Ι ή Κ ο βράδυ : προορισμός στην πόλη Λ Στο Διάγραμμα. δίνονται οι αποστάσεις μεταξύ των πόλεων, που μπορούν να καλυφθούν μέσα σε μία μέρα. Β Ε Θ 7 Α 6 5 Γ 5 Ζ 6 Ι 7 7 5 Δ Η Κ Λ Διάγραμμα. Διάγραμμα σύντομης διαδρομής μοντέλο ταξιδιώτη. Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι υπάρχουν ()()()=7 διαφορετικά δρομολόγια και η μικρότερη διαδρομή βρίσκεται υπολογίζοντας την απόσταση κάθε μιας ξεχωριστά και επιλέγοντας στην συνέχεια την μικρότερη. Τέτοιου είδους προβλήματα λέγονται και συνδυαστικά (combinatorial problems). Η μέθοδος της απαρίθμησης όλων των συνδυασμών είναι επίπονος όταν ο αριθμός των πόλεων είναι μεγάλος. Για παράδειγμα, αν υπήρχαν 0 μέρες και τρείς πιθανές πόλεις για κάθε διανυκτέρευση, ο αριθμός των συνδυασμών θα ήταν 9 9.68. Το στάδιο, στο Δυναμικό προγραμματισμό, ορίζεται σαν ένα μέρος του προβλήματος στο οποίο ανήκει ένα σύνολο αμοιβαία αποκλειστικών λύσεων και από το οποίο γίνεται επιλογή της καλύτερης λύσης. Στο προηγούμενο παράδειγμα υπάρχουν τέσσερα στάδια, με την αρίθμηση πάντα να ξεκινά από το τέλος, που αντιστοιχούν στις τέσσερις αποφάσεις για την κατεύθυνση που θα ακολουθήσει αναχωρώντας από την πόλη που βρίσκεται. Τα στάδια αλληλεξαρτώνται διότι μια συγκεκριμένη απόφαση σε κάποιο στάδιο περιορίζει τις αποφάσεις σε επόμενο στάδιο. Η πόλη που βρίσκεται ο ταξιδιώτης όταν παίρνει μια απόφαση, ορίζει την κατάσταση του ταξιδιώτη. Έτσι, με κάθε στάδιο συσχετίζονται ορισμένες καταστάσεις. Στο παράδειγμα, το στάδιο έχει τρείς καταστάσεις, την Β, την Γ ή την Δ. Σκοπός των καταστάσεων είναι η απαλοιφή της αλληλεξάρτησης που υπάρχει μεταξύ των σταδίων. Η κατάσταση παριστά το σύνδεσμο με τα επόμενα στάδια, έτσι ώστε όταν λαμβάνεται βέλτιστη απόφαση για ένα στάδιο η απόφαση αυτή να είναι εφικτή και για το συνολικό πρόβλημα. Επιτρέπεται επιπλέον η λήψη βέλτιστων αποφάσεων για τα εναπομένοντα στάδια, χωρίς να πρέπει να γίνει έλεγχος της αποτελεσματικότητας των μελλοντικών αποφάσεων στις αποφάσεις που λήφθηκαν προηγουμένως. Σε κάθε στάδιο και κατάσταση, η επιλογή του επόμενου σταθμού γίνεται ελαχιστοποιώντας την υπόλοιπη διαδρομή. Έχει αποδειχθεί από τον Bellman ότι εάν το κριτήριο αυτό εφαρμοστεί σε κάθε στάδιο και κατάσταση, τότε η λύση που βρίσκεται ελαχιστοποιεί την συνολική διαδρομή. Αρχή βελτιστοποίησης. Σελίδα από 85

Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό Χρησημοποιώντας το κριτήριο αυτό στο πρόβλημά μας, προσδιορίζεται η απόφαση του ταξιδιώτη αν βρισκόταν στο στάδιο, στη συνέχεια στο στάδιο, και κ.τ.λ. Έτσι για το στάδιο έχουμε : Ελάχιστη απόσταση από το Θ στο Λ είναι Ελάχιστη απόσταση από το Ι στο Λ είναι Ελάχιστη απόσταση από το Κ στο Λ είναι Στο στάδιο η ελάχιστη απόσταση υπολογίζεται χρησημοποιώντας τα προηγούμενα αποτελέσματα : Ελάχιστη απόσταση από το Ε στο Λ είναι (min {+, +, +} = min{6,,8} = ) μέσω Ι ελάχιστη απόσταση από το Ζ στο Λ είναι 8 (min {5+, 6+, 7+} = min{8,8,} = 8) μέσω Θ ή Ι ελάχιστη απόσταση από το Η στο Λ είναι 7 (min {+, 5+, +} = min{7,7,7} = 7) μέσω Θ, Ι ή Κ. Στο στάδιο η ελάχιστη απόσταση υπολογίζεται χρησημοποιώντας τα προηγούμενα αποτελέσματα : Ελάχιστη απόσταση από το Β στο Λ είναι 7 (min {+, +8, 7+7} = min{7,,} = 7) μέσω Ε ελάχιστη απόσταση από το Γ στο Λ είναι 0 (min {6+, 5+8, +7} = min{0,,0} = 0) μέσω Ε ή Η ελάχιστη απόσταση από το Δ στο Λ είναι 0 (min {7+, +8, +7} = min{,,0} = 0) μέσω Η. Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη τέλος πηγαίνοντας στο στάδιο έχουμε : ελάχιστη απόσταση από το Α στο Λ είναι 9 (min {+7, +0, +0} = min{9,,} = 9) μέσω Β χρησημοποιώντας τους παραπάνω υπολογισμούς βρίσκεται ότι η διαδρομή ελάχιστης απόστασης είναι : από το Α θα πρέπει να πάει στο Β από το Β στο Ε από τα Ε στο Ι και από το Ι στο Λ..8 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το προηγούμενο παράδειγμα του προβλήματος με τον ταξιδιώτη, έχει τα χαρακτηριστικά των προβλημάτων που μπορούν να λυθούν με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι τα εξής ακόλουθα :. Οι αποφάσεις λαμβάνονται διαδοχικά.. Το πρόβλημα μπορεί να διαιρεθεί σε στάδια.. Κάθε στάδιο έχει ορισμένο αριθμό καταστάσεων.. Μια απόφαση μετασχηματίζει την παρούσα κατάσταση σε μία κατάσταση για το επόμενο στάδιο 5. Τα οφέλη συσχετίζονται με τους μετασχηματισμούς των καταστάσεων και επιδιώκεται να μεγιστοποιηθούν ή να ελαχιστοποιηθεί το κόστος. 6. η παρούσα κατάσταση περιέχει όλες τις αναγκαίες πληροφορίες. Η διαδικασία που οδήγησε στην παρούσα κατάσταση δεν επηρεάζει τις μελλοντικές αποφάσεις 7. Κατά την εφαρμογή του κριτηρίου του Bellman : Σελίδα 5 από 85

Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό a. Η διαδικασία αρχίζει από το τελευταίο στάδιο απόφασης και προχωρεί προς τα επόμενα. b. Σε κάθε στάδιο υπολογίζεται η βέλτιστη διαδρομή από κάθε κατάσταση του σταδίου μέχρι το τελικό προορισμό. Για τον υπολογισμό της βέλτιστης διαδρομής για μία κατάσταση υπολογίζεται για κάθε κατάσταση του επόμενου σταδίου το άθροισμα της διαδρομής από την κατάσταση που είμαστε τώρα σε μια κατάσταση επόμενου σταδίου, και σε αυτήν προστίθεται η βέλτιστη υπόλοιπη διαδρομή από την κατάσταση του επόμενου σταδίου μέχρι τον τελικό προορισμό. Στη συνέχεια επιλέγεται το βέλτιστο άθροισμα και έτσι υπολογίζεται η βέλτιστη απόσταση μεταξύ της κατάστασης που βρισκόμαστε και του τελικού προορισμού. Σελίδα 6 από 85

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα παρακολουθήσουμε σε παραδείγματα τρόπους εφαρμογής της μεθοδολογίας του Δυναμικού Προγραμματισμού. Πρώτα όμως θα πρέπει να διευκρινίσουμε κάποιες βασικές έννοιές του, χρησημοποιώντας το παράδειγμα του ταξιδιώτη του πρώτου κεφαλαίου. Οι έννοιες αυτές είναι οι εξής : Στάδιο απόφασης :ονομάζεται η κάθε πόλη στην οποία βρίσκεται ο ταξιδιώτης και θα πρέπει να αποφασίσουμε την άμεση μόνο βέλτιστη κατεύθυνση που θα ακολουθήσει αναχωρώντας. Θέση :ονομάζεται η συγκεκριμένη πόλη στην οποία βρίσκεται ο ταξιδιώτης όταν λαμβάνει την απόφαση αυτή. Στη συνέχεια θα διατυπώσουμε τον μαθηματικό τύπο επίλυσης της συγκεκριμένης μεθοδολογίας. Έστω ότι : ν = το τωρινό στάδιο απόφασης i = η τωρινή θέση (πόλη) j = μία αμέσως επόμενη θέση-πόλη (στο στάδιο ν + ) ij = η απόφαση μεταξύ των θέσεων-πόλεων i και j = το σύνολο των θέσεων-πόλεων στο ν στάδιο απόφασης () i = η βέλτιστη-ελάχιστη υπόλοιπη απόσταση από την πόλη i του σταδίου ν μέχρι τον τελικό προορισμό j () i = ο καλύτερος επόμενος σταθμός από την πόλη Έτσι με βάση το κριτήριο του Bellman έχουμε : i στο στάδιο ν. ( i) min[ ij ( i)] i j,...5 Σελίδα 7 από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ο Δυναμικός Προγραμματισμός φέρει πολλές εφαρμογές σε χρηματοοικονομικά προβλήματα και σε ζητήματα χρηματιστηρίου, όπου οι αποφάσεις που θα πρέπει να ληφθούν είναι πολλές και αλληλοεξαρτώμενες μεταξύ τους για ένα βέλτιστο τελικό αποτέλεσμα. Τέτοιο είναι το παράδειγμα που θα αναλύσουμε παρακάτω. Έστω ότι ένας επενδυτής έχει διαθέσιμο το ποσό των εκατομμυρίων δραχμών για επένδυση μεταξύ τεσσάρων εναλλακτικών επενδυτικών προγραμμάτων. Σε κάθε πρόγραμμα μπορεί να επενδύσει ακέραια πολλαπλάσια των εκατ. Δρχ. και η απόδοση κάθε πιθανής επένδυσης φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : Ύψος επένδυσης (σε εκατ. Δρχ.) Απόδοση (σε εκατ. Δρχ.) Α Β Γ Δ 0 0 0 0 0,,,,,9,6,5,,0,,,9 5,5 5, 5, 5, Πίνακας. Πίνακας επενδυτικών προγραμμάτων Ο επενδυτής ενδιαφέρεται να επενδύσει τα χρήματά του έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει τη συνολική απόδοση των επενδύσεών του. Το πρόβλημα αυτό είναι πρόβλημα συνδυασμών και επομένως μπορεί να λυθεί με απαρίθμηση διάφορων συνδυασμών. Σαν παράδειγμα ένας πιθανός συνδυασμός είναι (,,,) δηλαδή εκατ. Δρχ. σε κάθε πρόγραμμα. Αυτός ο συνδυασμός έχει σαν απόδοση,+,+,+,=,5 εκατ. Δρχ. ένας άλλος συνδυασμός είναι (,0,0,0) δηλαδή να γίνει επένδυση του συνολικού κεφαλαίου στο πρόγραμμα Α. αυτός ο συνδυασμός έχει συνολική απόδοση 5,5 εκατ. Δρχ. και επομένως υπερέχει του προηγουμένου. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να Σελίδα 8 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη προσπαθήσουμε διάφορους συνδυασμούς και να συγκρίνουμε τη συνολική του απόδοση. Για να λύσουμε το πρόβλημα χρησημοποιώντας τη μεθοδολογία του Δυναμικού προγραμματισμού πρέπει πρώτα να ορίσουμε τα στάδια αποφάσεων και τις πιθανές καταστάσεις του επενδυτή. Θα θεωρήσουμε ότι οι αποφάσεις για κάθε πρόγραμμα θα ληφθούν σε μια χρονική σειρά : πρώτα δηλαδή ο επενδυτής θα αποφασίσει για το πρόγραμμα Α μετά για το Β μετά για το Γ και τέλος για το Δ. τέλος δεν μπορεί να αναιρέσει την κάθε απόφαση που έχει πάρει. Στάδιο απόφασης είναι το κάθε συγκεκριμένο πρόγραμμα για το οποίο πρόκειται να αποφασίσει ο επενδυτής και Κατάσταση είναι το υπόλοιπο κεφάλαιο το οποίο είναι διαθέσιμο στον επενδυτή για επένδυση στο συγκεκριμένο στάδιο και για όλα τα επόμενα. Επομένως στο πρόβλημά μας έχουμε στάδια απόφασης. 0 0 0 0 Διάγραμμα. Διάγραμμα δικτύου αποφάσεων Σελίδα 9 από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να παραστήσουμε το πρόβλημα σαν ένα δίκτυο αποφάσεων, όπως φαίνεται στο παραπάνω διάγραμμα. Η λύση του προβλήματος είναι παρόμοια με την προηγούμενη. Έστω ( ) η μεγαλύτερη δυνατή συνολική από το τωρινό και τα υπόλοιπα μελλοντικά στάδια εάν ο επενδυτής τώρα βρίσκεται στο στάδιο ν και έχει υπόλοιπο κεφάλαιο. Επίσης Και, η άμεση απόδοση μιας επένδυσης ύψους ψ στο στάδιο ν ( ) η καλύτερη επένδυση για το συγκεκριμένο στάδιο και κατάσταση τότε έχουμε τον ακόλουθο τύπο : ( ) ma[, ( )] Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, αρχίζουμε από το τελευταίο στάδιο ( ) και χρησημοποιούμε την ακέραιη συνθήκη ότι δεν επενδυθεί δεν αποδίδει. 5 ( ) 0 δηλαδή ότι Για (), 5, (),,9 : (),, (),, ( ) για κάθε Για : () ma [5,+0,+,,5+,,+,9 0+5,] = 5,5 () ma [,,8,6,9]=, E () () ma () ma (0) 0 [,5,5,] =,5 [,,]=, E () ή E () 0 E () Για : () ma [5,,+,,6+,5,+, 0+5,5] = 5,65 E () () ma [,,6+,,+,5,] =, E () ή 0 Σελίδα 0 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη () ma () ma (0) ma[0] 0 [,6,+,,5] =,7 [,,] =, E () E () Για : () ma [5,5,0+,,9+,7,+, 5,6] = 5,6 E () ή 0 Επομένως οι καλύτερες επενδυτικές λύσεις είναι οι εξής δύο: Α Β Γ Δ η λύση 0 η λύση 0 0 Πίνακας. Πίνακας επενδυτικών λύσεων Και οι δύο παραπάνω συνδυασμοί έχουν συνολική απόδοση εκατ. δρχ. () 5,6. ΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Ο Δυναμικός Προγραμματισμός απέκτησε πολλές εφαρμογές στην καθημερινότητα και σε προβλήματα που πρέπει να λάβουμε κρίσιμες αποφάσεις στον εργασιακό μας χώρο. Τα προβλήματα αυτά παρουσιάζονται στις παρακάτω ενότητες.. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ας υποθέσουμε ότι μια εταιρεία θέλει να παράγει 9 μονάδες από ένα προϊόν τους μήνες Ιανουάριο, Φεβρουάριο, και Μάρτιο. Η παραγωγή κάθε μήνα πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός μονάδων. Επί πλέον πρέπει να Σελίδα από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού ελαχιστοποιείται η συνάρτηση w w w, όπου,, παραγωγή στους μήνες Ιανουάριο, Φεβρουάριο και Μάρτιο αντίστοιχα. Οι παράμετρες w, w, w μήνα και δίνεται ότι είναι οι συντελεστές κόστους για τον αντίστοιχο w, w, w 7. Στάδια του προβλήματος ορίζονται οι τρείς μήνες. Έτσι υπάρχουν τρία στάδια. Το πρώτο που αντιστοιχεί στο Μάρτιο, το δεύτερο που αντιστοιχεί στο Φεβρουάριο και το τρίτο που αντιστοιχεί στον Ιανουάριο. Καταστάσεις κάθε σταδίου είναι οι μονάδες προϊόντος που πρέπει ακόμα να παραχθούν. Έστω n () s η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στα επιμέρους στάδια όταν η ποσότητα που πρέπει ακόμα να παραχθεί είναι η ( ) min( n s w n n n ( s n )) n 0,... s Η αναπαράσταση του προβλήματος σε στάδια και οι πιθανές καταστάσεις σε κάθε στάδιο δίνονται από το παρακάτω διάγραμμα Έτσι b n () s είναι η βέλτιστη απόφαση για κάθε στάδιο n. 0 0 9 5 5 0 6 6 7 7 8 8 9 9 στάδιο στ. στ. Διάγραμμα. Διάγραμμα κατανομής εργασίας με στάδια Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Στη συνέχεια θα γίνει υπολογισμός της αναδρομικής συνάρτησης για τις διάφορες τιμές του n. Για n ( ) s w s s () () 8 () 8 () (5) 50 (6) 7 (7) 98 (8) 8 (9) 6 b () b () b () b () b (5) 5 b (6) 6 b (7) 7 b (8) 8 b (9) 9 Για n ( s) min( ( s )) (0) ()(0) (0) 0,b (0) = 0 ()= min( (- )) 0,, min( (), (0)) min(,), b () 0 ()= min( (- )) 0,, min( (), (), (0)) min(8,5,) 5 b () 0 () min( ( )) 0,,, Σελίδα από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού min( (), (), (),7 (0)) min(8,,,7), b () () min( ( )) 0,,,, min( (), (), (),7 (),8 (0)) min(,,0,9,8) 0 (5) min( (5 )), b () 0,,,,,5 min( (5), (), (),7 (),8 (),75 (0)) min(50,5,0,5,50,75) 0 (6) min(7,5,,59,56,77,08) (7) 59 (8) 77 (9) 98 b (7) b (8) b (9), b (5), b (6) Για n ( ) min(7 s ( s )) 0,,...9 Αλλά στο τρίτο στάδιο n μόνη πιθανή κατάσταση είναι s9 έτσι έχουμε (9) min(7 (9 )) 0,,...9 min( (9),7 (8),8 (7),6 (6), (5), 75 (),5 (), (),8 (),567 (0)) min(98,777,859,6, 0,75 0,5, 5,8,5670) 8, b (9) Συνεπώς η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι 8 και επιτυγχάνεται για,, 5. Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη.. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Στην ενότητα αυτή έχουμε να αντιμετωπίσουμε προβλήματα για τον βέλτιστο τρόπο παραγωγής και την διαχείριση των αποθεμάτων. Τα παρακάτω δύο προβλήματα θα μας βοηθήσουν να κατανοήσουμε ακόμη καλύτερα τις εφαρμογές του Δυναμικού Προγραμματισμού, σε τέτοιου είδους κρίσιμα ζητήματα. Αρχικά θα αναλύσουμε το πρόβλημα παραγωγής. Α. προγραμματισμός παραγωγής Σε μία βιομηχανία καταναλωτικών αγαθών το κόστος αλλαγής του επιπέδου παραγωγής μεταξύ διαδοχικών μηνών είναι ίσο προς το διπλάσιο του τετραγώνου της διαφοράς των αντίστοιχων επιπέδων παραγωγής. Το μέρος της παραγωγής που μένει απούλητο στο τέλος κάθε μήνα θεωρείται χαμένο και έχει κόστος 0 χρηματικές μονάδες, ανά μονάδα προϊόντος. Η παραγωγή τον μήνα Δεκέμβριο είναι 00 μονάδες και οι προβλέψεις πωλήσεων για τους μήνες Ιανουάριο, Φεβρουάριο, Μάρτιο και Απρίλιο είναι αντίστοιχα 0, 0, 95 και 80 μονάδες. Θέλουμε να καθορίσουμε το πρόγραμμα παραγωγής για τους τέσσερις αυτούς μήνες, που ελαχιστοποιεί το κόστος, ικανοποιώντας πλήρως τις προβλεπόμενες πωλήσεις. Λύση : Έστω,, και η παραγωγή κατά του μήνες Απρίλιο, Μάρτιο, Φεβρουάριο και Ιανουάριο αντίστοιχα και 5 0 μονάδες και είναι η παραγωγή κατά το μήνα Δεκέμβριο. Το κόστος αλλαγής επιπέδου παραγωγής θα είναι ως εξής : ορίζουμε n ( s n ) το ελάχιστο κόστος το οποίο μπορούμε να πετύχουμε όταν η παραγωγή του τελευταίου μήνα ήταν s n n και έχουμε να διανύσουμε n ακόμα μήνες (στάδια). Έτσι στην αρχή του μήνα Απριλίου θα είναι ( s ) ( s ), στην αρχή του Μαρτίου, κ. ο. κ και στο τέλος της χρονικής περιόδου θα έχουμε προφανώς 0 ( s 0 ) 0. Σελίδα 5 από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού Έτσι η γενική αναδρομική μας σχέση στην προκειμένη περίπτωση γίνεται : n ( s n ) min[ V n ( s n, n ) n ( s n )] Με s n n και s n n d n Οπότε στα συγκεκριμένα στάδια του προβλήματος θα έχουμε : ο στάδιο: ( ) min (, ) min[( ) s V s 0( 80)] Με 80 και 95 ο στάδιο: ( s ) min[ V ( s, ) ( s )] με 95 min[( ) 0( 95) ( s )] και 0 ο στάδιο: ( ) min[( ) s 0( 0) ( s )] με 0 και 0 ο στάδιο: ( 00) min[( 00) s 0( 0) ( s )] με 0 σαν καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί η διαδικασία στην αρχή κάθε σταδίου ορίζουμε τα διάφορα επίπεδα παραγωγής που είναι επιτρεπτά για κάθε στάδιο, κλιμακώνοντάς τα ανά πέντε για να μειώσουμε τον όγκο των απαιτούμενων υπολογισμών. Σελίδα 6 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Είναι προφανές ότι κανένα στάδιο δεν έχει επίπεδο παραγωγής πάνω από 0 μονάδες που είναι και η μέγιστη προβλεπόμενη ζήτηση, καθώς και ότι για κάθε στάδιο δεν είναι επιτρεπτή η θεώρηση επιπέδου παραγωγής κάτω από την αντίστοιχη προβλεπόμενη ζήτηση. Έτσι οι επιτρεπτές καταστάσεις στην αρχή των διάφορων σταδίων είναι οι ακόλουθες : για το στάδιο είναι δεδομένη η κατάσταση s 00 μονάδες, για το στάδιο οι δυνατές καταστάσεις είναι κατάσταση είναι s 0 s 95,00,05,0,5,0 s 0,5,0, για το στάδιο η μόνη πιθανή, για το στάδιο οι δυνατές καταστάσεις είναι Στη συνέχεια μπορούμε να προχωρήσουμε στον υπολογισμό των παραπάνω συναρτήσεων για όλες τις δυνατές καταστάσεις όλων των σταδίων. Στάδιο ο : Το ελάχιστο της συναρτήσεως ( ) ( ) s 0( 80) Ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή, μπορεί εύκολα να υπολογιστεί αναλυτικά με την παραγώγιση της συναρτήσεως ως προς και τοποθέτηση της τιμής της παραγώγου ίσης με το μηδέν(για να είναι ελάχιστο πρέπει και η δεύτερη παράγωγος να είναι θετική πράγμα που συμβαίνει εδώ) δηλαδή : d ( s ) ( ) 0 0 οπότε d Για τις επιτρεπτές τιμές της συνέχεια η ( s ). 5 υπολογίζεται η βέλτιστη τιμή, και στη Στάδιο ο : Έχουμε : ( 0) min[( 0) s 0( 95) ( s )] s 95 έχουμε (0) 50 50 500 Σελίδα 7 από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού επομένως =00 έχουμε =800+00+50=50 =05 έχουμε =50+00+50=00 =0 έχουμε =00+00+550=050 =5 έχουμε =50+00+650=00 ( s 0) 050 και 0 είναι οι βέλτιστες ελάχιστες τιμές. Στάδιο ο : Στο στάδιο αυτό η αναδρομική σχέση είναι ( ) min[( ) s 0( 0) ( s )] Επομένως έχουμε την ( s ) για Για την μοναδική επιτρεπτή τιμή (0) 00050 50 (5) 50050 00 (0) 0050 050 s 0,5,0 0. έτσι έχουμε : με >=0. Στάδιο ο : Για την μοναδική κατάσταση s 00 του σταδίου θα έχουμε : ( 00) min[( 00) s 0( 0) ( s )] Για 0 (00) 00050 50 =5 =50+00+00=650 =0 =800+00+050=050 άρα η (00) 50 και η αντίστοιχη τιμή του 0 είναι οι βέλτιστες. Συμπληρώνοντας τον παρακάνω πίνακα με τις βέλτιστες τιμές των σταδίων προχωρούμε στην επίλυση του προβλήματος ως ακολούθως: Σελίδα 8 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Στάδιο Στάδιο Στάδιο Στάδιο S F (s ) X S F (s ) X S F (s ) X S F (s ) X 95 50 90 00 50 95 00 50 0 05 50 00 0 550 05 0 50 0 5 650 0 5 00 0 0 750 5 0 050 0 0 050 0 Πίνακας. Πίνακας σταδίων παραγωγής Από την τελευταία στήλη του συγκεντρωτικού πίνακα βρίσκουμε την τιμή =0. Την τιμή αυτή την χρησημοποιούμε για τον προσδιορισμό της καταστάσεως του επόμενου σταδίου αντίστοιχη στήλη του σταδίου βρίσκουμε βρίσκουμε το 0 παραγωγής που είναι: και 05 s 0 0, oπότε από την. Κατά τον ίδιο τρόπο. Έτσι έχουμε το πλήρες πρόγραμμα Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος Απρίλιος 0 0 0 05 μονάδες το αντίστοιχο κόστος είναι : (00) 50 χρηματικές μονάδες και είναι φυσικά το ελάχιστο. Β. το πρόβλημα παραγωγής αποθεμάτων Έστω ότι μια βιομηχανική εταιρεία ετοιμάζεται να προγραμματίσει την παραγωγής (σε σχετικά μικρές ποσότητες) ενός ακριβού προϊόντος ναι τις επόμενες Ν χρονικές περιόδους (μήνες). Λόγω διάφορων περιορισμών (π.χ. χρόνου, εργατικού δυναμικού κ.τ.λ.) η ποσότητα που μπορεί να παραχθεί σε μια περίοδο ν δεν μπορεί να υπερβαίνει μία δεδομένη Σελίδα 9 από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού δυναμικότητα για αυτόν τον μήνα. Η ζήτηση σε κάθε περίοδο είναι εκ των προτέρων γνωστή, μπορεί όμως να ικανοποιηθεί από την παραγωγή εκείνης της περιόδου ή από αποθέματα προηγούμενων περιόδων. Το κόστος κάθε περιόδου έχει δύο συντελεστές : Το κόστος παραγωγής, το οποίο είναι συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής. Το κόστος αποθήκευσης της περιόδου, το οποίο είναι συνάρτηση του συνολικού αποθέματος το οποίο υπάρχει στο τέλος της κάθε περιόδου. Η εταιρεία θέλει να προγραμματίσει την παραγωγή ώστε να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος των Ν περιόδων. Λύση : Για να λύσουμε το πρόβλημα αυτό θα πρέπει να ορίσουμε για κάθε περίοδο ν (ν =,,, Ν) : n = η ποσότητα παραγωγής = η ζήτηση = η δυναμικότητα παραγωγής = το συνολικό απόθεμα στο τέλος της περιόδου c ( ) το κόστος παραγωγής ( ) το κόστος αποθήκευσης Το πρόβλημα αυτό μπορεί να διατυπωθεί ως εξής : να ευρεθούν αρχικά τιμές για την άριστη πολιτική παραγωγής και αποθεμάτων, δηλαδή τις μεταβλητές (,, ν =,,, Ν), ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος. Σελίδα 0 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Έτσι θα έχουμε : Z ( c ( ) ( )) και έχουμε τους εξής περιορισμούς : α ν ν () ν =,,, Ν () ν =,,, Ν () ν ν =,,, Ν () 0 0 (5) ακέραιοι μη αρνητικοί αριθμοί (6) Ο περιορισμός () σημαίνει ότι τα αποθέματα στο τέλος της περιόδου ν ισούνται με τα αποθέματα του τέλους της περιόδου ( -), συν την παραγωγή της περιόδου ν, μείον τη ζήτησα αυτής της περιόδου. Οι περιορισμοί () και () δηλώνουν τους περιορισμούς λόγω δυναμικότητας παραγωγής και χωρητικότητας αποθήκης. Ο περιορισμός (5) εκφράζει δύο ακραίες συνθήκες : ότι τα αρχικά και τελικά αποθέματα ισούνται με μηδέν. Τέλος ο περιορισμός (6) υπάρχει διότι οι ποσότητες παραγωγής είναι μικρές. Ας υποθέσουμε ότι για τις συναρτήσεις C και H έχουμε : C ( ) ( ) 6 0, ν =,,, Ν 0 0 ( ) h Τα δεδομένα του προβλήματος για έναν ορίζοντα τεσσάρων περιόδων (Ν = ) δίνονται από τον παρακάτω πίνακα : Σελίδα από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού Περίοδος (ν) Ζήτηση (ζ ν ) Δυναμικότητα Παραγωγής (Δ ν ) Κόστος Αποθήκης (h ν ) Κόστος C ν (χ ν ) Για χ ν = 5 5 8 5 5 8 9 6 5 - - 0 7 6 - - 5 8 7 8 Πίνακας. Πίνακας περιόδων παραγωγής και αποθήκευσης Τα στάδια του προβλήματος είναι οι χρονικές περίοδοι και σαν κατάσταση ορίζουμε το αποθεματικό επίπεδο το οποίο υπάρχει προτού να ληφθεί η απόφαση. Έστω (, ) απόθεμα στην αρχή της περιόδου ισούται με το άμεσο κόστος της περιόδου ν εάν το, και η ποσότητα παραγωγής αυτής της περιόδου είναι. Προφανώς θα έχουμε : K (, ) 6 h * h *,, 0 0 όπου a a Επίσης, έστω ( a ) το ελάχιστο συνολικό κόστος από τις υπόλοιπες περιόδους αν η τωρινή περίοδος είναι η ν-υοστή και το υπόλοιπο απόθεμα από την προηγούμενη περίοδο είναι ( ) min[ (, ) ( )] 0 Όπου 0 0 a. Έτσι έχουμε : Η λύση αυτού ου προβλήματος είναι παρόμοια με αυτή της συντομότερης διαδρομής. Μόνο που σε αυτή τη περίπτωση οι κόμβοι στο δίκτυο αντιστοιχούν στις πιθανές καταστάσεις (αποθεματικά επίπεδα) για το κάθε στάδιο. Οι συνδέσεις μεταξύ δυο διαδοχικών κόμβων αντιστοιχούν σε Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη αποφάσεις παραγωγής. Για παράδειγμα η σύνδεση μεταξύ 0 σημαίνει ότι μεταξύ του τέλους της ης 0 και και του τέλους της ης περιόδου το απόθεμα μεγάλωσε κατά μία μονάδα. Εφόσον η ζήτηση της ης περιόδου ήταν δύο μονάδες, έπεται ότι η συνολική παραγωγή αυτής της περιόδου ήταν τρείς μονάδες. Επομένως το κόστος αυτής της απόφασης είναι : (κόστος παραγωγής μονάδων = 7) + (κόστος αποθήκευσης μίας μονάδας + ) = 8. Αντίστοιχα η σύνδεση μεταξύ και σημαίνει ότι και (,) 76 Γενικότερα μια σύνδεση μεταξύ δύο διαδοχικών κόμβων αν και αντιστοιχεί σε απόφαση παραγωγής Και κόστος περιόδου ( ) C ( ) h * Το πρόβλημα λοιπόν είναι να ευρεθεί η συντομότερη οδός μεταξύ a 0 0 και a 0, όπου το μήκος διαδρομής μεταξύ δύο διαδοχικών κόμβων είναι το κόστος K. Η λύση είναι παρόμοια με τα προηγούμενα παραδείγματά μας Για ν= Εφόσον έχουμε 0 θα παράγουμε μόνο τόσο όσο χρειάζεται για να ικανοποιήσουμε τη ζήτηση της τέταρτης περιόδου, δηλαδή όπου και επομένως έχουμε (0) 7 () 8 Για ν= () () 0 Οι πιθανές καταστάσεις είναι 0,,,,. Συμβολίζοντας με ( ) την άριστη ποσότητα παραγωγής την περίοδο ν όταν το διαθέσιμο απόθεμα είναι α, έχουμε : Σελίδα από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού (0) 6 (0) () min[7 (0),8 ()] () () min[0 7,88,0 ] 7 (),, () min[07,8,, 0] 7 () 0 () min[8,, 0] 0 () 0 Για ν= Οι πιθανές καταστάσεις είναι α =0,,,. (0) min[6,6 ] 9 (0) () min[9,7,77] () 0 () min[0,0,87,8 7] () 0 () min[, 7,97,90] 5 () 0 Για ν= Η μόνη πιθανή κατάσταση είναι a 0 0 (0) min[5 9,5,7, 5] 0 (0) Επομένως, το άριστο πρόγραμμα παραγωγής είναι :, 0,, Και το ελάχιστο κόστος είναι ίσο με 0 μονάδες... ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της βιομηχανικής κοινωνίας είναι η αντικατάσταση των παλαιών μηχανών και εργαλείων από πιο σύγχρονα και αποδοτικά. Με την πάροδο του χρόνου η αποδοτικότητα των μηχανικών εργαλείων μειώνεται, έτσι έρχεται κάποια στιγμή που τα αρχικά έξοδα αγοράς και εγκατάστασης μίας νέας μηχανής υπερκαλύπτονται από την αύξηση της παραγωγικότητας και την ελάττωση των δαπανών λειτουργίας και συντηρήσεως νέων πιο σύγχρονων μηχανολογικών εργαλείων. Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Θέλουμε να καθορίσουμε τη βέλτιστη πολιτική συντήρησης και αντικατάστασης μηχανικού εξοπλισμού, με διάφορες υποθέσεις σχετικά με το κόστος και τα λοιπά χαρακτηριστικά των μηχανών, τόσο στην παρούσα κατάσταση όσο και στις μελλοντικές. Οι αποφάσεις αυτού του είδους λαμβάνονται κάθε έτος ή άλλο χρονικό διάστημα, ανάλογα με τον τύπο της μηχανής που εξετάζουμε. Επομένως είναι φανερό ότι έχουμε να αντιμετωπίσουμε ένα πρόβλημα πολυσταδιακών αποφάσεων. Πολύ βασικές για τις μελέτες αυτού του είδους είναι οι υποθέσεις που κάνουμε όσον αφορά το μέλλον. Εδώ θα μελετήσουμε τη σχετικά απλή περίπτωση που μας δίνονται όλες οι προβλέψεις για το μέλλον. Έτσι έχουμε να αντιμετωπίσουμε ένα αιτιοκρατικό πρόβλημα Δυναμικού Προγραμματισμού. Στην πραγματικότητα οι προβλέψεις αυτές είναι δυνατό να χρειάζονται αναθεώρηση σε κάθε στάδιο της διαδικασίας. Για να απλοποιήσουμε την παρουσίαση του προβλήματος θα υποθέσουμε ότι έχουμε μία μόνο μηχανή και με τα παρακάτω μεγέθη να εξαρτώνται από την ηλικία της μηχανής αυτής. Έτσι έχουμε : R (t) = το ορισμένο προϊόν που μας δίνει η μηχανή κατά το έτος t U (t) = τα έξοδα λειτουργίας και συντήρησης που απαιτεί η μηχανή C (t) = είναι η δαπάνη που απαιτείται για την αντικατάστασή της με μία νέα μηχανή σε οποιοδήποτε χρονικό σημείο κατά το έτος t. Το πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί σαν μοντέλο Δυναμικού Προγραμματισμού ως εξής : Έστω ότι λαμβάνουμε αποφάσεις μόνο κατά τις χρονικές στιγμές t=0,,, και ότι κάθε φορά έχουμε μόνο δύο δυνατές επιλογές : Την επιλογή που ονομάζουμε Κ : είτε δηλαδή να κρατήσουμε την παλαιά μηχανή Την επιλογή Α : είτε να αγοράσουμε μια νέα μηχανή Στη συνέχεια θα εισάγουμε την συνάρτηση : F (t) = το ολικό κέρδος για όλη τη διάρκεια που εξετάζουμε, αρχίζοντας με μια μηχανή ηλικίας t και ακολουθώντας μία βέλτιστη πολιτική. Η παραπάνω συνάρτηση χρησιμοποιείται με αυτήν τη μορφή (t), έτσι ώστε να διευκολυνθεί αργότερα η παράσταση της συνάρτησης όταν Σελίδα 5 από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού παρουσιαστεί και ο άλλος δείκτης, που θα υποδηλώνει την τεχνολογική εξέλιξη. Επίσης, εισάγουμε το συντελεστή αναγωγής σε παρούσα αξία a ή συντελεστή εκπτώσεως, που ανάγει την αξία του κέρδους κατά το επόμενο στάδιο, σε αξία κέρδους κατά το παρόν στάδιο. Με την εισαγωγή του συντελεστή αυτού το συνολικό κέρδος είναι πεπερασμένο, ακόμα και στη περίπτωση που η εξεταζόμενη διαδικασία εκτείνεται έπ άπειρον. Μετά τα παραπάνω μπορούμε να διατυπώσουμε τη συναρτησιακή σχέση : ( t) ma A : r(0) - u(0) - c( t) a () K: r( t) - u( t) a ( t) Σχέση από την οποία μπορούμε να καθορίσουμε τη βέλτιστη πολιτική, αρκεί μόνο να ορίσουμε το χρονικό ορίζοντα του προβλήματος, δηλαδή τον ολικό χρόνο κατά τον οποίο εκτείνεται η διαδικασία. Είναι δυνατό να επιλύσουμε το πρόβλημα αυτό αναλυτικά ακόμα και στην περίπτωση διαδικασίας με άπειρη διάρκεια. Όπως είναι φανερό η βέλτιστη πολιτική έχει την ακόλουθη μορφή : Κρατάμε μία μηχανή επί Τ έτη και μετά την αντικαθιστούμε με μία νέα μηχανή. Το πρόβλημα συνίσταται επομένως στον καθορισμό του Τ. Έτσι θέτουμε την ακόλουθη παράμετρο : n ( t) r ( t) - u ( t) στην συναρτησιακή μας σχέση και παίρνουμε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων : (0) n (0) a () () n () a ().. ( T-) n ( T-) a ( T) ( T) - c ( T) n (0) a () επιλύνοντας το σύστημα αυτό ως προς () έχουμε Σελίδα 6 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη () [ n () an()... a T - n( T -) a T - n(0)] - a T - c( T) - a T Η άγνωστη ποσότητα Τ εκλέγεται έτσι ώστε να ικανοποιείται η (), οπότε προφανώς και θα μεγιστοποιηθεί. Αυτό μπορεί να γίνει είτε αναλυτικά είτε δοκιμαστικά θέτοντας διάφορες τιμές στο Τ και υπολογίζοντας τις αντίστοιχες τιμές της (). Προχωρούμε στη συνέχεια στην περίπτωση που υπάρχει τεχνολογική εξέλιξη, δηλαδή μία παλαιά μηχανή αντικαθίσταται από μια άλλη διαφορετικού τύπου και απόδοσης, συνήθως μεγαλύτερου και υποθέτουμε ότι ο τύπος της μηχανής χαρακτηρίζεται μόνο από το έτος κατασκευής της. Τότε τα οικονομικά μεγέθη που αναφέραμε πιο πάνω γίνονται r N ( t), u N ( t), c N ( t). Δηλαδή εκτός από την ηλικία της μηχανής εξαρτώνται και από το έτος της διαδικασίας που διανύουμε. Στις περιπτώσεις εφαρμογής του μαθηματικού λογισμού για την αντιμετώπιση του προβλήματος βοηθά η παραδοχή της εκθετικής μεταβολής για την τεχνολογική εξέλιξη. Με την μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού, που εφαρμόζουμε, αυτό δεν είναι απαραίτητο αλλά μπορούμε ευκολότερα να χρησιμοποιήσουμε απευθείας πίνακες τιμών των μεγεθών r, u και c. Μετά τις παραπάνω διευκρινήσεις ορίζουμε την συνάρτηση N () t N () t ως εξής η τιμή κατά το χρόνο Ν του ολικού κέρδους για μια μηχανή ηλικίας t, όταν ακολουθούμε μία βέλτιστη πολιτική κατά τα εναπομένοντα στάδια. Χρησιμοποιούμε και πάλι το συντελεστή αναγωγής σε παρούσα αξία a, υποθέτουμε όμως εδώ ότι η όλη διαδικασία διαρκεί μόνο μετά σταματά. Επομένως θα είναι : N ( t) 0 για N 0 στάδια και NN 0 Σε αυτή την περίπτωση, η συναρτησιακή σχέση του Δυναμικού Προγραμματισμού παίρνει την παρακάτω μορφή : A : r N (0)- u N (0)- c N ( t) a N N ( t) ma K : r N ( t)- u N ( t) a N ( t) Σελίδα 7 από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού Ο τρόπος επίλυσης της αναδρομικής εξίσωσης δίνεται στη συνέχεια με τη βοήθεια αριθμητικού παραδείγματος. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ότι έχουμε μία διαδικασία ολικής διάρκειας 0 ετών. Τα μεγέθη r, u και c για μηχανές κατασκευασμένες σε καθένα από τα 0 αυτά έτη συναρτήσει της ηλικίας τους δίνονται στους παρακάτω πίνακες : Μηχανή κατασκευασμένη το ο έτος Ηλικία μηχανής 0 5 6 7 8 9 R 90 85 80 75 70 70 70 60 60 60 U 0 0 5 5 0 0 5 0 5 50 C 00 0 0 50 55 60 65 70 70 70 Μηχανή κατασκευασμένη το ο έτος Ηλικία μηχανής 0 5 6 7 8 R 00 90 80 75 70 65 65 65 65 U 5 0 0 5 5 0 0 5 5 C 00 0 0 50 55 60 65 70 70 Μηχανή κατασκευασμένη το ο έτος Ηλικία μηχανής 0 5 6 7 R 0 05 00 95 90 80 70 60 U 5 5 0 0 5 5 0 0 C 00 0 0 50 55 60 65 70 Σελίδα 8 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Μηχανή κατασκευασμένη το ο έτος Ηλικία μηχανής 0 5 6 R 5 0 00 90 80 70 60 U 5 5 0 0 5 5 0 C 0 5 0 5 0 5 0 Μηχανή κατασκευασμένη το 5 ο έτος Ηλικία μηχανής 0 5 R 0 5 5 0 05 00 U 0 0 5 5 0 0 C 0 5 0 5 0 5 Μηχανή κατασκευασμένη το 6 ο έτος Ηλικία μηχανής 0 R 5 0 0 05 005 U 0 0 0 5 5 C 0 0 0 0 50 Μηχανή κατασκευασμένη το 7 ο έτος Ηλικία μηχανής 0 R 5 5 0 05 U 0 0 0 0 C 0 0 0 0 Σελίδα 9 από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού Μηχανή κατασκευασμένη το 8 ο έτος Ηλικία μηχανής 0 R 0 5 5 U 5 0 0 C 0 0 0 Μηχανή κατασκευασμένη το 9 ο έτος Ηλικία μηχανής 0 R 50 0 U 5 0 C 0 5 Μηχανή κατασκευασμένη το 0 ο έτος Ηλικία μηχανής 0 R 55 U 5 C 0 Πίνακες.5 Πίνακες ηλικίας μηχανής από έως 0 έτη Αρχίζουμε τη διαδικασία με μία μηχανή που την ονομάζουμε «υπάρχουσα μηχανή», ηλικίας έστω ετών, της οποίας τα μελλοντικά οικονομικά στοιχεία δίνονται παρακάτω : Αρχική μηχανή Ηλικία μηχανής 5 6 7 8 9 0 R 60 60 50 50 50 0 0 0 0 0 U 55 55 55 60 60 60 60 65 65 70 C 50 60 70 80 90 90 00 00 00 0 Πίνακας.6 Πίνακας μελλοντικών οικονομικών στοιχείων μηχανής Σελίδα 0 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Λύση : Αρχίζουμε τον υπολογισμό κατασκευάζοντας πρώτα τον πίνακα 0 () ma 0 () ma 0 () ma A: r 0 (0) - u 0 (0) - c 0 () a K: r 0 () - u 0 () a A: 55-5 - 5 + 0 = - 75 K: 0-0 0 0 A: 55-5 - 0 0-90 K: 5-0 0 5 = 0 = 5 0 () t. Προχωρώντας κατά αυτόν τον τρόπο συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα: t F 0 (t) Πολιτική = Π 0 Κ 5 Κ 95 Κ 85 Κ 5 80 Κ 6 0 Κ 7 0 Κ 8 0 Κ 9 0 Κ -0 Κ Πίνακας.7 Πίνακας τιμών της συνάρτησης 0 () t Σελίδα από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού Η τελευταία τιμή βήμα () 0 υπολογίζεται γιατί θα χρειαστεί στο επόμενο Ν = 9, προκειμένου τελικά να υπολογίσουμε τη συνάρτηση που αντιστοιχεί στην υπάρχουσα μηχανή ηλικίας ετών. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον πίνακα () t 9 (). Για ευκολία των υπολογισμών ας υποθέσουμε ότι α =, παρόλο ότι στην πραγματικότητα ισχύει ότι α <, 9 () ma A: K: r 9 (0) - u 9 (0) - c 9 () 0 r 9 () - u 9 () 0 () 9 () ma Α: 50-5 - 0 + 0 = 5 K: 5 0 + 5 = 0 = 0 Α: 50-5 - 0 + 0 = 5 9 () ma = 95 K: 0 0 + 95 = 95 Συνεχίζοντας κατά αυτόν τον τρόπο κατασκευάζουμε τον πίνακα 9 () t όπου και καταχωρούμε όλα τα αποτελέσματα, και τους υπολογισμούς των υπολοίπων συναρτήσεων, σε συγκεντρωτικούς πίνακες ως εξής : t F 9 (t) Π t F 8 (t) Π t F 7 (t) Π 0 K 0 K 85 K 95 K 75 K 60 K 75 K 60 K 5 K 65 K 5 A 90 K 5 75 K 5 5 A 5 75 A Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη 6 70 K 6 0 A 6 70 A 7 60 K 7 05 A 9 5 A 8 5 K 0 75 A -5 A t F 6 (t) Π t F 5 (t) Π t F (t) Π 65 K 90 K 5 K 95 K 5 K 85 K 65 K 5 A 70 K 5 A 0 A 6 85 K 5 0 A 7 95 A 8 0 A t F (t) Π t F (t) Π t F (t) Π 55 K 90 K 0 A 5 K 85 K 5 80 K Πίνακες.8 Πίνακες συγκεντρωτικών τιμών της i () t Μετά την συγκέντρωση των αποτελεσμάτων, θα εξετάσουμε το πώς προέκυψε ο τελευταίος αριθμός του () 0, διότι αυτός ο αριθμός αποτελεί το ολικό κέρδος που προέρχεται από τη χρησιμοποίηση της βέλτιστης πολιτικής. Αρχίζουμε το έτος με την υπάρχουσα μηχανή, την οποία μπορούμε να αντικαταστήσουμε ή να κρατήσουμε. Αν την αντικαταστήσουμε αντί καθαρής δαπάνης 50, η νέα μηχανή, η κατασκευασμένη το έτος, θα παράγει καθαρό προϊόν 90 0 = 70, κατά το πρώτο έτος, συν τα μελλοντικά κέρδη (90) τα οποία λαμβάνονται από μία μηχανή ηλικίας ενός έτους κατά την αρχή του έτους. Επομένως, το καθαρό κέρδος είναι 0. Εάν κρατήσουμε την υπάρχουσα μηχανή τότε συσσωρεύουμε καθαρό προϊόν 60 55 = 5 μονάδες κατά το πρώτο έτος Σελίδα από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού συν κέρδος 85 όλων των μελλοντικών ετών, δηλαδή σύνολο 90. Έτσι παρατηρούμε ότι το πρώτο κέρδος (0) είναι μεγαλύτερο του δευτέρου και επομένως αποφασίζουμε να αγοράσουμε μια νέα μηχανή ευθύς ως αρχίζει η διαδικασία. Έχοντας αγοράσει μια νέα μηχανή το έτος, προφανώς αρχίζουμε το έτος με μια νέα μηχανή ενός έτους, και από τον πίνακα () t βλέπουμε ότι πρέπει να την κρατήσουμε ακόμη ένα έτος. Αρχίζουμε λοιπόν στη συνέχεια το έτος με μια μηχανή ηλικίας ετών και πάλι συμβουλευόμαστε τον πίνακα την κρατήσουμε την μηχανή. () t και βλέπουμε ότι και πάλι πρέπει να Προχωρώντας με αυτόν τον τρόπο, βλέπουμε ότι η βέλτιστη πολιτική συνίσταται στην αγορά μιας νέας μηχανής το έτος, διατήρησή της μέχρι το έτος 5 οπού τότε θα πρέπει να αγοράσουμε μία νέα μηχανή και να τη διατηρήσουμε ως το τέλος. Για τον έλεγχο των παραπάνω υπολογισμών προσθέτουμε τα κέρδη σε όλα τα έτη οπότε και βρίσκουμε συνολικό κέρδος 0, όπως φαίνεται και στον ακόλουθο πίνακα : Έτος Πολιτική Κέρδος Α -80 Κ 65 Κ 55 Κ 50 5 Α -5 6 Κ 05 7 Κ 00 8 Κ 95 9 Κ 85 0 Κ 80 Πίνακας.9 Πίνακας βέλτιστης πολιτικής κάθε έτους 0 Σελίδα από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη Πρέπει να σημειωθεί ότι η τιμή του α < η παραπάνω πολιτική θα άλλαζε και κατά πάσα πιθανότητα δεν θα προέκυπτε ότι πρέπει να αλλάξουμε την υπάρχουσα μηχανή από το πρώτο έτος της διαδικασίας... ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ Στη συνέχεια θα εξετάσουμε ένα άλλο πρόβλημα που έχει να κάνει με την διαδικασία αντικατάστασης εργαλείων. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τις εξής συναρτήσεις : Α(t) = η τιμή ανταλλαγής στην αρχή του χρόνου εργαλείου που λειτουργεί με ηλικία t με ένα καινούργιο. Β(t) = η τιμή ανταλλαγής ενός χαλασμένου εργαλείου ηλικίας t με ένα καινούργιο στο τέλος του χρόνου. Ε(t) = η τιμή επιδιόρθωσης χαλασμένου εργαλείου ηλικίας t Σ(t) = η τιμή συντήρησης στο τέλος του χρόνου ενός εργαλείου ηλικίας t που λειτουργεί στην παραγωγική διαδικασία οπότε και θεωρείται νέο. Α = η τιμή αγοράς νέου εργαλείου P (t, ) = είναι η πιθανότητα ενός εργαλείου ηλικίας t στην αρχή του χρόνου να έχει κόστος λειτουργίας κατά τη διάρκεια του χρόνου ίσο με (=0,,.,k) Q (t) = είναι η πιθανότητα ενός εργαλείου ηλικίας t στην αρχή του χρόνου να είναι χαλασμένο στο τέλος του χρόνου. Χρειαζόμαστε ένα εργαλείο για Τ χρονιές και δεν διαθέτουμε δικό μας εξαρχής. Στη συνέχεια θα πρέπει να ορίσουμε μία βέλτιστη συνάρτηση, μία επαναληπτική σχέση και οριακές συνθήκες. Λύση : Για την λύση του προβλήματος θα χρησιμοποιήσουμε την προς τα πίσω μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού, αλλά πρώτα θα ορίσουμε την συνάρτηση ως εξής : F (t, τ): το ελάχιστο αναμενόμενο κόστος λειτουργίας του εργαλείου από την αρχή της χρονιάς τα μέχρι το τέλος της χρονιάς Τ δεδομένου ότι στην Σελίδα 5 από 85

Εφαρμογές Δυναμικού Προγραμματισμού αρχή της χρονιάς τα είναι ηλικίας t και λειτουργεί στη παραγωγή. Άρα έχουμε : (, t) min k ( t) p(0, ) q(0)*min[ () (0, ), 0 () (, )] (- q(0))*min[ () (0, ), (, )], k p ( t, ) q ( t )*min[ ( t ) (0, ), ( ) 0 ( t, )] (- q( t))*min [ ( t) (0, ), ( t, )] για t>0 όπου ο πρώτος παράγοντας στο άγκιστρο αντιστοιχεί στην απόφαση για αγορά νέου εργαλείου στην αρχή της χρονιάς τα, ενώ ο δεύτερος αντιστοιχεί στην απόφαση να συνεχίσουμε με το εργαλείο της προηγούμενης χρονιάς. Ειδικότερα για t=0 έχουμε : F(0,τ)= p (0,)+q(0)min[Α-β()+ (0,τ+),ε()+ (,τ+)]+ +(-q(0))min[σ()+(0,τ+), (,τ+)] Ακόμα για την αρχή της πρώτης χρονιάς πρέπει να ορίσουμε : (-, ) p(0, ) q(0)min[ - () (0, ), () (, )] (- q(0))min[ () (0, ), (, )] Με οριακές συνθήκες : (t, T+) = 0.. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε το εξής πρόβλημα : μία εταιρεία πρόκειται να αγοράσει ένα ακριβό μηχάνημα μέσα στους επόμενους 5 μήνες. Η τιμή αυτού του μηχανήματος στην αγορά παρουσιάζει μηνιαίες διακυμάνσεις λόγω αλλαγών στην ισοτιμία και δεν είναι εκ των προτέρων γνωστή. Υπάρχουν όμως αρκετές ενδείξεις ότι οι τιμές του επόμενου πεντάμηνου (Ιανουάριος Μάιος), διάστημα στο οποίο θα πραγματοποιηθεί η αγορά του μηχανήματος, θα κινηθούν μέσα σε Σελίδα 6 από 85

Πτυχιακή εργασία του Ουζούνη Παναγιώτη δεδομένα πλαίσια. Μετά από εκτεταμένη ανάλυση της αγοράς καταρτίστηκε ο παρακάτω πίνακας που εκφράζει τις πιθανές τιμές με αντίστοιχες πιθανότητες. Τιμή μηχανήματος Πιθανότητες τιμών στους επόμενους 5 μήνες Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος Απρίλιος Μάιος (σε χιλ. Δρχ.) 50 0,0 0,05 0,05 0,0 0,05 60 0,0 0,5 0,0 0,0 0,5 70 0,0 0,5 0,50 0,0 0,50 80 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 90 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 Μέση Τιμή 7,50 7 7 70 7,50 Πίνακας.0 Πίνακας πιθανοτήτων τιμών κάθε μήνα Ο πίνακας δείχνει ότι η τιμή του μηχανήματος κυμαίνεται μεταξύ 50 και 90 (οι τιμές εμφανίζονται σε χιλιάδες Δραχμές). Τον Ιανουάριο η τιμή μπορεί να είναι 50 με πιθανότητα 0,0 ή 60 με πιθανότητα 0,0 ή 70 με πιθανότητα 0,0 κ.τ.λ. Έτσι η μέση τιμή για τον μήνα Ιανουάριο είναι 7,50 για τον μήνα Φεβρουάριο 7 κ.τ.λ. Βλέπουμε ότι οι μέσες τιμές δεν διαφέρουν πολύ μεταξύ των μηνών. Εν τούτοις βλέπουμε ότι λόγω του φάσματος των τιμών υπάρχουν πιθανότητες για μία καλή ευκαιρία στην τιμή των 50 καθώς και κίνδυνοι για την υψηλή τιμή των 90. Κατά συνέπεια υπάρχει κίνδυνος περιμένοντας να εμφανιστεί μία καλή ευκαιρία να αφήσουμε να περάσουν ανεκμετάλλευτες άλλες, όχι και τόσο καλές ευκαιρίες, και τελικά να αναγκαστούμε να αγοράσουμε το μηχάνημα σε υψηλή τιμή. Για αυτό το λόγο θέλουμε να καταρτίσουμε μία βέλτιστη στρατηγική με την οποία θα ελαχιστοποιηθεί το αναμενόμενο κόστος αγοράς του μηχανήματος. Η λύση αυτού του προβλήματος, μολονότι θα γίνει με την μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού, είναι αρκετά διαφορετική από τις λύσεις των Σελίδα 7 από 85