Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος
ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των µαθηµατικών του γυµνασίου. Οι απαραίτητες µαθηµατικές γνώσεις για να συνεχίσετε στο Λύκειο µε αξιώσεις βρίσκονται µέσα σε αυτό το βοήθηµα και για το λόγω αυτό θα σας παρακαλέσω να του αποδώσετε τον απαραίτητο σεβασµό. ( ηλαδή µη µπείτε στη διαδικασία να το βανδαλίσετε...έτσι παιδάκια;;;) Από τη δικιά µου µεριά θα προσπαθήσω να σας µεταλαµπαδεύσω τα περιεχόµενα του βιβλίου που κρατάτε στα χέρια σας µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Από τη δικιά σας µεριά απαιτώ να µε βοηθήσετε στη προσπάθεια αυτή γιατί στη γνώση το ταξίδι είναι οµαδικό. Ελάτε να διασκεδάσουµε...!!! Τέλος θα ήθελα να αφιερώσω όλη αυτή τη προσπάθεια στους γονείς µου οι οποίοι δουλεύοντας ατελείωτες ώρες, θυσίασαν την προσωπική τους ζωή για τα παιδιά τους. Καλή σχολική χρονιά! Παπαδόπουλος Μαρίνος - Μαθηµατικός
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κεφάλαιο o : ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Μάθηµα Πράξεις µε Πραγµατικούς Αριθµούς (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) σελ. - Μάθηµα Μονώνυµα Πράξεις µε µονώνυµα σελ. -4 Μάθηµα Πολυώνυµα Πρόσθεση και Αφαιρέση πολυωνύµων σελ. -5 Μάθηµα 4 Πολλαπλασιασµός Πολυωνύµων σελ. 5-59 Μάθηµα 5 Αξιοσηµείωτες Ταυτότητες σελ. 60-77 Μάθηµα 6 Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων σελ. 78-89 Μάθηµα 7 ιαίρεση Πολυωνύµων σελ. 90-06 Μάθηµα 8 ΕΚΠ και ΜΚ Ακέραιων Αλγεβρικών Παραστάσεων σελ. 07- Μάθηµα 9 Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις σελ. -7 Μάθηµα 0 Πράξεις Ρητών Παραστάσεων σελ. 8-5 Μάθηµα Πράξεις Ρητών Παραστάσεων σελ. 6-5 Κεφάλαιο o : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Μάθηµα Η Εξίσωση ax 0 + β = σελ. 6-44 Μάθηµα Εξισώσεις ου Βαθµού σελ. 45-6 Μάθηµα 4 Προβλήµατα Εξισώσεων ου Βαθµού σελ. 64-70 Μάθηµα 5 Κλασµατικές Εξισώσεις σελ. 7-77 Μάθηµα 6 Ανισότητες Ανισώσεις µε έναν Άγνωστο σελ. 78-9 Κεφάλαιο ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μάθηµα 7 Η Έννοια της Γραµµικής Εξίσωσης σελ. 9-07 Μάθηµα 8 Η Έννοια του Γραµµικού Συστήµατος και η Γραφική Επίλυση του σελ. 08-5 Μάθηµα 9 Αλγεβρική Επίλυση Γραµµικού Συστήµατος σελ. 6-7 Κεφάλαιο 4ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μάθηµα 0 Η Συνάρτηση ψ=αχ² σελ. 8-8 Μάθηµα Η Συνάρτηση ψ=αχ²+βχ+γ σελ. 9-54 Κεφάλαιο 5ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Μάθηµα Σύνολα σελ. 55-6 Μάθηµα ειγµατικός Χώρος - Ενδεχόµενα σελ. Μάθηµα 4 Η Έννοια της Πιθανότητας σελ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Αλγεβρικές Παραστάσεις
ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επαναλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Ενότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υνάµεις πραγµατικών αριθµών.. Τετραγωνική ρίζα πραγµατικού αριθµού. Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών ( R ) αποτελείται από τους ρητούς αριθµούς και τους άρρητους. Ένας αριθµός λέγεται ρητός όταν έχει ή µπορεί να πάρει κλασµατική µορφή, δηλαδή όταν 8 5 85 00 π.χ: 4=,,5=, 8,5=,,0= 0 99 Θυµίζουµε ότι κάθε ρητός µπορεί να γραφεί είτε ως δεκαδικός είτε ως περιοδικός δεκαδικός και αντίστροφα. Ένας αριθµός λέγεται άρρητος όταν δε µπορεί να πάρει κλασµατική µορφή. π.χ: =, 4456..., π =,45... Θυµίζουµε ότι κάθε άρρητός δε µπορεί να γραφεί ούτε ως δεκαδικός, ούτε ως περιοδικός δεκαδικός. Κάθε πραγµατικός αριθµός παριστάνεται (απεικονίζεται) µε ένα σηµείο πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
Θυµίζουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι το σύνολο: N= { 0,,,,... } οι ακέραιοι αριθµοί είναι το σύνολο: Z = {...,,,,0,,,,... }. ενώ -4 - - - 0 4 Αντίθετοι λέγονται οι αριθµοί που έχουν άθροισµα µηδέν, όπως ο α και ο α αφού α+ ( α ) = 0 Αντίθετος ενός αθροίσµατος ισούται µε το άθροισµα των αντιθέτων των προσθετέων, δηλαδή ( α+β ) = α β Λόγος δύο αριθµών (ή παραστάσεων) ονοµάζουµε το πηλίκο της διαίρεσής τους, δηλαδή α α : β= =α β β µε β 0 (λογικό αφού διαίρεση µε διαιρέτη 0 δεν ορίζεται!!!) Αντίστροφοι λέγονται οι αριθµοί που έχουν γινόµενο τη µονάδα, όπως ο α και ο α αφού α = (προφανώς ο α = 0 δεν έχει αντίστοφο Γιατι?) α Άρτιος λέγεται κάθε ακέραιος αριθµός που διαιρείται µε το. Είναι οι γνωστοί µας ζυγοί από το δηµοτικό δηλαδή το 0,, 4, 6, 8, 0,. Συµβολικά κάθε άρτιος έχει τη µορφή ν, όπου ν ακέραιος. Περιττός λέγεται κάθε ακέραιος αριθµός που δε διαιρείται µε το. Είναι οι γνωστοί µας µονοί από το δηµοτικό δηλαδή το,, 5, 7, 9,... Συµβολικά κάθε περιττός έχει τη µορφή ν+, όπου ν ακέραιος. Απόλυτη τιµή ενός αριθµού ορίζεται ως η απόσταση του αριθµού αυτού πάνω στον άξονα από την αρχή Ο και είναι πάντα θετικός αριθµός ή µηδέν. Πιο αναλυτικά είναι: α =α αν α 0 α = α αν α< 0 Η απόσταση δυο σηµείων Α, Β είναι: ΑΒ= α β. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να προσθέσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Αν οι αριθµοί είναι οµόσηµοι (δηλαδή έχουν το ίδιο πρόσηµο) αρκεί να προσθέσουµε τις απόλυτες τιµές των αριθµών (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα να βάλουµε το πρόσηµο που επικρατεί. π.χ: + + 4=+ 7 και 4= 7 Αν οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι (δηλαδή έχουν διαφορετικό πρόσηµο) αρκεί να αφαιρέσουµε τις απόλυτες τιµές των αριθµών (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα να βάλουµε το πρόσηµο του µεγαλύτερου αριθµού. π.χ: + 4= και + 4=+ Για να πολλαπλασιάσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Αν οι αριθµοί είναι οµόσηµοι (δηλαδή έχουν το ίδιο πρόσηµο) πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές των αριθµών (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα να βάλουµε το πρόσηµο (+). π.χ: ( + ) ( + 4) =+ και 4 =+ Αν οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι (δηλαδή έχουν διαφορετικό πρόσηµο)πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές των αριθµών (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα να βάλουµε το πρόσηµο (-). π.χ: ( + ) ( 4) = και + 4 = (*) Γενικά όσον αναφορά τα πρόσηµα του πολλαπλασιασµού και της διαίρεσης έχουµε: + + = + + : + = + ( ) ( ) = ( + ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( ) και όµοια για τη διαίρεση ( ) :( ) = ( + ) ( + ) :( ) = ( ) ( ) :( + ) = ( ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
Για να κάνουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε την εξής προτεραιότητα πράξεων: Αν οι παράσταση έχει παρενθέσεις τότε κάνουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις µε την εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις ακολουθούµε πάλι την ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Για να απαλείψουµε παρενθέσεις ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Αν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο (+), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και την παρένθεση γράφοντας τους όρους της όπως είναι. π.χ + ( 5 + 9 ) = + 5 + 9 Αν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο (-), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και την παρένθεση γράφοντας τους όρους της µε αντίθετα πρόσηµα. π.χ ( - 5 + 9-7 + ) = - + 5 9 + 7 Αν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει αριθµός, τότε εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα. π.χ ( x ) = x = x 6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (i) Αντιµεταθετική Ιδιότητα: α+β=β+α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α+ ( β+γ ) = ( α+β ) +γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α+ 0=α α+ α = (iv) Ιδιότητα Αντιθέτου: 0 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 4 -
ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για να προσθέσουµε δύο κλάσµατα διακρίνουµε τις εξής δύο περιπτώσεις (i) Όταν τα κλάσµατα είναι οµώνυµα (δηλαδή έχουν τους ίδιους παρονοµαστές), ισχύει: α β α±β ± =, γ 0 γ γ γ (ii) Όταν τα κλάσµατα είναι ετερώνυµα (δηλαδή έχουν διαφορετικούς παρονοµαστές), βρίσκω το Ε.Κ.Π των παρονοµαστών, τα µετατρέπω σε οµώνυµα (µε τη γνωστή σε όλους µας διαδικασία µε τα καπελάκια) και εφαρµόζω τη παραπάνω διαδικασία, δηλαδή: α γ αδ βγ αδ±βγ ± = ± =, β, δ 0 β δ βδ βδ βδ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Αντιµεταθετική Ιδιότητα: α β=β α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ( β γ ) = ( α β) γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α =α (iv) Ιδιότητα Αντιστρόφου: α =, α 0 α (v) α 0= 0 και 0 = 0, α 0 α ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για να πολλαπλασιάσουµε δύο κλάσµατα δεν µας ενδιαφέρει αν είναι οµώνυµα. Άπλα πολ\ζουµε τους αριθµητές και τους παρονοµαστές µεταξύ τους. ηλαδή θα ισχύει: α γ αγ β αβ =, β, δ 0 ή α =, γ 0 αν έχουµε να πολλ\σουµε αριθµό µε β δ βδ γ γ κλάσµα. (**) Για να διαιρέσουµε δύο κλάσµατα, αρκεί να αντιστρέψω τους όρους του δεύτερου κλάσµατος και να κάνω πολλαπλασιασµό. ηλαδή θα ισχύει: α γ α δ αδ : = =, β, γ, δ 0 β δ β γ βγ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 5 -
(***)Για τον πολλαπλασιασµό και τη διαίρεση ισχύουν αντίστοιχα: α 0= 0 α : 0= ΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ α =α 0 : α= 0 ενώ για τη διαίρεση α α=α α :=α προσοχη: αλλο το α+α= α α : α= Ι ΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝ ΕΣΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ-ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Επιµεριστική Ιδιότητα: α( β±γ ) =αβ±αγ (ii) ιπλή Επιµεριστική Ιδιότητα: ( α+β)( γ+δ ) =αγ+αδ+βγ+βδ ΓΕΝΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ (i) Ένα γινόµενο είναι ίσο µε το µηδέν όταν ή ο ένας ή ο άλλος ή και ακόµα και οι δύο παράγοντες του γινοµένου είναι ίσοι µε το 0, δηλαδή: α β= 0 α= 0 ή β= 0 (ii) Ένα γινόµενο είναι διάφορο του µηδενός όταν και οι δύο παράγοντες του γινοµένου δεν είναι µηδέν, δηλαδή: α β 0 α 0 και β 0 (*) Για όλες τις παραπάνω Ιδιότητες θεωρούµε τα α, β, γ ως πραγµατικοί αριθµοί Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 6 -
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις (i) 7 ( + 7) 6 ( + 4) (ii) 8 7 + : 5 (iii) 7 Λύση. Μεθοδολογία Για να κάνουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε την εξής προτεραιότητα πράξεων: Αν οι παράσταση έχει παρενθέσεις τότε κάνουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις µε την εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις ακολουθούµε πάλι την ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις (i) Σύµφωνα µε την προτεραιότητα πράξεων έχουµε: 7 ( + 7) 6 ( + 4) = = 7 + 7 6 = = 7 + 7 6 6 = = 7 6 0= = 7 6= = Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 7 -
(ii) Όµοια έχουµε: 8 7 + : = 5 8 7 = + : = 5 5 7 = + : = 5 5 5 = + = 6 5 5 = + = 6 6 5 45 = + = 6 6 6 6+ 5 45 = = 6 4 = = 6 (iii) 4 9 4 9 4 5 = = = = = = 7 4 7 9 9 9 9 9. Αν α+ β = να υπολογιστεί η τιµή της παρακάτω παράστασης: ( α β) α β + 5 5 Λύση. ( α β) α β + 5 5= = α β α + 0β 5= = α α β + 0β 5= = α β 5= ( α β) 5 = + 5= = = = 5= = 4 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 8 -
. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: 6+ α 5 α = 0 (i) (ii) α ( β 5) ( α β) = + ( β α+ ) Λύση. Μεθοδολογία Μια ισότητα Α=Β µπορεί να αποδειχθεί µε δυο τρόπους: ος Τρόπος Παίρνουµε το πιο σύνθετο µέλος της ισότητας, κάνουµε τις πράξεις και καταλήγουµε στο άλλο µέρος ος Τρόπος Αν και τα δύο µέλη της ισότητας είναι σύνθετα, τότε τα δουλεύουµε ταυτόχρονα(κάνοντας πράξεις) και καταλήγουµε στην ίδια παράσταση. 6+ α 5 α = 6+ α 6+ α = 6 α 6+ α = 6 6+ α α = 0 (i) (ii) α β 5 α β = + β α+ α β+ 5 α + β = + β α + α α β + β + 5= + α + β α + β+ = α + β+ [ ( x)] ( x 4) (5 x) 4. Να υπολογίσετε τη παράσταση: A= + + + + 5 και να δείξετε ότι είναι ανεξάρτητη από τη µεταβλητή χ. Λύση. [ ( + x)] ( x+ 4) + (5 x) ( x) + x 4+ 0 x A= = 6 + + 5 5 + + x+ x 4+ 0 x 4+ + 0 = = = 7 5 5 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 9 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. Ο αριθµός -4 δεν είναι άρτιος Σ Λ. Ο αριθµός -7 είναι περιττός Σ Λ. Ο αριθµός 0 είναι άρτιος Σ Λ 4. Κάθε ακέραιος αριθµός είναι ρητός Σ Λ 5. Κάθε ακέραιος αριθµός είναι φυσικός Σ Λ 6. Όλοι οι αριθµοί έχουν αντίστροφο Σ Λ 7. Ο αριθµός α είναι αρνητικός αριθµός Σ Λ 8. Αν δύο αριθµοί είναι αντίθετοι, τότε το γινόµενο τους είναι αρνητικός Σ Λ 9. Αν δύο αριθµοί είναι αντίστροφοι, τότε είναι οµόσηµοι Σ Λ 0. Οι αντίθετοι αριθµοί έχουν ίσες απόλυτες τιµές Σ Λ. Το πρόσηµο του πηλίκου δύο αριθµών είναι το ίδιο µε το πρόσηµο του γινοµένου τους. Σ Λ. Αν το άθροισµα δύο αριθµών είναι αρνητικός αριθµός και το πηλίκο τους θετικός αριθµός, τότε οι αριθµοί είναι αρνητικοί. Σ Λ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 0 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Ποια από τις παρακάτω ισότητες εκφράζει την προσεταιριστική ιδιότητα ; A α+ 6 α α. αβ= βα B. =α+ +γ=γ+ α+ 5 +β= α+ 5+β Γ. β β.. Αν α, β, γ είναι πραγµατικοί αριθµοί, ποια από τις παρακάτω ιδιότητες εκφράζει η ισότητα : α( β+γ ) = ( β+γ) α ; Α. Την αντιµεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης; Β. Την αντιµεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού; Γ. Την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης;. Την επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση;. Αν α, β πραγµατικοί, µη µηδενικοί και αντίθετοι, τότε η τιµή του λόγου α είναι ίση µε : β Α. Β. 0 Γ. -. Τίποτα από τα προηγούµενα 4. Αν α, β πραγµατικοί αριθµοί, ώστε α + β =0. Τότε θα είναι : Α. α = β Β. α = β = 0 Γ. α = β = 0 ή α, β ετερόσηµοι. δεν προκύπτει συµπέρασµα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρώσετε οι παρακάτω πίνακες: α. Αριθµός - Φυσικός Ακέραιος Ρητός Άρρητος,5 0,,75 9 π Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
β. Αριθµός - Αντίθετος Αντίστροφος -. Να συµπληρώσετε τις ισότητες : 5 7 =... 5 =... + =... 5 =... + =... 0 5 =... =... 5 5 =... 5 Να συµπληρωθούν τα κενά: =... 0 =... 6 0 =... 5 7 5 : =... ( ) = x... x =... 5 x +... =... + 0...... = x 6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: 7 4 i) Α= + + 4+ 5 8 5 ii) Β= + :( ) + : + 4 : ( ) iii) Γ= ( ) : + : ( 4) + : 4 iv) = : 4 4 : Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: { } α) x y x y + x y + x { } β) x y+ x y+α { } { } γ) α β γ + β γ α γ α β δ) α β γ α β γ α β. Αν α+β=, να βρεθεί η τιµή της παράστασης: { 7 } Α= α+ β+ + +γ γ+ 4. Αν α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, να βρείτε το άθροισµα Α= ( α γ+β) ( α β+ γ ) + ( 4α β ) και έπειτα αν α=, 0 γ= να βρεθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης Α. 5 β= και 6 5. Να πολλαπλασιάσετε µε - την παράσταση α ( β γ ) και το γινόµενο αυτό να το αφαιρέσετε από την παράσταση α β γ. Στη συνέχεια να βρείτε τον αντίθετο της παραπάνω διαφοράς, 6. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α ) + κ λ κ λ = β) x y + y x = 0 γ) α β β α = 5β+ α 7. Αν x= 5 και y=, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: a) K = + x 5y xy x β ) Λ= 5( x y) + y + = 0, να δείξετε ότι οι α,β είναι αντίθετοι ή αντίστροφοι. 8. Αν ( α β) ( αβ ) 9. Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) βρείτε την τιµή της, για x= 0, και 0,5 Α= x x x y yκαι µετά να y=. 0. Αν a+ β = και β γ = 5, να υπολογίσετε την παράσταση Α= 5γ 8 β β γ + α Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
Β. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ ύναµη µε βάση ένα πραγµατικό αριθµό α και εκθέτη ένα φυσικό ν αριθµό ν µε ν, που συµβολίζεται µε α, λέµε το γινόµενο ν παραγόντων ίσω µε τον αριθµό α. ηλαδή α Εκθετης ν =α α α... α βαση νπαραγοντες Ορίζουµε επίσης ότι: 0 α =, α =α και ν α = µε α 0 α ν ΠΡΟΣΟΧΗ: = X αλλά X+ X+ X= X X X X Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ιδιότητες που στηρίζονται στην ίδια βάση: i) ν µ ν+µ α α =α ii) ν α ν µ µ =α α Ιδιότητες που στηρίζονται στον ίδιο εκθέτη : ν ν i) ν α β = α β ii) Μία άσχετη (όχι για άσχετους..!!) ν µ α =α ν µ α β ν ν α = β ν Με τη βοήθεια του ορισµού ν α = µε α 0 προκύπτει και η α ν α β ν β = α ν µε α, β 0 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 4 -
Επίσης ισχύουν: ν ν α =α, οπου ν αρτιος ν ν ( α ) = α, οπου ν περιττος ΠΡΟΣΟΧΗ: =+ 4 ενω = 4 = 8 ενω = 8 Τους πολύ µεγάλους ή τους πολύ µικρούς κατά απόλυτη τιµή αριθµούς, είναι βολικό να τους γράφουµε µε τυποποιηµένη µορφή, δηλαδή µε τη µορφή: α 0 ν µε α 0 και ν ακέραιο. π.χ 500000000=,5 0 0,0000000005=,5 0 9 0 ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: 0 = 0 0 = 00 0 = 000... ν 0 = 00...000 ν µηδενικα και 0 = 0, 0 = 0, 0 = 0 0, 00... ν 0 = 0,00...0 ν µηδενικα ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να κάνουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε την εξής προτεραιότητα πράξεων: Αν οι παράσταση έχει παρενθέσεις τότε κάνουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις µε την εξής σειρά: (i) υνάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις ακολουθούµε πάλι την ίδια σειρά, δηλαδή: (i) υνάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 5 -
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γράψετε µε τη µορφή µιας δύναµης τις παρακάτω παραστάσεις 5 (i) 9 6 (ii) : 4 9 (iii) 8 5 (iv) 4 5 5 (v) ( ) 4 : 7 Λύση. (i) 9 = = = 5 5 + 5 7 6 5 6 5 5 7 : 4 = : = : = = = = 7 (ii) 9 9 9 9 9 9 (iii) 8 5 = 5 = 5 = 5 = 0 (iv) 4 4 4 7 5 5 = 5 5 = 5 + = 5 7 4 4 4 4 7 : 7= : = : = = = = 7 (v) 7. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις (i) ( x y) (ii) x y x y 4 (iii) ( ) x x (iv) ( x y) ( xy) :( x 8 y 7 ) Λύση. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 6 -
6 (i) (ii) x y = x y = 9x y = 9x y 6 x y x y = x x y y = x y = x y 4 4 4 + + 5 6 6 8 x x = x x = x x = x 7 (iii) (iv) 8 7 ( x y ) x y xy 6 8 5 8 7 x y 4x y 4x y 5 7 : 4 4 8 7 8 7 x y xy x y = = = = y = y x y x y. Να υπολογίσετε την τιµή κάθε παράστασης 0 (i) A= ( 5) ( 5) 5 4 ( 4) (ii) B x x x =, για x= Λύση. 0 (i) A= 5 5 5 4 4 = 5 5 64+ 4 = 5 5 64+ 64= 49 (ii) x x x B= ( ) = ( ) = = = + = 9 = + = + 8= 4 = 4 4. Να βρείτε το φυσικό κ, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: (i) 5 = (ii) = 9 (iii) (iv) κ = 6 κ+ 8 = 7 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 7 -
Λύση. Μεθοδολογία Οι παραπάνω εξισώσεις λέγονται εκθετικές. Μια εκθετική εξίσωση µπορεί να λυθεί µε τον εξής τρόπο: Τρόπος ηµιουργούµε και στα δύο µέλη της εξίσωσης δυνάµεις µε την ίδια βάση. Έπειτα εξισώνουµε τους εκθέτες των δυνάµεων αυτών και λύνουµε ως προς τον άγνωστο. (i) (ii) (iii) (iv) κ 5 = κ 5 = 5 κ = 0 κ = 9 0 κ = κ = κ = 6 κ = 4 κ = κ = 4 κ+ 4 8 = 7 κ+ = κ+ = κ + = κ = κ = κ = Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 8 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ. Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α µε αυτά της στήλης Β. α. ΣΤΗΛΗ (Α). ( ) 009.. 9 4 8 5 6 4. ( :) : ΣΤΗΛΗ (Β) Α. 9 Β. Γ. 9. Ε. 9 β. ΣΤΗΛΗ (Α). ( ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. 9 Β. 6.. Γ. 9. 8 4. ( ) Ε. 8 γ. ΣΤΗΛΗ (Α). ( α+β ). ( α β ). ( α β ) 4. ( α+β ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. ( α β ) Β. ( α β ) Γ. ( α β ). ( α+β ) Ε. ( α+β ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 9 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρωθούν οι ισότητες: α. =... =... =... =... =... =... β. µ ν x : x =... ν x =... 0 x =... y ν ν x y =... ν x ν =..., µε... µ x =... γ. 7 =... =... =... 0 7 =.... Να συµπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες: α. χ 4 5 6 7 8 9 5 Χ β. Αριθµός 9 8 7 6 8 8 7 44 69 ύναµη Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 0 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γράψετε καθεµία από τις παρακάτω παραστάσεις ως µία δύναµη. 5 7 i) = ii) : 6 5 iii) 5 5 5 iv) = v) 4 5 = = vi)8 5 = vii)9 = x = viii ) = 0 5 0 ix)4 7 = 5 ) =. Να γράψετε κάθε παράσταση ως µια δύναµη. xi) 6= xii) 7 5 ( ) xiii)8 5 = 5 = 8 0 8 5 5 xiv) A= + B= Γ= 4 8 50 = 6 5 6 5. Να υπολογιστούν οι δυνάµεις: α) και και β) και 4. Να αποδείξετε ότι: ( ) = ( ) x y y x µε x y 5. Να υπολογιστεί η παράσταση: 4 6. Να γίνουν οι πράξεις: A= 4 + + : 5 α) α β γ 4α β γ α β γ 6 5 5 4 4 x y 4 ) 4xy, x, y 0 β y 5x 7. Να υπολογιστεί ο x στις παρακάτω ισότητες: i) = x ii) 4 4x 9 x 5 = 8 x iii) = 6 iv) 5 x = 5 5 v) = 5 9 x 4 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
8. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i) Α= ( ) 6 ( ) 0 ii) B= + 4+ ( ) : 8 0 9 iii) Γ = + :8 8 4 9 8 4 4 iv) = : : : + 9. Να γίνουν οι πράξεις: i) x : x x 4 0 ii) 8x y : x y x 4 iii)x y ( x y ) 6 xy x y iv) : v) ( x : y) y : x A= α βγ : αβ 0. Να βρεθεί η τιµή της παράστασης β = και γ =. για α = -,. Να απλοποιηθεί η παράσταση υπολογιστεί η τιµή της, όταν x ( 0) 5. Αν ( x y) y 4 4 x y x y x y Α= και να = και 4 y= 0. xy =, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 5 A= y x y x y. Αν οι αριθµοί x, y είναι αντίστροφοι, να βρείτε την τιµή της παράστασης Α= x y x y x Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
Γ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ Τετραγωνική ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α (συµβολισµός α ) είναι ο θετικός αριθµός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο µας δίνει τον αριθµό α ηλαδή έχουµε : αν x= α τότε (µε α 0 και x 0). Ορίζουµε επίσης 0 = 0 διότι x =α δηλαδή ( α ) =α 0 = 0 και προφανώς = αφού = Ι ΙΟΤΗΤΕΣ α = α όµως = α α π.χ ( ) = = αλλα = = α β = α β, προφανώς α, β 0 Απόδειξη α β = α β α β = α β α β =α β α β=α β α β = α β, προφανώς α 0 και β > 0 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
Απόδειξη α α = β β α α = β β ( α) ( β) α α = β β α = β ΠΡΟΣΟΧΗ : ΕΝ ισχύει η ιδιότητα α ± β = α± β π.χ 6+ 9 = 4+ = 7. Ελπίζω να παρατηρούµε ότι ΕΝ είναι ίσα 6+ 9 = 5 = 5 Πότε όµως µπορεί να ισχύει; Απάντηση: Μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους α, β είναι 0 π.χ 0+ 4 = 4= και 0+ 4 = 0+ = ΠΡΟΣΟΧΗ : Το σύµβολο χρησιµοποιείται µόνο όταν ο αριθµός (ή η παράσταση) που είναι κάτω από τη ρίζα (δηλαδή η υπόριζη ποσότητα) είναι θετικός ή µηδέν. π.χ Η δε παίζει µπάλα!!!!! (Μη το δω σε κανένα γραπτό έτσι παιδάκια.) ΠΡΟΣΟΧΗ : Η ιδιότητα α β = α β εφαρµόζεται µε την προϋπόθεση ότι α 0 και β 0. Είναι λάθος δηλαδή να γράψουµε π.χ ( 4) ( 4) = 4 4 ΠΡΟΣΕΞΤΕ ΜΗ ΚΑΝΕΤΕ ΤΟ ΕΞΗΣ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 4 -
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε ότι (i) = (ii) 6 4 = (iii) 75= Λύση. Μεθοδολογία Αν θέλουµε να απλοποιήσουµε την α, γράφουµε τον αριθµό α ως γινόµενο δύο αριθµών, όπου τουλάχιστον ο ένας από τους δύο να είναι τέλειο τετράγωνο ( ηλ.να γράφετε ως ένας αριθµός στο τετράγωνο). Παράδειγµα: 8= 9 = 9 = (i) = 4 = 4 = (ii) 6 4 = 6 4= 84= 4 = 4 = (iii) 75= 4 5 = 4 5 = 5 =. Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα που έχουν άρρητους παρονοµαστές σε ισοδύναµα κλάσµατα µε ρητούς παρονοµαστές (i) 6 6 (ii) 48 5 + 0 (iii) Λύση. Μεθοδολογία Αν θέλουµε να µετατρέψουµε ένα κλάσµα µε άρρητο παρονοµαστή σε ισοδύναµο µε ρητό παρονοµαστή, αρκεί να πολλαπλασιάσουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλάσµατος µε τον παρονοµαστή. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 5 -
(i) = 6 = 6 = 6 = 6 6 6 6 6 6 (ii) Αρχικά σπάω τη 48µε τον τρόπο που µάθαµε παραπάνω. 6 6 6 6 = = = = = = = = 48 6 6 4 (iii) 5 + 0 5 0 0 = + = 5+ = 5+ 5 (Σωστός..;;;). Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων. (i) 5 7 5 (ii) 5 7 (iii) + 5+ 6 8 4 + 8 (iv) ( ) ( + ) Λύση. (i) 5 7 5= ( 7) 5= 5 5 (ii) 5 7 = ( 7) ( 5+ ) = 4 6 (iii) + 5+ 6 8 4 + 8= = + 5+ 4 8 + 9 = = + 9 8 4 + = = + 8 + = = 5 6+ = = 5 4+ = = + = = 4 (iv) ( ) ( + ) = + = ( ) ( + ) = + = Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 6 -
4. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις. (i) 7+ x= 8+ x x (ii) 5 = 8 Λύση. (i) 7+ x= 8+ x x x= 8 7 x= 4 7 7 x= 4 7 7 x= 7 7 x= 7 (ii) x 5 = x x x x x= x= x= 8 5= 8 5= 8 5= 6 5= 4 4 5 4 5 ( 5) 4 5 5 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 7 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. 5= 5 Σ Λ. + 7 = 0 Σ Λ. 6 4 = Σ Λ 5 5 4. 8= Σ Λ 5. = Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ. Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α µε αυτά της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ (Α). 9. 9. 4. ( ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. Β. εν ορίζεται Γ. 5. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 8 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρωθούν οι ισότητες: x =... αν... = αν x...... α β=... αν... α β=... αν... α =... αν... β. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χ 9 44 65 4 5 49 6 4 69 x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 4 6 Α= + + 4 Β= 5 + + ( ) ( ) Γ= + +. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= 9 7+ 4 Β= 8 + 9 Γ= = 9 8 4 6 Ε= 99+ 5 5 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 9 -
. Να γίνουν οι πράξεις: i) + ii)6 + 5 iii) 5+ 5 4 iv) v) 4 5 5 vi) vii) 5 5 56 4 4. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: ( ) ( 5)( 5) Α= + Β= + Γ= 6 5. Να αποδείξετε ότι: i) = 7 ii) = 8 iii) 7+ = 4 iv) 8+ = v) 0= 0 vi) 8 60 5+ = 6 5 6. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) 8,, 8, 0, 4, 7, 8,, 40, 44, 50, 5, 7, 5 ii) 00, 000 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 0 -
7. Αν α, β θετικοί πραγµατικοί αριθµοί, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) ii) iii) v) α β α β α α β 4 α αβ +β α β α+ β 8. Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ρητό παρονοµαστή: 0 8,,,, 7 5 6 α 9. Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί β και 9β α αριθµοί. µε α, β θετικοί, είναι αντίστροφοι A= 4+ 0 6 40 0. Να δείξετε ότι οι παραστάσεις: B= 8+ 4 + 8 6 είναι ίσες.. Να απλοποιήσετε την παράστασηα= 0 8+ 45 8+ 7. Να δείξετε ότι οι αριθµοί +, είναι αντίστροφοι.. Να κάνετε τις πράξεις: + και 5. 8 5 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i)5 + x= 8+ x ii) x 5 0= 0 x iii) = iv) x 5= x 5. Να αποδείξετε ότι ( )( + ) =. Χρησιµοποιώντας την προηγούµενη ισότητα, να µετατρέψετε το κλάσµα παρονοµαστή σε ισοδύναµο µε ρητό παρονοµαστή. που έχει άρρητο Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -