ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α y = α x y (α x ) y = α xy α και α x = x = 0 α και α x = α y x = y α > β α x > β x όταν x > 0 α > β α x < β x όταν x < 0 x > y α x > α y όταν α > 0 x > y α x < α y όταν 0 < α < α = και x y α x = α y = Στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ρητός αριθµός της µορφής ν µ, όπου µ και ν ακέραιοι και ν>0, ορίζουµε δύναµη µε βάση έναν θετικό αριθ- µό α και εκθέτη έναν ρητό αριθµό, την εξής παράσταση : ν µ α = ν µ α Στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι άρρητος αριθµός, ορίζουµε δύνα- µη µε βάση έναν θετικό αριθµό α και εκθέτη έναν πραγµατικό αριθµό x, το ό- ριο της ακολουθίας α ρ ν, όπου ρ ν µια ακολουθία ρητών αριθµών µε όριο τον πραγµατικό αριθµό x. α x = limα ρ ν Οι ιδιότητες των δυνάµεων µε ρητούς εκθέτες, που αναφέραµε προηγουµένως, ισχύουν και στην περίπτωση δυνάµεων µε εκθέτες άρρητους αριθ- µούς, άρα και γενικότερα µε εκθέτες οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθ- µούς. Αν α > 0 και α, τότε ισχύει ότι α x > 0 x R. Στην περίπτωση που α =, το x είναι ίσο µε x R. Αποδεικνύεται ότι όταν το x µεταβάλλεται στο διάστηµα < x <+, τότε η συνάρτηση f(x) = α x λαµβάνει ως τιµές ό- λους τους θετικούς αριθµούς.
Στηριζόµενοι στην παραπάνω ιδιότητα, ορίζουµε τον λογάριθµο ενός αριθµού θ µε βάση τον αριθµό α ως εξής : Τον µοναδικό πραγµατικό αριθµό x για τον οποίο ισχύει η σχέση : α x = θ, όπου α > 0, α και θ > 0 τον αποκαλούµε λογάριθµο του θ ως προς βάση α και γράφουµε log α θ. Όταν α = 0, µπορούµε να γράψουµε logθ αντί για log 0 θ και τον αποκαλούµε δεκαδικό λογάριθµο. Έχουµε έτσι την εξής ισοδυναµία : log α θ = x α x = θ α log α θ = θ Τονίζουµε ότι ο λογάριθµος ενός αριθµού x µε βάση α έχει νόηµα αν και µόνο αν x > 0 και 0 < α. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούνται κατά βάση δύο λογαριθµικά συστήµατα, το δεκαδικό λογαριθµικό σύστηµα και το Νεπέρειο λογαριθµικό σύστηµα. Στο δεκαδικό λογαριθµικό σύστηµα χρησιµοποιούµε σαν βάση τον αριθµό 0 και έτσι ο λογάριθµος ενός αριθµού στο σύστηµα αυτό αποκαλείται δεκαδικός λογάριθµος και γράφεται απλά logθ αντί για log 0 θ. Οι δεκαδικοί λογάριθµοι αποκαλούνται και κοινοί λογάριθµοι. logθ = x 0 x = θ Στο Νεπέρειο λογαριθµικό σύστηµα χρησιµοποιούµε σαν βάση τον α- ριθµό e =,7888, ο οποίος ορίζεται ως το όριο της ακολουθίας (+ ν ) ν, όπου ν =,, 3, Η ακολουθία αυτή αποδεικνύεται ότι είναι γνησίως αύξουσα και άνω φραγµένη και άρα έχει όριο στο R. Ο λογάριθµος ενός αριθµού στο σύστηµα αυτό αποκαλείται νεπέρειος λογάριθµος και γράφεται απλά lnθ αντί για log e θ. Οι νεπέρειοι λογάριθµοι αποκαλούνται και φυσικοί λογάριθµοι. lnθ = x e x = θ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση f: R R + : x f(x)=α x, όπου 0 < α, ονοµάζεται εκθετική συνάρτηση µε βάση α. Η εκθετική συνάρτηση έχει τις εξής ιδιότητες : Πεδίο ορισµού ολόκληρο το R. Πεδίο τιµών το σύνολο των θετικών πραγµατικών αριθµών (0, + ). Είναι γνησίως αύξουσα όταν α>, δηλ. αν x <x α x <α x. Είναι γνησίως φθίνουσα όταν α<, δηλ. αν x <x α x >α x. Αν x =x α x =α x. Αν x x α x α x. Αν α> έχει όριο το + όταν x + και όριο το 0 όταν x. Αν α< έχει όριο το 0 όταν x + και όριο το + όταν x. Η γραφική της παράσταση περνάει από το σηµείο (0, ) και έχει ασύ- µπτωτο τον αρνητικό ηµιάξονα των x όταν α>, ενώ έχει ασύµπτωτο τον θετικό ηµιάξονα των x όταν α<. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων α x και συµµετρικές ως προς τον άξονα των y. x ή α x είναι α 5.999 30 5 0 f( x) 5 0 5.694 0 5 0 5 0 5 0 0 x 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x. 3
5.999 30 5 0 gx ( ) 5 0 5.694 0 5 0 8 6 4 0 4 6 8 0 0 x 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) =. 3 x 5.998 30 5 0 fx ( ) 5 0 5 4.54 0 5 0 8 6 4 0 4 6 8 0 0 x 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = e x. 4
ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση f: R + R: x f(x) = log α x, όπου 0 < α, ονοµάζεται λογαριθµική συνάρτηση µε βάση α. Η λογαριθµική συνάρτηση αποτελεί την α- ντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης f(x) = α x. Η λογαριθµική συνάρτηση log α x είναι γνησίως αύξουσα όταν α > και γνησίως φθίνουσα όταν 0 < α <. Η λογαριθµική συνάρτηση έχει τις εξής ιδιότητες : Πεδίο ορισµού το σύνολο των θετικών πραγµατικών αριθµών (0, + ). Πεδίο τιµών ολόκληρο το R. Είναι γνησίως αύξουσα όταν α>, δηλ. αν x <x log α x <log α x. Είναι γνησίως φθίνουσα όταν α<, δηλ. αν x <x log α x >log α x. Αν x =x log α x =log α x. Αν x x log α x log α x. Αν α> έχει όριο το + όταν x + και όριο το όταν x 0. Αν α< έχει όριο το όταν x + και όριο το + όταν x 0. Η γραφική της παράσταση περνάει από το σηµείο (, 0) και έχει ασύ- µπτωτο τον αρνητικό ηµιάξονα των y όταν α>, ενώ έχει ασύµπτωτο τον θετικό ηµιάξονα των y όταν α<. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων log α x και log x είναι συµµετρικές ως προς τον άξονα των x. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων α x και log α x είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία µε εξίσωση y=x, δηλ. την ευθεία που διχοτοµεί τις γωνίες των αξόνων x και y και διέρχεται από το πρώτο τεταρτηµόριο. α.303 3 0 3 4 5 6 7 8 9 0 yx ( ) 3 4 4.605 5 0.0 x 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = lnx. 5
0.5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 fx ( ) 0.5.5 0.0 x 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = logx..5 fx ( ) 0.5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0.5 0.0 x 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = log x. 0 6
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ Δύο θετικοί αριθµοί είναι ίσοι αν και µόνο αν είναι ίσοι οι λογάριθµοί τους ως προς την ίδια βάση. θ, θ R +, 0 < α, log α θ = log α θ θ = θ Σ όλα τα λογαριθµικά συστήµατα, ο λογάριθµος του είναι ίσος µε 0 και ο λογάριθµος της βάσης είναι ίσος µε. log α = 0 και log α α = Ο λογάριθµος του γινοµένου δύο ή και περισσοτέρων θετικών αριθ- µών ως προς την ίδια βάση α είναι ίσος µε το άθροισµα των λογαρίθµων αυτών των αριθµών. θ, θ R +, 0 < α, log α (θ.θ ) = log α θ + log α θ Ο λογάριθµος του πηλίκου δύο θετικών αριθµών ως προς την ίδια βάση α είναι ίσος µε τη διαφορά των λογαρίθµων αυτών των αριθµών (λογάριθµος διαρετέου λογάριθµος διαιρέτη). θ, θ R + θ, 0 < α, log α ( ) = logα θ log α θ θ Ο λογάριθµος του αντιστρόφου ενός θετικού αριθµού είναι ίσος µε τον αντίθετο του λογαρίθµου του αριθµού αυτού. θ R +, 0 < α, log α ( θ ) = logα θ Ο λογάριθµος µιας δύναµης ενός θετικού αριθµού ως προς µια βάση α είναι ίσος µε το γινόµενο του εκθέτη της δύναµης επί τον λογάριθµο της βάσης της δύναµης. θ R +, 0 < α, log α θ µ = µ.log α θ Ο λογάριθµος µιας ρίζας µε θετικό υπόρριζο είναι ίσος µε το πηλίκο του λογαρίθµου του υπορρίζου προς τον δείκτη της ρίζας. θ R +, ν Ν, 0 < α, log α ν θ = ν.logα θ 7
Αν οι αριθµοί α και β είναι θετικοί και, τότε ισχύει : log β θ = log log α α θ β Ο παραπάνω τύπος είναι γνωστός σαν τύπος αλλαγής βάσης. Άλλοι χρήσιµοι τύποι είναι και οι εξής : log α β. log β α = log β θ = log β α. log α θ Ο αριθµός log β α αποκαλείται σταθερά της αλλαγής βάσης ή πολλαπλασιαστής του συστήµατος βάσης α ως προς το σύστηµα βάσης β, καθώς µε τη βοήθειά του µπορούµε να βρίσκουµε τους λογαρίθµους αριθµών σε µια άλλη βάση. Η σχέση µεταξύ δεκαδικών και νεπέρειων λογαρίθµων είναι η εξής : logθ = loge.lnθ, όπου loge = 0,4349 lnθ =,3058.logθ logθ = 0,4349.lnθ Αν οι αριθµοί α και β είναι θετικοί, το α και ο αριθµός ρ R και ρ 0, τότε ισχύει : log αρ θ = ρ.logα θ Αν α, θ, θ R + και α, τότε ισχύουν τα εξής : Αν α>, τότε log α θ > log α θ θ > θ (γνησίως αύξουσα) Αν α<, τότε log α θ > log α θ θ < θ (γνησίως φθίνουσα) Αν α, θ R + και α, τότε ισχύουν τα εξής : Αν α>, τότε log α θ > 0 αν θ> Αν α>, τότε log α θ < 0 αν θ< Αν α<, τότε log α θ < 0 αν θ> Αν α<, τότε log α θ > 0 αν θ< 8
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εκθετική εξίσωση αποκαλείται κάθε εξίσωση όπου σ ένα τουλάχιστον από τα µέλη της εµφανίζεται ο άγνωστος x ή κάποια συνάρτηση του α- γνώστου σε εκθέτη δύναµης µε βάση θετικό αριθµό. Παραδείγµατα εκθετικών εξισώσεων είναι τα εξής : x = 3, 4 x+x 6 = 6, (5x + ) 3x = Ακολουθούν οι πιο συνηθισµένες µορφές εκθετικών εξισώσεων και οι τρόποι επίλυσής τους.. Εκθετικές εξισώσεις της µορφής : α x = β όπου α, β R + και α. Για να λύσουµε µια τέτοια εκθετική εξίσωση, αν ο β µπορεί να γραφεί σαν µια δύναµη του α, θέτουµε β = α k και µετά έχουµε α x = α k, οπότε x = k. Στην περίπτωση που ο β δεν µπορεί να γραφεί σαν µια δύναµη του α, παίρνουµε τους λογαρίθµους και των δύο µελών της εξίσωσης και έχουµε : x.logα = logβ x = log β logα. Εκθετικές εξισώσεις της µορφής : α f(x) = β όπου α, β R + και α, ενώ η f(x) είναι πραγµατική συνάρτηση του x. Για να λύσουµε µια τέτοια εκθετική εξίσωση, αν ο β µπορεί να γραφεί σαν µια δύναµη του α, θέτουµε β = α k και µετά έχουµε α f(x) = α k, οπότε f(x) = k. Στην περίπτωση που ο β δεν µπορεί να γραφεί σαν µια δύναµη του α, παίρνουµε τους λογαρίθµους και των δύο µελών της εξίσωσης και έχουµε : f(x).logα = logβ f(x) = log β logα 3. Εκθετικές εξισώσεις της µορφής : α f(x) = α g(x) όπου α R + και α, ενώ οι f(x) και g(x) είναι πραγµατικές συναρτήσεις του x. Αρκεί να λύσουµε την εξίσωση f(x) = g(x). 9
4. Εκθετικές εξισώσεις της µορφής : α f(x) = β g(x) όπου α, β R + και α, β, ενώ οι f(x) και g(x) είναι πραγµατικές συναρτήσεις του x. Αν ο β µπορεί να γραφεί σαν µια δύναµη του α, έχουµε εκθετική εξίσωση της προηγούµενης µορφής. Στην περίπτωση που ο β δεν µπορεί να γραφεί σαν µια δύναµη του α, παίρνουµε τους λογαρίθµους ως προς α και των δύο µελών της εξίσωσης και έχουµε : f(x) = g(x).log α β 5. Εκθετικές εξισώσεις της µορφής : f(α x ) = g(α x ) όπου α R + και α. Θέτουµε όπου α x = y, οπότε λύνουµε µια εξίσωση ως προς y και κάνουµε διερεύνηση για να δούµε ποιες τιµές του y θα κάνουµε αποδεκτές, καθότι α x > 0 x R. 6. Εκθετικές εξισώσεις της µορφής : f(α x ) = g(β x ) όπου α, β R + και α, β, α β. α Συνήθως είναι βολικό να θέσουµε όπου = y, οπότε λύνουµε µια β εξίσωση ως προς y και κάνουµε διερεύνηση για να δούµε ποιες τιµές του y θα κάνουµε αποδεκτές, καθότι α x > 0 και β x > 0 x R. 7. Εκθετικές εξισώσεις της µορφής : όπου α, β R + και α, β και αβ=. Θέτουµε όπου α x = y και όπου β x = y, οπότε λύνουµε µια εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς y και κάνουµε διερεύνηση για να δούµε ποιες τι- µές του y θα κάνουµε αποδεκτές, καθότι α x > 0 και β x > 0 x R. x Α.α x + Β.β x = Γ 8. Εκθετικές εξισώσεις της µορφής : f(x) g(x) = όπου f(x) και g(x) είναι πραγµατικές συναρτήσεις του x και f(x)>0. Εδώ έχουµε δύο οµάδες λύσεων : α. f(x) = και β. g(x) = 0 και f(x)>0. 9. Εκθετικές εξισώσεις της µορφής : f(x) f(x) = β όπου f(x) είναι πραγµατική συνάρτηση του x και f(x)>0. Η εξίσωση αυτή λύνεται όταν το β µπορεί να πάρει τη µορφή α α, οπότε f(x)=α. 0
ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σύστηµα εκθετικών εξισώσεων µε δύο ή περισσοτέρους αγνώστους, α- ποκαλείται κάθε σύστηµα εξισώσεων, από τις οποίες η µία τουλάχιστον είναι εκθετική. Δεν υπάρχει κάποιος ενιαίος κανόνας για την επίλυση ενός συστήµατος εκθετικών εξισώσεων και αν δεν µπορέσουµε να καταλήξουµε σε εξισώσεις που να περιέχουν δυνάµεις µε κοινή βάση, θα πρέπει να λογαριθµίσου- µε και τα δύο µέλη των εξισώσεων. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Λογαριθµική εξίσωση αποκαλείται κάθε εξίσωση όπου σ ένα τουλάχιστον από τα µέλη της υπάρχει ο λογάριθµος του x ή ο λογάριθµος συναρτήσεων του x. Λογαριθµικό σύστηµα εξισώσεων αποκαλείται κάθε σύστηµα εξισώσεων στο οποίο µία τουλάχιστον από τις εξισώσεις του είναι λογαριθµική. Δεν υπάρχει κάποιος ενιαίος κανόνας για την επίλυση µιας λογαριθµικής εξίσωσης ή ενός συστήµατος λογαριθµικών εξισώσεων, αλλά σε γενικές γραµµές προσπαθούµε να καταλήξουµε σε εξισώσεις που να περιέχουν λογαρίθµους και στα δύο µέλη τους ή έναν λογάριθµο και έναν αριθµό, ώστε να απαλλαγούµε έτσι από τους λογαρίθµους και να ασχοληθούµε µε γνωστές ε- ξισώσεις ή συστήµατα εξισώσεων. Φυσικά, αν χρειάζεται θα πρέπει να µετατρέψουµε τους λογαρίθµους ώστε να είναι όλοι ως προς την ίδια βάση. Συνήθως, η επίλυση µιας λογαριθµικής εξίσωσης καταλήγει στην επίλυση εξισώσεων µε µια από τις εξής µορφές : logx = α x = 0 α logx = logα x = α και α>0 logf(x) = logα f(x) = α και α>0 logf(x) = logg(x) f(x) = g(x) και g(x)>0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ. Να αποδειχθεί ότι α logβ = β logα.. Να αποδειχθεί ότι log α β.log β γ.log γ α =. 3. Αν σε µια αριθµητική πρόοδο ο πρώτος όρος είναι ίσος µε log3 και ο δεύτερος όρος είναι ίσος µε log9, να υπολογισθεί το άθροισµα των ν ν ( ν +) πρώτων όρων της (Απ. Σ =.log3). 4. Να υπολογισθεί το άθροισµα log + log + log + + 3 5 7 log (Απ. Σ = log(ν+)). ν + 5. Να αποδειχθεί ότι log 3 4 > log 6. 6. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση 5 x = 65 (Απ. x=4). 7. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση x log log3 = (Απ. x = ). 3 log 8. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση 4 x+x 6 = 6 (Απ. x=, x= 4). 9. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση 3 x 6 = (Απ. x=3). 00 log 0. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση 6 3x+4 = 00 (Απ. x= 96 ). 3.log 6. Να επιλυθεί και να διερευνηθεί η εκθετική εξίσωση α βx = γ, όπου α, β, γ R + logγ και α, β. (Απ. x=.log και θα πρέπει α και log β logα γ ταυτόχρονα > ή ταυτόχρονα < ).. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση 8. x 9 = x (Απ. x= 3). 3. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση x+ = 8 x (Απ. x=). 4. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση 3 x 4 = 5 x (Απ. x, = ± ( log 5) 4 3 + ). 5. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση 5 x+ + 8.5 x = 35 (Απ. x=). 6. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση 4 x+ + 3. x = (Απ. x= ). 7. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση 9 x + 3.3 x = 8.4 x + x (Απ. x=). 8. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση.9 x + 3. x.4 x = 0 (Απ. x = log ). log 4 log 3 9. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση x 5. x log 5 = 4 (Απ. x = ). log 0. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση (x +x+) x 6x = (Απ. x=0, x=, x=6).. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση x x = 7 (Απ. x=3).. Να επιλυθεί η εκθετική εξίσωση (x +x+) x+x+ = 3.5 (Απ. x=, x= 3).
3. Να επιλυθεί το εκθετικό σύστηµα : 8 x. y+4 = 6 3 x.9 y = 7 (Απ. x=, y=3). 4. Να επιλυθεί το εκθετικό σύστηµα : 3 x.4 y = 60 3 y.4 x = 90 (Απ. x=, y= +). log log 5. Να επιλυθεί η λογαριθµική εξίσωση log(8x+) = log3 + log(x 3) (Απ. x= ). 3 6. Να επιλυθεί η λογαριθµική εξίσωση logx + log x + 0 =+ log x (Απ. x=9.900). 7. Να επιλυθεί το λογαριθµικό σύστηµα : logx + logy = log 3x + y = 7 (Απ. x=, y= και x= 3 4, y= 3 ). 8. Να επιλυθεί το λογαριθµικό σύστηµα : log x + log y = 5 logx + logy = 4 (Απ. x=00, y=0 και x= 0 5, y= 5 0 ). 3