ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων: Ι. Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 1 f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων Επιλέξτε αυθαίρετα μία συνάρτηση Στη συνέχεια, με βάση τα επιλεγμένα ζευγάρια τιμών, εφαρμόστε παρεμβολή α) Lagrange, β) Newton και γ) κυβικών splnes. Αφού σχεδιάστε σε γραφήματα τις προκύπτουσες συναρτήσεις παρεμβολής και με τις τρεις μεθόδους συγκρίνετε τα αποτελέσματα με την αναλυτική συνάρτηση f x και σχολιάστε με λεπτομέρεια τα θετικά και αρνητικά χαρακτηριστικά των μεθόδων. Επίλυση: Αναλυτικά η λύση βρίσκεται στα αναρτημένα παραδείγματα 7,8 και 9. x,f x. Εδώ δίνουμε συμπληρωματικά νέους κώδικες σε Mathematca, με αρχική συνάρτηση την 3 x 1 f ( x) snx x 3 e A. Παρεμβολή Lagrange Αρχικά καθαρίζουμε τη μνήμη της Mathematca: Στη συνέχεια δημιουργούμε τα τέσσερα αυθαίρετα ζευγάρια σημείων x,f(x) : Ορίζουμε το n ως το πλήθος των σημείων μείον ένα: Δημιουργούμε δύο νέες συναρτήσεις για απλοποίηση των συμβολισμών, ώστε να μην απαιτείται η χρήση των διπλών αγκυλών [[ ]] κάθε φορά που αναφερόμαστε σε κάποιο σημείο (x,y): Ορίζουμε τους συντελεστές παρεμβολής Lagrange: Ορίζουμε το πολυώνυμο παρεμβολής:
Υπολογίζουμε το πολυώνυμο παρεμβολής με βάση τα δεδομένα σημεία: Παίρνουμε την ακόλουθη απάντηση: 3 00807 x 3.80391 x 9.89047 x 6.0459 Δημιουργούμε το γράφημα των σημείων (x,0) (κόκκινα τρίγωνα) Δημιουργούμε το γράφημα των σημείων (x,y) (μπλε κυκλικοί δίσκοι) Δημιουργούμε το γράφημα της αρχικής συνάρτησης (μπλε γραμμή) μαζί με το γράφημα του πολυωνύμου παρεμβολής (κόκκινη γραμμή) Δείχνουμε όλα τα γραφήματα μαζί: 1.5 - ò ò ò ò 1 3 4 - -1.5 B. Παρεμβολή Newton Εδώ ο κώδικας Mathematca είναι ακριβώς ο ίδιος με τη μόνη διαφορά στον ορισμό των συντελεστών και του πολυωνύμου παρεμβολής:
Στη συνέχεια ορίζουμε τους συντελεστές και το πολυώνυμο παρεμβολής Newton: Έπειτα ο κώδικας δεν μεταβάλλεται: Το πολυώνυμο παρεμβολής που προκύπτει, όπως είναι αναμενόμενο, ταυτίζεται με αυτό που 3 προκύπτει με τη μέθοδο Lagrange και είναι το: 00807 x 3.80391 x 9.89047 x 6.0459 Γ. Παρεμβολή Κυβικών Splnes Ξεκινούμε όπως και στις προηγούμενες μεθόδους Στη συνέχεια ορίζουμε την h x 1 x j j j και την f f 1 f j j j Δημιουργούμε τον πίνακα συντελεστών του τριδιαγώνιου συστήματος που πρέπει να επιλύσουμε για την εύρεση των y ''
καθώς και το διάνυσμα των σταθερών όρων Επιλύουμε το γραμμικό σύστημα: Στην λύση προσθέτουμε και τις μηδενικές τιμές στην αρχή και στο τέλος: Τελικά βάσει των δεδομένων μας παίρνουμε: 0, 3.63, 1.654, 0 Για απλοποίηση των συμβολισμών ορίζουμε τη συνάρτηση: Ορίζουμε τα πολυώνυμα Splnes: Υπολογίζουμε τα πολυώνυμα παρεμβολής κάθε διαστήματος με βάση τα δεδομένα σημεία: Παίρνουμε την ακόλουθη απάντηση: Δημιουργούμε το γράφημα των σημείων (x,0) (κόκκινα τρίγωνα) Δημιουργούμε το γράφημα των πολυωνύμων παρεμβολής (κόκκινες γραμμές)
Δημιουργούμε το γράφημα των σημείων (x,y) (μπλε κυκλικοί δίσκοι) Δημιουργούμε το γράφημα της αρχικής συνάρτησης (μπλε γραμμή) Εμφανίζουμε μαζί όλα τα γραφήματα: 1.5 - ò ò ò ò 1 3 4 - -1.5 Παρατηρούμε ότι η Παρεμβολή Κυβικών Splnes δίνει καλύτερα αποτελέσματα από τις άλλες δύο μεθόδους. Στην περίπτωση που επιθυμούμε να αυτοματοποιήσουμε τη διαδικασία υπολογισμού των τιμών παρεμβολής μίας λίστας σημείων x, μπορούμε να δημιουργήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση: Στη συνάρτηση αυτή δίνουμε την ιδιότητα Lstable ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί και με λίστες: Έστω ότι ενδιαφερόμαστε για την τιμή παρεμβολής στα σημεία: 1.5, 3.7 και 8. Η κλήση της συνάρτησης γίνεται ως εξής: Το αποτέλεσμά της είναι το ακόλουθο:
ΑΣΚΗΣΗ f x επιλέξτε δέκα ζευγάρια σημείων x,f x Με βάση την παραπάνω συνάρτηση και εφαρμόστε παρεμβολή με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μηδενικής, πρώτης και δεύτερης τάξης. Σχολιάστε με λεπτομέρεια τα αποτελέσματα. Περιγράψτε ένα φυσικό πρόβλημα όπου η αριθμητική παρεμβολή είναι αναγκαία για την επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Επίλυση: 3 x 1 Χρησιμοποιούμε την ίδια συνάρτηση με την Άσκηση 1 f ( x) snx και 10 σημεία x 3 e x:,.1,.79, 4.3, 5.67, 5.98, 6.41, 7.57, 8.1, 9 Αρχικά καθαρίζουμε τη μνήμη, δημιουργούμε τη συνάρτηση f ( x ) και τα ζεύγη σημείων x, f( x ) Επίσης για απλούστευση των συμβολισμών ορίζουμε: Α. Μηδενικής Τάξης: P0( x) a0 Για τον υπολογισμό του συντελεστή 0 δίνουμε: Στη συνέχεια ορίζουμε το πολυώνυμο ελαχίστων τετραγώνων μηδενικής τάξης το οποίο είναι το P0 ( x) 3069 Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να φτάσουμε κάνοντας χρήση της ενσωματωμένης συνάρτησης Ft του Mathematca: Β. Πρώτης Τάξης: P1( x) a0 a1x Για τον υπολογισμό των συντελεστών 0, 1 λύνουμε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων ως εξής:
Ορίζουμε το πολυώνυμο ελαχίστων τετραγώνων πρώτης τάξης: το οποίο είναι: P1 ( x).3448 0.7559x Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να φτάσουμε κάνοντας χρήση της ενσωματωμένης συνάρτησης Ft του Mathematca: Γ. Δεύτερης Τάξης: P( x) a a x a x 0 1 Για τον υπολογισμό των συντελεστών a0, a1, a λύνουμε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων ως εξής: Ορίζουμε το πολυώνυμο ελαχίστων τετραγώνων πρώτης τάξης: το οποίο είναι: P1 ( x).3448 0.7559x Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να φτάσουμε κάνοντας χρήση της ενσωματωμένης συνάρτησης Ft του Mathematca: Ορίζουμε το πολυώνυμο ελαχίστων τετραγώνων πρώτης τάξης: το οποίο είναι: P ( x).167 3.468x 55x Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να φτάσουμε κάνοντας χρήση της ενσωματωμένης συνάρτησης Ft του Mathematca: Γραφικές Παραστάσεις Δημιουργούμε το γράφημα των σημείων (x,0) (κόκκινα τρίγωνα)
Δημιουργούμε το γράφημα των σημείων (x,y) (μπλε κυκλικοί δίσκοι) Δημιουργούμε το γράφημα της αρχικής συνάρτησης (μαύρη διακεκομμένη γραμμή) Δημιουργούμε το γράφημα των πολυωνύμων ελαχίστων τετραγώνων μηδενικής (πράσινη γραμμή, πρώτης (κόκκινη γραμμή) και δεύτερης τάξης (μπλε γραμμή) Εμφανίζουμε όλα τα γραφήματα μαζί: 1.5 - ò ò ò ò ò òò ò ò ò 1 3 4 - -1.5 -.0 ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίδεται ο πίνακας δεδομένων: x 0 0 0 1 1 1 1 x 0 1 0 0 1 1 y 15 1 15 0 16 18 13 6 1 Βρείτε το πολυώνυμο παρεμβολής y a0 a1x1 ax με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Περιγράψτε ένα φυσικό πρόβλημα όπου η αριθμητική παρεμβολή σε δύο διαστάσεις είναι αναγκαία για την επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Επίλυση: Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου: y a0 a1x ax Πρέπει να επιλυθεί το γραμμικό σύστημα: n x1 x a0 y x1 x1 x1x a1 x1y x xx 1 x a xy
Σε Mathematca θα έχουμε διαδοχικά Ορίζουμε το πολυώνυμο: Η συνάρτηση παρεμβολής που προκύπτει με βάση τα δεδομένα είναι η: y 14.1673.5x1 0.333x Η συνάρτηση αυτή αποτελεί την εξίσωση ενός επιπέδου στο χώρο. Για την δημιουργία των γραφημάτων ορίζουμε τις 3άδες των σημείων (x1,x,y): Δημιουργούμε το γράφημα των σημείων στο χώρο (μπλε σφαίρες): Δημιουργούμε το γράφημα του επιπέδου παρεμβολής: Εμφανίζουμε τα δύο γραφήματα μαζί:
ΑΣΚΗΣΗ 4 Βρείτε ένα πολυώνυμο παρεμβολής που προσεγγίζει στο διάστημα 1,1 την συνάρτηση: 1 yx 1 5x Αιτιολογείστε την επιλογή σας και σχολιάστε τα αποτελέσματα. Επίλυση: (η άσκηση επιλύεται και στο Παράδειγμα 9, Άσκηση ). Αρχικά θα προσεγγίσουμε την συνάρτηση yx ( ) με παρεμβολή Lagrange σε ισαπέχοντα σημεία. O αντίστοιχος κώδικας Mathematca δόθηκε στην Άσκηση 1. Αλλάζει μόνο ο ορισμός της συνάρτησης και των σημείων: Αλλάζοντας διαδοχικά το n και εκτελώντας ξανά τον κώδικα παίρνουμε τα ακόλουθα σχήματα: ò ò ò ò ò - - ò ò ò ò ò ò ò n=5 n=7.0 1.5 ò ò ò ò ò ò ò ò ò - - ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò n=9 n=11
1.5 ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò - ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò - n=13 n=15 1.5 ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò - ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò - n=17 n=19 Παρατηρούμε ότι καθώς ο βαθμός του πολυωνύμου παρεμβολής αυξάνει, η προσέγγιση της αρχικής συνάρτησης γίνεται ολοένα και πιο ακριβής, αλλά μόνο γύρω από το κέντρο. Στα άκρα παρατηρούνται έντονες ρυτιδώσεις. Για να αποφύγουμε το πρόβλημα αυτό θα προσεγγίσουμε την αρχική συνάρτηση όχι με ισαπέχοντα σημεία, αλλά με σημεία που προκύπτουν από ρίζες πολυωνύμων Chevyshev. Χρησιμοποιώντας τον ίδιο κώδικα Μathematca (παρεμβολής Lagrange), δίνοντας αρχικά: - Βρίσκουμε για διάφορες τιμές του n: ò ò ò ò ò - ò ò ò ò ò ò ò n=5 n=7 ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò n=9 n=11
òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò òò n=13 n=15 òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò òò òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò òò òòò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò òòò n=17 n=19 Παρατηρούμε ότι υπάρχει καλύτερη προσέγγιση στα άκρα από πριν. Ο λόγος είναι πως οι ρίζες των Πολυωνύμων Chebyshev έχουν πιο πυκνή κατανομή κοντά στα άκρα 1 και 1. ΑΣΚΗΣΗ 5 Παρουσιάστε μία μέθοδο παρεμβολής που να βασίζεται σε ορθογώνια πολυώνυμα και να δοθεί ένα απλό αριθμητικό παράδειγμα. Επίλυση: 3 x 1 Θα χρησιμοποιήσουμε ξανά τη συνάρτηση της Άσκησης 1 f ( x) snx x 3 e θα προσεγγίσουμε στο διάστημα [ 1,1] με ορθογώνια πολυώνυμα. την οποία Α. Chebyshev H συνάρτηση f ( x ) θα προσεγγιστεί με το πολυώνυμου m P ( x) c ( x) βαθμού m, m j 0 όπου j ( x) το πολυώνυμο Chebyshev βαθμού j. Οι σταθερές c j υπολογίζονται από τη σχέση: n 0 Tk x f 0 ck,0k m n T x όπου k x οι n ρίζες του πολυωνύμου ( x ) n
Έστω ο αριθμός των σημείων παρεμβολής είναι n 7 και το πολυώνυμο παρεμβολής είναι βαθμού m 4 Ο κώδικας Mathematca ξεκινά με τον ορισμό της συνάρτησης και των σημείων: Ορίζουμε τους συντελεστές c k χρησιμοποιώντας την συνάρτηση ChebyshevT της Μathematca Ορίζουμε το πολυώνυμο παρεμβολής: Υπολογίζουμε το πολυώνυμο παρεμβολής με βάση τα δεδομένα: Το αποτέλεσμα είναι το: 0.359 0.177 0.008 78 0.0097 Δημιουργούμε τα ακόλουθα γραφήματα: Γράφημα των σημείων παρεμβολής (μπλε κυκλικοί δίσκοι) Γράφημα των σημείων ( x 0) (κόκκινα τρίγωνα) Γράφημα της αρχικής συνάρτησης (μπλε γραμμή) Γράφημα του πολυωνύμου παρεμβολής (κόκκινη γραμμή)
Εμφάνιση όλων των γραφημάτων μαζί. 0.3 0.1 ò ò ò ò ò ò ò -0.1 Παρατηρούμε ότι έχουμε πολύ καλή προσέγγιση. Β. Legendre Θα προσεγγίσουμε τη συνάρτηση f ( x ) με το πολυώνυμου m P ( x) c ( x), βαθμού m όπου m j 0 j ( x) το πολυώνυμο Legendre βαθμού j. Οι σταθερές c j υπολογίζονται από τη σχέση: n 0 w k x f 0 ck,0k m n w k x όπου x οι n ρίζες του πολυωνύμου n( x ) και w τα αντίστοιχα βάρη τους. Έστω ο αριθμός των σημείων παρεμβολής είναι n 7 και το πολυώνυμο παρεμβολής είναι βαθμού m 4 Ο κώδικας Mathematca ξεκινά με τον ορισμό της συνάρτησης που επιθυμούμε να προσεγγίσουμε: Στη συνέχεια παράγουμε τις αναγκαίες ρίζες και τα βάρη των πολυωνύμων Legendre χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση «GaussanQuadratureWeghts», η οποία βρίσκεται στο πακέτο «NumercalDfferentalEquatonAnalyss» της Mathematca: Έτσι παίρνουμε τις
Ορίζουμε τους συντελεστές c k χρησιμοποιώντας την συνάρτηση LegendreP της Μathematca Ορίζουμε το πολυώνυμο παρεμβολής: Υπολογίζουμε το πολυώνυμο παρεμβολής με βάση τα δεδομένα σημεία παρεμβολής: Το αποτέλεσμα είναι το: 0.37 0.166 0.0176 7 0.001 Οι εντολές για τη δημιουργία των γραφημάτων ταυτίζονται με αυτές που δόθηκαν για την περίπτωση των πολυωνύμων Chebyshev και τελικά παίρνουμε: 0.3 0.1 ò ò ò ò ò ò ò -0.1 Παρατηρούμε ότι και πάλι έχουμε πολύ καλή προσέγγιση της αρχικής συνάρτησης.