5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. ρ ρμ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. ρ ρμ"

ÊÊΔιομήδης Μακρή
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Παρεμβολή Προσαρμογή ρ ρμ

2 Παρεµβολή Προσαρμογή Παρεµβολή tepolto είναι η διαδικασία µε την οποία βρίσκεται µία συνάρτηση η οποία να διέρχεται ακριβώς από + σηµεία = Συνήθως πολυώνυμο βαθμού Χρησιμοποιείται για α Υπολογισμό τιμών μεταξύ πειραματικών δεδομένων σημείων β Προσέγγιση συνάρτησης f από άλλη πιο απλή p που παρεμβάλει σε + σημεία [δηλαδή ή f =p = ] Πολυωνυμική παρεµβολή poloml tepolto Από + σημεία περνάει ένα και μόνο ένα πολυώνυμο βαθμού p = Το μοναδικό αυτό πολυώνυμο μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους επίλυση γραμμικού συστήματος++ Newto dvded dffeece πολυώνυμα gge

3 Πολυωνυμική παρεµβολή gge Δίνονται + σημεία: [ή + τιμές μίας προς προσέγγιση συνάρτησης f: f f f ] Ζητάμε τους συντελεστές του p = που διέρχεται από τα σημεία αυτά Ορίζουμε τα πολυώνυμα gge βαθμού βαθμού + πολυώνυμα ένα για κάθε σημείο = j j j To πολυώνυμo βαθμού P είναι: j P

4 ου βαθμού gge σημεία: και ου βαθμού gge βαθμού gge 3 σημεία: και

5 παράδειγμα: προσέγγιση συνάρτησης με πολυωνυμική παρεμβολή Δίνεται η συνάρτηση f = e Να προσεγγιστεί από πολυώνυμο ου βαθμού στο διάστημα [ ] Επιλέγουμε +=3 ισαπέχοντα σημεία στο [ ] = = = Οι τιμές της συνάρτησης μας στα σημεία αυτά είναι: f =e f = f =e Οι τιμές της συνάρτησης μας στα σημεία αυτά είναι: f =e f = f =e Βρίσκουμε το πολυώνυμο που περνά από τα σημεία e e: f e e f P P e

6 Απόκλιση σφάλμα προσέγγισης Για το σφάλμα πολυωνυμικής προσέγγισης E μίας συνάρτησης f ϵ [b] ισχύει:! f P E : ] [ f b : ] [ f b M f! E : ] [ f M b M f Στο προηγούμενο παράδειγμα: = 3 η παράγωγος e = e άρα E= e P ] [ M e e f 8 3 e! E ǁΕǁ =8 E 3!

7 Πως μπορούμε να βελτιώσουμε την προσέγγιση μιας συνάρτησης α Να αυξήσουμε τον αριθμό των σημείων παρεμβολής + και άρα τον βαθμό του πολυωνύμου? β Να επιλέξουμε τα σημεία παρεμβολής ώστε να μειωθεί το γινόμενο? Θεώρημα Weestss: Για κάθε συνεχή συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [b] υπάρχει σειρά πολυωνύμων P = που προσεγγίζουν την f όταν το τείνει στο άπειρο: όχι κάθε σειρά f 5 f 5 P 5 P 8

8 προσέγγιση e με παρεμβολή στις ρίζες Chebshev E= e P ǁΕǁ =564 E e

9 Προσέγγιση παρεμβολή σε σημεία ίσης απόστασης f 5 παρεμβολή στις ρίζες Chebshev f 5 f 5 P 8 P 8 =cosπ/8 = cos5π/8 4 =cos9π/8 6 =cos3π/8 8 =cos7π/8 = cos3π/8 3 = cos7π/8 5 = cosπ/8 7 =cos5π/8

10 Προσαρμογή είναι η διαδικασία κατά την οποία επιλέγεται µία συνάρτηση =N η µεταβλητή παράμετροι προσαρμογής και επιλέγονται στη συνέχεια οι τιµές των παραµέτρων ώστε η συνάρτηση να προσεγγίζει βέλτιστα τα ζεύγη τιµών =N πειραματικά δεδομένα συνήθως με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων όταν υπάρχει σημαντικό σφάλμα στα πειραματικά δεδομένα όταν υπάρχει συγκεκριμένη συνάρτηση για να περιγράψει τα πειραματικά δεδομένα P 7 P

11 Βέλτιστη προσαρμογή best ft ευθείας σε πειραματικά δεδομένα σημεία Δίνονται τα σημεία >> =[ ]; >> =[ ]; Σό Στόχος: να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους της συνάρτησης =+b για βέλτιστη προσαρμογή της ευθείας στα σημεία σε κάθε σημείο η απόκλιση είναι e = + Έχουμε διάφορες επιλογές για το κριτήριο βελτιστοποίησης: e

12 Προσαρμογή best ft ευθείας Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Παράδειγμα: Δίνονται τα σημεία 4 Προσδιορίστε την βέλτιστη ευθεία γραμμή με ελάχιστα τετράγωνα =3; Σ =3; Σ =7; Σ =; Σ =9; Σ =5; =7/3; = / * * * = Σ + =666 t =Σ =4666 Coeffcet of detemto R = t / t =9643

13 Γραμματικοποίηση μη γραμμικών εξισώσεων

14 Προσαρμογή best ft πολυωνύμου Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων P P P P

Σχετικά έγγραφα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Παρεμβολή ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Παρεµβολή Παρεµβολή interpoltion είναι η διαδικασία µε την οποία βρίσκεται µία