ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Γ. ΑΡΕΘΑΣ ΙΠΛ. ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ Α.Π.Θ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΛΩ ΙΩΤΗΣ ΓΕΦΥΡΑΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΙΚΤΥΩΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2009
ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Παναγιώτης Παπαδόπουλος, Επίκουρος καθηγητής Α.Π.Θ. (Επιβλέπων) Ιωάννης Τέγος, Καθηγητής Α.Π.Θ. Ευθυµία Μητσοπούλου, Καθηγήτρια Α.Π.Θ. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Μιχαήλ Φαρδής, Καθηγητής Πανεπιστηµίου Πατρών Ανδρέας Κάππος, Καθηγητής Α.Π.Θ. Ιωάννης ουδούµης, Καθηγητής Α.Π.Θ. Πανίκος Παπαδόπουλος, Επίκουρος καθηγητής Α.Π.Θ. Η έγκριση της διδακτορικής διατριβής από το Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει ότι αποδέχεται Το Τµήµα τις γνώµες του συγγραφέα. (Ν.5343/1932, Αρθρο 202,Παρ.2) 2
Πρόλογος Από το έτος 2003 εργάζοµαι ερευνητικά πάνω στο αντικείµενο «Μη γραµµικός στατικός υπολογισµός καλωδιωτών γεφυρών». Σε πρώτο στάδιο συγκέντρωσα σχετική βιβλιογραφία µε τη βοήθεια των διευθύνσεων στο διαδίκτυο, sciencedirect του εκδοτικού οίκου Elsevier καθώς και του google. Από τη διερεύνηση της βιβλιογραφίας φάνηκε ότι οι κυριότερες µη γραµµικότητες των καλωδιωτών γεφυρών είναι: 1) η γεωµετρική µη γραµµικότητα λόγω µεγάλων µετακινήσεων κυρίως του καταστρώµατος αλλά και του πυλώνα, 2) η γεωµετρική µη γραµµικότητα λόγω κρέµασης των καλωδίων και 3) η µη γραµµικότητα υλικού λόγω χαλάρωσης των καλωδίων σε θλίψη. Οι µεγάλες µετακινήσεις που δηµιουργούν δευτερογενείς ροπές από τον πολλαπλασιασµό των µεγάλων αξονικών δυνάµεων που προκαλούν τα καλώδια σε κατάστρωµα και πυλώνα επί τις µεγάλες µετακινήσεις. Για την εκτέλεση του µη γραµµικού στατικού υπολογισµού απαιτείται βαθµιαία φόρτιση και σε κάθε βήµα της φόρτισης οι εξισώσεις ισορροπίας να λαµβάνονται ως προς τον παραµορφωµένο φορέα και να ενηµερώνεται το µητρώο δυσκαµψίας του φορέα. Συνήθως χρησιµοποιούνται στοιχεία δοκών για τα οποία δύσκολα λαµβάνονται υπόψη οι εξισώσεις ισορροπίας ως προς τον παραµορφωµένο φορέα, ενώ τα µητρώα δυσκαµψίας (ελαστικής και γεωµετρικής) είναι πολύπλοκα, ιδιαίτερα αυτό της γεωµετρικής δυσκαµψίας το οποίο περιλαµβάνει ακόµη και υπερβολικά ηµίτονα και συνιµήτονα και έχει διαφορετικούς τύπους για τις περιπτώσεις ελκυσµού και θλίψης. Στη διατριβή µου χρησιµοποίησα εναλλακτικά προς τα στοιχεία δοκών δικτυωτά στοιχεία τα οποία είναι τα απλούστερα πεπερασµένα στοιχεία και µπορεί σ αυτά µε απλό τρόπο να γράφονται οι εξισώσεις ισορροπίας ως προς τον παραµορφωµένο φορέα ενώ τα µητρώα δυσκαµψίας τους (ελαστικής και γεωµετρικής) είναι πολύ απλά. Χρησιµοποίησα ένα σύντοµο πρόγραµµα ΗΥ (περίπου 200 εντολές FORTRAN) για το µη γραµµικό στατικό υπολογισµό δικτυωµάτων µε βαθµιαία φόρτιση. Παρουσιάζω µια πλήρη τεκµηρίωση (documentation) αυτού του προγράµµατος και έτσι η προτεινόµενη µέθοδος υπολογισµού έχει πλήρη διαφάνεια, σε αντίθεση µε τον υπολογισµό που γίνεται µε µεγάλα προγράµµατα γενικής χρήσης που χρησιµοποιούν χιλιάδες εντολές για τα οποία είναι άγνωστος ο κατάλογος των εντολών, γι αυτό δεν είναι γνωστές µε ακρίβεια οι παραδοχές στις οποίες βασίζονται. Το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα δοκιµάστηκε πρώτα σε παραδείγµατα πολύ απλών φορέων από δοκούς. Τα ικανοποιητικά αποτελέσµατα µε ενεθάρρυναν να 3
χρησιµοποιήσω το δικτυωτό προσοµοίωµα και το σχετικό πρόγραµµα ΗΥ σε µία µεγάλη κατασκευή και συγκεκριµένα σε µία τυπική καλωδιωτή γέφυρα µεσαίου µεγέθους παρόµοια µε τη γέφυρα του Ευρίπου. Η γέφυρα επιλύθηκε για 16 συνδυασµούς κινητών φορτίων λόγω οχηµάτων και τα αποτελέσµατα συγκρίθηκαν µε τα αντίστοιχα του Ελβετού καθηγητή R. Walther. Επίσης έγινε σύγκριση και µε το πρόγραµµα γενικής χρήσης ANSYS V11. Και στις δύο περιπτώσεις παρατηρήθηκε ικανοποιητική προσέγγιση των συγκρινόµενων αντιστοίχων αποτελεσµάτων κάτι που δείχνει την αξιοπιστία του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος και του πρόγραµµατος ΗΥ. Η απλότητα του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος, η διαφάνεια του πλήρους τεκµηριωµένου σύντοµου προγράµµατος ΗΥ και η αξιοπιστία της προτεινόµενης µεθόδου που προκύπτει από την ικανοποιητική προσέγγιση των αποτελεσµάτων της µε τα αντίστοιχα του καθηγητή R. Walther και του προγράµµατος γενικής χρήσης ANSYS V11, δείχνουν ότι η προτεινόµενη µέθοδος µπορεί να εµφανίσει πρακτική χρησιµότητα στον προκαταρκτικό σχεδιασµό των καλωδιωτών γεφυρών. Θα ήθελα καταρχήν να ευχαριστήσω τον Επιβλέποντα καθηγητή κ. Παναγή Παπαδόπουλο για την καθοδήγηση του στην εκπόνηση της διατριβής. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τα άλλα δύο µέλη της Συµβουλευτικής Επιτροπής, Καθηγήτρια κα Ευθυµία Μητσοπούλου και Καθηγητή κ. Ιωάννη Τέγο για τις πολύτιµες εποικοδοµητικές τους προτάσεις για τη βελτίωση της διατριβής. Ακόµη θεωρώ υποχρέωση µου να ευχαριστήσω και τα άλλα τέσσερα µέλη της Εξεταστικής Επιτροπής και συγκεκριµένα τον Καθηγητή κ. Μιχαήλ Φαρδή, τον Καθηγητή κ. Ανδρέα Κάππο, τον Καθηγητή κ. Ιωάννη ουδούµη και τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Πανίκο Παπαδόπουλο για τις πολύ χρήσιµες υποδείξεις τους. Τέλος θέλω να ευχαριστήσω τον ρ. Πολιτικό Μηχανικό κ. Χρήστο Κοτανίδη για την συνδροµή του στην εκµάθηση του προγράµµατος γενικής χρήσης SAP2000 V11 καθώς και τον Πολιτικό Μηχανικό κ. Γιώργο Φερεντίνο για την συνδροµή του στην εκµάθηση του προγράµµατος γενικής χρήσης ANSYS V11. Θεσσαλονίκη, εκέµβριος 2009 Ιωάννης Αρέθας 4
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΒΗΣ Σελίδες Πρόλογος. 3 Περιεχόµενα 5 Κατάλογος Σχηµάτων. 8 Κατάλογος Πινάκων 10 Κατάλογος Φωτογραφιών.. 10 Συµβολισµοί. 11 Περίληψη.. 12 Summary. 13. Κεφάλαιο 1 ο -Εισαγωγή. 14 1.1 Γενικά για τις καλωδιωτές γέφυρες.. 14 1.2 Σύντοµη περιγραφή του προβλήµατος.. 17 Κεφάλαιο 2 ο -Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής.. 18 2.1 Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας 18 2.2 Σκοπός της παρούσας διατριβής... 20 2.3 Περιεχόµενα κεφαλαίων της διατριβής 23 Κεφάλαιο 3 ο - Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς.. 27 3.1 Το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα 27 3.2 Υπολογισµός των διατοµών των ράβδων του µοντέλου. 28 3.3 Απλά παραδείγµατα µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα. 31 Κεφάλαιο 4 ο - Περιγραφή της καλωδιωτής γέφυρας και προσοµοίωση της µε δικτύωµα. 38 4.1 Περιγραφή της καλωδιωτής γέφυρας 38 4.2 Προσοµοίωση της καλωδιωτής γέφυρας µε δικτύωµα... 42 4.3 Προένταση των καλωδίων. 46 4.4 Περιπτώσεις φόρτισης... 48 Κεφάλαιο 5 ο - Αποτελέσµατα αναλύσεων της γέφυρας µε το δικτυωτό προσοµοίωµα και σύγκριση µε αποτελέσµατα των Walther et al. (1999).. 50 5.1 Ανάλυση της γέφυρας για τα µόνιµα φορτία 50 5.2 Ανάλυση της γέφυρας για τρεις κύριες κινητές φορτίσεις... 50 5.3 Σύγκριση αποτελεσµάτων του προτεινόµενου µοντέλου µε άλλα αντίστοιχα των Walther et al. (1999) για διάφορες περιπτώσεις φόρτισης... 5.3.1 Αξονικές δυνάµεις στον πυλώνα και στο κατάστρωµα... 56 57 5.3.2 Ροπές κάµψης στο κατάστρωµα... 60 5.3.3 Ροπές κάµψης στον πυλώνα. 63 5.3.4 Βυθίσεις του καταστρώµατος για διάφορες περιπτώσεις φόρτισης. 66 5.4 Ανάλυση της γέφυρας χωρίς γεωµετρική µη γραµµικότητα των καλωδίων 68 5.5 Ανάλυση της γέφυρας µε συνεκτίµηση της επιρροής των χρόνιων παραµορφώσεων (ερπυσµός). 71 5
5.6 Ανάλυση µεµονωµένων καλωδίων 74 Κεφάλαιο 6 ο - Ανάλυση της γέφυρας για τη δυσµενή φόρτιση 1010 µε το λογισµικό ANSYS και σύγκριση των αποτελεσµάτων µε εκείνα του δικτυωτού προσοµοιώµατος 78 6.1 Ο λόγος που επελέγη το πρόγραµµα ANSYS V11 78 6.2 Αποτελέσµατα µε το πρόγραµµα ANSYS V11. 78 6.3 Συγκρίσεις αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος µε το πρόγραµµα ANSYS V11 79 Κεφάλαιο 7 ο - Συµπεράσµατα και προτάσεις για µελλοντική έρευνα 84 7.1 Συγκρίσεις των αποτελεσµάτων του δικτυωτού προσοµοιώµατος µε άλλα σχετικά αποτελέσµατα.. 84 7.1.1 Συγκρίσεις µεταξύ των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος µε πολλά καλώδια και της επίλυσης της ίδιας γέφυρας από τους Walther et al. (1999)... 7.1.2 Συγκρίσεις µεταξύ των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού 84 προσοµοιώµατος µε πολλά καλώδια και της επίλυσης µε το χέρι της ίδιας γέφυρας.. 7.1.3 Συγκρίσεις µεταξύ των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού 86 προσοµοιώµατος µε πολλά καλώδια και της επίλυσης της ίδιας γέφυρας µε το πρόγραµµα ANSYS V11 για την φόρτιση (ΠΦ 1010). 86 7.1.4 Συγκρίσεις µεταξύ των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος για φορείς από δοκούς σε µερικά απλά παραδείγµατα και των λύσεων που είναι γνωστές από τη θεωρία της στατικής ανάλυσης των φορέων από δοκούς 87 7.2 Εκτίµηση της ακρίβειας κατά τις συγκρίσεις των αποτελεσµάτων του δικτυωτού προσοµοιώµατος µε άλλα σχετικά αποτελέσµατα... 88 7.3 Αξιοπιστία του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος. ιαφάνεια παραδοχών και υπολογισµών του σύντοµου προγράµµατος ΗΥ.. 7.4 Παρατηρήσεις σχετικά µε την περιβάλλουσα των ροπών κάµψης του 89 καταστρώµατος. 89 7.5 Παρατηρήσεις σχετικά µε τη χαλάρωση των καλωδίων.. 90 7.6 Παρατηρήσεις σχετικά µε την κρέµαση των καλωδίων 90 7.7 Προτάσεις για µελλοντική έρευνα 90 Κεφάλαιο 8 ο - Βιβλιογραφία.. 92 8.1 Κύρια βιβλιογραφία στην οποία αναφέρεται η διατριβή.. 92 8.2 Πρόσθετη γενική βιβλιογραφία για το µη γραµµικό στατικό υπολογισµό καλωδιωτών γεφυρών 95 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α- ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΗΥ 104 Α.1 Αλγόριθµος βαθµιαίας φόρτισης για το µη γραµµικό στατικό υπολογισµό δικτυωτού προσοµοιώµατος.. 104 Α.2 Κατάλογος των εντολών του προγράµµατος. 107 Α.3 Επεξήγηση συµβόλων 114 Α.3.1 Κύριο πρόγραµµα. 114 Α.3.2 πρόγραµµα... Υποπρόγραµµα GAUS... 118 Α.4 Εφαρµογή µε µοντέλο µε λίγα καλώδια 120 6
Α.4.1 εδοµένα.. 121 Α.4.2 Στοιχεία εισόδου του ΗΥ (input data)... 126 Α.4.3 Αποτελέσµατα του ΗΥ (output data) και διαγράµµατα. 133 Α.5 Εφαρµογή µε µοντέλο µε πολλά καλώδια. 139 Α.5.1 εδοµένα.. 140 Α.5.2 Στοιχεία εισόδου του ΗΥ (input data)... 142 Α.5.3 Αποτελέσµατα του ΗΥ (output data) και διαγράµµατα. 179 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β- ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ANSYS V11 247 7
Κατάλογος Σχηµάτων Σελίδες Σχήµα 1 Προσοµοίωση ενός στοιχείου δοκού µε δικτύωµα... 29 Σχήµα 2 Πρώτο απλό παράδειγµα µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα. 32 Σχήµα 3 εύτερο απλό παράδειγµα µε το προτεινόµενο δικτυωτό µοντέλο 36 Σχήµα 4 εδοµένα της εφαρµογής 40 Σχήµα 4ε ιακριτοποίηση της γέφυρας µε λίγα καλώδια 43 Σχήµα 5 ιακριτοποίηση της γέφυρας µε πολλά καλώδια. 45 Σχήµα 6 Ανάρτηση ενός τµήµατος του καταστρώµατος από δύο κεκλιµένα καλώδια 46 Σχήµα 7 Σχήµα 8 α,β,γ Περιπτώσεις φόρτισης. Ολοι οι 2 4 = 16 δυνατοί συνδυασµοί κινητών φορτίσεων Ανάλυση ολόκληρης της γέφυρας για τρεις περιπτώσεις συµµετρικής 48 φόρτισης. Ελαστικές γραµµές και διαγράµµατα ελευθέρου σώµατος.. 52 Σχήµα 8 δ Ανάλυση της µισής γέφυρας για κινητά φορτία οχηµάτων στο µεσαίο άνοιγµα µε συγκεντρωµένο φορτίο φορτηγού στο κέντρο του µεσαίου ανοίγµατος και αυξηµένο κατά 18% το Σχήµα 9 συνεχές κινητό φορτίο (52 kn/m) σύµφωνα µε τον κανονισµό.. 53 Ανάλυση της µισής γέφυρας για τη δυσµενή µη συµµετρική φόρτιση Σχήµα 10 Π.Φ. 1010. Ελαστική γραµµή και διάγραµµα ελευθέρου σώµατος.. 54 (α) Αξονικές δυνάµεις στον πυλώνα λόγω µόνιµων φορτίων (β) Αξονικές δυνάµεις στον πυλώνα λόγω του συνόλου των κινητών φορτίων (γ) Αξονικές δυνάµεις στο κατάστρωµα λόγω των µόνιµων φορτίων (δ) Αξονικές δυνάµεις στο κατάστρωµα λόγω κινητών φορτίων στο Σχήµα 11 µεσαίο άνοιγµα.. 59 Μεταβολή των ροπών κάµψης κατά µήκος του καταστρώµατος οι οποίες βρέθηκαν µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα για διάφορες φορτίσεις 61 Σχήµα 12 Περιβάλλουσα ροπών κάµψης κατά µήκος του καταστρώµατος... Σχήµα 13 Μεταβολή των ροπών κάµψης καθ ύψος του πυλώνα που βρέθηκαν µε 62 Σχήµα 14 το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα για διάφορες φορτίσεις.. 64 Περιβάλλουσα των ροπών κάµψης καθ ύψος του πυλώνα 65 Σχήµα 15 Σχήµα 16α Σχήµα 16β Βυθίσεις κατά µήκος του καταστρώµατος για τρεις περιπτώσεις φόρτισης... 67 Ανάλυση ολόκληρης της γέφυρας για την Π.Φ. 1010. Ελαστική γραµµή και διαγράµµα ελευθέρου σώµατος (Σύγκριση των αποτελεσµάτων του δικτυωτού προσοµοιώµατος λαµβάνοντας υπόψη τη γεωµετρική µη γραµµικότητα των καλωδίων σε σχέση µε τα αποτελέσµατα όπου δεν λαµβάνεται υπόψη η γεωµετρική µη γραµµικότητα των καλωδίων). 69 υνάµεις όλων των καλωδίων για Π.Φ. 1010. (Σύγκριση των αποτελεσµάτων του δικτυωτού προσοµοιώµατος λαµβάνοντας υπόψη τη γεωµετρική µη γραµµικότητα των καλωδίων σε σχέση µε τα αποτελέσµατα του δικτυωτού προσοµοιώµατος όπου δεν λαµβάνεται υπόψη η γεωµετρική µη γραµµικότητα των καλωδίων). 70 8
Σχήµα 17α Σχήµα 17β Ανάλυση ολόκληρης της γέφυρας για την Π.Φ. 1010. Ελαστική γραµµή και διαγράµµα ελευθέρου σώµατος.σύγκριση των αποτελεσµάτων του δικτυωτού προσοµοιώµατος όπου δεν λαµβάνεται υπόψη ο ερπυσµός του σκυροδέµατος σε σχέση µε τα αποτελέσµατα του δικτυωτού προσοµοιώµατος όπου λαµβάνεται υπόψη ο ερπυσµός του σκυροδέµατος µε τιµή φ=2, E c = E cο / (1+ φ) = E cο /3... 72 υνάµεις όλων των καλωδίων για Π.Φ. 1010 (Σύγκριση των αποτελεσµάτων του δικτυωτού προσοµοιώµατος όπου δεν λαµβάνεται υπόψη ο ερπυσµός του σκυροδέµατος σε σχέση µε τα αποτελέσµατα του δικτυωτού προσοµοιώµατος όπου λαµβάνεται υπόψη ο ερπυσµός του σκυροδέµατος µε τιµή φ=2, E c = E cο / (1+ φ) = E cο /3... 73 Σχήµα 18α Χαλάρωση του εξωτερικού καλωδίου στήριξης, του πλευρικού ανοίγµατος, που ονοµάζεται back stay, και η ρύθµιση της προέντασης του παίζει σηµαντικό ρόλο στην παραµόρφωση ολόκληρης της καλωδιωτής γέφυρας 75 Σχήµα 18β Αυξηµένη τάση (υπέρταση) του εξωτερικού καλωδίου στο κεντρικό άνοιγµα. 76 Σχήµα 18γ Ανεµοπίεση κατά Χ κάθετα στο επίπεδο των καλωδίων 77 Σχήµα 19α Ανάλυση ολόκληρης της γέφυρας για την Π.Φ. 1010. Ελαστική γραµµή και διαγράµµα ελευθέρου σώµατος. Σύγκριση αποτελεσµάτων δικτυωτού προσοµοιώµατος µε αυτά του προγράµµατος ANSYS... 80 Σχήµα 19β υνάµεις όλων των καλωδίων για Π.Φ. 1010. Σύγκριση τιµών του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος µε αυτές του προγράµµατος ANSYS... 81 Σχήµα 19γ Σύγκριση της µεταβολής των ροπών κάµψης καθ ύψος των πυλώνων που βρέθηκαν µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα σε σχέση µε αυτές του προγράµµατος ANSYS (για την Π.Φ. 1010).. 82 Σχήµα 19δ Σύγκριση της µεταβολής των ροπών κάµψης κατά µήκος του καταστρώµατος που βρέθηκαν µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα σε σχέση µε αυτές του προγράµµατος ANSYS (για την Π.Φ. 1010). 83 Σχήµα 20 Λογικό διάγραµµα αλγόριθµου βαθµιαίας φόρτισης δικτυωτού προσοµοιώµατος 106 Σχήµα 21 εδοµένα (στοιχεία εισόδου) της εφαρµογής... 122 Σχήµα 22 ιακριτοποίηση της γέφυρας µε λίγα καλώδια. 123 Σχήµα 23 Ελαστική γραµµή και.ε.σ. για µόνιµα φορτία 138 Σχήµα 24 ιακριτοποίηση όλης της γέφυρας µε πολλά καλώδια.. Σχήµα 25α Ανάλυση όλης της γέφυρας για την Π.Φ. 1010. Ελαστική γραµµή και 141 διάγραµµα ελευθέρου σώµατος.. 244 Σχήµα 25β Μεταβολή των ροπών κάµψης καθ ύψος των πυλώνων που βρέθηκαν µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα για την Π.Φ. 1010.. 245 Σχήµα 25γ Μεταβολή των ροπών κάµψης κατά µήκος του καταστρώµατος οι οποίες βρέθηκαν µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα για την Π.Φ. 1010.. 246 9
Κατάλογος Πινάκων Σελίδες Πίνακας 1 Σύγκριση των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος µε τα αντίστοιχα των προγραµµάτων ANSYS,STRAND,SAP2000 για τη δοκό και τη φόρτιση του σχ. 2ε... 35 Πίνακας 2 Αξονικές δυνάµεις των καλωδίων στη µισή γέφυρα, που προκύπτουν µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα των πολλών καλωδίων για έξι περιπτώσεις φόρτισης 55 Κατάλογος Φωτογραφιών Σελίδες Φώτο 1 Γέφυρα Ευρίπου... 14 Φώτο 2 Γέφυρα Ρίου Αντιρίου 15 Φώτο 3 Γέφυρα Βοσπόρου. 16 Φώτο 4 Γέφυρα Ευρίπου... 41 10
Α. Λατινικοί A Β = (Β ik ) i= 1 n n, k= 1..n b c = {c x c y } c n = {- c y c x } c s c t E I K E K G K g K l l l ο N n b n n Β. Ελληνικοί ν ρ φ Συµβολισµοί Εµβαδόν διατοµής Μητρώο συνδεσµολογίας Boole Συνιµήτονα κατεύθυνσης του άξονα της ράβδου Συνιµήτονα κατεύθυνσης κάθετα στον άξονα της ράβδου Συντελεστές ευστάθειας Μέτρο ελαστικότητας Ροπή αδράνειας της διατοµής Μητρώο ελαστικής δυσκαµψίας Μητρώο γεωµετρικής δυσκαµψίας Καθολικό µητρώο δυσκαµψίας Τοπικό µητρώο δυσκαµψίας Μήκος του στοιχείου Απαραµόρφωτο µήκος του στοιχείου Αξονική δύναµη Αριθµός ράβδων Αριθµός κόµβων Λόγος του Poisson Ειδικό βάρος Συντελεστής ερπυσµού 11
Περίληψη Ένα στοιχείο δοκού προσοµοιώνεται µε ένα επίπεδο δικτύωµα, που εµφανίζει την ίδια δυσκαµψία και δυστένεια. Χρησιµοποιείται ένα σύντοµο πρόγραµµα ΗΥ για τη µη γραµµική στατική ανάλυση ενός επίπεδου δικτυωτού προσοµοιώµατος ενός φορέα από δοκούς µε βαθµιαία φόρτιση. Οι γεωµετρικές µη γραµµικότητες, λόγω των µεγάλων µετακινήσεων που αλληλεπιδρούν µε τις µεγάλες αξονικές δυνάµεις, λαµβάνονται υπόψη µε την κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας ως προς το παραµορφωµένο δικτύωµα. Το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και το πρόγραµµα ΗΥ χρησιµοποιούνται αρχικά για να προβλέψουν τις παραµορφώσεις και τις αντιδράσεις απλών δοκών. Κατόπιν, εφαρµόζονται σε µια τυπική καλωδιωτή γέφυρα µεσαίου µεγέθους µε κατάστρωµα διατοµής πλάκας. Χρησιµοποιείται ένα µοντέλο πολλών καλωδίων, όπου κάθε καλώδιο του µοντέλου αντιπροσωπεύει ένα µεµονωµένο καλώδιο της πραγµατικής γέφυρας. Αυτό το λεπτοµερές µοντέλο µπορεί µε ακρίβεια να περιγράψει τις µικρές ροπές κάµψης και παραµορφώσεις του καταστρώµατος, οι οποίες επιτρέπουν τη χρήση µίας διατοµής λεπτής πλάκας. Τα αποτελέσµατα της στατικής ανάλυσης της γέφυρας µε τη βοήθεια του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος και του προγράµµατος ΗΥ συγκρίνονται α)µε τα αντίστοιχα δηµοσιευµένα αποτελέσµατα για την ίδια γέφυρα που δίνονται από τους. Walther et al (1999), όσον αφορά τις αξονικές δυνάµεις και τις ροπές κάµψης στον πυλώνα και το κατάστρωµα, καθώς επίσης και τις βυθίσεις του καταστρώµατος, για διάφορους συνδυασµούς κινητών φορτίων, και β) µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα της επίλυσης της ίδιας γέφυρας µε το πρόγραµµα ANSYS V11 για την φόρτιση (ΠΦ 1010) όσον αφορά το διάγραµµα ελευθέρου σώµατος, τις αξονικές δυνάµεις των καλωδίων, την ελαστική γραµµή, τις ροπές κάµψης καθ ύψος του πυλώνα, τις ροπές κάµψης κατά µήκος του καταστρώµατος και βρίσκονται σε ικανοποιητική προσέγγιση µε αυτά. Έτσι, το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και το πρόγραµµα ΗΥ αποδεικνύονται αξιόπιστα και µπορούν να χρησιµοποιηθούν στον προκαταρκτικό σχεδιασµό των καλωδιωτών γεφυρών. Λέξεις κλειδιά: Καλωδιωτή γέφυρα. ιατοµή λεπτής πλάκας του καταστρώµατος. Επίπεδο δικτυωτό προσοµοίωµα. Μη γραµµική στατική ανάλυση. Γεωµετρικές µη γραµµικότητες. Προσοµοίωµα πολλών καλωδίων. Προένταση καλωδίων. Προκαταρκτικός σχεδιασµός. Χρόνος υπολογισµού. 12
Summary A beam element is simulated by a plane truss which exhibits the same axial and flexural stiffness. A short computer program is used for the nonlinear static analysis of a plane truss model of a beam structure by incremental loading. The geometric nonlinearities because of the large displacements who interact with the large axial forces are taken into account by writing the equilibrium conditions with respect to the deformed truss. The proposed truss model and computer program are first used in order to predict the displacements and reactions of simple beam structures. Then, they are applied on a typical cable-stayed bridge of medium size with a deck of a slender plate section. A multi-cable model is used, where every cable of the model represents one individual cable of the real bridge. This detailed model can accurately describe the small bending moments and deformations of the deck, which allow the use of a slender plate section. The results of the static analysis of the bridge by use of the proposed truss model and computer program are compared: a) with corresponding published results for the same bridge presented by Walther et als (1999), as regards axial forces and bending moments in pylons and deck, as well as the displacements of the deck, for various combinations of live loads, and b) with corresponding results of the analysis of the same bridge by the program ANSYS V11 for an unfavourable non symmetric live loading (L.C. 1010), as regards the free body diagram, the axial forces of the cables, the deformed configuration of the structure, the bending moments over the pylon and along the deck. And a satisfactory approximation between the corresponding results, is observed. So the proposed truss model and computer program are proved reliable and can be used in the preliminary design of cable-stayed bridges. Keywords: Cable-stayed bridge; Slender plate section of the deck; Plane truss model; Nonlinear static analysis; Geometric nonlinearities; Multi-cable model; Cable pretension; Preliminary design; Computing time. 13
Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 ο. Εισαγωγή 1.1 Γενικά για τις καλωδιωτές γέφυρες Τα τελευταία τριάντα χρόνια, πολλές καλωδιωτές γέφυρες έχουν κατασκευαστεί σε πολλές χώρες, λόγω των πλεονεκτηµάτων τους, τα οποία είναι η ελαφριά κατασκευή, η οικονοµία, η εύκολη ανέγερση και η αισθητική όπως αναφέρουν οι Walther et al. (1999) και Virlogeux M.(1999). Στη χώρα µας έχουν κατασκευασθεί δύο καλωδιωτές γέφυρες. Η πρώτη είναι στον πορθµό του Ευρίπου, στη Χαλκίδα η οποία κατασκευάσθηκε το 1993 η οποία έχει δύο πυλώνες και τρία ανοίγµατα. Το µεσαίο άνοιγµα είναι 200 m και τα ακραία ανοίγµατα 100 m το καθένα. Έτσι η γέφυρα έχει συνολικά 400 m άνοιγµα. Οι πυλώνες έχουν ύψος 30 m κάτω από το κατάστρωµα και 51 m περίπου πάνω από αυτό. Το κατάστρωµα έχει πάχος 45 cm και τα καλώδια έχουν διάταξη ηµιριπιδίου. (φωτ. 1) φωτο 1: Γέφυρα Ευρίπου Η γέφυρα σχεδιάστηκε από τον δρ. Σταµάτη Σταθόπουλο και το Γερµανό καθηγητή Jorg Schlaich. 14
Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή Η δεύτερη καλωδιωτή γέφυρα στην Ελλάδα είναι του Ρίου Αντιρίου η οποία περατώθηκε το 2004 και έχει τέσσερις πυλώνες και πέντε ανοίγµατα και συνολικό µήκος 2.300 m και είναι η µεγαλύτερη καλωδιωτή γέφυρα στο κόσµο.( φωτ.2) φωτο 2: Γέφυρα Ρίου - Αντιρίου Υπάρχουν και οι κρεµαστές γέφυρες που είναι παλαιάς τεχνολογίας µε κατακόρυφα καλώδια και είναι πιο βαριές κατασκευές σε αντίθεση µε τη νέα τεχνολογία των καλωδιωτών γεφυρών µε τα κεκλιµένα καλώδια οι οποίες είναι πολύ ελαφριές. Κρεµαστές γέφυρες υπάρχουν κατασκευασµένες σ όλο τον κόσµο και µεγαλύτερου µήκους από του Ρίου Αντιρίου (πχ του Βοσπόρου) (φώτο 3). 15
Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή φωτο 3: Γέφυρα Βοσπόρου Τόσο ο στατικός όσο και ο δυναµικός υπολογισµός των καλωδιωτών γεφυρών εµφανίζει ιδιαίτερα προβλήµατα όπως: α) η θεµελίωση των πυλώνων στον πυθµένα της θάλασσας (Reis et al. 2004) β) ο πτερυγισµός (fluttering) του καταστρώµατος λόγω ανεµοπίεσης εξαιτίας του οποίου έχουν καταρρεύσει καλοσχεδιασµένες γέφυρες όπως η Takoma Bridge γι αυτό η διατοµή του καταστρώµατος πρέπει να έχει αεροδυναµικό σχήµα σύµφωνα µε τους Cheng et al. (2009) και Cheng Su_ et al. (2007) γ) οι µεγάλες ταλαντώσεις των καλωδίων λόγω κίνησης οχηµάτων καθώς και ο καλπασµός τους (galloping) λόγω ανέµου και βροχής σύµφωνα µε τους Gu et al. (2008) δ) η αγκύρωση των καλωδίων στον πυλώνα µε τη βοήθεια µεταλλικών πλαισίων και µεταλλικών βλήτρων σύµφωνα µε τους Reis et al.(2004). 16
Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή 1.2 Σύντοµη περιγραφή του προβλήµατος Οι µη γραµµικότητες του στατικού υπολογισµού των καλωδιωτών γεφυρών είναι: A) γεωµετρικές µη γραµµικότητες και B)µη γραµµικότητες υλικού. Οι γεωµετρικές µη γραµµικότητες είναι: 1) Λόγω κρέµασης των καλωδίων που οφείλεται στο ίδιο βάρος που έχει ως συνέπεια τη µείωση της δυστένειας τους. 2) Λόγω µεγάλων µετακινήσεων οι οποίες απαιτούν για την επίλυση, µέθοδο βαθµιαίας φόρτισης και σε κάθε βήµα της φόρτισης απαιτείται επίσης οι συνθήκες ισορροπίας να γράφονται ως προς τον παραµορφωµένο φορέα και να ενηµερώνεται το µητρώο δυσκαµψίας ως προς το παραµορφωµένο φορέα. Συνέπεια των µεγάλων µετακινήσεων είναι και η αλληλεπίδραση αξονικής δύναµης και ροπών κάµψης (φαινόµενα P ). ηλαδή πρόκειται για δευτερογενείς ροπές (αξονική δύναµη επί πλευρική µετακίνηση). Και αυτό συµβαίνει επειδή τόσο το κατάστρωµα όσο και οι πυλώνες των καλωδιωτών γεφυρών δέχονται σηµαντικές αξονικές θλιπτικές δυνάµεις από τα καλώδια και λόγω των µεγάλων µετακινήσεων κυρίως του καταστρώµατος αλλά και του πυλώνα αναπτύσσεται σηµαντική αλληλεπίδραση ροπών κάµψης αξονικών δυνάµεων (φαινόµενα P ). Όσον αφορά τη γραµµικότητα υλικού: Στην παρούσα διατριβή λαµβάνεται υπόψη η πιο συνήθης µη γραµµικότητα νόµου τάσεως παραµόρφωσης υλικού η οποία εµφανίζεται στις καλωδιωτές γέφυρες που είναι η χαλάρωση των καλωδίων σε περίπτωση θλίψης. 17
Κεφάλαιο 2 ο Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής Κεφάλαιο 2 ο. Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατρβής 2.1 Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας Συνήθως η στατική ανάλυση των καλωδιωτών γεφυρών ανάγεται σε δισδιάστατη. Στη βιβλιογραφία έχει βρεθεί µόνο µία ανάλυση µε τρισδιάστατη ανάλυση (Nazmy et als 1991) η οποία είναι αρκετά πολύπλοκη και δεν προσθέτει πολλές πρόσθετες πληροφορίες σε σχέση µε την επίπεδη ανάλυση. Μόνο η εξέταση του πυλώνα εµφανίζει ενδιαφέρον στο εγκάρσιο επίπεδο λόγω σεισµού, όµως πάλι µε δισδιάστατη ανάλυση (Walther R et al. 1999). Τα τελευταία χρόνια έχουν ασχοληθεί αρκετοί ερευνητές τόσο µε τη µη γραµµική επίπεδη ανάλυση των καλωδιωτών γεφυρών όπως οι: Walther et al. (1999), Wang et al. (1996), Wang et al.(1993), Fleming (1979), Simoes et al. (1994), Freire et al. (2006), Wang et al. (2002) και Wang et al. (2004) όσο και µε τη µη γραµµική δυναµική επίπεδη ανάλυση καλωδιωτών γεφυρών όπως οι Wu et al. (2003) οι οποίοι εξέτασαν και τη χαλάρωση των καλωδίων. Η µείωση του µέτρου ελαστικότητας των καλωδίων λόγω κρέµασης που οφείλεται στο ίδιο βάρος υπολογίζεται συνήθως µε τον τύπο του Ernst (1965). Σε όλες τις πιο πάνω εργασίες λόγω των µεγάλων µετακινήσεων κυρίως του καταστρώµατος αλλά και των πυλώνων χρησιµοποιείται ο αλγόριθµος βαθµιαίας φόρτισης ενώ στη δυναµική ανάλυση χρησιµοποιείται ο αλγόριθµος βήµα προς βήµα χρονικής ολοκλήρωσης (Wu et al. 2003). Σε κάθε βήµα των πιο πάνω αλγορίθµων καταστρώνονται οι συνθήκες στατικής ισορροπίας ως προς τον παραµορφωµένο φορέα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι προκειµένου για στοιχεία δοκών ή άλλα πεπερασµένα στοιχεία η κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας και η ενηµέρωση των µητρώων δυσκαµψίας ως προς τον παραµορφωµένο φορέα είναι αρκετά πολύπλοκη. Ως απόδειξη των πιο πάνω αξίζει να αναφερθεί ότι η αλληλεπίδραση αξονικής δύναµης - ροπών κάµψης (φαινόµενα P ) αντιµετωπίζεται µε τη βοήθεια µητρώων δυσκαµψίας όπου χρησιµοποιούνται οι λεγόµενοι συντελεστές ευστάθειας, από τους Wang et al. (1996), Wang et al.(1993), Fleming (1979), Ghali et al. (1978), Simoes et al. (1994), Freire et al. (2006), Wang et al. (2002), και Wang et al. (2004), οι οποίοι έχουν αρκετά πολύπλοκη µορφή και στις σχετικές συναρτήσεις επισέρχονται ακόµη και υπερβολικά ηµίτονα και συνηµίτονα. Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι Wang et al. (1996), Wang et al. (1993), Wang et al. (2002) και Wang 18
Κεφάλαιο 2 ο Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής et al. (2004), παρόλο που έχουν πλήρως τεκµηριωµένες εφαρµογές, επειδή χρησιµοποιούν την παραπάνω πολύπλοκη µέθοδο, στις δηµοσιεύσεις τους οι εφαρµογές αυτές είναι πολύ απλές. Επίσης οι Simoes et al. (1994), Freire et al. (2006) που χρησιµοποιούν την ίδια µέθοδο δεν έχουν πλήρη στοιχεία για τις αριθµητικές τους εφαρµογές και στις εφαρµογές τους έχουν µόνο συµµετρικές φορτίσεις. Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων που εµφανίστηκε τη δεκαετία του 1960 (Zienkiewich et al 1989) συγχρόνως µε την επέκταση της χρήσης ΗΥ έφερε µια επανάσταση στην ανάλυση των κατασκευών διότι επέτρεψε την επίλυση φορέων µε τυχούσα γεωµετρία, συνδεσµολογία και φόρτιση. Όσον αφορά τη µη γραµµική συµπεριφορά των φορέων (γεωµετρική και υλικού) υπήρξαν κάποια προβλήµατα στην αντιµετώπιση της συµπεριφοράς αυτής µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων τα οποία εξετάσθηκαν σε µία σειρά διεθνών συνεδρίων (Argyris et al. 1984). ηλαδή τα συνήθη πεπερασµένα στοιχεία έχουν πολύπλοκα µητρώα δυσκαµψίας τα οποία δηµιουργούν δυσκολίες ιδιαίτερα κατά τον υπολογισµό των µη γραµµικών προβληµάτων. Η ράβδος ενός δικτυώµατος είναι το πεπερασµένο στοιχείο µε το απλούστερο µητρώο δυσκαµψίας και έτσι ολόκληρο το δικτύωµα έχει πολύ απλό µητρώο δυσκαµψίας. Μια ράβδος µπορεί πολύ απλά να περιγράψει το µονοαξονικό µη γραµµικό νόµο τάσης παραµόρφωσης ενός υλικού κάτι που είναι αρκετά δύσκολο στα δισδιάστατα ή τρισδιάστατα πεπερασµένα στοιχεία. Επίσης σ ένα δικτύωµα µπορεί πολύ απλά µε τη βοήθεια των νέων συντεταγµένων των κόµβων να καταστρωθούν οι συνθήκες ισορροπίας ως προς τον παραµορφωµένο φορέα και να ενηµερωθεί το καθολικό µητρώο δυσκαµψίας. Για τους πιο πάνω λόγους που φανερώνουν την απλότητα των δικτυωτών προσοµοιωµάτων (truss models), αυτά χρησιµοποιούνται ολοένα και περισσότερο τελευταία εναλλακτικά προς τα πεπερασµένα στοιχεία (Absi 1978, Sclaich et al. 1991, ASCE ACI Committee on shear and torsion 1998, Bazant 1997, Papadopoulos et al. 1988, Papadopoulos et al. 1999, Fraternali et al. 2002, Goel et al. 1997). Ο Γάλλος ακαδηµαϊκός Absi, στο βιβλίο του Calcul Numerique en Elasticite, Eurolles, Paris, 1978 διαπιστώνει ότι τα δικτυωτά προσοµοιώµατα, ενώ είναι πολύ απλούστερα δίνουν ισοδύναµα αποτελέσµατα µε τα πεπερασµένα στοιχεία (theorie des equivalences). Οι Sclaich et al. (1991) υπήρξαν από τους πρωτοπόρους που προτείνουν τη χρήση δικτυωτών προσοµοιωµάτων στις κατασκευές σιδηροπαγούς σκκυροδέµατος και τα ονόµασε «strut-and-tie 19
Κεφάλαιο 2 ο Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής models» δηλαδή προσοµοιώµατα µε θλιπτήρες σκυροδέµατος και ελκυστήρες χάλυβα και µάλιστα εισήγαγε αυτά τα προσοµοιώµατα στο Beton Kalender. Εξάλλου το 1998 οι συνεργαζόµενες Επιτροπές του ASCE και ACI για διάτµηση και στρέψη (ASCE ACI Committee on shear and torsion) πρότειναν ως πλέον κατάλληλο προσοµοίωµα για τις κατασκευές σκυροδέµατος το δικτυωτό προσοµοίωµα (truss model) (ASCE ACI Committee on shear and torsion 1998). Οι Goel et al. (1997) εφάρµοσαν το δικτυωτό προσοµοίωµα σε µεταλλικές κατασκευές. Ο Π. Παπαδόπουλος χρησιµοποίησε δικτυωτά προσοµοιώµατα τόσο για τον δυναµικό αντισεισµικό υπολογισµό πλαισίων οπλισµένου σκυροδέµατος (Papadopoulos et al. 1988) όσο και για την ερµηνεία του φαινοµένου περίσφιξης στύλου σκυροδέµατος µε βάση την έννοια της δοµικής αστάθειας (γεωµετρική µη γραµµικότητα του σκυροδέµατος) (Papadopoulos et al. 1999). Τα δικτυωτά προσοµοιώµατα αποδείχθηκαν αξιόπιστα διότι τα αποτελέσµατα που προέκυψαν µε αυτά συγκρίθηκαν µε άλλα δηµοσιευµένα πειραµατικά (Papadopoulos et al. 1988) και υπολογιστικά αποτελέσµατα καθώς και µε απαιτήσεις των κανονισµών (Papadopoulos et al. 1999). 2.2 Σκοπός της παρούσας διατριβής Χρησιµοποιείται δικτυωτό προσοµοίωµα για το µη γραµµικό στατικό υπολογισµό καλωδιωτής γέφυρας, οπότε σε κάθε βήµα της βαθµιαίας φόρτισης πολύ απλά µπορεί να γίνει η κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας της προς τον παραµορφωµένο φορέα καθώς και να ενηµερωθεί το µητρώο δυσκαµψίας. Αποφεύγεται έτσι η χρησιµοποίηση των πολύπλοκων µητρώων δυσκαµψίας µε τους λεγόµενους συντελεστές ευστάθειας. Ενδεικτικό για την πολυπλοκότητα των παραπάνω µητρώων δυσκαµψίας είναι, ότι όταν λαµβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση αξονικής δύναµης µεγάλων µετακινήσεων, στη δηµηµιουργία δευτερογενών ροπών κάµψης (φαινόµενα P ) το µητρώο δυσκαµψίας, σύµφωνα µε τους Wang et al. (1996), Wang et al. (1993), Fleming (1979), Ghali et al. (1978), Simoes et al. (1994), Freire et al. (2006), Wang et al.(2002) και Wang (2004), είναι: 20
Κεφάλαιο 2 ο Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής EI C s C t 0 K = [KE] = C t C s 0 l 0 0 R t (A/I) όπου C s και C t καλούνται οι συντελεστές ευστάθειας, Ε είναι το µέτρο ελαστικότητας, Ι η ροπή αδράνειας της διατοµής, και l το µήκος του στοιχείου. Οι συντελεστές ευστάθειας και η σταθερά R t υπολογίζονται ανάλογα µε την αξονική δύναµη του στοιχείου S 3 και τις ροπές S 1 και S 2 στα άκρα του. (i) για θλιπτική αξονική δύναµη S 3 < 0 C s = C t = J [sin(j) J cos(j)] 2 2cos (J) J sin(j) J [J - sin(j)] 2 2cos (J) J sin(j) 1 S 3 R t = όπου J = l EAR cm EI 1-4S 3 3 l 2 R cm = J (S 2 1 + S 2 2 ) [cot(j) + Jcsc 2 (J)] 2(S 1 + S 2 ) 2 + (S 1 S 2 ) [1+J cot(j)][2jcsc(j)] (ii) για εφελκυστική αξονική δύναµη S 3 > 0 C s = C t = J [cosh(j) J sinh(j)] 2 2cosh(J) + J sinh(j) J [sinh(j) - J] 2 2cosh(J) + J sinh(j) 21
Κεφάλαιο 2 ο Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής 1 S 3 R t = όπου J = l EAR tm EI 1-4S 3 3 l 2 R tm = J (S 1 2 + S 2 2 ) [coth(j) + Jcosh 2 (J)] 2(S 1 + S 2 ) 2 + (S 1 S 2 ) [1+J coth(j)][2jcosh(j)] Σε αντίθεση µε το πιο πάνω πολύπλοκο µητρώο δυσκαµψίας στοιχείου δοκού, το δικτυωτό στοιχείο εµφανίζει το εξής πολύ απλό µητρώο δυσκαµψίας. EA c 2 x c x c y N c 2 y - c x c y K l = K E + K G = + l o c x c y c 2 y l - c x c y c 2 x Όπου K E είναι ελαστική δυσκαµψία, K G γεωµετρική δυσκαµψία, E µέτρο ελαστικότητας, Α εµβαδόν διατοµής, l ο απαραµόρφωτο µήκος της ράβδου, c = {c x c y } συνηµίτονα κατεύθυνσης του άξονα της ράβδου, c n = {- c y c x } συνηµίτονα κατεύθυνσης κάθετα στον άξονα της ράβδου, Ν αξονική δύναµη (όπου η εφελκυστική δύναµη θεωρείται θετική) και l είναι το παρόν µήκος του άξονα της ράβδου. Χρησιµοποιείται ένα σύντοµο πρόγραµµα ΗΥ για τη στατική ανάλυση µε βαθµιαία φόρτιση ενός δικτυωτού προσοµοιώµατος καλωδιωτής γέφυρας. Λαµβάνεται υπόψη η χαλάρωση των καλωδίων σε περίπτωση θλίψης ενώ για τη µείωση της ισοδύναµης δυστένειας των καλωδίων λόγω κρέµασης από το ίδιο βάρος χρησιµοποιείται ο τύπος του Ernst (1965). Η προτεινόµενη µέθοδος εφαρµόζεται σε µία τυπική καλωδιωτή γέφυρα τριών ανοιγµάτων συνολικού µήκους 400 m περίπου, παρόµοια µε τη γέφυρα του Ευρίπου. Γίνεται πλήρης τεκµηρίωση του προγράµµατος ΗΥ (Λογικό ιάγραµµα, Κατάλογος Εντολών και Ευρετήριο Συµβόλων, παράδειγµα µε δεδοµένα αποτελέσµατα - διαγράµµατα) και τα αποτελέσµατα της εφαρµογής όσον αφορά το.ε.σ., την ελαστική γραµµή, τις αξονικές δυνάµεις καλωδίων αλλά και τις ροπές κάµψης του καταστρώµατος και του πυλώνα, συγκρίνονται: 1) µε αντίστοιχα δηµοσιευµένα αποτελέσµατα των Walther et al. (1999) 2) µε αποτελέσµατα του προγράµµατος ANSYS V11 και 3) αποτελέσµατα απλοποιηµένων υπολογισµών µε το χέρι. 22
Κεφάλαιο 2 ο Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής 2.3 Περιεχόµενα κεφαλαίων της διατριβής Στο 3 ο κεφάλαιο περιγράφεται το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και δίνονται οι τύποι υπολογισµού του τοπικού µητρώου δυσκαµψίας η οποία αποτελείται από την ελαστική και γεωµετρική δυσκαµψία. Επίσης δίνεται ο τύπος υπολογισµού του καθολικού µητρώου δυσκαµψίας και περιγράφεται σύντοµα το πρόγραµµα ΗΥ για τη µη γραµµική στατική ανάλυση µε βαθµιαία φόρτιση ενός δικτυωτού µοντέλου. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι διατοµές των ράβδων ενός δικτυωτού στοιχείου έτσι ώστε να έχει παρόµοια συµπεριφορά µε αυτή ενός στοιχείου δοκού σε γραµµική ελαστική κατάσταση κατά τη κάµψη καθώς και κατά την επιµήκυνση.επίσης γίνεται στατική επίλυση απλών παραδειγµάτων µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα (αµφιέρειστη δοκός, µονόπακτη δοκός, πρόβολος) και τα αποτελέσµατα συγκρίνονται µε τα αντίστοιχα της θεωρίας δοκών όσον αφορά αντιδράσεις και µετακινήσεις και βρίσκονται σε ικανοποιητική προσέγγιση µε αυτά. Επίσης εξετάζεται µία αµφιαρθρωτή δοκός µε µεγάλο άνοιγµα, λεπτή (µε µικρό ύψος διατοµής) και µεγάλη ένταση φόρτισης. Η δοκός αυτή εµφανίζει µεγάλες µετακινήσεις και µεγάλη αξονική δύναµη και γι αυτό πρέπει να ληφθούν υπόψη οι δευτερογενείς ροπές. Η παραπάνω δοκός επιλύθηκε στατικά τέσσερις φορές πρώτα µε το δικτυωτό προσοµοίωµα και µετά µε τα προγράµµατα ANSYS V11, STRAND V7, SAP2000 V11 και παρατηρήθηκε ικανοποιητική προσέγγιση µεταξύ των αποτελεσµάτων των τεσσάρων επιλύσεων όσο αφορά τη µέγιστη βύθιση στο µέσον της δοκού καθώς και την οριζόντια έλξη της δοκού. Στο 4 ο κεφάλαιο περιγράφονται τα δεδοµένα της κύριας εφαρµογής. Εξετάζεται µια καλωδιωτή γέφυρα παρόµοια µε αυτή του Ευρίπου, δίνονται τα γεωµετρικά στοιχεία της µε τη βοήθεια λεπτοµερών διαγραµµάτων, της πρόσοψης, της κάτοψης και της πλάγιας όψης της γέφυρας. ίνεται ο νόµος τάσεως παραµόρφωσης των καλωδίων που είναι από χάλυβα υψηλής αντοχής, άλλες παράµετροι των υλικών (µέτρα ελαστικότητας, πυκνότητα, βάρος σιδηροπαγούς σκυροδέµατος και χάλυβα καλωδίων) καθώς και η φόρτιση λόγω οχηµάτων. Ακόµη στο κεφάλαιο 4 γίνονται δύο διακριτοποιήσεις της εξεταζόµενης γέφυρας. Στη πρώτη κάθε πέντε (5) πραγµατικά καλώδια αντιστοιχούν σε ένα (1) καλώδιο του δικτυωτού µοντέλου ενώ στη δεύτερη κάθε ένα (1) πραγµατικό καλώδιο αντιστοιχεί σε ένα (1) καλώδιο του δικτυωτού µοντέλου. Και για τις δύο περιπτώσεις γίνεται αρίθµηση των κόµβων και των ράβδων του µοντέλου. Στη πρώτη 23
Κεφάλαιο 2 ο Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής διακριτοποίηση µε τα λίγα καλώδια υπάρχουν µόνο 36 στοιχεία µε 69 ράβδους και 28 κόµβους. Στη δεύτερη διακριτοποίηση υπάρχουν 156 στοιχεία µε 483 ράβδους και 198 κόµβους. Κατόπιν γίνεται µια απλή προεκτίµηση της προέντασης των καλωδίων µε το χέρι θεωρώντας τη διαδικασία ανέργεσης της γέφυρας δηλαδή την ανάρτηση των διαδοχικών τµηµάτων του καταστρώµατος από τα κεκλιµένα καλώδια και αναφέρονται οι περιπτώσεις φόρτισης που πρόκειται να εξεταστούν όπου εκτός από τα µόνιµα φορτία έχουµε και συνδυασµούς κινητών φορτίων λόγω οχηµάτων. Από τη τοποθέτηση ή όχι της κινητής φόρτισης στα 4 επιµέρους ανοίγµατα της γέφυρας προκύπτουν 2 4 = 16 συνδυασµοί φόρτισης. Οι τέσσερις συνδυασµοί φόρτισης είναι συµµετρικές και µπορεί να γίνει η επίλυση στο µισό της συµµετρικής γέφυρας ενώ οι υπόλοιπες 12 φορτίσεις ανάγονται σε 6 γιατί κάθε µία έχει τη συζυγή της που δίνει κατοπτρικά αποτελέσµατα. Οι 6 αυτές περιπτώσεις φόρτισης επιλύονται σε όλο το φορέα διότι λόγω της µη γραµµικότητας του προβλήµατος δεν µπορεί να γίνει επαλληλία συµµετρίας και αντισυµµετρίας στο µισό φορέα. Στο 5 ο κεφάλαιο επιλύεται η γέφυρα για 4 χαρακτηριστικές περιπτώσεις φόρτισης: 1) µόνο µόνιµα φορτία 2) κινητά φορτία στο µεσαίο άνοιγµα 3) κινητά φορτία στα ακραία ανοίγµατα 4) κινητή φόρτιση Π.Φ.1010 και Π.Φ.0101 (συζυγής). Και για τις 4 περιπτώσεις υπολογίζεται και σχεδιάζεται η ελαστική γραµµή, οι εξωτερικές αντιδράσεις στις βάσεις των πυλώνων και στα ακρόβαθρα, οι διπλές εσωτερικές αντιδράσεις στις αρθρωτές συνδέσεις του καταστρώµατος µε τους πυλώνες καθώς και οι αξονικές δυνάµεις των καλωδίων. Ακόµη γίνεται σύγκριση των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού µοντέλου µε αντίστοιχα δηµοσιευµένα στοιχεία από το βιβλίο των Walther et al. (1999) Cable stayed bridges όσον αφορά τα εξής διαγράµµατα λόγω ίδιου βάρους και συνδυασµών κινητών φορτίσεων: 1) αξονικές δυνάµεις στο πυλώνα και το κατάστρωµα 2) ροπές κάµψης κατά µήκος του καταστρώµατος 3) ροπές κάµψης καθύψος του πυλώνα 4) ελαστικές γραµµές του καταστρώµατος. Σ όλες τις περιπτώσεις παρατηρείται ικανοποιητική προσέγγιση µεταξύ των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού µοντέλου και των αντιστοίχων του Rene Walther et al. (1999). Επίσης γίνεται και ανάλυση της γέφυρας χωρίς γεωµετρική γραµµικότητα των καλωδίων για Π.Φ.1010 και φαίνεται ότι η κρέµαση των καλωδίων δεν έχει σηµαντική επιρροή στην µη γραµµική ανάλυση της καλωδιωτής γέφυρας. Ακολουθεί ανάλυση της γέφυρας µε συνεκτίµηση της επιρροής των χρόνιων παραµορφώσεων του σκυροδέµατος (ερπυσµός) για την 24
Κεφάλαιο 2 ο Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής Π.Φ. 1010 (µε συντελεστή ερπυσµού φ=2) και παρατηρείται στα αποτελέσµατα ότι χάρη στην πολύ ευνοική δράση των 60 καλωδίων που διατηρούν το αρχικό µέτρο ελαστικότητας τους, οι µετακινήσεις του φορέα λόγω ερπυσµού του σκυροδέµατος είναι τελικά κάτι λιγότερο από διπλάσιες από τις αρχικές. Σ αυτό το κεφάλαιο γίνεται και ανάλυση µεµονοµένων καλωδίων, διακριτοποιηµένων σε διαδοχικά µικρά τµήµατα, για βαθµιαίες προδιαγεγραµµένες µετατοπίσεις των στηρίξεων τους. Στο 6 ο κεφάλαιο γίνεται σύγκριση των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού µοντέλου για την φόρτιση της γέφυρας ΠΦ 1010 µε τα αντίστοιχα του προγράµµατος ANSYS V11, όσον αφορά τα εξής διαγράµµατα: 1) διάγραµµα ελευθέρου σώµατος (εξωτερικές αντιδράσεις στις βάσεις των πυλώνων και στα ακρόβαθρα, αξονικές δυνάµεις των καλωδίων, 2) ελαστική γραµµή 3)ροπές κάµψης καθύψος του πυλώνα 4)ροπές κάµψης κατά µήκος του καταστρώµατος. Παρατηρείται ικανοποιητική προσέγγιση των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος και των αντιστοίχων του προγράµµατος ANSYS. Στο 7 ο κεφάλαιο εξάγονται συµπεράσµατα από την παρούσα διατριβή. Το 8 ο διατριβή. κεφάλαιο περιέχει τη βιβλιογραφία (κύρια και γενικότερη) στην οποία αναφέρεται η Στο Παράστηµα Α της ιατριβής δίνεται η τεκµηρίωση του χρησιµοποιούµενου σύντοµου προγράµµατος ΗΥ για το µη γραµµικό στατικό υπολογισµό του δικτυωτού προσοµοιώµατος µε βαθµιαία φόρτιση. Στο υποκεφάλαιο 1 δίνεται το λογικό διάγραµµα του αλγορίθµου (διάγραµµα ροής). Στο υποκεφάλαιο 2 δίνεται ο κατάλογος των εντολών του προγράµµατος. Στο υποκεφάλαιο 3 δίνεται αλφαβητικό ευρετήριο µε επεξήγηση των συµβόλων. Στο υποκεφάλαιο 4 επιλύεται το µοντέλο µε τα λίγα καλώδια µόνο λόγο ίδιου βάρους. ίνονται αρχικά τα δεδοµένα, γίνεται η διακριτοποίηση του φορέα, ετοιµάζονται τα στοιχεία εισόδου του 25
Κεφάλαιο 2 ο Κριτική επισκόπηση προηγούµενων εργασιών και σκοπός της παρούσας διατριβής ΗΥ (input data) και τέλος παρουσιάζονται τα στοιχεία εξόδου του ΗΥ (output data) και µε βάση αυτά σχεδιάζεται η ελαστική γραµµή και το διάγραµµα ελευθέρου σώµατος. Στο υποκεφάλαιο 5 επιλύεται το µοντέλο µε τα πολλά καλώδια για την Π.Φ. 1010, περιγράφονται τα δεδοµένα, γίνεται η διακριτοποίηση του φορέα, ετοιµάζονται τα στοιχεία εισόδου του ΗΥ (input data) και τέλος παρουσιάζονται τα στοιχεία εξόδου του ΗΥ (output data) και µε βάση αυτά σχεδιάζονται: 1) το διάγραµµα ελευθέρου σώµατος 2) η ελαστική γραµµή 3) οι ροπές κάµψης καθύψος των πυλώνων και 4) οι ροπές κάµψης κατά µήκος του καταστρώµατος. Στο παράστηµα Β της διατριβής δίνεται µία σύντοµη περιγραφή της προετοιµασίας των δεδοµένων του προβλήµατος για το πρόγραµµα ANSYS V11 προκειµένου να γίνει η επίλυση της γέφυρας για την Π.Φ. 1010 26
Κεφάλαιο 3 ο Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς Κεφάλαιο 3 ο. Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς 3.1. Το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα Στη διδιάστατη στατική ανάλυση, το τοπικό µητρώο δυσκαµψίας µιας µεµονωµένης ράβδου, ως προς ένα σύστηµα αναφοράς X Y µπορεί να γραφτεί, EA N EA c 2 x c x c y N c 2 y - c x c y K l = K E + K G = c c t + c n c n t = + l o l l o c x c y c 2 y l - c x c y c 2 x Όπου K E είναι ελαστική δυσκαµψία, K G γεωµετρική δυσκαµψία, E µέτρο ελαστικότητας, Α εµβαδόν διατοµής, l ο απαραµόρφωτο µήκος της ράβδου, c = {c x c y } συνηµίτονα κατεύθυνσης του άξονα της ράβδου, c n = {- c y c x } συνηµίτονα κατεύθυνσης κάθετα στον άξονα της ράβδου, Ν αξονική δύναµη (όπου η εφελκυστική δύναµη θεωρείται θετική) και l είναι το παρόν µήκος του άξονα της ράβδου. Το καθολικό µητρώο δυσκαµψίας ενός δικτυώµατος µπορεί να γραφεί: K g = B diag (k li ) B t i = 1..n b Όπου Β = (Β ik ) i= 1 n n, k= 1..n b µητρώο συνδεσµολογίας Boole, n n αριθµός των κόµβων, n b αριθµός των ράβδων. Τυχόν στοιχείο Β ik του µητρώου Β, είναι ίσο µε -1 εάν το i είναι αριστερός κόµβος της ράβδου k, +1 εάν το i είναι δεξιός κόµβος της ράβδου k, και 0 εάν δεν υπάρχει καµία σύνδεση µεταξύ της ράβδου k και του κόµβου i. Έχει συνταχθεί ένα σύντοµο πρόγραµµα Η/Υ, µε 200 εντολές FORTRAN περίπου, για τη µη γραµµική στατική ανάλυση ενός δικτυωτού µοντέλου µε την τεχνική βαθµιαίας φόρτισης. Σ αυτό το πρόγραµµα, σ εκείνες τις ράβδους του δικτυώµατος που έχουν δηλωθεί ως καλώδια, δίνεται το ισοδύναµο µέτρο ελαστικότητας E eq του Ernst (1965), λόγω της κρέµασης των καλωδίων που οφείλεται στο ίδιο βάρος τους. Αυτό το E eq υπολογίζεται για κάθε καλώδιο, µέσα σε κάθε βήµα της βαθµιαίας φόρτισης, µε µια γρήγορη επαναληπτική διαδικασία. 27
Κεφάλαιο 3 ο Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς 3.2. Υπολογισµός των διατοµών των ράβδων του µοντέλου Θα προσοµοιωθεί ένα στοιχείο δοκού (σχ. 1α) µε ένα ορθογώνιο δικτυωτό στοιχείο (σχ. 1β) και δίνεται προσοχή ώστε να έχει το προσοµοίωµα την δυσκαµψία και τη δυστένεια της δοκού. Θεωρώντας την περίπτωση της καθαρής κάµψης, έχουµε για το στοιχείο της δοκού (σχ. 1γ) φ (rad) = Ml/EJ όπου J = bd 3 /12 και για το στοιχείο του δικτυώµατος (σχ. 1δ) φ = 2 l/d µε µηδενικές δυνάµεις των διαγώνιων και εγκάρσιων ράβδων, όπου l = S 1 l/ea 1 και S 1 = M/d. Από το συνδυασµό αυτών των εξισώσεων προκύπτει ο τύπος Α 1 = bd/6, ο όποιος εξασφαλίζει ότι το δικτυωτό στοιχείο έχει την ίδια δυσκαµψία µε το αντίστοιχο στοιχείο της δοκού. 28
Κεφάλαιο 3 ο Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς Συγχρόνως, οι ακραίες ορθές τάσεις που εµφανίζονται στην δοκό σ = ±M / W, µε W = bd 2 /6, είναι ίσες µε τις αξονικές τάσεις που εµφανίζονται στις δύο διαµήκεις ράβδους του στοιχείου του δικτυώµατος σ = ± S 1 /A 1 = ± (M/d)/(bd/6). Προκειµένου να αποκτήσει το στοιχείο δικτυώµατος την δυστένεια της δοκού, υπάρχουν δύο απλές εναλλακτικές τεχνικές. Θα αποδειχθεί ότι η πρώτη (τεχνική), βασισµένη στην θεώρηση των στερεών εγκάρσιων ράβδων του δικτυωτού στοιχείου (σχ 1ε), είναι κατάλληλη για επιµήκη στοιχεία δοκών, ενώ η δεύτερη (τεχνική) βασισµένη στην θεώρηση των στερεών διαγωνίων (σχ 1στ), είναι κατάλληλη για βραχέα στοιχεία. Στην περίπτωση των στερεών εγκάρσιων ράβδων (σχ. 1ε), από την ισορροπία κατά την οριζόντια διεύθυνση λαµβάνεται S 1 + S 3 cosθ = N/2, από το νόµο του Hooke S 1 = EA 1 l/l 29
Κεφάλαιο 3 ο Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς όπου A 1 = bd/6, Ν = Ebd l/l και S 3 = ΕΑ 3 l 3 /l 3, όπου από τις γεωµετρικές σχέσεις l 3 = lcosθ και l 3 = l/cosθ. Από το συνδυασµό αυτών των εξισώσεων, προκύπτει bd Α 3 =. 3 cos 3 θ Προκειµένου να διαθέτουν οι εγκάρσιες ράβδοι µια πρακτικά άπειρη δυστένεια EA 2 /d, 100 φορές µεγαλύτερη από αυτή των διαγώνιων ράβδων, δίνεται σ αυτές ένα εµβαδόν διατοµής : A 2 = 100A 3 sinθ. Στην περίπτωση των στερεών διαγωνίων (σχ. 1 στ), από τη σχετική περιστροφή των διαγωνίων, δίνεται d l φ = = (1) l / 2 d / 2 Από την ισορροπία των ροπών ως προς το Ο (το σηµείο τοµής των διαγωνίων) προκύπτει (N/2 S 1 ) d/2 = S 2 l / 2. Από το νόµο του Hooke, Ν = E b d l /l, S 1 = EA 1 l /l όπου Α 1 = b d /6 και S 2 = EA 2 d/d όπου d = l Χ l /d από την εξ. (1). Από το συνδυασµό αυτών των σχέσεων προκύπτει bd d bd Α 2 = = t g 3 θ 3 l 3 3 Προκειµένου να διαθέτουν οι διαγώνιες ράβδοι µια πρακτικά άπειρη δυστένεια EA 3 /l 3, 100 φορές µεγαλύτερη από αυτή της εγκάρσιας ράβδου, δίνεται σ αυτές εµβαδόν διατοµής A 3 = 100A 2 / sinθ. 30
Κεφάλαιο 3 ο Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς Οι τύποι αυτοί, για τον υπολογισµό των διατοµών των ράβδων Α 2, Α 3 στα δύο εναλλακτικά µοντέλα, δείχνουν ότι το µοντέλο των στερεών εγκάρσιων ράβδων δίνει πολύ µεγάλες διατοµές ράβδων για βραχέα στοιχεία, ενώ το µοντέλο των στερεών διαγωνίων δίνει πολύ µικρές διατοµές ράβδων για επιµήκη στοιχεία. Εξάλλου, για l / d > 1 το δεύτερο µοντέλο έχει λόγο Poisson d / d l ν = = > 1 l / l d 2 (σύµφωνα µε την εξ. 1) ο οποίος δεν είναι αποδεκτός για την επίπεδη ελαστικότητα. Για τους λόγους που έχει αναφερθεί, συνιστάται, για τα επιµήκη στοιχεία µε l /d > 1, να χρησιµοποιείται το πρώτο µοντέλο µε τις στερεές εγκάρσιες ράβδους, ενώ για τα βραχέα στοιχεία µε l /d < 1 να χρησιµοποιείται το δεύτερο µοντέλο µε τις στερεές διαγώνιες. 3.3 Απλά παραδείγµατα µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα Για να ελεχθεί η ακρίβεια του προτεινόµενου δικτυωτού προσοµοιώµατος για φορείς από δοκούς και του προγράµµατος ηλεκτρονικού υπολογιστή για τη µη γραµµική στατική του ανάλυσή, θα τα εφαρµοστούν αρχικά σε µερικά απλά παραδείγµατα, για τα οποία οι λύσεις είναι γνωστές από τη θεωρία της γραµµικής στατικής ανάλυσης φορέων από δοκούς. 31
Κεφάλαιο 3 ο Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς 32
Κεφάλαιο 3 ο Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς Ως πρώτο παράδειγµα, εξετάζεται µια επιµήκης οριζόντια δοκός (σχ 2α) µε µήκος l = 50 m και διατοµή λεπτής πλάκας µε πάχος µόνο d = 0,5 m και πλάτος b = 10 m, κατασκευασµένη από οπλισµένο σκυρόδεµα µε µέτρο ελαστικότητας Ε = 2000 kn/cm 2. Η δοκός στηρίζεται απλά στα άκρα της (δηλαδή είναι αµφιέρεστη) και υποβάλλεται σε µια οµοιόµορφα κατανεµηµένη κατακόρυφη φόρτιση q = 20 kn/m κατά το µήκος της. Αυτή η δοκός µπορεί να προσοµοιώσει ένα µέρος του καταστρώµατος µιας καλωδιωτής γέφυρας, µεσαίου µεγέθους, κοντά στο ακρόβαθρο ή στο κέντρο του µεσαίου ανοίγµατος, όπου εµφανίζονται µεγάλες ροπές κάµψης, ενώ αυτή η φόρτιση µπορεί να αντιπροσωπεύσει µια µέση κατά προσέγγιση διαφορά µεταξύ της κατακόρυφης φόρτισης από µόνιµα και κινητά φορτία του καταστρώµατος και των κατακόρυφων συνιστωσών των εφελκυστικών αξονικών δυνάµεων των καλωδίων. Η δοκός διακριτοποιείται σε δέκα στοιχεία µήκους 5,0 m (σχ. 2 β). Κάθε στοιχείο προσοµοιώνεται µε ένα ορθογώνιο επίπεδο δικτύωµα, όπου τα εµβαδά διατοµής των ράβδων καθορίζονται µε βάση την παραδοχή των στερεών εγκάρσιων ράβδων που έχει αναφερθεί προηγουµένως, η οποία είναι κατάλληλη για επιµήκη στοιχεία. Η φόρτιση επιβάλλεται µέσω συγκεντρωµένων κατακόρυφων δυνάµεων στους κόµβους. Μια γραµµική στατική ανάλυση αυτού του δικτυωτού προσοµοιώµατος της δοκού δίνει µέγιστη βύθιση στο κέντρο του ανοίγµατος max u = 0,7737 m (σχ. 2γ) κοντά στην αντίστοιχη θεωρητική τιµή 5 q l 4 max u = x = 0,7813 m 384 EJ Εάν πακτωθεί το αριστερό άκρο της δοκού (σχ. 2δ), µε µια γραµµική στατική ανάλυση του δικτυωτού προσοµοιώµατος βρίσκεται σ αυτή την πάκτωση ένα ζεύγος οριζόντιων αντιδράσεων Χ = ±12.330 kn, που δίνει αντίδραση - ροπή M A = 12.330 kn x 0,5 m = 6.165 knm, κοντά στη θεωρητική τιµή M A = ql 2 /8 = 6.250 knm, ενώ οι κατακόρυφες αντιδράσεις που προκύπτουν, στο αριστερό και δεξιό άκρο, αντίστοιχα, του δικτυωτού προσοµοιώµατος, 33
Κεφάλαιο 3 ο Προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και πιλοτικές εφαρµογές του σε απλούς φορείς V A = 623,3 kn και V B = 376,7 kn, είναι κοντά στις θεωρητικές τιµές V Α = 625 κν και V Β = 375 kn. Η µέγιστη βύθιση της δοκού µε την πάκτωση στο αριστερό άκρο βρίσκεται στο δικτυωτό προσοµοίωµα σε µία απόσταση από το αριστερό άκρο χ 0 = 30,0 m και έχει τιµή max u = 0,3232 m, ενώ η θεωρία δίνει παρόµοια αποτελέσµατα χ 0 = 28,95 m και 5 q l 4 max u = x = 0,3250 m 184,6 EJ Στη συνέχεια απαγορεύεται η οριζόντια µετακίνηση στο δεξί άκρο της δοκού και επιβάλλεται µια φόρτιση δέκα φορές µεγαλύτερη απ ότι προηγουµένως, q = 200 kn/m (σχ. 2ε), η οποία µπορεί να αντιπροσωπεύσει τα κατακόρυφα φορτία (µόνιµα και κινητά) σε ένα τµήµα του καταστρώµατος όπου δεν υπάρχουν καλώδια. Λόγω της µεγάλης φόρτισης, θα εµφανιστούν µεγάλες βυθίσεις, οι οποίες θα αλληλεπιδράσουν µε τις οριζόντιες αντιδράσεις των στηρίξεων (τη λεγόµενη οριζόντια δύναµης έλξης της δοκού) δηµιουργώντας µεγάλες δευτερογενείς ροπές κάµψης. Εποµένως πρέπει να ληφθούν υπόψη οι γεωµετρικές µη γραµµικότητες. Για το σκοπό αυτό, εφαρµόζεται η φόρτιση βαθµιαία σε δέκα βήµατα. Οι εξισώσεις ισορροπίας γράφονται ως τον παραµορφωµένο φορέα και το µητρώο δυσκαµψίας ενηµερώνεται µέσα σε κάθε βήµα της βαθµιαίας φόρτισης. Με αυτό τον τρόπο, βρίσκεται µέγιστη βύθιση στο κέντρο του ανοίγµατος max u = 1,242 m, ενώ και στις δύο στηρίξεις βρίσκεται µια µεγάλη οριζόντια αντίδραση Χ = 57.130 kn (που λέγεται δύναµη έλξης). Παρατηρείται ότι η συµπεριφορά µεµβράνης της δοκού µειώνει σηµαντικά τις βυθίσεις, οι οποίες θα προέκυπταν πολύ µεγαλύτερες, σε αυτήν την περίπτωση της βαριάς φόρτισης, εάν εφαρµοζόταν µια γραµµική στατική ανάλυση. 34