Δύο σώματα ταλαντώνονται ύστερα από μια ιδιαίτερη κρούση... Το σώμα Σ το διπλανού σχήματος έχει μάζα =,9g και είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο ενός οριζόντιο ελατηρίο Σ θ σταθεράς =500Ν/ το άλλο άκρο το οποίο είναι ακλόνητα t=0 στερεωμένο σε τοίχο. πό την άλλη μεριά το σώματος Σ μέσω ιδανικού μη εκτατού σχοινιού δένομε το σώμα Σ μάζας =3g και το σύστημα πο προκύπτει αρχικά ισορροπεί. Φ.Μ. Ο οδηγός το σχοινιού πο βρίσκεται στη γωνία δεν εμφανίζει τριβές με ατό. Κάποια στιγμή πο θεωρούμε t=0 ένα βλήμα μάζας =00g κινείται με ταχύτητα μέτρο =00/s πο σχηματίζει γωνία θ=60 o με την οριζόντια διεύθνση σγκρούεται πλαστικά με το σώμα Σ. Σχήμα i) Να βρείτε την αρχική επιμήκνση l 0 το ελατηρίο και να εξετάσετε κατά πόσο επηρεάζει το βάρος w το σώματος την θέση ισορροπίας. ii) Να βρείτε την ταχύτητα των σωμάτων το σστήματος αμέσως μετά την κρούση. iii) Να αποδείξετε ότι το σσσωμάτωμα (Σ -βλήμα) εκτελεί αρμονική ταλάντωση. iv) Να βρείτε την εξίσωση της κίνησης το σσσωματώματος (Σ -βλήμα) και το σώματος Σ. v) ν το όριο θραύσης το νήματος είναι Τ θρ =60Ν να βρείτε αν το νήμα αρχικά χαλαρώνει ή κόβεται και ποια είναι η ταχύτητα των σωμάτων τη στιγμή ατή. vi) Να βρείτε το νέο πλάτος ταλάντωσης το σστήματος (Σ -βλήμα) στηριζόμενοι στο ερώτημα v) και την νέα εξίσωσης ταλάντωσής το. vii) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρνσης των σωμάτων (Σ -βλήμα) από τη στιγμή αμέσως μετά την κρούση έως ότο μηδενιστεί η ταχύτητά τος για η φορά. Ως σημείο αναφοράς να θεωρείστε την αρχική θέση ισορροπίας των σωμάτων πριν την κρούση. Θεωρείστε θετική φορά για τις κινήσεις των σωμάτων τη φορά κίνησης πο έχον μετά την κρούση. Η κρούση διαρκεί σχεδόν ακαριαία, το σχοινί μένει σνεχώς τεντωμένο και τα σώματα δεν αλλάζον θέση κατά τη διάρκειά της. Οι ωθήσεις των εξωτερικών δνάμεων είναι πολύ μικρότερες σγκριτικά με τις εσωτερικές. Δίνεται g=0/s, 0.036=0., 0=π, ημ(θ)=/3 θ π/0ad πάντηση Σ i) πό την ισορροπία το κάθε σώματος προκύπτει: ( ) F 0 T w 0 T w (),0,0 Επειδή το σχοινί είναι αβαρές και μη εκτατό ασκεί στα άκρα το ίσες κατά μέτρο δνάμεις.,0,0 () ( ) () F 0 F T 0 T l w l,0,0,0 0 0 () g l 0 l 0 =0,06 l 0 Φ.Μ. N F ελ,0 Σ w Σχήμα T,0 T,0 Σ w www.ylionet.g
Το βάρος το σώματος Σ δεν σμμετέχει στην επιμήκνση το ελατηρίο και δεν επηρεάζει την g θέση ισορροπίας το σστήματος όπως φαίνεται από τη σχέση l 0. ii) Στο σύστημα δεν διατηρείται η ορμή το σστήματος σε κανέναν άξονα. Μία πρώτη σκέψη θα ή- ταν να εφαρμόσομε τη διατήρηση της ορμής στο σώμα Σ και το βλήμα στον οριζόντιο άξονα. Εξαιτίας όμως της σύζεξης των σωμάτων μέσω το σχοινιού, η ώθηση της τάσης Τ είναι μεγάλη και δεν μπορούμε να την παραλείψομε. Τατόχρονα κινείται και το Σ μέσω της τάσης Τ. Επειδή το σχοινί είναι μη εκτατό, όλα τα σημεία το κάθε στιγμή θα έχον ίδιο μέτρο ταχύτητας και ίδιο μέτρο επιτάχνσης. Έτσι στο τέλος της κρούσης αλλά και κάθε στιγμή όλα τα σώματα το σστήματος θα έχον ίδια ταχύτητα. Εφαρμόζομε τη γενικεμένη μορφή το ο Νόμο το Νεύτωνα για το κάθε σώμα στον άξονα πο επιτρέπεται η κίνησή το κατά τη διάρκεια της κρούσης. Στο σχήμα 3 έχον σχεδιαστεί οι δνάμεις κατά μήκος της κίνησης των σωμάτων. Παραλείπομε την ώθηση της δύναμης το ελατηρίο και την ώθηση το βάρος το σώματος Σ, σγκρινόμενες με τις ωθήσεις των εσωτερικών δνάμεων είναι πολύ μικρότερες. Φ.Μ. Σχήμα 3 V θ F F ελ Τ F y V Σ Τ w Σώμα Σ P P,. P,. F F F t t P,. F F Ft t Ft P,. t ( ) F t t Ft P t Ft P,.,. t Ft V (3) Βλήμα P B, PB,. PB,. FB, F t t ( ) Ft P P B,. B,. Ft V (4) Σώμα Σ P P P t t P w t w t P t t w t V t V,.,. Fy w,.,. (5) ( ) www.ylionet.g
Οι δνάμεις F και F αποτελούν ζεύγος δράσης αντίδρασης. F F. Λαμβάνοντας ότι οι τάσεις έχον ίδιο μέτρο προσθέτομε τις σχέσεις 3, 4, 5 και καταλήγομε: t Ft Ft t V V V 0 V V V ( ) V 0, 00 V V=/s 5 iii) Η θέση ισορροπίας το σστήματος δεν αλλάζει με την εισχώρηση το βλήματος. Φ.Μ. Θ.Ι. Σ- y Έστω σε μία τχαία θέση τα σώματα το σστήματος και οι φορές των ταχτήτων τος όπως φαίνεται στο σχήμα 4. Στην τχαία θέση Για το σώμα (Σ βλήμα) ( ) F ( ) F ( ) (6), Σχήμα 4 l 0 Δl F ελ T τχαία θέση Σ Θ.Ι. Σ T w Για το σώμα Σ ( ) F w (7) Προσθέτομε την (6) και την (7) λαμβάνοντας πόψη ότι g=l 0 και α =α παίρνομε: F w g ( ) l ( ) ( l ) g ( ) 0 ( ) (8) Ο δεύτερος νόμος το Νεύτωνα για το σώμα Σ και το βλήμα δίνει: ( ) F, 00ΣF, = 00 Άρα το σώμα Σ και το βλήμα κάνον αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D =00N/ και σχνότητα ω = (D /, )=0/s iv) Επειδή η θέση ισορροπίας δεν μεταβάλλεται η ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση θα είναι η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης το σστήματος (Σ βλήμα). V=ω =0 =0, Επιπλέον τα σώματα ξεκινούν ταλάντωση κινούμενα προς την θεωρούμενη θετική φορά και έτσι η απομάκρνση από τη Θ.Ι. θα είναι: =0.ημ(0t), (S.I.) www.ylionet.g 3
Το σώμα Σ κινείται στον κατακόρφο άξονα y. Επειδή κάθε στιγμή όλα τα σημεία το σχοινιού έχον ίδιο μέτρο ταχύτητας και το σχοινί είναι μη εκτατό, η απόσταση πο διανύει το κάθε σώμα είναι ίδια δηλ. y Έτσι η επιτάχνση το σώματος Σ εκφράζεται ως y Ο δεύτερος νόμος το Νεύτωνα για το Σ δίνει F y 300y ΣF =-300y Πο σημαίνει ότι και το Σ εκτελεί αρμονική ταλάντωση με ίδιο πλάτος και γωνιακή σχνότητα ω = (D / )=0/s και η εξίσωσή απομάκρνσης από τη Θ.Ι. είναι: y =0.ημ(0t), (S.I.) v) ( ) F D y w D y w D yτ =30-300y T θρ =60Ν Τ =60Ν 30-300y=60-300y=30 y=-0. Το σχοινί κόβεται κάτω από τη Θ.Ι. το σώματος σε απόσταση d=0. από ατή. Στην πάνω ακραία θέση της ταλάντωσης η τάση το νήματος ισούται με Τ =-0Ν. τό δείχνει ότι έχει αλλάξει η φορά της. Κάτι τέτοιο όμως δεν μπορεί να σμβεί αφού το νήμα μόνο έλκει. Σνεπώς το νήμα έχει χαλαρώσει σε μια προηγούμενη θέση όπο η τάση μηδενίζεται. T =0 30-300 y=0. Επειδή αρχικά το σώμα κινείται προς τα θετικά το νήμα πρώτα θα χαλαρώσει. Στη θέση ατή η εξίσωση της απομάκρνσης δίνει y =0, 0.ημ(0t)=0. ημ(0t)=ημ(π/6) για η φορά 0t=π/6 t =π/60s και θα έχει ταχύτητα =σν(π/6) = 3 /s. Την ίδια ταχύτητα θα έχει και το σύστημα (Σ βλήμα). vi) Μετά την χαλάρωση το νήματος τα σώματα Σ -βλήμα ξεκινούν απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά D==500N/ με την θέση ισορροπίας να είναι ίδια με τη θέση στο φσικό μήκος το ελατηρίο. Η γωνιακή σχνότητα ω = (/, )=5 0 /s Φ.Μ., νέα Θ.Ι. l 0 ρχική y To σύστημα Σ -βλήμα ξεκινά ταλάντωση από τη θέση =( - l 0 ) = 0,04 με ταχύτητα = 3 /s. Βλ. σχήμα 5 πό τη διατήρηση ενέργειας της νέας ταλάντωσης των σωμάτων Σ -βλήμα έχομε: Σχήμα 5 t =π/60s Σ Θ.Ι. Σ w www.ylionet.g 4
E,, 500 500 0, 04 3 A =0. 500 6,8 0, 036 Για Δt=0, =0.04 0,ημ(θ)=0,04 ημ(θ)=/3 θ=π/0ad. Η εξίσωση της απομάκρνσης από την καινούργια θέση ισορροπίας είναι: π 0. (5 0 t ) =0.ημ 0 5 0(t-t )+ t t, S.I. 0 vii) Το Σ από τη στιγμή πο χαλαρώνει το νήμα και μετά εκτελεί κατακόρφη βολή προς τα πάνω. Το σώμα Σ έως ότο σταματήσει στιγμιαία θα έχει λγίσει σχοινί μήκος Δy όσο και το διάστημα πο θα διανύσει. 0 g t 30t t 0. 3s t 0. 3 s y t g t y 3t 5t y 0.5 Το σύστημα Σ βλήμα θα σταματήσει στιγμιαία στην ακραία θέση διανύοντας απόσταση d=a - =0,08. Το χρονικό διάστημα πο θα σταματήσει προκύπτει από την εξίσωση 0. 0. (5 0 t ) (5 0 t ) 0 0 η για φορά 0, 4 4 0 0 0 5 0Δt=0, 4 Δt= Δt =0, 08sec 5 0 500 5 5 Στο χρόνο ατό το σώμα Σ διανύει απόσταση y 3 0, 08 5 0, 08 y 0.06 Το σώμα Σ λγίζει μήκος νήματος περισσότερο από την απόσταση πο διανύει το Σ -βλήμα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία και δεν πάρχει κίνδνος να τεντώσει το νήμα. Έτσι έως ότο μηδενιστεί η ταχύτητα το σστήματος Σ -βλήμα για πρώτη φορά, τα σώματα κινούνται ανεξάρτητα. Επιπλέον μπορούμε να προβλέψομε ότι δεν θα τεντώσει το σχοινί μέχρι να μηδενιστεί για η φορά η ταχύτητα το Σ -βλήματος διότι: Το σύστημα Σ -βλήμα κινείται σνεχώς με αξανόμενο μέτρο επιβράδνσης με την αρχική τιμή να είναι α= =0/s, ενώ το Σ κινείται σνεχώς με επιβράδνση μέτρο g. Οι εξισώσεις το σσσωματώματος μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά το για η φορά είναι: 0. (0 t), 0 t s 60 0. 5 0(t ) 0.06, t 0,08s 60 0 60 60 www.ylionet.g 5
0.8 () 0.6 0.4 0. 0. 0.08 0.06 0.04 0.0 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0. 0. 0. 0.3 0.4 0.5 t(s) -0.0 Οι εξισώσεις το σώματος Σ μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά το σσσωματώματος είναι: y 0. (0 t), 0 t s 60 y 0. 3( t ) 5( t ), t 0,08s 60 60 60 60 y() 0. 0.8 0.6 0.4 y y 0. 0. 0.08 0.06 0.04 0.0 0.005 0.0 0.05 0.0 0.05 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0. 0.05 0. 0.5 0. 0.5 0.3 0.35 0.4 t(s) Υλικό Φσικής-Χημείας Γιατί το να µοιράζεσαι ράγµατα, είναι καλό για όλος Επιμέλεια: Χρήστος γριόδημας www.ylionet.g 6