ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια συνάρτηση αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f () διατηρεί ρόσημο στο (α, o ) ( o, β), να αοδείξετε ότι το f( o ) δεν είναι τοικό ακρότατο και ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β). Μονάδες 7 Αάντηση: Η αόδειξη της σελίδας 45 του Σχολικού Βιβλίου. A. Έστω Α ένα μη κενό υοσύνολο του R. Τι ονομάζουμε ραγματική συνάρτηση με εδίο ορισμού το Α; Αάντηση: Ο Ορισμός της σελίδας 45 του Σχολικού Βιβλίου. A3. Δίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f, g, F, G, H, T. Μονάδες 4
Να γράψετε στο τετράδιο σας οια αό τις συναρτήσεις F, G, H, T μορεί να είναι η αράγωγος της συνάρτησης f και οια της g. Μονάδες 4 Αάντηση: Της T μορεί να είναι η f Της Η μορεί να είναι η g A4. Θεωρήστε τον αρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε ζεύγος ραγματικών συναρτήσεων f,g:(, + ) R, αν ισχύει lim f() = + f()+g() και lim g() = -, τότε lim =». α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) Αάντηση: Ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες 4 Αάντηση: Το αράδειγμα της αραγράφου.6 στο σχολικό βιβλίο με: f ( ) -, g( ) lim f ( ), lim g( ), lim f ( ) g( ) A5. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f: R R μορεί να τέμνει μια ασύμτωτή της. Αάντηση: Σωστή β) Αν μια συνάρτηση f: R R είναι -, τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική αράσταση της f το ολύ σε ένα σημείο.
Αάντηση: Σωστή γ) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν εδίο ορισμού το [, ] και σύνολο τιμών το [, 3], τότε ορίζεται η f o g με εδίο ορισμού το [, ] και σύνολο τιμών το [, 3]. Μονάδες 6 Αάντηση: Λάθος ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση +, > f() = + α, Β. Να υολογίσετε το α R ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής. Η f είναι συνεχής στο διάστημα Η f είναι συνεχής στο διάστημα, ως ολυωνυμική., ως ηλίκο συνεχών συναρτήσεων (ολυωνυμικών) Θα ρέει να είναι συνχής και στο σημείο, δηλαδή ρέει και αρκεί: lim f ( ) lim f ( ) f () a a Μονάδες 3 Στα αρακάτω ερωτήματα θεωρήστε ότι α =. Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος Roll στο διάστημα, 4 Μονάδες 6 +, > f() = +, Η f είναι συνεχής στο διάστημα, 4 Η f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα, με αράγωγο ( ) f Η f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα, 4 με με αράγωγο f ( ) Θα εξετάσουμε αν η f είναι αραγωγίσμιμη στο. Έχουμε:
f ( ) f () lim lim lim f ( ) f () lim lim lim Εομένως η f δεν είναι αραγωγίσμιμη στο και άρα η f δεν ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος του Roll. Β3. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f στα οοία η εφατομένη είναι αράλληλη ρος την ευθεία y = + 8 και να γράψετε τις εξισώσεις των εφατομένων στα 4 σημεία αυτά. Μονάδες 7 A, f ( ) τα σημεία στα οοία η σημεία της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f στα οοία η Αν εφατομένη είναι αράλληλη ρος την ευθεία y = + 8, τότε ρέει να ισχύει f ( ). Είναι: 4 4 Αν, τότε f ( ) και άρα: f ( ). Το αντίστοιχο σημείο είναι 4 8 A, f 8 8 ή 65 A, 8 64. Αν, τότε f ( ) και άρα: f ( ) και εειδή δεκτή 4 4 3 τιμή είναι η. Το αντίστοιχο σημείο είναι A, f ή A,. Αν η f δεν είναι αραγωγίσιμη. Οι εξισώσεις των εφατομένων στα σημεία αυτά είναι: Στο A : Στο A : 65 63 y f ( ) y y 8 4 8 64 4 3 4 64 3 y f ( ) y y 4 4 4 Β4. Να βρείτε τις ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της f και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση. Στο η f δεν έχει λάγιες και οριζόντιες ασυμτωτες ως ολυώνυμο ου βαθμού. Δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες αφού είναι συνεχής στο. Στο έχουμε: f ( ) lim lim lim lim f ( ) lim Μονάδες 9
Άρα η ευθεία y είναι οριζοντια ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f στο Η γραφική αράσταση της f δίνεται στο εόμενο σχήμα: ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : [, ] R, με τύο: f() = ημ. Γ. Να βρείτε τα ακρότατα της f (τοικά και ολικά). Η f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα, με f ( ),,. Έχουμε: f ( ) 3 Ο ίνακας ροσήμου της f είναι: χ 3 f ( ) + - f ( ) (Το ρόσημο της f βρίσκεται με την σκέψη ότι εειδή η f είναι συνεχής στο [,] κσι θα διατηεί σταθερό ρόσημο μεταξύ των ριζών. Δίνοντας μια οοιαδήοτε τιμή μεταξύ των ριζών.χ. f, f ) 4 Γ. Να αοδείξετε ότι για κάθε o [, ] η γραφική αράσταση της f και η εφατομένη της στο A( o, f( o )) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
Η f είναι δύο φορές με f ( ),,. Άρα η f είναι κοίλη στο διάστημα, και εομένως η γραφική της αράσταση θα βρίσκεται «άνω» αό την εφατομένη της στο σημείο Α, εκτός του ίδιου του σημείου Α. Άρα η εφατομένη και η γραφική αράσταση της f έχουν κοινό μόνο το σημείο Α. Γ3. Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα f() συνd f ( ) d d d d J, όου I d, J d. Για το I : Θέτουμε: Μονάδες 8 και άρα I. Για το J έχουμε: u du u u Γ4. α) Να αοδείξετε ότι J d ημ d= ημ d β) Να υολογίσετε το f() lim =. (μονάδες ) lim f()-f() ln. (μονάδες 5) Μονάδες 7 α) Έχουμε: β) Έχουμε: f ( ) lim lim lim f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) ln lim ln () f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) K lim lim lim ln lim ln lim lim lim( ) K ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f: (, + ) R, με τύο: ln( + ) f() =. Δ. Να αοδείξετε ότι ln( + ) > +, για κάθε >.
Έχουμε διαδοχικά και ισοδύναμα: ln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) ln,. Η h είναι αραγωγίσισμη για με: h( ) ln, h ( ) ln, ln h ( ) Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα για. Εομένως: h( ) h() ln Δ. Να αοδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και ότι το εδίο ορισμού της f - είναι το διάστημα (, ). Αρκεί να αοδείξουμε ότι η f είναι συνάρτηση «-» Η f είναι αραγωγίσιμη για κάθε με: ln( ) ( ) h f ( h( ), ) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα και «-». ln ( ) - Το εδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f ου, εειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, έχουμε:, lim ( ),lim ( ), f f f, διότι ; - Άρα το εδίο ορισμού της f είναι το,. ln( ) lim f ( ) lim lim ln( ) lim f ( ) lim lim Δ3. Να αοδείξετε ότι f() > f(), για κάθε >. Έχουμε διαδοχικά και ισοδύναμα (αφού f ( ) ): ln( f ( ) ) f ( ) f ( ) ln( f ( ) ) f ( ) ln ln f ( ) f ( f ( )) f () f ( ) ( f ) Η τελευταία σχέση είναι αληθής.
f(α) f (α) ημ(α) Δ4. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση + + =, όου < α <, έχει ακριβώς δύο ρίζες ως ρος, μία στο διάστημα (, ) και μία στο διάστημα (, ). Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f a f a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),, f(α) f (α) ημ(α) Η εξίσωση + + = g( ), g( ),, (, ) Στο, έχουμε: Η g είναι συνεχής στο, (ως ολυωνυμική) g() ( ) ( ) g() f ( a) ( a f ( a) ) Άρα η g έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (,) Στο, έχουμε: Η g είναι συνεχής στο, (ως ολυωνυμική) g() f ( a) ( a f ( a) ) - g() f ( a) (αφού αό το το ερώτημα Δ το εδίο ορισμού της f είναι το, ). Άρα η g έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (, ). Εειδή η εξίσωση g ολυωνυμική ου βαθμού θα έχει το ολύ ρίζες. Άρα η εξίσωση g( ),, (, ) ρίζες μία στο διάστημα (,) και μία στο διάστημα (, ). Σχόλιο: Ο βαθμός της ολυωνυμικής εξίσωσης g ( ),, (, ) είναι θα έχει ακριβώς ( ),, (, ) είναι διότι ο συντελεστής του είναι : g( ) ( f ( a) f ( a) ( )) ( f ( a) f ( a) 3 ( )) και f ( a) f ( a) ( ) >. Δ5. Αν F είναι μια αρχική συνάρτηση της f στο διάστημα (, + ) με F() = ln, να αοδείξετε ότι. + ln < F() < ln Θα εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. για την F στο διάστημα,. F συνεχής στο, F αραγωγίσιμη στο, F( ) F() F( ) F(). Έχουμε Άρα υάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ, : F ξ f ξ διαδοχικά και ισοδύναμα:
ln F() ln( ) f () f ( ) f ( ) ln ( ) ln( ) ( ) ln( ) ln ln F() ln F() ln ( ) ln( ) ln ln ( ) ln( ) F() ln ln ln ln F() ln ( ) ln( ) ln F() ln ( ) ln( ) ln ln ( ) ln( ) ln ln( ) ln ( ) ln( ) ln ln( ) ln( ) ln ln( ) ln Η τελευταία σχέση είναι αληθής.