0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x

Transcript

1 wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Θέμα Α ΑΈστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο αι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι f Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε (, ) και f () f ( ), για κάθε (, ) () Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει f () f ( ) f () f ( ) f ( ) lim lim Επομένως, αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι f () f ( ) f ( ) lim () αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι f () f ( ) f ( ) lim () f () f ( ), οπότε θα έχουμε f () f ( ), οπότε θα έχουμε Έτσι, από τις () και () έχουμε f ( ) Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο C f,αν για κάποιο ισχύει f, τότε το είναι θέση σημείου καμπής της f» α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α) α) Ψ β) πχ f, f, f f f και Είναι Είναι, όμως επειδή η f είναι συνεχής, είναι κυρτή στο, οπότε δεν έχει σημείο καμπής στο Α Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση : f α f β, τότε Για κάθε συνεχή συνάρτηση f: α,β, αν ισχύει α) η εξίσωση f δεν έχει λύση στο α,β β) η εξίσωση f έχει ακριβώς μια λύση στο α,β έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο α,β γ) η εξίσωση f

2 wwwaskisopolisgr δ) δεν μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f στο Α δ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f: α,β, αν G είναι μια παράγουσα της f στο α,β τότε α f d G α G β β β) Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν, Δ με τέτοια, ώστε f f α,β γ) Αν ένα σημείο Μα,βανήκει στη γραφική παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης f, τότε το σημείο Μ β,α ανήκει στη γραφική παράσταση της δ) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f f: α,β, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο α,β, αν f α τότε υπάρχει ακριβώς ένα ξ α,β τέτοιο ώστε f ξ f β, α ε) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f: α,β, αν ισχύει τότε f για κάθε α,β Α α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ β f d Θέμα Β Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με πλευρά cm Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ : Β Να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του Β Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου Ε Z ΗΘ δίνεται από τη συνάρτηση f, Β Να βρείτε για ποιες τιμές του το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ γίνεται ελάχιστο και για ποιες μέγιστο, f του Β Να εξετάσετε αν υπάρχει, για το οποίο το εμβαδόν αντίστοιχου τετραγώνου ΕΖΗΘ ισούται με e cm Β Από το πυθαγόρειο θεώρημα είναι:,, B f, Β Η f είναι παραγωγίσιμη στο, με f H f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, Η f έχει ελάχιστο το f και τοπικά μέγιστα τα f και f, οπότε έχει μέγιστο το Επομένως το εμβαδόν του τετραγώνου γίνεται ελάχιστο για = και μέγιστο για =, Β Επειδή η f έχει ελάχιστο το και μέγιστο το, είναι f για κάθε, e e e e e 5 e e, άρα η συνάρτηση g e,, έχει σύνολο τιμών το g, 5,e

3 wwwaskisopolisgr Επειδή οι συναρτήσεις f,g έχουν διαφορετικές τιμές, δεν υπάρχει, f g Θέμα Γ τέτοιο, ώστε Έστω συνάρτηση f, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο,, για την οποία γνωρίζετε τα εξής: Η γραφική παράσταση της f δίνεται στο παρακάτω σχήμα: f, f Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f και των ευθειών και ισούται με 8 τμ Η f δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα, Γ Να αποδείξετε ότι f f, f και να βρείτε, αν υπάρχουν, τα lim ln, lim f, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας Γ Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής της f Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, για το οποίο δεν υπάρχει το lim f Γ Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f Γ Επειδή η f είναι συνεχής στο, και δεν εφαρμόζεται το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα αυτό, ισχύει ότι f f f d f d 8 f f f f 8 f f f lim lim, ln DLH f u lim lim lim f f u DLH u u f 8 f Γ Για κάθε, είναι f f, Για κάθε, είναι f f, Η f έχει τοπικό ελάχιστο στο το f και τοπικά μέγιστα τα f και f f, και f συνεχής, άρα η f είναι κοίλη στο, f, και f συνεχής, άρα η f είναι κυρτή στο, Η f έχει σημείο καμπής το,f,

4 wwwaskisopolisgr Γ Είναι f f και f συνεχής, άρα υπάρχει, τέτοιο, ώστε Γ f Είναι f f, άρα f Είναι f f, άρα f u lim lim f u u u f u u u f lim lim, οπότε δεν υπάρχει το f u lim f Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση ημ π α, f,, Δ Να αποδείξετε ότι η f στο διάστημα, ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής Αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε: Δ Να βρείτε την τιμή του α Δ Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f π Δ Να αποδείξετε ότι: π π f d π π Δ5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f f e έχει μοναδική λύση στο, Δ H f είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική και επειδή lim f f, Η f είναι παραγωγίσιμη στο, με προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής f είναι συνεχής στο f 6, οπότε εφαρμόζονται για την f οι Δ Επειδή η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, είναι συνεχής στο lim f lim Είναι lim f lim f f Δ Η f είναι παραγωγίσιμη στο, με f 6 Για κάθε, είναι f f, Για κάθε είναι f f, Για κάθε, f είναι

5 wwwaskisopolisgr Έστω h,, Είναι h Για κάθε, είναι άρα h h, h h h άρα f f, Δ f d f d f d f d d f d f d 8 f d π f π Είναι f f f f Και επειδή υπάρχουν τιμές του για τις π οποίες δεν ισχύει η ισότητα, είναι: π π π π d π f d π d π f d π π π π f d π π π π Δ5 Είναι και όμοια e π Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, είναι και - π π π π f f e e e e g e,, Έστω Είναι g, g e, δηλαδή g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Είναι g e g, g g και επειδή η g είναι συνεχής, η εξίσωση,, οπότε η προηγούμενη ρίζα είναι μοναδική 5