Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 14 Όρια και Συνέχεια συναρτήσεων στο R 2 Στο δέκατο τέταρτο μάθημα (30/10/2018), ασχοληθήκαμε με το όριο και τη συνέχεια για πραγματικές συναρτήσεις στο που ορίζονται σε ένα υποσύνολο του R 2. Η έννοια του Ορίου Ξεκινήσαμε με τον ορισμό του ορίου. Ορισμός. Έστω U R 2 και f U R. Η f έχει όριο τον πραγματικό αριθμό L, καθώς το (x, y) τείνει στο (x 0, y 0 ), αν για κάθε ε > 0, υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε αν (x, y) U, με (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ, τότε f (x, y) L < ε. Συμβολίζουμε με lim L. Παρατήρηση. Προκειμένου να έχει νόημα ο παραπάνω ορισμός, θεωρούμε ότι οσοσοδήποτε κοντά στο (x 0, y 0 ), υπάρχουν σημεία (x, y), που να ανήκουν στο πεδίο ορισμού U της f. Αντίθετα στο (x 0, y 0 ), η f μπορεί να μην ορίζεται. Επίσης η συνθήκη είναι ισοδύναμη με την (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ διότι 0 < (x, y) (x 0, y 0 ) < δ, (x, y) (x 0, y 0 ) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2. Εδώ είδαμε τα παραδείγματα. (1) Αν δείξτε οτι lim (x,y) (0,0) 0. x2 + y 2, 1
(2) Αν δείξτε οτι lim (x,y) (0,0) 0. x2 y Υπενθυμίζω λίγο πως δουλέυουμε με τον ορισμό. Για το (1): αν Έστω ε > 0. Ψάχνουμε δ > 0, ώστε να ισχύει + y 2 < δ f (x, y) < ε, όπου εδώ (x 0, y 0 ) = (0, 0) και L = 0. Οπότε Άρα για δ = ε, και για + y 2 f (x, y) = x2 + y 2 x2 + y 2 = + y 2. (1) από την (1) έχουμε + y 2 < δ f (x, y) + y 2 < δ = ε. Παρόμοια δουλέψαμε και για το (2). Για το σπίτι είχατε H/W: Να δείξετε με τον ορισμό τα παρακάτω (i) lim (x,y) (x0,y 0 ) x = x 0. (ii) lim (x,y) (x0,y 0 ) y = y 0. (iii) lim (x,y) (x0,y 0 ) k = k, όπου k R. Στη συνέχεια μιλήσαμε για τις βασικές ιδιότητες των ορίων. Ιδιότητες: Τότε ισχύουν Έστω ότι lim L, και lim g(x, y) = M, όπου L, M R. (1) lim (f (x, y) + g(x, y)) = L + M (2) lim (f (x, y) g(x, y)) = L M 2
(3) lim (f (x, y) g(x, y)) = L M (4) lim (k f (x, y)) = k L, όπου κ R. f (x, y) (5) lim g(x, y) = L M, όπου g(x, y) 0 κοντά στο (x 0, y 0 ), Μ 0. (6) lim (f (x, y))m/n = L m/n, m, n N. Για παράδειγμα από τις ιδιότητες προκύπτει ότι + x y + y 3 lim (x,y) (0,1) x 4 y + y = 02 + 0 1 + 1 3 0 4 1 + 1 = 1. Στη συνέχεια μιλήσαμε για την μη-ύπαρξη του ορίου και διατυπώσαμε το κριτήριο μη-ύπαρξης ορίου. Όπως είπαμε και στο μάθημα, όταν μελετούσαμε όρια στο R, το x μπορούσε να τείνει στο x 0, μόνο από μία κατεύθυνση. Στο R 2, τα πράγματα είναι διαφορετικά, καθώς το (x, y) μπορεί τείνει στο (x 0, y 0 ), από όλες τις δυνατές διαδρομές. Κριτήριο Μη ύπαρξης ορίου: Αν η f έχει διαφορετικά όρια κατά μήκος δύο διαφορετικών διαδρομών, καθώς το (x, y) τείνει στο (x 0, y 0 ), τότε δεν υπάρχει το όριο lim f (x, y). Είδαμε τα παραδείγματα. Για τις παρακάτω συναρτήσεις δείξτε οτι δεν υπάρχει το όριο lim 0. (x,y) (0,0) (1) (2) x y (3) x2 y x 4 + y 2. Ο τρόπος που δουλέψαμε εδώ ήταν ο εξης. Για το (1), οι δύο διαφορετικές διαδρομές είναι κατά μήκος των αξόνων. Για το (2), κινηθήκαμε πάνω σε ευθείες. Θεωρήσαμε ότι y = λ x και δείξαμε ότι το όριο πάνω στην παραπάνω ευθεία εξαρτάται μόνο από το λ. Άρα για δύο διαφορετικές τιμές του λ (δηλ για δύο διαφορετικές διαδρομές), το όριο έχει άλλη τιμή. Για το (3), κάναμε ότι και στο (2), με τη μόνη διαφορά ότι τώρα κινηθήκαμε σε παραβολές, θεωρώντας ότι y = λ. 3
Στη συνέχεια είδαμε και ένα παράδειγμα με πολικές συντεταγμένες. (4) Για την παρακάτω συνάρτηση, δείξτε ότι όριο στο (0, 0) δεν υπάρχει, κάνοντας χρήση πολικών συντεταγμένων. x2 y 2 Συγκεκριμένα εδώ χρησιμοποιήσαμε τις πολικές συντεταγμένες και δείξαμε ότι το όριο x = r cos(θ), y = r sin(θ), r 2 = + y 2 lim f (r cos(θ), r sin(θ)), r 0 εξαρτάται μόνο από το θ. Επομένως για δύο διαφορετικές τιμές του θ, το όριο είναι διαφορετικό. Εδώ για το σπίτι είχατε (δεν θυμάμαι αν το είπα στο μάθημα) H/W: Να εφαρμοστεί το κριτήριο μή-ύπαρξης του ορίου για τια παρακάτω ασκήσεις του βιβλίου στη σελίδα 856 35, 41, 42. Συνέχεια Στη συνέχεια διατυπώσαμε τον ορισμό της συνέχειας για μία πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών. Ορισμός (Συνέχεια). ισχύουν: Έστω U R 2 και f U R. Η f είναι συνεχής στο (x 0, y 0 ) U, αν (i) Το όριο lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x, y), υπάρχει στο R. (ii) lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x 0, y 0 ). Αν η f είναι συνεχής σε κάθε (x 0, y 0 ) U, τότε λέμε ότι είναι συνεχής στο U. Εδώ είδαμε τα παραδείγματα (1) Αν, (x, y) (0, 0), x2 +y 2 0, (x, y) = (0, 0). Τότε η f είναι συνεχής στο (0, 0). (2) Αν x y x 2 +y2, (x, y) (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0). Τότε η f δεν είναι συνεχής στο (0, 0). 4
Για το σπίτι εδώ είχατε H/W: Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια στο (0, 0), οι παρακάτω συναρτήσεις. (i) x y x 4 +y2, (x, y) (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0). (ii) x y +y2, (x, y) (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0). Τέλος μιλήσαμε για σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Ορισμός. Έστω f U R 2 R, g V R R. Αν f συνεχής στο (x 0, y 0 ) U και g συνεχής στο f (x 0, y 0 ) V, τότε η συνάρτηση g f U R, είναι συνεχής στο (x 0, y 0 ). Για παράδειγμα αν h(x, y) = sin( + y 2 ), τότε η h είναι συνεχής στο R 2 ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων g(x) = sin(x). 5