Ανασκόπηση-Μάθημα 17 Κανόνας αλυσίδας - Παράγωγος κατά κατεύθυνση

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανασκόπηση-Μάθημα 17 Κανόνας αλυσίδας - Παράγωγος κατά κατεύθυνση"

Ποδαργη Αγγελοπούλου
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος Ανασκόπηση-Μάθημα 17 Κανόνας αλυσίδας - Παράγωγος κατά κατεύθυνση Στο δέκατο έβδομο μάθημα (6/11/2018), μιλήσαμε για τη δεύτερη μορφή του κανόνα αλυσίδας και στη συνέχεια μιλήσαμε για την παράγωγο κατά κατεύθυνση μιας πραγματικής συνάρτησης δύο μεταβλητών (Ενότητα 11.5, σελ. 888). Κανόνας Αλυσίδας (2η Μορφή) Κανόνας αλυσίδας στο R 2 : Έστω U, W R 2, ανοικτά. Αν f U R, g W U παραγωγίσιμες. Τότε η συνάρτηση h = f r W R, είναι παραγωγίσιμη και ισχύει = = + v v + v v. όπου g(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), h(x, y) = f (u(x, y), v(x, y)), ενώ οι μερικές παράγωγοι,, υπολογίζονται στο σημείο (u(x, y), v(x, y)). v Παρατήρηση. Οι παραπάνω σχέσεις με τη χρήση πινάκων γράφονται = v v v. Εδώ είδαμε το παράδειγμα. Έστω f R 2 R, g R 2 R 2, ώστε f (x, y) = x 2 + cos(y), g(x, y) = (e x y + 1, sin(x)). (i) Αν h = f g R 2 R, να υπολογιστούν με τον κανόνα της αλυσίδας οι τιμές 1

2 (0, 1), (0, 1). (ii) Να επαληθευτούν οι τιμές που βρήκατε στο (i), με απευθείας υπολογισμό των,. Για το (i): Εδώ έχουμε u(x, y) = e x y + 1, v(x, y) = sin(x), f (u(x, y), v(x, y)) = u 2 + cos(v). Από την τελευταία σχέση προκύπτει = 2 u, v = sin(v). Επίσης για (x, y) = (0, 1), έχουμε ότι u(0, 1) = 2, v(0, 1) = 0. Άρα από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε (0, 1) = (0, 1) = (2, 0) (0, 1) + v (2, 0) (0, 1) + v (2, 0) v(0, 1) (2, 0) v(0, 1), απ όπου τελικά προκύπτει (0, 1) = 4 (0, 1) = 0 Για το (ii): Έχουμε h(x, y) = f (u(x, y), v(x, y)) = u 2 + cos(v) = (e x y + 1) 2 + cos(sin(x)). Οπότε 2

3 = 2 (ex y + 1) y e x y sin(sin(x)) cos(x). = 2 (ex y + 1) x e x y. απ όπου τελικά προκύπτει (0, 1) = 4. (0, 1) = 0. Για το σπίτι είχατε H/W: (1) Έστω f R 2 R, g R 2 R 2, ώστε f (x, y) = x 2 tan 1 (y), g(x.y) = (x 2 y, e x ). (i) Αν h = f g R 2 R, να υπολογιστούν με τον κανόνα της αλυσίδας οι τιμές (1, 1), (1, 1). (ii) Να επαληθευτούν οι τιμές που βρήκατε στο (i), με απευθείας υπολογισμό των,. (2) Έστω f R 2 R, g R 2 R 2, ώστε f (x, y) = cos(x + y) + y 2, g(x, y) = (x + y, y 2 ). (i) Αν h = f g R 2 R, να υπολογιστούν με τον κανόνα της αλυσίδας οι τιμές (1, 1), (1, 1). (ii) Να επαληθευτούν οι τιμές που βρήκατε στο (i), με απευθείας υπολογισμό των,. Παράγωγος κατά κατεύθυνση (Ενότητα 11.5, σελ. 888) Ορισμός. Έστω U R 2 ανοικτό, f U R και v = (v 1, v 2 ) μοναδιαίο διάνυσμα ( v = 1). Αν (x 0, y 0 ) U και υπάρχει το όριο στο R lim h 0 f ((x 0, y 0 ) + h (v 1, v 2 )) f (x 0, y 0 ), h 3

4 τότε αυτό καλείται η κατά κατεύθυνση παράγωγος της f στο (x 0, y 0 ) στην κατεύθυνση του v και συμβολίζεται με D v f (x 0, y 0 ). Παρατήρηση. (i) Η παράγωγος κατά κατεύθυνση D v f (x 0, y 0 ), δίνει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο (x 0, y 0 ), στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος v. Θυμηθείτε ότι οι μερικές παράγωγοι (x 0, y 0 ), (x 0, y 0 ), δίνουν το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο (x 0, y 0 ), στις κατευθύνσεις των μοναδιαίων διανυσμάτων (1, 0) και (0, 1) αντίστοιχα. Δείτε τα σχήματα του βιβλίου για καλύτερη κατανόηση!! (ii) Όπως παρατηρήσαμε και στο μάθημα και όπως ισχύει και στην περίπτωση των μερικών παραγώγων, η ύπαρξη της D v f (x 0, y 0 ), δεν απαιτεί την παραγωγισιμότητα της f στο (x 0, y 0 ). Στη συνέχεια διατυπώσαμε και αποδείξαμε το παρακάτω Θεώρημα, το οποίο μας διευκολύνει στον υπολογισμό της παραγώγου κατά κατεύθυνση. Θεώρημα. Έστω U R 2 ανοικτό, f U R παραγωγίσιμη και v = (v 1, v 2 ) μοναδιαίο διάνυσμα. Τότε η κατά κατεύθυνση παράγωγος της f στο (x 0, y 0 ) στην κατεύθυνση του v, δίνεται από τη σχεση D v f (x 0, y 0 ) = f (x 0, y 0 ) (v 1, v 2 ) = (x 0, y 0 ) v 1 + (x 0, y 0 ) v 2. Είδαμε το παράδειγμα: Έστω f (x, y) = x 2 e y και v = (1, 1). Να βρεθεί η κατά κατεύθυνση παράγωγος της f στο (1, 1) στην κατεύθυνση του v. Εδώ δουλέψαμε ως εξής. Προκειμένου να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα, από τη συνέχεια των μερικών παραγώγων εξασφαλίσαμε την παραγωγισιμότητα της f. Πράγματι έχουμε = 2 x e y, = x2 e y, οι οποίες είναι συνεχείς στο R 2, άρα η f είναι παραγωγίσιμη R 2. Επίσης παρατηρούμε ότι το διάνυσμα v που δίνεται, δεν είναι μοναδιαίο. Οπότε ως κατέθυνση του διανύσματος v, θα πάρουμε το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα u = v (1, 1) = = (1/ 2, 1/ 2) = ( 2/2, 2/2 ). v Άρα η κατά κατεύθυνση παράγωγος της f στο (1, 1), στην κατεύθυνση του v, θα είναι D u f (1, 1) = f (1, 1) ( 2/2, 2/2 ) = (1, 1) 2/2 + (1, 1) 2/2 = 2 2 e 2 1 e = 2 e.

5 Για το σπίτι είχατε H/W: Να γίνουν οι ασκήσεις 9, 10 του βιβλίου, στη σελίδα 890. Στη συνέχεια διατυπώσαμε και αποδείξαμε το παρακάτω Θεώρημα, το οποίο δίνει και μια γεωμετρική ερμηνεία για το f. Θεώρημα (Γεωμετρική ερμηνεία του f ). Έστω f παραγωγίσιμη και f (x 0, y 0 ) 0. Τότε (i) Το f (x 0, y 0 ) δείχνει την κατεύθυνση, κατά μήκος της οποίας η f αυξάνει γρηγορότερα. (ii) Το - f (x 0, y 0 ) δείχνει την κατεύθυνση, κατά μήκος της οποίας η f μειώνεται γρηγορότερα. Σκιαγράφηση Απόδειξης: ισχύει Από τα προηγούμενα είδαμε ότι αν v μοναδιάιο διάνυσμα, τότε και για θ [0, π], έχουμε D v f (x 0, y 0 ) = f (x 0, y 0 ) v D v f (x 0, y 0 ) = f (x 0, y 0 ) v cos(θ) = f (x 0, y 0 ) cos(θ), ( v = 1 ). Από την τελευταία σχέση φαίνεται ότι (i) Η D v f (x 0, y 0 ) γίνεται μέγιστη, όταν cos(θ) = 1, δηλαδή για θ = 0. Τότε τo διάνυσμα v είναι ομόρροπο με το f (x 0, y 0 ). Δηλαδή v = f (x 0, y 0 ) f (x 0, y 0 ). Σε αυτή την περίπτωση ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής είναι D v f (x 0, y 0 ) = f (x 0, y 0 ). (ii) Η D v f (x 0, y 0 ) γίνεται ελάχιστη, όταν cos(θ) = 1, δηλαδή για θ = π. Τότε τo διάνυσμα v είναι αντίρροπο με το f (x 0, y 0 ). Δηλαδή v = f (x 0, y 0 ) f (x 0, y 0 ). Σε αυτή την περίπτωση ο ελάχιστος ρυθμός μεταβολής είναι D v f (x 0, y 0 ) = f (x 0, y 0 ). 5

6 Παρατήρηση. Όπως είπαμε και στο μάθημα η διαισθητική ερμηνεία του παραπάνω Θεωρήματος είναι η εξής. Αν κάποιος βρίσκεται στο σημείο (x 0, y 0 ) και θέλει να κινηθεί προς την κατευθυνση, στην οποία η f αυξάνει γρηγορότερα, τότε πρέπει να κινηθεί προς την κατεύθυνση που ορίζει το f (x 0, y 0 ) και που δίνεται από το μοναδιαίο διάνυσμα v = f (x 0,y 0 ). Δείτε το βιβλίο για σχήματα!!!!!! f (x 0,y 0 ) Στη συνέχεια είδαμε το παρακάτω παράδειγμα (υπάρχει λυμμένο στο βιβλίο). Αν f (x, y) = x2 +y 2, να βρεθούν οι κατευθύνσεις στις οποίες 2 (i) Η f παρουσιάζει μέγιστη αύξηση στο (1, 1). (ii) Η f παρουσιάζει μέγιστη μείωση στο (1, 1). (iii) Η f παρουσιάζει μηδενική μεταβολή στο (1, 1). Τέλος, είδαμε ένα παράδειγμα στο R 3 : Αν f (x, y, z) = x 3 x y 2 z, (i) Βρείτε την παράγωγο κατά κατεύθυνση της f στο (1, 1, 0), στην κατεύθυνση του v = (0, 1, 0). (ii) Σε ποια κατεύθυνση παρουσιάζει η f μέγιστη αύξηση στο (1, 1, 0) και ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής στην κατεύθυνση αυτή; Για το (i): Εδώ δουλεύουμε ακριβώς όπως στο R 2. Βρίσκουμε πρώτα τις μερικές παραγώγους. = 3 x2 y 2, = 2 y x, z = 1. Άρα η παράγωγος κατά κατεύθυνση της f στο (1, 1, 0), στην κατεύθυνση του v = (0, 1, 0) (εδώ v μοναδιαίο) είναι D v f (1, 1, 0) = f (1, 1, 0) v = (1, 1, 0) 0 + (1, 1, 0) 1 + (1, 1, 0) 0 z = 2. Για το (ii): Γνωρίζουμε ότι η κατεύθυνση, στην οποία η f παρουσιάζει μέγιστη αύξηση στο (1, 1, 0) είναι αυτή που ορίζει το διάνυσμα f (1, 1, 0) και η οποία δίνεται από το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα u = = f (1, 1, 0) f (1, 1, 0) = (2, 2, 1) ( 2) 2 + ( 1) 2 (2, 2, 1) = (2/3, 2/3, 1/3). 3 6

7 Επίσης, ο ρυθμος μεταβολής στην κατεύθυνση αυτή θα είναι D u f (1, 1, 0) = f (1, 1, 0) = 3. Για το σπίτι είχατε H/W: Να γίνουν οι ασκήσεις 17, 18, 21, 22 του βιβλίου, στη σελίδα

Σχετικά έγγραφα

Ανασκόπηση-Μάθημα 14 Όρια και Συνέχεια συναρτήσεων στο R 2

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 14 Όρια και Συνέχεια συναρτήσεων στο R 2 Στο δέκατο τέταρτο μάθημα (30/10/2018), ασχοληθήκαμε