3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49

50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila

3.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 51 3.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a 3.1 Iru d ia : a ra zoa ren a u rk ezp en a E red u ba ten la g u n tza z a ld a g a i ba t beste ba ten bid ez a d iera zi a h a lk o d u g u, h a u d a fu n tzio ba t ed u k ik o d u g u : x = f(y), y = g(x), x = h(t), t = s(x) f, g, h, s: bi a ld a g a ien a rtea n zein erla zio d a g oen a d iera zten d u te Au rrek o g a ia n (seg id a k ), ik u si g en u en zein era g in zu en a ld a g a i ba tek, n, bestea ren g a n, a. Ad ibid ez: a n = n+1 n, n 1 Ad iera zp en h a u beste m od u h on eta n ere id a tz d eza k eg u : a(n) = n+1 n, n = 1, 2, 3,... (n a ld a g a i a rru n ta d a ) O ra in, ord ea, y = f(x) m od u k o erla zioa k in teresa tzen za izk ig u, n on x R d en. P la n tea tzen za ig u n a ra zoa seg id eta n g en eu k a n a ren berbera d a : tresn eria m a tem a tik o eg ok ia g a ra tzea ed ozein y = f(x) fu n tzioren p rop ieta tea k a ztertu a h a l iza tek o. 3.2 Fu n tzio e n p ro p ie ta te a k S eg id eta n a ztertu g en itu en p rop ieta tea k ora in ere in teresg a rria k iza n g o d ira (ik u s 3.2 ta u la n d a u d en a d iera zp en a k ). G og ora tu : g ora k orta su n a / beh era k orta su n a born a k eta a ld a g a i in d ep en d en tea ren jok a era -ra n tz d oa n ea n

52 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK a n segida beherakorra eta y = f(x) funtzio beherakorra a n segida bornatua eta y = f(x) funtzio bornatua n, -rantz doanean eta x, -rantz doanean 3.1 Taula: funtzioen propietateak

3.2. FUNTZIOEN PROPIETATEAK 53 B aina orain interesatzen zaizkigun propietate berri gehiago ere badago. Adibidez: Aldagai bakoitza defi nituta dagoen eremua x n segidetarako, n beti izan daiteke edozein zenbaki arrunt. y = f(x) funtzioetarako, aldiz, posible da x aldagaiak R-ko balio guztiak hartu ahal ez izatea: f(x) = 1 x, h(x) = 1 (x 1)(x+2), g(x) = (x 1)(x + 2) funtzioak hartuta: f(x) : x R x 0 h(x) : x R x 1, 2 { x 1 0 x + 2 0 (1) g(x) : (x 1)(x + 2) 0 x 1 0 x + 2 0 (2) (1) x 1 eta x 2 [1, ) (2) x 1 eta x 2 (, 2] B eraz: (, 2] [1, ) 3.1. Defi niz ioa y = f(x) funtzioaren erem ua funtzio baten erem ua x ald agaia d efi - nituta d agoen R-ko gunea d a. 3.2. Defi niz ioa y = f(x) funtzioaren h eina y ald agaia d efi nituta d agoen R-ko gunea d a. Adibidez, y = x 2 funtziorako: D = (, ) R = [0, ) D = ( 1, 3] R = [0, 9 ] R = [0, ) R = [0, 9 ] 3.2 Taula: eremuak y aldagaiaren portaera x x 0 balio batera hurbiltzen doanean (segidetan aztertu dezakegun bakarra x n -ren jokaera da n denean)

54 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK x x 0 -rantz eskuinetik hurbiltzen den heinean (x > x 0 ) y aldagaia gero eta handiagoa egiten da. 3.2 Irudia: x x 0 -rantz eskuinetik hurbiltzean, y aldagaia gero eta handiagoa da x x 0 -rantz ezkerretik hurbiltzen doan heinean (x < x 0 ), y d-rantz gerturatzen da, eta, x x 0 - rantz eskuinetik hurbiltzean, aldiz, y c-ra gerturatzen da. 3.3 Irudia: x x 0 -rantz ezkerretik edo eskuinetik hurbiltzean y-k portaera ezberdina du x aldagaia x 0 -tik pasatzen denean, y aldagaiaren portaera aldatzen da, parabolikotik linealera 3.4 Irudia: x x 0 -tik pasatzean y-ren portaera aldatzen da

3.2. FUNTZIOEN PROPIETATEAK 55 y = f(x) funtzio batek definitutako beste parametroak Eremu lau baten azalera(a) K urba baten luzera eta grabitate-zentroa(b) Biraketa-gorputz baten bolumena edo gainazalaren azalera(c) y-ren batezbesteko balioa(d) 3.5 Irudia: y = f(x) funtzio batek definitutako beste parametroak

56 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.3 Funtzioen kontzeptua: ad ierazpen ezb erd inak 3.6 Irudia: y = f(x) funtzio baten adierazpen ezberdinak 3.1. Ariketa a) Analitikoa: A(α) = H2 sin α co s α 2 = H2 4 sin 2α, α [ 0, π ] [ ] 2, A H 2 4 izanik. 3.7 Irudia: A(α) funtzioaren adierazpen ezberdinak

3.3. FUNTZIOEN KONTZEPTUA: ADIERAZPEN EZB ERDINAK 57 Taula: α A 0 0 π/8 0.18H 2 π/4 0.25H 2 3π/8 0.18H 2 π/2 0 R 2 -ko multzoa: {( ) α, H2 4 sin 2α α [ 0, π ] } 2 b) Analitikoa: H(L) = L 2 + 4, L [0, ) eta H [2, ) izanik. Ikus dezakegunez, L hazten doan heinean H L-ra gerturatzen da. Grafikoa begiratuz, logikoa da gertatzen dena, H = L funtzioaren asintota delako. 3.8 Irudia: H(L)-ren grafikoa Taula: L H 0 2 0.3 2.02 0.7 2.12 6 6.32 15 15.13 30 30.07 R 2 -ko multzoa: {(L, L 2 + 4 L [0, } d ) Analitikoa: L(H) = H 2 25, H [5, ) eta L [0, ) izanik. Ikus dezakegunez, H -rantz doanean L(H) H-ra gerturatzen da, baina kasu honetan L(H) < H (L = H asintota). H L 5 0 Taula: 7.3 5.32 12.1 11.02 R 2 -ko multzoa: {(H, H 2 25) H 5} 36.8 36.46 150 149.9

58 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.9 Irudia: L(H)-ren grafikoa e) Ezagutzen ditugun datuak: L inealtasuna: F = mc + n c F Taula: 0 32 Eta beraz, 32 = n denez: 210 = 100m + 32 m = 1.8 100 210 Ondorioz, F = 1.8c + 32, c ( 273, ) eta F ( 459.4, ) izanik. 273 0 absolutuaren tenperatura da; gasek 0 bolumena beteko lukete, fisikoki lortu ezin dena. 1995-ean bi zientzilari amerikarrek gas bat 0 absolututik 10 9 -ra hoztea lortu zuten. R 2 -ko multzoa: {(c, 1.8c + 32) c ( 273, )} 3.10 Irudia: e ariketako grafikoa

3.3. FUNTZIOEN KONTZEPTUA: ADIERAZPEN EZBERDINAK 59 f) y =max {x, 1 x} { { x x 1 x bada x x 1/2 bada Analitikoa: y = 1 x x < 1 x bada 1 x x < 1/2 bada x y 0 max{0, 1} = 1 0.2 max{0.2, 0.8} = 0.8 Taula: 0.4 max{0.4, 0.6} = 0.6 0.5 max{0.5, 0.5} = 0.5 0.7 max{0.7, 0.3} = 0.7 R 2 -ko multzoa: {(x, y) y = x, x 1/2, y = 1 x, x < 1/2} 3.11 Irudia: y funtzioaren grafikoa g ) Analitikoa: A(α) = α R2 2, L(α) = αr non α [0, 2π], A [0, πr2 ] eta L [0, 2πR]. 3.12 Irudia: A(α) eta L(α)

60 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Taula: α A L 0 0 0 π/2 πr 2 /4 πr/2 π πr 2 /2 πr 2π πr 2 2πR 3.13 Irudia: A(α) eta L(α) funtzioen grafikoak R-ren balioen arabera Eztabaida: A(α) > L(α) α R2 2 > αr R > 2 A(α) = L(α) α = 0, R = 2, R R A(α) < L(α) R < 2 Z ein da A(α) eta L(α)-ren arteko distantzia? D(R) = A(R) L(R) = αr2 2 αr = αr R 2 1 αr ( R = 2 1) R > 2 0 R = 2 αr ( 1 R ) 2 R < 2 α (0, 2π] eta D(R) (0, ) izanik. 3.14 Irudia: A(α) eta L(α)-ren arteko distantzia

3.4. ALDERANTZIZKO FUNTZIOA 61 3.4 Alderantzizko funtzioa y = f(x) funtzioa emanda, batzutan x = h(y) funtzioa lortzea interesgarria izan daiteke. Kasu horretan, x menpeko aldagai bihurtzen da, eta y berriz, aldagai aske. 3.1. Adibidea Pelota bat goruntz jaurtitzen [ ] da. h(t) = g t2 2 + v 0t t 0, 2g v 0, h [0, H], H = v2 0 2g Orain, interesgarria izan daiteke h altuera lortzen duen t momentua kalkulatzea, h bakoitzerako t = v 0 ± v 2 0 2gh g = t 1, t 2 3.15 Irudia: h(t) funtzioa Kasu honetan, t bakarra da, h altuera maximoa baldin bada, H; orduan t = v 0 /g. Baina, orokorrean, t-ren bi balio posible existituko dira. 3.16 Irudia: t-ren bi balio posibleak Egoera honen enuntziatu orokorra ondorengoa da: y = f(x), x D, y R

62 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK f(x) funtzioa d a : x D Iy R f(x) = y ba ina ez d a ex istitzen a ld era ntzizk o funtzioa (funtzioa iza tek o, a ld a g a i ind epend entea ren ba lio ba k oitzera k o m enpek o a ld a g a ia ren ba lio B AK AR R A d a g ok io): y R x 1, x 2 D eta f(x 1 ) = f(x 2 ) = y Pa rek ota sun ba t: D em a g un bid e ezberd ina k d a ud ela a uk era n. B id e ba k oitzetik h elm ug a ba tera iristen d a (m od u ba k a r ba tea n). B a ina bola h elm ug a ba tea n ba d a g o (a ld a g a i ind e- pend entea ren ba lioa ) ezin d a ja k in a uk era tuta k o bid ea zein iza n zen (m enpek o a ld a g a ia ren ba lioa ). B ola 1,2,3 ed o 4 bid ea n erortzen uzten d a : 3.1 7 Irud ia : bola erortzen uzten d a 1,2,3,4 a uk era ba k oitzera k o A ed o B -ra iristen d a bola, m od u ba k a rrea n. Funtzio ba t d a, bera z: - Iza te erem ua : 1, 2, 3, 4 - H eina : A, B B a ina h eina ren ba lioa eza g utzen ba d a soilik, ezin d a beti ziurta tu a bia puntua zein iza n zen: 3.1 8 Irud ia : zein bid etik etorri d a bola? Problem a h a u (bola ren a bia puntua a ztertzea A-n d a g oela ja k inik ) zoria a ztertzen d uen teoria m a tem a tik oa ren (proba bilita te teoria ) bid ez eba tzi d a itek e. G a ra tzen a ri g a ren teoria n UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila

3.4. AL D E R AN T Z IZ K O F U N T Z IO A 63 (kalkulu infi nitesimala) modu hontako egoerak aztertzen dira: x aldagai independentearen balio bakoitzari, y menpeko aldagaiaren balio bakarra dagokio. y bakoitzari x bakarra dagokion kasuetan, alderantzizko funtzioa existitzen dela esango dugu eta f 1 (y) izendatuko dugu. (funtzio injektiboa) 3.19 Irudia: Alderantzizko funtzioa Baina zein dira baldintza nahikoak alderantzizko funtzioaren existentzia ziurtatzeko? 3.20 Irudia: funtzio gorakorrak eta beherakorrak 3.2. Ariketa Izan bedi funtzio bat zatika gorakorra/ beherakorra; adibidez gora botatako pelotaren funtzioa. N ola eraiki daiteke alderantzizkoa duen funtzio bat? x-en eremua murriztu behar da. D = [a, b] eremua R = [c, d] heina 3.21 Irudia: hasierako funtzioa

64 3. KAP ITULUA ALDAG AI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.3. Ariketa Aurreko funtziotik abiatuta eraiki alderantzikoa duten hainbat funtzio. D = [q, b] R = [r, t] D = [a, p] R = [c, d] D = [a, s] [q, b] R = [c, r] [r, t] 3.22 Irudia: Adibide batzuk FU NT Z IO ARRU NT BAT Z U RE N AL DE RANT Z IZ KO FU NT Z IO AK: 1. y = e x x = ln y non x (, ) eta y (0, ) diren. 3.23 Irudia: y = e x funtzioaren eta bere alderantzizko funtzioaren grafikoak 2. y = sin x funtzioak ez du alderantzizkorik D = R eremu osoan, baina, adibidez, x [ π 2, π 2 ] puntuetan badu alderantzizko funtzioa. Beraz: y [ π 2, π 2 ]!x [ 1, 1] non sin x = y x = a rcsin y

3.4. ALDERANTZIZKO FUNTZIOA 65 3.24 Irudia: y = sin x funtzioaren eta x = arcsin y funtzioaren grafikoak 3. y = co s x funtzioak ez du alderantzizkorik D = R eremuan, baina bai [0, π] tarteko puntuetan. Beraz: y [ 1, 1],!x [0, π] non co s x = y x = arcco s y 3.25 Irudia: y = co s x funtzioaren eta x = arcco s y funtzioaren grafikoak 4. y = tan x funtzioak ez du alderantzizkorik R-n, baina bai ( π 2, π 2 ) tarteko puntuetan. Beraz: y (, )!x ( π 2, π 2 ) non tan x = y x = arctan y

66 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.26 Irudia: y = tan x funtzioaren eta x = arctan y funtzioaren grafikoak 3.5 Fu n tzio e n ko n p o sa ke ta 3.2. Ad ib id ea Demagun bare dagoen urmael batera harri bat erortzen uzten dugula, uhin zirkular zentrokideak sortuko direlarik. Uhin baten erradioa r bada, zein da bere azalera? A(r) = πr 2 3.27 Irudia: uhin zirkularraren azalera Baina r erradioaren balioa denborarekin aldatzen da, hau da, beste funtzio bat daukagu: r= r(t) Nola idatz dezakegu A azaleraren balioa t-ren menpean? Demagun r(t) = 0.6t dela.orduan: A(r) = πr 2 r(t) = 0.6t A(t) = π(0.6t) 2 = 0.36πt 2

3.5. FUNTZIOEN KONPOS AKETA 67 3.28 Irudia: A(r), r(t) eta A(t) funtzioen grafikoak Beraz, A(t) funtzioa bi urratsetan definituta dago: - Lehenengo, t aldagai independentearen balio bat hartuko dugu. - r menpeko aldagaiaren balio bat lortzen da: r(t) = 0.6t. - r-ren balio hori aldagai independentearen baliotzat hartzen da eta menpeko aldagaiaren balio berria kalkulatzen da: A(r) = πr 2 3.29 Irudia: funtzio baten konposaketa A funtzioaren bi urratseko definizio honi konposaketa deitzen zaio. r(t) = 0.6t eta A(r) = πr 2 A(r(t)) = π(0.6t) 3.3. Adibidea Auto baten gurpilaren biraketa azter dezagun.

68 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK x = αr non α [ 0, 3π ] 2 x [ 0, 3πR ] 2 3.30 Irudia: gurpilaren biraketa Demagun motorrak segundoko erreboluzio bat eragiten duela: α(t) = 2πt, t segundoak izanik.orduan: x(t) = α(t)r = 2πtR metro x(α(t)) = x(t) funtzioen arteko konposaketa da. 3.31 Irudia: x(α(t)) funtzio konposatua 0 α 3π 2 0 2πt 3π 2 0 t 3 4 = 0.7 5 segundo M otorrak biraketa abiadura ezberdinak eragin ditzake: α(t) = 2πt 2 edo α(t) = 2πe t adibidez. 3.4. Ariketa x(t)-ren adierazpena eman kasu hauetan, t aldagaiaren eremua zehaztuz. 3.4. Adibidea Batzutan funtzioen konposaketak funtzio baten adierazpena sinplifikatu dezake.

3.5. FUNTZIOEN KONPOSAKETA 69 y(1.3) = 2.23 y(2.6) = 2.9 9 heina= [2.23, 2.9 9 ] 3.32 Irudia: y(x) funtzioaren grafikoa y = x + 3 x, non x [1.3, 2.6] eremua izanik. x = z 6 hartzen badugu, z 3 = ±x 1/2 izango da, eta beraz, zeinu positiboa hartuz: y(z) = z 3 + z 2 = z 2 (z + 1) Ondorioz: 6 1.3 = 1.04 eta 6 2.6 = 1.17 z [1.04, 1.17] 3.33 Irudia: x(z) eta y(z) funtzioen grafikoak

70 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.34 Irudia: funtzio konposatua 3.5. Ariketa Egin aurrekoa baina x 1/2 = z 3 hartuta. Lortu y(z) eta x(z) adierazpenak. 3.6 y(x) funtzio b aten jarreraren azterketa x = a-ren ing urunean (lim iteak) S egiden kasuan, ez du zentzurik a n -ren portaeraren azterketa egiteak n n 0 batetik gertu dagoenean: ez dira existitzen n N balioak ez (n 1, n) tartean, ezta (n,n+ 1)-en ere. 3.35 Irudia: a n ez dago definituta (n 1, n) eta (n, n + 1) tarteetan Baina aldagaia erreala bada, beti existitzen dira R-ko balioak x = a puntutik nahi bezain hurbil daudenak. 3.36 Irudia: (x, a) eta (a, x + 1) tarteetan balio erreal daude Ondorioz, (a, b) tartean R guztian dauden ADINA zenbaki erreal dago!!

3.6. FUNTZIOEN LIM ITEAK 71 3.5. Adibidea y = x 2 + 1 D = R R = [1, ) 3.37 Irudia: y = x 2 + 1 funtzioaren grafikoa Ikus dezagun y-ren jarrera nolakoa den x-en balioak x = 2 puntutik hurbil daudenean. x y ±1.9 4.61 x 2-ra hurbiltzen doan heinean, y 5-ra gerturatzen da; ±1.99 4.9601 ±1.999 4.9960 baina kontuz, y-ren portaeraren azterketa egiten ari gara, aurretik ezarri dugun modua erabiliz. Nola froga dezakegu, x 2-ra hurbiltzen den modua kontutan hartu gabe, y BETI 5-era gerturatzen dela? Hurrengo baliokidetasuna betetzen dela pentsa dezakegu: 2-rako hurbilketa modu arbitrarioa segida konbergentea x = 2-ra Adibidez, x n = 2 + 1 n y(x n) = ( 2 + n) 1 2 + 1 = 5 + 4 n + 1 n 2 Beraz, lim (5 + 4n + 1n ) n 2 = 5 Kasu konkretu BATEAN frogatu dugu bakarrik ( x n = 2 + 1 n Baina nola egin dezakegu orokorrean? Izan bedi x n non denean) lim x n = 2 n

72 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK lim n y(x n ) = 5? y(x n ) = (x n ) 2 + 1 lim n 3.6. Adibidea y = x2 1 x 1, D = R {1} [ (xn ) 2 + 1 ] = ( lim n x n ) ( lim n x n ) + lim n 1 = 2 2 + 1 = 5 Demagun x n -ren limitea 1 dela. lim n (x n + 1) = 2 al da? Adibide honek erakusten digu EZIN dela edozein segida erabili. y(x n )-k zentzua izan dezan, ez da nahikoa lim n x n = a betetzea, x n, funtzioaren eremuan ere egon behar da. Izan ere, posible da a / D betetzea, hau da, f(a) ez existitzea. Bestalde: y = x2 1 x 1 = (x + 1)(x 1) x 1 = x + 1 Zein da y = x2 1 x 1 eta y = x + 1 funtzioen arteko ezberdintasuna? Lehenengo funtzioan x 1 sinplifika daiteke x 1 denean soilik: y = x2 1 x 1, D = R {1} y = x + 1 Bi funtzioak berberak dira x 1 puntuetan: 3.38 Irudia: y = x + 1 eta y = x2 1 x 1 funtzioen grafikoak

3.6. FUNTZIOEN LIMITEAK 73 3.3. Defi niz ioa x aldagaia a p u n tu ra gertu ratzen den m odu a edo zein izan da ere, y aldagaia B E T I balio berberera h u rbiltzen da. B alio h o rri lim itea deitu ko diogu. H au da: x n lim n x n = a x n D, lim n y(x n ) = l Labu rbildu z: lim x f(x) = l Baina nola froga daiteke y(x) funtzio jakin baterako lim x a f(x) ez dela existitzen? lim y(x n) x n, z n (x n, z n D) lim x n = lim z n = a lim y(x n) lim y(z n) n n n n n 3.7. Adibidea { x y(x) = 2 + 1 x < 0 2 x x > 0 lim x 0 y(x)? Ad ibid ez, x n = 1 n, z n = n+ 1 n 2 + 1 D = R {0} ha rtu ta, lim n x n = lim n z n = 0 x n 0 z n x n, z n D lim n lim n y(x n ) = lim n y(z n ) = lim n ( 2 1 ) = 2 n ( 2 n + 1 ) n 2 = 2 + 1 B a in a horrek E Z d u frog a tzen lim itea ex istitzen d en a la ez. w n = 1 n < 0 fu n tzioa ha rtu ta, a ld iz: lim n y(w n ) = lim n (( 1 ) ) + 1 = lim n n ( ) 1 n 2 + 1 = 1 B era z, y g ertu ra tzen d en ba lio hori, x = 0-ra hu rbiltzek o era bili beha r d en bid ea ren M E N - P E K O A d a, eta on d orioz ez d a ex istitzen lim x 0 y(x). Matematika A p likatu a S aila U E P D o n o stia

74 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK x n n 0 bada, x n > 0 izanik lim n y(x n ) = 2 lim x 0 + y(x n ) = 2 moduan idatziko dugu. x n n 0 bada, x n < 0 izanik lim n y(x n ) = 1 lim x 0 y(x n ) = 1 moduan idatziko dugu. 3.3 9 Irudia: y = x 2 + 1 funtzioaren grafi koa 3.6. Ariketa D efi nitu formalki: lim y, lim y x a + x a 3.7 R(h) m a g n itu d e b a te n lim ite a re n ka lku lu a y aldagai baten limitea (lim x x0 y) existitzeak, x 0 inguruko y-ren portaerari buruzko informazio ugari ematen digu, berehala ikusiko dugun bezala. Baina atal honetan aztertuko dugu nola bihurtzen den lim h 0 R(h) = T moduko kalkulu erraz bat jarraian datorren Kalkulu Infi nitesimalaren Teoria guztiaren OINAR R I. Teoria guztia R magnitude bat (h aldagai independentea 0-rantz doanean) gerturatzen den balioaren kalkuluan datza. H au da: 1. L ehendabizi, kalkulatu nahi dugun T magnitudea zehazten da (eremu lau baten azalera, kurba baten luzera, kurba baten malda, bolumen bat...) 3.40 Irudia: magnitudeen adibideak

3.7. R(H) M AGNITUDE B ATEN LIM ITEAREN KALKULUA 75 T = A, L, m, B kalkulatu beharreko balioak izango dira. 2. R(h) funtzio bat eraikitzen da, non zenbat eta h txikiagoa hartu orduan eta hurbilago egongo den (R(h)) T -tik. 3. R(h) ez da h = 0-n definituta egongo (hau da, R(0)), baina R(h) T -ra gerturatzen da h 0-rantz doanean: Ez da existitzen R(0) baina T = lim h 0 R(h) 3.41 Irudia: R(h) funtzioaren grafikoa Aurrerago ikusiko dugu nola aplikatzen den teknika hau kasu bakoitzean. Orain kasu batzuren eskema txiki bat aurreratuko dugu: 3.7.1 P u n tu b a te ko m a ld a re n ka lku lu a 1. Kalkulatu nahi dugun balioa: m: x = a puntuan kurba bati ukitzailea den zuzenaren malda 3.42 Irudia: kurba bati ukitzailea den zuzenaren malda f(a+h) f(a) h 2. Zuzen sekantearen malda kalkulatzea erraza da: Beraz, R(h) = f(a+h) f(a) h funtzioak m-ren hurbilketa bat ematen digu.

76 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.43 Irudia: zuzen sekantearen malda Zenbat eta h txikiagoa izan orduan eta hurbilketa hobea lortuko da. R ez dago h = 0 puntuan definituta: R(0) = f(a) f(a) 0 = 0 0?? Baina posible da hurrengoa existitzea: lim R(h) = h 0 sekanteen maldak hurbiltzen diren balioak 3.44 Irudia: lim h 0 R(h) Eta kasu horretan, bilatzen ari ginen balioa: f(a + h) f(a) m = lim R(h) = lim h 0 h 0 h ( ) f(a + h) f(a) f(a + h) f(a) m baina lim = m h h 0 h 3.7.2 E remu lau baten az aleraren kalkulua 1. Kalkulatu nahi dugun balioa = A = OX ardatzak eta y = f(x) kurbak x [a, b] tartean mugatzen duten azalera.

3.7. R(H) MAGNITUDE BATEN LIMITEAREN KALKULUA 77 3.45 Irudia: y = f(x) funtzioak eta OX ardatzak mugatzen duten eremuaren azalera 2. R(h) hurbilketa-funtzioa eraikitzen dugu: [a, b] tartea lau tartetan zatitzen da, h = b a 4 R(h) = hf(a)+hf(a+h)+hf(a+2h)+f(a+3h) = h(f(a) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h)) 3.46 Irudia: R(h) hurbilketa funtzioa Tarte gehiago hartzen badira, h = b a n : R(h) = h(f(a) + f(a + h) +... + f(a + (n 1)h)) R(h) ez dago definituta h = 0-n ( h(0), h = 0 b = a delako). Baina f(x)-ek baldintza jakin batzuk betetzen baditu, h 0-tik zenbat eta hurbilago egon orduan eta hurbilketa hobea lortuko da, A R(h), hau da: A = lim h 0 R(h) 3.7.3 K urba baten luzeraren kalkulua 1. L : y = f(x) kurbaren arku-luzera x [a, b] tartean.

78 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.47 Irudia: arku luzera 2. Kurba zatitzen dugu; zati bakoitzaren luzera, kurbari sekantea den segmentuaren luzeraren bidez hurbiltzen da: Adibidez: 3.48 Irudia: kurbaren luzeraren hurbilketa sekanteen bidez R(h) = n h 2 + (f(a + kh) f(a + (k 1)h) 2 k=1 n = b a h 3.49 Irudia: kurba zatiaren luzeraren hurbilketa 3. R(h) ez dago h = 0-n definituta, baina baldintza nahikoak betetzen badira, h 0 doan heinean, R(h) L hurbilketa hobea da. Azkenik: L = lim h 0 R(h)

3.7. R(H) MAGNITUDE BATEN LIMITEAREN KALKULUA 79 Aplikazioen adibide hauek arazo batzuk iradokitzen dizkigute(t = balio zehatza, R(h)=T - ra hurbilketa): Lehen esan dugunez, f(x)-ek baldintza nahikoak betetzen baditu, lim h 0 R(h) = T. Baina zein dira baldintza horiek? R(h)-ren adierazpena korapilatsua da kasu askotan. * 3.7.1: f(x) = x + 1 xco s x bada R(h) = a+h+1 (a+h)c o s (a+h) a+1 ac o s a h lim h 0 R(h) =?? * 3.7.2 eta 3.7.3: Ohartu batugaien kopurua -rantz doala h 0 denean: h = b a n Arazo hauen erantzuna Kalkulu Infinitesimalaren teoria aurkitzen dugu: Kasu bakoitzerako (A, L, B, m etb.) badago teoremaren bat f(x)-ek bete behar dituen baldintzak zehazten dituena lim h 0 R(h) = T bete dadin. Adibidez, 3.7.2 (azalera) kasuan, ziurtatu dezakegu lim R(h) = A h 0 dela, hurrengoa betetzen bada: - f(x) [a, b]-n definituta dago. - f(x) jarraia da [a, b]-n. lim h 0 R(h)-ren kalkulu zuzenaren zailtasunari dagokionez, badaukagu teorema bat laburbide bat erakusten diguna; laburbide honen bidez ez da beharrezkoa R(h)- ren adierazpena lortzea, ezta lim h 0 R(h)-ren kalkulu zehatza egitea ere. G utxitan kalkulatu beharko ditugu R(h) eta lim h 0 R(h), parametro garrantzitsu guztiak (luzera, azalera, inertzi momentua...) bakoitzari dagokion laburbidea erabiliz lortu baitaitezke. 3.7.1 arazoan erabili beharreko laburbidea f (x) funtzio deribatua da. 3.7.2 eta 3.7.3 arazoetan laburbidea integrazioa da.

80 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.50 Irudia: eskema Kalkulu zuzenaren prozedura garrantzitsuenak aztertzen joango gara aurrerantzean. Ikus dezagun orain R(h) eta lim h 0 R(h) = T -ren kalkulua zein zaila izan daitekeen erakutsiko digun adibide bat: Adibidea: Hiruki baten azalera h = b 0 n = b n, h 0 3.51 Irudia: hiruki baten azalera R(h) = h(y(0) + y(h) + y(2h) + + y((n 1)h)) = ( ( = h a + a 1 h ) ( + a 1 2h ) ( )) (n 1)h + + a 1 = b b b ( ( = ah 1 + 1 h ) ( + 1 2h ) ( )) (n 1)h + + 1 = b b b = ah (n hb ) ( (1 + 2 + + (n 1)) = ah n h ) n(n 1) = b 2 ( b = ah h h ( b b h h 1) ) = ab b 2 2 + a 2 h

3.8. LIMITEAREN EX IS TENTZIAREN ɛ δ KARAKTERIZAZIOA 81 Beraz: ( ab A = lim h 0 2 + a ) 2 h = ab 2 3.52 Irudia: lim h 0 R(h) Oharra: Zergatik 1 + 2 + 3 + + (n 1) = n(n 1) 2? 1 + 2 + 3 + + (n 1) (n 1) + (n 2) + (n 3) + + 1 n + n + n + + n 1 + 2 + 3 + + (n 1) = n(n 1) 2 3.8 L imitearen ex istentziaren ɛ δ ka ra kte riza zio a Ad ibid ea : D em a g u n m a kin a ba t V ten tsio ba tera lotu ta d a g oela ; ten tsio h orreta tik I in ten tsita te ba t d oa. V -ri ba lioa k em a n ez I-ren ba lio ezberd in a k lortu ko d ira, h a u d a, I = I(V ). L a n a ren ten tsioa V = 3 5 0V d a. H a la ere, V -k g o- ra beh era (fl u ktu a zioa k) tx ikia k d itu, eta h orreg a tik, V (3 5 0 δ, 3 5 0 + δ) n on δ > 0 zen ba ki tx iki eta ezeza g u n a d en. 3.5 3 Iru d ia : V eta I-ren fl u ktu a zioa k G u re a ra zoa zera d a, V -ren g ora beh era ba tek I-ren g ora beh era ba tera g a ra m a tza la, eta h orrek g u re ta ld ea ren tza t ka lteg a rria d a. Ad ibid ez, d em a g u n I(3 5 0) = 1 2 A in ten tsita te on en a d ela. B a in a berez, I (1 2 ɛ, 1 2 + ɛ) betetzen d a, ɛ > 0 δ-ren m en p ekoa d en ba lio Matematika A p likatu a S aila U E P D o n o stia

82 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK bat izanik. Demagun gure makina I hurrengo tartean dagoenean bakarrik dabilela martxan: 12 ± 10% = (12 1.2, 12 + 1.2) = (10.8, 13.2) (ɛ = 1.2) Beraz, zein V oszilazio onar dezakegu I (10.8, 13.2) tartean egon dadin? Hau da, emanda ɛ oszilazio bat I = 12-ren inguruan, aurkitu al dezakegu δ oszilazio bat V = 350-en inguruan non V (350 δ, 350 + δ) izanda I (12 ɛ, 12 + ɛ) bada? E mandako ɛ > 0 baterako, existituko al da δ hori? Beti? N oiz ziurtatu dezakegu? Adibidearen grafi koan dirudi posible dela: 3.54 Irudia: ɛ = 1.2 kasua M akinak ɛ = 1.2-ko I-ren oszilazioa onartzen badu (I (12 1.2, 12 + 1.2)), orduan grafi koki determinatu dezakegu, V (350 δ, 350 + δ) izanda I (12 1.2, 12 + 1.2) beteko duen δ balio bat zehazki neurtuz. δ balio horrek balio digo, eta baita BE S T E E DO Z E IN T X IK IAGO ere, noski. E ta zer gertatzen da tolerantzia txikiagoa bada? Adibidez: 12 ± 5% = (12 0.6, 12 + 0.6) = (11.4, 12.6) (ɛ = 0.6) 3.55 Irudia: ɛ = 0.6 kasua

3.8. LIM ITEAREN EX IS TENTZIAREN ɛ δ KARAKTERIZAZIOA 83 Lehengoko δ balioa beharbada handiegia da, baina existitzen da δ berri bat baliozkoa dena: v (350 δ, 350 + δ) I / (11.4, 12.6) baina δ berri bat aurkitzen dugu: δ > 0 v (350 δ, 350 + δ ) I (11.4, 12.6) Arazo berdineko beste hainbat egoera praktiko ere badago: - T = galdara baten tenperatura, erregulagarria. - P = presioa, T -ren menpekoa, P = P (T ). - Lanaren presioa = 40kg/cm 2, T = 150 o C. P -k (40 ɛ, 40 + ɛ) tarteko balioak har baditzake, aurki al dezakegu T -ren (150 δ, 150 + δ) tarte bat non T (150 δ, 150 + δ) P (40 ɛ, 40 + ɛ)? 3.56 Irudia: P (T ) funtzioa 3.7. Ariketa Bilatu arazo bereko egoera gehiago. 3.8. Ariketa Aztertu ondoko egoera: ɛ > 0 baterako aztertu δ aurkitzea posible den ala ez: lim x a + y = l 1 lim x a y = l 2 (l 1 l 2 ) 3.57 Irudia: P (T ) funtzioa

84 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Kasu honetan ez da existitzen ɛ eta δ arteko elkarlotura hori. ɛ > 0 txiki bat aurki dezakegu non edozein (a δ, a + δ) tartek modu hontako x puntuak dituen: f(x) / (l 1 ɛ, l 1 + ɛ) eta f(x) / (l 2 ɛ, l 2 + ɛ). Formalki: ɛ > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ) f(x) / (l 1 ɛ, l 1 + ɛ) eta f(x) / (l 2 ɛ, l 2 + ɛ) Dirudienez erlazionatuta daude limitearen existentzia eta δ > 0-ren existentzia ɛ > 0 bakoitzerako. 3.1. Teorema Bi p ro p ietateek gau za bera esaten d u te. H au d a: ɛ > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a f(x) (l ɛ, l + ɛ) o n d o koaren balio kid ea d a: lim f(x) = l x a Bi propietateen artean ez dago inongo ezberdintasunik. ɛ δ korrespondentzia hori existitzen bada, orduan f(x)-ek limitea baduela ziurta dezakegu. Eta alderantziz, limitea existitzen bada, ɛ δ korrespondentzia existitzen dela ere ziurta dezakegu. Aurreko bi adibidetara itzuliz, ikus dezakegu bietan ziurtatuta dagoela edozein ɛ positibotarako δ > 0 x (a δ, a + δ) f(x) (l ɛ, l + ɛ). 3.58 Irudia: lim V 3 5 0 I = 12A eta lim T 15 0 P = 40Kg/cm 2 3.1 teoremaren frog apena Hurrengoa ulertu behar da:

3.8. LIMITEAREN EXISTENTZIAREN ɛ δ KARAKTERIZAZIOA 85 1. Frogapena edozein funtziotarako egin behar da. Kasu zehatzak hartzen badira, y = x 2 edo y = e x adibidez, ez gara ezer frogatzen ariko, soilik adibideak ematen ariko gara. 2. Baliokidetasun bat frogatu behar denez, bi inplikazioak frogatu behar dira: lim f(x) = l ɛ δ baldintza x a Hau da frogatu behar dena: ) lim x a f(x) = l ɛ δ baldintza ) ɛ δ baldintza lim x a f(x) = l frogapena, absurdura eramanez: Demagun lim x a f(x) = l dela, baina ɛ δ baldintza ez dela betezen: ɛ > 0 δ > 0, x (a δ, a + δ) f(x) / (l ɛ, l + ɛ) Estrategiak hurrengo baldintzak beteko dituen x n segida bat eraikitzean datza: lim n x n = a baina lim n f(x n ) l eta hori absurdua da, limitea existitzen baita. δ = 1 hartzen dugu x 1 (a δ, a + δ) f(x 1 ) / (l ɛ, l + ɛ) δ = 1/2 hartzen dugu x 2 (a δ, a + δ) f(x 2 ) / (l ɛ, l + ɛ) Orokorrean: δ = 1 n x n (a 1 n, a + 1 n ) f(x n) / (l ɛ, l + ɛ) Beraz, lim n x n = a 3.59 Irudia: x n -ren limitea a da Bestalde f(x n ) / (l ɛ, l + ɛ), n N eta, beraz, Baina hori ezinezkoa da, absurdua! lim n f(x n ) l

86 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.60 Irudia: ez dago f(x n ) baliorik (l + ɛ, l ɛ) tartean 3.9 L im itearen b akartasu n a 3.9. Ariketa Frogatu limitea existitzekotan bakarra dela (segiden limitearen bakartasuna frogatzeko erabilitako antzeko prozedura erabili). 3.1 0 L im iteen p rop ietateak 3.10. Ariketa Enuntziatu funtzioen arteko batuketa/ biderkaketa/ zatiketaren limitearen existentzia-propietateak (segidetan egindako modu berean). 3.1 1 L im ite in fi n itu a Funtzio batek x = a puntuan limitea izateak portaera bornatua duela adierazten du, hau da, aurki dezakegula (a δ, a + δ) tarte txiki bat f(x) beti (l ɛ, l + ɛ) tartean egotera behartuko duena. Ikusi ditugu f(x) bornatzea garrantzitsua zen hainbat egoera, zeren f(x)-ek balio handiegiak hartzeak ondorio okerrak eragiten zituen. Nahiz eta x = a puntuan limiterik ez existitu, batzutan f(x) funtzioa bornatua egon daiteke. Adibidez: lim y lim y lim x a + x a x a y Baina: δ > 0 x (a δ, a + δ) f(x) [m, M] f(x) bornatua (a δ, a + δ) tartean 3.61 Irudia: ez da existitzen limitea a-n, baina funtzio bornatua da Hala ere, lim x a y existitzen ez bada, beti ezin da y bornatu. Ikus dezagun ondorengo

3.11. LIMITE INFINITUA 87 adibidea: Kasu honetan, lim x a + y = l y ESKU INETIK bornatua dagoen (a, a + δ) tarte bat aurki dezakegu. Hala ere, y-ren portaera a-ren ezkerretik oso bestelakoa da. y-ren balioak edozein M muga gainditzen du; horretarako nahikoa da x = a puntura nahi bezainbeste hurbiltzea ezkerretik. 3.62 Irudia: ez da existitzen limitea a-n, eta ez da funtzio bornatua 3.11. Ariketa Idatzi formalki aurreko egoera Ikus dezagun: Laburtuz: M R δ > 0 x (a, a + δ) f(x) > M lim f(x) = x a + Modu berean: lim y = + eta lim x a + y = x a M R δ > 0 x (a δ, a) f(x) < M M lurra nahi bezain behean jarrita ere, nahikoa da x = a puntura ezkerretik hurbiltzen joatea y balioa M baino beherago geratzeko. 3.63 Irudia: funtzioa ez dago bornatuta Bi kasuetan y-k x = a asintota bertikala duela esango dugu.

88 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Adibidez, y = 1 1 x a = 1 puntuan lim y = (1 x < 0 delako) x 1 + lim y = + (1 x > 0 delako) x 1 Gainera, lim y = 0 y = 0 asintota horizontala. x ± Zenbat hurbildu behar dugu x = 1 puntura y > M = 1000 izan dadin? 3.64 Irudia: y = 1 1 x funtzioa 1 1 x > 1000 1 x < 1 1000 = 10 3 x > 1 10 3 Orduan: x (1 10 3, 1) y > 1000 = M Zenbat hurbildu behar dugu a = 1 puntuaren eskuinetik y < M betetzeko, M < 0 edozein kota zehatz izanik? Adibidez: 1 1 x < M 1 x > 1 M x < 1 1 M M = 5000 x ( 1, 1 + 1 ) = (1, 1 + 2 10 4 ) y < 5000 = M 5000

3.12. J ARRAITUTASUNA 89 3.12 J arraitutasuna 3.12.1 Fu n tzio ja rra itu a k J arraitua hitzak kalkuluan eta hizkuntza arruntean esan nahi berbera du. y magnitudea x magnitudearekiko, x = a puntuan era jarraituan aldatzen dela esatea, y(x) funtzioaren adierazpen grafikoak, x = a puntuaren inguruan hutsunerik edo tarterik ez duela esatea da. Hainbat prozesu arrunt, funtzio jarraituren bidez adierazten dira. Adibidez, (3.65) adierazpen grafikoak bi prozesu hauek adieraz ditzake: y f(x 0 ) x x 0 x. 3.65 Iru d ia : Abia d u ra? p resioa? Z er a d iera zten d u? x = d en bora beza la eta y = a bia d u ra beza la ha rtu z, g ra fi koa k a d iera z d eza ke g orp u tz ba ten a bia d u ra. H a siera n in d a r ba ten era g in ez, a bia - d u ra ha n d itzen d oa, eta x 0 u n ea n in d a rra eg itea ri u zten d ieg u eta a bia d u ra, m a rru ska - d u ra ren era g in ez, m oteltzen d oa. y a ld a g a ia ren a ld a keta ja rra itu a d a, ha u d a ez d u g u hu tsu n erik. x = d en bora beza la eta y = p resioa beza la ha rtu z, g ra fi koa k a d iera z d eza ke g a ld a ra ba ten d u g u n p resioa. x 0 u n ea n g a ld a ra ren ba lbu la ireki d u g u la ko p resioa tx ikitzen d oa. K a su hon eta n ere a ld a keta ja rra itu a d a. B este ka su ba tzu eta n y a ld a g a ia k " sa lto" ed o " eten g u n ea " d u x = a u n ea n. Ad ibid ez a d iera zp en g ra fi ko ha u eta n iku sten d u g u eten g u n e d itu zten ku rba k. Matematika A p likatu a S aila U E P D o n o stia

90 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK y(m V ) y(m V )...... 1 2 t(µ s ).. 1 2 t(µ s ) Kasu biek zirkuitu baten tentsioa m V adieraz dezakete. (3.66) irudian dugun adierazpena telefono deien prezioa izan daiteke. L ehenengo minutuan 0.5e ordaintzen dugu. Hortik aurrera denboraren arabera linealki handitzen da ordainsaria 1e-tik abiatuta. x = 1 -tik x = 1 + -era etengunea dugu. y(e). 0, 1 5. 0 1 2 3 x(m in ) 3.66 Irudia: Etengune m o ta ezb erd ina k y aldagaia x = c puntuan jarraitua ez den hiru kasu ditugu. f(c) ez du existitzen. f(x)-ren balioa definitzeke dugu x = c denean, baina bada lim x c f(x) = l (Ikus (3.67 ) irudia.) f(c) existitzen da. f(x)-ren balioa definitu dugu x = c denean, baina ez lim x c f(x) (Ikus (3.68 ) irudia.) f(c) existitzen da. f(x)-ren balioa definitu dugu x = c denean, bada lim x c f(x) = l baina l f(c) (Ikus (3.69) irudia.)

3.12. J ARRAITUTAS UNA 91 l c. 3.67 Irudia: E tentasuna 1. mota y(c).. c 3.68 Irudia: etentasuna 2. mota Beraz, 3.4. Defi niz ioa f(x) funtzioa jarraitua d a x = c p untuan bald intza h auek betetzen d irenean: 1. f(c) balioa d efi niturik d ago, 2. existitzen d a lim x c f(x) = l, 3. lim x c f(x) = l = f(c). 3.8. Ad ib id ea f(x) = x2 1 x 1 f(x) = (x 1)(x + 1) x 1 funtzioa D = R {1} eremuan jarraitua da. Ikus (3.70) irudia. = x + 1 betetzen da x D denean. f(1) definitu gabe dago baina lim x 1 f(x) = 2 da. E tengunea dugu x = 1 denean.

92 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK l y(c). c 3.69 Irudia: etentasuna 3. mota. 2 1 3.70 Irudia: Etenaldi hori gaindi dezakegu funtzioa era honetan definituz, (ikus (3.71) irudia) { x + 1 x 1 denean f(x) = 2 x = 1 denean Zergatik esaten dugu etengune mota honetakoa etengune gaindigarriak direla? 3.9. Adibidea f(x) funtzioaren jarraitutasuna aztertu x = 2 puntuan. { x f(x) = 2 1 x < 2 denean ax + b x 2 denean a, b R lim x 2 + f(x) = 2a + b; lim x 2 f(x) = 3; f(2) = 3 betetzen dira. Ikus (3.72) irudia Funtzioa jarraitua da x = 2 puntuan 2a + b = 3 den. a eta b-rentzak ez dugu balio bakarrak aurkitzen, 2a + b = 3 baldintza betetzen duten balio birentzat funtzioa jarraitua da.

3.12. JARRAITUTASUNA 93. 2 1 3.71 Irudia: 2a + b 3... 2 3.72 Irudia: J arraituak diren funtzio sorta era honetan defini dezakegu. Ikus (3.73) irudia. { x f(x) = 2 1 x < 2 denean ax + 3 2a x 2 denean a R 3.12.2 J arraitutasunaren defi nizioak Limiteentzat ikasi dugun guztia jarraitasuna aztertzerakoan ere erabilgarria da. J arraitutasunak, bakarrik baldintza berri bat eskatzen du: lim f(x) = f(c) x c J arraitutasunaren baldintza era hauetan adieraz dezakegu, segiden bidez: 3.5. Definizioa f(x) funtzioa jarraitua de x = c puntuan baldin (ikus (3.7 4 ) irudia) {x n } x n D eta lim n x n = c = lim x n f(x n ) = f(c)

94 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK. 3. 2 3.73 Irudia:. f(x n ) f(c) c x n 3.74 Irudia: segidaren bidez eta ɛ δ baldintzaren bidez: 3.6. Definizioa f(x) funtzioa jarraitua de x = c puntuan baldin (ikus (3.75 ) irudia) ɛ > 0 δ > 0 x (c δ, c + δ) = f(x) (f(c) ɛ, f(c) + ɛ) 3.12.3 Jarraitutasuna tarte itx itan D emagun f(x) D = [a, b] tartean definitutako funtzioa dela. c tartearen barneko puntua baldin bada, hau da c (a, b) (ikus (3.76) irudia), c-ren eskuinean eta ezkerrean f(x) definituta dagonez, lor dezakegu limitea x = c denean. Baina, zer gertatzen da c = a edo c = b denean? Ezin dugu lim x a f(x) edo lim x b + f(x) (ikus (3.77) irudia) lortu. O rduan, nola definitzen dugu jarraitutasuna [a, b] tartean? 3.7. Definizioa f(x) funtzioa jarraitua da [a, b] tartean, (a, b) tartean jarraitua denean eta lim x a + f(x) = f(a) eta lim x b f(x) = f(b) betetzen direnean

3.12. JARRAITUTAS UN A 95. f(c) + ɛ f(c) f(c) ɛ c δ cc + δ 3.7 5 Iru d ia : (ɛ δ, ɛ + δ)....... a c b. 3.7 6 Iru d ia : ta rte itx ia Z erg a tik a rd u ra tzen g a ra ja rra itu ta su n a [a, b] itx u ra ko eremu ta n a ztertzen? B este ta rte mota h a u ek,d = (a, b); D = (a, ); D = (a, b] era d a u d e. Z erg a tik [a, b] itx u ra ko eremu a k? Fu n tzio ja rra itu a ta rte itx ia eta mu g a tu a rekin elka rtzen d u g u n ea n p rop ieta te berri eta in teresg a rria k a g ertzen d irela ko! 3.10. Ad ib id e a A zter d itza g u n (3.1 2.3 ) ta u la ren esku in ea n d itu g u n fu n tzio ja rra itu a k, ezkerrea n d itu g u n fu n tzioekin kon p a ra tu z. Z ein tzu k d ira ezberd in ta su n a k? Z er n ola ko p rop ieta tea k betetzen d itu zte ba tzu k eta ez bestea k? 1.a Fu n tzioa ja rra itu a d a, d efi n izio eremu a (a, b) mota ko ta rtea d a. Fu n tzioa ez d a g o mu - g a tu a, (a, b) ta rteko p u n tu ba ten d eu sezta tzen d a. 1.b Fu n tzioa ja rra itu a eta mu g a tu a d a, [a, b] ta rtea n d efi n itu ta. [a, b] ta rtea n ba lio ma x imoa eta min imoa d itu. M ate m atik a Ap lik atu a S aila U E P D o n o stia

96 3. K AP ITUL UA AL D AG AI E RRE AL E K O F UNTZ IO E RRE AL AK 1.a 1.b.. f(b). a( ) b. f(a) a[ ] b 2.a 2.b f(a) f(a) f(b) [. ] a b. f(b) a [ ] b. 3.a f(b) R f(a) a.. [ ] b 1.b M f(a) R f(b) m. a[ ] b 3.3 Taula: (3.10 ) Adibidea

3.12. JARRAITUTASUNA 97 f(a ) ez dago a f(b)....... f(a) f(b+) ez dago b 3.77 Irudia: tarte itxien mugetan limiterik ez 2.a Funtzioa ez da jarraitua, eremua [a, b] motako tartea da. Funtzio mugatua, f(a) eta f(b)k aurkako zeinuak dituzte, [a, b] tartean ez da deuseztatzen. 2.b Funtzioa jarraitua eta mugatua da [a, b] tartean definitua. f(a) eta f(b) aurkako zeinuak dituzte, [a, b] tartean deuseztatzen da. 3.a Funtzioa ez da jarraitua, definizio eremua [a, b] motako tartea da. Funtzioa mugatua da. z [a, b] f(z) = R 3.b Funtzioa jarraitua eta mugatua da [a, b] tartean. z [a, b] f(z) = R R [m, M], m f(x)-ren balio txikiena eta M balio handiena izanik. Aurkitu d itug un p ro p ie ta te a k h a ue k d ira : P1 f(x) funtzioa mugatuta dago D eremuan. m, M [a, b] m f(x) M x D P2 f(x) funtzioa D eremuko puntu baten deuseztatzen da. z D f(x) = 0 P3 f(x) funtzioaren balio txikiena eta handiaren arteko balio guztiak hartzen ditu. Baina, m = m in f(x), M = m a x f(x) eta m R M = z D f(z) = R) x D x D

98 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Funtzio batek hiru propietate horiek bete ditzan, beh arrez koa al da jarraitua izatea eta definizio eremua D = [a, b] motakoa izatea? Funtzio batek hiru propietate horiek bete ditzan, nah ikoa al da jarraitua izatea eta definizio eremua D = [a, b] motakoa izatea? N ahikoa al da bi baldintza hauetatik bakar bat betetzea? Azter dezagun (3.78) irudia, funtzioa mugatua da x (a, b), m f(x) M betetzen delako. J arraitua ez da eta definizio eremua D = (a, b) erakoa da M.. m ( ) a b 3.78 Irudia: P 1 propietatea 3.12. Ariketa Frogatu baldintza bi horiek, banaka, ez direla beharrezkoak (aurkako adibideak erabili) beste bi propietateak, P 2 eta P 3, bete daitezen. Baldintzak banaka beharrezkoak ez direla jakinik, baldintzaren bat nahikoa izango al da P 1, P 2, eta P 3 propietateak ziurtatzeko? Azter dezagun (3.79) irudian dugun adierazpen grafikoa, funtzioa D = [a, b] eremuan definituta dago, [a, b] eremuan jarraitua ez da, eta ez dago mugaturik. lim f(x) =, lim x a + f(x) = x b E remua D = [a, b] motakoa da, f(x) funtzioa ez da jarraitua [a, b] eremuan, eta ez dago mugatua eta M > 0 x [a, b] f(x) > M m < 0 x [a, b] f(x) < m

3.12. JARRAITUTASUNA 99 M a [ ] b m. 3.79 Irudia: P1 propietatea ez da betetzen betetzen direlako. Beraz, definizio eremua D = [a, b] motako izateak ez du ziurtatzen P1 propietatea, hau da, funtzioa mugatua izatea definizio eremuan. Azter dezagun (3.80) irudian adierazten den funtzioa, definizio eremua D = (a, b) motakoa da, funtzioa jarraitua da, baina funtzioa D eremuan mugatua ez dago. M a( ) b m. 3.80 Irudia: P1 propietatea ez da betetzen Beraz, Dn jarraitua izateak ez du ziurtatzen P1 beteko denik, hau da, mugatua izango denik. 3.13. Ariketa Frogatu baldintza bi horiek, banaka, ez direla nahikoak (aurkako adibideak erabili) beste bi propietateak, P2 eta P3, bete daitezen.

100 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Laburpena D R eremuan definitutako f(x) funtzioak P1, P2 eta P3 propietateak bete ditzan, definizio eremua ez da [a, b] motakoa izan behar, eta funtzioa ez da jarraitua izan behar. Bi baldintza horietatik bakar batek ez du ziurtatzen P1, P2 edo P3 betetzen direnik. Baina, baldintza biak betetzen direnean, beti betetzen dira hiru propietateak. 3.2. Teorema [Weierstrass-en teo rem a] f(x) fu n tzioa jarraitu a bald in bad a D = [a, b] erem u an, o rd u an, f(x) fu n tzioaren m axim oa (balio h an d ien a) eta m in im oa (balio txikien a) [a, b] tartean lo rtze n d ira. H au da, M, f(x) funtzioak [a, b] tartean duen balio maximoa eta m minimoa baldin badira, orduan badira x 1, x 2 [a, b] non f(x 1 ) = m eta f(x 2 ) = M betetzen diren. Azter ditzag un adierazpen g rafi ko hauek (3.81) irudian adierazten den funtzioan, f(x 1 ) = m, x 2 = b dira, x 1, x 2 [a, b] direlarik. f(x 2 ) = M betetzen Mf(b) f(a). m a[ ] b 3.81 Irudia: maximoa tartearen goi mugan (3.82) irudian adierazten den funtzioan, x 1 = a, f(x 1 ) = m; x 2 = b f(x 2 ) = M betetzen dira, x 1, x 2 [a, b] direlarik. (3.83) irudian adierazten den funtzioan, f(x 1 ) = m, f(x 2 ) = M betetzen dira, x 1, x 2 (a, b) [a, b] direlarik. 3.3. Teorema [B o lzan o ren teo rem a] f(x) fu n tzioa [a, b] tartean jarraitu a bald in bad a, eta f(a) eta f(b) balioak au rkako zein u ak bad itu zte, o rd u an, f(x) fu n tzioak (a, b) tartean gu txien ez beh in 0 balioa h artzen d u.

3.12. JARRAITUTASUNA 101 M. m a b 3.82 Irudia: minimoa eta maximoa tartearen mugetan M f(b). f(a) m a[ x 1 x 2 ] b 3.83 Irudia: minimoa eta maximoa tartearen barnean Beste era baten adierazten dugu teorema hau: Hipotesiak: Tesia: Hipotesiak betetzen direnean, Bete behar diren baldintzak beteko den propietatea H1 f(x) [a, b] tartean definitua, H2 [a, b] tartean jarraitua, = z (a, b) f(z) = 0 H3 f(a) f(b) < 0. 3.14. Ariketa Frogatu, hipotesiren bat betetzen ez bada tesia ez dela bete behar. Adibidez, H1 hipotesia ez, H2 eta H3 bai eta tesia betetzen duten funtzioren bat aurkitu. H1 hipotesia ez, H2 eta H3 bai eta tesia betetzen ez duen beste funtzioren bat aurkitu. Errepikatu gauza bera beste hipotesientzat. 3.15. Ariketa D emagun f(x) funtzioak Bolzanoren teoremaren hipotesiak betetzen dituela. Beraz, z (a, b) f(z) = 0. z puntu hori bakarra al da? Zer gehiago eskatu behar zaio funtzioari, z (a, b) f(z) = 0 bakarra izan dadin?

102 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Bolzanoren teorem aren b idez funtzioen erroak aurki ditzakegu S arritan, y = f(x) funtzioaren erroak aurkitu behar ditugu, hau da, f(x) = 0 ekuazioaren soluzioak. y = f(x) funtzioaren bidez, zirkuitu baten intentsitatea, edo ibilgailu baten abiadura adieraz daiteke. K asu bietan, interesgarria izan daiteke funtzioa zero noiz egiten den jakitzea. i t Beste batzutan f(x) eta g(x) funtzioak balio berdinak hartzen dituzten x balioa ezagutzea interesatzen zaigu. Adibidez, f(x) eta g(x) funtzioak bi makinen etekina adieraz dezakete, baldintza ezberdinetan lan egiten duenean. x aldagaiak tentsioa, minutuko biraketa, makinak lanean jardun duen ordu kopurua eta abar adieraz dezake. Interesgarria izan daiteke, etekin berdina noiz duten, edo bata bestearen bikoitza noiz den, edo..., jakitzea. Problema berdina dugu f(x) = g(x) f(x) g(x) = 0, hau da, funtzio baten erroak bilatzea. E f(x) g (x) x 1 x 2 x 3.84 Irudia: x f(x) = g(x)? f(x) = 0 ekuazioaren soluzioak aurkitzea ez da beti ekuazio lineak edo bigarren mailako ekuazioak ebaztea bezain erraza. Bolzanoren teorema erabil dezakegu, bere barne erroren bat duen [a, b] tartea aurkitzeko, tarte hori bi azpitartetan zatitzen dugu z = a+b 2 puntua aukeratuz, eta Bolzanoren teoremaren baldintzak betetzen duen azpitartearekin jarraitzen dugu lanean. Tartearen zatiketa bakoitza egiten den pausuari iterazio deitzen zaio. Iterazio bakoitzean z i puntua aurkitzen dugunez z 1, z 2, z 2... segida lortzen dugu eta segida honen limitea funtzioaren erroa da.

3.12. JARRAITUTASUNA 103 a z b x 3.85 Irudia: x f(x) = g(x)? 3.16. Ariketa Bolzanoren teorema oinarri bezala duen metodoa erabili problema hau ebazteko: Ibilgailu baten motorrak sortzen duen T indar-parea eredu honen bidez hurbiltzen da T = 0.8 08 x 3 1 7.9 7 4 x 2 + 7 1.2 4 8 x + 1 1 0.8 4 3 x rpm motorraren abiadura da, Indar-parea T = 1 5 0 zein x-entzat lortzen da, x [1, 5 ] izanik? 3.12.4 D arboux -en teorema Ikus dezagun jarraitu eta tarte itxian definitutako funtzioei buruzko beste teorema bat. 3.4. Teorema [Darboux] f(x) funtzioa [a, b] tartean jarraitua izanik eta m = min{f(x) x [a, b]} eta M = max{f(x) x [a, b]}, orduan, f funtzioak m eta M balioen artean dauden balio guztiak hartzen ditu gutxienez behin. H au da: R [m, M] x [a, b] f(x) = R Frogapena Demagun m = f(z 1 ), z 1 [a, b] eta M = f(z 2 ), z 2 [a, b] betetzen direla eta z 1 < z 2 direla. Funtzio hau definitzen dugu g(x) = f(x) R, x [z 1, z 2 ]. g jarraitua da [z 1, z 2 ] tartean, f funtzioa eta y = R funtzio konstantea jarraituak direlako. Bolzano-ren teorema erabil dezakegu, g(z 1 ) = f(z 1 ) R = m R < 0 g(z 2 ) = f(z 2 ) R = M R > 0 = z (z 1, z 2 ) non g(z) = 0

104 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK beraz = g(z) = f(z) R = 0 = f(z) = R M R m a x 1 x x 2 3 b 3.86 Iru d ia : D a rb ou x -en teorem a ren a d iera zp en a R [m, M] x [a, b] f(x) = R, (3.86) iru d iko ka su a n h iru b a lio d itu g u, f(x 1 ) = f(x 2 ) = f(x 3 ) = R Oharra E ra iki d u g u n g fu n tzioa ren a d iera zp en g ra fi koa, f fu n tzioa ren a d iera zp en g ra fi koa tra n sla zio b a t eg in a z lortzen d u g u. M M R R M R z z 1 z 2 m z 1 z z 2 m f(x) fu n tzioa ren a d iera zp en g ra fi koa z (z 1, z 2 ) f(z) = R m R g(x) fu n tzioa ren a d iera zp en g ra fi koa z (z 1, z 2 ) g(z) = 0 3.11. Ad ib id e a L a b ea itza ltzen d u g u 2 5 0 ten p era tu ra d u en ea n, 2 0 -ra ja itsi b a in o leh e- n a g o 1 7 0 ten p era tu ra tik p a sa ko a l d a? U E P D o n o stia M ate m atik a Ap lik atu a S aila

3.12. J A R R A IT U T A S U N A 105 T 250 17 0 20 t 0 b t 3.87 Irudia: (3.11) adibideari dagokion adierazpena t 0 [0, b] T (t 0 ) = 170 T 250 17 0 20 t 0 b t 3.88 Irudia: (3.11) adibideari dagokion adierazpena Tenperaturak ezin du (3.88) irudian ikusten den bezala aldatu. 3.12. Adibidea Larunbat goizean mendi bat igotzen hasten zara goizeko 8tan eta gailurrera 10tan heltzen zara. Igandean goizeko 8tan jaisten hasten zara eta ordu eta erdi behar duzu. G orantz eta beherantz joaterakoan ordu berdinean leku berdinean zaudela frogatu. i(t)-k igoeran eta j(t)-k jaisterakoan t unean zauden puntua adierazten dute. Defini dezagun h(t) = i(t) j(t) funtzioa. h(0) = 0 g < 0 eta h(2) = g 0 < 0, 0 [ g, g] denez, t 0 uneren baten h(t 0 ) = 0 bete behar da eta une horretan i(t 0 ) = j(t 0 ) betetzen da. 3.17. Ariketa H onako egoeraren adierazpen grafikoa egin. Demagun jaisterakoan sua itzaltzea ahaztu egin zaizula konturatu zarela. B erriz gora zoaz, sua ondo itzalita dagoela

106 3. K AP ITUL UA AL D AG AI E RRE AL E K O F UNTZ IO E RRE AL AK 10 8 8 la ru n ba ta 9 :30 ig a n d e a 3.89 Irudia: (3.12) adibideari dagokion adierazpena G j(t) i(t) P 1 1.5 2 3.9 0 Irudia: (3.12) adibideari dagokion adierazpena ziurtatzen zara eta berriro beherantz abiatzen zara. Guztira 2 ordu eta erdi behar duzu. A urreko kasuan bezala uneren baten leku berdinean egongo zara? 3.18. Ariketa A urreko kasuan bezala, baina, sua itzali eta gero gorago joateko beste bide bat dagoela ikusiz bidea hartzen duzu eta apur bat ibili eta gero beherantz itzultzen zara, guztira 3 ordu erabiliz. Ba al dago kasu honetan ere, leku berdinean zauden unerik? 3.19. Ariketa Gai honetan funtzioaren analisiari buruz ikusi dugunaren laburpena egin. Ebazten ari garen problema. Limitearen esan nahia.

3.12. JARRAITUTASUNA 107 Limiteak / segidak/ ɛ - δ irizpidea. J arraitasuna, esan nahia. J arraitasuna [a, b] tartean.

108 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.13 D e rib a g a rrita su n a. 3.13.1 S arre ra. Gogora ezazu y(x) funtzioaren portaera aztertzeko tresna matematikoa garatu nahian gaudela. Lan horretan piska bat aurreratu dugu eta ondoren agertzen diren portaera desberdinak sailka ditzakegu. Ikusi 3.91 irudia. 3.91 Irudia: Hala ere, orain arte garatutako tresna matematikoa ez da nahikoa izango y(x) funtzioaren beste motako portaerak aztertzeko. Ikusi adibidez 3.92 irudia Jarraitasunaren ikuspuntutik ez dago desberdintasunik 3.2 irudian agertzen diren funtzioen

3.13. DERIB AGARRITASUNA. 109 3.92 Irudia: artean. Z er adierazten dute aurreko irudiek? N ola bereiztu beraien grafikoak?. Grafiko horiek adierazten badute adibidez, motorra baten prestazioak, salmenten eboluzioa, zirkuitu batetik higitzen den intentsitatea, kontrolatutako prozesu kimikoa, etb. Z ertan datza lau portaera horien desberdintasuna?. K asu honetan ere, ez dago di adibide hauek desberdintzerik jarraitasunaren ikuspuntutik. Hala ere, y = f(x) funtzioak z-ren inguruan portaera berezia du. z-tik pasatzean y-ren izugarrizko aldaketa nabaritzen da. Ez dago aldaketa hau, jarraitasunarekin bakarrik neurtzerik ezta itxura honetako puntuak identifikatzerik ere. Ikusten duzunez, gure analisirako tresna lantzen jarraitu behar dugu. 3.13.2 y -ren x -rek ik o ald ak u n tza ab iad u ra. Aztertu behar dugun ideia hauxe da: y(x) funtzioa izanik, x = a puntuan ebaluatzen dut, f(a) balioa lortzen dudalarik. O rain, aldagaia (a + h)-raino mugitzen badut zer aldaketa jasaten du y(x)-ek? 3.13. Adibidea Izan bedi y = x + 1 x 0 izanik.

110 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.93 Irudia: y-k jasotako aldakuntza ondorengoa da: y = y(1 + h) y(1) = 2 + h 2 = h Hautazko x = a puntuan ebaluatzen badugu: y = y(a + h) y(a) = a + h + 1 a 1 = h Beraz, funtzio honen propietate bat aurkitu dugu, ondorengoa hain zuzen ere: x aldagai independentea x = a-tik, x = (a+h)-raino mugitzen bada y aldagaiaren aldakuntza h-ren berdina da. Aldaketa hau ez dago kalkulua egiten dugun x = a puntuaren menpe. Bai portaera bitxia hemen agertutakoa. Gauza bera gertatuko da funtzio guztiekin? 3.14. Adibidea Izan bedi y = x 2. Egin dezagun kalkulu berbera: Ikusi 3.94 irudia y(a) = a 2 y(a + h) = (a + h) 2 = a 2 + h 2 + 2ah y = y(a + h) y(a) = h 2 + 2ah Aurkitu dugu beraz, funtzio hau eta aurreko adibidean agertzen den funtzioaren arteko desberdintasuna eta honela adieraz dezakegu: y-ren aldakuntza, x a-tik, (a + h)-ra pasatzen denean h-ren menpe ez ezik a puntuaren menpe ere dago.

3.13. DERIBAGARRITASUNA. 111 3.94 Irudia: 3.2 adibidea 3.20. Ariketa y-ren gehikuntza batzuk kalkulatu ondoko taula osatuz: a a+ h y (a) y (a+ h) y h-ren edozein balio hartu, adibidez, h = 2.5. Nola aldatzen da y gehikuntza x = a puntuaren arabera?. y = x 3 funtzioarentzat azterketa berdina egin. Azaldu zein den y = x, y = x 2 eta y = x 3 funtzioen portaeraren arteko desberdintasuna. Azterketa y = x n, n N funtzioarako orokortu. Orokorrean, ez da oso baliagarria y-ren balioa ezagutzea x-ren gehikuntza, x = h ezagutzen ez badugu. Adibidez: Izan bedi y = x non a = 1 den. Orduan: y = 8 y(1 + h) y(1) = 8 1 + h 1 = 8 h = 8 Hau da, y aldagaiaren gehikuntza y = 8 izan dadin beharrezkoa da h = 8 izatea. y = x 2 bada y = 8 (1 + h) 2 1 = 8 h 2 + 2h 8 = 0 h = 2, 4

112 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Beraz, funtzio honek gehikuntza askoz txikiagoa behar du y = 8 lortzeko. Ikusi 3.95 eta 3.96 irudiak. Hau dela eta, y-ren kalkulua x aldagaiarekiko idazten da: 3.95 Irudia: 3.96 Irudia: y y(a + h) y(a) = x h y-ren batezbesteko balioa x [a, a + h] edo x [a + h, a] h < 0 denean.

3.13. DERIBAGARRITASUNA. 113 3.15. Adibidea Demagun t-k denbora adierazten duela eta y-k higikari baten posizioa. Ikusi 3.97 irudia. t = 1 eta t = 4 denboren arteko batezbesteko abiadura hauxe da: 3.97 Irudia: 3.3 adibidea y x y(1 + 3) y(1) = 3 = 6 + 1 3 = 7 m/s ( )h = 3 3 Ondorengo irudian y x-ren adierazpen geometrikoa ikusiko dugu. Ikusi 3.98 irudia. y x = ta n α = 7 3 3.98 Irudia: Beraz, y x-ek ondorengo bi adierazpenak ditu: 1. y-ren batezbesteko balioa x [a, a + h] tartean da. 2. (a, y(a)) eta (a + h, y(a + h)) puntutik pasatzen den zuzen sekantearen malda da.

114 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Zuzen sekante honen ekuazioa hauxe izango da: y y(a) = m(x a) y y(1) = 7 3 (x 1) y = 7 3 x 10 3 Abiadura zer tartetan da negatiboa? Eta positiboa? v < 0 posizioa beherakorra bada t < 1, t (2, 3) v > 0 posizioa gorakorra bada t > 3, t (1, 2) Ikus dezagun beste adibide bat: 3.16. Adibidea Ikusi 3.99 irudia. Ohar zaitez z eta y aldagaien batezbesteko abiadura [a, a + h] tartean berdina dela. Hala 3.99 Irudia: 3.4 adibidea ere, bi funtzio horien portaera [a, a + h] tartean askoz desberdina da. Beraz, y x batezbesteko abiadurak ez du oso ondo adierazten y(x) funtzioaren aldakuntza [a, a + h] tartean. Pentsa dezakegu x gehikuntzaren tamaina gutxitzearekin konponduko dela. Ikusi 3.100 irudia. Honek ez du problema konpontzen; beti aurki dezakegu z(x)-ren oso desberdina den y(x) funtzio bat zeinak [a, a + h] tartean z(x)-ren abiadura berdina izango duen. 3.21. Ariketa Demagun y(x) funtzioa ez dela lineala, hots, ez dela y = mx + n itxurakoa eta y(a), y(a + h), h eta a ezagunak direla. z(x) funtzioa aurkitu z y = y x bete dadin. Ikusi dugunez, batezbesteko abiadura ez da y funtzioaren portaeraren adierazgarria [a, a + h] tartean. Dirudienez, problemaren zailtasuna y-ren ezaugarri bat tarte batean neurtzen ari garelakoan dago. Eta [a, a + h] tartean batezbesteko abiadura neurtu beharrean x = a puntuan aldiuneko abiadura neurtzen badugu?. Gogora ezazu horretarako beharrezkoa den tresna matematikoa, hau da, limitea h = 0 denean, 7. atalan ikusi genuela.

3.13. DERIBAGARRITASUNA. 115 3.100 Irudia: 3.4 adibidea 1. Kalkulatu beharreko T magnitudea identifikatzen dut. Kasu honetan T y(x)-ren aldiuneko abiadura x = a puntuan da. 2. R(h) funtzio bat eraikitzen dut ondorengo baldintza bete dezan: h, 0-tik gero eta hurbilago dagoenean R(h) T -tik hurbilago dago. Kasu honetan: R(h) = y y(a + h) y(a) = x h Ikusi 3.101 irudia. 3.101 Irudia: 3. R(0) = 0 0 R(h) ez dago definitua h = 0 denean, baina agian existitzen da. y(a + h) y(a) lim R(h) = lim h 0 h 0 h

116 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Aurreko limitea, y(x) kontreku batentzak x = a puntuan badago, limite horrek y(x)- ren aldiuneko abiadura x = a puntuan adierazten du. Beraz, hau ez da funtzioaren ezaugarri bat tarte batean baizik eta ezaugarri bat x = a puntuan. 3.17. Adibidea Izan bitez y(x) = x 2 eta a = 2. Kalkula dezagun R(h) R(h) = y(2 + h) y(2) h Beraz, kasu honetan y lim h 0 x = 4 = (2 + h)2 2 2 h = h2 + 4h h x = 2 puntuan. y(x) funtzioaren aldiuneko abiadura x = 2 puntuan 4-ren berdina da eta y lim h 0 x = h + 4 lim h 0 (h + 4) = 4 ( )h 0 grafikoki adieraz dezakegu. Ikusi 3.102 irudia. tan α = y x, (a, f(a)) eta (a, f(a + h)) puntuetatik pasatzen den zuzen sekantearen malda da. Orduan: y lim h 0 x = tan β 3.102 Irudia: 3.5 adibidea zuzen ukitzailearen malda x = a puntuan da. Limite hau existitzen bada y-ren deribatua x = a puntuan izango da eta y (a) eran adieraziko dugu. Horrez gain, y (x)-ren balioa

3.13. DERIBAGARRITASUNA. 117 edozein x-rentzat lor dezekegu. Gure kasuan y = x 2 denez y (x) = y(x + h) y(x) lim h 0 h = lim(h + 2x) = 2x h 0 ( )h 0 = lim h 0 (x + h) 2 x 2 h = lim h 0 x 2 + h 2 + 2xh x 2 h = Beraz, y = 2x da. y (x) adierazpena funtzio bat da zeinari deribatu funtzioa deritzona hain zuzen ere. Deribazio erregelek lagunduko digute funtzio elementalen funtzio deribatuak lortzen. Hau da: d d (sin x) = co s x, dx dx (xn ) = nx (n 1) 3.22. Ariketa y = e x izanik, frogatu y = e x dela. Laguntza: e x -ren garapena erabili: etb. e x = k= 0 x k k! = 1 + x + x2 2 + x3 3! + 3.13.3 Z er g ertatzen da y = z bada?. y-ren a ld iu neko a bia d u ra ri bu ru z, [a,a + h] ta rtea n, h itz eg in g enu enea n, iku si g enu en y x ez zela y-ren porta era ren a d iera zg a rria [a,a + h] ta rtea n. na h iz eta y(x) eta z(x) fu ntzioa k ba tezbesteko a bia d u ra berd ina iza n [a,a + h] ta rtea n, ta rte h orreta n porta era oso d esberd i- na k iza n zitekeen. Iku si 3.1 0 3 iru d ia. y(a) = z(a) ba d a ord u a n y(a + h) = z(a + h) d a, bera z, y x = z x A u rreko ka su a n lortu ta koa y(x)-ren propieta te ba t ta rte ba tea n zen. O ra ing oa n berriz, y (x)-ren ba lioa y(x)-ren propieta te ba t d a x ba koitza ra ko. y (x) = z (x) x betetzen ba d a, y(x) eta z(x) oso d esbernina k iza n d a itezke?. Iku si 3.1 0 4 iru d ia. B a a l d a g o y (x) = z (x) x (a,b) betetzerik?. E z. G og ora eza zu y (x) x pu ntu ba koitzeko zu zen u kitza ilea ren m a ld a ere a d iera zten d u ela. O rd u a n, y (x) = z (x) x betetzen ba d a zu zen u kitza ilea k pa ra leloa k d ira x pu ntu g u ztieta n. Iku si 3.1 0 5 iru d ia. Iru d i Matematika A p likatu a S aila U E P D o n o stia

118 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK 3.103 Irudia: 3.104 Irudia: honetan agertzen diren x 0 puntuako zuzen ukitzaileak ez dira paraleloak. Orduan, nolakoak izan behar dute y(x) eta z(x) funtzioak y (x) = z (x) berdintza bete dadin?. Ikusi 3.106 irudia. H emen ditugu hiru funtzio y(x), v(x) eta z(x) non y (x) = v (x) = z (x) x betetzen den. H iru horietako edozein funtzio lortzen da beste baten translazio bertikala eginez. k 1 / y = k 1 + v k 2 / y = k 2 + z k 3 / y = k 3 + z Ez dira oso desberdinak. Bere diferentzia konstante bakar batean datza. 3.18. Ad ib id ea D emagun y (x) = 3x 2 1 dela. Aurkitu aurreko baldintza betetzen duen funtzio familia. H orietako zenbat funtzio pasatzen dira (0, 7 ) puntutik?. Ikusi 3.107 irudia. y = 3x 2 1 y = x 3 x + c c R y = x(x + 1)(x 1) + c

3.13. DERIB AGARRITAS UNA. 119 3.105 Irudia: y(0) = 7 bada k = 7 3.106 Irudia: Beraz, funtzio bakarra dago (0, 7) puntutik pasatzen dena eta bere ekuazioa y(x) = x 3 x+7 da. 3.23. Ariketa y(x) funtzioa izanik y (x) deribatua duten funtzioen multzoa I = {z(x) = y(x) + c/c R} defi nitzen da. 1. I funtzio multzoa grafi koki adierazi. 2. Frogatu badagoela funtzio bakar bat (x 0, y 0 ) puntutik pasatzen dena. 3.13.4 E ta y (a) e z badag o?. Azter dezagun ondorengo funtzioa: y(x) = { x 2 x 1 x 3 x > 1

120 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Orduan: 3.107 Irudia: 3.6 adibidea { x < 1 bada y = 2x y = x 2 baita x > 1 bada y = 3x 2 y = x 3 baita Z er gertatzen da x = 1 denean?. P untu horretan funtzioaren adierazpen algebraikoa aldatzen denez ez dago deribazio erregelak erabiltzerik y (1) kalkulatzeko. Hau dela eta, definizioa aplikatu beharko da: y y(h + 1) y(1) (1) = lim h 0 h Funtzioaren definizioa bi adierazpen desberdinen bidez ematen denez alboko limiteak kalkulatu behar dira. h > 0 bada y(h + 1) = (1 + h) 3 h < 0 bada y(h + 1) = (1 + h) 2 y (1 + ) = lim h 0 + (1 + h) 3 1 h y (1 ) = lim h 0 (1 + h) 2 1 h = lim h 0 (3h + 3 + h2 ) = 3 = lim (2 + h) = 2h h 0 h 0

3.13. DERIBAGARRITASUNA. 121 Alboko limiteak desberdinak direnez ez dago deribaturik. Beraz, funtzioa ez da deribagarria x = 1 puntuan. Bere funtzio deribatua ondorengoa da: 2x x < 1 bada y (x) = x = 1 bada 3x 2 x > 1 bada y (x) funtzioa ez dago definiturik x = 1 puntuan. izango da: Ikusi 3.108 irudia. Bere adierazpen grafikoa ondorengoa 3.108 Irudia: y -ren adierazpen grafikoa y(x) funtzioa ere marraztuko dugu. Ikusi 3.109 irudia. Ikus dezakegunez funtzioa x = 1 puntuan jarraia izan arren puntu horretan izugarrizko aldaketa jasatzen du. y (1 + ) = 3 denez ukitzaileen maldek 3-rantz jotzen dute eskuinetik hurbiltzen garenean. Ezkerretik hurbiltzen garenean berriz, 2-ra jotzen dute ukitzaile horien maldek y (1 ) = 2 baita. Ikus dezagun beste hiru egoera non x = a puntuan deribaturik ez dagoen. Ikusi 3.110 irudia. L ehenengo grafikoan C(t) agertzen da non t denbora eta C kondentsadore baten karga diren. t = t 0 denean korrontea eten egiten da. Bigarren grafikoan berriz, V (t) adierazi da non t denbora eta V mugikor baten abiadura diren. t = t 0 unean azelerazio handigoa aplikatzen dugu. Azkeneko grafikoan B(t) marraztu da non t denbora eta B artikulu baten salmenta mozkina diren. t = t 0 unean aurkako enpresak antzeko artikulua baina prezio erdian merkaratzen du.

122 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.109 Irudia: y-ren adierazpen grafikoa 3.110 Irudia: 3.13.5 D eribatu a hu rbilk etzat: diferen tziala. Zuzen ukitzailearen definizioaren arabera ukitzailea puntuaren inguruan y(x) funtzioatik hurbil dago. Orduan zergatik ez dugu erabiltzen funtzio hau funtzioa hurbiltzeko?. Ikusi 3.111 irudia. y: hurbildu behar den aldagaia. z: zuzen ukitzailearen ordenatua x = a puntuan. z(x) = y(a) + y (a)(x a) = z(a + h) = y(a) + y (a)h h tx ikia bada z(a + h) y(a + h). Hau da: y(a + h) y(a) + hy (a). Ikusi 3.112 irudia. hy (a) balioari y(x)-ren diferentziala x = a puntuan deritzo eta honela adierazten da:

3.13. DERIBAGARRITASUNA. 123 3.111 Irudia: 3.112 Irudia: y-ren diferentziala x = a puntuan d y(a) = hy (a) 3.24. Ariketa y(x) = e x funtzioaren diferentziala a = 0 puntuan erabiliz e (0.2) balioa hurbildu. Ikusi 3.113 irudia. Ebaz pena y (x) = e x y (0) = 1 Orduan hurbilketa ondorengo eran adieraz daiteke: e (0+h) e 0 + h e h 1 + h

124 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.113 Irudia: e x -ren diferentziala x = 0 puntuan h = 0.2 hartuz: e (0.2) 1 + 0.2 = 1.2 3.25. Ariketa h-ren gero eta balio txikiagoak hartu 0.1, 0.01 etb. Kalkulagailua erabiliz e h balioztatu. Konprobatu diferentzialaren bidez lortutako hurbilketa gero eta hobeagoa dela h 0-tik hurbilago dagoenean. Azken finean, y = e x funtzioa z = 1 + x funtzioaren bidez hurbiltzen ari gera. Gogoratzen al duzu e x -ren seriezko garapena? e x = n= 0 x n n! = 1 + x + x2 2 + x3 3! + Zer deritzozu?. Diferentzialaren bidez egindako hurbilketa e x -ren garapenaren lehenengo bi batugaik hartuz lortzen da. 3.26. Ariketa Difrentzialaren kontzeptua erabiliz a = 0 denean y = co s x eta y = sin x funtzioak hurbildu. Lortutako hurbilketak bakoitzari dagokion seriezko garapenarekin erlazionatu. sin 0.3 eta co s 0.1 balioak hurbildu.

3.13. DERIBAGARRITASUNA. 125 3.114 Irudia: Deribatua gure lehenengo bitxi matematikoa da. Kontzeptu hau ikuspuntu desberdinetatik begiratzen badugu ematen du lortutako emaitzak erlazio gabekoak direla. Ikusi 3.114 irudia. Hots: y (a) zuzen ukitzailearen malda x = a puntuan denez, y (a)-ren bidez y(x)-ren zuzen ukitzailea lor daiteke. Beste aldetik; y (a)-ren bidez y-ren x-rekiko aldakuntza abiadura x = a puntuan neurtzen du. Horrez gain; y (a) balioa erabiliz y(x)-ren hurbilketa x = a puntuan kalkula daiteke, hurbilketa hau y(a + h) y(a) + hy (a) formula erabilita egiten delarik. 3.13.6 Funtzio konp osatuaren deribatua: katearen erregela. Demagun erikuntza baten zabaltzara esku-eskailera bat igo nahi dugula. Eskailerak lurra du euskarri eta bere goi muturrean soka bat lotzen dugu. S okari 0.2m /s -ko abiaduraz tira egiten diogu. Zer abiduraz hurbiktzen da p hormara?. Ikusi 3.115 irudia. 3.115 Irudia: L: eskaileraren luzera da. p, q eta l-ren arteko erlazioa p 2 + q 2 = l 2 (1) ekuazioaren bidez

126 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK emana dago. q-ren desplazamendu abiadura 0.2m/s da. (1) ekuazioatik p(q) askatuz ondorengoa lortzen da: p(q) = l 2 q 2 q [0, L] p (q) kalkulatzen badugu p-ren q-rekiko abiadura izango dugu. Ikusi 3.116 irudia. 3.116 Irudia: dp dq = p (q) = q L 2 q 2 Erro zailak ez ateratzeko (1) ekuazioa era inplizituan deribatuko dugu. Hau da: d ( p 2 + q 2) = d ( L 2 ) = 0 L = ktea dq dq Ohar zaitez p ez dela konstantea baizik eta q-ren funtzioa dela. Orduan: d ( p 2 + q 2) = 0 2p dp dq + 2q dq dq dq = 0 pdp dq + q dq dq = 0 dp dq = q p Adibidez q-k l-ren erdia igo badu, hau da q = l 2 bada, ondorengoa geratzen zaigu: p = Oharra: L 2 ( ) l 2 3 = L 2 2 dp L dq = 2 L 3 2 = 1 3 1. Abiadura hau negatiboa da, p txikiagotu egiten delako.

3.13. DERIBAGARRITASUNA. 127 2. Abiadura hau metrotan neurtzen da, non p-ren desplazamendua q-ren desplazamendu metro bakoitzeko neurtzen den. Hala ere, enuntziatuan ematen den q-ren abiadura, denboraren menpe dagoen datua da. Beraz, dq dp dp dt = 2m/s da eta dq lortu dugu. Baina, nola kalkulatuko dugu dt?. p eta q, t-ren funtzioak direnez (1) ekuazioa (p(t)) 2 + (q(t)) 2 = L 2 eran geratzen da. Azkeneko ekuazio honetan t-rekiko deribatuz ondorengoa lortuko da: Adibidez: 2p dp dq + 2q dt dt = 0 dp dt q = L dp bada 2 dt = 2 m/ s 3 d ( p 2 + q 2) = d ( L 2 ) = 0 d ( p 2 ) + d ( q 2 ) = 0 dt dt dt dt = q dq dt p dp dt = 2q p ( ) dq dt = 2 Ohar zaitez funtzioen konposaketa erabiltzea beharrezkoa izan dela. Beraz, ondorengo laburpena egin dezakegu: 1. t erabili gabe: q p(q) 2. t erabiliz: Konposaketa: t q(t) p(q(t)) Ikusi 3.117 irudia. 3.117 Irudia: konposaketa

128 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK Gure kasuan: dp dq = q p ; dq dt = 2 direnez Orduan: dp dt = dp dq dq dt = 2q p Idatz dezagun orokorrean funtzio konposatuak deribatzeko erabilitzen den formula hau: Ikusi 3.118 irudia. 3.118 Irudia: w(v(u)) konposaketa dw du = dw dv dv du Formula honi " Katearen Erregela" deritzo. Ikus ditzagun ondorengo adibideak: 3.19. Adibidea Beraz: d ( x 3 ) = 3x 2. dx d ( x 3 ) = d ( x 3 ) dx dx = 3x2 dt dx dt dt 3.20. Adibidea p(y) = e y } y = x 3 dp dy = ey

3.13. DERIBAGARRITASUNA. 129 Beraz: dp dx = dp dy dy dx = ey 3x 2 3.21. Adibidea p(y) = cos y y(x) = e x x(t) = t 3 Edo beste era batean: p = cos(y) = cos (e x ) = cos (e t3) dp ( dt = sin e t3) e t3 3t 2 3.22. Adibidea u (v (w(t))) du dt = du dv dp dt = dp dy dy dt = dp dy dx ( dy dx dt = sin y ex 3t 2 = sin e t3) e t3 3t dv dt = du dv dv dw dw dt 3.27. Ariketa Eskalieraren problema ebatzi baina orain suposatuz 2rad/s-ko abiaduraz biratzen den tornua dugula. Hau da, θ biraketa angelua bada, orduan θ(t) = 2πRt izango da. Zer abiaduraz desplazatzen dira p eta q q = L 2 denean?. Azkeneko hau t-ren zer unetan gertatzen da?. p(t) grafikoki adierazi. kalkulatu. dp dθ eta dq dθ 3.13.7 A lderantzizko funtzioaren deribatua. Ikusi 3.119 irudia. Ikus ezazu 3.28 irudian agertzen den sekzio karratuko tutueria. U reztaketa ubide bat izan zitekeen. Edozein unetan neurtu daiteke likidoa iristen den h altueraren balioa. Era berean, ubideara isurtzen dugun uraren V bolumena lor dezakegu. Beraz, V (t) eta h(t) non t denbora den ezagutzen ditugu. Orduan, V eta h-ren abiadurak, hots, dv ditzakegu. Demagun bi abiadura horiek konstanteak direla, adibidez: dv dt = 35 l/s eta dh = 0.25 m/min dt dt eta dh dt t-rekiko neurtu

130 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK 3.119 Irudia: Sekzio karratuko tutueria Orain interesatzen zaiguna V -ren abiadura h-rekiko kalkulatzea da. Beraz, V -ren aldakuntza abiadura galga iristen den altuerarekiko, dv dh, da kalkulatu nahi duguna. Katearen erregela aplikatuz: dv dh = dv dt dt dt = 35 dh dh Zenbat balio du dt dh?. dh dt dt = 0.25 ezaguna da, dh berriz, ezezaguna da. Interesgarria izan daiteke ere, dh dv kalkulatzea. dh dv = dh dt dt dv = 0.25 dt dv Kasu honetan ere dt dv ezezaguna da. Problema hau orokorrean enuntziatuko dugu. y(x) funtzio deribagarria eta dy dx izanik, x(y) alderantzizkoa kalkulatzen dugu. Kalkula dezagun dx dy. Beraz, x(y) alderantzizko funtzioaren deribatua kalkulatu behar da. Agian, 4. atalan ikusitakoa birpasatu beharko duzu. Har dezagun berriro 13.6 atalan ikusitako eskaileraren problema. Gogoratu p 2 + q 2 = L 2 (L ktea.) zela. p-rekiko d erib atu z: Iku si 3.1 2 0 iru d ia. 3.1 2 0 Iru d ia: UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila