1.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αρχή της Μαθηµατιής Επαγωγής Έστω ισχυρισµός Ρ(), όπου θετιός αέραιος. Α (i) Ρ αληθής αι (ii) Ρ() Ρ( + 1) για άθε, τότε Ρ() αληθής για άθε.. Αισότητα Bernoulli (1 +α ) > 1 + α για άθε φυσιό αριθµό όπου α πραγµατιός µε 1 < α 0 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Παρατήρηση Η Μαθηµατιή Επαγωγή είαι µέθοδος απόδειξης ισχυρισµώ που εξαρτώται από τη µεταβλητή. Σηµείωση : Ο µπορεί α είαι i) άθε θετιός αέραιος ii) άθε µη αρητιός αέραιος iii) άθε αέραιος συγεριµέου φυσιού. Τα βήµατα της Μαθηµατιής Επαγωγής α) ιαπιστώουµε ότι το αποδειτέο αληθεύει για 1 β) εχόµαστε ότι το αποδειτέο αληθεύει για γ) Αποδειύουµε ότι το αποδειτέο αληθεύει για + 1. Η χρησιµότητα της αισότητας Bernoulli Κατεβάζει το εθέτη στη βάση
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι Προτειόµεη λύση + + 6 + + ( + 1) για άθε θετιό αέραιο Για 1 η ισότητα γράφεται 1(1 + 1) που είαι αληθής. εχόµαστε αληθή τη ισότητα για : + + 6 + + ( + 1) Θα αποδείξουµε ότι η ισότητα αληθεύει για + 1, δηλαδή ότι Είαι + + 6 + + + ( + 1) ( + 1)( + ) + + 6 +... + + ( +1) ( + 1) + ( +1) Α µ έ λος της ( + 1)( + ). Να αποδείξετε ότι για άθε N * ισχύει 1 + + 5 + + ( + 1)( + ) ( + 1)( + )( + ) Προτειόµεη λύση Για 1 η ισότητα γράφεται 1 1 6 6 που είαι αληθής εχόµαστε ότι η ισότητα αληθεύει για, δηλαδή ότι 1 + + 5 + + ( + 1)( + ) ( + 1)( + )( + ) Θα αποδείξουµε ότι η ισότητα αληθεύει για +1, δηλαδή ότι 1 + + 5 + + ( + 1)( + ) + ( +1)( + )( + ) ( + 1)( + )( + )( + ) 1 ο µέλος 1 + + 5 +... +( + 1)( + ) + ( +1)( + )( + ) Α µ έ λος της 1 ( + 1)( + )( + ) + ( +1)( + )( + ) ( + 1)( + )( + ) + ( + 1)( + )( + ) ( + 1)( + )( + )( + )
. Να αποδείξετε ότι για άθε θετιό αέραιο ισχύει 1 + + 5 + + ( 1) ( 1) Προτειόµεη λύση 1( 1 1) Για 1 η ισότητα γράφεται 1 1 1 που είαι προφαής. εχόµαστε ότι η ισότητα αληθεύει για, δηλαδή ότι 1 + + 5 + + ( 1) ( 1) Θα αποδείξουµε ότι η ισότητα αληθεύει αι για + 1, δηλαδή ότι 1 + + 5 + + ( 1) + [( + 1) 1] ( + 1)[( + 1) 1)»» ( + 1)( + 8+ )»» + 1 + 11+ 1 ο µέλος 1 + + 5 +... + ( 1) + [( + 1) 1] Α µ έ λος της 1 ( 1) + ( +1) ( 1) + (+ 1) ( 1) + (+ 1) ( 1)(+ 1) + (+ 1) (+ 1)[ ( 1) + (+ 1)] (+ 1)( + 5+ ) + 1 + 11+
. Α α, β αέραιοι, δείξτε ότι για άθε N * υπάρχει λ Z ώστε α ισχύει Προτειόµεη λύση (α + β) α + λβ Για 1 η ισότητα γράφεται α + β α + λ β α + β α + 1 β υπάρχει ο λ 1 εχόµαστε ότι υπάρχει λ Z, ώστε α ισχύει (α + β) α + λβ Θα αποδείξουµε ότι υπάρχει λ Z, ώστε α ισχύει (α + β) +1 α +1 + λ β 1 ο µέλος (α + β) +1 (α + β) (α +β) (α + λβ)(α + β) α +1 + α β + λαβ + λβ Όπου λ α + λα + λβ Z α +1 + β(α + λα + λβ) α +1 + λ β 5. είξτε ότι ( 1) σηµεία, τα οποία αά τρία δε είαι στη ίδια ευθεία ορίζου ευθείες Προτειόµεη λύση Για σηµεία ορίζεται 1 ευθεία αι ισχύει 1 εχόµαστε ότι για σηµεία ορίζοται ( 1) Θα αποδείξουµε ότι για + 1 σηµεία ορίζοται ( 1) ευθείες ( + 1) ευθείες Το σηµείο Α + 1 µε τα σηµεία της ορίζει έες ευθείες. Εποµέως το πλήθος όλω τω ευθειώ θα είαι ίσο µε το πλήθος τω ευθειώ που ορίζου τα σηµεία της συ τις έες ευθείες, δηλαδή ( 1) + ( 1) + ( + 1)
5 6. Να δείξετε ότι το πλήθος τω διαγωίω άθε υρτού πολυγώου είαι όπου το πλήθος τω ορυφώ του πολυγώου Προτειόµεη λύση Το πρώτο υρτό πολύγωο που έχει διαγώιες είαι το τετράπλευρο. ( ) ( ) Για, το πλήθος τω διαγωίω είαι αι ισχύει ( ) εχόµαστε ότι ο για το πλήθος τω διαγωίω είαι ( + 1)( ) Θα αποδείξουµε ότι, για + 1 το πλήθος τω διαγωίω είαι Η ορυφή Α + 1 µε τις ορυφές Α 1, Α,..., Α ορίζει το πλήθος ευθ. τµήµατα, από τα οποία δύο είαι πλευρές αι είαι διαγώιοι. Επί πλέο µία πλευρά του γώου γίεται διαγώιος του ( + 1) γώου Άρα το πλήθος τω διαγωίω θα είαι ( ) + + 1 ( ) + 1 + ( + 1)( ),
6 7. Να αποδείξετε ότι, για άθε N ο αριθµός Α 7 + 16 1 είαι πολλαπλάσιο του 6. Προτειόµεη λύση Για 0 έχουµε Α 7 0 + 0 1 1 1 0 0 6 εχόµαστε ότι, για ο αριθµός Α είαι πολλαπλάσιο του 6, δηλαδή Α 7 + 16 1 6 λ, λ Z Θα αποδείξουµε ότι, για + 1 ο αριθµός Α είαι πολλαπλάσιο του 6 δηλαδή ότι Είαι 7 (+1) + 16(+1) 1 6µ, µ Z Α 7 (+1) + 16(+1) 1 7 + + 16 + 16 1 Όπου µ 9λ 1 +1 Z 7 7 + 16 + 15 9 7 + 16 + 15 9(6λ 16 + 1) + 16 + 15 9 6λ 9 16 + 9 + 16 +15 9 6λ 8 16 + 6 9 6λ 1 16 + 6 9 6λ 1 6 + 6 6(9λ 1 +1) 6µ
7 8. είξτε ότι ο αριθµός + + 6 + είαι πολλαπλάσιο του 17 για άθε N Προτειόµεη λύση Για 0, ο αριθµός είαι + 9 + 8 17 1 17 εχόµαστε ότι, για ο αριθµός είαι πολλαπλάσιο του 17, δηλαδή ότι + + 6 + 17λ, λ Z Θα αποδείξουµε ότι ο αριθµός είαι πολλαπλάσιο του 17 αι για + 1, δηλαδή ότι (+1) + + 6(+1) + 17µ, µ Z Είαι (+1) + + 6(+1) + + + + 6+ + 6 Η + 17λ 6 + + + 6 6+ () Οπότε η () γίεται (+1) + + 6(+1) + 81(17λ 6 + ) + 6 6+ Όπου µ 81λ 6 + Z 17 81λ 81 6 + + 6 6+ 17 81λ 17 6 + 17( 81λ 6 + ) 17µ 9. είξτε ότι, για άθε ισχύει : Προτειόµεη λύση Για η αισότητα γίεται > + 1 > + 1 εχόµαστε ότι η αισότητα αληθεύει για δηλαδή ότι Θα αποδείξουµε ότι η αληθεύει αι για + 1, δηλαδή ότι Είαι + 1 > (+1) Οπότε αρεί α δείξουµε ότι ( +1) > + ( +1) > ( + ) + > + > 1 που ισχύει αφού. 81 > 5 που ισχύει. 16 > + 1 + 1 > +
8 10. είξτε ότι, για άθε ισχύει : > ( + 1) Προτειόµεη λύση Για η αισότητα γίεται 7 >16, που είαι αληθές εχόµαστε ότι η αισότητα ισχύει για, δηλαδή > ( + 1) Θα αποδείξουµε ότι η αισότητα ισχύει για + 1 δηλαδή : +1 > ( + ) Είαι +1 > ( + 1) Εποµέως αρεί α δείξουµε ότι ( + 1) > ( + ) + 6 + > + + + 1 > 0 + + 1 > 0 που ισχύει αφού. 11. Α α 1, α, α, α θετιοί αριθµοί αι διάφοροι από το 1, α δείξετε ότι (1 + α 1 )(1 + α ) (1 + α ) > α1 α... α για άθε N * Προτειόµεη λύση Για 1 έχουµε 1 + α 1 > α 1 1 + α 1 α 1 > 0 ( 1 α ) 1 > 0 που ισχύει αφού α 1 1 εχόµαστε ότι η αισότητα ισχύει για δηλαδή ότι (1 + α 1 )(1 + α ) (1 + α ) > α1 α... α Θα αποδείξουµε ότι η αισότητα ισχύει αι για + 1, δηλαδή ότι (1 + α 1 )(1 + α ) (1 + α )(1 + α +1 ) > +1 α1 α... α α + 1 () (1 + α 1 )(1 + α ) (1 + α )(1 + α +1 ) > α1 α... α (1 + α +1 ) Από τη (), αρεί α δειχθεί ότι α1 α... α (1 + α +1 ) > +1 α1 α... α α + 1 α1 α... α (1 + α +1 ) > α1 α... α α + 1 1 + α +1 > α + 1 1 + +1 α α + 1 > 0 ( 1 α ) +1 > 0 που ισχύει
9 1. Για πολυώυµο Ρ(x) δίεται ότι Ρ(x + y) Ρ(x) + Ρ(y) για άθε x, y R. Να αποδείξετε ότι i) Ρ(0) 0 ii) Ρ() Ρ για άθε N iii) Το πολυώυµο Q(x) Ρ(x) Ρ x έχει ρίζες όλους τους φυσιούς αριθµούς iv) Ρ(x) Ρ x για άθε x R Προτειόµεη λύση Οοµάζουµε τη Ρ(x + y) Ρ(x) + Ρ(y) για άθε x, y R i) Για x y 0, η ii) Ρ(0 + 0) Ρ(0) + Ρ(0) Ρ(0) Ρ(0) Ρ(0) 0 () Ελέγχουµε α η ισότητα Ρ() Ρ ισχύει για 0: Ρ(0) Ρ 0 0 0 ισχύει εχόµαστε ότι ισχύει για, δηλαδή ότι Ρ() Ρ () Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για + 1, δηλαδή ότι Ρ( + 1) Ρ ( + 1) Είαι Ρ( + 1) Ρ() + Ρ () Ρ + Ρ Ρ ( + 1) iii) Είαι Q() Ρ() Ρ (ii) Ρ Ρ 0 iv) Αρεί α αποδείξουµε ότι Ρ(x) Ρ x 0 δηλαδή ότι Q(x) 0 για άθε x R για άθε x R δηλαδή ότι το Q(x) είαι το µηδειό πολυώυµο. Τούτο συµβαίει, αφού από το (iii), το Q(x) έχει άπειρες ρίζες ()
10 1. Για άθε φυσιό αριθµό, α αποδείξετε ότι i) > 1 + ii) + 5 > 7 + iii) > iv) < Προτειόµεη λύση i) (1 + ) > 1 + ii) (1 + ) > 1 + 5 (1 + ) > 1 + Προσθέτουµε ατά µέλη: + 5 > 7 + iii) 1 1+ > 1 + 1 1 + > iv) Αρεί α αποδείξουµε ότι < > > Bernoulli που αποδείχθηε στο (iii) 1. Α θ > 1 αι N µε, α αποδείξετε ότι θ 1 < (θ 1) 1 Προτειόµεη λύση Αρεί α αποδείξουµε ότι θ 1 θ 1 < θ 1 θ < 1 + θ < θ 1 1+ θ 1 1+ > θ Bernoulli