VAJE IZ MATEMATIKE za študente lesarstva. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE za študente lesarstva Martin Raič Datum zadnje spremembe:. oktober 05

Kazalo. Števila 4. Matrike in sistemi 6 3. Ravninska in prostorska geometrija 8 4. Zaporedja 0 5. Funkcije 3 6. Odvod 5 7. Integral 9 8. Vsote in vrste 4 9. Krivulje v ravnini 8 0.Funkcije več spremenljivk 3.Diferencialne enačbe 34.Osnove kombinatorike 35 3.Verjetnostni račun 36 REŠITVE 39. Števila 40. Matrike in sistemi 44 3. Ravninska in prostorska geometrija 45 4. Zaporedja 46 5. Funkcije 47 6. Odvod 56 7. Integral 60 8. Vsote in vrste 6 9. Krivulje v ravnini 64 0.Funkcije več spremenljivk 67

.Diferencialne enačbe 7.Osnove kombinatorike 73 3.Verjetnostni račun 74

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 4. Števila Računske operacije, enačbe, neenačbe. Grafi linearnih in kvadratnih funkcij ter absolutne vrednosti.(4 ure).narišitegrafafunkcij f() = in g() = 3..Rešiteneenačbo +3 +. = { ; 0 ; 0 3.Narišitegraffunkcije f() =. 4.Rešiteneenačbo < 4. 5.Poiščiteničleinnarišitegrafefunkcij f () =, f () = 4, f 3 () = 4, f 4 () = 5+7, f 5 () = 5 in f 6 () = 4 ++9.Čeničleniso celoštevilske, jih locirajte med dve zaporedni celi števili! Vnalogahod6.do9.rešiteneenačbe. 6. + 6 7. ( ) 8. + < 5 < a a < < a a a a > a < a ali > a a a ali a 9. 4 Vnalogahod0.do0.rešiteenačbe. 0. + =.. 0 = 04.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 5. 0 = 04. 3. 5 = 04. 4. 5 = 04. 5. 8 5 4 6 = 0. 6. 0 y = 04. a = y = log a y = log by log b a 7. y = 0. 8. 4 + + = 00. log a (y) = log a +log a y, log a y = log a log a y, log a ( y ) = ylog a 9. log 0 +log 0 ( 5) =. 0. log 0 log 00 ( 9) =.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 6. Matrike in sistemi Operacije z matrikami: transponiranje, seštevanje, množenje. Identična in inverzna matrika. Zapis sistemov v matrični obliki. Gaussova eliminacija. Predoločeni sistemi. Aproksimacija podatkov po metodi najmanjših kvadratov.(4 ure) [ ] [ ].Danistamatriki A = in B =.Izračunajtetisteodmatrik A 3 5 0 3 T, B T, A+B, A+A T, AB, BA, B T A T, BB T, B T Bin (A+5I)B,kiobstajajo. [ ] a b = c d ad bc [ ] d b c a.poiščitematriko X,kirešimatričnoenačbo AXB = I,kjerje: [ ] [ ] 3 3 3 A = in B = 5 3 4 Vnalogahod3.do5.rešitesisteme. 3. +3y +7z = 3 +7y +z = 9 3 8y 9z = 4. +3y +7z = 3 +6y +z = 9 3 9y 9z = 5. +3y +7z = 3 +6y +z = 9 3 9y 9z = 9 Recimo,dasistem A = bnimarešitve. Tedajpribližno rešitev, ki se po principu najmanjših kvadratov najbolje prilegasistemu,dobimokotrešitevsistema A T A = A T b (ki je vedno rešljiv). 6. Poiščite približno rešitev, ki se po metodi najmanjših kvadratov najbolje prilega sistemu: +y = +y = 3 = y V7.in8.nalogidanepodatkeaproksimirajtestistopodanofunkcijo,kisejimpometodi najmanjših kvadratov najbolje prilega.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 7 7. 8. 3 y 3 4, y = a+b. y 3, y = a3 +b.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 8 3. Ravninska in prostorska geometrija Operacije z vektorji. Premice in ravnine.(4 ure). Dan je pravilni šesterokotnik ABCDEF. Izrazite vektorje CD, BF, BA, BCin ADzvektorjema u := AFin v := AB..DoločitekoteprostorskegatrikotnikazogliščiA(4,,4), B(,4, 4)inC(,4, ). 3.Danastaenotskavektorja ain b,pričemerjevektor a+3 bpravokotennavektor a b.določitekotmed ain b. 4.Danjeparalelogram ABCDzoglišči A(,,), B(5,3,5)in C(4,,7),pričemerje AB CDin AD BC.Določiteoglišče Dterizračunajteploščinitrikotnika ABC in paralelograma ABCD. 5.Dokažite,davvsakemparalelogramu ABCD(vkateremje AB CDin AD BC) velja AB AC = AB AD. 6.Izračunajte prostornino piramide z oglišči A(0,,0), B(,,), C(3,,) in D(,,3). 7. Izračunajte prostornino pravilnega oktaedra s stranico a. Namig: Koordinatni sistem postavite tako, da bodo oglišča oktaedra na njegovih oseh. 8.Danajepremica,kigreskozitočki A(,)in B(, ). a) Zapišite eksplicitno in normalno enačbo te premice. b)izračunajterazdaljotočke T(,4)odtepremice. c)določitepremico,kigreskozitočko Tinjepravokotnanadanopremico. d)poiščitetočko T 0 naprvotnipremici,kijenajbližjetočki T. e)poiščitetočko T,kijezrcalnatočki Tgledenaprvotnopremico. f)istošezatočko Q(0,5). 9.Danajepremica,kigreskozitočki A(,0,4)in B(4,3,4). a) Zapišite parametrično enačbo te premice. b)izračunajterazdaljotočke T(3,0,5)odtepremice. c)poiščitetočko T 0 napremici,kijenajbližjetočki T. d)določitepremico,kigreskozitočko Tinjepravokotnanadanopremico. e)poiščitetočko T,kijezrcalnatočki Tgledenadanopremico. 0.Danajeravnina,nakateriležijotočke A(0,, ), B(,,0)in C(,, ). a) Zapišite enačbo te ravnine.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 9 b)izračunajterazdaljotočke T(,,)odravnine. c)določitepremico,kigreskozitočko Tinjepravokotnanadanoravnino. d)poiščitetočko T 0 naravnini,kijenajbližjetočki T. e)poiščitetočko T,kijezrcalnatočki Tgledenadanoravnino.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 0 4. Zaporedja Monotonost zaporedij, stekališče, limita.(6 ur) Zaporedje a,a,a 3,...jenavzgoromejeno,čeimazgornjomejo,topaje takoštevilo M,daje a n Mzavse n N. Najmanjšetakoštevilo M imenujemo natančna zgornja meja ali supremum zaporedja in označimo M = sup n N a n.maksimumjedoseženisupremum. Zaporedje a,a,a 3,...jenavzdolomejeno,čeimaspodnjomejo,topa jetakoštevilo m,daje a n mzavse n N. Največjetakoštevilo m imenujemo natančna spodnja meja ali infimum zaporedja in označimo m = inf n N a n.minimumjedoseženiinfimum. Zaporedje je omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno. Število ajestekališčezaporedja a,a,a 3,...,čezavsak ε > 0zaneskončnomnogoindeksov nodnekodnaprejvelja a n a < ε. Zaporedje a,a,a 3,...jekonvergentno,čeimalimito,tojetakoštevilo a,dazavsak ε > 0velja,dazavse nodnekodnaprejvelja a n a < ε. Pišemo a = lim n a n. Vsaka limita je tudi stekališče. Stekališča danega zaporedja so natančno limite njegovih konvergentnih podzaporedij. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko je omejeno in ima eno samo stekališče. Zadanonaraščajočezaporedje a,a,a 3,...soizjave jenavzgoromejeno, imastekališče in jekonvergentno ekvivalentne.veljalim n a n = sup n N a n. Zadanopadajočezaporedje a,a,a 3,...soizjave jenavzdolomejeno, ima stekališče in je konvergentno ekvivalentne. Velja lim n a n = inf n N a n. V nalogah od. do 5. raziščite monotonost zaporedja ter določite supremum, infimum, maksimum in minimum, če obstajajo. Poiščite njegova stekališča in določite, ali je zaporedje konvergentno. Če je, ugotovite, od kod naprej se členi od limite razlikujejo za manjkot ε = 0. 0.. a n = n+ n 3. a n = n n 3. a n = ( ) n 4. a n = n ( )n 5. a n = n+ n

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) Vnalogahod6.do7.izračunajtelimitealipadokažite,daneobstajajo. lim n n = 0 6. lim n 3n 3 +7n +77 n(n+) 7. lim n (n +) 3 (n 3 +) 8. lim n (n 4 +n 3 ) (n 3 +) 3 (n 3 +) 3 9. lim n (n 4 +n 3 ) 0. lim n 9n +4n+ n+5 6n ++ 3 n 3 +006. lim n ( n +3n n +n ) < a < : a > : lim n an = 0 lim n nk a n = 0 lim a n = n a n lim n n = k. lim n n+ 3 n+ 4 n + n+3 3. lim n 3n+ +n 006 3 n 3 +3 3n+3 ( lim + n = e = n n).. 788 ( ) n+5 n 4. lim n n+

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) ( lim + ) an = e,bržkoje lim a n = ± n a n n lim (+b n) /bn = e,bržkoje lim b n = 0 n n ( 5. lim 3 ) n. n n+5 ( ) 3n+5 n+ 6. lim n n+ ( ) 3n+5 (n+) 7. lim n n+

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 3 5. Funkcije Definicijsko območje, zaloga vrednosti, osnove risanja grafov. Pregled in lastnosti elementarnih funkcij. Zveznost funkcije, funkcijske limite.(4 ure). a)narišitegraffunkcijef() = terdoločitenjenodefinicijskoobmočjeinzalogo vrednosti. Ima dana funkcija inverzno funkcijo? b)danistašefunkciji: g() :=, Dg := [0, ) in h() :=, Dh := [ 3, ). Določite inverzni funkciji in narišite njuna grafa.. a)določitedefinicijskoobmočjeinzalogovrednostifunkcije f() := 4 in narišite njen graf. b) Poiščite še inverzno funkcijo in prav tako narišite njen graf. 3. a)narišitegrafefunkcij f() =, g() = in h() =. b) Poiščite funkcijo, ki je inverzna funkciji f. c)poiščitefunkcijo,kijeinverznafunkciji h,zoženina (0, ),innarišitenjen graf. 4.Narišitegrafefunkcij f() =, g() = +, h() = in k() =. 5.Narišitegrafafunkcij f() = lnin g() = ln(+)terpoiščitenjunidefinicijski območji in zalogi vrednosti. ( 6.Narišitegrafafunkcij f() = sin in g() = sin + π ) + terpoiščitenjuni 4 definicijski območji in zalogi vrednosti. 7.Narišitegrafafunkcijf() = cosin g() = 4 cos 3 terpoiščitenjunidefinicijski območji in zalogi vrednosti. 8. Narišite grafa funkcij f() = tg in g() = ctg ter poiščite njuni definicijski območji in zalogi vrednosti. 9.Narišitegrafefunkcij f() = arcsin, g() = arccos, h() = arctgin k() = arcctg ter poiščite njihova definicijska območja in zaloge vrednosti.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 4 y = sin = arcsiny +kπali = π arcsiny +kπ ; k Z y = cos = ±arccosy +kπ ; k Z Vnalogahod0.do.rešiteenačbe. 0. sin 5sin+ = 0.. 3sin = 8cos.. sin = cos. 3.Danajefunkcija f() = ln ( e e ). a) Poiščite njeno definicijsko območje in zalogo vrednosti ter narišite njen graf. b) Določite njeno inverzno funkcijo in narišite njen graf. 4.Določitedefinicijskoobmočjefunkcije f() = ln(4 )+arcsin( ). Vse elementarne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane. Funkcija f,definiranavokolicitočke a,jezveznava,čevelja limf() = f(a). a Drugačepovedano, fjezveznava,čevelja limf() = f(a) = limf() a a 5. Dana je funkcija: ; < 3 f() = a ; = 3 +b ; > 3 Določiteparametra ain b,prikaterihbofunkcija fzveznanacelirealniosi. V nalogah od 6. do 9. izračunajte limite funkcij. +7 3 6. lim 3+. 7. lim +3 +8 4. +8 4 8. lim. +3 +3 9. lim. +8 3

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 5 6. Odvod Pravila za odvajanje. Tangenta in normala, približno računanje s pomočjo odvoda. Levi in desni odvod, zvezna odvedljivost. Ekstremi. Risanje grafov s pomočjo odvoda. L Hôpitalovo pravilo.( ur) Dogovor o notaciji: Črki a in m označujeta konstante. Črka označuje spremenljivko, po kateri odvajamo. Črki u in v označujeta odvisne spremenljivke(t. j. količine, ki jih dobimo kot funkcije spremenljivke ). Črke f, gin hoznačujejofunkcije. a = 0 = ( m ) = m m (u+v) = u +v (au) = au Vnalogahod.do4.poiščiteodvodefunkcij.. f() = 3 4 +++ 4. (uv) = u v +uv ( u v) = u v uv v. f() = +3 +5. ( g(h()) ) = g (h())h () 3. f() =.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 6 ( e ) = e (sin) = cos (cos) = sin 4. f() = e cos. 5. f() = 6. f() = e /. 7. f() = tg. 8. f() = ctg. ( g ) () = g ( g () ) 9. f() = ln. 0. f() = arcsin.. f() = arccos.. f() = arctg. 3. f() = arcctg. 4. f() = arcsin. Enačbatangentenagraffunkcije f()pri = 0 : y = f( 0 )+f ( 0 )( 0 ) Vbližinitočke 0 tangentadobroaproksimiragraffunkcije: za 0 jetudi: f() f( 0 )+f ( 0 )( 0 ) Enačbanormalepri f ( 0 ) 0: y = f( 0 ) 0 f ( 0 ) Enačbanormalepri f ( 0 ) = 0: = 0.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 7 5.Danajefunkcija f() =. a)zapišiteenačbitangenteinnormalenagraftefunkcijepri 0 = 5. b)spomočjoodvodapribližnoizračunajte 7inrezultatprimerjajtestočno vrednostjo. Funkcija f,definiranavokolicitočke a,jezveznoodvedljivavtočki a,bržko jezveznavainobstaja limf ()(t.j. čeje limf () = limf ()). Vtem a a a primerujetudi f (a) = limf (). a 6. Dana je funkcija: f() = { a+b ; < 4 ; 4 Določite parametra a in b, pri katerih bo funkcija f zvezno odvedljiva na celi realni osi. Funkcija zavzame ekstremne vrednosti kvečjemu v: robnih točkah definicijskega območja; točkah neodvedljivosti; stacionarnihtočkah,t.j.tam,kjerje f () = 0. Kjerje f () = 0in f () > 0,zavzamefunkcijalokalniminimum. Kjerje f () = 0in f () < 0,zavzamefunkcijalokalnimaksimum. 7.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f() = 3 9 +naintervalu [ 3,3]. 8. Iz vogalov kvadrata s stranico a izrežemo štiri enake kvadratke. Nato iz preostanka sestavimo škatlo brez pokrova. Kako naj izrežemo, da bo imela škatla največjo prostornino? V nalogah od 9. do. obravnavajte funkcije: poiščite definicijsko območje, zalogo vrednosti in ničle, raziščite obnašanje funkcije na robu definicijskega območja(poli, obnašanje v neskončnosti, asimptote) ter poiščite intervale naraščanja in padanja, ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti in prevoje. Natančno narišite tudi njihove grafe. 9. f() = 3 3 +4. 0. f() = 3 +4.. f() = 3 e.. f() = +arctg.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 8 f() L Hôpitalovopravilo.Računamo L = lim a.čeje: g() bodisi limf() = limg() = 0; a a limf() = ± in limf() = ±, a a velja L = lim a f () g () podpogojem,daslednjalimitaobstaja. V nalogah od 3. do 9. izračunajte limite. 3. lim ln e e. 4. lim 0 sin 3. 5. lim 0 ln. 6. lim ( π arctg ). 7. lim 0 (cos) /. 8. lim π π +sin. 9. lim sin +sin.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 9 7. Integral Računanje nedoločenih in določenih integralov. Povprečna vrednost funkcije. Osnovna uporaba integralov: ploščine, ločne dolžine ter površine in prostornine vrtenin. F () = f() df() = f()d f()d = F()+C d = +C, m d = m+ d m+ +C, = ln +C (f()+g() ) d = f()d+ g() d, af()d = a f()d Črki a in C označujeta konstanto. V nalogah od. do 6. izračunajte nedoločene integrale... 3. ( + ) d. ( ) + d. d. + Razčlenitev na parcialne ulomke p+q (+a)(+b) = A +a + B +b 4. d 6. Čeje akonstantain f()d = F()+C,jetudi F(+a)d = F(+a)+C. 5. 4 d.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 0 d + = arctg+c 6. 7. 8. d +4. d +4. + d. d = arcsin+c 9. d 9. e d = e +C, sind = cos+c, cosd = sin+c 0... d e d. +e sin cosd Integracija po delih(per partes): udv = uv vdu 3. lnd.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 4. 5. 6. e d e d. arctgd. Določeni integral: f()d = F()+C = b a f()d = F() b = F(b) F(a) a V nalogah od 7. do. izračunajte določene integrale. 7. 8. π 0 π/ 0 sind. cos(cos) sind. Uvedba nove spremenljivke v določeni integral. Če točka (, y) opiše dovoljleponepretrganokrivuljo,kisezačnepri = a,y = αinkončapri = b,y = βterčevzdolžcelekrivuljevelja f()d = g(y)dy,veljatudi: b a f()d = β α g(y)dy. 9. 0. 3π/ cos( )d. 0 3 3 d 9. Čeje fliha,je Čeje fsoda,je a a a f()d = 0. f()d = a a 0 f()d.. ( 3 +)d.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) Integracija po delih pri določenem integralu: b a udv = uv b a b a vdu. 0 (+3 )arctgd. Povprečna vrednost funkcije na intervalu [a, b]: f a,b = b a b a f()d 3.Izračunajtepovprečnovrednostfunkcije f() = cos sinnaintervalih [0,π]in [0,π]. Ploščina lika med krivuljama. Če na intervalu [a, b] velja f() g(),jeploščinalika,kigaoklepajokrivulje = a, = b, y = f()in y = g(),enaka: b a ( g() f() ) d V nalogah od 4. do 6. izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo dane krivulje. 4. =, y = 0in y =. 5. y = 3 in y = 9 3. 6. y =, y = in y =. Ločnadolžinakrivulje y = f()naintervalu [a,b]: l = b a + ( f () ) d 7.Izračunajteločnodolžinokrivulje y = 8 lnnaintervalu [,].

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 3 Prostorninavrtenine. Čekrivuljo y = f(),kjerje f() 0,naintervalu [a, b] zavrtimo okoli osi, se prostornina dane vrtenine izraža po formuli: V = π b a ( f() ) d Če krivuljo zavrtimo okoli osi y, pa se prostornina izraža po formuli: V = π b a f ()d 8.Izračunajteprostorninivrtenin,kijudobimo,čekrivuljo y = 3 /3naintervalu [0,3] zavrtimookoliosi in y. Površinavrtenine.Čekrivuljo y = f(),kjerje f() 0,naintervalu [a,b] zavrtimookoliosi,jepovršinadobljenevrteninevsotapovršinplašča(s pl ) inobehpokrovov(s o ),kjerje: S pl = π b a f() + ( f () ) d, Spk = π ( f(a) ) ( ). +π f(b) Čekrivuljozavrtimookoliosi y,paje: S pl = π b a + ( f () ) d, So = πa +πb. 9.Izračunajtepovršinovrtenine,kijodobimo,čekrivuljo y = 3 /3naintervalu [0,3] zavrtimo okoli osi. 30.Izračunajtepovršinovrtenine,kijodobimo,čekrivuljo y = naintervalu [0,] zavrtimo okoli osi y.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 4 8. Vsoteinvrste Nekaj izračunljivih vsot in vrst, med drugim vsota geometrijskega zaporedja in geometrijska vrsta. Kvocientni, korenski in Leibnizev kriterij. Taylorjeva vrsta. Vnalogahod.do5izračunajtevsoteoziromavrednostivrstalipapokažite,daso divergentne... 3. 4. 5. 3 n= 0 n= n= 3 n= n= (n+)(n+). (n+)(n+). (n+)(n+). n+ n+. n+ n+. q = m n=0 q m = +q +q + +q m = qm+ q Zaporedje a l,a l+,...,a m jegeometrijsko,čeobstajatak q,daje a n+ /a n = q zavse n = l,l+,...,m.vtemprimeruvelja: m n=l a n = a l q m q q. 6. Najeti želimo 0.000 evrov kredita za dobo 0 let. Koliko znaša mesečni obrok, če: a) ni obresti? b)jeletnaobrestnamera3%? c)jeletnaobrestnamera0%? Pri tem prvi obrok zapade en mesec po črpanju kredita, mesečne obresti pa obračunavamo po eksponentni metodi.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 5 Najbo < q <.Tedajje: +q +q + = q. Čeje a l,a l+,a l+,...geometrijskozaporedjeza n+ /a n = q,velja: n=l a n = a l q. V nalogah od 7. do 9. izračunajte vrednosti vrst, če le-te konvergirajo. 7. 8. 9. n= n= n=0 3 n n. 3 n 3n. 3 n n 4 n. Kvocientnikriterij.Dananajbovrsta n=l a n.recimo, daobstaja q = lim a n+. n a n Čeje q <,vrstakonvergira. Čeje q >,vrstadivergira. Čeje q =,selahkozgodikarkoli. V nalogah od 0. do 3. izračunajte vrednosti vrst na predpisano število decimalk ali pa dokažite, da divergirajo. 0.. n= n= n 0 nna5decimalk. 3 n n 5 nna3decimalke.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 6 Korenskikriterij. Dananajbovrsta n=l a n. Recimo, daobstaja q = lim n n a n. Čeje q <,vrstakonvergira. Čeje q >,vrstadivergira. Čeje q =,selahkozgodikarkoli.. n= ( ) n n n+ na 3 decimalke. Leibnizev kriterij za alternirajoče vrste. Čeje a a a 3...in lim a n = 0,vrsti: n a a +a 3 a 4 + a +a a 3 +a 4 in konvergirata. Delne vsote predstavljajo izmenoma zgornje in spodnje meje za vrednost vrste. 3. n= ( ) n n 0 na7decimalk. Taylorjeva vrsta. Če je funkcija f dovoljkrat zvezno odvedljiva in je dovolj blizu 0,veljapribližnaenakost: f() f( 0 )+f ( 0 )( 0 )+ f ( 0 )! ( 0 ) + + f(n) ( 0 ) ( 0 ) n n! PribližkunadesnipravimoTaylorjevpolinom reda nokoli 0. Absolutna f (n+) (ξ) vrednost napake je omejena z sup 0 n+. 0 ξ (n+)! ξ 0 Čegrenapakaprotinič,lahkopišemokar: f() f( 0 )+f ( 0 )( 0 )+ f ( 0 ) ( 0 ) +...! Izraz na desni je konvergentna vrsta, kar pomeni, da lahko f() izračunamo poljubno natančno, če seštejemo dovolj členov. Imenujemo jo Taylorjeva vrsta. 4.ZapišiteTaylorjevpolinomredazafunkcijo f() = okolitočke 0 = 5. Z njegovopomočjopribližnoizračunajte 6.Rezultatprimerjajtestočnim.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 7 Nekaj znanih razvojev v Taylorjevo vrsto ( ) ( ) m m (a+) m = a m + a m + a m +... za a > 0, < a e = ++! + 3 +... zavsak 3! sin = 3 3! + 5 5! 7 +... zavsak 7! cos =! + 4 4! 6 +... zavsak 6! ln(+) = + 3 3 4 +... za < 4 Vnalogahod5.do9.razvijtefunkcijo fvtaylorjevovrsto. 5. f() = 6. f() = 4+ okoli 0dovključnočlenaz. 4+ okoli 0dovključnočlenaz4. 7. f() = ( 3 +3)e 3 okoli 0dovključnočlenaz 6. 8. f() = lnokoli dovključnočlenaz( ) 3. 9. f() = cos okoli 0dovključnočlenaz 4. V nalogah od 0. do. izračunajte limite. Pomagajte si s Taylorjevo vrsto. 0. lim 0 sin cos 3. lim 0 (+)ln(+) 3 (+ )cos. lim 0 ( )e.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 8 9. Krivulje v ravnini Risanje krivulj v parametrični in polarni obliki. Tangenta in normala. Ploščina zanke in ločna dolžina. Risanjekrivulj,podanihvparametričniobliki = (t), y = y(t): tabeliramo in narišemo značilne točke ter jih povežemo. Točke oz. območja, kisejihsplačaraziskati,paso: rob definicijskega območja; točke,kjerje = 0ali y = 0; točke,kjerje ẋ = 0ali ẏ = 0: ẋ = 0,ẏ 0 = krivuljajelokalnonavpična; ẏ = 0,ẋ 0 = krivuljajelokalnovodoravna. Krivuljajesklenjena,česekončatam,kjersezačne,t.j.če ttečeod ado b, moraveljati (a) = (b)in y(a) = y(b). Krivuljajeenostavnosklenjena,čejesklenjenainnesekasamesebe(t.j. noben njen pravi del ni sklenjen).. Narišite krivuljo: = t +t, y = t 3 +t; t in določite, ali je sklenjena.. Narišite krivuljo: = sint, y = et +e t ; π t π in določite, ali je sklenjena. 3.Določiteparametra ain b(a < b),takodabokrivulja: = t, y = t t3 3 ; a t b sklenjena. Krivuljo tudi narišite. Tangentainnormalanakrivuljo = (t), y = y(t)pri t = t 0. Tangenta: y = y(t 0 )+ ẏ(t 0) ( (t0 ) ) ẋ(t 0 ) oziroma = (t 0 ),čeje ẋ(t 0 ) = 0in ẏ(t 0 ) 0. Normala: y = y(t 0 ) ẋ(t 0) ( (t0 ) ) ẏ(t 0 ) oziroma = (t 0 ),čeje ẏ(t 0 ) = 0in ẋ(t 0 ) 0. 4.Zapišiteenačbitangenteinnormalenakrivuljo = ( lnt ), y = t 3 pri t =.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 9 Krivulje v polarnih koordinatah podamo s formulo r = r(ϕ). Dogovorimo se,daje r 0,zakot ϕpasemoramodogovoriti,kakogamerimo(čeje r(ϕ) periodična s periodo π, je vseeno). Prevedba na kartezijske koordinate: = rcosϕ, y = rsinϕ Točke oz. območja, ki se jih splača raziskati, so: rob definicijskega območja; koti 0, π/, πin 3π/(alinjimekvivalentni); točke,kjerje r = 0; točke,kjerje ṙ = 0. 5. Narišite krivuljo, ki ima v polarnih koordinatah enačbo: r = +sinϕ 6. Narišite krivuljo, ki ima v polarnih koordinatah enačbo: r = e 3 ϕ /4 insicerza 0 ϕ πinza π ϕ π. Ploščina zanke, ki jo omejuje enostavno sklenjena krivulja,podanasformulo = (t), y = y(t), a t b: ±S = S = t=b t=a t=b t=a yd = dy = b a b a (t)ẏ(t)dt y(t)ẋ(t)dt Predznak zgornjega integrala je pozitiven, če se krivulja vrti v smeri urinega kazalca. 7. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejuje krivulja: = t, y = t t3 3 ; 3 t 3. Ločnadolžinakrivulje,podanesformulo = (t), y = y(t), a t b: l = b a (ẋ(t) ) + (ẏ(t) ) dt 8. Izračunajte ločno dolžino krivulje: = t, y = t t3 3 ; 3 t 3.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 30 Ploščina lika, ki ga določa krivulja v polarnih koordinatah r = r(ϕ),α ϕ β,skupajzzveznicamaod izhodišča do krajišč krivulje: S = β α ( r(ϕ) ) dϕ Ločna dolžina krivulje v polarnih koordinatah: l = β α (r(ϕ) ) + (ṙ(ϕ) ) dϕ 9. Narišite krivuljo, ki je v polarnih koordinatah podana s formulo: r = e 3 ϕ /4 ; π ϕ π ter izračunajte obseg in ploščino lika, ki ga omejuje.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 3 0. Funkcije več spremenljivk Definicijska območja. Parcialno odvajanje. Tangentna ravnina in normala na graf funkcije. Lokalni in globalni ekstremi. Prostornine teles..določiteinskicirajtedefinicijskoobmočjefunkcije f(,y) = y +ln( y )..Poiščiteprveindrugeparcialneodvodefunkcije f(,y) = e y. Tangentna ravnina: Normala: z = f( 0,y 0 )+ f ( 0,y 0 )( 0 )+ f y ( 0,y 0 )(y y 0 ) = 0 + f ( 0,y 0 )t, y = y 0 + f y ( 0,y 0 )t, z = f( 0,y 0 ) t 3.Poiščite tangentno ravnino in normalo na graf funkcije f(,y) = 3 y v točki T(8,5,z 0 ).Spomočjotangentneravnineaproksimirajte 3 8. 06 4. 5. Lokalni ekstremi. Funkcija lahko lokalni ektrem doseže tam, kjer niodvedljiva,alipavstacionarnitočki,t.j.tam,kjerje: f ( 0,y 0 ) = f y ( 0,y 0 ) = 0 Merilozato,alijevdanistacionarnitočki ( 0,y 0 )ekstrem,jehessejeva determinanta: f f = y f y f y Čeje > 0in f > 0,grezaminimum. Čeje > 0in f < 0,grezamaksimum. Čeje < 0,ekstremani. Čeje = 0,selahkozgodikarkoli. 4.Poiščiteinklasificirajtelokalneekstremefunkcije f(,y) = 4 +4y +y 4 +.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 3 Globalni ekstremi. Na zaprtem in omejenem območju vsaka zvezna funkcija f vedno doseže globalni minimum in maksimum. Če to območje omejuje končno mnogo krivulj oblike = (t), y = y(t),selahkotozgodikvečjemu: vogliščih; nadelihroba,kjerfunkcija t f ( (t),y(t) ) niodvedljiva ali pa ima stacionarno točko; vnotranjosti,kjerfunkcija fniodvedljivaalipaima stacionarno točko. 5.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(,y) = ye y naobmočju: D = { (,y) ; 0,y 0,+y 3 } 6.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(,y) = y naobmočju: D = { (,y) ; y } 7.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(,y) = ( + y + 4)e / na območju: D = { (,y) ; (+) +y 6, }. Volumni v kartezijskih koordinatah. Če je območje v prostoru določeno z neenačbami: a b, g () y g (), h (,y) z h (,y), kjerzapoljubna in yvelja: je volumen danega telesa enak: a b, g () g (), h (,y) h (,y) V = b g () a g () [ ] h (,y) h (,y) dyd. 8. Izračunajte volumen telesa, ki ga določajo neenačbe:, y 3, y z y. 9. Izračunajte volumen telesa, ki ga določajo neenačbe: 0, y z.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 33 Volumni v cilindričnih koordinatah. Če so cilindrične koordinate danega območja v prostoru določene z neenačbami: α ϕ β, g (ϕ) r g (ϕ), h (r,ϕ) z h (r,ϕ), kjerzapoljubna rin ϕvelja: α β, β α π, g (ϕ) g (ϕ), h (r,ϕ) h (r,ϕ), je volumen danega telesa enak: V = β g (ϕ) α g (ϕ) [ ] h (r,ϕ) h (r,ϕ) rdrdϕ. 0. Izračunajte volumen telesa, katerega cilindrične koordinate so določene z neenačbami: r, 0 z r (+cosϕ).

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 34. Diferencialne enačbe Diferencialne enačbe z ločljivima spremenljivkama. Linearna diferencialna enačba prvega reda. Linearna diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti. V nalogah od. do 5. poiščite partikularne rešitve diferencialnih enačb, ki ustrezajo danim začetnim pogojem, če so podani, sicer pa poiščite splošno rešitev. Pri partikularnih rešitvah poiščite tudi definicijsko območje.. 3 y = y, y() =.. y y + y = 0, y(0) =. 3. y = +y, y( ) =. 4. cosy +siny = sin, y(0) =. 5. y y = e. 6. y +y = 0. 7. y y y = 0, y(0) = 0, y (0) =. 8. y +y = 0, y(0) = 4, y (0) = 4. 9. y +6y +9y = 0, y(0) = 0, y (0) = 4. 0. y +y +5y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3.. y y y =.. y 4y +3y = sin. 3. y y +y = e +e. 4. y 5y +6y = e, y(0) = y (0) = 0. 5. y 4y +4y = e.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 35. Osnove kombinatorike Pravilo vsote, pravilo produkta. Variacije, kombinacije in permutacije.( uri).mancaimakapin3klobuke.nakolikonačinovselahkopokrije?.naceima4puloverje,srajciin3hlač.nakolikonačinovselahkoobleče? 3. Olga je kupila novo stanovanje. Na koliko načinov lahko opremi dnevno sobo, če imanavoljo4vrsteparketa,3vrstenelesnihtalnihoblogin5garniturpohištva? 4.PeterjesprevodniknaprogiLjubljana Litija,kiima7postaj. a) Koliko je možnih enosmernih vozovnic? b)največkolikocenjelahkonaceniku,čeprivzamemo,davožnjananasprotni relaciji stane enako? 5. Koliko možnih besed(smiselnih ali nesmiselnih) lahko REZKA sestavi s premetavanjem črk svojega imena? Kaj pa TATJANA? 6. Urban je razrednik. 5 učencev v njegovem razredu obiskuje modelarski krožek, likovni krožek, 3 pa oba krožka. Najmanj koliko učencev je v razredu? 7. 0 športnikov se pomeri na tekmovanju. Na koliko načinov lahko dobijo medalje? Delitve mest so izključene. 8. Na koliko načinov lahko 0 učencev med seboj izbere tričlansko delegacijo?

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 36 3. Verjetnostni račun Elementarna verjetnost. Pogojna verjetnost. Bernoullijeva zaporedja.(4 ure). Vržemo standardno kocko in definirajmo naslednje dogodke: Določite: a) verjetnosti teh dogodkov; A := {padevsajpetpik} B := {padejovsajtripike,anajvečpetpik} C := {padeenaalitripike} D := {padejonatankotripike} b) kateri izmed teh dogodkov so načini drug drugega; c) kateri izmed njih so nezdružljivi; d) kateri izmed njih so neodvisni.. Dan je kup 3 marjaš kart. Izračunajte verjetnosti dogodkov: a)dapadepik; b)dapadeas; c)dapadepikalias. 3.PriigriVzemialipustistaigralcuostališedverdečiindvemodriškatli. Igralec odkrije dve škatli. Kolikšna je verjetnost: a)daboodkriloberdečiškatli? b) da bo odkril škatlo z najvišjim zneskom? c)daboodkrilenordečoinenomodroškatlo? 4. Pri igri Loto na kombinacijskem listku prekrižamo 7 številk izmed 39. Izžreba se 7 rednih številk in še ena dodatna. Možni so naslednji dobitki: sedmica: vse prekrižane številke so redno izžrebane; šest in dodatna: med prekrižanimi številkami je šest redno izžrebanih in ena dodatna; šestica: natanko šest prekrižanih številk je redno izžrebanih, dodatna ni prekrižana; petica: natanko pet prekrižanih številk je redno izžrebanih(dodatna pa je lahko prekrižana ali ne); štirica: natanko štiri prekrižane številke so redno izžrebane(dodatna pa je lahko prekrižana ali ne);

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 37 tri in dodatna: natanko tri prekrižane številke so redno izžrebane, prekrižana pa je tudi dodatna številka. Izračunajte verjetnosti posameznih dobitkov. 5. MANJKA! Definicija pogojne verjetnosti: P(B A) = P(A B) P(A) Dostikrat potrebujemo različico: P(A B) = P(A)P(B A) 6.Kolikšnajeverjetnost, daimatavskupini nljudidvarojstnidannaistidan? Prestopna leta zanemarite. 7.Izposode,vkateriso4belein6črnihkroglic,naslepoinbrezvračanjapotegnemo dve kroglici. Izračunajte naslednje brezpogojne in pogojne verjetnosti: a) P(prvabela); b) P(drugabela prvabela); c) P(obebeli); d) P(drugabela); e) P(prvabela drugabela); f) P(prvabela vsajenabela). Izrekopopolniverjetnosti. Če H,H,...,H n tvorijopopolnsistemdogodkov(t. j. vedno se zgodi natanko eden izmed njih), velja: P(A) = P(H )P(A H )+P(H )P(A H )+...+P(H n )P(A H n ) 8.MihaseodpravinaobiskkvinogradnikomaJanezuinLojzu. Vsakmuponudi kozarecvina,pričemermujanezponudišmarnicozverjetnostjo 0. 6,Lojzpaz verjetnostjo 0. 3,neodvisnoodJaneza.Verjetnost,daMihoboliglava,nedabipil šmarnico,je 0.,verjetnost,dagabolipoenemkozarcušmarnice,je 0. 6,verjetnost, dagabolipodvehkozarcihšmarnice,paje.kolikšnajeverjetnost,damihoboli glava?

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 38 Bayesovaformula.Če H,H,...,H n tvorijopopolnsistemdogodkov,velja: P(H i A) = P(H i )P(A H i ) P(H )P(A H )+...+P(H n )P(A H n ) 9. V skupini 000 ljudi je en lažnivec. Detektor laži odkrije lažnivca z verjetnostjo 0. 95,začloveka,kigovoriresnico,papravtakozverjetnostjo 0. 95izključimožnost, da je lažnivec. Naključnega človeka v skupini testiramo in detektor laži pokaže, da je lažnivec. Kolikšna je pogojna verjetnost, da to tudi v resnici drži? Če izvedemo n neodvisnih poskusov, od katerih vsak uspe z verjetnostjo p, je verjetnost, da uspe natanko k poskusov, enaka: ( ) n p k ( p) n k k Zgornji obrazec imenujemo Bernoullijeva formula. 0. Pošteno kocko vržemo petkrat, meti so med seboj neodvisni. Kolikšna je verjetnost, da šestica pade: a) natanko enkrat? b) natanko trikrat? c) vsaj enkrat?. Pošteno kocko mečemo, dokler šestica ne pade trikrat. Kolikšna je verjetnost, da nambotouspelonatankovpetemmetu?.študentgrenaizpit, kjerdobi6vprašanj. Odgovornavsakoodnjihpoznaz verjetnostjo 0. 4,neodvisnoodostalihvprašanj. Študentzagotovonaredi,čezna odgovoriti na vsaj 4 vprašanja, in zagotovo pade, če zna odgovoriti na manj kot 3vprašanja. Čepaznaodgovoritinanatanko3vprašanja, dobiše3dodatna vprašanja in naredi, če zna odgovoriti na vsaj dve. Na vsako od dodatnih vprašanj znaodgovoritizverjetnostjo 0. 3,spetneodvisnoodostalihvprašanj. Kolikšnaje verjetnost, da bo študent naredil izpit?

REŠITVE

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 40. Števila. 4 3 y f() 4 3 3 4 3 4 g(). (, ) [, ). 3. y 3 3 3 4. (, 3 ).

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 4 5. Ničle so zbrane v naslednji tabeli: Funkcija Ničle f, = 0 f =, = f 3 < = 5 <, 3 < = + 5 < 4 f 4 Nirealnihničel. f 5 0 < = <, = f 6 <, = 3 < Grafi: 4 f () 4 f () 3 3 3 3 3 4 3 3 3 4

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 4 3 f 3 () 8 f 4 () 7 6 3 4 3 4 5 4 3 5 f 5 () 3 4 5 f 6 () 9 8 3 3 3 4 5 6 7 6. (, 3] [, ). 7 6 5 4 3 3 3 7. [,) (,4]. 8. (,). 9. [ 3, ] [,3].

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 43 0. Ker sta obe strani enačbe pozitivni, smemo kvadrirati. Ko preuredimo, dobimo: = 5 3. Pri ponovnem kvadriranju pa moramo paziti na predznake. Enačba je ekvivalentna: 4( ) = (5 3), 5 3 0. Popreureditvidobimo ( )( 5) = 0, 5/3,karimazaedinorešitev =. Opomba. Druga rešitev kvadratne enačbe, = 5, zadošča zvezi: = 5 3. Opomba. Že iz začetne oblike enačbe in dejstva, da je kvadratni koren strogo naraščajoča funkcija, je jasno, da ima enačba največ eno rešitev. Če bi jo uganili, bi bil skupaj s prejšnjim sklepom to konec naloge.. = ±.. Ni rešitve. 3. = 4. 4. = 4. 5. = ±. 6. y = log 0 04. = 3. 003. 7. y = log 0 = log 00 log 0 = ln0 ln 8. = log 00 9 9. = 0. 0. = 0, = 90.. = 4. 4739.. = 4. 39.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 44. Matrike in sistemi [ ] [ ] [ ] 3. A T =, B T = 5 7 0, A + A T =, AB =, 5 5 0 6 3 3 6 [ ] 8 4 B T A T = 3 6 = (AB) T, BB T =, B T B =, 3 7 [ ] 4 0 8 6 (A+5I)B = = AB + 5B. Preostale matrike ne obstajajo. 6 3 3. X = [ ] 59 4. 3 9 3. = 0, y = 0, z =. 4. = 0 3y, z =, y R,lahkopatudi: y = 0, z =, R. 3 5. Sistem nima rešitve. 6. = y =. 7. y = 3. 8. y = 3 +.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 45 3. Ravninska in prostorska geometrija. CD = u, BF = u v, BA = v, BC = u+ v, AD = ( u+ v).. BAC = 30, ABC = 60, BCA = 90. 3. 78. 46304. = 78 7 47. 4. D(0,,3). Ploščina trikotnika: 9. Ploščina paralelograma: 8. 5.Označimo u := ABin v = AD.Tedajje AB AC = u ( u+ v) = u v = AB AD. 6. 3 7. a3 3 0 8.a)Eksplicitna: y = 5 3,normalna: 3 + y = 5, b) ( d) T 0, 7 ), e) T (,3), f)točka Qželežinadanipremici. 9.a) = +t,y = 3t,z = 4, b), c) T ( 30 3 0, 6,4), 3 3 d) = 3 9t,y = 6t,z = 5 3t, e) T (,,3). 3 3 0.a) y+z+3 = 0, b) e) T (0,3,0). +0, c) y =, 3 6, c) = +t,y = t,z = +t, d) T 0(,, ),

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 46 4. Zaporedja. Zaporedje ni monotono, je pa od vključno drugega člena naprej padajoče. inf n a n = min n a n = a =, sup n a n = ma n a n = a = 3. Zaporedjeimaenosamostekališčeinjekonvergentno, lim n a n = /. Členiseodlimiterazlikujejozamanjkot εza n 7.. Zaporedje je naraščajoče. inf n a n = min n a n = a = 0,zaporedjejenavzgorneomejenoternimastekališčinje divergentno. 3. Zaporedje ni monotono. inf n a n = min n a n = a =, sup n a n = ma n a n = a =. Stekališči: in. Zaporedje je divergentno. 4. Zaporedje ni monotono. inf n a n = 0,minimumneobstaja,zaporedjejenavzgorneomejeno. Zaporedje ima edino stekališče 0, ni pa konvergentno. 5. Zaporedje je naraščajoče. inf n a n = min n a n = a = 3/, sup n a n =,maksimumneobstaja. Zaporedjeimaenosamostekališčeinjekonvergentno, lim n a n =. Členiseodlimiterazlikujejozamanjkot εza n 7. 6. 3/4. 7.. 8. 0. 9. (neobstaja). 0. 3/5.. /... 3. 0. 4. /e. 5. e 3. 6. 0. 7. e 3/.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 47 5. Funkcije. Df = R, Zf = [0, ), funkcija fnimainverza; Zg = Dg = [0, ), g () = ; Zh = Dh = (,9], h () = (ustreznozožena).grafi: 5 4 y f() 3 g () 3 3 4 5 6 7 8 9 3 h (). Df = Zf = [0,6], Zf = Df = [0,], f () = (4 ) (ustreznozožena). Grafa:

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 48 y 6 4 f () 0 8 6 4 f() 4 6 8 0 4 6 3. Funkcija f je inverzna sama sebi, inverz ustrezne zožitve funkcije h pa je funkcija k() = ( + +4 ).Grafi: 4 3 f() 4 3 3 4 3 4

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 49 g() 4 3 4 3 3 4 3 4 h() 4 3 4 3 3 4 3 4

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 50 k() 4 3 4 3 3 4 3 4 4. f() g() 5 5 4 4 3 3 3 3

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 5 h() k() 5 4 3 3 3 4 3 5 5. Df = (0, ), Dg = (, ), Zf = Zg = R.Grafa: f() g() 3 4 3 3 4 4 6. Df = Dg = R, Zf = [,], Zg = [,3].Grafa: f() π π π

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 5 g() 3 π π π 7. Df = Dg = R, Zf = [,], Zg = [,6].Grafa: f() π π π g() 6 4 3π π π π π 3π 4π 8. Df = R \ {±π/,±3π/,±5π/,...}, Dg = R \ {0,±π,±π,±3π,...}, Zf = Zg = R, Grafa:

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 53 f() 3 π 3π π π π π 3π π 3 g() 3 π 3π π π π π 3π π 3

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 54 9. Df = Dg = [,], Dh = Dk = R, Zf = [ π/,π/], Zg = [0,π], Zh = ( π/,π/), Zk = (0,π).Grafi: f() g() π/ π π/ π/ π/ h() 6 5 4 3 3 4 5 6 π/ π k() π/ 6 5 4 3 3 4 5 6 0. = π 6 +kπ, = 5π 6 +kπ.. = ± +kπ,kjerje = arccos 3. =. 3096. = 70. 588. = 70 3 44.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 55. = +kπ,kjerje = arctg. = 0. 463648. = 6. 565. = 6 33 54. 3. Df = Zf = (, ), Zf = Df = (,), f () = ln(e e ).Grafa: 4 3 y f () f() 4 3 3 4 3 4 4. [,). 5. a = 9, b = 6. 6. /6. 7. 0. 8. Ne obstaja. 9. /3.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 56 6. Odvod. f () = 3 + 4 43.. f () = 3. f () = 4 ( +5). ( ) 3/. 4. f () = e cos sin. 5. f () = ln(splošneje, (a ) = a lna). 6. f () = ( )e /. 7. f () = cos. 8. f () = sin. 9. f () =. 0. f () =.. f () =.. f () = +. 3. f () = +. 4. f () =. 5.Tangenta: y = 5+ 5 = +5. 0 0 Normala: y = 5 0( 5) = 55 0... 7 = f(7) 5,točenrezultat: 5 96. 6. a = /4, b =. 7. min [/3,3] f() = f() = 4, ma [/3,3] f() = f(3) = 9. 8. Izrezati je potrebno kvadratke s stranico a/6.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 57 9. Df = Zf = R. Ničli:, (dvojna). Funkcijanaraščana (,0]in [, ), padapana [0,]. Pri = 0jelokalni maksimum,pri = palokalniminimum. Funkcijajekonveksnana [, ),konkavnana (,]inimaprevojpri =. Graf: 5 4 3 f() 3 0. Df = (,0) (0, ), Zf = R. Ničla: 3 4. =. 59. Pri = 0jepoldruge stopnje. Asimptota: y =. Funkcijanaraščana (,0)in [, ),padapana (0,]. Pri = jelokalni minimum. Funkcija je konveksna povsod, kjer je definirana. Graf:

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 58 f() 4 3 4 3 3 4 3 4. Df = R, Zf = (,7e 3. ] = (,. 34]. Ničla: = 0(trojna). Asimptota: y = 0. Funkcijanaraščana (,3]inpadana [3, ).Pri = 3jeglobalnimaksimum. Funkcijajekonveksnana [0,3 3]in [3+ 3, ),konkavnapajena (,0]in [3 3,3+ 3].Prevoji: 0, 3 3in 3+ 3. Graf: f() 3 4 5 6 7

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 59 (. Df = (,0) (0, ), Zf =, π ] [+ π ),. Funkcijajebrezničelinimapolpri = 0. Asimptoti: y = π, y = π. Funkcija naraščana (, ]in [, ),padapana [,0)in (0,]. Pri = jelokalni maksimum,pri = palokalniminimum. Funkcijajekonveksnana (, + ] inna [ ) +,,konkavnapana [ ) ( ] +,0 in 0, +. Graf: 6 4 f() 8 6 4 4 6 8 4 6 3. /e. 4. /6. 5. 0. 6.. 7. e. 8. 0(L Hôpitalovega pravila ne moremo uporabiti). 9. /(L Hôpitalovega pravila ne moremo uporabiti).

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 60 7. Integral. ( 3 7 ) +C.. +ln +C. 3. ++C. 3 4. 5 ln 3 + +C. 5. +ln + +C. 6. arctg +C. 7. ln( +4)+C. 8. ( arctg ) +C. 9. arcsin 3 +C. 0. ln+c.. ln( +e ) +C.. sin3 3 3. ln +C. 4 +C. 4. (+)e +C. 5. ( ) e +C. 6. arctg ln(+ )+C. 7.. 8. sin. = 0. 84. 9. /. 0. 0.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 6. 4/3.. (π )/. 3. f0,π = 3π, f0,π = 0. 4. 5. 3 0 6. Slika: d = 6 5. [ 9 3 (3 ) ] d = 3. y ) S = d+ ( )d ( d = 0 0 3. Opomba: prva dva integrala lahko neposredno dobimo kot ploščino trikotnika. ( 7. l = + 4 ) ( d = 4 + ) d = 3 8 +ln. 8. Če zavrtimo okoli osi, ima dobljena vrtenina prostornino 43 π/7, če zavrtimo okoliosi y,pa 43π/5. ( ) 9. S = 80+ 8+8 8 π. 9 30. π 6( 3+7 7 ).

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 6 8. Vsoteinvrste. 3/0.. 5/. 3. /. 4.. 5. Vrsta divergira, ker lim m m n= 6. Označimo anuiteto z a. Čeniobresti,je a = 500e. Priletniobrestnimeri3%je a = 663,09e. Priletniobrestnimeri0%je a = 3,97e. 7. 9/. 8. Vrsta divergira. 9.. 0. 0. 60.. Vrsta divergira.. 0. 87. 3. 0. 9990395. ( ) = lim m+ neobstaja. n+ n+ m 4. 5+ 5 ( 5).Takodobimo 6 5. 099. 0 000 Natančnejširezultat: 6 =. 5. 099095359. 5. f() 6 + 3 56. 6. f() 6 + 34 56. 7. f() 3 8 3 5. 8. f() ln+(+ln)( )+ ( ) 4 ( )3. 4 9. f() 4 + 4 70. Prvotna funkcija ni definirana v točki 0; v resnici je to Taylorjeva vrsta razširjene funkcije, za katero predpišemo f(0) := /.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 63 0. /3.. /6.. /.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 64 9. Krivulje v ravnini. Graf: y 0 8 6 4 4 6 8 0 4 6 Krivulja ni sklenjena.. Graf: y 0 8 6 4

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 65 Krivulja je sklenjena. 3. a = 3, b = 3.Graf: y 3 4.Tangenta: y = 4+ 3 5. Graf:,normala: y = +. 3 y 6.Grafza 0 π π:

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 66 0 y 0 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 0 0 0 30 40 Grafza π ϕ π: y 4 0 8 6 4 4 7.Iz 8. l = t= 3 t= 3 dy = 3 3 t ( t )dt = Seveda lahko rezultat dobimo tudi iz 3 3 4t +( t ) dt = 3 3 3 0 t= 3 (t t 4 )dt = 8 5 t= 3yd = 8 5 (+t )dt = 4 3. 9.Ploščina: S = π e 3ϕ/ dϕ = e 0 3( 3π/ ). π Obseg: o = e 3ϕ/ + 9 0 6 e3ϕ/ dϕ = 5 4 π 0 3. 8 3dobimo S = 3. 5 e 3ϕ/4 dϕ = 0 ( e 3π/4 ). 3

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 67 0. Funkcije več spremenljivk.definicijskoobmočjejemnožicatočk (,y),zakaterevelja y > 0,karje ekvivalentno pogoju: Skica: < y < ali y < y < 4 3 3 4 f y = e y,. f = yey, f = (y +4 y )e y, f y = 4 e y, f y = (+3 y)e y. 3.Tangentnaravnina: z = 5 + 60 ( 8) (y 5). 5 3. 8 06 Od tod dobimo:. 0. 405,natančnejširezultat: 0. 40506855. 4 5 Normala: = 8+ t 60, y = 5 t 5, z = 5 t. 4. f = f 4(3 +y), y = 4(+y3 ). Stacionarnetočke: T (0,0), T (, )in T 3 (,). f = f, y = 4, f y = y. (0,0) = 0 4 4 0 = 6,torejvT (0,0)niekstrema. (, ) = 4 4 = 8,torejjevT (, )minimum. (,) = 4 4 = 8,torejjevT 3(,)minimum.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 68 5. Skica definicijskega območja: y 3 3 Oglišča: f(0,0) = f(3,0) = f(0,3) = 0. Rob y = 0, 0 < < 3: f(,0) = 0. Rob = 0, 0 < y < 3: f(0,y) = 0. Rob y = 3,0 < < 3: f(,3 ) = (3 )e 3, f ( 3, ) 3 = 9.. 4 e 3 = 0. Notranjost: f = ( )ye y, Torejje min D f = 0in ma D f = e. 6. Skica definicijskega območja: d d f(,3 ) = (3 )e 3, f y = ( y)e y, f(,) = e. = 0. 35. y Oglišči: f(0,0) = 0, f(,) =. Rob y =, 0 < < : f(,) = d, f(,) =,točka (0,0)nepripada d notranjosti tega roba(in smo jo že obravnavali pri ogliščih). Rob y =, 0 < < : f(, ) = 4 d, d f(, ) = 8 3 = = ( )(+),vnotranjostirobajeletočka (/,/4)invelja f(/,/4) = /8. Notranjost: f = 4y,točka (0,0)nivnotranjosti. Torejje min D =, f y f = f(,) = in ma D f = f(/,/4) = /8.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 69 7. Skica definicijskega območja: 4 y 4 4 Krožnilokrazdelimonadvaodseka, y = 6 (+) = 5 in y = 6 (+) = 5. Zatonedobimoleoglišč (,4)in (, 4), temveč tudi oglišče (3, 0). Oglišča: f(,4) = f(,4) = e =. 34. 6, f(3,0) = 3e 3/.. = 90. Rob =, 4 y 4: f(,y) = (5+y )e / d, dy f(,y) = ye/, f(,0) = 5e /.. = 8 4. Robova y = ± 5 : f (,± 5 ) = (9 )e /, d d f(,± 5 ) = ( ) 3 e /. Nobena točka T(3/, y) ni v definicijskem območju funkcije. Notranjost: f = ( y ) e / f, y = ye /. Edinastacionarnatočkavnotranjostije T(,0)in f(,0) = 8e.. = 94. Torejje min f = f(3,0) = D 3e 3/ in ma f = f(,4) = f(, 4) = e. D 8. Brez težav preverimo, da zgornje enačbe ustrezajo obliki, za katero lahko uporabimo formulo. Torej je: V = 3 (y y)dyd = ( 7 6 5 + 4 )d = 64 560. = 4. 7. 9. Neenačbe moramo najprej spraviti v obliko, za katero lahko uporabimo formulo (t. j. spodnja meja mora biti vedno manjša od zgornje). Začnemo z zadnjima neenačbama. Veljatimora y,torejmorabiti in y.čedaneneenačbezapišemovekvivalentniobliki: 0, y, y z, le-ta ustreza zahtevani obliki in lahko izračunamo: V = 0 ( y )dyd = 4 3 0 ( ) 3/ d = 8 5.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 70 0. Zgornji dve neenačbi ustrezata pogojem za uporabo formule, potrebujemo pa še mejiza ϕ.kerza ϕniomejitve,postavimokar 0 ϕ π.sledi: V = π 0 r (+cosϕ)rdrdϕ = π 0 (+cosϕ)dϕ r 3 dr = 5π.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 7. Diferencialne enačbe. dy y = d 3, y = +C, y = C = 3, y = 3, Dy = ( 3, C )...Velja y = 0ali dy y = +,karsezintegriravln y = + 3 +C.Splošnarešitev 3 naše enačbe je torej: y = 0 ali y = ±e C++3 /3. ( ) in definicijsko območje je vselej vsa realna os. Če vstavimo začetni pogoj, dobimo, damoraveljatinegativnipredznakindaje C = ln. Končnarešitevjetorej y = e +3 /3. Če je edini člen, povezan z odvisno spremenljivko, oblike dz/z, se splača integrirati: dz z = ln z C, navadno pa lahko tudi izpustimo absolutne vrednosti v argumentih zunanjih logaritmov in tudi za C = 0 dobimo rešitev(obravnavati je potrebno vsak primer posebej). Vnašemkonkretnemprimerujetorej ln y C = + 3 3 in y = Ce+3 /3, karje ekvivalentno obliki ( ). 3. dy +y = d, arctgy = ln +C, y = tg(ln +C). C = π, y = tg( ( ln( )+ π 4 4), Dy = e π/4, e 3π/4). 4. dy H = tgd, ln y H y H C = lncos, y H = Ccos. C = sin cos, C = +D, y = +Dcos. cos D = 0, y =, Dy = R. 5. dy H = d y H, ln y H C = ln, y H = C. C = e, C = e +D, y = (e +D). 6.Čevpeljemo z = y,dobimo: z dz +z = 0, z = d, ln z C = ln, z = C. Torejje y = zd = C ln +D.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 7 7.Splošnarešitev: y = C e +C e. Partikularnarešitev: y = 3( e e ). 8.Splošnarešitev: y = C +C e. Partikularnarešitev: y = 44 e. 9.Splošnarešitev: y = (C +C )e 3. Partikularnarešitev: y = 4e 3. 0.Splošnarešitev: y = e ( C cos()+c sin() ). Partikularnarešitev: y = e ( cos()+sin() ).. y = + 3 4 +C e +C e.. y = 0 sin+ 5 cos+c e +C e 3. 3. y = e + 9 e +(C +C )e. 4. y = e 3 (+)e. 5. y = ( +C +C ) e.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 73. Osnove kombinatorike. +3 = 5..Čemoraoblečinatankoenosrajco,natankoenehlačeinnatankoenpulover,na 4 3 = 4načinov.Čeninujno,danosipulover,pana 5 3 = 30načinov. 3. (4+3) 5 = 35. 4.Možnihvozovnicje 7 6 = 4,možnihcenpa 7 6/ =. 5.Rezka 5! = 0,Tatjanapa 7!!3! = 40. 6. 5+ 3 = 33. 7. 0 9 8 = 70. 8. 0 9 8 ( ) 0 = = 0. 3! 3

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 74 3. Verjetnostni račun.a) P(A) = /3, P(B) = /, P(C) = /3, P(D) = /6. b) D B, D C. c) Ain C, Ain D. d) Ain B, Bin C.. a) /4, b) /8, c) /3. 3.a) /6, b) /, c) /3. 4. Verjetnosti dobitkov lahko računamo na dva načina. Pri prvem načinu si predstavljamo, da so prekrižane številke fiksne, nakar gledamo vsa možna žrebanja(pogled igralca). Lahko pa si predstavljamo tudi, da so fiksne izžrebane številke, nakar gledamo vsa možna križanja(pogled Loterije). Dobimo: P(sedmica) = ( 39 = 7) 5.380.937 )( 3 )( 3 ) 0) P(šestindodatna) = P(šestica) = P(petica) = P(štirica) = P(triindodatna) = ( 7 6 ( 39 7) 3 = ( 7 )( 6 ( 7 )( 3 ) 3 6 ( 39 = 7) 3 ( 7 )( 3 5( ) 39 ) 477 7 ( 7 )( 3 4( 3) 39 ) 88. 6 7 ) 4 ( 7 )( 3 3 4 ( 39 = 7) 3 ( 7 3. = 6. 50 0 8 ( 39 7).97.77 ( 7 )( )( 3 6 0 ( ) 39 ) 70.880 7. = 6. 77 0 4. = 0. 03 )( )( 3 ( 4) 39 ) 97. 8 7. = 4. 55 0 7. =. 4 0 5. = 0. 00 5.a) PriLotuprekrižamo7številkod39.Izžrebase7številkinšeenadodatna.Kolikšna je verjetnost, da zadenemo: b) a) sedmico? b) šestico? c) štirico? d)dobitek 6+? ( 39 = 7) ( 7 6) ( 3 5380937 )( 39 7). =. 5 0 5,. = 6. 5 0 8,

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 75 ( 7 4) c) d) ( 3 3 ( 3 )( 39 = 7). 0. 047, ( 7 6) )( 39 7). = 4. 55 0 7.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 76 6. 364 365 363 365 7.a) 4 0 = 0. 4, b) 3 9 f) 4 0 4 0 4 0 3 9 366 n. Tabela prvih nekaj verjetnosti: 365 n P n P 0 36 0. 83 0. 0074 37 0. 849 3 0. 008 38 0. 864 4 0. 064 39 0. 878 5 0. 07 40 0. 89 6 0. 0405 4 0. 903 7 0. 056 4 0. 94 8 0. 0743 43 0. 94 9 0. 0946 44 0. 933 0 0. 7 45 0. 94 0. 4 46 0. 948 0. 67 47 0. 955 3 0. 94 48 0. 96 4 0. 3 49 0. 966 5 0. 53 50 0. 97 6 0. 84 5 0. 974 7 0. 35 5 0. 978 8 0. 347 53 0. 98 9 0. 379 54 0. 984 0 0. 4 55 0. 986 0. 444 56 0. 988 0. 476 57 0. 99 3 0. 507 58 0. 99 4 0. 538 59 0. 993 5 0. 569 60 0. 994 6 0. 598 6 0. 995 7 0. 67 6 0. 996 8 0. 654 63 0. 997 9 0. 68 64 0. 997 30 0. 706 65 0. 998 3 0. 73 66 0. 998 3 0. 753 67 0. 998 33 0. 775 68 0. 999 34 0. 795 69 0. 999 35 0. 84 70 0. 999. = 0. 333, c) 4 0 3 9 = 0. 6.. = 0. 33, d) 4 0 = 0. 4, e) 3 9 8. 0. 4 0. 7 0. +(0. 6 0. 7+0. 4 0. 3) 0. 6+0. 6 0. 3 = 0. 56.. = 0. 333,

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(LESARJI) 77 9. 0. 00 0. 95 0. 00 0. 95+0. 999 0. 05. = 0. 087. ( )( ) 4 5.=. 0.a) 5 0 40, 6 6 ( )( ) 3 ( ) 5 5.=. b) 0 03, 3 6 6 ( ) 5 5.=. c) 0 598. 6.. ( )( ) ( ) 4 5. = 0. 093. 6 6 6 ( ) 6 0. ( ) 6 4 6 + 0. 6 0. ( ) 6 4 5 + 0. 6 0. 4 4 + 6 ( ) 5 4 6 + 0. 6 3 0. [( ) 3 4 3 0. ( ) 3 3 3 + 0. 7 0. ] 3.=. 0 39. 3 3