Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Transcript

1 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo tako, da se daljici na kateri ležita vektorja pokrijeta in se smeri ujemata. Velja AB = CD natanko tedaj, ko je lik ACDB paralelogram. Dolžina vektorja: označimo AB (včasih tudi AB ). Računanje z vektorji: Vsota vektorjev a in b je vektor a + b, katerega začetna točka je začetna točka vektorja a, končna točka pa je končna točka vektorja b, potem, ko smo začetno točko vektorja b premaknili v končno točko vektorja a.. a + b = b + a (komutativnost). ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (asociativnost). Obstoj nevtralnega elementa za seštevanje: a + 0 = a, za vse a, kjer je 0 t.i. ničelni vektor. 4. Obstoj nasprotnega elementa za seštevanje: a + ( a ) = 0, kjer je a (= BA) nasprotni vektor vektorja a (= AB) 5. Odštevanje vektorjev definiramo: a b = a + ( b ) Množenje (vektorja) s skalarjem λ a je vektor dolžine λ a, istosmerno vzporeden vektorju a, če je λ 0, oz. nasprotnosmerno vzporeden, če je λ < 0.. λ(µ a ) = (λµ) a, za λ, µ R. a = a (obstoj nevtralnega elementa). λ( a + b ) = λ a + λ b 4. (λ + µ) a = λ a + µ a 5. a = a Vzporednost: a b obstaja tak realen λ R, da je a = λ b obstajata α, β R (vsaj en neničelen), da je α a + β b = 0. Komplanarnost: Vektorji a, b in c so komplanarni (ležijo na isti ravnini) obstajajo α, β, γ R (vsaj en neničelen), da je α a + β b + γ c = 0. Linearna kombinacija: Linearna kombinacija vektorjev a, a,..., a n je vektor λ a +λ a +...+λ n a n, kjer λ i R. Linearna neodvisnost: vektorji a i so linearno neodvisni linearna kombinacija vektorjev a i je enaka nič natanko tedaj, ko so vsi λ i enaki 0. V ravnini sta linearno neodvisna vektorja nevzporedna vektorja (in obratno). V prostoru so linearno neodvisni vektorji nekomplanarni vektorji (in obratno).

2 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 06/7 Baza prostora: Vektorji e, e in e so baza prostora R vsak x R se da na en sam način zapisati kot linearna kombinacija vektorjev e, e in e e, e in e so linearno neodvisni. Standardna baza: a = (a, a, a ) = a e + a e + a e b = (b, b, b ) a + b = (a + b, a + b, a + b ) λ a = (λa, λa, λa ) i = (, 0, 0) j = (0,, 0) k = (0, 0, ) Skalarni produkt vektorjev: a b = a b cos ϕ, a a = a. a a 0 in a a = 0 natanko tedaj, ko je a = 0,. λ, µ R, (λ a + µ b ) c = λ( a c ) + µ( b c ),. a b = b a, 4. ( a b ) c a ( b c ), 5. a b = 0 a b. V standardni bazi: i, j, k : i j = i k = j k = 0 in a = (a, a, a ) = a i + a j + a k b = (b, b, b ) = b i + b j + b k a b = a b + a b + a b Vektorski produkt: a b je vektor, ki je pravokoten na vektorja a in b.. a in b sta linearno odvisna a b = 0,. a b = ( b a ),. a b = a b sin ϕ (= ploščina paralelograma, ki ga napenjata vektorja a in b ), 4. ( a + b ) c = a c + b c (λ a ) b = λ( a b ) V standardni bazi: i j = k j i = k i i = 0 j k = i k j = i j j = 0 k i = j i k = j k k = 0 a = (a, a, a ) b = (b, b, b ) i j k a b = a a a b b b = (a b a b ) i (a b a b ) j + (a b a b ) k

3 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 06/7. Dan je pravilni šestkotnik ABCDEF, v katerem označimo AB = a in BC = b. Izrazi naslednje vektorje z vektorjema a in b : AC, AD, BE, AE, BF, DF.. Dan je pravokotnik ABCD z diagonalama AC = e in BD = f. Izrazi z njima AB in AD. (R: AB = ( e f ) in AD = ( e + f )). Vektorji a = AB, b = AD in c = AE napenjajo kvader ABCDEF GH. Izrazi z njimi vektorje na stranicah: AF, AG, AC, F H, BH, AM in AN (N= središče pravokotnika BCGF, M= središče pravokotnika EF GH). 4. V trikotniku ABC, a = AB, b = AC je na stranici BC dana točka E, ki razpolavlja BC. Na stranici AC je točka F, ki deli AC v razmerju :. Naj bo S presečišče daljic BF in AE. Izrazi AS z vektorjema a in b. (R: AS = 5 a + 5 b ) 5. V pravilnem tetraedru ABCD so dani vektorji a = AB, b = AC in c = AD. Naj bo DP višina tetraedra iz vrha D na ploskev ABC ter AQ višina iz vrha A na ploskev BCD. (a) Izrazi vektorja DP in AQ z a, b in c. (R: DP = a + b c, AQ = ( a + b + c )) (b) Pokaži, da se višini sekata v točki, ki jo označimo z E, ter izrazi vektor AE z a, b in c. (R: AE = 4 a + 4 b + 4 c ) 6. Točke A, B, C, D, E in F so zaporedna ogljišča pravilnega šestkotnika. Točka M deli daljico ED v razmerju :, točka N pa je razpolovišče daljice F E. Naj bo S točka, v kateri se sekata daljici AM in BN. Označimo še a = AB in b = BC. Izrazi vektor AS z vektorjema a in b. (R: AS = 7 a b ) 7. V trikotniku ABC točka X deli stranico AB v razmerju :, točka Y pa stranico CA v razmerju :. Daljici CX in BY se sekata v točki Z. Izrazi vektor AZ z vektorjema a = AB in b = BC. (R: AZ = 7 0 a + 5 b ) 8. V pravilni štiristrani piramidi ABCDE označimo a = AB, b = AD in c = AE. Naj bo S razpolovišče roba BE, G razpolovišče SE, M pa središče kvadrata ABCD. (a) Izrazi vektorje BG, DG, AG in ME z vektorji a, b in c. (b) Označimo z R presečišče višine ME s premico skozi D in G. Izrazi vektor MR z vektorji a, b in c. (c) Določi koordinate točke R, če so koordinate točk A(,, ), B(,, ), D(,, 0) in E(,, ). (R: MR = 0 a 0 b + ( 5 c, R 6 5, 7 5, ) ) 9. V prostoru je dana baza e, e in e, vektorji a, b, c in d pa imajo glede na to bazo koordinate a = (, 0, ), b = (,, ), c = (0, 0, ) in d = (5, 6, ) (a) Izrazi d kot linearno kombinacijo vektorjev a, b in c. (R: d = a b + c ) (b) Ali tvorijo a, b in c bazo prostora? (R: da) (c) Zapiši koordinate vektorja d glede na bazo a, b in c. (R: d = (,, )) 0. V ravnini imamo standardno bazo i, j z začetno točko 0 ter 0B = (, ), 0C = (, 0) in 0A = (, ). Določi D tako, da bo ABCD paralelogram. (R: 0D = (, )). V standardni bazi ( i, j, k ) velja za ogljišča trikotnika 0A = (, 0, ), 0B = (,, ) in 0C = (0, 4, ). Izračunaj vektor t a. (R: t a = (,, ) ). Dan je pravilni šestkotnik ABCDEF. Poišči koordinate ogljišč v bazi i = AB, j = AD z izhodiščno točko A. (R: A(0, 0), B(, 0), C(, ), D(0, ), E(, ), F (, )). Izračunaj skalarni produkt vektorjev a = i j + k, b = i + j k. Koliko je a b? (R: a b =, a b = ) ( + 4. Določi kot, ki ga oklepata vektorja ), 0, in (, 0, ). (R: ϕ = π ) 5. Izračunaj skalarni produkt ( a b )(5 a 6 b ), kjer je kot med a in b enak π, a = in b =. (R: 5)

4 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 06/ a = (6,, ), b = (,, ). Razstavi vektor b = α a + w, kjer je w a. Izračunaj w. (R: w = ( 7, 8 7, ) 8 7 ) 7. V tristrani piramidi ABCD so dani vektorji AB = (,, 0), AC = (,, 0) in AD = (0,, ). Naj bo MD višina iz D na ploskev ABC. Izračunaj koordinate vektorja MD. (R: MD = (0, 0, )) 8. Poenostavi izraz ( a + b ) ( c a ) + ( b + c ) ( a + b ). (R: b ( a c )) 9. Izračunaj ploščino paralelograma, katerega diagonali sta vektorja e = m n in f = 4 m 5 n, m = n =, ( m, n ) = π 4. (R: ) 0. Izračunaj ploščino ABC in dolžino višine BD, če je A(,, 8), B(0, 0, 4) in C(6,, 0). (R: pl = 7 5, BD = ). Za a = (,, ), b = (,, ) in c = (,, ) pokaži, da a ( b c ) ( a b ) c.. Ali ležijo točke A(, 7, 5), B(0,, ) in C(,, 0) na isti premici?

5 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 06/7 5 Analitična geometrija: Premica: s = smerni vektor premice ( s = (a, b, c)) T 0 = točka na premici (T 0 (x 0, y 0, z 0 ), r 0 = (x 0, y 0, z 0 )) Vektorska enačba premice: r = r 0 + λ s (λ R) Parametrična enačba premice: x = x 0 + λa y = y 0 + λb λ R z = z 0 + λc Klasična (kanonična) oblika enačbe premice: x x0 a Ravnina: n = normala (normalni vektor) ravnine ( n = (a, b, c)) T 0 = točka na ravnini (T 0 (x 0, y 0, z 0 ), r 0 = (x 0, y 0, z 0 )) Vektorska enačba ravnine: ( r r 0 ) n = 0 Klasična oblika enačbe ravnine: ax + by + cz = d = y y0 b = z z0 c. Poišči enačbo premice skozi točki A(0,, ) in B(, 0, ) in jo zapiši v vseh treh oblikah. (R: vektorska oblika: r = (0,, ) + λ(,, ), parametrična oblika: x = λ, y = + λ, z = + λ, klasična oblika: x = y = z ). Zapiši enačbo ravnine, ki vsebuje izhodišče in vektorja a = i + j in b = i + j + k. (R: vektorka oblika: (x, y, z)(4,, ) = 0, klasična oblika: 4x y z = 0). Zapiši enačbo premice, podane s presekom ravnin: x +y +z = x +y +4z = 4 4. Izračunaj kot med ravninama Π : x +6y 0z = 0 Π : x 9y +5z = (R: r = (0,, ) + λ(,, )) (R: φ = 0) 5. Ali se premici x = y = z in x = y = z sekata? Če se, določi kot med njima. (R: se, φ = π ) 6. Premica p in ravnina Π sta podani: p : x + y = 0, z + y = 0 Π : x + y + z = 0 (a) Izračunaj kot med premico p in ravnino Π. (R: φ 9, 5 ) (b) Poišči presečišče med premico p in ravnino Π. (R: presečišče je T (0, 0, 0)) (c) Zapiši enačbo pravokotne projekcije premice p na ravnino Π. (R: r = (0, 0, 0) + λ(,, )) 7. Določi razdaljo točke T (,, 8) od premice x = y = z. (R: razdalja je 6) 8. Poišči točko na ravnini Π : x y + z = 8, ki je najbljižja točki T (,, ). Kolikšna je razdalja točke T od ravnine Π? Poišči točki T zrcalno točko T čez Π. (R: razdalja je 7 ( 4, T 9 7, 7, ) 5 7 ) 9. Napiši enačbo premice, ki gre skozi točko A(,, 4), je vzporedna ravnini x y z = 7 in seka premico x = y+4 = z. (R: r = (,, 4) + λ(5, 6, 9))

6 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 06/7 6 Dodatne naloge:. Točke A, B, C, D, E in F so zaporedna oglišča pravilnega šestkotnika. Naj bo G razpolovišče daljice F E ter S presečišče daljic GB in AC. Označimo: a = AB in b = BC. Izrazi vektor AS z vektorjema a in b. Izračunaj koordinate točke S, če poznaš koordinate točk: A(,, ), B(8, 9, 0) in C(,, 4). (R: AS = 7 a + 7 b in S(,, 0). ). V enakokrakem trapezu ABCD naj bo AB = a, DC = a in AD = b. Označimo z E razpolovišče stranice BC, s F razpolovišče stranice DC, s S pa presečišče daljic AC in EF. Izrazi vektor AS z vektorjema a in b. Primerjaj ploščino trikotnika SCE s ploščino trapeza. (R: AS = 5 6 ( a + b ). Poščina trikotnika SCE je 8 ploščine trapeza.). V enakokrakem trapezu ABCD naj bo AB = a, DC = a in BC = b. Označimo z E razpolovišče stranice BC, s S pa presečišče daljic AE in BD. (a) Izrazi vektorje AD, AE in BD z vektorjema a in b. (b) Izrazi vektor AS z vektorjema a in b. (c) Določi koordinate točke S, če imajo točke A, B, C koordinate: A(,, 0), B(0,, ) in C(,, 6). (R: (a) AD = a + b, AE = a + b in AD = a + b. (b) AS = 4 a + 8 b. (c) S(,, ).) 4. V pravilnem tetraedru ABCD tvorijo vektorji a = AB, b = AC in c = AD bazo prostora. Naj bo P nožišče višine iz točke D na osnovno ploskev ABC in Q nožišče višine iz točke A na ploskev BCD. (a) Izrazi vektorja DP in AQ v bazi a, b, c. (b) Pokaži, da se višini DP in AQ sekata. Njuno presečišče označimo z E. Izrazi vektor AE v bazi a, b, c. (R: (a) DP = a + b c in AQ = a + b + c. (b) Višini DP in AQ se sekata, ker točke A, P, Q in D ležijo na isti ravnini. AE = 4 a + 4 b + 4 c.) 5. Točke A, B, C, D, E, F, G in H so zaporedna oglišča kocke. Točka S je središče kvadrata EF GH, točka M pa deli stranico CG v razmerju :. Naj bo T točka, v kateri se sekata daljici AM in CS. Označimo še: a = AB, b = AD in c = AE. (a) Izrazi vektor AT z vektorji a, b in c! (b) Določi koordinate točke T, če poznamo koordinate naslednjih točk: E(,, )! 6. Katera od danih množic tvori bazo prostora R : (a) {(,, ), (,, ), (0,, 0)}, (b) {(,, ), (,, ), (0, 0, 0)}, (c) {(,, ), (,, ), (,, 4), (, 5, )}, (d) {(,, ), (,, 0), (, 4, )}? A(,, ), B(4,, ), D(,, ) in (R: (a) AT = 8 a + 8 b + 6 c (b) T ( 8, 7, ).) Izrazi vektor (,, ) kot linearno kombinacijo danih vektorjev, če je to mogoče! (R: Bazo prostora R tvorita množici (a) in (d). Izražava: (,, ) = 4 (,, ) (,, ) 4 (0,, 0) = (,, ) + (,, 0) (, 4, )) 7. Dani so vektorji a = α ı + j + 4 k, b = ı α j in c = α ı j + 4 k, kjer so ı, j, k linearno neodvisni vektorji. Določi skalar α tako, da bodo vektorji a, b, c ležali na isti ravnini! (R: α = ±.) 8. Določi skalarja α in β tako, da bo vektor u = (α, β, ) pravokoten tako na vektor v = (,, ) kot tudi na vektor w = (, 0, )! (R: α =, β =.) 9. Naj bodo vektorji a = (t,, t), b = (,, 0) in c = (5,, 8). Določi parameter t tako, da bo vektor a oklepal enak kot z vektorjema b in c. Izračunaj tudi dolžino pravokotne projekcije vektorja a na vektor b. (R: t = 4, dolžina pravokotne projekcije vektorja a na vektor b pa je 0 4.)

7 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 06/ Kolikšen kot oklepata enako velika vektorja a in b, če sta vektorja a + b in 5 a 4 b pravokotna? (R: Vektorja a in b oklepata kot 60 0.). Naj bo a b = 8, dolžina vektorja a = 6 ter kot med vektorjema a in b enak π 4. Izračunaj ploščino paralelograma, ki ga napenjata vektorja b a in a 4 b. (R: Ploščina je 6.). Naj bodo a, b in c vektorji iz R z dolžinami: a =, b =, c =. Kot med vektorjema a in b je enak π, kot med vektorjem c ter ravnino, ki jo razpenjata vektorja a in b pa je π 6. Izračunaj prostornino paralelepipeda, napetega na vektorje: x = a c, y = a + c, in z = a + b + c. (R: V = 9.). Dana sta vektorja m = a + b c in n = a b + c, pri čemer poznamo dolžine vektorjev: a = b =, c =, ter kote med njimi: ( a, b ) = ( b, c ) = π, ( a, c ) = π 4. Vektorja m in n razpenjata paralelogram. Zapiši vektorja diagonal tega paralelograma in izračunaj njuni dolžini. (R: Diagonali sta: e = 4 a in f = a + b c, njuni dolžini pa: e = 4 in f = 5.) 4. Poišči dolžine stranic ter kote trikotnika z oglišči A(,, ), B(,, ) in C(0,, 0). (R: Dolžine stranic trikotnika so: AB =, AC = in BC =, koti pa α = arccos 5 in β = γ = arccos.) 5. Vektorji OA = (5, 4, 0), OB = (,, ) in OC = (0,, ) napenjajo paralelepiped. Izračunaj višino iz točke C na ploskev OAB ter volumen tega paralelepipeda. (R: Višina je enaka 0 0, volumen pa 9.) 6. Izračunaj kot med vektorjema a = p + q in b = p + 5 q, če je p = q ter sta vektorja p in q pravokotna. Kolikšna je ploščina paralelograma, ki ga napenjata vektorja a in b? (R: Kot med vektorjema a in b je enak arccos. =.7 0, ploščina paralelograma, ki ga napenjata pa je 7. Točke O(0, 0, 0), A(, 0, ), B(,, ) in C(,, ) določajo paralelepiped. Poišči: (a) enačbo premice - nosilke telesne diagonale iz točke O; 4 p sin arccos (b) enačbo ravnine, na kateri leži točka A in je vzporedna z ravnino, ki jo določajo točke O, B in C; (c) kot pod katerim telesna diagonala iz O seka ploskev, določeno s točkami O, B in C. (R: (a) x = y = z 4 (b) x y = (c) arccos = 8 p.). = ) 8. Poišči kot med ravnino z enačbo 7x + y z = 8 ter premico, ki gre skozi točko A(,, c) v dani ravnini, in skozi točko B(,, ). (R: Kot med premico in ravnino je približno 6 0 (natančneje arcsin 6 54 ).) 9. Poišči pravokotno projekcijo premice x + y z = 0, x y + z + = 0, na ravnino x + y + z = 0. Kje se sekata premica in njena projekcija? (R: Iskana pravokotna projekcija je premica z enačbo (0,, ) + λ(,, ). Premica in njena projekcija se sekata v točki S(0,, ).) 0. Ravnina Π gre skozi točko T (, 4, ) in je vzporedna premicama: p : x = y + = z, in q : x = y + = z. Poišči enačbo ravnine Π, ter izračunaj razdaljo premice p od ravnine Π. (R: Enačba ravnine Π je x + 4y z = 6, pravokotna projekcija točke S na to ravnino pa je točka (,, ). Razdalja med premico p in ravnino Π je 6.). Skozi točki A(, 0, ) in B(0,, ) položi ravnino, ki je vzporedna premici p, določeni z enačbama: x+y z = 0, x y + z =. Kolikšna je razdalja premice p do dobljene ravnine? (R: Iskana ravnina je x + 7y 4z = 6, razdalja premice p do te ravnine pa je 4 69.)

8 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 06/7 8. Dani sta premici: p : x + = y = z 5 x in q : = y = z +. Poišči enačbo ravnine Σ, ki vsebuje premico p in je vzporedna premici q! Kolikšna je razdalja premice q do ravnine Σ? (R: Enačba ravnine Σ je x + 5y 4z = 4, premica q pa je od nje oddaljena za 5.). Poišči enačbo premice, ki gre skozi točko A(,, ), seka premico x = y 5 = z+ in je vzporedna ravnini x + y + z = 5. (R: Iskana premice je r = (,, ) + λ( 4, 0, 4).) 4. Določi takšno točko T na ravnini x y + z = 6, da bo točka T (,, ) njena pravokotna projekcija na ravnino x + y + z =. (R: Iskana točka ima koordinate T (, 5, 4 ).) 5. Označimo s P točko na premici p : x = y+ = z, ki je najbližja točki T (,, ). Poišči enačbo ravnine, na kateri ležijo točke P,T in R(, 5, 5). Določi še kot med premico p in dobljeno ravnino. (R: Iskana ravnina ima enačbo 8x + 0y 4z = 6 in s premico p oklepa kot arcsin 0 5. = 47 0.)